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Was ist Diskrete Mathematik � und wozu?

Christian Krattenthaler

Fakultät für Mathematik, Universität Wien

Christian Krattenthaler Diskrete Mathematik

Was ist Diskrete Mathematik?

diskret . . . 1) unau�ällig, unaufdringlich (Brockhaus)

Diskrete Mathematik ist die Mathematik, die sich im Hintergrundhält.

/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖



diskret . . .

1) unau�ällig, unaufdringlich (Brockhaus)


/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖





/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖




2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)

Diskrete Mathematik ist die Mathematik, die von auÿerordentlichdiskreten Personen betrieben wird.

/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖



diskret . . . 1) unau�ällig, unaufdringlich (Brockhaus)2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)

Diskrete Mathematik ist die Mathematik, die von auÿerordentlichdiskreten Personen betrieben wird.

/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖



diskret . . . 1) unau�ällig, unaufdringlich (Brockhaus)2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)

3) 4 nicht zusammenhängend



diskret . . . 1) unau�ällig, unaufdringlich (Brockhaus)2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)3) 4 nicht zusammenhängend



diskret . . . 1) unau�ällig, unaufdringlich (Brockhaus)2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)3) 41 nicht zusammenhängend

Ggt.: kontinuierlich (Brockhaus)

14 = MathematikChristian Krattenthaler Diskrete Mathematik


diskret kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt vondiscernere.

Letzteres bedeutet absondern, unterscheiden, trennen.Es ist also das Gegenteil von kontinuierlich, oder synonym: stetig.

De�nition

Die Funktion f ist stetig im Punkt x genau dann, wenn für alleε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x0 mit |x − x0| < δ dieUngleichung |f (x)− f (x0)| < ε gilt.



diskret kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt vondiscernere.Letzteres bedeutet absondern, unterscheiden, trennen.

Es ist also das Gegenteil von kontinuierlich, oder synonym: stetig.

De�nition




diskret kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt vondiscernere.Letzteres bedeutet absondern, unterscheiden, trennen.Es ist also das Gegenteil von kontinuierlich, oder synonym: stetig.

De�nition




diskret kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt vondiscernere.Letzteres bedeutet absondern, unterscheiden, trennen.Es ist also das Gegenteil von kontinuierlich, oder synonym: stetig.



stetig: diskret:



Diskrete Mathematik beschäftigt sich nicht mitDi�erentialrechnung, Integralrechnung, Di�erentialgleichungen,Integralgleichungen, Kurven, Flächen, kontinuierlichen Bewegungenund Prozessen, . . .


Erwartungen, die ich enttäuschen werde

Industrie- und Wirtschaftsprobleme, und wie DiskreteMathematik diese löst


Mathematik lässt sich nicht auf eine Hilfswissenschaft derWirtschaft, Industrie, Physik, . . . reduzieren,ja sie muss sich hüten, auf eine solche reduziert zu werden, in ihremeigenen Interesse, aber insbesondere auch im Interesse ihrerAnwendungen!


Nicht weil es nützlich, weil es interessant ist, will man verstehen!

(Rudolf Taschner)


Mathematik lässt sich nicht auf eine Hilfswissenschaft

. . .ja sie muss sich hüten, auf eine solche reduziert zu werden, in ihremeigenen Interesse, aber insbesondere auch im Interesse ihrerAnwendungen!


Der (geistige) Vater der heute verwendeten Internetverschlüsselungist Leonhard Euler!

Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adleman erfanden dieRSA-Verschlüsselung.Aber die verwendete Mathematik stammt ausschlieÿlich von Euler,aus einer Zeit, wo nicht nur die Worte ,,Kryptographie� und,,Internet� völlig unbekannt waren . . .


Der (geistige) Vater der heute verwendeten Internetverschlüsselungist Leonhard Euler!Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adleman erfanden dieRSA-Verschlüsselung.

Aber die verwendete Mathematik stammt ausschlieÿlich von Euler,aus einer Zeit, wo nicht nur die Worte ,,Kryptographie� und,,Internet� völlig unbekannt waren . . .


Der (geistige) Vater der heute verwendeten Internetverschlüsselungist Leonhard Euler!Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adleman erfanden dieRSA-Verschlüsselung.Aber die verwendete Mathematik stammt ausschlieÿlich von Euler,aus einer Zeit, wo nicht nur die Worte ,,Kryptographie� und,,Internet� völlig unbekannt waren . . .




Einblicke in neue eigene Resultate


Satz

Die Anzahl der Multiketten x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xl−1 im Poset der

m-teilbaren nichtkreuzenden Partitionen assoziiert zur

Spiegelungsgruppe vom Typ Dn mit Rang(xi ) = s1 + s2 + · · ·+ si ,

i = 1, 2, . . . , l − 1, ist durch

2

(n − 1

s1

)(m(n − 1)

s2

)· · ·

(m(n − 1)

sl

)+m

l∑j=2

(n − 1

s1

)(m(n − 1)

s2

)· · ·

(m(n − 1)− 1

sj − 2

)· · ·

(m(n − 1)

sl

)

+

(n − 2

s1 − 2

)(m(n − 1)

s2

)· · ·

(m(n − 1)

sl

)gegeben, wo s1 + s2 + · · ·+ sl = n.




Einblicke in neue eigene Resultate


Wieviele?

Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?

� �� ↑

45 Möglichkeiten

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


� ��

↑45 Möglichkeiten

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


� �� ↑

45 Möglichkeiten

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��


Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� �� ↑

44 Möglichkeiten

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��


Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��

10� ��


Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��

10� �� ↑

42 Möglichkeiten

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��

10� ��41� ��


Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��

10� ��41� ��

36� ��


Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��

10� ��41� ��

36� �� ↑

40 Möglichkeiten

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��

10� ��41� ��

36� ��23� ��


Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.


Wieviele?


13� ��34� ��

10� ��41� ��

36� ��23� ��

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40



Wieviele?


10� ��13� ��

23� ��34� ��

36� ��41� ��

Also insgesamt:

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.



Wieviele?

45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 406 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 8145060.

Die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Tipp zu landen, ist also

1

8145060= 0.000000122774 . . .

Die Wahrscheinlichkeit, das nicht zu tun, ist

1− 1

8145060= 0.999999877226 . . .


Wieviele?

Wieviele Teilnehmer an einer Ziehung braucht es, dass wenigstenseiner (mit 50% Wahrscheinlichkeit) den richtigen Tipp errät?

0.9999998772265500000 = 0.509026 . . .

Mehr als 5.5 Millionen!


Wieviele?

Die Frage der Abzählung (,,Wieviele?�) taucht nicht nur in derWahrscheinlichkeitsrechnung, sondern in fast allen Gebieten derMathematik auf, sie ist die Grundlage für Laufzeitanalysen vonComputeralgorithmen, für die Analyse von Modellen derStatistischen Physik, um nur einige zu nennen.


Das Wägeproblem

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12


Das Wägeproblem

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12


Das Wägeproblem

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

1 2 3

4 5 6


Das Wägeproblem

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

1 2 3

4 5 6

1 2 3 7


Das Wägeproblem

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

1 2 3

4 5 6

1 2 3 7

4

5


Das Wägeproblem

Abstrakt:

Zu Beginn gibt es genau 24 Möglichkeiten:Münze 1 ist zu schwer/zu leicht, . . . , Münze 12 ist zu schwer/zuleicht.

Bei jeder Wägung gibt es 3 mögliche Ausgänge.

Strategie: Konstruiere die Wägungen so, dass bei jeder Wägung dieAnzahl der Möglichkeiten (in etwa) gedrittelt wird.


Das Wägeproblem

Also:


Das Wägeproblem

Also:

24


Das Wägeproblem

Also:

24

8 8 8


Das Wägeproblem

Also:

24

8 8 8

3 3 2 3 3 2 3 3 2


Das Wägeproblem

Also:

24

8 8 8

3 3 2 3 3 2 3 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


Das Wägeproblem

Wie haben wir das gemacht?

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,11L, 12L (12 Möglichkeiten)


Das Wägeproblem


1 2

3 4 5 67 8

9 10 11 12


Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,11S, 12S (12 Möglichkeiten)


Das Wägeproblem


1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12



Falls Gleichgewicht: Unmöglich! (0 Möglichkeiten)

Also: 12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8abwägen sollen.Wenn man es richtig macht, kann man die falsche Münzetatsächlich immer in 3 Wägungen bestimmen.


Das Wägeproblem


1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12




Also:

12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8abwägen sollen.Wenn man es richtig macht, kann man die falsche Münzetatsächlich immer in 3 Wägungen bestimmen.


Das Wägeproblem


1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12




Also: 12:12:0 statt 8:8:8.

Extrem ungeschickt!Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8abwägen sollen.Wenn man es richtig macht, kann man die falsche Münzetatsächlich immer in 3 Wägungen bestimmen.


Das Wägeproblem


1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12




Also: 12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!

Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8abwägen sollen.Wenn man es richtig macht, kann man die falsche Münzetatsächlich immer in 3 Wägungen bestimmen.


Das Wägeproblem


1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12




Also: 12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8abwägen sollen.

Wenn man es richtig macht, kann man die falsche Münzetatsächlich immer in 3 Wägungen bestimmen.


Das Wägeproblem


1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12




Also: 12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8abwägen sollen.Wenn man es richtig macht, kann man die falsche Münzetatsächlich immer in 3 Wägungen bestimmen.


Der erste Hauptsatz der Informationstheorie von Claude

Shannon

Versucht man unter N Möglichkeiten die richtige mit Hilfe von

Tests zu �nden, die k mögliche Ausgänge haben,

dann geht das (im

schlechtesten Fall) nicht schneller als in

logk(N)

Tests.

Beim Wägeproblem: N = 24, k = 3;

log3(24) = 2.89279 . . .

(x = logk(N) ist jene Zahl, sodass kx = N gilt.)



Shannon


Tests zu �nden, die k mögliche Ausgänge haben, dann geht das (im


logk(N)

Tests.

Beim Wägeproblem: N = 24, k = 3;

log3(24) = 2.89279 . . .




Shannon


Tests zu �nden, die k mögliche Ausgänge haben, dann geht das (im


logk(N)

Tests.

Beim Wägeproblem: N = 24, k = 3; log3(24) = 2.89279 . . .



Das Wägeproblem

Wir be�nden uns mit dem Wägeproblem mitten in derInformationstheorie, die die theoretischen Grundlagen fürSuchprobleme bereitstellt.

Die Probleme von Datenkompression, von Datensortierung gehörenhier ebenso her, wie der intelligente Aufbau von Datenbankenbeziehungsweise die Entwicklung von e�zienten Algorithmen zurAu�ndung von Daten in Datenbanken.


Das Wägeproblem

Wir be�nden uns mit dem Wägeproblem mitten in derInformationstheorie, die die theoretischen Grundlagen fürSuchprobleme bereitstellt.Die Probleme von Datenkompression, von Datensortierung gehörenhier ebenso her, wie der intelligente Aufbau von Datenbankenbeziehungsweise die Entwicklung von e�zienten Algorithmen zurAu�ndung von Daten in Datenbanken.


Die Brücken von Königsberg

Hier ist Königsberg am Fluss Pregel:

Ist es möglich einen Spaziergang zu unternehmen, der jede Brückegenau einmal passiert und schlussendlich zum Ausgangspunktzurückkehrt?



Schematisch:



Ein Versuch eines ,,Brückenrundganges�:



Ein Versuch eines ,,Brückenrundganges�:

Hmm . . .



Abstrahieren wir:

Setzen wir in jedes der vier Landstücke einen dicken Punkt,



Abstrahieren wir:

Setzen wir in jedes der vier Landstücke einen dicken Punkt,

und verbinden wir Punkte, falls die entsprechenden Landstückedurch Brücken verbunden sind.



Abstrahieren wir:

Die neue Aufgabe: Man �nde einen geschlossenen Weg entlang derstrichlierten Linien, die jede strichlierte Linie genau einmal passiert.

sdfsdf sdfsdfs dfB



Leonhard Eulers Beobachtung:

Wenn wir uns auf einen der dicken Punkte konzentrieren, müssenwir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt ankommen,wie wir ihn verlassen.



Leonhard Eulers Beobachtung:

Wenn wir uns auf einen der dicken Punkte konzentrieren, müssenwir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt ankommen,wie wir ihn verlassen.

Jeder Punkt muss mit einer geraden Anzahl von strichlierten Linienverbunden sein!



Unsere Figur:

Sogar jeder (!) Knoten ist mit einer ungeraden Anzahl vonstrichlierten Linien verbunden.Es kann also so einen Spaziergang nicht geben!



Unsere Figur:

Sogar jeder (!) Knoten ist mit einer ungeraden Anzahl vonstrichlierten Linien verbunden.

Es kann also so einen Spaziergang nicht geben!



Unsere Figur:

Sogar jeder (!) Knoten ist mit einer ungeraden Anzahl vonstrichlierten Linien verbunden.Es kann also so einen Spaziergang nicht geben!


Der Satz von Euler

In einer zusammenhängenden Figur, die aus dicken Punkten und

strichlierten Linien besteht, welche dicke Punkte verbinden, gibt es

genau dann einen geschlossenen Weg, der jede Linie genau einmal

passiert, wenn jeder dicke Punkt mit einer geraden Anzahl von

strichlierten Linien verbunden ist.



Die Lösung des Königsberger Brückenproblems wird oft als dieGeburtsstunde der sogenannten Graphentheorie2 bezeichnet.

Und damit ist man in der Netzwerktheorie und insbesondere derkombinatorischen Optimierung.

2Unter Graphen versteht man in diesem Zusammenhang solche Figuren, die

aus dicken Punkten bestehen, die zum Teil durch Linien verbunden sind.Christian Krattenthaler Diskrete Mathematik

Ein listiger Streich

�jeu de taquin� (= Neckspiel)

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15



�jeu de taquin"

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15



�jeu de taquin" (= Neckspiel)

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15




1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

13 14 15 12




1 2 3 4

5 7 8

9 6 10 11

13 14 15 12




1 2 4

5 7 3 8

9 6 10 11

13 14 15 12




5 1 2 4

7 3 8

9 6 10 11

13 14 15 12




5 1 2 4

9 7 3 8

6 10 11

13 14 15 12




5 1 2 4

9 7 3 8

13 6 10 11

14 15 12




15 14 13 12

11 10 9 8

7 6 5 4

3 2 1



15 14 13 12

11 10 9 8

7 6 5 4

3 2 1 16



15 14 13 12

11 10 9 8

7 6 5 4

3 2 1 16

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16

−→ Jede Spielsituation entspricht einer bestimmten Anordnung(,,Permutation�) der Zahlen von 1 bis 16.



Aufgabe:

Bringe die Zahlen

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16

durch sukzessives Vertauschen von zwei Zahlen in die richtigeOrdnung

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Satz

Für eine gegebene Permutation ist die Anzahl der Vertauschungen,

die man benötigt immer eine gerade Anzahl oder immer eine

ungerade Anzahl.



Aufgabe:Bringe die Zahlen

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16

durch sukzessives Vertauschen von zwei Zahlen in die richtigeOrdnung

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Satz

Für eine gegebene Permutation ist die Anzahl der Vertauschungen,

die man benötigt immer eine gerade Anzahl oder immer eine

ungerade Anzahl.



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16

durch Vertauschungen:

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 14 15 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 12 11 10 9 8 7 6 5 4 13 14 15 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 4 11 10 9 8 7 6 5 12 13 14 15 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 11 12 13 14 15 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 4 5 6 9 8 7 10 11 12 13 14 15 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Das waren 7 Vertauschungen, eine ungerade Anzahl vonVertauschungen.Daher: Egal wie man es macht, man braucht eine ungerade Anzahlvon Zügen!



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Das waren 7 Vertauschungen, eine ungerade Anzahl vonVertauschungen.

Daher: Egal wie man es macht, man braucht eine ungerade Anzahlvon Zügen!



Ordnen wir also

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Das waren 7 Vertauschungen, eine ungerade Anzahl vonVertauschungen.Daher: Egal wie man es macht, man braucht eine ungerade Anzahlvon Zügen!



15 14 13 12

11 10 9 8

7 6 5 4

3 2 1

Aber, wenn am Anfang und am Ende das leere Feld rechts untensein soll, dann geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!



15 14 13 12

11 10 9 8

7 6 5 4

3 2 1 •




15 14 13 12

11 10 9 8

7 6 5 4

3 2 • 1




15 14 13 12

11 10 9 8

7 6 • 4

3 2 5 1




15 14 13 12

11 10 • 8

7 6 9 4

3 2 5 1




15 14 13 12

11 • 10 8

7 6 9 4

3 2 5 1




15 14 13 12

• 11 10 8

7 6 9 4

3 2 5 1




15 14 13 12

7 11 10 8

• 6 9 4

3 2 5 1




15 14 13 12

7 11 10 8

3 6 9 4

• 2 5 1




15 14 13 12

7 11 10 8

3 6 9 4

2 • 5 1




15 14 13 12

7 11 10 8

3 6 9 4

2 5 • 1




15 14 13 12

7 11 10 8

3 6 9 4

2 5 1 •




Die natürliche Umgebung des jeu de taquin-Spieles gehört zumGebiet der Algebra: Gruppentheorie.

Im konkreten Fall haben wir es mit einer sogenanntenSpiegelungsgruppe oder Coxetergruppe zu tun.



Die natürliche Umgebung des jeu de taquin-Spieles gehört zumGebiet der Algebra: Gruppentheorie.Im konkreten Fall haben wir es mit einer sogenanntenSpiegelungsgruppe oder Coxetergruppe zu tun.


Statistische Physik

Statistische Physik versucht globale Phänomene zu analysieren, diesich aus lokalen Beschränkungen ergeben.


Statistische Physik

(idealisiertes) Eis:

H

HO


Statistische Physik


H H H H H

H

H

H

H

H

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

O O O O O

O O O O O

O O O O O

O O O O O

O O O O O


Statistische Physik


P�asterungen!


Statistische Physik

Der ,,Arktische Kreis�(Jockush, Propp, Shor)


Statistische Physik

Der ,,Arktische Kreis�(Cohen, Larsen, Propp)


Statistische Physik

(Kenyon, Okounkov)Christian Krattenthaler Diskrete Mathematik

6

3

0

1

1

0

37

26

0

4

3

6

7

7

86

2

45

4

7

15

1

3

9

7

7

3

24

4

4

4

4

6

3

7

3

9

9 5

9

2

4

6

73

1

6

0

6

08

2

00

3

3

6

9

2

6

5

78

0

9

1

5

4 8

3

6 9

1

6

86

7

00

5

8

1

5

7

6

3

2

9

9

8

8

1

1 5

14

4

1

9

3

2

0

2

0

1

3

4

5

9

0

7

4

5

5

1

2

7

40

3

9

9

2

5 2

9

5

4

4

1

5

7

3

2

9

0

9

3

9

6

7

4

4

7

51

6

7

9

4

7

7

9

40

1

6

47

6

9

1

8

5

9 6

8

4

68

9

8

6

7

2

6

4

3

98

2

9

0

1

9

4

6

8

4

4

8

4

3

9

6

8

1

14

2

5

68

5

5

7

0

7

6

4

9

43

3

3

7

5

81

6

8

4

4

5

4

4

5

77

81

0

8

6

6

6

8

3

4

58

8

7

3

7

9

0

6

2

2

9

1

2

6

3

1

5

6

8

4

7

1

7

2

0

8

6

0

61

2

7

9

6

3

111

5

1

11

5

4

9

1

2

6

01

2

5

9

12


8888888

88

88

88

88

888

7777777

666 6

6

6 666

666

5555555

555

555 4

444444 4 4

44

4 4444 3

333333

3 3 3

3 3 3

3 3 3

222222

2 2 2 2 2

1111111

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0000000000

0000000

1111111

11111

1

1 1 1

222222

2 2 2 2 2

3333333

3 3 3 3

3333333

4444444

4 4 4

4 4 4

4 4 4

5555555555

5555555

6666666

66666

6

6 6 6

777777

7 7 7 7 7

8888888

9999999

999

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