FOURIER-Transformation ein hilfreiches Werkzeug in der digitalen Messtechnik Zeit- und Frequenzraum...

FOURIER-FOURIER-TransformationTransformationein hilfreiches Werkzeugein hilfreiches Werkzeug

in der digitalen Messtechnikin der digitalen MesstechnikZeit- und Frequenzraum

mathematische Grundlagen

Anwendungsbeispiele

Beitrag zur Lehrveranstaltung 856-150

„PCs zur Messwerterfassung und Messdatenverarbeitung“24. November 2000, J. Theiner

J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

2

EinführungEinführung Charakterisierung periodischer Signale

Periodisches Signal: Sinus/Cosinus-Funktion = harmonische Welle

Periodendauer

Am

plitude

BIA

S


3

Periodenlänge

Io

Uo

Io

0

00 I

UZ


4

EinführungEinführung Darstellung von Wechselstromgrößen

AC = ao.cos(.t + ) AC = ao. ei (.t + )

t

t

Realteil

Imag

inär

tei

l


5

EinführungEinführung Wie kommt man vom Zeigerdiagramm zur Winkelfunktion?


6

WechselströmeWechselströme Strom und Spannung im Wechselstromkreis

AC-Schaltkreis

AV t

Periodenlänge

Am

plituden-verhältnis

Periodenlänge


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Wechselströme Wechselströme der Wechselstromwiderstand - die Impedanz

In Wechselstromkreisen gilt für die Beziehung von Spannung UAC und Strom IAC das Ohm‘sche Gesetz, wobei der Widerstand durch eine frequenzabhängige Größe, die Impedanz ZAC, dargestellt wird.

ACACAC IZU ACACAC IZU

Die Impedanz Z bestimmt das Amplitudenverhältnis von Strom und Spannung in einem Messkreis.

Die Impedanz Z bewirkt meist auch eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.

In der Wechselstromtechnik wird der Leitwert Y, der „Kehrwert“ der Impedanz, fast ebenso häufig verwendet, um die Eigenschaften von Systemen zu beschreiben.


8

Wechselströme Wechselströme komplexe Darstellung von AC-Größen

Durch die Darstellung von periodische Signalen UAC und IAC im Frequenzraum können viele Beziehungen vereinfacht modelliert werden.

Besonders lassen sich die Impedanz und der Leitwert eines Messkreises durch komplexe Frequenzfunktionen Z() oder Y() beschreiben.

In dieser Darstellung zeigt der Realteil den physikalisch messbaren Anteil des Signals zu jeder Zeit t, der Imaginärteil (Blindanteil) hat physikalisch keine Bedeutung.

IU

I

U

AC

ACAC

jI

U

tj

tj

I

U

I

UZ

exp

exp

exp

0

0

0

0

IU

I

U

AC

ACAC

jI

U

tj

tj

I

U

I

UZ

exp

exp

exp

0

0

0

0

UU

UAC

tjtU

tjUU

sincos

exp

0

0 UU

UAC

tjtU

tjUU

sincos

exp

0

0

II

IAC

tjtI

tjII

sincos

exp

0

0 II

IAC

tjtI

tjII

sincos

exp

0

0

ACACAC IZU ACACAC IZU


9

FrequenzdarstellungFrequenzdarstellung Zeit Frequenz

Periodische Signale können innerhalb ihrer Periodendauer t einen beliebigen Verlauf x(t) haben. Es muss aber immer gelten x(t) = x(t + i.t).

Grundsätzlich lässt sich diese Betrachtung auch auf ein unendlich langes Zeitintervall t erweitern.

Jede periodische Funktion lässt sich auch durch ein FrequenzspektrumFrequenzspektrum gleichwertig und vollständig darstellen.

Theoretisch lässt sich ein Frequenzspektrum durch einen Funktionensatz fi(t) (i=0..n, n ) erhalten, die dem Sturm-Liouville-Theorem genügen.

Aufgrund der besonderen mathematisch-physikalischen Bedeutung betrachten wir immer die Spektren der harmonischen Funktionen SinusSinus und CosinusCosinus, die gemeinsam einen vollständigen, orthogonalen Funktionensatz bilden:

titfi 0cos)( titfi 0cos)( titgi 0sin)( titgi 0sin)(


10

Frequenzdarstellung Frequenzdarstellung x(t) y(f) - die Fourier-Transformation

In einer endlichen Periode t, in der n Messwerte in Intervallen aufgezeichnet sind, kann dieses Signal durch eine Fourier-Reihe der folgenden Form exakt dargestellt werden.

n

iii tibtiatx

000 sincos)(

n

iii tibtiatx

000 sincos)(

ai und bi sind die sogenannten Fourier-Koeffizienten, die sich als Frequenz-

spektrum interpretieren lassen.

Betrachtet man eine einzelne Wechselstromgröße, so ist die Phasenlage im Frequenzraum meist unbedeutend.

Betrachtet man das Verhältnis zweier oder mehrerer AC-Größen, so bekommt die relative Phasenlage Bedeutung.


11

Frequenzdarstellung Frequenzdarstellung x(t) y(f) - die Fourier-Transformation

Zeit Frequenz

Signalverlauf SignalspektrumFT oder FFT


12

Frequenzdarstellung Frequenzdarstellung Darstellung von Impedanzspektren

Da Impedanzen als komplexe Funktionen zwei Funktionswerte für jede Frequenz haben, kann der Funktionsverlauf nicht vollständig in einem x/y-Diagramm erfasst werden.

Spektrale Darstellungen werden im allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse aufgetragen.

Die Darstellung von zwei Amplitudenspektren, die den Real- und den Imaginärteil der Impedanz abbilden, wird eher selten genutzt.

Große Bedeutung hat die Darstellung im sogenannten BODE-Diagramm, einer Kombination des Spektrums der Magnitude und des Phasenwinkels über einer logarithmischen Frequenzachse.

Am häufigsten wird das NYQUIST-Diagramm (Ortskurve) gezeigt. Dabei ist die Spur der Impedanzfunktion in der komplexen Zahlenebene abgebildet, die meist durch Frequenzangaben zu einzelnen Messpunkten ergänzt wird.

Für spezielle Auswertungen sind noch andere graphische Darstellungen gebräuchlich.


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ImpedanzverhaltenImpedanzverhalten einfache elektronische Bauelemente

Ohm‘scher Widerstand: ein Widerstand R hat nur einen Realteil und führt zu keiner Phasenverschiebung.

serser

iiser

ZY

ZZ

1

serser

iiser

ZY

ZZ

1

iipar

parpar

YY

YZ

1

iipar

parpar

YY

YZ

1

Kondensator: Eine Kapazität C hat als Impedanz keinen Realteil.

Für die Kombination von Impedanzen und Leitwerten gelten dieselben Gesetze wie für Widerstände im Gleichstromkreis.

Mehrere Baugruppen mit Einzelimpedanzen Zi in Serienschaltung summieren sich zu einer Gesamtimpedanz Z.

Mehrere Elemente mit Leitwerten Yi in Parallelschaltung summieren sich zu einem Gesamtadmittanz Y.

RZR RZR

C

jZC

C

jZC


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Impedanzverhalten Impedanzverhalten ... und daraus aufgebauter Schaltgruppen

Serienschaltung von R und C

Bei niedrigen Frequenzen geht der Betrag der Impedanz gegen unendlich.

Für hohe Frequenzen geht der Beitrag der Kapazität gegen Null. Die Impedanz nähert sich dem Verhalten eines Ohm‘schen Widerstandes.

Diese Schaltung eignet sich als Ersatzschaltbild für die Anordnung bei einer Leitfähigkeitsmessung. R stellt dabei den Elektrolytwiderstand dar.

Die dabei eingesetzten Frequenzen sind so zu wählen, dass der Betrag 1/.C gegenüber der Messgröße R vernachlässigbar ist

typische Messfrequenzen: 1 bis 10 kHz

222 1

CRZ

C

jRZ

222 1

CRZ

C

jRZ

Realteil von Z

-Imaginärteil von Z


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Impedanzverhalten Impedanzverhalten ... und daraus aufgebauter Schaltgruppen

Parallelschaltung von R und C

Das Frequenzverhalten der Parallelschaltung ist deutlich komplizierter.

CRj

R

CjR

Z

CjR

YYY

par

CRpar

1

11

1

CRj

R

CjR

Z

CjR

YYY

par

CRpar

1

11

1

21

1

CR

CRjRZ

21

1

CR

CRjRZ

2Re1 CR

RZ

2Re1 CR

RZ

2

2

Im1 CR

CRZ

2

2

Im1 CR

CRZ

21 CR

RZ

21 CR

RZ

CRZ arctan CRZ arctan


16


17

Uo

Io

00

sinU

U

I

I BB 0

00 I

UZ

UB

IB


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MesstechnikMesstechnik

• direkte Aufzeichnung von U vs. t und I vs. t oder

• Auswertung der LISSAJOU-Darstellungen

vor allem für niedrige Frequenzen bis zu einigen Hz, mit Oszilloskop oder

schneller Messwerterfassung auch für höhere Frequenzen möglich

• Widerstandsmessbrücken

• Phasensensitive Detektoren (Lockin-Amplifier)

• Digitale Messanlagen auf Basis von FOURIER-Transformations-Methoden

• Zweielektrodentechnikwird gern verwendet, um Beiträge und Störungen durch elektronische Schaltungzu vermeiden.

• Dreielektrodentechnikmit schnellen und phasentreuen Potentiostaten


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Messtechnischer AnsatzMesstechnischer Ansatz

SollsignalUsoll oder Isoll

SollsignalUsoll oder Isoll

SystemantwortIAC oder UAC

SystemantwortIAC oder UAC

Messzelle/PotentiostatMesszelle/Potentiostat

Ermittlungder Impedanz oder

des Leitwertes

Ermittlungder Impedanz oder

des Leitwertesanaloge Schaltung digitale Verarbeitung


20

Störfrequenz ca. 1/10 der Signalfrequenz und 1/5 der Amplitude

(ein ähnliches Bild ergibt sich auch für eine DC-Drift)


21

Störfrequenz ca. 10-fache Signalfrequenz und 1/10 der Amplitude


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Störsignale in Form von „weißem Rauschen“

ca. 2 % der Spannungsamplitude,ca. 20 % der Stromamplitude


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doppelt logarithmisches FFT-Spektren des Stromsignales mitniedriger Störfrequenz, höherer Störfrequenz und weißem Rauschen


24

komplexe Funktionensätzekomplexe Funktionensätze

fff IZU fff IZU ffABf AHB , ffABf AHB ,

fIfZfU

fIfZfU MagMagMag

,,,

,,,

fIfZfU

fIfZfU MagMagMag

,,,

,,,

fAfHfB

fAfHfB MagMagMag

,,,

,,,

fAfHfB

fAfHfB MagMagMag

,,,

,,,

fff FjFF )Im()Re( fff FjFF )Im()Re(

Eine Beziehung zwischen komplexen Funktionen A und B kann durch eine sogenannte Transferfunktio HAB beschrieben werden.

Die Transferfunktion ist mathematisch identisch mit der Impedanz oder dem Leitwert.Die Ergebnisse der FOURIER-Transformation können daher direkt in Form der Transferfunktion zur Darstellung der Impedanz herangezogen werden.


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Häufige Darstellungen in der MesstechnikHäufige Darstellungen in der Messtechnik

0

lg10][N

NdBN

0

lg10][N

NdBN

][lg20lg10][

)(

!2

0

22

VUU

UdBN

UZ

UUN

][lg20lg10][

)(

!2

0

22

VUU

UdBN

UZ

UUN

In der Akustik und Wechselstrommesstechnik sind logarithmische Darstellungen weit verbreitet.Für die Frequenzachse wird der Begriff Oktave für die Verdoppelung der Frequenz verwendet (wie auch im Sprachgebrauch der Musik).Die Amplitudenachse (Magnitude, Real- oder Imaginärteil oder einer AC-Größe) wird eine Angabe in dB (Dezibel) verwendet.Dezibel skaliert das Verhältnis einer Leistung in Relation zu einem Bezugszustand.

2

2

IZ

Z

U

IUN

2

2

IZ

Z

U

IUN

OHM´sches Gesetz: ][][][ dBIdBUdBZ ][][][ dBIdBUdBZ


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Messung ganzer SpektrenMessung ganzer Spektren

Mit Hilfe der FOURIER-Transformation (im Allgemeinen FFT) können ganze Impedanzspektren innerhalb eines Messzyklus erfasst werden.

Voraussetzung ist ein Funktionsgeneratorsignal, das im untersuchten Frequenzbereich für jeden Messpunkt eine definierte Signalamplitude liefert (Breitbandsignal).

Es ist zu beachten, dass die FFT-Messpunkte in einer linearen Skala als Vielfache der niedrigsten erfassten Frequenz f0 erhalten werden. Da die Impedanzspektren im Allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse ausgewertet werden, ergibt sich eine sehr ungleiche Verteilung der Messpunkte

Beispiel:• Messung von N=1.024 Punkten in 400 msec• f0=2,5 Hz und fmax=N/2*f0 = 1.280 Hz

wegen eines analogen Tiefpassfilters (Anti Aliasing Filter) am Messeingang kann das Spektrum nur über 400 Frequenzpunkte ausgewertet werden:

• erste Dekade bis 10 Hz: 4 Messwertezweite Dekade bis 100 Hz: 36 Messwertedritte Dekade bis 1000 Hz: 360 Messwerte


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Messung ganzer SpektrenMessung ganzer Spektren

Um ein FFT-Messgerät anzusteuern, ist eine Funktion sinnvoll, bei der das Sinus-Signal für jeden registrierten Frequenzpunkt mit der gewünschten Amplitude generiert.

Eine solche Funktion kann nur digital generiert werden, steht aber fallweise auf ein Messgerät abgestimmt zur Verfügung.

Bei quasi-zufälliger Gleichverteilung der Signalamplituden im Frequenzspektrum spricht man von „weißem Rauschen“ (white noise, random noise).

Ein solches Signal lässt sich rein rechnerisch erzeugen, indem die Signalamplituden zu jedem diskreten Zeitpunkt durch einen Zufallszahlengenerator im gewünschten Amplitudenintervall erzeugt werden.

Auch analoge Rauschgeneratoren sind nach Stand der Technik verfügbar.

Auch ein „Gerätebrumm“ hat oft die Charakteristik eines Rauschens, doch werden dabei durch spezifische Trägheiten des Gerätes „Färbungen“, das heißt starke Frequenzabhängigkeiten der Amplitude erzeugt.


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SignalspektrenSignalspektrenAus der Spektroskopie kennen wir die Beziehung zwischen Frequenz und Energie, die allgemein gültig ist.

Neben „monochromatischen“ sind „weiße“ Signale von Bedeutung, die aus vielen Einzelfrequenzen etwa gleicher Amplitude zusammengesetzt sind.

Aus der Akustik kommt in die Wechselstrommesstechnik die Bezeichnung einer rosa (pink) Frequenzverteilung bei Breitbandsignalen.

Die dabei gewählte Amplitudenverteilung im Frequenzspektrum gewährleistet, dass bei jeder Frequenz die gleiche Leistungsdichte „angeboten“ wird.

Die Signalamplitude nimmt dabei um 3 dB pro Oktave ab.

2

27079,0

210

2lg15,0

2lg203

00

0015,0

00

00

00

00

fU

fU

fU

fU

fU

fUdB

2

27079,0

210

2lg15,0

2lg203

00

0015,0

00

00

00

00

fU

fU

fU

fU

fU

fUdB


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FFT-Spektrum von „white noise“

Amplitudenverlauf von „pink noise“ mit -3 dB pro Oktave

Amplitudenverlauf von „pink noise“ mit -3 dB pro Oktave


30

Andere BreitbandfunktionenAndere BreitbandfunktionenEine gängige Methode, eine definierte Frequenzverteilung mit Hilfe eines Sinus-Generators zu erzeugen, ist eine Frequenzmodulation.

1max

00

)(

)(

2sin)(

ttkftf

ttkftf

ttftX

1max

00

)(

)(

2sin)(

ttkftf

ttkftf

ttftX

0

)(

2sin)(

ftf

ttftX

0

)(

2sin)(

ftf

ttftX

Eine „rosa“ (pink) Amplitudenverteilung ist auch hier möglich und kann gut demonstriert werden:

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