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FiniteElemente in1D und 2D

Johannes Veit

RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat

GalerkinApproximation

FEM im1D-FallDiskretisierung

Ansatzfunktion imRaum Vh

Genauigkeit


Ansatzfunktion

Regeln fur dieDreiecke

Konv-analyseKonvergenzanalyse

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Finite Elemente in 1D und 2D

Johannes Veit

Ein Blick uber den Tellerrand ... mit FreeFem++

8. Januar 2016


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Gliederung1 Ruckblick

Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation

2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit

3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke

4 KonvergenzanalyseKonvergenzanalyseFreeFEM-Plots

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Laplace-Problem auf demEinheitsquadrat

Laplace - Gleichung:

−∆u(x) = 0

• Man betrachte das Problem auf dem Intervall Ω=(0; 1)


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Aus der ersten Sitzung wissen wir

Finde u0 ∈ V : a(u0, v) = F (v) ∀v ∈ V⇓

Finde u0,h ∈ Vh : a(u0,h, vh) = F (vh) ∀v ∈ Vh

wobei Vh ⊂ V mit dim Vh <∞

Ist ϕ1, . . . , ϕn eine Basis von Vh und u0,h =∑n

i=1 αiϕi ergibtsich das lineare Gleichungssystem

Aα = b mit Aij = a(ϕj , ϕi ), bi = F (ϕi ), i , j = 1, . . . , n.


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Diskretisierung

• Definition: Diskretisierung bedeutet die Gewinnung einerdiskreten Teilmenge

• Hier wird das Gebiet Ω in aquidistante Teilmengen ∆zerlegt.


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Ansatzfunktion im Raum Vh

X rh = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P r (K ) ∀K ∈ Th

• r beschreibt den Grad der Ansatzfunktion bzw. derPolynome (hier: linear = 1, quadratisch = 2)

• Lineare Ansatzfunktion• Basisfunktion von X 1

h zum Knoten xi

ϕi (x) =

x−xi−1xi−xi−1

fur xi−1 ≤ x ≤ xi ,xi+1−xxi+1−xi

fur xi ≤ x ≤ xi+1,

0 sonst.


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• quadratische Ansatzfunktion

X 2h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P2(K ) ∀K ∈ Th


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Lineares Gleichungssystemv(x) =

∑6i=1 αiϕi (x) , (allgemein v(x) =

∑Ni=1 αiϕi )

= (Π1hv)(x)→ αi = v(xi )

FEM: X 1h = span (ϕi )


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Eine fundamentales Werkzeug der Galerkin-Methode ist dasCea-Lemma

VorraussetzungenSei V ein reeller Hilbertraum mit der Norm ‖ · ‖.Sei a:V × V → R eine Bilinearform, die

• beschrankt(aquivalent dazu stetig), d. h.|a(u, v)| ≤ M‖u‖ ‖v‖ fur eine Konstante M > 0 und ∀u, v∈ V

• und koerzitiv ist, d. h. a(v , v) ≥ α‖v‖2 fur eine Konstanteα > 0 und ∀v ∈ V


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Cea-Lemma

Dann besagt das Cea-Lemma:

‖u − uh‖V ≤Mα

infwh∈Vh

‖u − wh‖V ,

, dass die Approximation der Losung uh aus dem Unterraum Vhhochstens um die Konstante M

α schlechter ist als die besteApproximation fur u im Raum Vh.Hierbei ist

• u= exakte L“osung des Randwertproblems• uh = Approximation• fur kleine h geht uh gegen u• h beschreibt Intervallgrosse, ist Proportional zur

Abweichung


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Diskretisierung in 2D

Man betrachte das Problem auf der Flache Ω (z.B. =(0; 1)2)


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Ansatzfunktion in 2d• Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum

X 1h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P1(K ) ∀K ∈ Th

(lineare Basisfunktionen)• Hier wird Ω in Dreiecke zerlegt• Nj = 1, an benachbarten Knoten xn±1 = 0


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Ansatzfunktion in 2d

• Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum

X 2h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P2(K ) ∀K ∈ Th

(quadratische Basisfunktionen)• Auch hier wird Ω in Dreiecke zerlegt• Nj = 1 oder 0, an benachbarten Knoten xn±1 = 0 oder 1,

an Knoten xn±2 = 0


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Regeln fur die Dreiecke

• Keine Ecke eines Dreiecks darf auf einer Kante einesanderen Dreiecks liegen.

• Folgende Anordnung ware verboten:


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• Das Verhaltnis vom Inkreis zur grossten Seite jedesDreiecks ist nach oben beschrankt

hKγk

< c ∀K ∈ Th


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Interpolationsabschaetzung

• Folgende Bedingung wird auf das Cea-Lemma angewendet:

|v − Πrhv |Hm(Ω) ≤ Chr+1−m|v |Hr+1(Ω) ∀v ∈ H r+1(Ω)

• C ist eine Konstante, unabhangig von h und u• Cea-Lemma:

‖u−uh‖V ≤Mα

infwh∈Vh

‖u−wh‖V ≤Mα‖u−Πr

hu‖V V = H10 (Ω)


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• Hieraus ergibt sich fur u ∈ H r+1(Ω) und uh ∈ X rh(Ω)

‖u − uh‖V ≤Mα

Chr |u|Hr+1(Ω)

• Hier kann man die Approximation durch 2 Artenverbessern:

1 h kleiner machen2 r erhohen, also finite Elemente hoherer Ordnung

verwenden


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• Man erhalt nun Vorschriften fur den Approximationsfehler

‖u − uh‖H1(Ω) ≤ Chr‖u‖Hr+1(Ω)

‖u − uh‖L2(Ω) ≤ Chr+1‖u‖Hr+1(Ω)

• Plottet man diesen Fehler gegen h (log-log-Plot), erhaltman verschiedene Steigungen

• Diese Steigungen zeigen r , also den Grad der verwendetenAnsatzfunktionen


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FE-Approximation

Gegeben sei das Poisson-Problem:

−∆u = f in Ωu = g auf Γ = ∂Ω

Gesucht sei

uh ∈ X 1h∫

Ω∆u ∆v dx =

∫Ω

f vh dx ∀v ∈ Vh


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Hier wurde anhand der exakten Losungu(x , y) = sin(2 ∗ π ∗ x)cos(2 ∗ π ∗ y) gelost


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• Wechseln wir nun zum Programm FreeFEM


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Quellen

• A. Quarteroni: Numerical Models for DifferentialProblems, 2nd Ed., Springer-Verlag Italia 2014

• Einfuhrungsvortrag Dr. Steffen Weißer (ein Blick uber denTellerrand ... mit FreeFem++)


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Zusammenfassung

• Approximation von Problemen mit der Galerkin-Methode• Zerlegung des Intervalls (1D) oder der Flache(2D) in

Teilstucke der Breite h• Stuckweise Aufstellen durch Basisfunktionen der Ordnung

r• Durchfuhrung und Visualisierung der Approximation durch

FreeFEM• Berechnen des Fehlers mit eigenem Programm

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