Footbridge Background DE03

RFS2-CT-2007-00033

Human induced Vibrations of Steel Structures

Bemessung von

Fugngerbrcken

Erluterungen

Footbridge_Background_DE03.doc

HIVOSS Erluterungen zum Bemessungsleitfaden fr Fugngerbrcken

1

Inhaltsverzeichnis

1 Einfhrung ......................................................................................... 5 2 Definitionen ....................................................................................... 6 3 Bemessungsverfahren ......................................................................... 6 4 Bemessungsschritte ............................................................................ 6

4.1 Schritt 1: Bestimmung der Eigenfrequenzen .................................. 6 4.2 Schritt 2: berprfung, ob kritische Eigenfrequenzen vorliegen ........ 8 4.3 Schritt 3: Bestimmung der Bemessungssituation ............................ 8

4.3.1 Schritt 3a: Bestimmung der Verkehrsklasse ................................. 9 4.3.2 Schritt 3b: Bestimmung der Komfortklasse .................................. 9

4.4 Schritt 4: Bestimmung der Dmpfung ..........................................10 4.4.1 Dmpfermodell ...................................................................... 10 4.4.2 Dmpfungswerte fr Gebrauchslasten ....................................... 11 4.4.3 Dmpfungswerte fr groe Amplituden...................................... 13

4.5 Schritt 5: Bestimmung der Beschleunigung...................................13 4.5.1 Modell mit harmonischer Anregung ........................................... 13 4.5.2 Antwortspektrumverfahren fr Fugngerstrme ........................ 20

4.6 Schritt 6: berprfung des seitlichen Lock-in ................................21 4.7 Schritt 7: berprfung des Komfortniveaus ..................................23

5 Bewertung der dynamischen Eigenschaften von Fugngerbrcken ...........23 5.1 Einfhrung ...............................................................................23 5.2 Messung der Grundschwingungen und Bestimmung der kritischen Eigenfrequenzen ...................................................................................23

5.2.1 Messung der Grundschwingungen und Bestimmung der Eigenfrequenzen ............................................................................... 23 5.2.2 Abschtzung der Dmpfung fr kritische Eigenfrequenzen ............ 24 5.2.3 Messung der durch einen Fugnger verursachen Schwingungen... 24 5.2.4 Messung der durch Fugngergruppen verursachten Schwingungen 25 5.2.5 Messung der durch Fugngerstrme verursachten Schwingungen 25

5.3 Bestimmung der dynamischen Brckeneigenschaften .....................25 5.3.1 Untersuchungen unter Zwangserregung..................................... 25 5.3.2 Messung der Grundschwingungen ............................................. 28 5.3.3 Messung freier Schwingungen .................................................. 29

5.4 Messgerte ..............................................................................29 5.4.1 Messaufnehmer...................................................................... 29


2

5.4.2 Gerte zur Schwingunganregung .............................................. 30 6 Kontrolle von Schwingungen................................................................31

6.1 Einfhrung ...............................................................................31 6.2 Vernderung der Masse .............................................................31 6.3 Verndern Eigenfrequenz ...........................................................31 6.4 Vernderung der Dmpfung........................................................32

6.4.1 Einfhrung ............................................................................ 32 6.4.2 Einfache Manahmen .............................................................. 32 6.4.3 Zustzliche Dmfungselemente ................................................ 32

7 Berechnungsbeispiele .........................................................................40 7.1 Einfeldtrger ............................................................................40 7.2 Fugngerbrcke ber die Weser in Minden ..................................41 7.3 Guarda-Fugngerbrcke in Portugal ...........................................46

8 Literatur ...........................................................................................49 9 Anhang: Zustzliche Lastmodelle .........................................................51

9.1 Lastmodelle fr einzelne Fugnger.............................................51 9.2 Lastmodell fr Jogger ................................................................54 9.3 Mutwillige Schwingungsanregung ................................................55


3

Hufig verwendete Symbole

alimit Zu einer Komfortklasse zugehrige Grenzbeschleunigung

[m/s]

amax Zu einer Bemessungssituation zugehrige berechnete maximale Beschleunigung

[m/s]

B Breite [m]

d Dichte des Fugngerstroms auf der Brcke [P/m]

f, fi Eigenfrequenz bzw. Eigenfrequenz der i-ten Eigenform/Mode

[Hz]

fs Schrittfrequenz eines Fugngers [Hz]

P Statische Last des einzelnen Fugngers [N]

( )ft2cosP Harmonische Belastung infolge eines einzelnen Fugngers

[N]

L Lnge [m]

m Anzahl der Sinushalbwellen einer Modalform [-]

m* Modale Masse [kg]

M Masse [kg]

n Anzahl der Fugnger auf der belasteten Flche S (n = S d )

[P]

n quivalente Anzahl Fugnger auf der belasteten Flche S

[P/m]

p(t) Verkehrlast als Flchenlast [kN/m]

Pmov Wanderlast [kN]

S belastete Flche [m]

Logarithmisches Dekrement der Dmpfung [-]

Masse der Brcke pro Lngeneinheit [kg/m]

D Masse des Brckendecks pro Lngeneinheit [kg/m]

P Masse der Fugnger pro Lngeneinheit [kg/m]

Einflussfaktor fr zustzliche Fgngermasse [-]


4

(x) Modalform [-]

Faktor zur Bercksichtigung der Mglichkeit, dass Schrittfrequenzen im Bereich der betrachteten Eigenfrequenz liegen.

[-]

Dmpfungsgrad (Lehrsches Dmpfungsma) [-]


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1 Einfhrung In den letzten Jahren ist die Nachfrage nach leichten Fugngerbrcken deutlich gestiegen. Durch die geringe Brckenmasse knnen dynamische Einwirkungen bei leichten Brcken viel grere Schwingungsamplituden verursachen. Durch die groe Schlankheit der Brcken steigt die Anflligkeit gegenber Schwingungen zustzlich.

Die zunehmende Anzahl der modernen Fugngerbrcken, an denen Schwingungsprobleme auftraten zeigt, dass Fugngerbrcken in Zukunft nicht nur auf die statische Beanspruchung bemessen werden sollten. Auf der anderen Seite fhren Anforderungen an die Eigenfrequenz der Brcke, wie in einigen Normen vorgesehen ([1], [2], [3], [4]) zu Einschrnkungen im Tragwerksentwurf von Fugngerbrcken: sehr schlanke und sehr leichte Brcken wie zum Beispiel Spannbandbrcken oder Hngebrcken knnten die Anforderungen nicht erfllen. Vielmehr wird das dynamische Verhalten der Brcke nicht nur durch ihre Eigenfrequenz sondern auch im Zusammenhang mit der Dmpfung, der Brckenmasse und der Verkehrsbeanspruchung durch Fugnger bestimmt. Richtlinien fr die Bemessung sollten daher alle diese Einflussfaktoren bercksichtigen, so dass jede Brcke bemessen und errichtet werden kann, deren Anforderungen hinsichtlich des Schwingungskomforts nachgewiesen werden knnen. Nur wenn geforderte Komforteigenschaften nicht eingehalten werden, sollten Eingriffe in das Tragwerk oder das Dmpfungsverhalten erfolgen.

Die geringe Massentrgheit leichter Brcken mit den damit verbundenen geringen Eigenfrequenzen fhren ebenfalls zu grerer Resonanzgefahr. Diese Resonanzgefahr besteht gerade dann, wenn die Erregerfrequenz (hier die Schrittfrequenz der Fugnger), mit der Eigenfrequenz der Brcke zusammenfllt. Die fr Fugngerbrcken magebende Beanspruchung durch gehende Personen ist impulsartig anhaltend und findet in einem engen Frequenzspektrum statt. Es liegt daher auf der Hand, dass das Schwingungsverhalten einer Brcke bemessungsrelevant sein kann. Diese Schwingungen betreffen vor allem die Gebrauchstauglichkeit der Brcke im Hinblick z.B. auf die Wahrnehmbarkeit der Schwingungen. Brckeneinstrze oder Beschdigungen infolge Fugngereinwirkung sind nicht bekannt.

Durch Gehen oder Laufen knnen an Fugngerbrcken vertikale und horizontale Schwingungen auftreten, whrend die durch Radfahrer eingebrachten Schwingungen im Vergleich dazu vernachlssigbar sind.

In den letzten Jahren wurden einige Brcken durch Personenstrme in seitliche Schwingung versetzt, wobei eine gegenseitige Beeinflussung von Brckenschwingung und Personenlast zu beobachten war. Die dadurch entstandene aufgeschaukelte Schwingung fhrte zu nicht mehr tolerierbaren Brckenbewegungen. Fugngerbrcken sollten so bemessen werden, dass dieser Lock-in-Effekt nicht auftritt.

In einer zeitgemen Brckenplanung sollten daher fugngerinduzierte Schwingungen bercksichtigt werden, um:

Schwingungen durch Fugnger in einem akzeptablen Rahmen zu halten, Das Auftreten des Lock-in-Effektes zu vermeiden, Einen Schaden durch Vandalismus auszuschlieen.


6

Fr die Erstellung eines Leidfadens, der dem Tragwerksplaner bei Entwurf und Bemessung als Hilfe dienen soll, wurden an zahlreichen Fugngerbrcken Messungen und Simulationsberechnungen durchgefhrt. Der Leitfaden enthlt Angaben zu:

Anforderungen an die Bemessung, Komfortklassen, die durch Beschleunigungen angegeben werden, Lastmodelle zur Abbildung von Personenstrmen und Ein Kriterium zur Vermeidung des Lock-in Effektes. Fr schwingungsanfllige Brcken, die eventuell keinen ausreichenden Schwingungskomfort besitzen, werden zustzliche Informationen gegeben in Bezug auf:

Verfahren zur Messung von Schwingungen und zur Auswertung der Messergebnisse zur Bestimmung der dynamischen Brckeneigenschaften,

Mglichkeiten zur Modifizierung des Tragwerkes und den Einbau von Dmpfern.

2 Definitionen Keine zustzlichen Hintergrundinformationen zum Leitfaden.

3 Bemessungsverfahren Es wird empfohlen, die dynamischen Einwirkungen und das Schwingungsverhalten der Brcke bereits in frhen Entwurfsstadien, auch wenn Angaben zur Grndung oder zur Dmpfung noch fehlen oder zu bestimmen sind, durchzufhren. In diesem Fall gibt die dynamische Berechnung zwar nur einen Eindruck vom wirklichen Schwingungsverhalten, allerdings sollten Vorsorgemanahmen fr Dmpfer schon im frhen Entwurfsstadium vorgesehen werden. Die Dmpfung und die auftretenden Beschleunigungen wrden dann nach Fertigstellung der Brcke messtechnisch ermittelt. Anhand dieser Messergebnisse sollte dann festgelegt werden, ob zustzliche Dmpfer erforderlich sind.

4 Bemessungsschritte

4.1 Schritt 1: Bestimmung der Eigenfrequenzen

Die Eigenfrequenzen knnen durch Handformeln oder einfache Verfahren berechnet werden. Liegen sie aber dicht an den kritischen Frequenzen, dann sollten genauere Verfahren fr ihre Bestimmung verwendet werden. Es ist mittlerweile weit verbreitet, fr die Bemessung von Brcken selbst in der Entwurfsphase numerische Berechnungsverfahren wie die Finite Elemente Methode (FEM) zu verwenden. Konsequenterweise sollte das FEM-Modell nicht nur verwendet werden, um Spannungen und Verformungen zu berechnen, sondern auch die Eigenfrequenzen. So knnen dynamische Berechnungen vorab ohne zustzlichen Aufwand durchgefhrt werden.


7

Als erste Annherung sollte das Berechnungsmodell so einfach wie mglich gehalten werden. Dazu wird die Brcke durch Balken- und Seilelemente sowie Federn dreidimensional abgebildet. Das FEM-Modell sollte vertikale, horizontale und Torsionsschwingungen abbilden knnen. So kann ein grober berblick ber Eigenfrequenzen und die zugehrigen Schwingungsformen gewonnen werden und Schwingungsprobleme identifiziert werden. Mit zunehmender Komplexitt des Tragwerkes nimmt die Anzahl der Eigenformen zu und es werden mehr Elemente bentigt. In einem feineren FEM-Modell knnen zustzliche Elementtypen wie Platten oder Schalen zur Anwendung kommen. Um zuverlssige Ergebnisse fr Eigenfrequenzen zu erhalten, ist es wichtig, Lagerungsbedingung, Bodensteifigkeit, die Struktursteifigkeit und die Masseverteilung realistisch abzubilden. Alle Gewichtsanteile, Ausbaulasten und Seilverspannungen mssen bei der Berechnung der Eigenfrequenzen bercksichtigt werden. Ausbaulasten aus Mblierung, Belag und Gelnder sollten als zustzliche Masse so genau wie mglich erfasst werden. Die Verwendung von Einzelmassen, die keine Massetrgheit fr die Rotationsfreiheitsgrade besitzt, ist in der Regel ausreichend. Fr die Abbildung von Lagerungen und Grndungen sollten die dynamischen Bodenkennwerte verwendet werden, da die Ergebnisse sonst sehr ungenau sind.

Es wird empfohlen bei der Planung von Dmpfern, in jedem Fall die erste und weitere Eigenfrequenzen der Brcke durch Messung zu bestimmen, um erforderliche Dmpfereigenschaften zu bestimmen.

Von jeder Eigenform sollte die modale Masse bekannt sein, wenn das SDOF-Verfahren (siehe Abschnitt 4.5.1.2) verwendet wird.

Die Untersuchung einiger ausgewhlten Fugngerbrcken hat gezeigt, dass gerade bei leichten Brcken die zustzliche Masse der Fugnger einen wesentlichen Einfluss auf die Eigenfrequenz der Brcke hat. Bei Einzelpersonen und Personengruppen ist dieser Einfluss vernachlssigbar; bei Personenstrmen aber sinkt die Eigenfrequenz deutlich. Mageblich fr diesen Effekt ist das Verhltnis zwischen Masse des Brckendecks und Fugngermasse und er nimmt mit abnehmender Masse des Brckendecks zu.

Eigenfrequenzen einer Brcke knnen in einen kritischen Frequenzbereich (siehe Abschnitt 4.2) fallen, in dem die Schwingungsanregung durch Fugnger stattfindet. Zustzliche Massen aus stndiger Last oder Verkehr verschieben die Eigenfrequenzen, so dass sie den kritischen Bereich verlassen oder auch in ihn hineinkommen. Die Grenzfrequenzen, die den kritischen Frequenzbereich markieren, sollten nicht als starre Werte aufgefasst werden; sie identifizieren eher bergangsbereiche.

Die Zunahme der modalen Masse durch Fugnger kann 50 % gegenber der unbeladenen Brcke betragen.

Dieser Einfluss der statischen Fugngermasse kann einfach ermittelt werden die modale Masse m* unter Bercksichtigung der Fugnger betrgt:

= DL 2D dx xm* Eq. 4-1 Dabei ist

D die Masse des Brckendecks in kg/m,


8

D

PD

+= der Einflussfaktor zur Bercksichtigung der zustzlichen

Fugngermasse,

P die lngenbezogene Fugngermasse in kg/m,

(x) die Schwingungsform.

Zur Identifizierung eines Grenzwertes ab dem die Fugngermasse bercksichtigt werden sollten, kann die nachstehende Gleichung 4-2 verwendet werden. Sie zeigt, dass ein Anstieg der modalen Masse um 5 % zu einer Verringerung der Eigenfrequenz von 2,5 % fhrt.

0,976f*1,05m

*k*m

*k1,05)(f' ==== Eq. 4-2

Diese nderung liegt innerhalb des Genauigkeitsbereiches, mit dem Eigenfrequenzen ermittelt werden knnen. Daher kann die Fugngermasse, wenn sie nicht mehr als 5 % der Masse des Berckendecks betrgt vernachlssigt werden.

4.2 Schritt 2: berprfung, ob kritische Eigenfrequenzen vorliegen

Wenn Eigenfrequenzen fi einer Brcke im kritischen Frequenzbereich liegen, kann die Brcke als anfllig gegenber fugngerinduzierten Schwingungen betrachtet werden, so das eine dynamische Untersuchung angebracht ist. Der kritische Frequenzbereich wurde aus empirischen Untersuchungen zu den Schrittfrequenzen fs abgeleitet. Den Bemessungsprinzipien der Eurocodes folgend wurden die charakteristischen Grenzwerte anhand des 5 %-Fraktilwertes fr langsames Gehen als Untergrenze fs,5% und des 95 %-Fraktilwertes fr schnelles Gehen fs,95%,fast festgelegt.

Als Untergrenze fr seitliche Schwingungen wird 0,5 Hz empfohlen, weil diese Frequenz bei der Erffnung der Millenniums Bridge festgestellt wurde.

4.3 Schritt 3: Bestimmung der Bemessungssituation

Es wird dringend empfohlen im Hinblick auf Schwingungen Komfortanforderungen und erwartete Verkehrssituationen auf der Brcke mit dem Kunden (Brckenbetreiber) zu besprechen. Nur so ist es mglich Komfortgrenzen und Randbedingungen fr die Bemessung realistisch festzulegen. In einem konstruktiven Dialog knnen Punkte wie die erwarteten Schwingungen, Komforteigenschaften und der mgliche Gebrauch von Dmpfern vorab beschrieben und geklrt werden (siehe Abschnitt 6).

Nachfolgend werden einige Belastungssituationen aufgelistet, wie sie das Zuverlssigkeitskonzept der Eurocodes [5] entsprechend bestimmter Auftretenshufigkeiten fr Gebrauchstauglichkeitszustnde vorsieht. Diese Bemessungssituationen sind auch auf Fugngerbrcken anwendbar:

Stndige Bemessungssituationen beschreiben die Situationen, die dauerhaft auftreten,


9

Hufige Bemessungssituationen beschreiben vorbergehende Situationen, Auergewhnliche Bemessungssituationen beschreiben z.B. Unflle. Bemessungssituationen wie zum Beispiel bei der Brckeneinweihung treten oft nur einmal in der Lebensdauer der Brcke auf, andere Situationen wie die Benutzung durch Berufspendler dagegen tglich.

Zur realistischen Berechnung des Fugngerkomforts sollten die Verkehrsklassen aus Abschnitt 4.3.1 verwendet werden. Wie schon erwhnt ist die Brckenbelastung whrend der Einweihung in der Regel sehr hoch und damit bemessungsbestimmend, obwohl sie nur einmal in der Lebensdauer der Brcke vorkommt. Es muss nun festgelegt werden, welche Komfortanforderungen (siehe Abschnitt 4.3.2) bei solchen seltenen Bemessungssituationen, und welche Komfortanforderung bei der hufigen Nutzung zu erfllen sind.

4.3.1 Schritt 3a: Bestimmung der Verkehrsklasse

Die Art des Fugngerverkehrs und die Personendichte bestimmen wesentlich das dynamische Verhalten von Fugngerbrcken. Daher lohnt es sich zu unterscheiden, ob eine Brcke einsam liegt und nur geringer Verkehr stattfindet oder ob eine Brcke in der Stadtmitte liegt und einem dichten Pendlerverkehr ausgesetzt ist.

Gruppenformationen, Prozessionen oder Marschieren werden hier durch die angegebenen Verkehrsklassen nicht behandelt. Fr diesen Fall sind gesonderte Untersuchungen erforderlich. Der Unterschied zwischen den Verkehrsklassen und den oben erwhnten Formationen von Fugngern besteht darin, dass in den Verkehrsklassen eine individuelle Wahl der Schrittfrequenz durch die einzelnen Fugnger stattfindet, whrend die Formationen oft durch Musik geschtzt synchronisiert bzw. im Gleichschritt die Brcke passieren.

4.3.2 Schritt 3b: Bestimmung der Komfortklasse

Fr die Bewertung des Schwingungskomforts werden blicherweise Grenzbeschleunigungen vorgegeben. In Normen und Verffentlichungen werden Grenzwerte angegeben die aus verschiedenen Grnden unterschiedlich sind. Dennoch liegen sie alle in einer bestimmten Bandbreite.

Generell ist die persnliche Wahrnehmung und Bewertung von Schwingungen ein subjektiver Prozess, der individuell unterschiedlich ist. So knnen zum Beispiel die Nutzer einer Brcke, die nahe an einem Altenheim oder Krankenhaus liegt, empfindlicher auf Schwingungen reagieren als die Nutzer einer Brcke, die auf einem Wanderweg liegt.

Ebenfalls kann die uere Erscheinung einer Brcke die Bewertung der Schwingungen durch den Fugnger beeinflussen. Bild 4-1 zeigt die Bandbreite der subjektiven Wahrnehmung von Schwingungen durch Fugnger am Beispiel zweier Brcken, die sehr hnliche dynamische Eigenschaften besitzen. Bei der stabiler wirkenden Wachtelstegbrcke in Pforzheim, rechtes Bild, empfinden viermal mehr Personen die Schwingungen als strend, als bei dem im linken Bild abgebildeten Kochenhofsteg in Stuttgart. Gleiches gilt fr die Bewertung, dass die Schwingung als aufregend oder unterhaltsam bewertet wird. Hier liegt der Faktor etwa bei 3.


10

Bild 4-1: Vergleich der Schwingungsbewertung zweier Brcken

Die Bewertung von Brckenschwingungen unterliegt also einer ganzen Reihe weicher Kriterien:

Anzahl der Personen auf der Brcke, Nutzungshufigkeit, Hhe ber Grund, Krperhaltung (sitzen, stehen, gehen), Harmonisch oder zeitlich begrenzter Erregung (Schwingungsfrequenz), Dauer der Einwirkung, Transparenz des Brckenbelags und des Gelnders, Erwartungshaltung gegenber Schwingungen, bedingt durch die uere

Brckenerscheinung.

4.4 Schritt 4: Bestimmung der Dmpfung

4.4.1 Dmpfermodell

blicherweise wird bei Tragwerken ein lineares Dmpfungsmodell verwendet. Diese Annahme ist darin begrndet, dass Tragwerke normalerweise eine geringe Dmpfung besitzen und im Gebrauchszustand nur geringe Spannungen auftreten. Eine weitere Annahme besteht darin, dass die Dmpfung gleichmig verteilt im Tragwerk auftritt. Unter diesen Annahmen kann die Dmpfung durch eine Matrix C beschrieben werden, die proportional zur Massenmatrix M und zur Steifigkeit K ist (Rayleigh-Dmpfung):


11

KM += C Eq. 4-3 Durch diesen Ansatz wird eine Entkopplung der dynamischen Gleichgewichtsbedingungen vorgenommen, so dass eine modale berlagerung bei der Berechnung der dynamischen Effekte durch Fugngerverkehr vorgenommen werden kann.

Zur Abbildung eines Systems mit N-Freiheitsgraden durch N Systeme mit einem Freiheitsgrad (Einmassenschwingen, siehe Abschnitt 4.5.1.2), sind N Dmpfungswerte n erforderlich. Jeder Dmpfungswert n gibt den Anteil der kritischen Dmpfung fr die Mode n an und wird als Funktion der modalen Masse mn* und der Eigenkreisfrequenz n beschrieben:

n = Cn / 2 mn* n Eq. 4-4

Diese Dmpfungswerte knnen in Abhngigkeit der Konstanten und wie folgt ermittelt werden:

+= n

nn

21

Eq. 4-5

Diese Beziehung zeigt, dass nur zwei Einhngewerte mit zugehrigem erforderlich sind, um die gesamte Dmpfungsmatrix aufzustellen. Die Einhngewerte werden anhand von Erfahrungswerten festgelegt.

4.4.2 Dmpfungswerte fr Gebrauchslasten

Vergleichbare Werte fr die Dmpfung, wie sie in Tabelle 4-5 gegeben werden, werden auch in SETRA/AFGC [9], in Bachmann und Amman [10], in EN 1991 [11] und in EN 1995 [12] angegeben.

Zusammenfassungen von Dmpfungswerten in Abhngigkeit der Frequenz bzw. Brckenspannweite, wie sie im SYNPEX-Projekt [13] an verschiedene Brcken gemessen wurden, zeigen die Bild 4-2 und Bild 4-3. Ebenfalls sind in den Bildern Werte aus Verffentlichungen enthalten. Neben der groen Streuung der Werte wird auch deutlich, dass es einige Stahlbrcken gibt, die im Frequenzbereich fr Fugngerinduzierte Schwingungen nur eine Dmpfung von 0,5 % aufweisen.


12

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 2 4 6 8 10

Frequency (Hz)

(%)

Measured, steelMeasured, timberMeasured, stress-ribbonMeasured, concrete

Bild 4-2: Im Gebrauchszustand gemessene Dmpfungswerte in Abhngigkeit der Eigenfrequenz

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Span (m)

Measured, steelMeasured, timberMeasured, stress-ribbonMeasured, conc.

Bild 4-3: Im Gebrauchszustand gemessene Dmpfungswerte in Abhngigkeit der Brckenspannweite


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4.4.3 Dmpfungswerte fr groe Amplituden

Fr groe Amplituden unter Erdbebeneinwirkung gibt EN 1998 [14] Bereiche fr Dmpfungswerte an. Die Werte knnen auch hier fr groe Amplituden verwendet werden.

Tabelle 4-1: Dmpfungswerte bei groen Amplituden fr verschiedene Baustoffe

Bauweise Bereich des Dmpfungsgrads

Beton 2,0 7,0% Stahl 1,0 4,0%

4.5 Schritt 5: Bestimmung der Beschleunigung

Fugngerbrcken werden in der Regel durch mehrere Fugnger belastet. Die Gesamtbelastung ergibt allerdings nicht einfach aus der Summe der Einzellasten sondern es handelt sich um eine stochastische Einwirkung. In Abhngigkeit der Personendichte synchronisieren die Personen mehr oder weniger untereinander und passen ihre Gehweise mglicherweise an die Bewegung der Brcke an.

Die Belastung ist von der Personendichte, der individuellen Schrittfrequenz, dem Laufweg, der gegenseitigen Synchronisierung der Fugnger, ihrem Gewicht usw. abhngig. Die Brckenreaktion wird neben der Belastung durch Tragwerkseigenschaften wie (modale) Masse, Eigenfrequenz und Dmpfung bestimmt. Diese Tragwerkseigenschaften unterliegen einer gewissen Streuung, die auch zu einer Streuung der dynamischen Bauwerksantwort fhrt.

Fr die Bestimmung der Beschleunigung als Bauwerksantwort gibt es viele Verfahren, von denen hier einige empfohlen und in den nachfolgenden Abschnitt vorgestellt werden.

4.5.1 Modell mit harmonischer Anregung

4.5.1.1 quivalente Fugngerzahl zur Berechnung von Fugngerstrmen

Einfhrung

Das Verfahren zur Bestimmung der quivalenten Anzahl von Fugngern arbeitet auf der Grundlage der modalen Analyse. Die Systemantwort kann also an einem gedmpften Einmassenschwinger unter harmonischer Belastung (F0 sin (2 f0 t)) berechnet werden:

( ) ( ) ( )tf2sinff4ffM4Ftx 0

20

22220

20

+=

2 Eq. 4-6


14

Dabei ist:

F0 die Lastamplitude,

M die Systemmasse,

f die Systemeigenfrequenz,

f0 die Lastfrequenz,

die Systemdmpfung,

= 20202ffff arctan die Phasenverschiebung.

Modale Analyse

Ein Balken kann durch ein System mit N Freiheitsgraden, wie beispielhaft in Bild 4-4 dargestellt, modelliert werden, wobei die Beanspruchung des Balken als Einzellast auf die Knoten aufgebracht wird. Bei einer modalen Analyse werden dann die einzelnen Knotenverformungen durch die berlagerung der Verschiebungen reprsentativer Einzelknoten berechnet:

( ) ( ) Nr,r1i i

tixty == Eq. 4-7

Dabei ist:

y(t) der Vektor der Verschiebungen der Einzelmassen (konzentriert am Knoten),

i sind die Verschiebungsvektoren der betrachteten modalen Verschiebungen i,

xi(t) sind die Systemantworten jedes Knotens der betrachteten Mode i.

Fj

i

ij mj m1 mN

Bild 4-4: n N harmonische Einzellasten Wenn alle Lasten in der gleichen Frequenz, f0 fi, auftreten, dann kann die Systemantwort in einer bestimmten Schwingungsmode, z.B. Mode i mit den modalen Verformungen ij, (siehe Bild 4-4) mit nachstehender Gleichung berechnet werden:

( ) ( ) ( )i0202i2i2202ii

20

Ti

i tf2sinff4ff

m*4Ftx +

= Eq. 4-8

Dabei ist:

iT = {i1, i2, ij, iN} der Vektor der modalen Verformungen, F0 der Vektor der Lastamplituden (F0T = {F1, F2, Fj, FN}),


15

=

=N

1j

2ijji mm* die modale Masse,

fi die Eigenfrequenz der Mode i, f0 die Frequenz der Belastung

i die Dmpfung in Mode i , i die Phasenverschiebung in Mode i.

Systemantwort auf eine harmonisch schwingende Streckenlast deterministischer Ansatz

In der Regel wird eine harmonisch schwingende Streckenlast durch n = N Einzellasten (Qj sin (2 f0j t j)), abgebildet. Dabei sind die Knoten gleichmig angeordnet und die Lasten werden entsprechend der Schwingungsbuche im Mode i, siehe Bild 4-5, angesetzt:

Die Lastamplituden werden bezeichnet mit Qj, j = 1 to n; Jeder Punkt besitzt eine Frequenz f0j, j = 1 to n; An jedem Punkt existiert eine Phasenverschiebung j, j = 1 to n.

Qj

i(x)

i,max

L

L/n

ij

Bild 4-5: n = N harmonische Einzellasten

Bei einer belasteten Gesamtlnge L befindet sich jeder Knoten im Abschnitt

Lnj

Ln

j,

1, siehe Bild 4-5). Der Rang der Mode und der Umstand, dass es sich

um eine Streckenlast handelt wird wie folgt bercksichtigt:

=

=N

j 1j

nij0

Ti QL

F ,

mit ( )( )=

njL

nL1j

inij dxxn .

Die Systemantwort wird durch die berlagerung von Antworten auf einzelne Knoten bestimmt:

( )( )( )= +

=n

j 1 2j0

2i

2i

22j0

2i

maxi,i2

ijj0jnij

maxi,

ff4ff

m*4tf2sinQL

ty ,

Dabei trgt die Phasenverschiebung fr Mode i bei einer Einzellast am Knoten j:

( )( )

+=

jjiijji

jjijjiiij ffff

ffff

sincossincos

arctan0

20

2

20

20

22

.


16

Unter der Annahme, dass alle Knoten die gleiche Lastamplitude erfahren und nicht in Phase sind ( jj QQ sin= ) ergibt sich die Systemantwort zu::

( ) ( ) ( )( )= +=

n

j 1 2j0

2i

2i

22j0

2i

ijj0i2

maxi,nijmaxi,

ff4ff

tf2sinLm*4Qty Eq. 4-9

Systemantwort auf eine harmonisch schwingende Streckenlast Probabilistischer Ansatz

Mit dem oben beschriebenen Verfahren kann die Systemantwort auf einen Fugngerstrom bestehend aus n = N zuflligen Fugngern berechnet werden. Zum oben angegebenen Fall bestehen die folgenden Unterschiede:

Jede Einzellast besitzt eine eigene zufllige Frequenz fsj, die normalverteilt ist N [fs1, ];

Jede Einzellast hat eine eigene Phasenverschiebung j die ebenfalls normalverteilt ist U [0, 2];

Die Systemantwort (e.g. 4-9) wird hier ebenfalls als zufllige Gre betrachtet, weil sie von fsj und j abhngig ist. Daher knnen ihr Mittelwert und ihre Standardabweichung ermittelt werden.

Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:

i = fi / fs1 ist das Verhltnis der Eigenfrequenz in Mode i zum Mittelwert der Frequenz der Lasten,

= / fs1: Variationskoeffizient der Lastfrequenzen, fsj = fs1 (1 + uj): zufllige Frequenz der Einzellast an Knoten j, wobei

uj eine normalverteilte Zufallsvariable ist.

Wenn anstelle von Verschiebungen Beschleunigungen bestimmt werden sollen, dann muss Gleichung (eq. 4-9) mit folgenden Thesen multipliziert werden:

( ) ( ) ( )2j21s22sj u1f2f2 += . Der Maximalwert der Beschleunigung ergibt sich dann zu:

( )[ ] ( )( ) ( )

( ) ( )( ) 4444444444444 34444444444444 21

&&&&

i

ijsj

2j

2j

2i

2i

22j

2j

2i

4j

2

i2

maxi,nij

t

21s

21s

2maxi,ti

z

tf2sin

uu214uu21u1Lm*4

max

fQf2tymaxZ

++++

==

=

n

j 1

,

Dabei wird die Phasenverschiebung zwischen Mode i und der Einzellast an Knoten j berechnet mit:

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ,u1 u12arctan

sinu12cosu1sinu1cosu12

arctan

j2j

2i

jii

jjiij2

j2i

j2

j2ijjii

ij

+

++=

=

+++++=

Ebenso gilt:


17

( ) i2i zQ2Z =&& Eq. 4-10 Anmerkung: Im Falle von i = 1, = 0 und j = 0 (Deterministisch bestimmte Resonanzfall) gilt:

( )

( ) 'zQ2'z

2tf2sin

2Lm*4

maxfQf2Z

i2

i

sji

i2

maxi,Nij

t21s

21s

2i

=

=

= = 444444444 3444444444 21

&& n

j 1 Eq. 4-11

Bestimmung der quivalenten Fugngerzahl

Die quivalente eines Fugngerstroms bezeichnet die Anzahl von Fugngern, deren Schrittfrequenz mit der Eigenfrequenz im Mode i zusammenfllt und ohne Phasenverschiebung die gleiche Systemantwort verursachen wie ein Fugngerstrom. Sie kann durch Bestimmung der maximalen Beschleunigung fr die folgenden beiden Flle bestimmt werden (siehe auch Bild 4-6):

Zuflliger Strom mit n = N Fugngern (eq. 4-10): ( ) i2i zQ2Z =&& quivalenter Strom mit n n Fugngern (eq. 4-11): ( )

nn''zQ2Z i

2eqi, =&&

Qj

i(x)

} n

Qj n/n

i(x)

} n

Bild 4-6: quivalenz der Fugngerstrme

Es gilt: n'z

zn'nn''zzZZ

i

iiieqi,i === &&&&

Nach dem in [9] vorgeschlagenen Ansatz betrgt,

ieq nkn' = , Eq. 4-12 Wobei der Koeffizient keq wie folgt bestimmt wird:

ii

i

i

eq n

'zz

nn'k == Eq. 4-13

In Gleichung 4-13 ist zi die zufllige Gre. Der Mittelwert E(zi) und die Standardabweichung (zi) knnen durch Berechnung Variation der Parameter erfolgen: :

( ) ( )( ) ( )( )

++++

= =ijsj

n

1j2j

2j

2i

2i

22j

2j

2i

4j

2

i2

maxi,Nij

ti

tf2sin

uu214uu21u1Lm*4

maxz Eq. 4-14


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Ergebnisse

Mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulation wurden Sensitivittsanalysen an einer Sinus-Halbwelle der Mode i, siehe Bild 4-6 durchgefhrt, um die Streuung von Fugngerlasten abzubilden. In diesen Untersuchungen wurden die folgenden Parameter variiert:

die Dmpfung , i das Frequenzverhltnis, i der Variationskoeffizient, die Fugngeranzahl, n. In einem ersten Schritt wurden Maxima von zi (Gleichung 4-14) anhand von 2500 Berechnungen fr jeden Parametersatz durchgefhrt. In jeder Berechnung wurden n Zufallswerte der standard-normal verteilten Gren uj und der Phasenverschiebung j. verwendet. Daraufhin wurde der Koeffizient keq mit den oben beschriebenen Gleichung berechnet. Exemplarisch zeigt Bild 4-7 ein Histogramm fr keq , von dem schlielich die 5 %- und die 95 %-Fraktilwerte entnommen werden.

N =400; =2%; V =5%

0

50

100

150

200

250

300

350

0,12

1,69

3,26

4,83

6,40

7,97

9,54

11,11

12,67

14,24

k eq

Ra

lisat

ions

Bild 4-7: Beispiel fr ein berechnetes Histogramm

Mit den ermittelten keq,-Werten kann die quivalente Anzahl von Fugngern n bestimmt werden. Die Ausdrcke zur Berechnung von n wurden durch Regressionsanalysen bei Variation der Dmpfung und der Anzahl der Fugnger auf der Brcke ermittelt.

4.5.1.2 Anwendung von Lastmodellen

Keine weitergehende Hintergrundinformation zum Leitfaden erforderlich.

4.5.1.3 Einmassenschwinger (SDOF-Verfahren)

Zur Darstellung der Berechnung mit Hilfe eines Einmassenschwingers (single degree of freedom - SDOF) wird hier ein Einfeldtrger verwendet. Der Trger besitzt eine verteilte Masse [kg/m], eine Steifigkeit k und die Lnge L. Die Belastung ist eine ber die Trgerlnge konstante Streckenlast p(x) sin( t).


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Es wird angenommen, dass die Schwingungsform (x) der Biegemode durch eine halbe Sinuswelle (x) = sin(m x/L ) abgebildet werden kann, wobei m die Anzahl der Halbwellen bezeichnet.

mode shape (x)

0.00

L

p(x)sin(t)

Bild 4-8: Einfeldtrger mit Schwingungsform (x), m=1

Die modale (generalisierte) Masse m* und die modale (generalisierte) Belastung p* sin( t) werden wie folgt berechnet:

( ) =DL

2 dx(x)*m Eq. 4-15

( ) ( )tsindx(x)p(x)tsinp*DL

= Eq. 4-16 Fr Einfeldtrger gibt Tabelle 4-2 geschlossene Lsungen fr die generalisierte Masse m* und die generalisierte Belastung p* sin( t) an. Ebenso gibt Tabelle 4-2 die generalisierte Last fr eine Einzellast Pmov* sin( t) an, die sich ber die Brcke mit der Geschwindigkeit bewegt. Diese Art von Belastung ist zeitlich auf das durchschreiten einer Halbwelle begrenzt.

Tabelle 4-2: Generalisierte (modale) Masse und generalisierte Belastung

Schwinungsform

Generalisierte Masse

Generalisierte Belastung p* fr die Streckenlast p(x)

Generalisierte Belastung p* fr die Wanderlast Pmov

Zeitdauer

m* p* p* tmax

m=1:

( )

= Lxsinx L2

1 Lp(x)2 movP

2 L/v

m=2:

( )

= Lx2sinx L2

1 Lp(x)1 movP

2 L/(2v)

m=3:

( )

= Lx3sinx L2

1 Lp(x)32 movP

2 L/(3v)


20

Dabei ist :

Pmov [kN]: Wanderlast L [m]: Lnge

p(x) [kN/m]: Streckenlast m [-]: Anzahl der

Halbwelle

[kg/m]: Massebelegung v [m/s]: Geschwindigkeit der Wanderlast

Die zweite Schwingungsform eines Einfeldtrgers weist zwei Halbwellen auf (m = 2). Wenn eine durchlaufende Gleichstreckenlast ber die gesamte Trgerlnge auf gebracht wrde, dann wrde sich die generalisierte Belastung p* zu Null ergeben, weil sie zu gleichen Teilen mit und gegen die Verformung gerichtet wre. Die in der Tabelle angegebenen generalisierten Belastungen gelten daher fr die Annahme, dass die Last jeweils in Richtung der Verformung wirkt. Diese Annahme fhrt zu greren Verformungen. Es ist anzumerken, dass dieser Lastansatz von anderen Bemessungsempfehlungen abweichen kann. Andere Anstze sehen vor, dass die belastete Flche von der blicherweise bercksichtigten Schwingungsform abhngt [32] oder die gesamte belastbare Flche zu bercksichtigen ist [9].

4.5.2 Antwortspektrumverfahren fr Fugngerstrme

Das allgemeine Verfahren der Antwortspektren ist aus dem Windingenieurwesen bekannt, wo es verwendet wird, um den Effekt von Windben auf nachgiebige Bauwerke zu bestimmen. Wie die Windeinwirkung handelt es sich bei den Fugngerlasten um stochastische Beanspruchungen. Und weil es nicht mglich ist, die Tragwerkseigenschaften wie z.B. die Eigenfrequenzen ohne Unsicherheiten zu bestimmen, knnen diese ebenfalls als stochastische Gren aufgefasst werden.

Als Bemessungswert wurde die Systemantwort Spitzenwert der Beschleunigung gewhlt. Im Bemessungsnachweis wird diese maximale Beschleunigung mit der akzeptablen Beschleunigung entsprechend der Komfortklasse verglichen.

Der Maximalwert der Beschleunigung wird als Produkt eines Spitzenfaktors ka,d und einer Standardabweichung a der Beschleunigung ermittelt:

ada,dmax, ka = Beide Faktoren wurden durch Monte-Carlo-Simulationen, in denen eine Vielzahl von Fugngerstrmen auf einer Vielzahl von Brckengeometrien durch Zeitschrittberechnungen simuliert wurden, bestimmt.

Die Standardabweichung der Beschleunigung ist das Ergebnis von Berechnungen mit stochastischen Lasten auf festgelegten Brckensystemen. Die Belastung wurde fr unterschiedliche Brcken mit Spannweiten von 20 m bis 200 m, Brckenbreiten von 3 m und 5 m und unterschiedlichen Personenstromdichten (0,2 P/m, 0,5 P/m, 1,0 P/m and 1,5 P/m) berechnet. Fr jeden Brckentyp und jede Personenstromdichte wurden 5000 verschiedene Personenstrme in Zeitschrittberechnungen abgebildet. Dabei wurde fr jeden einzelnen Fugnger die folgenden Eigenschaften als Zufallsgre entsprechend der jeweiligen Verteilungsfunktion generiert:


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Personengewicht (Mittelwert = 74,4 kg; Standardabweichung = 13 kg), Schrittfrequenz (Mittelwert und Standardabweichung sind von der

Personenstromdichte abhngig), Faktor fr seitliche Komponente der Schrittlast (Mittellast = 0,0378,

Standardabweichung = 0,0144), Startposition eines jeden Fugngers (Zufallswert) Zeitpunkt des Losgehens (Zufallswert). Der Spitzenfaktor ka,d wird dazu verwendet, die charakteristische Systemantwort zu bestimmen. Im Grenzzustand der Tragfhigkeit wird als charakteristischer Wert der 95 %-Fraktilwert ka,95% verwendet, der ebenfalls ein Ergebnis der Monte-Carlo-Simulation ist.

Ein weiteres Ergebnis der Simulationen, in denen die ersten 4 vertikalen und die ersten beiden seitlichen und Torsion-Moden ausgewertet wurden, ist das Risiko, dass der Lock-in Effekt auftritt.

Um den Lock-in Effekt zu identifizieren wurde eine Grenzamplitude der Beschleunigung von 0,1 m/s festgelegt.

Demnach ist der folgende Frequenzbereich fr das Auftreten des Lock-in Effektes magebend:

Hz1,22/f

f0,8ms,

i ,

Dabei ist: fi die Eigenfrequenz der seitlichen Schwingung und

fs,m die Schrittfrequenz.

Die zu untersuchenden Eigenfrequenzen sollten mit der mittleren Schrittfrequenz von Personenstrmen bereinstimmen.

4.6 Schritt 6: berprfung des seitlichen Lock-in

Bei Gehen bewegt sich der Schwerpunkt des Krpers nicht nur vertikal sondern auch seitlich. Diese seitliche Bewegung wird durch den wechselnden Bodenkontakt linkes Bein rechtes Bein bestimmt und tritt in der halben Schrittfrequenz auf.

Es wurde bisher nicht beobachtet, dass Fugngerstrme mit vertikalen Brckenschwingungen synchronisierten. Das mag daran liegen, dass Beine und Gelenke einen Teil der vertikalen Schwingungen absorbieren und damit dmpfend wirken, so dass der Krperschwerpunkt von vertikalen Brckenschwingungen kaum beeinflusst wird. Im Allgemeinen wird die Synchronisierung von Fugngern mit vertikalen Schwingungen nicht nachgewiesen. Aus Versuchen ist bekannt, dass Einzelpersonen vertikalen Beschleunigungen von 1,5 m/s2 mit der Brcke synchronisieren knnen [7].

Im Gegensatz dazu reagieren Fugnger viel sensibler auf seitliche Schwingungen. Wenn ein Fugnger ber eine seitlich schwingende Brcke geht, dann versucht er intuitiv, durch seitliche Bewegungen diese Schwingungen auszugleichen. Es wird angenommen, dass auch sehr kleine Schwingungen dieses intuitive Verhalten hervorrufen. Die nderung des Gehverhaltens umfasst sowohl eine Anpassung der Schrittfrequenz als auch ein breitbeinigeres Gehen; dabei neigen die Personen dazu, die zweifache Schwingfrequenz zu bernehmen und ihren Schwerpunkt im Takt seitlich zu verlagern [2]. Das seitliche


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Schwanken des Krpers in der Brckenfrequenz fhrt zu seitlichen Bodenkontaktkrften die in Resonanz aufgebracht werden und so den Energieeintrag erhhen (Bild 4-9). Dies kann dazu fhren, dass eine Brcke mit geringen seitlichen Verformungen durch die unbewusste Anpassung des Gehverhaltens bei geringerer Dmpfung zu groen Verformungen angeregt werden (Lock-in Effekt).

Lateral movement of the centre of gravity

ground reaction force of the right foot

ground reaction force of the left foot

lateral deck displacement

lateral deck velocity

performed work(pos. work = raising,neg. work = reducing)

ground reaction force of the right foot

ground reaction force of the left foot

+-

+-

+-

+-

Time

Time

Bild 4-9: Schematische Beschreibung synchronisierten Gehens

In Versuchen auf einer Versuchsplattform, die innerhalb des Projekts SYNPEX [13] durchgefhrt wurden, wurde festgestellt, dass Personen, die mit einer Schrittfrequenz von fi 0,2 Hz gehen, zum Synchronisieren neigen. Schneller gehende Personen werden durch seitliche Schwingungen kaum beeinflusst, sie gehen stabiler als langsame Personen.

Der Schwellwert fr das Auftreten des Lock-in Effekts wird als Beschleunigung ausgedrckt. Eine Frequenzabhngigkeit konnte in Messungen nicht festgestellt werden. Messungen in einem Versuchsstand in Frankreich sowie auf der Solferino Brcke [6] haben gezeigt, dass der Schwellwert bei 0,1 bis 0,15 m/s2 liegt:

2m/s15,0to1,0=inlocka Eq. 4-17 In Forschungsarbeiten [16], die sich mit der Milleniumsbrcke befassten, wurde eine andere Herangehensweise gewhlt. Hier wird das Lock-in Phnomen als negative Dmpfung betrachtet, deren Gre von der Anzahl Personen NL definiert, die in Abhngigkeit der Dmpfung , der modalen Masse m*, der Eigenfrequenz f und einer Konstanten k berechnet werden kann:

kfm*8NL = Eq. 4-18

Auf der Grundlage von Messungen an der Milleniumsbrcke bestimmten Dallard et al. [16] die Konstante k fr den Frequenzbereich 0,5-1,0 Hz zu 300 Ns/m.

Neuere Untersuchungen [17] an den Fugngerbrcken Coimbra und Guarda, Portugal zeigen gute bereinstimmungen des Lock-in Effektes mit der o.a. Milleniumsformel. Als Schwellenwert fr die Beschleunigung wurde 0,15-0,2 m/s2 festgestellt.


23

4.7 Schritt 7: berprfung des Komfortniveaus

Keine zustzlichen Hintergrundinformationen zum Leitfaden.

5 Bewertung der dynamischen Eigenschaften von Fugngerbrcken

5.1 Einfhrung

Obwohl umfangreiche Kenntnisse ber Baustoffe und Belastung vorliegen und das Tragwerkverhalten dank neuester Berechnungsverfahren gut abgebildet kann, bleiben doch einige Unsicherheiten bei der Berechnung von Tragwerken. Daher kann das dynamische Verhalten eines Tragwerkes erst nach dessen Fertigstellung richtig bewertet werden. Die Tatsache gilt insbesondere fr Fugngerbrcken, die in einem schmalen Frequenzband angeregt werden, in die hufig auch die Brckeneigenfrequenzen fallen.

Standardmessungen, im Folgenden als Level 2-Messungen bezeichnet, sollten bei jeder schwingungsanflligen Brcke nach ihrer Fertigstellung ausgefhrt werden. Das Ergebnis solcher Messungen ist die Identifizierung kritischer Eigenfrequenzen, die Bestimmung der Dmpfung und die Messung der Antwort auf einzelne Fugnger, Fugngergruppen oder Fugngerstrme.

Level 1-Messungen, die zustzlich die Identifikation von Schwingungsformen umfassen, sind bei Verwendung von Elementen zur Schwingungsbeeinflussung (z.B. Dmpfer) in jeden Fall erforderlich.

5.2 Messung der Grundschwingungen und Bestimmung der kritischen Eigenfrequenzen

5.2.1 Messung der Grundschwingungen und Bestimmung der Eigenfrequenzen

Im einfachsten Fall wird ein Messaufnehmer, blicherweise ein Beschleunigungsaufnehmer, fr die Messung von Schwingungen verwendet. Dabei kann wie folgt vorgegangen werden: in zwei Messreihen wird der Messaufnehmer an dem Messpunkt installiert, um die Grundschwingungen zu messen.

In der ersten Messreihe werden die Grundschwingungen der Brcke ohne Fugngerbetrieb gemessen. Falls mglich sollte die Brcke dazu gesperrt werden, damit keine Frequenzanteile aus Fugngern enthalten sind. Die Messaufnehmer mssen dafr entsprechend empfindlich sein; typische Spritzenbeschleunigungen liegen bei diesen Messungen im Bereich von 2-5 mg. Durch diese Messung werden die kritischen Eigenfrequenzen der vertikalen und/oder horizontalen Schwingungsmoden bestimmt.

Die zweite Messreihe sollte unter dem gegebenen Fugngerbetrieb erfolgen. Dadurch ist eine bessere Charakterisierung der Brckenfrequenzen und auch ein Ma fr die Schwingungsamplituden whrend des Brckenbetriebs mglich.


24

Bei der Wahl der Abtastrate sollte folgendes beachtet werden:

Unter der Annahme, dass die Zielfrequenzen im Bereich von 0,1-20 Hz liegen, sollte eine Abtastrate von 50 Hz bis 100 Hz gewhlt werden. Die Datenerfassung sollte digitale Filter besitzen, damit Alias-Fehler vermieden werden. Ansonsten sind hhere Abtastraten erforderlich;

Entsprechend der geringsten zu erwartenden Frequenz flow der Brcke sollen eine minimale Messdauer eingehalten werden, die mit folgender Formel berechnet werden kann:

(A / flow) [n (n-1) overl] [s] Eq. 5-1

Dabei ist A eine Konstante im Wertebereich von 30 bis 40, n ist die Anzahl der Datenstze, mit denen der Mittelwert der spektralen Leistungsdichte (PSD) bestimmt wird und overl ist der Grad der berlappung, der bei dieser Bestimmung verwendet wird. Hufige Werte fr n liegen im Bereich von 8-10 und eine bliche berlappung betrgt 50 %. So ergibt sich z.B. bei einer Brcke mit einer kleinsten Eigenfrequenz von 0,5 Hz bei einer Mittlung ber 10 Datenstze und einer berlappung von 50 % die minimale Aufzeichnungsdauer zu 330-440 s. Es sollten also 33 000 bis 44 000 Datenwerte bei einer Abtastrate von 100 Hz aufgezeichnet werden und man erhlt mittlere Leistungsschichten mit einer Frequenzauflsung von 0,017 Hz to 0,0125 Hz;

Die gemessenen Zeitschritte sollen so aufbereitet werden, dass die mittleren spektralen Leistungsdichten (PSD) ermittelt werden knnen. Eine Mglichkeit diese PSD zu erhalten ist folgende: Teile den Zeitschrieb in n Datenstze und bercksichtige dabei die berlappung; entferne in jedem Datensatz den Trend; verwende ein Zeitfenster (z.B. Hanning-Fenster); bestimme die normalisierte Leistungsdichte jedes Datensatzes; mittle die roh-PSDs;

Die Auswertung des an einem oder mehreren Stellen gemessenen PSD erlaubt eine Identifikation der Eigenfreqenzen;

Der Spitzenwert der Beschleunigung unter Fugngerverkehr kann zum Vergleich mit den akzeptierten Beschleunigungsgrenzen verwendet werden.

5.2.2 Abschtzung der Dmpfung fr kritische Eigenfrequenzen

Eine Nherung der Dmpfung kann durch den Algorithmus fr Einmassenschwinger erhalten werden. Dabei wird fr unterschiedliche Zeitintervalle die Abnahme der Schwingungsantwort bewertet (Gegebenenfalls sollte das Signal mit einem Bandpassfilter bearbeitet werden; vor allem wenn Frequenzen dicht beieinander liegen oder ein Rauschen festzustellen ist). So kann die Dmpfung graphisch ber der Schwingungsamplitude aufgetragen werden, wobei als Amplitude der Mittelwert im Zeitintervall verwendet wird.

5.2.3 Messung der durch einen Fugnger verursachen Schwingungen

Die Brckenschwingung infolge eines Fugngers, der mit einer magebenden Schrittfrequenz die Brcke passiert, wird an den kritischen Stellen (s) gemessen. Wegen der Zuflligkeit der Brckenanregung sollten mehrere Messungen fr jede


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Kombination von Frequenz und Gangart durchgefhrt werden, z.B. 5 je Kombination.

5.2.4 Messung der durch Fugngergruppen verursachten Schwingungen

blicherweise betrgt bei Messungen mit Fugngergruppen die Gruppengre ca. 10 bis 20 Personen.

Bei den Messungen sollte so vorgegangen werden wie bei den Messungen von Einzelpersonen. D.h. 5 Messungen je Gangart/Frequenz (bei Brcken mit Lngsneigung sollten beim Abwrtsgehen gemessen werden), die Messfrequenz sollte 50 Hz-100 Hz betragen, das Gewicht der Gruppenmitglieder sollte notiert werden und der hchste gemessene Spitzenwert ist magebend.

5.2.5 Messung der durch Fugngerstrme verursachten Schwingungen

Keine weitere Hintergrundinformation zum Leitfaden.

5.3 Bestimmung der dynamischen Brckeneigenschaften

Die Bestimmung der modalen Eigenschaften, das sind Eigenfrequenzen, Schwingungsform und Dmpfung, kann durch Messungen unter Zwangserregung, Messung freier Schwingungen und die Messung ambienter Schwingungen erfolgen.

5.3.1 Untersuchungen unter Zwangserregung

5.3.1.1 Anregung durch Hammerschlag

Selbst weiche Hammerschlge verursachen einen kurz andauernden Impuls (z.B. 10 ms auf einer Betonoberflche), dessen Frequenzbereich bis 200 Hz liegen kann. Auch wenn analoge Filter bei der Datenerfassung oder Datenaufbereitung verwendet werden, kann eine spektrale Bewertung des Impulses nur erfolgen, wenn der Zeitschrieb entsprechend genau ist. Unter der Annahme, dass der Impuls durch eine halbe Sinuswelle beschrieben werden soll, sollten mindestens drei Punkte verwendet werden, um diese Welle mit einem Zeitschritt von 5 ms abzubilden. Daher sollte die Abtastfrequenz mindestens 200 Hz betragen, auch wenn die gesuchten Frequenzen im Bereich von 0,1 Hz bis 20 Hz liegen.

Ebenfalls ist zu beachten, dass im Falle des per Hand eingebrachten Impulses Unterschiede in der Signalqualitt auftreten knnen. Insbesondere ist darauf zu achten, dass doppelte Schlge vermieden werden, weil sie deutlich die Qualitt der Messung und die gemessenen Eigenfrequenzen beeinflussen.

Die Aufzeichnungsdauer sollte so festgelegt werden, dass die Schwingungen der vorhergegangenen Schlge mglichst vollstndig abgeklungen sind. In diesem Fall sind keine Zeitfensterfunktionen erforderlich, womit die Qualitt der Dmpfungsermittlung zunimmt. Zum Beispiel sind 20,48 s eine geeignete Zeitdauer, bei der bei einer Abtastrate von 20 Hz 4096 Werte anfallen. Dadurch wird eine Frequenzauflsung von 0,04 Hz erreicht. Schwingungsmoden mit sehr


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geringen Frequenzen knnen durch Hammerschlge also nicht zuverlssig identifiziert werden. Es ist anzumerken, dass auch lngere Aufzeichnungsdauern verwendet werden sollten, weil der letzte Teil des Signals Umgebungsrauschen enthalten kann, das kein korreliertes Signal liefert.

Sind Abtastrate und Aufzeichnungsdauer einmal festgelegt, dann kann die spektrale Systemantwort z.B. wie folgt bestimmt werden:

(i) Auswahl der Stelle in Brckenlngsrichtung, an der die Hammerschlge ausgefhrt werden sollen. Die Wahl dieser Stelle sollte anhand von im Voraus berechneten Schwingungsformen so erfolgen, dass mglichst wenige andere Schwingungsformen die Bewegungen an dieser Stelle beeinflussen. Je nach Lage der Schwingungsformen, die untersucht werden sollen, mssen mehrere Stellen festgelegt werden;

(ii) An jeder Schlagstelle Ri, und abhngig von der verfgbaren Anzahl von Beschleunigungsaufnehmern, werden successive Beschleunigungsaufnehmer angebracht. An jeder Messstelle, oder Gruppe von Messstellen, wird die Reaktion auf einem Hammerschlag an der Stelle Rj und das Signal am Hammer aufgezeichnet. Dabei sind die o.a. Regeln zur Signalerfassung zu beachten. In jeder Messkonfiguration wird 5 bis 10 mal gemessen;

(iii) Aus jedem Zeitsignal muss der Trend entfernt werden. Dann werden die Signale durch Berechnung des Autoleistungsspektrums in den

Spektralbereich berfhrt: )(~

fSii und )(~

fSjj . Daraufhin werden die

Kreuzleistungsspektren )(~

fSij fr die Reaktionen an der Stelle Ri, bei einer

Impulseintragung an der Stelle Rj berechnet. Die Datenstze (5 bis 10 wurden erfasst) der Auto- und Kreuzleistungsspektren werden anschlieend gemittelt: [ ])(~)( fSEfS jjjj = [ ])(~)( fSEfS ijij = Die Frequenz-Antwort Funktion )(fHij (base on estimate H2) wird mit

)(

)()(

fS

fSfH

ii

ijij = Eq. 5-2

Und die Kohrenz )(2 f mit

)()(

)()(

22

fSfS

fSf

jjii

ij= Eq. 5-3

Die Funktionen )(fHij geben die dynamischen Eigenschaften des

Tragwerks wider und stellen die Grundlage fr Systemidentifikations- Algorithmen (im Frequenzbereich) zu genauen Bestimmung von Eigenfrequenzen fk, Schwingungsformen k und der entsprechenden

Dmpfung k dar. Dagegen gibt )(2 f Aufschluss ber den


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Zusammenhang (Korrelation) von Eingabesignal (Impuls) und Systemantwort.

Unterstellt man ein viskoses Dmpfermodell und die Systemantwort liegt in Form von Beschleunigungen vor, dann besteht zwischen den spektralen Antworten ( )fHij und den modalen Eigenschaften der Mode k, ( )ki und ( )

kj an den Stellen Ri und Rj folgender Zusammenhang

( ) ( )f)f(i)f(f

f(f)H

kkk

kjkiij

222

2

+= Eq. 5-4

5.3.1.2 Breitband-Shaker

Eine Breitbandanregung kann durch hydraulische oder elektrodynamische Shaker andauernd oder vorbergehend erfolgen. Vorbergehende Signale wie zum Beispiel zufllige Impulsfolgen werden wie Schwingungen durch Hammerschlge behandelt. Bei andauernden Signalen ist das Auswerten mit Zeitfenstern fr jeden Kanal der Messungen erforderlich, um den Leakage-Effekt zu vermindern. Zustzlich ist es blich, dass sich die Zeitfenster berlappen, weil die Fensterfunktion Schwingungen an den Fensterrndern abmindern. Hufig werden dafr Hanningfenster mit einer berlappung von 50 % verwendet. Dadurch kann die Zeitdauer der Messung an der Erregerstelle und dann den Messstellen deutlich reduziert werden.

5.3.1.3 Sinusfrmige Shakeranregung

Die besten Messergebnisse werden durch die Schwingungsanregung mit Shakern erzielt, die eine harmonische Sinusschwingung in das Tragwerk einbringen. Voraussetzung ist allerdings, dass der Shaker ausreichende Kraft besitzt. Diese Voraussetzung ist bei geringen Frequenzen oft nicht erfllt, auch wenn Fugngerbrcken relativ weich sind.

Fr die Bestimmung der Frequenz-Antwortfunktionen und fr die Identifizierung von Schwingungsmoden und Dmpfungseigenschaften sind Vorabmessung der ambienten Schwingungen erforderlich, die Nherungen fr die Eigenfrequenzen liefern. Sobald der Bereich, in dem die Eigenfrequenzen liegen, bekannt ist, knnen die Schwingungsmessungen ausgefhrt werden. Eine Schwingungsmessung besteht aus der Messung mehrerer Einzelfrequenzen, wobei die Frequenz-Antwortfunktion Punkt fr Punkt angefahren wird. Jeder Punkt gehrt zum einem Frequenzpaar bestehend aus Erregerfrequenz und dem Frequenzgehalt an den Messstellen. Folgendes sollte beachtet werden:

(i) Obwohl es wnschenswert ist, die eingebrachte Erregerkraft zu messen, ist dies insbesondere bei Shakern mit Exzentermassen oft nicht mglich. Jedoch kann die eingebrachte Kraft bei diesen Shakern nherungsweise bestimmt werden;

(ii) Die genaue Bestimmung der Eigenfrequenz einer Konstruktion erfolgt durch eine sinusfrmige Anregung und der Aufzeichnung der Systemantwort einer Stellen, an der mit einem deutlichen Schwingungsausschlag zu rechnen ist. Fr jede Erregerfrequenz kann die


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Schwingung an einer bestimmten Stelle ein kurzer Abschnitt des gesamten Messsignals, z.B. 512 Wertepaare, ausgewertet werden. Unter der Annahme, dass es sich bei dem Erregersignal um ein genaues Sinussignal handelt, knnen Amplitude und Phase der Schwingung durch eine Anpassung des Signals mit einem Einmassenschwingersignal ein Zeitbereich bestimmt werden. Der Punkt der Frequenz-Antwortfunktion wird durch das Verhltnis zur Erregeramplitude (gemessen oder berechnet) bestimmt;

(iii) Obwohl nur sehr kurze Messdauern bentigt werden, ist es erforderlich, dass der Shaker vor der Messung in jeder Frequenz mindestens eine Minute die Brcke anregt. So wird eine stabile Brckenschwingung erreicht;

(iv) Wenn die Eigenfrequenz bekannt ist, dann wird der Shaker auf diese Frequenz eingestellt und ein oder mehrere Beschleunigungsaufnehmer werden nacheinander an jeder Messstelle angebracht und die Signale ber eine kurze Zeitdauer aufgezeichnet. Falls am Shaker kein Kraftaufnehmer existiert, dann sollte in der Nhe des Shakers ein Beschleunigungsaufnehmer platziert werden, der ber die gesamte Dauer der Messung dort verbleibt. So werden gleichzeitig zwei Signale auf gezeichnet, die zur Auswertung der relativen Phase und Amplituden an der Messstelle dienen. Die entsprechenden Amplituden und Phasen-Verhltnisse ergeben die Anteile der Schwingungen am Messpunkt;

(v) Die hchste Qualitt bei der Bestimmung der Dmpfung wird unter sinusfrmiger Anregung erreicht. Dafr wird die Anregung pltzlich abgebrochen und das Ausschwingen des Systems gemessen. Wenn keine dicht benachbarten Moden vorliegen, ist es ausreichend, Verfahren wie beim Einmassenschwingen zur Auswertung der Dmpfung zu verwenden. Da die Dmpfung amplitudenabhngig ist, sollte sie in Ausschnitten wie in Abschnitt 5.2.2 beschrieben ausgewertet werden.

5.3.2 Messung der Grundschwingungen

Die Messung der Grundschwingungen (ambient vibrations) erfolgt in der Annahme, dass die Grundschwingung als weies Rauschen idealisiert werden kann und in der relevanten Frequenzbandbreite stattfindet. Das bedeutet, dass in dem betrachteten Frequenzband alle Schwingungen mit einer konstanten Amplitude und Phase angeregt werden. Bei den aufgezeichneten Schwingungen handelt es sich damit um Hilfsgren. Werden aus diesen Messungen auf der Grundlage der Ergebnisse an mehreren Messstellen Frequenz-Auswertfunktionen bestimmt und daraus Schwingungsformen abgeleitet, dann handelt es sich dabei um Hilfsgren und nicht um die echten Moden. In dem Fall, dass die Eigenfrequenzen nicht zu dicht beieinander liegen und nur geringe Dmpfung besteht, stimmen die Hilfsgren gut mit den echten modalen Schwingungsformen berein. Liegen jedoch Eigenfrequenzen dicht zusammen, dann treten modale berlagerungen auf, die nicht ignoriert werden knnen, und die als Hilfsgre ermittelte Schwingungsform kann irrefhrend sein. Dennoch gibt es Verfahren, einzelne Schwingungsformen zu isolieren. So knnen die Messaufnehmer z.B. so platziert werden, dass sie Biegung und Torsion getrennt messen. Es besteht auch die Mglichkeit der Durchfhrung, einer entsprechenden Signalverarbeitung, z.B. durch das Verfahren der Bestimmung


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des stochastischen Unterraumes. Dieses Verfahren kann direkt auf den Beschleunigungs-Zeitschrieb oder der entsprechenden Kovarianzmatrizen angewendet werden [33] und wird z.B. in Mathlab (Macec) [37] angeboten. Auch andere kommerzielle Programme bieten das Verfahren und weitere wie die modale Zerlegung und das Polymax-Verfahren an, z.B. (Artemis) [38].

Auch wenn die Dmpfung durch sehr leistungsfhige Verfahren berechnet wird, ist die Genauigkeit begrenzt und die Ergebnisse sollten mit entsprechender Umsicht betrachtet werden. Es bleibt festzuhalten, dass es heute nicht nur Messaufnehmer gibt, die sehr kleine Schwingungen messen knnen, sondern fr die Auswertung der Messdaten knnen sehr leistungsstarke Verfahren ([33], [34], [35]) verwendet werden.

Fr die bliche Bestimmung der o.a. Hilfsfunktion der Schwingungsform mssen Frequenz-Antwortfunktionen aufgestellt werden. Die Vorgehensweise dazu wird in Abschnitt 5.3.1.2 beschrieben.

5.3.3 Messung freier Schwingungen

Das Zupfen an einem gespannten Seil kann wie die Eintragung eines Impulses betrachtet werden. Daher kann die Auswertung der Schwingung wie in Abschnitt 5.3.1.1 beschrieben unter der Annahme eines konstanten Frequenzspektrums fr das Erregersignal vorgenommen werden. Ebenfalls ist es mglich, dass vom Erregersignal unabhngige Verfahren aus Abschnitt 5.3.2 zu verwenden. Auf jeden Fall knnen genauere Ergebnisse erzielt werden, als bei der Messung der Grundschwingungen.

5.4 Messgerte

5.4.1 Messaufnehmer

Allgemein werden die Akzeptanzgrenzen fr den Komfort von Fugngern durch Beschleunigungen definiert.

Fr die Messung von Bauwerken gibt es drei Gruppen von Beschleunigungsaufnehmern:

1. Piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer;

2. Piezoresistive und Kapazitive Beschleunigungssaufnehmer;

3. Force-balance Beschleunigungsaufnehmer (Servo-Beschleunigungssensor).

Im Vergleich zu den anderen Aufnehmertypen haben die piezoelektrischen Beschleunigungsaufnehmer einige Vorteile. Sie brauchen zum Beispiel keine externe Stromversorgung, sie sind ber lange Zeit robust und stabil, sie sind relativ unempfindlich gegenber Temperaturschwankungen und sie besitzen eine groe Linearitt ber einen weiten Frequenzbereich. Sie besitzen allerdings einen Ernst zu nehmenden Nachteil bei sehr weichen Konstruktionen, der in der Messung im niedrigen Frequenzbereich liegt. Viele piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer liefern nur im Frequenzbereich ber 1 Hz lineare Signale. Es gibt aber auch Hersteller, die Beschleunigungsaufnehmer fr sehr geringe Frequenzen anbieten.

Die piezoresistiven und kapazitiven, sowie die force-balanced Beschleunigungsaufnehmer sind passive Messaufnehmer, die eine externe


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Stromversorgung bentigen, z.B. eine 5 15 V Gleichspannungsquelle. Sie arbeiten im niedrigen Frequenzbereich von 0 bis 50 Hz 100 Hz und sind daher fr die meisten Messungen an Bauwerken geeignet.

5.4.2 Gerte zur Schwingunganregung

5.4.2.1 Gerte zur Zwangserregung

Der Hammer ist das bekannteste und einfachste Gert, um kontrollierte Schwingungen in eine Struktur oder ein Bauteil einzubringen. Im Bauwesen kann dieses Verfahren ebenfalls verwendet werden, wenn der Hammer bestimmte Eigenschaften aufweist. In Bild 5-1 ist zum Beispiel ein im Handel erhltlicher Hammer dargestellt, der etwa 55 N wiegt und dessen Kopf einen piezoelektrischen Beschleunigungsaufnehmer mit einer Empfindlichkeit von 1 V/230 N, die maximale Kraft ist 22,0 kN besitzt. Der Frequenzbereich liegt bei 0 bis 500 Hz. Da Fugngerbrcken in der Regel weich und schmal sind, erfllt der Hammer hier die Voraussetzungen fr die Anwendung. Es ist jedoch anzumerken, dass der Energieeintrag im unteren Frequenzbereich sehr klein ist, so dass diese unter Umstnden in nicht messbarer Gre angeregt werden.

Bild 5-1: Hammer zur Schwingungsanregung im Bauwesen

Vibratoren fr die Schwingungsanregung im Bauwesen werden in drei Bauweisen angeboten: elektromagnetische, hydraulische und mechanische. Der in Bild 5-2 dargestellte Vibrator ist ein auf dem Markt erhltliches Gerte, das etwa 800 N wiegt, einen Arbeitsbereich von 0 - 200 Hz besitzt und maximal eine Kraft von 445 N bei Frequenzen ber 0,1 Hz einbringt. Das Gert kann fr horizontale und vertikale Schwingungsanregung verwendet werden und wird durch einen einzelnen Generator angetrieben, der die Schwingung erzeugt. In der Regel sind die erzeugten Schwingungssignale sinusfrmig oder auch zufllig. Die bei der Schwingungsanregung eingebrachten Lasten knnen durch Kraftzellen zwischen Schwingungsanreger und Tragwerk gemessen werden. Wegen der begrenzten Last, die elektro-dynamische Shaker einbringen knnen, ist nur durch die Anregung kleiner oder mittelgroer Tragwerke mglich. Im Gegensatz dazu knnen hydraulisch oder mechanisch betriebene Shaker auch groe Tragwerke in Schwingung versetzen. Mechanische Shaker besitzen exzentrisch angebrachte Massen, durch die eine Sinusfrmige Anregung in unterschiedlichen Frequenzbereichen erzeugt wird. Wegen des umfangreichen Versuchsaufbaus werden diese Shaker zur Zeit nur selten verwendet.


31

Bild 5-2: Elektromagnetischer Shaker fr die Anwendung im Bauwesen, hier fr vertikale Schwingen eingerichtet

5.4.2.2 Messung der Belastung durch Fugnger

In Arbeiten von Fujino [36] wird gezeigt, wie Bewegungsverhalten von Fugngern anhand der Bewegung ihres Kopfes und ihrer Schultern durch Videoaufnahme und Bildbearbeitung gemessen werden kann.

6 Kontrolle von Schwingungen

6.1 Einfhrung

Die Schwingungen von Fugngerbrcken knnen durch Vernderung der Brckenmasse, der Eigenfrequenz oder der Dmpfung beeinflusst werden. Bei bestehenden Brcken besteht der einfachste Weg, das Schwingungsverhalten zu beeinflussen, darin, die Dmpfung zu erhhen. Das kann durch den Einbau von Dmpferelementen oder auch durch die Aktivierung von Teilen der Brckenausstattung z.B. des Gebudes oder des Brckendecks erfolgen.

6.2 Vernderung der Masse

Keine weiteren Hintergrundinformationen zum Leitfaden.

6.3 Verndern Eigenfrequenz

Mglichkeiten, die Eigenfrequenz zur verndern, bestehen zum Beispiel darin, das Brckendeck nicht aus einzelnen Betonfertigteilplatten sondern aus einer durchgehenden Ortbetonplatte zu errichten. Auerdem kann das Brckengelnder so geplant werden, dass es als Tragelement mitwirkt.

Gegebenenfalls sind auch weiterreichende Manahmen wie zum Beispiel der Einsatz einer Konstruktion mit Tragseilen mglich. Bei vertikalen Schwingungen kann die Bauhhe des Brckentrgers oder Fachwerks erhht oder die Flche des Unterflansches vergrert werden. Bei seitlichen Schwingungen ist die Verbreiterung des Brckendecks hufig die effizienteste Lsung. Bei


32

Seilkonstruktionen kann die seitliche Anordnung der Seilfupunkte ebenfalls die Seitensteifigkeit erhhen. Das Schwingungsverhalten von Schrgseilbrcken kann durch den Einsatz eines zentralen A-Pylons gegenber der Verwendung zweier unabhngiger Pylone positiv beeinflusst werden.

6.4 Vernderung der Dmpfung

6.4.1 Einfhrung


6.4.2 Einfache Manahmen


6.4.3 Zustzliche Dmfungselemente

Als zustzliche Dmpferelemente gibt es Viskose Dmpfer, Massedmpfer (TMD), Pendeldmpfer, Flssigkeitssulendmpfer (TLCD) und Flssigkeitsdmpfer (TLD). Am hufigsten werden Viskose und Massedmpfer verwendet.

In Tabelle 6-1 werden einige Brcken systematisch mit ihren Eigenschaften den eingebauten Dmpfertypen und die Wirkung der Dmpfer auf das Gesamtschwingungsverhalten aufgelistet.

Tabelle 6-1: Fugngerbrcken, in die Dmpfer installiert wurden

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[16]

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34

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[17]

6.4.3.1 Viskose Dmpfer

Die Kraftbertragung eines viskosen Dmpfers wird allgemein beschrieben durch CVFdamper = Eq. 6-1

Dabei ist:

C = die Dmpferkonstante (N.sec/m)

V = die Geschwindigkeit (m/sec)

= der Geschwindigkeitsexponent (0,3 1,0)

Der Einbau eines solchen Dmpfers in ein Tragwerk hat zur Folge, dass bei der Berechnung die Dmpfungsmatrix nicht mehr proportional zu Massen- und Steifigkeitsmatrix ist. Der Dmpfer kann rechnerisch dadurch bercksichtigt werden, dass die entsprechenden Dmpferkonstanten in die proportionale Dmpfungsmatrix entsprechend der Freiheitsgrade, die sie beeinflussen, addiert werden. Ein besonderer Vorteil viskoser Dmpfer besteht in der Mglichkeit, gleichzeitig mehrere Schwingungsformen zu beeinflussen. Bei Brcken mit Deckkrmmung im Grundriss, die mehr als eine magebliche Verschiebungsrichtung aufweisen, kann die Installation eines Dmpfers zum Beispiel im Lagerbereich einige Schwingungsmoden mit entsprechenden Richtungsanteilen gut dmpfen. Allerdings ist der viskose Dmpfer im Vergleich zu anderen Dmpfertypen nicht immer die beste Lsung. Der Grund liegt darin, dass viskose Dmpfer auf die Relativverschiebung der beiden Befestigungspunkte reagiert. Wenn die zur Verfgung stehenden Befestigungspunkte fr einen Dmpfer nur geringe Relativverschiebungen zueinander aufweisen, dann sind viskose Dmpfer ungeeignet und es sollten TMDs oder TLSs in Erwgung gezogen werden. Bild 6-1 zeigt eine Anwendung von viskosen Dmpfern, die zwischen Brckendeck und Pylon installiert wurden.


36

Bild 6-1: Viskose Dmpfer an einer Fugngerbrcke in Minden (Deutschland)

6.4.3.2 Massedmpfer (TMD)

Massedmpfer (englisch: Tuned mass dampers (TMDs) werden blicherweise so eingestellt, dass beide gedmpften Systeme als Spitzenwert die gleiche dynamische Verschiebung besitzen. Fr diese Dmpfer wurden auf Grundlage der dynamischen Bewegungsgleichungen Bemessungskurven abgeleitet, die in der Literatur zu finden sind [18], [23].

- Masseverhltnis

q Frequenzverhltnis

TMD Dmpfungsverhltnis

Tragwerksdmpfung

Bild 6-2: Bemessungskurven fr TMDs

Die Bemessung erfolgt in folgenden Schritten:

1. Wahl der Masse md des TMD. Sie wird anhand des Verhltnisses zur modalen Masse ms des Tragwerks festgelegt (=md/ms). bliche Werte fr das Massenverhltnis liegen im Bereich von 0,01 to 0,05.

2. Berechnung des optimalen Frequenzverhltnisses zwischen der Eigenfrequenz des TMD , fd, und Tragwerkseigenfrequenz fs (=fd/fs) [18].

( )opt += 1 1 Eq. 6-2


37

3. Berechnung des optimalen TMD Dmpfungsgrades opt [18]

( )3183

opt += Eq. 6-3

4. Berechnung der TMD-Konstanten:

Federkonstante: ( ) ddd mfk 22= Eq. 6-4 Dmpferkonstante: ( ) optddd fmc 22= Eq. 6-5

Die Leistungsfhigkeit eines TMD wird durch Verstimmungen sehr stark herabgesetzt. Durch Fugngerlasten oder Vernderungen am Brckenbauwerk knnen bereits kleine Verstimmungen auftreten. Daher sollte die Wirkung eines TMD fr einen Frequenzbereich bestimmt werden.

6.4.3.3 Pendeldmpfer

Unter Vernachlssigung der Rotationstrgheit der Pendelmasse kann die kann die Pendeleigenfrequenz wie folgt berechnet werden:

1. Whlen eines Massenverhltnisses =md/ms;

2. Berechnen des Parameters Lm

Ir

d

dd = , dabei ist Id das Massentrgheitsmoment

um den Aufhngepunkt, md ist die Masse des Dmpfers und L ist die Lnge vom Aufhngepunk zum Schwerpunkt der Masse. Wenn die Masse als Punktmasse angesetzt wird, dann ist rd=1.

3. Berechnung des optimalen Frequenzverhltnisses unter Bercksichtigung eines Rauschens der Erregerkraft [24]

r

dopt +

+

=1

21

11

Eq. 6-6

4. Berechnung des optimalen Dmpfungsgrades [24]

( ) ( )12214244

11

2

2

++

+=ddd

dopt

rrr

r

Eq. 6-7

5. Berechnung der Pendellnge ( )22 dfg

L = , wobei g die Erdbeschleunigung bezeichnet und optstructured ff = ist.

6.4.3.4 Flssigkeitssulendmpfer (TLCD)

Die Abstimmung eines Flssigkeitssulendmpfers (englisch: Tuned liquid column damper TLCD) basiert auf Analogien zu den Parametern eines entsprechenden TMD. Auf dieser Grundlage entwickelte Hochrainer [25] optimierte Auslegungsparameter fr TLCDs.


38

Das Verhltnis der Wassermasse zu Tragwerksmasse sollte im gleichen Grenbereich wie bei TMDs liegen, also im Bereich 0,01 to 0,05 [25].

Der Bemessungsablauf wird hier fr einen Flssigkeitssulendmpfer mit vertikalen Sulen (=/2) und konstanten Querschnitt (Ah = Ab) vorgestellt:

1. Berechne das TMD-quivalente FLssigkeitsmassenverhltnis:

( )122* += Eq. 6-8 Dabei ist zuvor gewhlte TMD-Massenverhltnis und ist ein Geometrie-Koeffizient:

effLHB cos2+= Eq. 6-9

mit

BAA

HLB

Heff += 2 Eq. 6-10

Der fr muss festgelegt werden, wobei er so hoch wie mglich gewhlt werden sollte. Er sollte aber noch unter 0,8 liegen [26], um nichtlineares Verhalten zu verhindern.

2. Berechne das Optimum TLCD Frequenzverhltnis:

( )2** 11 optopt += Eq. 6-11 Wobei opt das zuvor berechnete TMD-Frequenzverhltnis ist.

3. Die Werte H und B werden mit den folgenden Gleichungen bestimmt:

( )( )( )

+=

=

BAA

HB

H

H

gB

B

H

structureopt

22cos2

)cos(2sin2

2*

Eq. 6-12

B ergibt sich direkt aus der ersten Gleichung = / 2 ist. Ebenfalls kann H direkt aus der zweiten Gleichung ermittelt werden (Ah / Ab = 1 und cos() = 0).

4. Berechnen der Querschnittsflchen Ah und Ab ber die Masseerhaltung:

( ) *2 MHABA structliquidhb =+ Eq. 6-13 Ah = Ab = ( ) liquidstructHB

M2

*

+ Eq. 6-14

Die optimale Dmpfung eines TLCD sollte genau so gro sein, wie die des quivalenten TMD. Ein TLCD besitzt durch Turbulenzen bei der Flssigkeitsstrmung eine innere Dmpfung. Durch den Einbau von Ventilen oder Dsen in der horizontalen Rhre kann die Leistungsfhigkeit weiter gesteigert werden. Allerdings liegt keine Literatur mit Angabe der Wirkung dieser Einbauten vor, so dass die Wirkung immer an Prototypen bestimmt werden muss.


39

6.4.3.5 Flssigkeitsdmpfer

Diverse Vorteile wie geringe Kosten, die geringe Verzgerung, das einfache Einstellen der Eigenfrequenz und die einfache Installation an bestehenden Bauwerken [27] haben zu einem gestiegenen Interesse an diesen Dmpfern gefhrt.

Die Frequenz eines Flssigkeitsdmpfer (englisch: Tuned Liquid Damper TLD) kann nach [26] der linearen Theorie von Lamb berechnet werden mit:

=Lhtanh

Lg

0lind, Eq. 6-15

Einen Vorschlag der TLD-Auslegung unter Verwendung einer Analogie zu TMD ber experimentelle Vergleiche mit Prototyptanks kommt von Sun et al. [28]. Ebenfalls fhrten Experimente von Yu et al. [29] zu einem nichtlinearen quivalenten TMD, wobei verschiedene Lastbedingungen bercksichtigt werden. In dieser Formulierung wird der Versteifungseffekt bei groen Bewegungen mit bercksichtigt.

Im nicht linearen Steifigkeits- und Dmpfermodell (NDS) wird angenommen, dass unabhngig von der Amplitude der Anregung 100 % der Dmpferflssigkeit aktiviert wird.

Die Auslegung von TLDs kann durch das folgende Verfahren, das durch empirische Anpassung von experimentellen Ergebnissen entwickelt wurde, durchgefhrt werden, wobei die Nichtlinearitt mit bercksichtigt wird:

1. Grundlage ist der Mittelwert oder der hufige Wert der Amplitude der Brckenverschiebung Xs (bestimmt unter Bercksichtigung des eingebauten Dmpfers)

2. Bestimmung des dimensionslosen Erregerparameters =Xs/L, wobei L die Lnge des Tanks in Schwingungsrichtung bezeichnet.

3. Berechnung des Dmpfungsgrades 35,05,0 = 4. Berechnung des Frequenzverhltnisses zwischen der nichtlinearen und der

linearen TLD-Frequenz nach der TLD-Lamb-Gleichung:

hung)Wellenbrec (harte0,03 for,hung)Wellenbrec (weiche0,03 for,

,

,

>==

1250

00340

5910381

5. Berechnung der Fllhhe, wobei der Versteifungsparameter bercksichtigt wird. Dabei wird angenommen, dass die beste Abstimmung erreicht wird, wenn die TLD-Frequenz mit der Tragwerksfrequenz (fs) bereinstimmt:

= 2

2s1

0 gLf4tanh

Lh Eq. 6-16

g Erdbeschleunigung (9,81 m/s2)

6. Whlen der Tankbreite oder Tankanzahl entsprechend des erforderlichen Massenverhltnisses fr die Strukturdmpfung. Das Massenverhltnis des Wassers sollte im gleichen Bereich liegen wie bei TMDs, also 0,01 bis 0,05.

Fr numerische Berechnungen kann ein quivalentes TMD verwendet werden. Wenn die Amplituden des Brckendecks sehr klein sind (unter 1 cm), dann darf


40

die aktive Masse, md zu etwa 80% der Flssigkeitsmasse angenommen werden [28]. Die Steifigkeit kd wird mit der Gleichung kd = (d,lin)2md bestimmt. Der Dmpfungsgrad ist der des TLDs.

7 Berechnungsbeispiele

7.1 Einfeldtrger

Die Berechnung des wiederkehrenden Gebrauchszustandes wird an einer Fugngerbrcke mit einer Spannweite von 50 m vorgestellt.

Die Brcke besitzt die folgenden Eigenschaften:

Breite des Brckendecks b = 3 m Spannweite L = 50 m Masse m = 2,5103 kg/m Steifigkeit EIvert = 2,05107 kNm2 EIlat = 2,53105 kNm2 Dmpfungsgrad = 1,5 %

Tragsystem

Der Brckenbetreiber wnscht mittleren Schwingungskomfor

Footbridge Background DE03

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