Anhang A

Grundbegriffe der Graphentheorie

Unter einem Graph konnen wir uns eine zeichnerische Konstruktion vorstellen, in der Punkte, sogenannte Knoten, mit spezifizierten Ge­raden, den Kanten, verbunden werden (Abb. A.l).

e y d

Abbildung A.l: Beispiel eines Graphen

In obigem Beispiel haben wir die Kanten x, z, y und noch drei weite­re, nicht naher benannte Kanten. Diese Kanten verbinden die Knoten a, b, c, d, e. Wir sehen also, daB das Konzept eines Graphen nicht allzu schwer zu verstehen ist, und schreiten zu exakteren Definitionen. Wir betrachten im ubrigen hier generell nur Graphen ohne Mehrfachkan­ten und Schlingen (= schlichte Graphen) mit endlich vielen Knoten. Definition: Ein Graph G besteht also aus einer endlichen, nicht leeren Menge V

357

von p Knoten zusammen mit einer gewissen Menge X von q zweiwer­tigen Teilmengen von V. Jedes ungeordnete Paar (xeX und x = {u,v}) von Knoten ist eine Kante von G. Man sagt, x verbindet u und v. Da die Knoten u und v unmittelbar verbunden sind, sagt man, die Knoten seien benach­bart. Der Knoten u und die Kante x inzidieren einander. Inzidieren verschiedene Kanten mit demselben Knoten, so heii~en sie benachbart. In obigem Beispiel sind x und y, sowie z und y jeweils benachbarte Kanten. x und z sind hingegen nicht benachbart. Es gelte V = {vo,Vl, ... , v p },

X = {Xl,X2, ... ,xq },

G= (V, X) ist ein Graph. Oben haben wir angegeben, daB wir Knoten in Zukunft mit v bezeich­nen und indizieren, und Kanten mit x bezeichnen und indizieren. V und X bezeichnen die Knoten- bzw. die Kantenmengen. Das Paar be­stehend aus V und X ist dann ein Graph. Unter der Kantenfolge eines Graphen verstehen wir eine alternie­rende Folge v6n Ecken und Kanten vo, Xl, VI, ..• , Vn-l, x n , Vn , die mit Vo beginnt und mit Vn endet, und in der jede Kante mit den bei­den verschiedenen Ecken inzidiert, die in der Folge unmittelbar neben ihr stehen. Eine Kantenfolge heifit dann geschlossen, wenn Vo = Vn

gilt. Eine Kantenfolge heifit offen, wenn sie nicht geschlossen ist. Eine Kantenfolge heifit Weg, wenn aIle Ecken verschieden sind, und gilt n ~ 3, und liegt ein geschlossener Weg vor, so heifit die Kantenfolge ein Kreis. Definitionen: Ein Graph heifit zusammenhangend, wenn je zwei Ecken durch einen Weg verbunden sind. Ein maximal zusammenhangender Teil­graph von G heiBt Zusammenhangskomponente von G. Die Lange einer Kantenfolge entspricht der Anzahl der in ihr vorkommenden Kan­ten. Ein gerichteter Graph ist ein Graph, bei dem jede Kante einen Anfangsknoten und einen Endknoten aufweist. Man schreibt daher ei­ne Kante mit dem Anfangsknoten a und dem Endknoten b auch als (a, b). 1m Gegensatz zu einem ungerichteten Graphen weist also eine Kante eines gerichteten Graphen eine Richtung auf. Man spricht daher haufig nicht einfach von Kanten, sondern anstatt dessen von Pfeilen.

358

Definition eines gerichteten Graphen oder Digraphen: Ein gerichteter Graph oder Digraph besteht aus einer endlichen, nichtleeren Menge V von Ecken, zusammen mit einer Menge X von geordneteOn Paaren verschiedener Ecken. Die Elemente von X werden (gerichtete) Kanten genannt. Wir schreiben die Kanten auch als ge­ordnete Paare (u, v). Es gilt u, mY; u heiBt Anfangsknoten und v Endknoten des Pfeils.

V\ a b

Digraph Kein Digraph, da x I und "2 parallel sind

Abbildung A.2: B~ispiel eines Digraphen

V = {a,b,e} X = {(a, e), (e, a), (b, en Definition der Erreichbarkeit: Ein Knoten b eines Digraphen D = (V, X) heiBt von einem Knoten aEV aus erreichbar, wenn es in D eine Pfeilfolge und damit einen Weg mit dem Anfangsknoten a und dem Endknoten b gibt. a und b heiBen miteinander verbunden, wenn in G D eine Kantenfolge und damit eine Kette mit den Endknoten a und b existiert. Ein Weg ist eine Kan­tenfolge von jeweils benachbarten Kanten, deren Knoten durehwegs verschieden sind. Entspricht der erste Knoten dem letzten Knoten, so nennen wir den Weg geschlossen, und die Kantenfolge wird Kreis genannt. Bei einem Digraphen muB in der Kantenfolge jeweils der An­fangsknoten der folgenden Kante mit dem Endknoten der vorausge­henden Kante iibereinstimmen. Ein geschlossener Weg eines gerichte­ten Graphen heiBt Zyklus. G D ist der ungerichtete Graph, der aus D gebildet werden kann, indem man die 'Richtung' aufhebt und zwei Kanten zwischen den gleichen Knoten, die nun keine entgegengesetzte Orientierung mehr aufweisen, zu einer einzigen Kante zusammenfaBt. Bemerkung: ZweckmaBigerweise vereinbaren wir, daB ein Knoten a von sich selbst

359

aus 'erreichbar' und mit sich selbst 'verbunden' sei. Einen von einem Knoten a eines Digraphen aus erreichbaren Knoten nennen wir manch­mal auch N achfolger im weiteren Sinne von a, und analog einen Kno­ten, von dem a aus erreichbar ist, nennen wir Vorganger im weiteren Sinne von a. Die Menge aller von einem Knoten a eines Digraphen D = (V, X) aus erreichbaren Knoten von D bezeichnen wir im fol­genden mit R(a); fUr die Menge aller Knoten von D, von denen aus a erreichbar ist, fUhren wir das Symbol R( a) ein, insbesondere gilt a€R( a), a€R( a). Entsprechend legen wir fUr V' ~ V die Mengen R(V') = {a€Vla€R(a'),a'€V'} = U R(a')

a'EV'

R(V') = {a€Vla€R(a'), a' €V'} = U R(a') fest. a'EV'

Definition: Ein ungerichteter oder gerichteter Graph G mit der Kanten- bzw. Pfeil­menge X wird transitiv genannt, wenn fiir je drei verschiedene Kno­ten a, b, c, von G aus (a, b,), (b, c, )€X (bzw. {a, b,}, {b, c, }€X) auch (a, c, ) €X (bzw. {a, c, }€X) folgt. Ein vollstandiger gerichteter oder ungerichteter Graph ist stets transi­tiv. Ein vollstandiger gerichteter Graph ist transitiv und symmetrisch, d.h. mit (a, b, )€X ist auch (b, a, )€X. Definition: Die transitive Hiille eines ungerichteten oder gerichteten Graphen (V, X) ist der transitive Graph (V, X') mit der kleinstmoglichen Kanten­bzw. Pfeilmenge X' ~ X, sodaB (V, X') ein transitiver Graph ist (Abb. A.3).

b "2. •• '1

d~ /.~ ~.c k(. • • • • .. .. c "i v,

Antisymmelrisch

Symmelrisch (Schleifen erlaubl; Transitiv

sonS! asymmelrisch) VOllstandig

Abbildung A.3: Beispiele von Graphen

Bei ungerichteten und gerichteten Graphen, die weder parallele Kanten bzw. Pfeile noch Schlingen besitzen, konnen wir bei einer endlichen Knotenmenge und einer endlichen Kantenmenge, die wir voraussetzen,

360

bei ungerichteten Graphen nur hochstens (~) d.L n(n;I) Kanten, bzw. bei einem gerichteten Graphen hochstens n(n -1) Pfeile haben (Abb. A.4; ein Graph werde indiziert genannt, wenn seine Knoten indiziert sind).

Abbildung A.4: Beispiel eines indizierten Graphen

Definition: Ein Knoten 9 eines gerichteten Graphen G, von dem hochstens Kanten weggehen, und zu dem keine Kanten hinfiihren, heiBt QueUe; ein Kno­ten s, zu dem hochstens Kanten hinfiihren, aber von dem keine Kanten weggehen, heiBt Senke von G. Fiihren weder Kanten hin noch weg, so heiBt der Knoten isoliert. In obigem Beispiel ist a3 eine QueUe, und a2 als auch a4 heiBen Senken des Graphen. Definition: Eine Knotenmenge B ~ V eines Digraphen D = (V, X) heiBt Basis von D, wenn gilt (1) R(B) = V (2) Es existiert kein B' c B mit R(B') = V; (d.h. B ist die "kleinste" Teilmenge von V, die R(B) = V erfiiUt.) Definition: Eine Knotenmenge A ~ V eines Digraphen D = (V, X) heiBt Anti­basis von D, wenn gilt (1) R(A) = V (2) Es existiert kein A' c A mit R(A') = V. B = {aI,a6} ist eine Basis von D; Al = {ad und A2 = {a5} sind Antibasen von D (Abb. A.5).

361

Abbildung A.5: Basis und Antibasis

Man kann folgende Behauptungen beweisen: Jeder Digraph besitzt (mindestens) eine Basis und eine Antibasis. AI­le Basen B (Antibasen A) eines Digraphen haben die gleiche Machtig­keit, sie sind also Teilmengen von V von minimaler Machtigkeit, die gleichzeitig R(B) = V(bzw. R(A) = V) erfiillen.

Jede Basis (Antibasis) eines Digraphen D enthalt samtliche Quellen (Senken) von D . Ein Digraph D ohne Zyklen (zyklenfreier Digraph) besitzt genau eine Basis (Antibasis), die aus allen Quellen (Senken) von D besteht. Definition: Ein Digraph D heiBt stark zusammenhangend, wenn fiir je zwei Knoten a und b von D sowohl a von b aus, als auch b von a aus erreichbar ist. D wird schwach zusammenhangend oder kanten­weise zusammenhangend genannt, wenn je zwei Knoten von D miteinander verbunden sind. I Bemerkung: Entsprechend kann man die starken und die schwachen Zusammen­hangskomponenten eines Digraphen D definieren. Zwei Knoten a und b von D liegen in einer starken (schwachen) Zusammenhangs­komponente, wenn a von b aus und b von a aus erreichbar (a und b miteinander verbunden) sind (Abb. A.6).

Schwache Zusammenhangskomponenten: DI, D2 . Starke Zusammenhangskomponenten: {aI, a2}j {a3}j {a4}j {as}j D2.

lZwei Knoten sind miteinander verbunden, wenn in GD ein Weg existiert mit den beiden Knoten als Anfangs- und Endknoten.

362

Abbildung A.6: Starke bzw. schwache Zusammenhangskomponenten des Graphen D mit den Teilgraphen Dl und D2

Definition: Seien D = (V, X) ein Digraph und F(a) die Menge aller Pfeilfolgen von D mit dem Endknoten aEV, dann heillt die GroBe

( ) { Maximale Lange einer Pfeilfolge in F(a) (=I leer) p a 0 (F(a) ist leer)

Vorwartsrang oder kurz Rang des Knotens a: Bemerkung: Liegt ein Knoten in einem Zyklus, so habe er den Rang 00. FUr die Range der Knoten des unten dargestellten Digraphen gilt p(aI) = 1, p(a2) = 2, p(a6) = 0, p(a4) = p(a5) = p(a3) = 00 (Abb. A.7).

Abbildung A.7: Der Rang eines Knotens

Aus der Definition folgen die Behauptungen:

• Der Rang eines Knotens in einem Digraphen mit n Knoten ist entweder hochstens gleich n - 1 oder gleich 00.

363

• 1st ein Knoten a in einem Zyklus enthalten, so haben wir p( a) = 00. (a' mufi jedoch nicht in einem Zyklus enthalten sein, damit p(a') = 00 gilt!)

• 1st ein Digraph D zyklenfrei, dann ist der Rang jedes Knotens von D endlich.

Definition: Seien D = (V, X) ein Digraph und F' (a) die Menge aller Pfeilfolgen von D mit dem Anfangsknoten aE V, dann heiBt

( ) { Maximale Lange einer Pfeilfolge in F' (a) (i= leer) CT a 0 (F'(a) ist leer)

Riickwartsrang des Knotens a:

FUr den obigen Digraphen gilt CT(al) = 1, CT(a2) = 0, CT(a3) = CT(a4) = CT(as) = CT(a6) = 00.

Obige Bemerkungen gelten auch fUr den Riickwartsrang. Ein Knoten a mit p( a) = cr( a) = 00 muB nicht notwendig einem Zyklus angehorenj dies wird z.B. durch den Knoten a4 des folgenden Digraphen gezeigt (Abb. A.8).

3. 34 as e----+. e---... e

/\ /\ Abbildung A.8: Zyklenfreier Digraph

Zyklenfreie Digraphen erlauben eine spezielle Numerierung der Kno­ten nach wachsenden Knotenrangen, die topologische Sortierung genannt wird. Die topologische Sortierung der Knoten eines zyklenfreien Digraphen ist nun folgendermaBen erklart: Definition: Eine Sortierung der Knoten eines zyklenfreien Digraphen D = (V, X) mit V = {aI, ... ,an} nach deren Rang heiBt topologische Knoten­sortierung oder kurz topologische Sortierung von D (Abb. A.9).

364

Abbildung A.9: Digraph

Bemerkung: Topolische Sortierung muB nicht eindeutig sein, da Knoten gleichen Ranges untereinander beliebig angeordnet werden konnen (Abb. A.lO).

r----...--------.. r ~ .......... ~ .-. e-. ~ . .-. . .-.-. a. ~~s a7 ~9 a.. a.2

Abbildung A.lO: Topologisches Sortieren von D nach dem Rang

p(A1 ) = 0 p(A2) = p(A3) = 1 P(A4) = P(A6) = 2 P(A5) = P(A7) = 3 p(AlO) = p(As) = 4 p(Ag) = 5 p(All ) = 6 P(A12 ) = 7 Bemerkung: Es ist oft zweckmaBig, die Knoten eines zyklenfreien Digraphen neu in topologischer Sortierordnung zu indizieren, da fUr einen Knoten a mit endlichem Rang bei Indizierung nach aufsteigendem Rang in dem topa­logisch sortierten indizierten zyklenfreien Digraph D jeder Knoten eine kleinere Knotennummer als jeder seiner N achfolger, und eine grofiere Knotennummer als jeder seiner Vorganger hat. Sei D ein topologisch sortierter und in Sortierordnung indizierter zyklenfreier Digraph mit der Knotenmenge {all . .. ,an}, dann sind al eine QueUe und an eine

365

Senke von D. Damit ist insbesondere die Existenz mindestens einer QueUe und mindestens einer Senke eines zyklenfreien Digraphen si­chergestellt (da jeder Knoten endlichen Rang hat!). Es gilt folgender Satz: In einem zyklenfreien Digraphen ist jeder Knoten von einer QueUe aus erreichbar, und entsprechend ist von jedem Knoten aus eine Senke er­reichbar. Definition: Ein zyklenfreier Digraph mit genau einer Quelle und genau einer Senke heiBt Netzwerk. Obiger Satz, angewandt auf Netzwerke, spielt in der Netzplantechnik eine groBe Rolle: In einem Netzwerk mit der Quelle q und der Senke s existiert fur jeden von q verschiedenen Knoten a ein Weg von q nach a, und fUr jeden von s verschiedenen Knoten b ein Weg von b nach s.

A.O.l Baume

Definition von ungerichteten Baumen: Ein zusammenhangender Graph, der keinen Kreis enthalt (kreisloser Graph), heiBt Baum. Ein kreisloser Graph mit k Zusammenhangs­komponenten wird Wald mit k Baumen genannt. Bemerkung: Ein Knoten a eines Baumes B, der mit nur hochstens einem Knoten verbunden ist, wird als Endknoten oder Blatt von B bezeichnet. Die folgende Abbildung zeigt einen Wald mit den beiden Baumen BI und B2; al, ... , a5 sind die Blatter des Baumes BI (Abb. A.11).

a s

Abbildung A.11: Beispiele ungerichteter Baume

366

Satz: Ein Graph Gist genau dann ein Baum, wenn fUr je zwei verschiedene Knoten von G genau eine diese beiden Knoten verbindende Kette exi­stiert. Bemerkung: Durch das Entfernen einer Kante aus einem Baum entsteht ein nicht zusammenhangender Graph. Ein Baum enthalt also keinen echten Teil­graph, der aIle Knoten von B umfaBt und zusammenhli.ngend ist. Satz: Ein Baum mit ii' Knoten enthaIt genau n - 1 Kanten. Bemerkung: Ein Wald mit k Bitumen und n Knoten enthaIt genau n - k Kanten. Definition: Ein Digraph D = (V, X) heifit gerichteter Baum mit der Wurzel reV, wenn der D zugeordnete Graph GD ein Baum und {r} Basis von D ist. Ein Digraph mit k schwachen Zusammenhangskomponen­ten wird gerichteter Wald mit k Bitumen genannt, wenn jede schwache Zusammenhangskomponente ein gerichteter Baum ist. Bemerkung:

• Die - eindeutig festgelegte - Wurzel r eines gerichteten Baumes B ist die einzige QueUe von B.

• Eine Senke eines gerichteten Baumes B nennen wir in AnaIogie auch Endknoten oder Blatt von B. Ein Weg in B, dessen End­knoten gleichzeitig Endknoten von B ist, hei6t Ast von B. (D.h. nicht unbedingt von der Wurzel r.)

• Ein gerichteter WaId mit k Bitumen und n Knoten besitzt genau n - k Pfeile.

Definition: Ein gerichteter Baum, von dessen samtlichen Knoten hochstens m Kanten wegfiihren, hei6t m-arer Baum, (fUr m = 2 spricht man vom Binarbaum). Fiihren genau m Kanten von jedem Knoten mit Ausnah­me der tiefsten Ebene, den sogenannten Blattknoten, weg, so spricht man von einem vollstandig besetzten m-aren Baum (Abb. A.12). (3) und (2) stellen gerichtete Bitume jeweils mit der Wurzel VI dar. (3) ist ein Binarbaum. Der Digraph von (1) ist dagegen kein gerichte­ter Baum. (2) besitzt die Endknoten (= Blattknoten) V4, Vs, V6, V7.

(Vb V2, vs) und (V2' V3, V4) sind Aste von (2). Die Endknoten von (3) sind V6, Vs, Vg, VlO, Vn, V12. (V2' VS, vg) ist z.B. ein Ast von (3).

367

(\) (2) (3)

L'----------~v~--------~, Kein ger. Bauro! Gerichtete Bllume

Abbildung A.12: Beispiele fUr gerichtete Baume

A.O.2 Digraphen und Matrizen

Wir werden im folgenden stets annehmen, daB der jeweils betrachtete Digraph D = (V, X) n Knoten besitze, und die Knoten nach einer fest en Vorschrift durchnumeriert seien, sodafi V = {VI' ... ' V n } ist. Fur die Indexmenge gelte also: I={l, ... , n}. Adjazenzmatrizen: Definition: Die einem Digraphen D = (V, X) zugeordnete n x n Matrix A(D) mit den Elementen

ai,j = { ~ wenn

heiBt Adjazenzmatrix von D. Bemerkung:

(Vi,Vj)EX

sonst

Man kann auch einem beliebigen gerichteten Graphen D mit der Kno­tenmenge V = {VI, ... ,Vn } eine Adjazenzmatrix A(D) = (aij)nxn

gemafi aij = Anzahl der Pfeile (Vi,Vj) zuordnen (Abb. A.13).2

2Nach [Langefors 1973], S. 282.

368

Information Information Entscheidungen, die Kontrollinfor­mation erzeugen

Unternehmens­funktionen

Beschaffung 2

Lager 1

Verkauf

Abbildung A.13: Beispiel einer Darstellung des Informationsflusses

Adjazenzmatrix eines Informationssystems fUr den Informa­tionsfluB (nach obigem Bild; Abb. A.14).

• Die Adjazenzmatrix eines Digraphen D ist bei vorgegebener Kno­tennumerierung eindeutig festgelegt. Einer Umnumerierung der Knoten von D entspricht das Vertauschen von Zeilen und der zugehorigen Spalten (d.h. Spalten gleicher Nummer) von A{D).

• Da unser Digraph D keine Schlingen besitzt, besteht die Haupt­diagonale der Adjazenzmatrix A{D) eines Digraphen aus lauter

369

3

D:

Nullen. 1st Vi eine Quelle von D, so enthiUt die i-te Spalte - und im Falle einer Senke Vj von D die j-te Zeile von A(D) - nur Nullen (Abb. A.15).

Nach 8 9 10 I 11 12

1 1 2 1 3 1 4 1 1 5 1 1 1 6 1 7 1 1 8 1 1 1 (1) 9 1 10 1 11 1 1 12 1 1 13 1 1 14 1 1

Abbildung A.14: Adjazenzmatrix

(l ""5

A(D):

"'3-"'4

Spaltensumme

"'1 "':1 "'3 "'4 "'5

"'1 0 0 0 0 0

V; 1 0 1 1 0

". 3

1 0 0 0 0

"4 0 0 1 0 0

". 0 0 0 0 0 5

. ~ 0 ~ 1 0

AnzahI der unmittelbaren Nacbfolger

13 14

1 1

1

1

(1) (1)

Zeilensumme 0

3 Anzahld.

1 umittelb. 1 Nacbfolger

0

Abbildung A.15: Adjazenzmatrix eines Digraphen

Ein gerichteter Graph und seine Adjazenzmatrix: Sei D ein Digraph mit der Adjazenzmatrix A(D), dann gilt:-

370

D symmetrisch {:} D antisymmetrisch {:} D vollstandig {:} D transitiv {:}

fUr i, j, k€{l, 2, ... ,n}

Bemerkung:

aij = aji

aijaji = 0 aij = 1 fUr i =1= j aus aij = ajk = 1 fur i =1= k folgt aik = 1

Die Adjazenzmatrix eines topologisch sortierten Digraphen kann im­mer in eine obere Dreiecksmatrix umindiziert werden (Abb. A.16).

Adjazenzmatrix:

A(D)= ( ~ ~ ~ ~) 1 1 0 0 011 0

Indiziert nach topologischer Sortierung Adjazenzmatrix nach Umindizierung:

123 4 v4 - vi 1 (0 1 1 0) v3 - v; 2 0 0 1 1 v~ _ v; 3 0 0 0 1

v1 -v4 4 0 0 0 0

Abbildung A.16: Umindizierung

Potenzen der Adjazenzmatrix: Die Elemente der s-ten Potenz AS der Matrix A bezeichnen wir mit a~;) (i,j€{1,2, ... ,n};s€INI), aW ist als Skalarprodukt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte von A, also

n

a~J) = I: aikakj

k=l

und gerade gleich der Anzahl der von Vi nach Vj fuhrenden Pfeilfolgen von D mit der Pfeilzahl 2. Satz: Sei A die Adjazenzmatrix eines Digraphen D, dann ist das Element a~;) der Matrix AS gleich der Anzahl der von Vi nach Vj fUhrenden verschie­denen Pfeilfolgen von D mit der Pfeilzahl s (i, j€{l, 2, ... ,n}; s€INI)

371

(Abb. A.17 und Abb. A.18). Beispiele:

Abbildung A.17: Gerichteter Graph mit Zyklus

(0100) (1000) (0100) (1000) Al _ 1000 . A2 _ 0100 . A3 _ 1000 . A4 _ 0100

- 1100 ' - 1100 ' - 1100 ' - 1100 0110 2100 1200 2100

(A2 und A4 sind alternierend, d.h. es existiert ein Zyklus!)

A= (~ ~ o 0 o 0

! ~ ~ ~l 001 0 o 0 0 1 o 0 0 0

Abbildung A.18: Gerichteter Graph ohne Zyklus

(

001021) (011100) (000003) 000002 001010 000000 2 000000 000001 3 000000 4

A = 000001 xA= 000010 = A = 000000 ; A =0 000000 000001 000000 000000 000000 000000

(0 bezeichne eine entsprechend dimensionierte Matrix mit lauter Nul­len.) Die Erreichbarkeitsmatrix eines Digraphen: Definition: Die einem Digraphen D = (V, X) zugeordnete n x n-Matrix R(D)

372

mit den Elementen

(i,jE{1,2, ... ,n}) sonst

heifit Erreichbarkeitsmatrix von D. Beispiel:3

BV.I\B= 110 ( 101 )

010

Bestimmung cler Erreichbarkeitsmatrix Wij = Weg minimaler Pfeilzahl von Vi nach Vj. Z(Wij) = Pfeilzahl von Wij.

fill '/, = J fill vjER(vd fUr VjER( Vi)

Wir definieren nun die Matrix Rs(D) mit den Elementen

rtf. = { 1 fill vjER(Vi) mit dij ::; S

tJ 0 sonst

Weiters gelte Ro(D) = I.

Satz: Es gelte

Dann gilt bfj > 0 genau clann, wenn vjER(Vi) und dij ::; s.

3 A v B bezeichnet die komponentenweise Verkniipfung der Matrizen A und B mit der Iogischen Funktion V, wobei 1 fiir 'wahr' und 0 fiir 'faisch' stehe. A V ./\ B bezeichnet eine Art Matrixmuitiplikation der Matrizen A und B, bei welcher die Addition durch die Iogische Operation V (oder) und die Muitiplikation durch die Iogische Operation /\ (und) ersetzt wird. 1 und 0 werden wieder ais Wahrheitswerte interpretiert (1 ++ wahr und 0 ++ faIsch).

373

Sonst gilt b1j = O(i,j€{1,2, ... ,n}). (1 bezeichne die Einheitsmatrix.) Die Korrektheit dieser Behauptung folgt unmittelbar aus dem obigen Satz iiber Adjazenzmatrizen. Satz: Sei q die kleinste Zahl s€INI mit Rs = Rs+1' Es gilt dann R = R q •

Die Korrektheit dieser Behauptung konnen sich die LeserInnen leicht selbst iiberlegen. Adjazenzmatrix der transitiven Hiille Dt eines Graphen D :

A(Dt) = R(D) - 1.

Starke Zusammenhangskomponenten konnen aus der Matrix R X = R(D) X RT (D) (x = komponentenweise Multiplikation) bestimmt wer­den, da

x rij = rijrji;

rij ist aber genau dann 1, wenn vi€R(vj) und Vj€R(Vi), also beide in derselben starken Zusammenhangskomponente liegen. Beispiel (Abb. A.19):

Abbildung A.19: Gerichteter Graph

010000 011010 011011 011011 001000 (

100000 )

Bo = 000100 ; 001001 001001 001001 (

111100 ) ( 111111 ) ( 111111 )

Bl = 000110 ; B2 = 000111 ; Ba = 000111

Bo =1

000010 000001

B1 =1+A B2 = 1 +A+A2 B3 = 1 + A + A2 + A3 B4 = B3·

000011 000011 000011 000001 000001 000001

374

Beispiel (Abb. A.20):

Abbildung A.20: Gerichteter Graph

( 1100 ) ( 1100 ) ( 1100 ) _ 1100 . _ 1100 . _ 1100 _ ,

Bl - 1110 ,B2 - 1110 ,B3 - 1110 - B2.

0111 1111 1111

Also:

( 0100 ) ( 1100 ) t 1000 " 1100

A(D ) = 1100 j R = 0010

1110 0001

375

Anhang B

Losungen der Beispiele

B.l Kapitel 2: Die Codierung und Darstel­lung von Daten in Speichern

1. Losung: 1492

342 x 3 = 1026; die nachstgro:Bere Zweierpotenz ist 211 = 2048, es sind also 11 Bits zur Abspeicherung eines Zeichens notig. 693/11 = 63 Zeichen pro SupaMerk-Speichereinheit; 23498/63 = 372.98, daher miissen 373 Speichereinheiten gekauft werden: 373x 4 = 1492 M uscheln sind zu zahlen.

2. Losung: b

3. Losung: 5 Stunden, 3 Minuten und 14 Sekunden

471216 = 4 X 163 + 7 X 162 + 1 X 161 + 2 * 16° = 18194 Sekunden = 303 Minuten und 14 Sekunden = 5 Stunden, 3 Minuten und 14 Sekunden.

4. Losung: 16

Die Symbole 0-9 und A-F.

5. Losung: 75

117 / 16 = 7 Rest 5 7 / 16 = 0 Rest 7 Die Reste von unten nach oben gelesen ergibt 75.

6. Losung: 6

377

Die Binarzahl ist 100111101, wie das Divisionsrestverfahren er­gibt:

Division Rest 317: 2 = 158 1 158 0 79 1 39 1 19 1 9 1 4 0 2 0 1 1 0

7. Losung: 8

F416 = (15,x 161 + 4ho = 24410

F4 ist dezimal gleich 244; mit dem Divisionsrestverfahren erhal­ten wir die Biarzahl:

Division Rest 244: 2 - 122 0 122 0 61 1 30 0 15 1 7 1 3 1 1 1 o

Die Binarzahl ist (von unten nach oben lesen) gleich 11110100 (wie auch durch direkte Ubersetzung von F4 gepriift werden kann: Fist binar 1111, 4 ist binar 0100). Diese Zahl hat 8 Stel­len.

8. Losung: 9

FAD16 = 4013

FAD ist dezimal gleich 4013; mit dem Divisionsrestverfahren er­halten wir die Binarzahl: 111110101101. Diese Zahl hat 9 Zeichen "1".

378

9. Losung: b

25 = 32, aber Null muB auch gespeichert werden; die gro:Bte Binarzahl mit funf Stellen ist 111112 = 3110.

10. Losung: b

4 x 8 = 32 Bit, 8 Bit pro Byte.

B.2 Kapitel 3: Datenspeicher

1. Losung: b

2. Losung: a

3. Losung: c

Es wird ein 12 Bit-Code verwendet; es miissen immer zwei Nullen zwischen zwei Mustern sein

4. Losung: a

5. Losung: e, b, a, c, d

6. Losung: 20480000

5 * 1024 = 5120 5120 * 10 = 51200 Byte/Spur 51200 * 40 Spuren = 2 048 000 pro Oberflache 10 Oberfiachen --+ 20 480 000 Byte

7. Losung: a

8. Losung: b

9. Losung: a, d

10. Losung: a, c, e

11. Losung: b, c, d, e

12. Losung: e

13. Losung: c

Es miissen durchschnittlich 400 Satze gelesen werden, pro Satz der Indexdatei sind 400/(128/(28 + 4)) = 100 Zugriffe notig, die 20 Sekunden dauern.

379

14. Losung: b, d, e

B.3 Kapitel 4: Datenstrukturen und Daten­organisation

1. Losung: 1, 11, 15

2. Losung: c

LIFO: nur das jeweils zuletzt angefugte Element ist bei der nachsten Entnahme zuganglich.

3. Losung: 2, 12

Da 4 push-Operationen 5 pop-Operationen gegenuberstehen, blei­ben im Stack nur zwei Elemente vom Anfang ubrig: 2 und 12.

4. Losung: 69

Zu den Nachfolgern des Knotens j zahlen alle Knoten auBer j. Die Summe der Werte der Nachfolgerknoten ist 69.

5. Losung: 4

B.4 Kapitel 5: Die Entwicklung einer Pro­blemlosung

1. Losung: 3

2. Losung: 120

Das Programm berechnet die Faktorielle f einer Zahl n.

3. Losung: a, b, c

4. Losung: 216

5. Losung: 28

Die Schleife wird 7 mal durchlaufen, die Summe ist 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

380

B.5 Kapitel 6: Die Korrektheit von impera­tiven Programmen

1. Losung:

x_a

y_b

y'" 0

r-x- lx::yJ. y

x-y

y_ r

ggT-x

Abbildung B.1: Struktogramm fiir ggT

2. Losung:

Bleibt dem Leser iiberlassen.

3. Losung:

siehe [Goldschlager, Lister 1990], S. 133 if.

4. Losung:

siehe [Goldschlager, Lister 1990]' S. 133 if.

5. Losung:

siehe [Goldschlager, Lister 1990], S. 133 if.

6. Losung:

Bleibt dem Leser iiberlassen.

7. Losung:

Bleibt dem Leser iiberlassen.

8. Losung:

Das Nimm-Spiel (Abb. B.2):

381

'Anzahl der Stlibcben eingeben'

'Habe 'j' Stlibcben genommen!'

Abbildung B.2: Nimm-Spiel-FluBdiagramm

9. Lasung: (Abb. B.3):

382

I ~ ~ ~

Stab 1 Stab 2 Stab 3

~ ~ ~ Stab 1 Stab 2 Stab 3

Abbildung B.3: Tiirme von Hanoi

Das nachfolgende Bild veranschaulicht zwei Beispiele zur optimalen (redundanzfreien) Vorgangsweise durch Handsimulation (Abb.BA).

2 Scheiben (n=2) 3 Scheiben (n=3)

I .b. ~ ~ I

b ~ ~ I .L ~ 1,

I I r=b J. ~

~ J-, 1, I I

L 1 r-l I

~ b ~ I L ~ A

I

~ ~ A I

1, ~ r-l I

~ ~ ~ ~ .e ~

Abbildung BA: Hanoi-Handsimulation

383

Das nachfolgende Bild veranschaulicht die Vorgangsweise des rekursi­ven Losungsalgorithmus (Abb. B.5).

n Scheiben Problem ~ ~ ~ I

Umstecken von n-l Scheiben vom Quellstab

J. ~ k auf den Hilfsstab: (Reduzierte GroBe des Problems n-l, da ungeklilrt ist, wie die-

I ser Turm mit (n-l) Schieben umgesteckt werden soil.)

n-te Scheibe vom Quellstab auf den ~ J. k Zielstab stecken:

Umstecken von n-l Scheiben vom ~ ~ ~ Hilfsstab auf den Zielstab:

Abbildung B.5: Rekursiver Losungsalgorithmus

RAHMEN:

n einlesen

Stecke (0,1,2)

STECKE (N,A,B):

Stecke (0-1 ,a,6-a-b)

'Scheibe 'n' von 'a' oach 'b"

Stecke (0-1,6-a-b,b)

Abbildung B.6: Hanoi-Struktogramm

384

I

I

Rahmen: Stecke (n, a, b):

Scheibe '0' voo 'a' nach 'b'

Abbildung B. 7: Hanoi-Flufidiagramm

B.6 Kapitel7: Der Aufbau von elektronischen Datenverarbeitungsanlagen

1. Lasung: 195, Ausgabe: 1, 2

2.

Schreiben wir das Programm auf und dazu fiir jede Anweisung, wie oft sie aufgefiihrt wirdj multiplizieren mit der entsprechenden Ausfiihrungszeit ergibt summiert die gesamte Ausfiihrungszeit:

READ I 20 20 STORE LIMIT I 9 9

LOOP LOAD ZAEHL II 9 18 ADD EINS II 10 20 STORE ZAEHL II 9 18 WRITE II 30 60 LOAD LIMIT II 9 18 SUB ZAHL II 8 16 BGZERO LOOP II 7 14 HLT I 2 2

195

Lasung: Ausgabe = 7

385

Nach Zeile 7 ist der Inhalt des Akkumulators = 5. Nicht aus­gefiihrt werden Zeilen 9, 10, 11. Der Inhalt des Akkumulators fiir jeden Befehl:

1 A 2 B 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 MAX 13 14

3. Losung: Ausgabe = 4

DS 0 DS 0 READ STORE A READ STORE B SUB A BGZERO MAX LOAD A WRITE HLT LOAD B WRITE HLT

Nicht ausgefUhrt werden die Zeilen 12-14.

4. Losung: 15

2 2 7 7 5 5

7 7 7

Die Veranderung der Speicherzellen wahrend des Programmab­laufs ist:

SiN

o 0 5 5 9 4 12 3 14 2 15 1

o

Nach dem letzten Schleifendurchlauf enthalt der Akkumulator den Wert 15. Dieser Wert wird ausgegeben. Das Programm be­rechnet die Summe der Zahlen von Eins bis zum gegebenen n.

5. Losung: 11 S N o 0 3 1 8 2

21 3 44 4

386

Das Programm liest Zahlen ein, bis Null eingegeben wird. Dabei wird N fiir jede eingegebene Zahl urn Eins erhaht. Dann berech­net es den Mittelwert der eingegebenen Zahlen, indem es S in den" Akkumulator Hi-dt und durch N dividiert. Der Inhalt des Akkumulators nach der Division wird ausgegeben.

6. Lasung: 13

Es werden 13 Anweisungen ausgefiihrt, wobei der Akkumulator von 5 auf 0 heruntergezahlt wird. Die Zahl Null wird ausgegeben.

7. Lasung: d

8. Lasung: c

Das Steuerwerk liest einen Befehl in codierter Form aus dem Speicher. Der Befehl wird im Befehlsregister gespeichert. Die Ab­arbeitung des Befehls beginnt, indem das Steuerwerk in Ubere­instimmung mit dem Befehl im Befehlsregister der Reihe nach entsprechende Signale an Rechenwerk und Speicherwerk sendet.

9. Lasung: a, d

10. Lasung: c

B.7 Kapitel 8: Der Betriebsmittelverbrauch von algorithmischen Problemlosungen

1. Lasung: b

Bei der Ermittlung des Betriebmittelverbrauches von algorith­mischen Problemlasungen versucht man die Laufzeit T und den Speicherbedarf S als eine Funktion der Problemgra:l3e anzugeben: T(n) und S(n). Unter der Problemgra:l3e n versteht man bei Such­und Sortierproblemen zB die Anzahl der Karteiblatter der elek­tronischen Kartei, in der gesucht bzw die sortiert werden solI.

2. Lasung: b, d

Lineare Zeitkomplexitat ist geringer als quadratische, da bei li­nearer Zeitkomplexitat die Laufzeit so schnell wie die Problem­graBe wachst, daher ist Aussage (b) richtig. Die Laufzeit des anfangs angenommenen Algorithmus steigt bei einer Verdreifa­chung der ProblemgraBe auf das neunfache, daher ist Aussage

387

(d) richtig.

3. Losung: c

Die Mikroanalyse dient zur Ermittlung der effektiven Laufzeit eines Algorithmus auf einer konkreten EDV-Anlage. Wir konnen die effektive Laufzeit durch Abfassung eines Maschinenprogram­mes und die Mikroanalyse ermitteln, wenn uns die Ausfiihrungs­zeiten fiir jeden Maschinenbefehl bekannt sind.

B.8 Kapite19: Systemsoftware: Betriebssystem, Ubersetzer und Dienstprogramme

1. Losung: a, b

2. Losung: e

3. Losung: c, e

Die Antworten c und e sind richtig, die anderen Antworten sind Verwirrungen aus den Aussagen im Buch: Ein Pascal-Compiler iibersetzt Pascal-Programme, nicht Backus-Naur-Formen. Cobol ist eine Programmiersprache, kein Betriebssystem. Prolog ist eine Programmiersprache, kein Syntaxdiagramm.

4. Losung: 10

(Ausdruck) -+ «Funktion) (Ausdruck) (Ausdruck) ) -+ «Funktion) ( (Funktion) (Ausdruck)

(Ausdruck) ) (Ausdruck) ) -+ (* ( (Funktion) (Ausdruck) (Ausdruck) )

(Ausdruck) ) -+ (* ( + (Ausdruck) (Ausdruck) ) (Ausdruck») -+ (* ( + (Variable) (Ausdruck) ) (Ausdruck) ) -+ (* ( + x (Ausdruck) ) (Ausdruck) ) -+ (* ( + x (K onstante) ) (Ausdruck) ) -+ (* ( + xl) (Ausdruck) ) -+ (* ( + xl) (Konstante) ) -+ (*(+xl)9)

Das sind 10 Ableitungsschritte.

5. Losung: 10

388

(Ausdruck) -+ ((Ausdruck) (Ausdruck) (Funktion)) -+ (( (Ausdruck) (Ausdruck) (Funktion) )

(Ausdruck) (Funktion) ) -+ (( (Variable) (Ausdruck) (Funktion) )

(Ausdruck) (Funktion) ) -+ (( x (Ausdruck)(Funktion) ) (Ausdruck)

(Funktion) ) -+ (( x (Variable) (Funktion) ) (Ausdruck)

(Funktion) ) -+ (( x y (Funktion) ) (Ausdruck) (Funktion) ) -+ (( x y - ) (Ausdruck) (Funktion) ) -+ (( x y - ) (Variable) (Funktion) ) -+ (( x y - ) y (Funktion) ) -+ ((xy-)yj)

Das sind 10 Ableitungsschritte.

6. Losung: 8

(8) --+ (0) (V) (0) --+ (11) (ll) (V) (0) --+ grosse (ll) (V) (0) --+ grosse katzen (V) (0) --+ grosse katzen beissen (0) --+ grosse katzen beissen (11) (ll) --+ grosse katzen beissen kleine (ll) --+ grosse katzen beissen kleine hunde

Das sind 8 Ableitungsschritte.

7. Losung: 9

(8) --+ (0) (P) --+ (A) (ll) (P) --+ viele (ll) (P( --+ viele froesche (P) --+ viele froesche (V) (W) --+ viele froesche quaken (W) --+ viele froesche quaken (N) (ll) --+ viele froesche quaken im (ll) --+ viele froesche quaken im teich

Das sind 9 Ableitungsschritte.

8. Losung: 8

389

Es sind 8 Substitutionen natig, um den Satz aus den Gramma­tikregeln abzuleiten:

{Satz} --+ {Subj} {Praed} --+ {Hw} {Praed} --+ enten {Praed} --+ enten {Zw} {Oe} --+ enten schwimmen {Oe} --+ enten schwimmen {Pp} {Hw} --+ enten schwimmen im {Hw} --+ enten schwimmen im teich

9. Lasung: 8

Acht Substitutionen sind natig, um den Ausdruck aus den Gram­matikregeln abzuleiten.

{Satz} --+ {~b} (Praed) --+ (Art) (Hw) (Praed) --+ die (Hw) (Praed) --+ die froesche {Praed} --+ die froesche (Zw) (Ob) --+ die froesche fangen {~b} --+ die froesche fangen {Hw} --+ die froesche fangen fliegen

10. Lasung:

Bleibt dem Leser iiberlassen.

B.9 Kapitel 10: Anwendungssoftware: Infor­mationssysteme

1. Lasung: c

2. Lasung: c

B.10 Kapitel 11: Nichtsequentielle Parallele Verarbeitung

1. Lasung: a

390

SISD - Single-Instruction-Single-Datapath-Machine SIMD - Single-Instruction-Multiple-Datapath-Machine MIMD - Multiple-Instruction-Multiple-Datapath-Machine

2. Losung: 2357

3. Losung: d

( a) ist offensichtlicher U nsinn, bei (b) und (c) ist das Gegenteil wahr.

B.ll KapiteIl2: Kommerzielle DatenmodeI­Ie und Datenbanken

1. Losung: 219

Entitat Entlehner: Name, Adresse, Bibliotheksausweisnummer Beziehung entlehnt: Datum Entitat Buch: Signatur, Verfasser, Titel, Erscheinungsort, Er­

scheinungsjahr

2. Losung: 217

2 Entitaten 1 Beziehung Attribute: Auftrag: Nr. Artikel: Nr., Einheit Entnahme: Auftragsnr., Artikelnr., Datum, Menge

3. Losung: 2, 1, 7

4. Losung: d, e

5. Losung: b, d

B.l2 KapiteIl3: Datennormalisierung und ih­re Vorteile

1. Losung: Nein.

391

Projektnummer -+ Projektname Mitarbeiternummer -+ Mitarbeitername Primarschliissel ist Projektnummer, Mitarbeiternummer

2. Losung: a, c, d

(b) ist Unsinn, geringerer Aufwand auch hier.

3. Losung: 11

Die Relationen sind "Schiller", "besucht" und "Kurs" mit jeweils 3, 5 bzw. 3 Tupel.

4. Losung: b, c, e

Die richtigen Antworten sind (b), (c), und (e), die anderen Ant­worten sind Verwirrungen aus den im Buch enthaltenen Defini­tionen.

5. Losung: 3

Die Abfrage lautet:

Select Name, Menge from Lager where Farbe = 'griin' and Preis < 120;

Die Ergebnistabelle ist:

Name Menge Springfrosch Klebeschlange Knallfrosch

Das sind 3 Tupel (Zeilen der Tabelle).

6. Losung: 1

Select Projektnummer, Projektname from Projekt

25 40 40

where (Leiter = "Maier" or Leiter = "Miiller") and Ende ~ 31. 10. 1990 and Ende ~ 10. 2. 1991

I 3 I Lageroptimierung I 7. Losung: 4

select Lieferant from Artikel, Lieferanten where ALieferantennr = LLieferantennr and Artname = 'Blei-

392

stift';

Hardtmuth AG Faber Brevillier Urban IBA

B.l3 Kapitell4: Datenmodellierung mit dem erweiterten ER-Modell

1. Lasung:

Grad: Beschreibt den begrifflichen Zusammenhang von Entitae­tenmengen aa) unare Beziehungen, d.s. Zusammenhange von einer Entitaten­menge mit sich selbst. ab) binare Beziehungen, d.i. der Zusammenhang zweier Entitaten­mengen ac) n-are Beziehungen (n >= 3): Unter einer ternaren Beziehung (n=3) verstehen wir den Zusammenhang von 3 Entitaetenmen­gen Konnektivitat: kann 1 oder n sein. Eine 1 bedeutet, daB jedem Element einer Entitatenmenge in der Beziehung genau ein Ele­ment zugeordnet ist. Analog n. Elementbeziehungsklasse: Eine Beziehung kann zwingend oder optional zu einer Entitatenmenge sein, diese Typologie wird als Elementbeziehungsklasse bezeichnet.

2. Lasung:

NULL-Werte sind nicht Null im numerischen Sinne, sondern be­zeichnen "keine Eintragung" in der Tabelle. Sie sind nur ffir Fremdschliissel in Entitatenrelationen mit optionaler Beziehung erlaubt.

3. Lasung:

Teilmengenhierachie: Entitatenmenge El und E2 seien Teilmen­gen einer Entitatenmenge E, wenn jedes Element von El und E2 immer gleichzeitig Element von E ist. Eine Teilmengenhiera­chie kann Teilmengen aufweisen, die sich iiberlappen. Generali­sierungshierachie: Eine Entitatenmenge E werde als Generalisie­rung der Entitatenmengen El, E2 ... , En bezeichnet, wenn jedes

393

Element von E auch Element in genau einer und nur einer Teil­menge E1, E2, ... , En ist. Unterschied: Eine Generalisierungshierachie kann im Gegensatz zur Teilmengenhierachie nie sich iiberlappende Teilmengen ha­ben. Generalisierungshierachien implizieren die Vereinigung dis­junkter Entitatenmengen in der erzeugenden Entitatenmenge. Teilmengenhierachie impliziert dies nicht.

4. Losung:

Applikationen

5. Losung:

Professionist

Bau

Investor Bauprojekt

B.14 Kapitel 15: Die Turingmaschine

1. Losung: c

2. Losung: 14

Das Band ist nun ... 0, 0, 0, 0, 0 ....

3. Losung:

Die Menge der Eingabeworte, die die TM veranlassen, in den Endzustand iiberzugehen.

4. Losung:

394

state input action state qo 1 -+ qO qo 0 -+ ql ql 1 -+ q2 q2 0 haIt.

5. Losung: state input action state

qO 0 -+ qO qo 1 -+ ql ql 1 -+ ql ql 0 haIt.

395

Literatur- und Quellenverzeichnis

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399

Index

Abstraktionsebene 225,226,249, 250

Adjazenzmatrix 368-371, 374 Algorithmus 149, 153-156, 158,

160, 163-167, 169, 171, 174,176,177,188,189, 209,211-214,217,218, 257, 263-265, 270, 387, 388

Alphabet 229, 230, 232, 233 Amplitudenwerte 32 Anfangsknoten 137, 138, 358, 359,

364 Anfangszustand 342, 344, 346 Anordnungspermutation 212, 213 Anweisung 161, 162, 171, 220,

237,248 Anwendungsprogrammierer 41 Arbeitsanweisungen 154-156 Arbeitsplatzdrucker 324 Arbeitsplatzrechner 30,69,267,

322 Architektur 42, 268, 269 Array 89 Atom 60-62 Atomkern 59,60 Attribut 130, 145,272-274,277,

278, 280, 284, 286-288, 290-292, 299, 304, 305, 307,311,313,317,318, 332

400

Attributetupel 287, 288, 291 Attributskombination 286, 287 Aufsuchen 38, 46, 133, 143, 295,

320 Auftragssteuersprache 228, 229 Aufzeichnung 28, 29, 32, 94, 113,

115, 116, 119, 120, 281 Aufzeichnungsdichte 95, 121, 122 Aufzeichnungsmedium 107, 117 Ausgabewert 354, 356 Ausgangschip 77 Aussprache 35

Bandeinheiten 94-96 Bandfeld 343 Bandsymbo1341, 342 Basismaterial 77 Basiszeichen 232, 233 Baud 198 Baum 138-140, 147, 367 Bedingung 155, 161, 175, 187,

190 Beendigung 170, 201, 221 Befehl 41, 170, 184, 186, 187,

189, 197, 199, 201, 205, 215, 236, 245, 265, 300, 302, 387

Befehlsregister 186, 187, 387 Befehlszahlregister 208 Beginn 172, 196, 223, 233, 251,

349,352 Behauptung 237, 356, 374

Betreuer 330 Betriebsart 223 Betriebsmittel219, 220, 226, 229 Betriebssystem 41, 89, 221, 222,

225, 229 Betriebssystemkern 225, 226 Beziehung 34, 154, 155, 257, 275,

276,278,280,282,293, 303-305,311-314,317-320,322-331,333,391, 393,394

Beziehungsrelation 279,303,325, 327, 333

Bildungsgesetze 232 Bit 11, 13, 14, 17, 21, 23, 24,

26, 30, 43, 55, 79, 81, 84,89,92,99,108,111, 112,121,130,198,207, 217, 379

Block 61, 75, 90, 92, 94, 126 Bytes 15, 24, 25, 43, 47, 81, 84,

87, 94, 105, 106, 184

Cache-Speicher 199 CD-ROM-Platte 21, 24, 99, 101-

106, 125 Chip 70, 71, 79, 120 CMOS-Technologie 71,72, 74 Code 16, 19-24, 99, 104, 105,

379 Codierung 9, 10, 176, 193, 377 Controller 86, 87

Datei 96, 127, 133, 134, 144, 145, 228

Datenbank 278, 284, 294-299, 306-310, 317

Datenbanksystem 35, 296, 298, 299

Datendurchsatz 87-89, 115

401

Datenelement 107, 132, 133, 284 Datenmode1l271, 280, 297-299 Datensicherheit 86, 87, 91 Datenstruktur 129-131, 134, 141,

249, 250 Design 40, 77, 78, 135, 164, 169,

174, 203, 254, 319, 398 Dezimalzahl 22, 26, 43 Dialogbetrieb 223, 224, 228, 238 Dichte 16, 62, 101, 122, 199 Differenz 56, 57 Digraph 362-370 Diode 65 Diskette 84, 127 Distanz 70, 73, 250, 267 DTM-Programm 347,348

E-R-Modell 275, 310, 317, 334 Ecke 312 Eingabetext 34, 35 Eingabezeichen 230, 343, 348 Eingabezeichenfolge 348, 349 Elektron 60, 63 Elektronen 48, 51, 59-63, 67, 75 Endbenutzer 3, 5, 6, 295, 296,

306 Endknoten 137, 138, 358, 359,

363, 366, 367 Energieebene 59-63, 75 Entscheidungsdiagramm 160, 162,

166 Entwurf 35, 71, 78, 79, 96, 127,

158,183,236,243,244, 310,317

E:r!<ennung 37, 38, 40, 268, 269 Expertensysteme 6, 250, 251 Exponent 26

Feder 49, 51, 52, 308 Feldeffekttransistor 74

Filter 33 Flash-Speicher 81, 82, 120, 124 Flip-Flop 55 Funktionstabelle 342-344

Genauigkeit 27, 101 Geschwindigkeit 38, 45, 48, 59,

70,92,95,119,120,202, 203, 221

Gigabyte 82, 85, 93-97, 110, 125 Gitter 267 Glasmaske 77 Gleitpunktzahl26 Grammatik 38, 40, 234, 236, 239-

242 Graph 136-138, 267, 357, 358,

360,361,366,367,370, 372

Halbleiterspeicher 4,46,47, 79, 81, 120, 124

Haltezustand 345 Hanoi 179, 259, 383 Hauptwelle 34 Hertz 34 Hilfszeichen 232-234 Hinzufiigen 147, 306 Hologramm 116, 117, 119 Holographie 116 Holospeicher 116-119, 124

Indexdatei 127, 145, 379 Indikator 262, 263 Induktionsbehauptung 174, 175 Input 34, 55, 349 Instruktion 199, 201 Integration 320, 321

Job 127, 221-223

Kantenfolge 358, 359

402

Klammer 189 Klasse 6, 97, 115,210,237,247,

249, 341, 346, 348, 349 Knoten 136-141, 147, 210, 267,

358-369, 380 Knotenmenge 360, 361, 365, 368 Kollisionsfunktionen 143 Komplement 56, 57, 185 Kontrolldaten 89 Korrektheit 4,169-171,173,174,

176,177,188,297,374, 381

Korrektheitsbeweise 169 Korrekturbit 22 Korrekturen 150, 151, 319 Kristall62

Loschen 306 Laserstrahl 103, 104, 108, 113 Laufwerk 89-91 Laufzeit 182, 210, 211, 213-215,

218, 355, 387, 388

Magnet 52, 108, 112 Magnetisierung 29, 52, 94, 107,

111, 121-123 Magnetplatte 99, 121, 126, 202 Mantisse 25-27 Maschine 4, 119, 189, 203, 216,

225-229, 245, 255-257, 260,264,265,339-344, 346, 347, 349, 350, 352

Maschinenbefehl189, 200, 215, 245, 341, 388

Maschinencode 78, 219, 220, 354 Masterplatte 103, 105 Matrikelnummer 273, 274, 280,

288 Mehrprogrammbetrieb 222-224 Membran 28

MHz 201-203 Motorola 199, 200, 202 Muster 15, 16, 39, 40, 117, 350

Nachfolger 133, 134, 138, 147 Nachname 286,289 NOR-Funktion 66,68 Normalform 285, 286, 288-291,

300,307,310,315,316, 335

NOT -Funktion 68 NULL-Wert 300, 323 Nur-Lesespeicher 79, 80

Objektprogramm 220 Objektstrahl 117 Objektwelle 116 Operand 192 Operation 57,70, 193,201,203,

217,260,339,341,343, 345, 347, 373

Output 34, 67

Packungsdichte 69, 72, 79, 82, 115, 121, 122

Parameterisierung 34, 35 Partikel 122 PCM-Vercodierung 32 Pfad 19, 120, 138 Pfeile 131, 210, 360, 361 Phasenwechseltechnologie 113, 115,

120, 124 Phonem 35 Phosphorunreinheiten 62, 63 Photographie 115, 116 Pipeline 199, 200 Plattenarray 86, 87 Platteneinheit 82, 124 Plattenlaufwerk 87 PlattenoberfHiche 127

403

Plattenspeicher 82, 98, 120, 121, 202, 203

Platzbedarf 72, 74, 135 Problemebene 247, 251 Problemlosung 252 Produktion 46, 71, 75, 78 Programm 153, 170, 171, 173-

176, 187, 189, 192,203, 205,206,215,220,221, 223-228,230,231,236-238,244,247,250,251, 254-256, 261-263, 265, 296,298,340,350,351, 354-356, 380, 385-387

Programmierer 135, 149, 150, 176, 247, 250, 284,' 296

Programmiersprache 85, 150, 153, 154,176,220,229-231, 236-240, 247, 250, 354

Programmierung 4, 176, 189, 210, 220,236-239,244,250-252

Projekt 276, 279, 305, 323, 327, 329,330

Prozess 252 Prozessor 70, 86, 199-203, 221,

222,226,253-257,260-263, 265-269

Prozessorgeschwindigkeit 201-203 Pufferspeicher 97, 199, 201-203

Quantifizierungsebene 29,30 QueUe 365-367, 370

RAID-Ebene 87-90 Realisierung 4, 51, 68, 69 Realzeitbetrieb 223, 224 Rechenwerk 185, 186, 198, 207,

387

Register 57, 58, 126, 201, 202, 208

Relais 54, 55, 58, 59, 68 Relation 129, 130,136, 137, 170,

173,174,274,278-280, 284-295,299,303,305-307,316,323,324,332, 333, 336

Reorganisation 134, 145 Resonanzwellen 34 Ressourcen 4, 41, 42, 221, 225 Ruhestrom 80 Rundreiseweg 347

Schalter 49-52, 54, 64, 65, 68, 71

Schaltkreis 29, 51, 55, 66-68, 71 Scheibe 179, 257 Schema 48, 296, 298 Schicht 64, 66, 72, 73, 77, 107,

113, 121, 226, 268 Schliissel 127 Schlange 136 Schleife 173-176, 248, 380 Schreibleistung 86 Schreiboperation 89-91 Schreibweise 11, 12, 25, 214 Sektor 21, 84, 106, 111, 127 Semaphor 262, 263 Senke 366, 367, 370 Silizium 61, 62, 73, 75-77, 79 Siliziumkristall 62, 63 Siliziumoxyd 76, 77 Simulation 34, 349 Sohnknoten 139, 141 Spannung 53-55,63,64,66,67,

73 Speicher 15, 23, 39, 42, 45-47,

55, 58, 81, 83, 97, 100, 107, 119, 120, 124, 130,

404

132, 136, 183-185, 190, 201, 203, 228, 265, 339

Speicheradresse 142, 143, 145, 192

Speichereinheit 22, 42 Speichermedien 21, 92, 97-101,

103, 108-111, 115, 116, 120,124,125,145,224, 228

Speichermedium 29, 82, 86, 96, 228

Speicherplatz 15, 89, 142, 143, 190, 209, 285

Speicherstelle 261, 262 Speicherwerk 182, 186, 198, 207,

387 Speicherzelle 46, 55, 183, 189,

193, 204, 340 Spooling 224 Sprache 31, 33, 35, 36, 38-42,

221,229,230,232,233, 236,237,240-242,247, 249, 250, 296, 299

Spracherkennung 36, 37, 39 Sprachmuster 39, 268 Sprechererkennung 36, 37 Sprungbefehl 187 Stapel 126, 135 Stapelbetrieb 223, 228 Stapelverarbeitung 223, 224 Start-Stop-Verfahren 94 Stellenwert 13, 14, 25, 56 Steuerwerk 186, 187, 207, 387 Stichprobe 29, 30 Stimme 34 Strahl 103, 111 Stromverbrauch 71, 72, 74 Struktogramm 162-167,176,211,

381,384

Summanden 56 Syntax 149, 229, 230, 247, 249,

301 Systemzustand 55

Teiltabelle 210 Testen 71, 150, 176 Tiefen 102, 103 Ton 27-29, 32, 33, 36, 41, 101 Tongenerator 34 Tonressourcen 31, 41, 42 Transformiere 333 Transistor 65, 66, 71, 72, 74, 77 Tupel 273, 275, 278, 279, 285,

287, 299, 306-308, 353, 392

Turingmaschine 339-342, 344-348,350

U mmagnetisierung 107, 108 Unterprogramm 162, 245-248

Verarbeitungseinheit 199, 341 Vercodierung 4, 9, 10, 15, 16,

20,31,32,39,105,130, 280,341

Verifikation 37, 250, 251 Verkettung 132-134 Verzweigung 161, 162, 187, 229 Vibration 27 Vierergruppen 14, 15 VLSI-Technologie 58, 71, 79 Vokabularien 38, 40 Vokaltraktes 34 Vorzeichen 26

Wahrheitswert 50 Wald 366, 367 Welle 30, 32, 33, 116 Wellenform 32, 39 Wertemenge 273, 274

405

Wissensabstraktion 250-252 WORM-Platten 100, 106, 107,

124 Wortmuster 37 Wurzel 138, 140, 147, 367 Wurzelknoten 137-140

Zahlensystem 11, 12, 27, 56 Zeigerfeld 134 Zeitscheibe 222-224 Zentraleinheit 198, 208, 223, 238 Zugriffsgeschwindigkeit 99,100,

108, 111, 115, 125, 145 Zusammenhangskomponente 367,

374 Zusammenhangstyp 275, 276, 282 Zyklen 201, 340, 348, 362 Zyklus 138, 201, 202, 345, 349,

364 Zykluszeit 201, 202

A.-W. Scheer

Architektur integrierter Informationssysteme Grundlagen der Unternehmensmodellierung

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