Ganzzahlige Optimierung im öffentlichen Verkehr
Transcript of Ganzzahlige Optimierung im öffentlichen Verkehr
http://www.zib.de/borndoerfer/Homepage/ws06-2.html
DFG-Forschungszentrum MATHEON “Mathematics for key technologies”Technische Universität Berlin (TUB)Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB)
Ralf BorndörferChristian LiebchenMarc Pfetsch
Ganzzahlige Optimierung im öffentlichen Verkehr
Ralf Borndörfer Christian Liebchen Marc Pfetsch
TU BerlinIntegrierte Veranstaltung im Wintersemester 2006/07
BVG-Preise werden vorerst nicht erhöht
Borndörfer Liebchen Pfetsch
4
Bus Congestion
Borndörfer Liebchen Pfetsch
5
Santiago & BerlinSantiago Berlin
Fläche
Einwohner 5,8 Mio. 3,4 Mio.
S-Bahn 164 Stationen
329 km Gleise
15 Linien
U-Bahn
Tram 377 Stationen
188 km Gleise
21 Linien
Bus
1.400 km² 900 km²
52 Stationen
45 km Gleise
3 (+3) Linien
seit 1975
170 Stationen
144 km Gleise
9 Linien
7.000 Busse
3.000 Firmen
1.300 Busse
Borndörfer Liebchen Pfetsch
6
Santiago & BerlinSantiago Berlin
Fläche
Einwohner 5,8 Mio. 3,4 Mio.
S-Bahn 164 Stationen
329 km Gleise
15 Linien
U-Bahn
Tram 377 Stationen
188 km Gleise
21 Linien
Bus
1.400 km² 900 km²
52 Stationen
45 km Gleise
3 (+3) Linien
seit 1975
170 Stationen
144 km Gleise
9 Linien
7.000 Busse
3.000 Firmen
1.300 Busse
Borndörfer Liebchen Pfetsch
7
Projekt Transantiago
Extension of metronetwork
Connectionstations
New bus fleetStreet reconstruction
Connection stationsbetween bus & metro
Borndörfer Liebchen Pfetsch
8
Projekt Transantiago
Less congestion
More egalitarianism
Less dirt & pollution
More safety
Better service
Modernisation
Borndörfer Liebchen Pfetsch
9
Wie plant man ein Nahverkehrsnetz?
Liniennetz
Tarifstruktur
Betrieb
Störungs-/Verspätungsmanagement
Borndörfer Liebchen Pfetsch
10
Operations Control
Borndörfer Liebchen Pfetsch
11
Santiago & BerlinSantiago Berlin
Fläche
Einwohner 5,8 Mio. 3,4 Mio.
S-Bahn 164 Stationen
329 km Gleise
15 Linien
U-Bahn
Tram 377 Stationen
188 km Gleise
21 Linien
Bus
1.400 km² 900 km²
52 Stationen
45 km Gleise
3 (+3) Linien
seit 1975
170 Stationen
144 km Gleise
9 Linien
7.000 Busse
3.000 Firmen
1.300 Busse
Borndörfer Liebchen Pfetsch
12
Trassenkauf bei der DB
Borndörfer Liebchen Pfetsch
13
Trassenanmeldung
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14
Höchstpreisverfahren
Borndörfer Liebchen Pfetsch
15
Deregulation
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16
Quelle-Ziel-Matrix (Nachfrage)
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17
Netzergänzung (Varianten)
Borndörfer Liebchen Pfetsch
18
Passagierfluß (Umlegung)
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19
Netz
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20
Linien
Borndörfer Liebchen Pfetsch
21
Fahrplan
Borndörfer Liebchen Pfetsch
22
Anschlüsse
Borndörfer Liebchen Pfetsch
23
Preise
Borndörfer Liebchen Pfetsch
24
Umläufe
Borndörfer Liebchen Pfetsch
25
Dienste
Borndörfer Liebchen Pfetsch
26
Dienstreihenfolge
Borndörfer Liebchen Pfetsch
27
Fahrzeug- und Personaldisposition
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28
Betriebshofplanung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
29
Betriebsleitung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
30
Planungsprozeß im ÖPNV
Operative Planung
Angebotsplanung• Preis-/Linienplanung
• Fahrplanung
Betriebsleitung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
31
Ziele der Veranstaltung
CostRecovery
FaresConstruction Kosten
Netw
orkTopologyVelocities
LinesService LevelFrequenciesConnections
Timetable
SensitivityRotations
Relief Points
Duties
Duty
Mix
RosteringFairness
Crew Assignm
entD
isruptionsO
perationsControl
multidepartmentalDepartmentsmultidepotwiseDepotsmultiple line groupsLine Groupsmultiple linesLinesmultiple rotationsRotations
PreiseAnschl.FahrtenUmläufeDiensteReihenf. Linien
Borndörfer Liebchen Pfetsch
32
„Kamelkurve"
68
Borndörfer Liebchen Pfetsch
33
Umlaufplanungsproblem
1
3
4
6
5 5
2 5
D D
4
6
1
3
52
Borndörfer Liebchen Pfetsch
34
Umlaufplanungsproblem
4
6
1
3
52
1
3
4
6
5 5
2 5
D D
Borndörfer Liebchen Pfetsch
35
Umlaufplanungsproblem
1 2 3
34
33
76 7
8 10
4 5 6
Ankunft
LösungKosten = 20
Abfahrt
Das ZuordnungsproblemInput: 6 Fahrten, Kosten
Output: Kostenminimale Zuordnung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
36
Komplexität
1 2 3
34
33
76 7
8 10
4 5 6
Ankunft
LösungKosten = 20
Abfahrt
Anzahl Zuordnungen bei n Ankünften/Abfahrten:
(Stirling-Formel)! 2−≈ n nn n e nπ
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37
Komplexität
Anzahl Zuordnungen bei n Ankünften/Abfahrten
Exponentieller Aufwand: 2n , nn , etc.
Polynomialer Aufwand: n , 1.000n , n3 , n5 ,p(n)
! 2−≈ n nn n e nπ
linear kubisch exponentiell Doppelt exp.
2n
1.024
1030
10300
103000
n n3 nn
10
100
1.000
10.000
1.000 1010
106 10200
109 103000
1012 1050000
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38
Heuristiken
LösungKosten = 17
1 2 3
34
33
76 7
8 10
4 5 6
Ankunft
Abfahrt
Die Greedy-Heuristikheuretikos (gr.): erfinderischheuriskein (gr.): finden
Borndörfer Liebchen Pfetsch
39
Heuristiken
1 2 3
34
33
76 7
8 10
4 5 6
Ankunft
LösungKosten = 16
Abfahrt
Die Greedy-Heuristikheuretikos (gr.): erfinderischheuriskein (gr.): finden
Borndörfer Liebchen Pfetsch
40
Evolutionäre Algorithmen
Der Beutelteufel ist das größte heute noch lebende fleischfressende Beuteltier.
Der Beutelwolf (Thylacinuscynocephalus), auch Tasmanischer Wolf, Beuteltiger oder Tasmanischer Tigergenannt, war das größte fleischfressende Beuteltier, das in geschichtlicher Zeit auf dem gesamten australischen Kontinent lebte. Das letzte bekannte Exemplar starb 1936.
Borndörfer Liebchen Pfetsch
41
Untere Schranken
1 2 3
34
33
76 7
8 10
4 5 6
SchrankeKosten = 13
LösungKosten = 17
Garantie4/17=23%4/13=30%
Eine "Relaxierung"
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Lösung (obere Schranke)Untere Schranke Dualitätslücke
Borndörfer Liebchen Pfetsch
42
Optimallösung
OptimumKosten = 15
5 4 0
34
33
76 7
8 10
7 8 9
Ankunft
Abfahrt
Das "primale Problem"Minimalkosten-Zuordnung
Das "duale Problem"Maximale Verkaufserlöse
Borndörfer Liebchen Pfetsch
43
Kombinatorische Algorithmen
0 0 033
443
3
33 7
7
66
77 8
81010
0 0 0
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
44
Kombinatorische Algorithmen
0 0 033
443
3
33 7
7
66
77 8
81010
0 0 0
SchrankeKosten: 0TeillösungKosten: 0
00 0 0
000
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
45
Kombinatorische Algorithmen
0 0 030
403
0
30 7
4
62
74 8
5106
0 0 0
SchrankeKosten: 10TeillösungKosten: 3
00 0 0
000
+3 +4+3
+0 +0 +0
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
46
Kombinatorische Algorithmen
0 0 030
40-3
0
30 7
4
62
74 8
5106
3 3 4
SchrankeKosten: 10TeillösungKosten: 3
00 0 0
000
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
47
Kombinatorische Algorithmen
0 0 030
40-3
0
30 7
4
62
74 8
5106
3 3 4
SchrankeKosten: 10TeillösungKosten: 6
00 0 0
000
+0 +0+0
+0 +0 +0
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
48
Kombinatorische Algorithmen
0 0 0-30
403
0
-30 7
4
62
74 8
5106
3 3 4
SchrankeKosten: 10TeillösungKosten: 6
00 0 0
000
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
49
Kombinatorische Algorithmen
0 0 0-30
403
0
-30 7
4
62
74 8
5106
3 3 4
SchrankeKosten: 15TeillösungKosten: 15
00 0 0
000
+5 +5+4
+5 +4 +0
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
50
Kombinatorische Algorithmen
5 4 030
-403
1
-30 7
3
61
70 -8
0101
7 8 9
SchrankeKosten: 15TeillösungKosten: 15
00 0 0
000
Der "Successive-shortest-path"-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
51
Kombinatorische Algorithmen
5 4 030
403
1
30 7
3
61
70 8
0101
7 8 9
SchrankeKosten: 15Solution
Kosten: 15Garantie: 0%
(Optimal)
Satz: Das Zuordnungsproblem kann in polynomialer Zeit von O(n3) gelöst werden.
Borndörfer Liebchen Pfetsch
52
Ein ähnliches Problem …
2
1
3
1 2 3
34
33
76 7
8 10
1 2 3
3
4 3
37
6
810 7
Zuordnung = Nachfolgersuche: polnomial
Zuordnung ohne Kreise = TSP: NP-schwer
Borndörfer Liebchen Pfetsch
53
Ein ähnliches Problem …
2
1
3
1 2 3
34
33
76 7
8 10
1 2 3
3
4 3
37
6
810 7
Zuordnung = Nachfolgersuche: polnomial
Zuordnung ohne Kreise = TSP: NP-schwer
Borndörfer Liebchen Pfetsch
54
Ein- und Mehrdepotplanung
1
1
2
2
3
3
D
D
4
4
1
1
2
2
3
3
D
D
4
4
D D 1 2 3
D D 1 2 3
4
4
D D 1 2 3
D D 1 2 3
4
4
Borndörfer Liebchen Pfetsch
55
Mathematische Modelle
1 2 3
34
33
76 7
8 10
4 5
14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 24 34
15 25 35
16 26 36
14 36
14 36
min 3 3 43 7 67 8 10
s.t. 111111
, , 0, , {0,1}
+ ++ + ++ + +
+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =
≥∈
K
K
x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx xx x
6
Graphentheoretisches Modell
Algebraisches Modell"Ganzzahliges Programm"
Borndörfer Liebchen Pfetsch
56
Mathematische Modelle14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 24 34
15 25 35
16 26 36
14 36
14 36
min 3 3 43 7 67 8 10
s.t. 111111
, , 0, , 1
+ ++ + ++ + +
+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =
≥≤
K
K
x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx xx x
14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 24 34
15 25 35
16 26 36
14 36
14 36
min 3 3 43 7 67 8 10
s.t. 111111
, , 0, , {0,1}
+ ++ + ++ + +
+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =
≥∈
K
K
x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx xx x
Ganzzahliges Programm Lineares Programm"LP-Relaxierung"
Borndörfer Liebchen Pfetsch
57
Mathematische Modelle14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 15 16
24 25 26
34 35 36
14 24 34
15 25 35
16 26 36
14 36
14 36
min 3 3 43 7 67 8 10
s.t. 111111
, , 0, , 1
+ ++ + ++ + +
+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =
≥≤
K
K
x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx xx x
15 16 15 16
24 25 26
34 35 36
15 16 14
24 25 26
34 35 36
15 16 24 34
15 25 35
16 26 36
15 16 36
15 16 36
min 3(1 ) 3 43 7 67 8 10
s.t. 111
1 111
1 , , 01 , , 1
− − + ++ + ++ + +
− − =+ + =+ + =
− − + + =+ + =+ + =
− − ≥− − ≤
K
K
x x x xx x xx x x
x x xx x xx x x
x x x xx x xx x x
x x xx x x
Lineares Programm"LP-Relaxierung"
Eliminiere x14
Borndörfer Liebchen Pfetsch
58
Mathematische Modelle
25 26 35 36
25 26 35 36
25 26
35 36
25 26 35 36
min 4 2 1 2 14s.t. 1
11
, , , 0
+ + + ++ + + ≥+ ≤
+ ≤≥
x x x xx x x xx x
x xx x x x
26 35
26 35
26
35
26 35
min 2 1 14s.t. 1
11
, 0
+ ++ ≥
≤≤≥
x xx xx
xx x
Eliminiere x25, x36Eliminiere x14, x15, x16, x24, x34
Borndörfer Liebchen Pfetsch
59
Mathematische Modelle
x35+x36
26 35
26 35
26
35
26 35
min 2 1 14s.t. 1
11
, 0
+ ++ ≥
≤≤≥
x xx xx
xx x
Polyeder
x25+x26
"Polyeder"Lineares Programm"LP-Relaxierung"
Borndörfer Liebchen Pfetsch
60
Mathematische Modelle
x35+x36
Polyeder1 2 3
34
33
76 7
8 10
1 2 3
1 2 3
34
33
76 7
8 10
4 5 6 x25+x26
"Polyeder"x35=1x24=1x16=1
Borndörfer Liebchen Pfetsch
61
Lineare Programmierung
Min x1 + 2x2
x1 + x2 ≥ 2
x1 - x2 ≤ 1
x2 ≤ 3
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x1
x2
Polyeder
Simplex-Algorithmus
Borndörfer Liebchen Pfetsch
62
Ganzzahlige Programmierung
Min x1 + 2x2
x1 + x2 ≥ 2
x1 - x2 ≤ 1
x2 ≤ 3
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x1, x2 ganzz. x1
x2
Branch-and-Bound
x1 ≥ 2x1 ≤ 1
Polyeder
Borndörfer Liebchen Pfetsch
63
Lineare Programmierung 1987-2000(Bixby, Solving Real-World Linear Programs: A Decade and More of Progress. Oper. Res. 50(1) 3-15, 2002)
Hardware
Software
"A Model that might have taken a year to solve 10 years ago, can now solvein less than 10 seconds."
Alter Computer Neuer Computer Speedup
Sun 3/50 Pentium 4, 1.7 GHz 800
Sun 3/50 Compaq Server ES 40, 667 MHz 900
Intel 386, 25 MHz Compaq Server ES 40, 667 MHz 400
IBM 3090/108S Compaq Server ES 40, 667 MHz 45
Alter Code Neuer Code Geschätzter Speedup
XMP Cplex 1.0 4,7
Cplex 1.0 Cplex 5.0 22,0
Cplex 5.0 Cplex 7.1 3,7
XMP Cplex 7.1 960
Borndörfer Liebchen Pfetsch
64
BVG (Berlin)
Borndörfer Liebchen Pfetsch
65
Sensitivitätsanalyse
=
Borndörfer Liebchen Pfetsch
66
Sensitivitätsanalyse
=
Borndörfer Liebchen Pfetsch
67
Sensitivitätsanalyse
Borndörfer Liebchen Pfetsch
68
Fahrtenplanung ohne Fahrplan
=
Borndörfer Liebchen Pfetsch
69
Fahrtenplanung ohne Fahrplan
Borndörfer Liebchen Pfetsch
70
Ziele der Vorlesung
CostRecovery
FaresConstruction Kosten
Netw
orkTopologyVelocities
LinesService LevelFrequenciesConnections
Timetable
SensitivityRotations
Relief Points
Duties
Duty
Mix
RosteringFairness
Crew Assignm
entD
isruptionsO
perationsControl
multidepartmentalDepartmentsmultidepotwiseDepotsmultiple line groupsLine Groupsmultiple linesLinesmultiple rotationsRotations
PreiseAnschl.FahrtenUmläufeDiensteReihenf. Linien
Borndörfer Liebchen Pfetsch
71
Leuthardt Studie(Leuthardt 1998, Kostenstrukturen von Stadt-, Überland- und Reisebussen, DER NAHVERKEHR 6/98, S. 19-23.)
Kosten (DM) städtisch % regional
73,5 195 000
30 000
12 900
10 000
18 000
5 000
18 000
288 900
7,4
3,2
2,9
4,7
1,0
7,1
100,0
Personal
Abschreibung
Kalkulatorischer Zins
Material
Treibstoff
Instandsetzung
Sonstige Kosten 34 000 7,2
Summe
%
349 600 67,5
35 400 10,4
15 300 4,5
14 000 3,5
22 200 6,2
5 000 1,7
475 500 100,0
Borndörfer Liebchen Pfetsch
72
Effizienz
=
Borndörfer Liebchen Pfetsch
73
Effizienz
=
Borndörfer Liebchen Pfetsch
74
Regionalplanung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
75
Regionalplanung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
76
Regionalplanung
=
Borndörfer Liebchen Pfetsch
77
Regionalplanung
=
Borndörfer Liebchen Pfetsch
78
IntegrationUmlaufplanung
Kombinierte Planung
Dienstplanung (Uml. fix.)
Integrierte Planung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
79
Ziele der Vorlesung
CostRecovery
FaresConstruction Kosten
Netw
orkTopologyVelocities
LinesService LevelFrequenciesConnections
Timetable
SensitivityRotations
Relief Points
Duties
Duty
Mix
RosteringFairness
Crew Assignm
entD
isruptionsO
perationsControl
multidepartmentalDepartmentsmultidepotwiseDepotsmultiple line groupsLine Groupsmultiple linesLinesmultiple rotationsRotations
PreiseAnschl.FahrtenUmläufeDiensteReihenf. Linien
Borndörfer Liebchen Pfetsch
80
Ziele der Veranstaltung
VorlesungPraxisnahe Verkehrsplanung
Modellieren
Aktuelle Theorie
Leistungsfähige Algorithmen
ÜbungSelber ausprobieren
ScheinPräsenzübungen (+ ggf. Rücksprache)
Borndörfer Liebchen Pfetsch
81
Organisatorisches
ÜbungCa. jede 4. Veranstaltung
Ort (Hörsaal/Pool) und Zeit wird vorher angekündigt
MaterialÜbungen, Folien, Skript (Teile) auf der Homepage
KenntnisseGrundkenntnisse in Kombinatorischer Optimierung
Lineare Optimierung kann parallel in ADM 2 gelernt werden
Borndörfer Liebchen Pfetsch
82
Planungsprozeß im ÖPNV
Operative Planung
Angebotsplanung• Preis/Linienplanung
• Fahrplanung
Betriebsleitung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
83
Planungsprozeß im ÖPNV
Operative Planung• 8.1.-13.2.
Angebotsplanung• Fahrplanung: 17.10.-21.11.
• Preisplanung: 6./7.11.
• Linienplanung: 27.11.-19.12.
Betriebsleitung
Borndörfer Liebchen Pfetsch
84
Viel Spaß!
Ralf Borndö[email protected]
Christian [email protected]
Marc [email protected]
Homepagewww.zib.de/borndoerfer/Homepage/ws06-2.html