36

Def .: 1st y eine ours y ;

E C^

( [ a; its ;]

,E) zusammengesetze Kurve

,

dann definieren

:" it

g) fc e) dz ÷ § f.↳

f ( y ;H ) jilt ) dt = : ¥

,

fhtdz.

;

Lemma : ( Standard abschaitzung )

Far jede kurve ye C ( [ on ), UEE) und jede integrivbwe Funktion f :U→ ¢ gilt :

/ffHdz / ⇐

{.gg/fGI/ ↳ljH÷" Lange

"

dvkwreg

Beweis : |ffHdz/ ± I Iflrlt 'll . litttldt ±

says. ,

lflritill . f ljtttldtEl

Satz von Cauchy - fours at ' Sci Ue ¢ often und f :U→ 6 hulomorph .

( i ) Sind y , , y ,homotope kurven

,dann ist

f. fhtdz = )y,

fktdz

( ii ) 1st y eine null - homotope geschlosseue kurve in U,

dann gilt :

§ flz ) di . = 0

( iii ) 1st U einfachzusammenhangend ,

daun ist for bel. z.EU

F ( z ) := µ fly d| line holomorpk Stammfunkkon,

d. h.

F'

( z ) : flt ) V. zeu,

37

Bem .: . Dies ist anch als " Cauchy lntegracsatz

"

bekaunt.

• Der weseuthihe Uuterschied zum korollw ours dem Salz von Stokes ist,

class hier uur Differenzierbwkeit und nicht C'

gefordwt wird .

( Satz for C^

ist von Cauchy , ohne Stetigkeit von f'

von Goursat .)

• If Lz ) : : f. flzsdz eutlaugeiwer bel. kurve y :[ 0

," ] → Unit

ylo ) = to , yH=Z . Weyn C i ) ist dies wohldefiuiert .

Beweis run liii ) : Wegen ¥ "

dg = !JH dt = to ¥ [ L n - Hzttlztn ) ] at = } hat =L

Z th

und Flzth ) : Flt ) + ) f 4) d } gilt :

Z

F ( zth ) - F ( z )/n

. fit ! : / If "hf4|d| . flat µ "

dg /

= F,/ I ( flrutl - fat ) JLH at /

^

± Fu,

sup Iflw ) - fail . ) ljltlldt-

owe Bµ|lH -

h . so Large dvkwve = Ihl fir= sup / flw ) - f HI → 0 grade Vvbinduug

-

°

WEB, hilt )

D

Z

l .

Bsp .:

" Hanptzweig des Logarithms : Lu : 6'

→ �1�

,Lutz ) := ) } d } istholomorph auf 6

7

unit ( n' L z ) . 1z.

Dawit gilt Lutz ) :[¥,

dg'

:[I,

of + f HT : lnr + f lirreiifpn d¢ = lnr + if

g. , g,

,

-

-f.Fogg,

Don't gilt wieawartet e

" ' "= e

( until )= re

:p, z

.

Eben falls Inverse der Exp .funkkonsinddie, , Nebenzweige' '

s

des komplexen Log .

: ZH Ztikt lulz ),

KEZ .

38

Lemma : sci g:[ 0,1 ] → 6

, ylt ) : - re

"" it

,

r > 0.

Dann gilt :

^

§ I dz = Ziti.

ii.

*r

>

rJ T

Beweis :

§y tz dz = )o^fd-tit r2ti ehit

It = Ziti. a

Satz : ( Cauchy 'sche Integral formel )

Sci Use often , fill → 6 holomorph ,5

.lt. ) ÷ tl / 11 -

toler} EU und

yr:[ on ] → U

, yrlt ) : '

Zotre" it

. Dann gilt V. 2. c. B. ( to )

flyflz ) : ¥ . § dl

} - z

rr

^

Beweis : In Ultz ] ist } + ,f " ) r .

( g. z ) holomorph and fir E Klein geuug ist

re .

'

r' -

ye

ye homotopzu ys + yr-

ys in U.

Also ist •z

.

i.• . >Zo

f. t,

'

!!dl= fat!!d1 .

= f. ftp.t.lt'

al + §.

tY!÷f unit E → 0

.

,

0Ziti flz ) nach dem Lemma

{ → 0

Denn l§.

" Yi!"

dll fates:p ;µ ,

I" Yi!

' "I → odafhdomorph .

II

Standardabschatzung

Ben .:

•

yr und re heipen " frei homotop"

.

• In Satz Kann Br Go ) dnruh ein bit. einfach zusammenh

.

Gebiet G and yr durch JG

ersetzt wvden. ( Ciebiet := offene

,uichtleere

,zusammenh

. Menge )

39

orollar :(Miltelwerteigeuschaft )

1st f : Brk ) → Q holomorph

,

dann gilt :

µf( z + remit ) at = fat

Beweis : titles) at = ⇐÷ffYaYYY jrutat= : yrlt )

= ÷ §.

t!'

! dl = flt ). D

Satz : ( Poteuzreiheneutwicklung )

Sci f : UEE → 6 holomorph ,

B.Go ) eine kreisscheibe in U um zo unit

Radius r > 0 und YLH : ' zot remit.

Dann gilt FZEB,

lzo ) :

f- ( z ) = ⇐g cu ( z - zo )"

,

f ( z )

Cn: = IF; § ( z

- z.

)nindt

r

Beweis : 0.

B. d. A. 2-0=0

.

fa . )= ÷ ; )gf¥dI = ÷ .§t¥ - n÷±,

dl

w

=p÷ EE etftf!! as: IEIFI

"

for Heisler

D

gleichm . kouuergenz

Ben .: Durch koe # tientenvergl . hit der Taylerentwioklnng bekommen wir :

f' "

G.) = z¥i § HY! .tn dl knew.

korollar : Fine holomorphe Funktion ist bet. oft komplex diff .

bar.

Bewu 's : Wo f kompbx di # bar ist,

kouuen wir f ( und damit anih f'

if"

,

etc. )

oils Potenzreihe schreiber .

D