ffr-98-j

8/18/2019 ffr-98-j

1/12

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen Final / 14 julio 1999

Departamento de Física Aplicada Universidad de CórdobaRevisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008

1. Sea el campo vectorial: A = ( x + yz ) i +( y + xz ) j + ( z + xy) k .

a) Demostrar que es un campo de potencial. b) Obtener su función potencial. c) Calcular la circulación del

campo vectorial entre los puntos de coordenadas (3,0,0) y (0,3,0) a lo largo del arco de circunferencia

determinado por esos dos puntos y que tiene su centro en el origen de coordenadas. d) Calcular la divergencia

del campo vectorial en el origen de coordenadas. e) Utilizando el teorema de Gauss, calcular el flujo del campo

vectorial a través de una esfera de radio 3 unidades centrada en (0,0,0).

a) Calculamos el rotacional del campo:

// 0/

x x x yz y y xz y y z z xy z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ −+⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜∇× = ∂ ∂ × + = − =⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜∂ ∂ + −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠A

x

) d

por tanto, por ser irrotacional, es conservativo.

b) Para obtener la función potencial calculamos la circulación del campo entre el origen de

coordenadas (0,0,0) y un punto genérico ( x,y,z ) a lo largo de tres tramos rectilíneos en lasdirecciones de los ejes coordenados respectivos.

( , , )

00

(0,0,0) 00

d (

x y z x

y z

x yz xφ φ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

==

− = ⋅ = +∫ ∫ A r

De este modo que

2 2 2

0

1( )

2 x y z xyz φ φ= + + + +

c) Calculamos la circulación entre los dos puntos dados como la diferencia de valores que tomala función en esos dos puntos:

( )

( )( ) ( )

0,3,0

3,0,0d 0,3,0 3,0,0φ φ⋅ = − =∫ A r 0

d) La divergencia vale

1 1 1 3 y x z

A A A

x y z

∂∂ ∂∇⋅ = + + = + + =

∂ ∂ ∂A en todos los puntos del espacio.

e) Teorema de Gauss:

d ( ) d 3 d 3

S V V

V V Φ = ⋅ = ∇⋅ = =∫ ∫ ∫ A S A V

y por tratarse de una superficie esférica de 3 unidades de radio, será:

3 3 3(unid. de flujo)

43 4 4 3 339.3

3 R RΦ π π π= × = = =

8/18/2019 ffr-98-j

2/12



2. Una barra de 2 m de longitud está doblaba en escuadra y dotada

en sus extremos de correderas articuladas. En el instante

representado en la figura, la corredera A se mueve hacia la

derecha con una velocidad de 5.7 m/s. Hallar la velocidad angular

de la escuadra y la velocidad de la corredera B.

En primer lugar, por consideraciones puramente geométricas, determinamos los ángulos

significativos, tal como se indica en la figura.

La velocidad de la corredera B se determina inmediatamente a partir de la condición cinemática

de rigidez (teorema de las velocidades proyectadas) aplicada a la barra doblada. En efecto,

A B B A

cos10º 0.98cos10º cos30º 5.7

cos30º 0.876.48 m/sv v v v= → = = × =

Puesto que las velocidades de los extremos de la barra tienen las direcciones de las respectivasguías, determinamos la posición del CIR (punto I) como punto intersección de las normales a

dichas velocidades.

En el triángulo ABI, aplicando el teorema de los senos, tenemos:

AI AB sen60º 0.87AI AB 2 1.91 m

sen60º sen40º sen40º 0.64= → = = =

Ahora podemos determinar la velocidad angular de la barra en el instante indicado en la figura:

AA

5.7IA 1.91 2.99 raA

d/sI

vv ω ω= → = = =

1m

1m 90º

55º 40º

B

A

90º

55º 40º

B

A

1 m

1 m

30º

10º

40º

1 . 9 1 m

2.17 m

vA

vB

I (CIR)

60º2 m 45º

8/18/2019 ffr-98-j

3/12



3. En el esquema de la figura calcular la fuerza F requerida para que el bloque de

24 kg empiece a subir por el plano inclinado 10º. El coeficiente de rozamiento

estático de cada pareja de superficies es de 0.30.

La situación de los bloques es de movimiento inminente por lo que

las tres fuerzas de rozamiento son las máximas en cada caso.

La tg 10º = 0.18 es menor que μ = 0.3, por lo que el bloque superior no tiene posibilidad de

resbalar hacia abajo sobre el bloque inferior. En consecuencia, al tirar del bloque de 24 kg hacia

arriba, será nula la reacción N 3 indicada en la figura y los diagramas de cuerpo libre de cada

uno de los bloques son los indicados.

Aplicando las ecuaciones cardinales de la estática a cada uno de los bloques, descomponiendo en

las direcciones indicadas, tenemos:

Bloque superior:

12 1 12

12 12 1

0 cos10º sen10º

0 cos10º sen10º

x

y

F N N N

F N N

μ

μ

⎧⎪ = ⇒ = +⎪⎪⎨

⎪ = ⇒ + =⎪⎪⎩

∑

∑ P

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( N 1, N 12) tenemos:

1

12

1 12

2019.29 189kg =

cos10º sen10º cos10º 0.3 sen10º

( cos10º sen10º ) 2.35 kg = 23.03 N

N P

N

N N

μ

μ

= = =+ +

= − =

Bloque inferior:

( )' 2 12

' 2 12 2

0 sen10º

0 cos10º

x

y

F F P N

F N N P

μ⎧⎪ = ⇒ = + +⎪⎪⎨⎪ = ⇒ = +⎪⎪⎩

∑∑

2 N

De modo que, sin más que sustituir valores, tenemos:

2

4.17 5.79 12.88 22.83 kg =

19.29 24 cos10º 42.92 kg = 421N

F

N

⎧ = + + =⎪⎪⎨⎪ = + =⎪⎩

224 N

F 20kg

24kg

10º

f 12

N 1

10º P 1 N 3=0

N 12 y

x

10º

’ y’

N 1221 F

P 2 f 2

2

8/18/2019 ffr-98-j

4/12



4. Determinar la aceleración angular que adquieren los tres cilindros

idénticos de la figura cuando sobre uno de ellos se ejerce un par M . Los

mencionados cilindros pueden girar alrededor de sus respectivos ejes, sin

que exista deslizamiento en los contactos entre diferentes cilindros.

En la figura hemos representado las fuerzas de rozamiento entre lo cilindros. Por se idénticos yno existir deslizamiento entre ellos, las aceleraciones angulares de los tres cilindros tendrán el

mismo módulo y las direcciones indicadas en la figura.

Aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación alrededor de un eje fijo a cada

uno de los cilindros:

12

12 23

23

Cilindro 1:

Cilindro 2:

Cilindro 3:

M r f I

r f r f I

r f I

α

α

α

− =

− =

=

Sumando las tres ecuaciones resulta

1 23223

3 3

2 M M M I

I m mr r α α= → = = =

siendo m la masa y r el radio de cada cilindro.

M

α

f 12

M

f 21 f 23

f 32

α α

8/18/2019 ffr-98-j

5/12



5. Dejamos caer una pelota de ping-pong desde una altura h0 sobre un suelo duro, liso y horizontal. Observamos

que después del quinto rebote la pelota sólo asciende hasta una altura h0/2. a) Determinar el coeficiente de

restitución de los rebotes. ¿Es el mismo en todos ellos? b) Calcular la fracción de energía que se disipa en los

rebotes. ¿Es la misma en todos ellos? ¿Por qué? c) ¿Cuántos rebotes deberán transcurrir para que la altura de

rebote se reduzca a la centésima parte de h0?

a) En la figura representamos los rebotes sucesivos.

Obviamente, la relación existente entre las velocidades

indicadas y las respectivas alturas es:

2n n

v gh

0

para 0,1,2,...n= =

donde el subíndice n se refiere a la velocidad y a la altura

alcanzadas tras el n-ésimo rebote.

Designamos por e el coeficiente de restitución y aplicamos

la regla de Huygens-Newton a cada uno de los rebotessucesivos:

2 3

1 0 2 1 0 3 2 10, , , ...n

n nv ev v ev e v v ev e v v ev e v−= = → = == = =

El valor del coeficiente de restitución, que es el mismo en todos los rebotes, lo calculamos a

partir de los datos para el quinto rebote:

5 5 1/105 5

5 0

0 0

1(0.5 0.93)

23

v hv e v e e

v h= → = = = → = =

b) La pérdida de energía en el n-ésimo rebote será:2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

1 12 2 2 2

2 2

Δ ( ) (

ΔΔ (1 ) (1 ) cte

n n n n n n n

n

n

E E E mv mv m e v v mv e

E E e E e

E

+ += − = − = − = −

∴ = − − → − = − =

1)

La fracción de energía perdida en cada rebote es la misma en todos ellos y viene dada por

2Δ (1 ) 0.13 13%=n

E e

E − = − =

c) A partir de la expresión de la velocidad tras el n-ésimo rebote, , tenemos:0n

nv e v=

2 0

0 0 0 0

log( / )2 log log

2 log

log0.01

2 log 033.2 rebotes

.933

n nn n n n nv h h h h h

e e n e nv h h h e

n

= = → = → = → =

∴ = =×

h0h1

h2

v0

v2v1

v1

8/18/2019 ffr-98-j

6/12



6. Un péndulo compuesto está formado por una varilla de masa despreciable y longitud

4 R, que está unida a una esfera de masa m y radio R. En el punto medio de la varilla se

conecta un muelle ideal, con constante elástica k , en posición horizontal, como se

muestra en la figura, que está relajado cuando la varilla está en posición vertical.

Determinar la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del péndulo en el plano de la

figura.

Mediante el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia

de la esfera con respecto al eje de rotación en O:

2 2 2127(5 )5 5

O

2 I mR= +

Método de Newton

m R mR=

. Consideramos una posición genérica,

O(5

5 sen

M m

mgR

= −

= −

que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, con , se reduce a

caracterizada por un desplazamiento angular θ del péndulo, y

planteamos la ecuación fundamental de la rotación tomando

momentos con respecto al eje de rotación:

2

O

sen ) (2 sen )(2 cos )

4 sen cos

g R k R R

kR I

θ θ θ

θ θ θ θ

− =

− =

sen y cos 1θ θ θ≈ =

( )2 2

25 20127(5 4 ) 0 0

5 127

mg kRmR mgR kR

mRθ θ θ

++ + = → + θ =

que es la ecuación diferencial de un m.a.s. en el que la frecuencia angular vale

( )25 20

127mR

mg kRω

+=

Método de la energía. Expresamos la energía total del péndulo en función del ángulo θ :

2 2 2 2

O

1 1 127(5 cos ) (2 sen ) 5 cos 2 sen cte

2 2 10 E I mg R k R mR mgR kRθ θ θ θ θ θ= − + = − + = 2 2

como la energía permanece constante, su derivada temporal será nula, lo que nos conduce a

2 2 2 2d 127 1275 sen 2 sen cos 5 sen 2 sen cos 0dt 5 5

E mR mgR kR mR mgR kRθθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

⎛ ⎞⎟⎜= + + = + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ =

que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, con , se reduce asen y cos 1θ θ θ≈ =

( )2 2 25 20127 (5 4 ) 0 05 127

mg kRmR mgR kR

mRθ θ θ

++ + = → + θ =

que es la ecuación diferencial de un m.a.s. cuya frecuencia angular vale

( )25 20

127

mg kR

mR

+ ω =

2 R

2 R

k

2 R

2 R

F

2 R

mg

O

+

θ 5 R c o s θ

E =0

2 Rsenθ

8/18/2019 ffr-98-j

7/12



7. Para determinar la densidad lineal de un hilo tomamos un trozo del mismo, de 1 m de longitud, fijamos un

extremo y del otro colgamos una pesa de 50 kg, al someterla a vibraciones observamos que a 70 Hz se establece

una onda estacionaria con un vientre entre sus extremos. A) Determinar la densidad lineal de dicho hilo. B) A

qué frecuencia conseguiremos observar dos nodos entre sus extremos. C) Qué observaríamos a una frecuencia

de 100 Hz.

a) La longitud L de la cuerda corresponde a media longitud de onda (distancia internodal); por

consiguiente

1

12

λλ= →

1 12 7c λ ν = = ×

2 2 1 2 m L L= = × =

Determinamos la velocidad de fase a partir de la relación

existente entre la longitud de onda y la frecuencia:

0 140 m/s=

La tensión del hilo será: 50 kg = 50 9.8 490 N F = × =

La velocidad de las ondas transversales en el hilo viene dada por:

2 2

490 kg0.025

m140

g

m25

F F c

cμ

μ= → = = = =

b) Ahora, la longitud de la cuerda corresponde a tres

distancias internodales (tercer armónico):

3

3

3

3 2 3

1 490

0.0250 6. 6

L L

c

λλ

ν λ

= → = = =

= = =

23 3

20.66 m

210Hz

o es

.

o una onda estacionaria, sino como una onda progresiva o viajera a lo largo de la cuerda.

lo que resulta obvio, ya que para el tercer armónic

3 1

c) La frecuencia de 100 Hz no es múltiplo de 70 Hz, por lo que no corresponde a ningún

armónico y la cuerda no mostrará vientres ni nodos. Esa frecuencia no se establecerá en la cuerda

3ν ν =

com

L

N N

3 / 2λ 3 / 2λ 3 / 2λ

8/18/2019 ffr-98-j

8/12



8. El depósito de grandes dimensiones de la figura contiene un líquido ideal que desagua por la tubería de sección

variable que se indica situada a una profundidad H . a) Calcular la velocidad del líquido en cada uno de los tres

tramos de la tubería. b) Calcular y dibujar la altura que alcanza el líquido en cada uno de los tubos piezomé-

tricos. c) Dibujar de forma aproximada la altura que tendría el líquido en los tubos piezométricos si el líquido

fuese viscoso.

a) Teorema de Bernouilli entre M y N:

2

atm atm S S

10 0 2

2 p gH p v v gH ρ ρ+ + = + + → =

Ecuación de continuidad:2S S 2S

3S S 3S

S

S

1 1

2 2

1 1

3 3

2 2

3 2

v S v S v v gH

v S v S v v gH

⎧⎪⎪ = → =⎪⎪⎪⎨⎪

⎪ = → =⎪⎪⎪⎩

=

=

b) Toma de presión estática en X : X atX atm Xm

p p p p gh h

g ρ

ρ

−= + → =

Teorema de Bernouilli entre M y X:

2 2

atm X X X atm X

2

X

X

1 1

2 2

g

0

2

0

v

p gH p v p p g v

h

H

H

ρ ρ ρ+ + = + + = → −

= −

= −

∴

ρ

Tubos A y B:2

3S

A

1

2g

8

99h H H H H

v= − = − =

Tubos C y D:2

2S

C

1

2g

3

44 H H H

v= − = − =h H

Tubo E:2

S

A2g

0v

h H H H = − = − =

H

A C D E

S

B

3S 2S

M

N

8/18/2019 ffr-98-j

9/12



9. Disponemos de una cierta cantidad de gas perfecto, a 1 atm de presión y 27º C de temperatura, y lo sometemos a

los siguientes procesos: 1º Una compresión isotérmica hasta que su volumen se reduce a la cuarta parte de su

valor inicial. 2º Una expansión adiabática hasta devolverle su volumen inicial; entonces, su presión es 0.4 atm.

a) Determinar la atomicidad del gas (nº de átomos de la molécula). b) Calcular los cambios molares de energía

interna, entalpía y entropía en el proceso total.

1→2 Transformación isoterma, 1 1 2 2 p V p V = :

1

2 1

2

4 1V

p pV

= = 4 atm× =

2→3 Transformación adiabática, 2 2 3 3 p V p V γ γ = :

3 3 2

2 3

ln( ) ln(0.4 / 4)1.66

ln( ) ln(1 / 4)

p p p

V V γ = = =2

3 2

V

V p

γ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ = →⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Entre el valor del coeficiente adiabático y el número de grados de libertad de la molécula (mono

o biatómicas) están relacionados por

2 2 23

1 1.66 1

f f

f γ

γ

+= → = =

− − ≈

que corresponde a moléculas monoatómicas. Entonces

cal cal 2 cal1.987 2.98 4.98

K mol 2 K mol K molV p

f f R C R C R

R

+= = = = =

b) Determinamos la temperatura correspondiente al estado 3:

3 3 3 31 1

3 1

3 1 1 1

0.4300 120 K

1

p V p V p V T T

T T p V = → = = × =

Los cambios ΔU y Δ H tan solo dependen de las temperaturas inicial y final, de modo que

( )

( )

Δ Δ 2.98 120 300 536.4 cal

Δ Δ 4.98 120 300 892.8 cal

V

p

U C T

H C T

= = × − = −

= = × − = −

El cambio ΔS en el proceso total se calcula a través de la transformación isocora 1→3

3

1

120Δ ln 2.98 ln 2.73 cal/K

300V

T

T S C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = × = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

p

2

1

3

V 1/4 V 1 V

0.4

1.

4.

300 K

120 K

8/18/2019 ffr-98-j

10/12



10. Dos baterías con fuerza electromotriz E = 5 V y resistencia interna r = 2 Ω, pueden conectarse a una resistencia

R = 6 Ω bien en serie o bien en paralelo. a) Determinar el generador equivalente y la potencia suministrada a la

resistencia R en cada caso. b) ¿Qué método de conexión suministra la mayor potencia a R? ¿Y si R fuese igual a

1 Ω?

Baterías en serie:

Generador equivalente:

s

s

i

ir r

⎧ = ∑⎪⎪⎨⎪ = ∑⎪⎩

E E 5 5 10 V

2 2 4

= + =

= + = Ω

s ss s

s,tot s,tot

s s ss s s

2 2 2 2s,R s s,R s

10 W 20 W

6 W 4 W

(m s potencá

10

ia)

101 A 2 A4 6 4 1

10 16 1 10 2

1 6 2 1

I I R R

P I R R P I

P I R P I R

⎧⎪ ⎧⎪⎪ = = = ⎪ = = =⎪ ⎪⎪ + ⎪ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ = = × == Ω = Ω = = × =⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = × = = = × =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎪⎩

E E

E E

Baterías en paralelo:

Generador equivalente:

p

p

(i5 V

1 1

ir r

⎧ =⎪⎪⎪⎪⎨⎪ = ∑ =⎪⎪⎪⎩

E

p

d nticas)

1 11 1

2 2

r + = → = Ω

é

p p p p

p,tot p,tot

p p p p p p

2 22 2 p, p p, p

12.5 W3.57 W

6.

55 2.5 A0.71 A

25 W3.06 W

(m sá

1 11 6

5 2.56 5 0.71 1

2.5 1

pot

0.71 6

encia)

R R

I I R R

P I R P I R

P I R P I R

⎧⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ = = =⎪= = =⎪ ⎪⎪ ++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ = = × == Ω = = × = = Ω⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ = = × == = × =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎩

E E

E E

R

5 V, 2 Ω 5 V, 2 Ω

R

5 V, 2 Ω

5 V, 2 Ω

8/18/2019 ffr-98-j

11/12



11. Una varilla conductora, de longitud L , está girando con velocidad angular constante

(ω ) alrededor de un eje fijo perpendicular a ella y que pasa por su extremo. En el

mismo plano de rotación de la varilla, un conductor rectilíneo indefinido transportauna corriente eléctrica constante ( I ) y pasa por el extremo de la varilla. Determinar la

f.e.m. inducida en la varilla en función del tiempo.

De conformidad con la notación que se indica en la figura, el

campo magnético creado por una corriente rectilínea indefinida en

un elemento del conductor viene dado por

0 0

cos2 2

I I B

x r t π π ω

μ μ= =

La velocidad de dicho elemento es v = ωr , en la dirección que se

indica en la figura. Como consecuencia de su movimiento, en el

elemento del conductor se induce una f.e.m. dada por la expresión

0

0

) d d2 cos

d d2 cos

I v B r r r

r t

I r

μω

π ω

μ ω

π θ

× = − = −

∴ = −

B

E

d d (= ⋅r vE

e integrando a lo largo de toda la varilla, para tener en cuenta las contribuciones de todos los

elementos, obtenemos la f.e.m. inducida en la varilla:

0

c2 os

0

0d

2 cos

L

r I L

θ

μ ω

π−

I μ ω

π θ= − =∫ E

en la dirección que se indica en la figura.

I

L

Iω t

x

Bv

dr

r

xdE

8/18/2019 ffr-98-j

12/12



H

12. En el circuito de corriente alterna de la figura se desea conocer:

a) La intensidad total y por rama. b) La diferencia de potencial en

bornes de cada elemento. b) Diagrama vectorial de dichas

intensidades y diferencia de potencial.

Los resultados deben expresarse en módulo y argumento.

Datos: 4Ω 1061 μF 9.55 m R C L= = = L

R R

C R 220 V

50 Hz

Z 2

A

B

C D1

23

Z 1 Z 3

Z 4

Z 5

1 0

3

2 9

3 0

4 96

5 0

4 Ω

9.55 10 100 3 3 Ω

4 Ω

1 13 3 Ω

1061 10 100

4 Ω

R

L

R

C

ω π

ω π

−

−−

= =

= = × × = =

= =

= = = − =× ×

=

Z

Z j j j

Z

Z j j j

Z

0º

0º

a) Calculamos las intensidades a partir de la ley de Ohm para C.A.:

0 0

1 37º

1 2 37º

0 0

2 37º

3 4 37º

0

3 0

5 0

1 2 3 0 (en fase con la tension)

220 22044 A 35.2 26.4 A

4 3 5

220 22044 A 35.2 26.4 A

4 3 5

22055 A 55 A

4

125.4 A

−

−

= = = = = −+ +

= = = = = ++ −

= = = =

= + + =

j j

j j

ςΙ

Ζ Ζ

ςΙ

Ζ Ζ

ςΙ

Ζ

Ι Ι Ι Ι

b) Calculamos las tensiones:

1 1 1 37º 0 37º

2 1 2 37º 90º 53º

3 2 3 37º 0 37º

4 2 4 37º 90º 53º

5 0

44 4 176 V

44 3 132 V

44 4 176 V

44 3 132 V

220 V

− −

−

− −

= = × =

= = × =

= = × =

= = × =

= =

V I Z

V I Z

V I Z

V I Z

V V

c) Diagrama fasorial: D

AB

C

I T

I 1 I 2

I 3

ffr-98-j

Documents

Transcript of ffr-98-j