Gekruemmte Bauteile und Bauteile mit veraenderlichem Querschnitt

HfT StuttgartProf. Dipl.-Ing. E. Milbrandt

Bauteile aus Brettschichtholz

1. Brettschichtholzbauteile mit stetig veränderlicher Höhe

2. Gekrümmte Brettschichtholzbauteile

3. Firstbereiche von Satteldachträgern

Fachtagung DIN 1052 neu, Wuppertal, 25. Nov. 2004

HfT StuttgartProf. Dipl.-Ing. E. Milbrandt 2

1. Brettschichtholzbauteile mit stetig veränderlicher Höhe

Brettschichtholzbauteile mit stetig veränderlicher Höhe

1.1 Ausführungsformen

1.2 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei Biegeträgern

1.3 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei Biegung mit Normalkraft


1.1 Ausführungsformen



1.2 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei Biegeträgern

„Maßgebende Stelle“

a) unsymmetrischer Satteldachträger

sap/hh1x

+=

l

b) Pultdachträger

c) symmetrischer Satteldachträger

ap

s

h

h

2x ⋅=

l

1/'2/hh

'x

sap −⋅+=

ll

l


der maximalen Biegespannung:

0dx

)x(d=

σBedingung:

=̂ Ort


Spannungskombination am schrägen Rand

Aus Gleichgewichtsbetrachtungen am Randelement ergeben sich:

α⋅σ=τ tanm

α⋅σ=σ 2m90 tan

Die Grenzzustandsgleichung lautet: 1fff

2

m

m

2

v

2

90

90 ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ

Spannungsverteilung über die Querschnittshöhe



Bemessungswerte der Biegefestigkeiten am schrägen Rand(DIN 1052, 10.4.1)

Aus der Interaktionsbedingung ergeben sich nach Umformung die Bemessungswerte

• im Biegedruckbereich zu (81) ... fkf d,mc,d,,m ⋅= αα

Beiwert kα,t Beiwert kα,c


• im Biegezugbereich zu (79) ... fkf d,mt,d,,m ⋅= αα


Nachweisbedingungen für Biegeträger mit stetig veränderlicher Höhe (DIN 1052, 10.4.1)

Hinweis:Im Firstquerschnitt von Satteldachträgern sind besondere Nachweise erforderlich,siehe Abschnitt 3.


.... (77)

.... (75)

.... (77)


1.3 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei einachsigerBiegung und Normalkraft

a) Spannungen und Nachweise am faserparallelen Rand


d,0,tσ A

Ndd,0,c ≈σ

( ) zI

Mtan41

y

d2 ⋅⋅α⋅+=( )y

d2d,0,m W

Mtan41 ⋅α⋅+±=σ ... DIN 1052, Gl. (76*)

... praxisübl. Näherung, vgl. [3] [4]

bzw.

bzw.

Spannungen vorzeichengerecht einsetzen (+ = Zug) !


Tragfähigkeitsnachweise

1ff d,0,m

d,0,m

d,0,t

d,0,t ≤σ

+σ

1f d,0,m

d,0,md,0,c ≤σ+σ

für den zugbeanspruchten faserparallelen Rand (σRand>0):

...... DIN 1052, Gl. (55*)


bzw.

1ff d,0,m

d,0,m

2

d,0,c

d,0,c ≤σ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−

1f d,0,m

d,0,md,0,t ≤σ+σ

...... DIN 1052, Gl. (57*)

bzw.

für den druckbeanspruchten faserparallelen Rand (σRand<0):

α

α


zI

M

y

d ⋅≤

d,,t ασA

Ndd,,c ≈σ α

b) Spannungen und Nachweise am schrägen Rand

... DIN 1052, Gl. (78*)

bzw. ... praxisübl. Näherung

bzw.y

dd,,m W

M±≤σ α


Bemessungswerte der Festigkeiten

d,mc,d,,m fkf ⋅= αα

d,mt,d,,m fkf ⋅= αα

d,0,tt,d,,t fkf ⋅= αα

d,0,cc,d,,c fkf ⋅= αα

... DIN 1052, Gl. (79) - (80) bzw.

... DIN 1052, Gl. (81) - (82)

Annahme



1ff d,,m

d,,m

d,,t

d,,t ≤σ

+σ

α

α

α

α

1f d,,m

d,,md,,c ≤σ+σ

α

αα

bzw.


für den zugbeanspruchten schrägen Rand (σRand>0):

1ff d,,m

d,,m

d,,c

d,,c ≤σ

+σ

α

α

α

α

1f d,,m

d,,md,,t ≤σ+σ

α

αα

bzw.

für den druckbeanspruchten schrägen Rand (σRand<0):

α

α

HfT StuttgartProf. Dipl.-Ing. E. Milbrandt 12Brettschichtholzbauteile mit stetig veränderlicher Höhe

Beispiel 2.1 BSH-Querschnitt mit veränderlicher Höhe

Material: Auflager- und Gelenkkräfte:

BSH - GL28c (BS14k), b = 160 mm Av,d = + 280,0 kN ; Ah,d = + 302,0 kNKLED „kurz“, NKL 1 → kmod = 0,90 Nc,d = - 293,6 kN ; Vc,d = + 70,5 kN


Tragfähigkeitsnachweis für den Rahmenriegel


Querschnitt linear veränderlich:

Am First hc = 360 mm ; am Momentennullpunkt h0 = 1050 mm ; α = 4,0°

Maßgebende Stelle (analog Pultdachträger):

m54,236,0/05,11

94,9

h/h1x

c0

01 =

+=

+=

l

Querschnitt: b / h1 = 160 / 535 mm

Schnittgrößen: M1,d = + 133,4 kNm ; N1,d = -302,2 kN


=α d,,tf . . . . hier nicht relevant

²mm/N7,19535

600

3,1

2890,0k

fkf

14,0

hM

k,0,mmodd,0,m =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=⋅

γ⋅=

²mm/N6,163,1

2490,0

fkf

M

k,0,cmodd,0,c =⋅=

γ⋅=

²mm/N5,187,19940,0fkf d,0,mc,d,,m =⋅=⋅= αα

²mm/N6,156,16940,0fkf d,0,cc,d,,c =⋅=⋅= αα

²mm/N5,157,19787,0fkf d,0,mt,d,,m =⋅=⋅= αα

am schrägen, zugbeanspruchten Rand:

am schrägen, druckbeanspruchten Rand:

am faserparallelen Rand:

Bemessungswerte der Festigkeiten


²mm/N8,17107632

104,133)tan41(

3

62

d,0,m +=⋅

⋅⋅α⋅++=σ

²mm/N5,310856

102,3022

3

d,0,c −=⋅

⋅−=σ

173,07,19

8,175,3

f d,0,m

d,0,md,0,c <=+−

=σ+σ

²mm/N5,17107632

104,1333

6

d,,m −=⋅

⋅−=σ α

²mm/N5,310856

102,3022

3

d,,c −=⋅

⋅−=σ α

!!117,15,18

5,17

6,15

5,3

ff d,,m

d,,m

d,,c

d,,c >=−

+−

=σ

+σ

α

α

α

α

Variante 1: unten durchlaufende Lamellen

Nachweise am unteren, faserparallelen Rand:

Nachweise am oberen, schrägen Rand:


190,05,15

5,175,3

f d,,m

d,,md,,c <=+−

=σ+σ

α

αα

²mm/N5,310856

102,3022

3

d,,c −=⋅⋅

−=σ α

²mm/N5,17107632

104,1333

6

d,,m +=⋅⋅

+=σ α

Nachweise am oberen, faserparallelen Rand:

²mm/N8,17107632

104,133)tan41(

3

62

d,0,m −=⋅⋅

⋅α⋅+−=σ

²mm/N5,310856

102,3022

3

d,0,c −=⋅⋅

−=σ

195,07,19

8,17

6,16

5,3

ff

2

d,0,m

d,0,m

2

d,0,c

d,0,c <=−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=σ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−

Variante 2: oben durchlaufende Lamellen

Nachweise am unteren, schrägen Rand:


2.1 Vorbetrachtung, Anforderungen an die Herstellung

2.2 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei reiner Biegebeanspruchung

2.3 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei Biegung mit Normalkraft

2. Gekrümmte Brettschichtholzbauteile

Gekrümmte Brettschichtholzbauteile


2.1 Vorbetrachtung, Anforderungen an die Herstellung

2

t

r

1

1

⋅=ε2

t

r

EE

1

00m ⋅=ε⋅=σMit wird

Für Nadelholz C24 (S10) mit E 0,mean= 11 000 N/mm² und r1 = 240 ·t ergibt sich

a) BSH-Bauteil b) Einzellamelle


N/mm² 23480

000 11

2

t

t240

E mean,0 ≈=⋅⋅

=σ


Biegeradius und Lamellendicke bei gekrümmten Bauteilen;DIN 1052, Anhang H


Der Biegeradius r1 für gekrümmte Bauteile in den Nutzungsklassen 1 und 2 mussmindestens 230 · t, in der Nutzungsklasse 3 mindestens 205 · t betragen. Biegeradien bis zu 150 · t sind zulässig, wenn die Lamellendicke t der folgendenBedingung entspricht:

(H.1) .... mm 150t

r 4,013t 1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+≤

Maximale Brettdicke t in Abhängigkeit vom Biegeradius r1

r1 in m →


Verbundbauteile aus Brettschichtholz

Beispiele für mögliche Querschnittsformen von Verbundbauteilen aus Brettschichtholz(aus DIN 1052, Anhang B)



Verbundbauteile aus Brettschichtholz (Blockquerschnitte)

Auszug aus DIN 1052, 14.7

Beispiel:Geh- und Radwegbrücke,Reichenbach a. d. Fils


HfT StuttgartProf. Dipl.-Ing. E. Milbrandt 22Gekrümmte Brettschichtholzbauteile

Beispiel 2.2 [1]: Blockverklebter Brückenträger mit Überhöhung

Querschnitt:3 x b/160 mm

Material:BSH-GL 28 h

a1000a875 m 140 w8

R0

2

⋅<⋅==⋅

=l

23

mean,01,m N/mm 2,7

2

160

10140

600 12

2

a

R

E=⋅

⋅=⋅=σ

σm,R infolge der Rückstellmomente:

Krümmungsradius in Trägermitte:

Überhöhung = parabelförmige Vorkrümmung: Stich w0 = 200 mm

σm,1 infolge Krümmung bei der Herstellung:

22

1,ymean,0

y

1R,m N/mm 4,2

)a3(bR

6IE 3

W

M3 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅=σ→

R

IE 3M3 1,ymean,0

1

⋅⋅=⋅


zu Beispiel 2.2:

Verringerung des im Pressbett eingestellten Stichs durch Rückfederung:

Spannungen (infolge Vorkrümmung und Rückstellmomente) im Anfangszustand:

mm 22 R)a3(

a

8

3

IE

)M3(

2

1 w

2

3

3

ymean,0

41=⋅

⋅⋅=⋅

⋅

⋅⋅⋅=∆

ll

l

Der Lastfall Überhöhung / Vorkrümmung ist der KLED ständig zuzuordnen.

Im Endzustand darfeine Abnahme der Spannungen um ca. 40 % infolge Relaxationangenommen werden.

[N/mm²]


2.2 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei reiner Biegebeanspruchung


W

Mk

ap

d,apd,m ⋅=σ l

( )2apap k6,0k35,01k ⋅+⋅+=l app k25,0k ⋅=

W

Mk

ap

d,appd,90,t ⋅=σ

bI

SV

ap

dd ⋅

⋅≈τ

mit

Biegelängsspannung σm Querzugspannung σt,90 Schubspannung τ


Beiwerte kl und kp für gekrümmte Träger [1]


Modifikation der Biegefestigkeiten

Zur Berücksichtigung der Eigenspannungen bei der Herstellung ist der Bemessungswert fm,d abzumindern mit dem

Krümmungsbeiwert kr :

– kr = 1 für rin / t ≥ 240– kr = 0,76 + 0,001 ⋅ rin / t für rin / t < 240



Modifikation der Querzugfestigkeiten

1.Verteilungsfaktor kdis:

Der Einfluss der ungleichförmigen Spannungsverteilung über das querzug-beanspruchte Volumen wird mit dem Verteilungsfaktor kdis erfasst:

• bei gleichförmiger Spannungsverteilung

über das gesamte Holzvolumen wäre

kdis = 1

• bei gekrümmten Firstbereichen

mit konstanter Höhe ist kdis = 1,15

• bei Satteldachträgern ist kdis = 1,3



Modifikation der Querzugfestigkeiten

2. Höhenfaktor / Volumenfaktor:

Der Einfluss des querzugbeanspruchten Volumens auf die Tragfähigkeit wird beigekrümmten Bauteilen und Firstbereichen von Satteldachträgern erfasst durch den

k,90,t

3,0

ap

0dis

*k,90,t f

h

hkf ⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=


Höhenfaktor .... Bezugshöhe h0 = 600 mm.

3,0

ap

0

h

h⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3. Zusammenfassend kann definiert werden:

.... vgl. Tabellen in [1]


Tragfähigkeitsnachweise für gekrümmte Dachträger mit einachsigerBiegung; DIN 1052,10.4.3

(89)1fk d,mr

d,m ≤⋅σ

1f

fh

hk

2

d,v

d

d,90,t

3,0

ap

0dis

d,90,t ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ

*) Querzugverstärkungen: siehe Abschnitt 3.4

kdis = 1,15 ; h0 = 600 mm

Querzugspannung:

Längsrandspannung:

(85)*)



2.3 Spannungen und Tragfähigkeitsnachweise bei einachsiger Biegung und Normalkraft

a) Nachweis der Längsspannungen am inneren Rand

zI

Mk

y

dM ⋅⋅= l

A

Nk dN

d,0,c ⋅=σ ld,0,tσ

.... DIN 1052, Gl. (90*)

.... aus [3] [4]

y

dMd,m W

Mk ⋅±=σ l

bzw.

bzw.


2apap

M k6,0k35,01k ⋅+⋅+=l2

apapN k675,0k875,01k ⋅−⋅+=l .... siehe Tab.und



Beiwerte für gekrümmte Träger

hap/r MklMpk hap/r Mkl

Mpk

0 1,00 0 0,15 1,07 0,0380,01 1,00 0,003 0,16 1,07 0,0400,02 1,01 0,005 0,17 1,08 0,0430,03 1,01 0,008 0,18 1,08 0,0450,04 1,01 0,010 0,19 1,09 0,0480,05 1,02 0,013 0,20 1,09 0,0500,06 1,02 0,015 0,21 1,10 0,0530,07 1,03 0,018 0,22 1,11 0,0550,08 1,03 0,020 0,23 1,11 0,0580,09 1,04 0,023 0,24 1,12 0,0600,10 1,04 0,025 0,25 1,13 0,0630,11 1,05 0,028 0,26 1,13 0,0650,12 1,05 0,030 0,27 1,14 0,0680,13 1,06 0,033 0,28 1,15 0,0700,14 1,06 0,035 0,29 1,15 0,0730,15 1,07 0,038 0,30 1,16 0,075

hap/r NklNpk hap/r Nkl

Mpk

0 1,00 0 0,15 1,12 -0,0160,01 1,01 -0,001 0,16 1,12 -0,0170,02 1,02 -0,002 0,17 1,13 -0,0190,03 1,03 -0,002 0,18 1,14 -0,0200,04 1,03 -0,003 0,19 1,14 -0,0210,05 1,04 -0,004 0,20 1,15 -0,0230,06 1,05 -0,005 0,21 1,15 -0,0250,07 1,06 -0,006 0,22 1,16 -0,0260,08 1,07 -0,007 0,23 1,17 -0,0280,09 1,07 -0,008 0,24 1,17 -0,0300,10 1,08 -0,010 0,25 1,18 -0,0310,11 1,09 -0,011 0,26 1,18 -0,0330,12 1,10 -0,012 0,27 1,19 -0,0350,13 1,10 -0,013 0,28 1,19 -0,0370,14 1,11 -0,014 0,29 1,20 -0,0390,15 1,12 -0,016 0,30 1,20 -0,041

Beiwerte und für gekrümmte Träger Beiwerte und für gekrümmte TrägerMk lMpk Nk l

Npk


Npk


für den zugbeanspruchten inneren Rand (σRand > 0):

1fkfk d,m

inr

d,m

d,0,tinr

d,0,t ≤⋅

σ+

⋅σ

1fk d,m

inr

d,md,0,c ≤⋅σ+σ

bzw.



bzw.

1fkfk d,m

inr

d,m

2

d,0,cinr

d,0,c ≤⋅

σ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅σ

−

1fk d,m

inr

d,md,0,t ≤⋅σ+σ

für den druckbeanspruchten inneren Rand (σRand < 0):


b) Nachweis der Längsspannungen am äußeren Rand

zI

M

y

d ⋅=

A

Ndd,0,c =σ

d,0,tσ

.... praxisübl. Näherung,genauere Berechnung nach [3] [4]y

dd,m W

M±=σ bzw.

bzw.




für den zugbeanspruchten äußeren Rand (σRand>0):

bzw.

1fkfk d,m

aur

d,m

d,0,taur

d,0,t ≤⋅

σ+

⋅σ

1fk d,m

aur

d,md,0,c ≤⋅σ+σ



bzw.

1fkfk d,m

aur

d,m

2

d,0,caur

d,0,c ≤⋅

σ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅σ

−

1fk d,m

aur

d,md,0,t ≤⋅σ+σ

für den druckbeanspruchten äußeren Rand (σRand<0):


c) Nachweis der Querzug- und Schubspannungen

.... DIN 1052, Gl. (91*)

.... aus [3] [4]

Nd,90,t

Md,90,td,90,t σ+σ=σ

W

Mk dM

pM

d,90,t ⋅=σ

A

Nk dN

pN

d,90,t ⋅=σ

(N als Zugkraft liefert Querdruckspannungen)


Querzugspannungen:

apMp k25,0k ⋅= 2

apapNp k2,0k075,0k ⋅−⋅−= .... siehe Tab.und

Schubspannungen:

.... praxisübliche Näherung

.... siehe [3] )

A

V5,1 d

d ⋅≈τ

( )A

Vk057,05,1 d

apd ⋅⋅−=τ(genauer:


Tragfähigkeitsnachweis für Querzug (σt,90,d > 0)* und Schub:

1f

fh

hk

2

d,v

d

d,90,t

3,0

ap

0dis

d,90,t ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ

* (Hinweis: für σt,90,d < 0 , d.h. bei Querdruckspannungen, ist kein Tragfähigkeits-nachweis erforderlich.)

.... DIN 1052, Gl. (85)


HfT StuttgartProf. Dipl.-Ing. E. Milbrandt 37Firstbereiche von Satteldachträgern

3.1 Trägerformen

3.2 Satteldachträger nach DIN 1052

3.3 Satteldachträger mit hochgesetzter Trockenfuge

3.4 Querzugverstärkungen

3. Firstbereiche von Satteldachträgern


3.1 Trägerformen

Firstbereiche von Satteldachträgern

δ = Knickwinkel / Differenzwinkelα = Faseranschnittswinkel

c)


3.2 Satteldachträger nach DIN 1052


Beiwerte kl und kp zur Berechnung der maximalen Längs- und Querzugspannungen.

Biege- und Querzugspannungen im Firstquerschnitt


Tragfähigkeitsnachweise für den Firstbereich; DIN 1052, 10.4.4


(93)1fk d,mr

d,m ≤⋅σ

1f

fh

hk

2

d,v

d

d,90,t

3,0

ap

0dis

d,90,t ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ


kdis = 1,3 ; h0 = 600 mm

Querzugspannung:

Längsrandspannung (unterer Rand):

(85)*)


3.3 Satteldachträger mit hochgesetzter Trockenfuge


Quelle:W. von Roth und B. Butenschön,bauen mit Holz 8/90

a) Trägergeometrie

b) Verteilung der Querzugspannungen [N/mm²]


Geometrie des Firstbereichs


Für den rechnerischen Nachweis:

; rsin

eh in

*ap −

ε=

2* ε−δ=δ;

tanehr

earctan

apin δ⋅−+=ε ;

2

hrr

*ap

in* +=


Tragfähigkeitsnachweise für den Firstbereich


(93)1fk d,mr

d,m ≤⋅σ

1f

fh

hk

2

d,v

d

d,90,t

3,0

*ap

0dis

d,90,t ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ


kdis = 1,15 ; h0 = 600 mm

Querzugspannung:

Längsrandspannung (unterer Rand):

(85)*)


Bereich I: Längsspannungen an der „maßgebenden“ Stelle x(Träger mit stetig veränderlicher Höhe).

Bereich II: Längs- und Querzugspannungen im Schnitt B (Nebenfirst);Längsspannungen / Spannungskombination,z.B. im Abstand 0,5 · h*

ap links von Schnitt B.

Bereich III: Längs- und Querzugspannungen an der Stelle „max M“→ Trägermitte(gekrümmter Träger mit konstanter Höhe).

Nachweise

HfT StuttgartProf. Dipl.-Ing. E. Milbrandt 45Querzugverstärkungen bei Satteldachträgern

3.4 Querzugverstärkungen in den Firstbereichen von Satteldachträgern

Querzugspannungen in gekrümmten Trägerbereichen


Notwendigkeit einer Querzugverstärkung

1. Die Zugkräfte ⊥ Faserrichtung sind vollständig durch Verstärkungselementeaufzunehmen, wenn folgende Bedingung nicht erfüllt ist:

2. Die Firstbereiche sind (zur Aufnahme klimatisch bedingter Querzugspannungen)konstruktiv zu verstärken, wenn folgende Bedingung nicht erfüllt ist:

Querzugbeanspruchte Bauteile in NKL 3 sind stets zu verstärken.

(85) Gl. .... 1f

fh

hk

2

d,v

d

d,90,t

3,0

ap

0dis

d,90,t ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ

(88) Gl. .... 1

f6,0hh

k d,90,t

3,0

ap

0dis

d,90,t ≤

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ

Querzugverstärkungen bei Satteldachträgern


Ausführung von Querzugverstärkungen; DIN 1052, 11.4

Innen liegende Verstärkungen sind:

• eingeklebte Gewindebolzennach DIN 976-1

• eingeklebte Betonrippenstählenach DIN 488-1

• Holzschrauben (Vollgewindeschr.)

Innen liegende Verstärkungen


Außen liegende Verstärkungen sind:

• aufgeklebtes Sperrholz• aufgeklebtes Furnierschichtholz• aufgeklebte Bretter• eingepresste Nagelplatten

Außen liegende Verstärkungen

Die Querschnittsschwächungen durch innen liegende Verstärkungen sind ggf.zu berücksichtigen.


Verstärkungen zur vollständigen Aufnahme der Querzugspannungen

• Die Zugfestigkeit des Holzes ⊥ Faserrichtung wird rechnerisch nicht berücksichtigt.• Klimatisch bedingte Querzugkräfte werden ebenfalls von der Verstärkung

aufgenommen.

Die Verstärkungen des Firstbereichs sind zu bemessen

(182) Gl. .... n

abF 1d,90,t

d,90,t

⋅⋅σ=

in den beiden inneren Vierteln für

(183) Gl. .... n

ab

3

2F 1d,90,t

d,90,t

⋅⋅σ⋅=

in den äußeren Vierteln für

250 mm ≤ a1 ≤ 0,75·hap


rin rinr


Konstruktive Verstärkungen zur Aufnahme zusätzlicher, klimatischbedingter Querzugspannungen

Die Verstärkungen des Firstbereichs sind für eine gleichmäßig wirkende Zugkraft Ft,90,d zu bemessen:

(184) Gl. .... n640

ab

160

b

n

ab

4

1 F 1

2d,90,t1d,90,t

d,90,t ⋅⋅⋅σ

=⋅⋅⋅σ

⋅=

Konstruktive Verstärkung, Stahlstäbe gleichm. verteilt,Empfehlung: a1 ≤ hap

Eigenspannungen inf.ungleichm. Feuchte-verteilung



Bemessung und Nachweis von Querzugverstärkungen mit eingeklebtenStahlstäben (z.B. Gewindebolzen)

Stahlstäbe (mit Ausnahme 1 Randlamelle) über die gesamte Trägerhöhe durchgehend.

1. Nachweis der (gleichmäßig verteilt angenommenen) Klebfugenspannung;DIN 1052, 11.4.5:

2. Nachweis der Stahlstäbe nach DIN 18800:

N/mm² 4,0 fmit (185) Gl. .... 1 f kk1,

d,1k

d,ef =≤τ

(186) Gl. .... 1 d

F2

rad

d,90,td,ef ≤

⋅⋅π⋅

=τl


- Berechnung mit Spannungsquerschnitten,

25,1

fA ;

1,1

fA minN

M

k,b,us

M

k,b,ysd,R ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ⋅

⋅γ⋅

⋅=


Auszug aus DIN 1052, Anhang F



Trägerabstand e = 6,0 mTrägerbreite b = 16 cmDachneigung δ = 15°

Ausführung

Brettschichtholz (Nadelholz) GL28c (BS14k), Lamellendicke = 33 mm

Brettlamellen (= Faserrichtung) parallel zur Trägerunterkante.

Beispiel 3.1: Satteldachträger mit gekrümmtem unterem Rand


1. Einwirkungen / charakteristische Werte

Ständige Last (Dachlast + Trägereigenlast) gk = 3,30 kN/m Schneelast (H ≤ 1000 m ü. NN) sk = 4,50 kN/m

2. Schnittgrößen

Bemessungswerte für den Nachweis der Tragfähigkeit

Teilsicherheitsbeiwerte: γG = 1,35; γQ = 1,5 Bemessungswert (g+s)d = 1,35 ⋅ 3,30 + 1,5 ⋅ 4,50 = 11,21 kN/m

Auflagerkräfte und Schnittgrößen:

max Av,d = + 1/2 ⋅ (g+s)d ⋅ L = 117,7 kN

max Vd = + 1/2 ⋅ (g+s)d ⋅ l = 112,1 kN

max Map,d = + 1/8 ⋅ (g+s)d ⋅ l ² - 1/2 ⋅ (g+s)d ⋅ lk² = 559,1 kNm

Bemessungswerte für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Nachweise mit charakteristischen Werten der Einwirkungen (γF=1,0).


3. Bemessung und Tragfähigkeitsnachweise

3.1 Baustoffkennwerte für GL28c (BS14k)

fm.k = 28 N/mm²ft,90,k = 0,5 N/mm²fv,k = 3,5 N/mm²

Holzfeuchte (seitlich offene Halle, uG ≤ 20 %) → NKL 2kürzeste Lasteinwirkungsdauer (Schneelast) → KLED „kurz“

Die Bemessungswerte der Festigkeiten werden damit

fm,d = 0,90 ⋅ 28 / 1,3 = 19,4 N/mm²ft,90,d = 0,90 ⋅ 0,5 / 1,3 = 0,35 N/mm²fv,d = 0,90 ⋅ 3,5 / 1,3 = 2,42 N/mm²

90,0k mod =⎭⎬⎫


3.2 Vordimensionierung

Die für einen Parallelträger erforderliche Trägerhöhe beträgt

m04,14,1916,0

101,5596

fb

Mmax6herf

3

d,m

d* =⋅⋅⋅

=⋅

⋅≈

−

Diese Höhe kann erfahrungsgemäß als Näherungswert für den Satteldachträgeran der Stelle x ≈ 0,3 ⋅ l angenommen werden.

Am Auflager wird die erforderliche Trägerhöhe

m43,042,216,0

101,1125,1

fb

Vmax5,1herf

3

d,v

ds =

⋅⋅⋅

=⋅⋅

≈−

Gewählte Abmessungen:

hs = 0,55 m; h(x ≈ 0,3⋅l) = 1,10 mh1 = 0,55 + 5/3 ⋅ (1,10 – 0,55) = 1,47 m


( )°≈β⇒==

−δ⋅+=β 10176,0

0,10

76,1

2/

htan2/htan 1s

l

l

Der Ausrundungsradius wird festgelegt mit rin = 15,0 m.

Damit ist die Bindergeometrie festgelegt:

c = rin ⋅ sinβ = 15,0 ⋅ 0,174 = 2,61 m undhap = h1 + c ⋅ tanβ - rin ⋅ (1-cosβ)

= 1,47 + 2,61 ⋅ 0,176 – 15,0 ⋅ (1-0,985) = 1,70 m

2


Bemessungswerte der Biege- und Querzugspannungen:

r = rin + 0,5 ⋅ hap = 15,0 + 0,5 ⋅ 1,70 = 15,85 m

Krümmung 107,085,15

70,1

r

hk ap

ap ===

Knickwinkel δ = 15°

²mm/N6,111017016

101,559660,1

hb

M6k

32

6

2ap

d,apd,m =

⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅=σ l

²mm/N435,01017016

101,559606,0

hb

M6k

32

6

2ap

d,appd,90,t =

⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅=σ

Beiwertekl = 1,60 ; kp = 0,06

3.3 Tragfähigkeitsnachweise im Firstquerschnitt


Modifikation der Biege- und Querzugfestigkeiten: Krümmungsfaktor: rin / t = 15000 mm / 33 mm = 455 > 240 ⇒ kr = 1

Verteilungsfaktor: kdis = 1,3; Höhenfaktor: 73,01700

600

h

h 3,03,0

ap

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Tragfähigkeitsnachweise:

Längsrandspannungen:

160,04,191

6,11

fk d,mr

d,m <=⋅

=⋅

σ

Querzugspannungen:

11,31 >=⋅⋅

=⋅⋅

σ

35,073,03,1

435,0

f)h/h(k d,90,t3,0

0dis

d,90,t !

⇒ Die Zugkräfte rechtwinklig zur Faserrichtung müssen vollständigdurch Verstärkungselemente aufgenommen werden.


Verstärkung des Firstbereichs mit eingeklebten Gewindebolzen

in den inneren Vierteln fürn

abF 1d,90,t

d,90,t

⋅⋅σ=

in den äußeren Vierteln fürn

ab

3

2F 1d,90,t

d,90,t

⋅⋅σ⋅=

gewählt wird a1 = 5,53/8 =~ 0,69 m )h75,0am25,0( ap1 ⋅≤≤


*l .... Länge desgekrümmten Bereichs

m53,5180

2r* =

°β⋅

⋅π⋅≈l

Ausführung:


Bemessung und Nachweis der Klebefuge

In den beiden inneren Vierteln des gekrümmten Bereichs:

je 2 Gewindebolzen ∅16 mm nach DIN 976-1, Fkl. 8.8

Binderhöhe h2 > 1,50 m ⇒ lad > 1,50/2 - 0,05 = 0,70 m

N48000690160435,0F d,90,t =⋅⋅=

²mm/N77,20,43,1

90,0f

kf k,1k

M

modd,1k =⋅=⋅

γ=

( k,1kf für lad ≤ 250 mm)

²mm/N73,216700

480002

d

F2

rad

d,90,td,ef =

⋅⋅π⋅

=⋅⋅π

⋅=τ

l; Nachweis: 199,0

77,2

73,2

f d,1k

d,ef <==τ

In den äußeren Vierteln des gekrümmten Bereichs:

je 2 Gewindebolzen ∅16 mm; Nachweis analog


Nachweis der Gewindebolzen nach DIN 18800

²mm/N306157

48000

A

Fmax

sp

d,90,td,t ===σ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅

=γ⋅

=⋅

=γ⋅

=

;mm/N5821,125,1

800

25,1

f

mm/N5291,11,1

640

1,1

f

minf2

M

k,b,u

2

M

k,b,y

d,t

Kontrolle der Längsrandspannungen im Firstquerschnitt

Die Querschnittsschwächung durch innen liegende Verstärkungen in zugbeanspruchten Querschnittsteilen ist zu berücksichtigen (vgl. DIN 1052, 11.4.1)

3

ap

netto,apnetto,ap cm73600

h5,0

IW =

⋅=

²mm/N2,121073600

101,55960,1

W

Mk

3

6

netto,ap

d,apd,m =

⋅⋅

⋅=⋅=σ l

Nachweis: 163,04,191

2,12

fk d,mr

d,m <=⋅

=⋅

σ

Nachweis: 158,0529

306

f d,t

d,t <==σ


Trägerabstand e = 6,0 mTrägerbreite b = 16 cmDachneigung δ = 15°

Ausführung

Firstbereich mit einer hochgesetzten Trockenfuge, die sonstige Ausführungentspricht dem vorigen Beispiel.

Beispiel 3.2: Satteldachträger mit hochgesetzter Trockenfuge


1. Tragfähigkeitsnachweis im Querschnitt 1 (Nebenfirst)

hapGeometrie:

e = 2,00 m (gewählt) → °=δ⋅−+

=ε 05,7tanehr

earctan

apin

m29,1rsin

eh in

*ap =−

ε= → m08,8sin

2

he

2x

*ap

1 =ε⋅+−=l

m64,15h5,0rr *apin

* =⋅+=



Krümmung 082,064,15

29,1

r

hk

*

*ap*

ap ===

Knickwinkel °≅ε−δ

=δ 0,42

*

aus Tabelle → kl = 1,11 und kp = 0,028

kNm8,5392

92,1108,821,11

2

)x(x)sg(M 11d*

d,ap =⋅⋅

=+⋅⋅+

=l

²mm/N6,131012916

108,539611,1

hb

M6k

32

6

2*ap

*d,ap

d,m =⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅=σ l

²mm/N34,01012916

108,5396028,0

hb

M6k

32

6

2*ap

*d,ap

pd,90,t =⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅=σ


Modifikation der Biege- und Querzugfestigkeiten: Krümmungsfaktor: kr = 1

Verteilungsfaktor: kdis = 1,15 , Höhenfaktor: 80,01290

600

h

h3,03,0

*ap

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Tragsicherheitsnachweise:

Längsrandspannungen:

170,04,191

6,13

fk d,mr

d,m <=⋅

=⋅

σ

Querzugspannungen:

11,06 >=⋅⋅

=⋅⋅

σ35,080,015,1

34,0

f)h/h(k d,90,t3,0*

ap0dis

d,90,t

⇒ Die Zugkräfte rechtwinklig zur Faserrichtung müssen vollständigdurch Verstärkungselemente aufgenommen werden.


Variation der Länge „e“ des Firstsattels:(studienhalber)

Das Beispiel wird mit e = 2,50 m weitergeführt:

°=ε 86,8 , m23,1h*ap = , m62,15r* = , m60,7x1 =

079,0k*ap = , °=δ 07,3* → 09,1k =l , 025,0kp =

kNm1,528M*d,ap = → ²mm/N3,14d,m =σ , ²mm/N33,0d,90,t =σ

Sattellänge Firsthöhe Ausnutzungsgrade Querzug-e [m] *

aph [m] η(σm) η(σt,90) sicherung

0 1,70 0,60 1,31 voll erf.

1,50 1,36 0,65 1,08 voll erf.

2,00 1,29 0,70 1,06 voll erf.

2,50 1,23 0,74 1,0 ?

2,80 1,19 0,77 0,99 ?


2. Tragfähigkeitsnachweis / Überprüfung in Bindermitte

²mm/N3,141012316

101,559603,1

32

6

d,m =⋅⋅⋅⋅

⋅=σ

²mm/N28,01012316

101,5596020,0

32

6

d,90,t =⋅⋅⋅⋅

⋅=σ


079,0r

hk

*

*ap*

ap ==

°=δ 0

aus Tabelle:

kl = 1,03 und kp = 0,020

m 23,1h*ap =

m 62,15h5,0rr *apin

* =⋅+=

kNm1,559Mmax d,ap =


Modifikation der Biege- und Querzugfestigkeiten:

kr = 1 ; kdis = 1,15 ; Höhenfaktor 81,01230

600

h

h 3,03,0

*ap

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Tragsicherheitsnachweise:

174,04,191

3,14

fk d,mr

d,m <=⋅

=⋅

σ

186,035,081,015,1

28,0

f)h/h(k d,90,t3,0

ap0dis

d,90,t <=⋅⋅

=⋅⋅

σ

Ist eine Querzugsverstärkung nach DIN 1052, 10.4.3 (3) erforderlich ?

144,135,06,081,015,1

28,0

f6,0)h/h(k d,90,t3,0

ap0dis

d,90,t >=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

σ

⇒ Der Firstbereich ist „konstruktiv“ zu verstärken.


Querzugbeanspruchte Länge { }*ap

* he2;c2max +⋅⋅=l

*l180

2r* β⋅

⋅π⋅= m5,5180

10262,15 ≈

°⋅⋅π⋅= bzw.

*ap

* h180

2r +

ε⋅⋅π⋅= m1,6 23,1

180

86,8262,15 =+

°⋅⋅π⋅=

3. „Konstruktive“ Verstärkung des Firstbereichs


Die Zugkraft ergibt sich nach DIN 1052, 11.4.5 - Gl.(184) zu

N132001640

100016033,0

n640

abF

21

2d,90,t

d,90,t =⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅σ=

Verstärkungselemente: Gewindebolzen ∅12 mm nach DIN 976-1, Fkl. 4.8Nachweise analog zu Beispiel 3.1.

Ausführung:

gewählt wird:

m0,16

a*

1 ≈=l

)m23,1ha( *ap1 =<

HfT StuttgartProf. Dipl.-Ing. E. Milbrandt 71Literatur

Literatur:

[1] Erläuterungen zu DIN 1052: 2004-08

[2] Erläuterungen zu DIN 1052: 1988-04

[3] Blumer, H.: Spannungsberechnungen an anisotropen Kreisbogenscheiben ....,Dissertation Universität Karlsruhe (1979)

[4] Möhler, K.: Spannungsberechnung von gekrümmten Brettschichtträgern, ....Holzbau-Statik Aktuell, Folge 3 (1979)

[5] v. Roth, W. und B. Butenschön:Rechnerische Querzugspannungen von gekrümmten Brettschichtholzträgern, bauen mit holz 8/1990

[6] Brüninghoff, H., K. Schmidt und T. Wiegand:Praxisnahe Empfehlungen zur Reduzierung von Querzugrissen ...., bauen mit holz 11/1993

Gekruemmte Bauteile und Bauteile mit veraenderlichem Querschnitt

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