Grundlagen der Elektrotechnik Vorlesung Dr.-Ing. Jörg Stammen Bismarckstr. 81, 47057 Duisburg, BE...

Grundlagen der Elektrotechnik

Vorlesung

Dr.-Ing. Jörg StammenBismarckstr. 81, 47057 Duisburg, BE 003

Tel.: 0203 379 2832e-mail: [email protected]

Folie: 2Inhalt 2

Inhalt

• Einführung• Das elektrische Feld• Der elektrische Strom• Elektrische Bauelemente I• Gleichstromnetzwerke• Das magnetische Feld• Elektrische Bauelemente II• Wechselstromkreise• Drehstromsysteme

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Literatur

[Bra2007] Brakelmann, H. : Grundlagen der Elektrotechnik I (siehe Downloadbereich der ETS)

[Büt01] Wolf-Ewald Büttner: Grundlagen der Elektrotechnik 1, Oldenbourg Verlag; 2. Auflage, ISBN 3486580205

[Büt02] Wolf-Ewald Büttner: Grundlagen der Elektrotechnik 2, Oldenbourg Verlag; 2. Auflage, ISBN 3486589814

[STB2007] Horst Steffen, Hansjürgen Bausch: Elektrotechnik Grundlagen,Vieweg+Teubner Verlag, 6. Auflage 2007, ISBN 3835100149

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Literatur (Aufgabensammlungen)[Lin01] Helmut Lindner: Elektro-Aufgaben Band 1: Gleichstrom

HANSER FACHBUCHVERLAG; 29. Auflage 2009,ISBN 3446420703

[Lin02] Helmut Lindner: Elektro-Aufgaben, Bd. 2: Wechselstrom, Carl Hanser Verlag; 24. Auflage 2010,ISBN 3446423044

[Vöm01] Martin Vömel: Aufgabensammlung Elektrotechnik 1: Gleichstrom, Netzwerke und elektrisches Feld. Mit strukturiertem Kernwissen, Lösungsstrategien und –methoden, Vieweg+Teubner Verlag; 5. Auflage 2010,ISBN 3834805599

[Vöm02] Martin Vömel: Aufgabensammlung Elektrotechnik 2: Magnetisches Feld und Wechselstrom. Mit strukturiertem Kernwissen, Lösungsstrategien und –methoden, Vieweg+Teubner Verlag 5. Auflage 2010,ISBN 3834807389

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Literatur

Download der Vorlesung und Übung:http://www.ets.uni-due.de/~sta/

oder:http://www.ets.uni-due.de/download/studentsBenutzername: studentsPasswort: herrenwyk„50 WII Grundlagen der Elektrotechnik“„70 MB Grundlagen der Elektrotechnik“

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Einführung

Folie: 7Einführung 7

Geschichte der Elektrotechnik• 17. Jahrhundert: Naturwissenschaftler

interessieren sich zum ersten Mal für Elektrizität und ihre Erscheinungen.

• 1663: Otto von Guericke erfindet die erste Elektrisiermaschine, eine Schwefelkugel mit einer Drehachse, die Elektrizität durch von Hand bewirkte Reibung erzeugt.


Geschichte der Elektrotechnik• 1745: von Kleist und van Musschenbroek erfinden die Leidener Flasche (Urform des

Kondensators).• 1752: Benjamin Franklin erfindet den Blitzableiter.• 1792: Luigi Galvani unternimmt das Froschschenkel-Experiment, welches zur

Entwicklung der Galvanischen Zelle (Umwandlung von chemischer in elektrische Energie) führt.

• 1800: Alessandro Volta baut die so genannte Voltasche Säule, die erste funktionierende Batterie.

• 1820: Hans Christian Ørsted unternimmt Versuche zur Ablenkung einer Magnetnadel durch elektrischen Strom.

• 1820: André-Marie Ampère weist nach, dass zwei stromdurchflossene Leiter eine Kraft aufeinander ausüben. Ampère erklärt den Begriff der elektrischen Spannung und des elektrischen Stromes und legt die Stromrichtung fest.

• 1831: Michael Faraday entdeckt die elektromagnetische Induktion.• 1860: Philipp Reis erfindet das Telefon und damit die elektrische Sprachübermittlung.• 1864: James Clerk Maxwell veröffentlicht die maxwellschen Gleichungen; sie sind

eine der grundlegenden Theorien in der Elektrotechnik.


Geschichte der Elektrotechnik• 1866: Werner von Siemens, Entdeckung des dynamoelektrischen Prinzips

(selbsterregte Gleichstromgeneratoren ermöglichen Großmaschinenbau).• 1879: Thomas Alva Edison erfindet das elektrische Licht (Kohlefadenglühlampe).• 1880: Beginn der Elektrifizierung New Yorks mit Gleichspannung • 1881: Gaulard und Gibbs stellen den ersten Transformator in London aus.• 1883: erster Wechselstrommotor (Nicola Tesla).• 1891: Durchbruch der Energieversorgung mit Drehstrom; ca. 100 kW werden

über eine 15 kV-Freileitung 175 km vom Kraftwerk Laufen/Neckar zur elektrotechnischen Ausstellung in Frankfurt transportiert.

• 1905: John Ambrose Fleming erfindet die erste Radioröhre.• 1906: entwickeln von Lieben und De Forest die Verstärkerröhre.• 1926: John Logie Baird baut mit einfachsten Mitteln den ersten Fernseher.• 1931: Manfred von Ardenne führt mithilfe der Kathodenstrahlröhre das

elektronische Fernsehen ein.• 1941: Konrad Zuse baut den ersten funktionsfähigen Computer, Z3.


Geschichte der Elektrotechnik• 1947: Erfindung des Transistors durch Shockley, Bardeen und Brattain• 1958: Jack Kilby erfindet den Integrierten Schaltkreis (IC) und legt den

Grundstein für die heutigen Prozessorchips.• 1958: Devol und Engelberger bauen in den USA den ersten Industrieroboter.• 1968: Marcian Edward Hoff erfindet bei der Firma Intel den Mikroprozessor.• 1973: Bau des ersten PCs, Altair 8800• 1978: Die Firma Philips erfindet die Compact Disc (CD) zur Speicherung

digitaler Informationen.• 1982: aus dem Arpanet geht durch Adaption von TCP/IP das Internet hervor• 1985: erscheint die CD-ROM• 1992: Das erste digitale Mobilfunknetz (D-Netz) wird in Deutschland

eingeführt• 1994: BellSouth und IBM vertreiben das erste Smartphone, den „Personal

Communicator“• 1996: die Firma Honda präsentiert den ersten humanoiden Roboter, P2.


Geschichte der Elektrotechnik• 2002 Deutschland novelliert das Atomgesetz und beschließt den Ausstieg

aus der Atomenergie.• 2009 der erste deutsche Offshore-Windpark „alpha ventus“ in der Nordsee

geht in Betrieb und liefert umweltfreundlichen Strom.

…und die Geschichte geht weiter… Elektrische Energie und deren technische Nutzung ist aus dem heutigen Leben nicht mehr wegzudenken!

Warum wurde ihr Nutzen so spät entdeckt?


Der Mensch und die Elektrizität• Der Mensch besitzt kein Sinnesorgan für Elektrizität.• Lange hat er deshalb die Elektrizität nicht als eine weitere Form von Energie

erkannt.• Er ist nur in der Lage, elektrische Energie in Form von sekundären

Erscheinungen wie z.B. Wärme (el. Heizung), Licht (Glühlampe, Blitz), akustische Signale (Radio) wahr zu nehmen.

• Elektrizität und Magnetismus lassen sich mit den bis dahin bekannten Begriffen der Mechanik nicht beschreiben.

• Im Bereich der Mechanik können viele Begriffe aus dem Alltag abstrahiert werden. Es existiert eine große Anschaulichkeit bei der Beschreibung physikalischer Vorgänge.

• Die Erscheinungen der Elektrizität und des Elektromagnetismus liegen außerhalb dieser Erfahrungswelt.

• Ausgehend von Experimenten werden mathematische Verfahren und Modelle entwickelt, die das Verhalten elektromagnetischer Erscheinungen beschreiben.


Beschreibung der Elektrizität durch Modelle

• Diese Modelle müssen im Einklang mit übergreifenden physikalischen Gesetzen stehen. Zum Beispiel muss für alle Modelle, die die Wirkung der elektrischen Energie beschreiben, der Energieerhaltungssatz (in einem abgeschlossenen System muss die Energie immer konstant sein) erfüllt sein.

• Im den folgenden Kapiteln werden die Modelle „Elektrisches Feld“ und „Magnetisches Feld“ vorgestellt.

• In einem weiteren Kapitel werden für eine einfache mathematische Beschreibung die elektrischen Bauelemente entwickelt.

• In den weiteren Kapiteln werden mathematische Verfahren zur Beschreibung und Berechnung von elektrischen Netzwerken (Zusammenschluss mehrerer elektrischer Bauelemente) vorgestellt.

Folie: 1414

Das elektrische Feld

Folie: 15

Die elektrische Ladung• Reibt man einen Bernstein an einem Fell, so lassen sich mit dem Stein kleine

Papierschnipsel anziehen – eine Kraftwirkung, welche sich durch Gesetze der Mechanik nicht beschreiben lässt.

• Das Wort „Elektrizität“ leitet sich vom Griechischen Wort „Elektron“ ab, was nichts anderes als „Bernstein“ bedeutet.

• Zur Erklärung des Phänomens wird eine neue physikalische Eigenschaft herangezogen, die „Elektrizität“ bzw. die „elektrische Ladung“.

• Mit einfachen Apparaturen wie Elektrisiermaschinen oder Bandgeneratoren lassen sich Gegenstände elektrisch aufladen:

Elektrisiermaschine

Bandgenerator

Folie: 16

Die elektrische Ladung/ Bohrsches Atommodell

• Mit weiteren Experimenten (z.B. geriebener Hartgummistab und geriebener Glasstab) lassen sich anziehende und abstoßende Kräfte beobachten, was auf zwei unterschiedliche Arten von elektrischer Ladung schließen lässt.

• Ein kurzer Blick auf das einfachste Modell der Atomphysik (dem Bohrschen Atommodell) hilft bei der weiteren Erklärung:

• Die Atome aller 103 in der Natur vorkommenden chemischen Grundstoffe, (Elemente), kann man sich vereinfacht nach dem Bohrschen Atommodell aufgebaut vorstellen aus einem Atomkern und einer diesen umgebenden Atomhülle. Grundbausteine der Materie sind unter anderen:a) die Nukleonen im Atomkern:die elektrisch neutralen Neutronen sowie die nahezu massegleichen, positiv mit der Elementarladung „e“ geladenen Protonen

b) die Elektronen in der Atomhülle: sie sind Träger der negativen, kleinstmöglichen Ladung „-e“.

Folie: 17

Bohrsches AtommodellEs gilt e = 1,6.10-19 C .Für 1 Coulomb (1 C = 1 As) als Einheit der elektrischen Ladung benötigt man 6,25.1018 Protonen!

Für die Zusammensetzung aller Atome gilt:

ElektronenProtonenNeutronenBausteine yyxz

wobei x die Zahlenwerte 0 bis 146 und y die Zahlenwerte 1 bis 103 annehmen können. Die Atome aller Elemente sind elektrisch neutral, da sich die Wirkungen der y positiven und y negativen Elementarladungen nach außen hin aufheben.

Das Formelzeichen für die elektrische Ladung ist Q. Somit gilt für neutrale Atome:

0)( eyeyQ

Einige Beispielatome sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Folie: 18

Bohrsches AtommodellWasserstoff H1 0 Neutronen +1 Proton +1 Elektron Deuterium H2 1 Neutron +1 Proton +1 Elektron Sauerstoff O16 8 Neutronen +8 Protonen +8 Elektonen Aluminium Al 14 Neutronen +13 Protonen +13 Elektonen Kupfer Cu 34 Neutronen +29 Protonen +29 Elektonen Uran U235 143 Neutronen +92 Protonen +92 Elektonen Uran U238 146 Neutronen +92 Protonen +92 Elektonen

Atome mit gleicher Protonen- bzw. Elektronenanzahl haben gleiche chemische Eigenschaften. Unterscheiden sich solche Atome in ihrer Neutronenanzahl, so sind auch ihre Massen verschieden; man spricht von den unterschiedlichen Isotopen eines Elements.

Im einfachsten Atommodell bewegen sich die Elektronen auf festen Bahnen, wobei sie durch die elektrostatischen Anziehungskräfte durch die Protonen an den Atomkern gebunden sind. Die Atomhülle weist bis zu 7 unterschiedliche Bahnen (Schalen) auf.

Folie: 19

Bohrsches Atommodell (Beispiele)

Modell a) Wasserstoffatom, b) Kupferatom

+1

-

+29

-

-

-

-

--

-

-

-

-

-

-

-

-

--

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--

-a) b)

1s22s22p63s23p63d104s11s1

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Ladungstrennung/ Ionisation• Es ist möglich, ein Elektron (z.B. das Elektron auf der äußersten Bahn) vom

Atom abzulösen – genannt Ionisation.• Damit erhält man ein freies negativ geladenes Elektron und ein positiv

geladenes Restatom (Ion).• Lagert sich das freie Elektron an ein neutrales Atom an (z.B. um die äußere

Schale aufzufüllen), entsteht ein negativ geladenes Ion.• Somit gibt es zwei Arten elektrischer Ladung – positive und negative.• Das elektrostatische Aufladen von Gegenständen erfolgt also durch

Ladungstrennung.• In Festkörpern, in denen Atome in einem bestimmten Verband miteinander

verbunden sind (Kristallgitter), können sich Elektronen lösen und sich frei im Material bewegen. Man spricht von einem „Elektronengas“.

• Man unterscheidet drei Klassen von Materialien:• Isolatoren, mit weniger als 107 freien Elektronen/cm3 bis 109 Elektronen/cm3

– Bernstein, Teflon, Porzellan, Polyethylen, PVC• Halbleiter, mit 1010 freien Elektronen/cm3 bis 1018 Elektronen/cm3 ,

– z.B. IV-Hauptgruppe: Silizium (Si), Germanium (Ge),– III-V Halbleiter: GaAs, InP)

• Leiter, mit ca. 1023 freien Elektronen/cm3

– Metalle, z.B. Au, Ag, Cu, Al).

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Das elektrische FeldGleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. Es existiert also eine Kraftwirkung zwischen den Ladungen, die anhand eines Modells erklärt werden soll.Eine Ladung verändert den Zustand des Raums in dem sie sich befindet; es wird ein „elektrisches Feld“ aufgebaut. Im Folgenden werden Punktladungen betrachtet.

Q1

Q2

Wird eine zweite Ladung Q2 auf die Ladung Q1 zu bewegt, so muss Arbeit gegen das elektrische Feld verrichtet werden. Auf die Ladungen wirkt die Kraft:

221

4 rQQF

Folie: 22

Das elektrische FeldIst die Kraftwirkung auf eine Punktladung Q2 in einem vorhandenen elektrischen Feld:

Q1

4r2

EQF 2

dann verursacht die erste Punktladung Q1 eine elektrische Feldverteilung:

21

1 4 rQE

Q1

~1/r2

E

r

mV][ E

Folie: 23

Die Permittivität

• Befindet sich im Feldraum nicht Vakuum, sondern ein Isolierstoff, so verschieben sich die positiven und negativen Ladungen innerhalb der Atome des Isolierstoffes unter der Kraftwirkung des elektrischen Feldes. Die Atome bleiben zwar auf ihren festen Plätzen, werden aber deformiert und stellen somit elektrische Dipole dar. Dieser Effekt wird Elektronenpolarisation genannt.

• Bei Materialien, deren Gitter aus positiven und negativen Ionen aufgebaut ist, werden diese ebenfalls ausgerichtet. Dies nennt man Ionenpolarisation.

• Bei Materialien, deren Ladungsschwerpunkte bereits ohne Feld verschoben sind (z. B. Wasser ist eine polare Flüssigkeit), richten sich die Dipole nach dem Feld aus, man spricht von Orientierungspolarisation.

Folie: 24

Die Permittivität ist die Permittivität und drückt die Polarisierbarkeit eines Materials aus.

Die Permittivität des Vakuums beträgt:VmAs10854,8 12

0

Die Polarisierbarkeit eines Materials wird meistens als relative Größe bezogen auf das Vakuum angebeben, es gilt:

r0

Die folgende Tabelle gibt die relative Permittivität einiger gebräuchlicher technischer Werkstoffe an:

Folie: 25

Die Permittivität

Werkstoff r bei 20°C

Glas 3,5...8Glimmer 5...8Hartgewebe 5...8Hartporzellan 5,5...6,5Luft 1Papier, imprägniert 2,5...4Polyäthylen 2,3Polyurethan 3,1...4Quarzglas 4,2Transformatorenöl 2,5

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Überlagerung von LadungenDie zweite Punktladung baut natürlich ebenfalls ein elektrisches Feld auf. Bringt man sie in den Raum der ersten Ladung, überlagern sich die Felder zu einem Gesamtfeld (Superpositionsprinzip).

Feldverteilung zweier gleich großerpositiver Ladungen

Feldverteilung einer positiven und negativen Ladung

Folie: 27

Überlagerung von LadungenPositive Ladungen stellen Quellen (Anfang), negative Ladungen die Senken (Ende) der Feldlinien dar.

Dementsprechend ist des elektrische Feld ein Vektorfeld, d. h. die Feldstärke hat einen Betrag und eine Richtung.

Das Feld einer positiven Punktladung Q zeigt in radialer Richtung:

rr

Qer

QE 3

1r2

11 44

Allgemeine Berechnung des Feldes mehrer Punktladungen:

n

i

rr

QE1

i3i

ip 4

Folie: 28

Überlagerung von LadungenBerechnung der Feldstärke am Beispiel von zwei Ladungen:

Q1

Q2

x1

x2

yP

y2

EPy

x

xP

y1

Folie: 29

Überlagerung von Ladungen

rP

Q1

Q2

EP

rQ1

rQ2

rp-rQ1

rp-rQ2

y

x

Abstandsvektoren definieren:

21p

21p

21pQ1p )()()( zzyyxxrr

22p

22p

22pQ2p )()()( zzyyxxrr

Folie: 30

Überlagerung von LadungenErgebnis:

32

2p2

2p2

2p

z2py2px2p2

32

1p2

1p2

1p

z1py1px1p1p

)()()(

)()()(4

)()()(

)()()(4

zzyyxx

ezzeyyexxQ

zzyyxx

ezzeyyexxQE

Folie: 31

Leitende Materialien

Durch die Ladungsverschiebung entsteht ein sekundäres Feld, welches sich dem ursprünglichen überlagert, ein Feld, welches dem ursprünglichen entgegengerichtet ist.

Wird ein leitendes Material in ein elektrisches Feld eingebracht, durchsetzen die Feldlinien das Material. Auf die freien Elektronen werden Kräfte ausgeübt, die Elektronen bewegen sich. Die Ladungsverschiebung erfolgt innerhalb von t<10-

12 s.

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Leitende MaterialienEin Gleichgewicht stellt sich ein, wenn das Innere des Leiters feldfrei ist. Dann ist die Kraft, die die Ladungen verschiebt, Null und keine weiteren Ladungen werden mehr verschoben.

Die Feldlinien der resultierenden Feldverteilung stehen senkrecht auf dem elektrischen Leiter, werden quasi in den Leiter „hineingesaugt“.

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Die Verschiebungsdichte D• Das vorherige Experiment wird mit zwei leitenden Platten wiederholt.• Die Platten werden in ein elektrisches Feld eingebracht, die Ladungsträger

verschieben sich (Influenz).• Trennt man die Platten im elektrischen Feld, so ist der Feldraum dazwischen

feldfrei.• Bringt man die Platten außerhalb des Feldes, bleibt die Ladung erhalten und

zwischen den Platten kann ein Feld gemessen werden.

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Die Verschiebungsdichte D• Die influenzierte Ladung erzeugt ein Feld D, welches Verschiebungsdichte

oder elektrische Erregung genannt wird.• D beschreibt die Flächenladungsdichte, also die influenzierte Ladung pro

Plattenfläche:

22 mAs

mC][ D

• Die elektrischen Ladungen sind die Ursache der Verschiebungsdichte. Legt man eine Integrationshülle um ein Gebiet und integriert über die Verschiebungsdichte, erhält man Informationen über die Ladungen innerhalb der Integrationshülle. Es gilt:

QdAnD

1. Grundgesetz der Elektrostatik

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Die Verschiebungsdichte DBeispiel: Integralhülle um die Platte mit der influenzierten Ladung (Streufelder werden vernachlässigt):

- - - - - - - -- - - - - - - -

- - - - - - - --

+ + + + + + + ++ + + + + + + +

+ + + + + + + +Integralhüllen

Ohne Streufeld liefert nur die der anderen Platte zugewandte Plattenfläche einen Beitrag. Da die Verschiebungsdichte zwischen den Platten homogen ist, geht das Integral in eine Multiplikation über:

ADQ

Folie: 36

Elektrisches Feld und Verschiebungsdichte

EED r0

Zwischen dem elektrischen Feld und der Verschiebungsdichte gilt der Zusammenhang:

Q

4r2

Damit gilt für die Verschiebungsdichte von Punktladungen:

24 rQD

24 rQE

vergleiche elektrisches Feld einerPunktladung:

Merke:Die elektrische Feldstärke E beschreibt die Kraftwirkung auf eine Probeladungund damit die Intensität eines elektrischen Feldes (materialabhängig über .Die Verschiebungsdichte D ist ein Maß für die Anzahl der Ladungen und damit ein Maß für die Ursache (nicht materialabhängig!).

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Das elektrische Potential

Q1

qP0

qP1

Experiment: Betrachtet wird wieder eine positive Kugelladung Q.

Eine zweite, kleine positive Ladung, q befinde sich (am Punkt P0) fest in der Nähe der Kugelladung.

Nach dem Energieerhaltungssatz muss die kinetische Energie vorher als potentielle Energie Wpot vorhanden gewesen sein.

1

0

1

0kin

P

P

P

P

sdEqsdFW

EqFDas elektrische Feld übt eine Kraftwirkung auf die kleine

Ladung aus.

Wird sie los gelassen, beschleunigt die Ladung, entfernt sich von der Kugelladung und und besitzt am Punkt P1 die kinetische Energie Wkin.

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Das elektrische PotentialWkin ist die vom Feld geleistete Arbeit:

1

0kinpot

P

P

sdEqWW

Zur Beschreibung der potentiellen Energie einer Ladung an einem Punkt im elektrischen Feld wird das elektrische Potential eingeführt:

1

0

P

P

sdE

ses

E

dd

Bildet man den Gradienten des Potentials, gelangt man zur elektrischen Feldstärke: Die elektrische Feldstärke zeigt somit in Richtung des stärksten Potentialgefälles.

Die Einheit des elektrischen Potentials ist Volt: V

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Feldlinien und ÄquipotentialflächenFlächen gleichen Potentials werden Äquipotentialflächen genannt. Feldlinien zeigen immer in die Richtung des größten Gradienten. Somit stehen Feldlinien immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen.Beispiele: Das elektrische Feld der zwei planparellen aufgeladenen Platten (Elektroden) ist senkrecht zu den Platten orientiert. Alle zu den Elektroden parallelen, waagerechten Flächen sind Äquipotentialflächen.Bei der Punktladung sind die Äquipotentialflächen konzentrische Kugeln.

Folie: 40

Beispiel: Das elektrische Potential einer Punktladungr

r

r

r

r

r rQdr

rQrdr

rQ

000

123 444

Das elektrische Potential

Kr

Qr

Qr

Qr

Qr

r

4444 00

Geht man davon aus, dass das elektrische Potential im unendlich fernen Punkt verschwindet, so gilt:

004

lim

KK

rQ

r

Damit ist das Potential einer positiven Punktladung:r

Q

4

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Die elektrische Spannung

Q1

qP2

qP1

Wird eine kleine Ladung von P1 nach P2 auf die Punktladung zu bewegt, steigt das Potential.Es gilt:

11

22 4

)(4

)(r

QPr

QP

wenn .12 rr

Die Potentialdifferenz wird als elektrische Spannung bezeichnet:

12

2

121 )()( usdEPP

P

P

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Die elektrische SpannungMerke: Die elektrische Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten.Die elektrische Spannung u entspricht damit der Arbeit W, bezogen auf die Ladung q, die vom elektrischen Feld geleistet wird, wenn diese Ladung q von Punkt P1 nach Punkt P2 transportiert wird. Es gilt:

Zur Richtung des Spannungspfeils:Die Spannung ist positiv, wenn in Richtung des Feldes integriert wird, dementsprechend negativ, wenn die Integration in Gegenrichtung erfolgt.

2112 uu Es gilt:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Eu = u12 >0

P1

P2

d

qWu /

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Die elektrische SpannungBeispiel: Die elektrische Spannung zwischen den Platten

dEsdEuP

P

2

112

ED r0mit

AQD und

AdQu

r012

folgt:

Achtung!

ist die Arbeit, die das elektrische Feld leistet, um die Ladung q zu transportieren. Nicht zu verwechseln mit dem Energieinhalt Wel des elektrischen Feldes!

uqW

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2. Grundgesetz der Elektrostatik

2

1

2

112 21

P

P

P

P

sdEcsdEcu

Dass das elektrische Feld eine Potentialfunktion u besitzt, deutet daraufhin, dass es sich beim zeitunabhängigen elektrischen Feld um ein konservatives Feld handelt. Bei einem konservativen Feld ist das Ergebnis der Integration unabhängig vom Integrationsweg:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

u12

P1

P2

dc1

c2

0212

1

2

1

P

P

P

P

sdEcsdEc

0211

2

2

1

P

P

P

P

sdEcsdEc

Das Vertauschen derIntegrationsgrenzen…

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2. Grundgesetz der Elektrostatikführt zum 2. Grundgesetz der Elektrostatik: Die beim Transport einer Ladung im elektrostatischen Feld geleistete Arbeit ist bei einem geschlossenen Weg immer Null.Das Integral der elektrischen Feldstärke längs eines geschlossenen Weges verschwindet somit zu Null.

0 sdE 2. Grundgesetz der Elektrostatik

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Energieinhalt des elektrischen FeldesGedankenexperiment: Es soll das elektrische Feld zwischen zwei Platten vergrößert werden.

d

+dQ

E

-dQ -dQ -dQ -dQ -dQ -dQ

+dQ +dQ +dQ +dQ +dQ +dQ

-dQ

+dQ

-dQ

Ein elektrisch neutrales Teilchen wird getrennt und –dQ gegen das Feld auf die gegenüber liegende Platte transportiert.

Hierzu muss die Arbeit

aufgewendet werden, die als zusätzliche Energie im el. Feld gespeichert wird.

2

1

P

P

sdEdQdW

dA

QdQdW r0

Es ergibt sich:

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Energieinhalt des elektrischen FeldesStellt man sich vor, dass das gesamte Feld zwischen den Platten so entstanden ist, muss über die Ladung der Platten integriert werden:

AQddQQ

AddQ

AdQdWW

QQW

r0

2

0r00 r00el 2

AdQu

r0mit: erhält man: uQW

21

el

mit: ADQ und: dEu erhält man auch:

dEADW 21

el VEDW 21

eldAV

Folie: 48

Energieinhalt des elektrischen FeldesMerke: In einem homogenen elektrischen Feld mit der Feldstärke E, der Verschiebungsdichte D und dem Volumen V ist die elektrische Energie Wel

gespeichert.

VEDW 21

el JVAsmmV

mAs 3

2el W

Allgemein gilt für inhomogene Felder:

dVEDWV

21

el

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Grenzbedingungen geschichteter DielektrikaDie elektrische Feldstärke ist abhängig vom Material. Befinden sich unterschiedliche Materialien im elektrischen Feld, stellt sich die Frage, wie sich das Feld an der Grenzschicht verhält.Betrachtet werden senkrecht und waagerecht geschichtete Dielektrika.

0 sdE

021 lElE

21 EE

21 EE

bzw.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

lE1 E2

1

2

ct

Grenzschicht senkrecht zu den Elektroden

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Grenzbedingungen geschichteter DielektrikaMerke: In der Grenzschicht ist die Feldstärke, die parallel zur Grenzschicht der Materialien liegt, stetig!

Ist die Feldstärke nicht parallel zur Grenzschicht orientiert, so ist die Tangentialkomponente der Feldstärke stetig. Es gilt allgemein:

tEtE 21+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

lE1 E2

1

2

ct

t2t1 EE

bzw.

Grenzbedingungen geschichteter Dielektrika

Folie: 51

Merke: Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke ist stetig!

t2t1 EE Aus folgt mit ED 2

t2

1

t1

DD

t1r1

r2t2 DD

Die Tangentialkomponente der elektrischen Verschiebungsdichte springt in der Grenzschicht um:

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Grenzbedingungen geschichteter DielektrikaIst die Grenzschicht waagerecht zu den Elektroden angeordnet, ergibt sich mit:

QdAnD 02211 AnDAnD

0122121 AnDnD

0121122 nDnD

01212 DDn

122121 nDnD

oder:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A

D1

D2

1

2

n1

n2

n12

Folie: 53

Grenzbedingungen geschichteter DielektrikaMerke: An einer Grenzschicht, die senkrecht zur Verschiebungsdichte orientiert ist und in der keine Ladung gespeichert ist, ist die Verschiebungsdichte stetig!

Allgemein gilt: Ist die Grenzschicht nicht senkrecht zur Verschiebungsdichte orientiert, so ist die Normalkomponente der Verschiebungsdichte stetig!

122121 nDnD

2n1n DD Aus folgt mit ED n22n11 EE Die Normalkomponente der Feldstärke springt in der Grenzschicht um:

n1r2

r1n2 EE

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Dass die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke wesentlich von den Materialeigenschaften der Isolierung abhängt, ist in der Energietechnik von großer Bedeutung!

n1r2

r1n2 EE

Praktische Bedeutung:

Immer dann, wenn innerhalb eines Isoliermaterials ein schmaler Gasspalt (Hohlraum oder Stoßfuge in einer Isolierung) auftritt, der vornehmlich senkrecht zur Feldrichtung orientiert ist, wird die Feldstärke um die Dielektrizitätszahl des Isoliermaterials angehoben (d.h. üblicherweise um den Faktor 2...6). Damit wird aber gerade der elektrisch schwächste Bereich der Isolierung – der Gasspalt - am stärksten beansprucht, so dass unerwünschte Durchschläge oft von solchen Fehlstellen ausgehen.

Folie: 55


Merke: Das elektrische Potential in der Grenzschicht zwischen zwei verschiedenen Materialien ist stetig! Es gilt:

21

Stetigkeit des elektrischen Potentials:

Das elektrische Potential ist gemäß Definition eine Integralfunktion und somit differenzierbar und stetig. Aus diesem Grund muss das elektrische Potentialfeld auch an der Grenzschicht stetig sein:

1

0

P

P

sdE

Brechungsgesetz der Felder

Bei Austritt aus einem Material hoher in ein Material niedriger Dielektrizitätszahl werden die Feldlinien zur Flächennormalen hin gebrochen.

Kombiniert man die Grenzbedingungen für die tangentialen und normalen Komponenten:

122121 nDnD tEtE

21

und

erhält man das Brechungsgesetz:

222111 coscos EE

2211 sinsin EE

r2

r1

2

1

tantan

Das elektrische FeldEnde

Der elektrische Strom

Folie: 59

Der elektrische Strom in LeiternEs wird ein elektrisch leitendes Material (elektrischer Leiter) im elektrischen Feld betrachtet. Wie bereits besprochen, bewegen sich die Ladungsträger (Elektronen) aufgrund der Kraftwirkung.

Werden die Enden des Leiters an eine Batterie angeschlossen, so entsteht durch die Spannung (Potentialdifferenz zwischen beiden Leiterenden) ein elektrisches Feld im Leiter. Die in Bewegung versetzten Elektronen können nun über die Zuleitungen in das Leitermaterial eintreten und am anderen Ende wieder austreten.

Es entsteht ein elektrischer Strom.

+-

-

-

--

-

--

-

--

u

FelS, E

ALeiter

i

Länge l

Folie: 60

Stromstärke und Ladung

Betrachtet man die Anzahl der Ladungsträger dQ, die pro Zeiteinheit dt durch die Querschnittsfläche ALeiter treten, erhält man den elektrischen Stom i:

tQ

dtdQi

Ai

Integriert man die Stromstärke über die Zeit, in der sie fließt, so erhält man die durch den Leiterquerschnitt transportierte Ladung:

t

ttitQ0

d

Folie: 61

Stromstärke und LadungBeispiel: Gleichstrom; die Stromstärke ist über die Zeit konstant.

q

t

t

q

I

t

I0

t1 t2

Anmerkung: Die Stromstärke beschreibt den Fluss positiver Ladungsträger pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt. In metallischen Leitern wird diesem Strom tatsächlich eine Bewegung von Elektronen entsprechen in der ihm genau entgegen gesetzten Richtung. In leitfähigen Flüssigkeiten wiederum kann einem Strom durchaus eine Bewegung positiver Ionen in Stromrichtung entsprechen.

tItQ

Folie: 62

Stromstärke und Stromdichte

Bezieht man die Stromstärke i auf die Leiterquerschnittsfläche ALeiter, so gelangt man zur Stromdichte S:

LeiterASi 2mA

S

Im allgemeinen Fall inhomogener Stromdichte, also wenn der Strom sich nicht gleichmäßig über die Leiterquerschnittsfläche verteilt, gilt:

LeiterA

dAnSi

mit n dem Normalenvektor, der senkrecht auf der Leiterquerschnittsfläche steht.

Folie: 63

Die spezifische elektrische Leitfähigkeit

Wie groß die Stromdichte bei einer bestimmten Feldstärke ist, wird durch die Leitfähigkeit des Materials bestimmt. Die Proportionalitätskonstante (Kappa) wird deshalb spezifische elektrische Leitfähigkeit genannt.

Merke: Je größer die Spannung über dem Leiter ist, desto größer die elektrische Feldstärke. Die Stromdichte wächst proportional mit der elektrischen Feldstärke. Es gilt:

ES

Proportionalitätskonstante

VmA

Der Kehrwert der spezifischen el. Leitfähigkeit ist ebenfalls gebräuchlich und wird spezifischer elektrischer Widerstand genannt:

A

Vm

Folie: 64

Temperaturabhängigkeit des el. WiderstandsDie Temperaturabhängigkeit des spezifischen elektrischen Widerstands:Bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunktes schwingen die Atome um Ihre Gitterplätze. Mit steigender Temperatur nehmen diese Gitterschwingungen zu und reduzieren damit die mittlere freie Weglänge der Elektronen.

Bei elektrischen Leitern macht sich dies makroskopisch in einer Erhöhung des spezifischen elektrischen Widerstandes mit steigender Temperatur bemerkbar.

Bei Halbleitern erhöht sich durch die zugeführte thermische Energie die Anzahl der freien Elektronen im Material und überdeckt den Effekt der abnehmenden mittleren freien Weglänge. Bei Halbleitern nimmt deshalb der spezifische elektrische Widerstand mit steigender Temperatur ab.

Es wird ein Temperaturkoeffizient eingeführt. Mit folgender Gleichung wird der temperaturabhängige spezifische elektrische Widerstand berechnet:

00 1 spez. el. Widerstand bei der Temperatur

spez. el. Widerstand bei Raumtemperatur

linearer Temperaturkoeffizient

Temperaturdifferenz (Erwärmung)

Folie: 65

Beim linearen Temperaturkoeffizienten sind drei Fälle zu unterscheiden:

> 0: R steigt mit steigender Temperatur, was für alle Metalle typisch ist. Als Temperaturmesswiderstände werden sie PTC-Widerstände (positive temperature coefficient) genannt.

= 0: R ändert sich nicht mit der Temperatur. Diese Eigenschaft ist wichtig für Präzisions- und Messwiderstände (Materialien z.B. Konstantan, Manganin).

< 0 : R fällt mit steigender Temperatur. So verhalten sich Halbleiterwerkstoffe und Isolatoren wegen des temperaturbegünstigten Entstehens zusätzlicher freier Ladungsträger. Aus solchen Materialien hergestellte Temperaturmessfühler werden NTC-Widerstände (negatitive temperature coefficient) genannt.

Der lineare Temperaturkoeffizient

Folie: 66

Der lineare Temperaturkoeffizient

Die folgende Tabelle gibt die spezifische elektrische Leitfähigkeit bzw. den spezifischen elektrischen Widerstand einiger gebräuchlicher Werkstoffe bei Raumtemperatur und den linearen Temperaturkoeffizienten an:

R

> 0 = 0 < 0

20 °C

Folie: 67

Spez. elektr. Widerstand einiger WerkstoffeMetall/Legierung 20

mm2/m 20

S m/mm2

1/K

Kupfer 0,0179 56 0,0039Aluminium 0,0286 35 0,0040Wolfram 0,055 18 0,0041Silber 0,016 62,5 0,0038Zink 0,063 16 0,0037Stahl 0,10...0,15 10...7 0,0045Zinn 0,11 9 0,0042Platin 0,11...0,14 9...7 0,002...0,003

Blei 0,21 4,8 0,0042Bronze 0,018...0,056 55...18 -Messing 0,07...0,09 14...11 0,0015Konstantan 0,50 2 -0,00003

Folie: 68

Das ohmsche Gesetz

Liegt an dem betrachteten Leiter der Länge l die Spannung u an, so berechnet sich die elektrische Feldstärke im Leiter zu: l

uE

Damit ergibt sich für die Stromdichte:

luES

Und für die Stromstärke: LeiterLeiterLeiter

Al

udAnSiA

iA

lu

Leiter

Leiter

Nach der Spannung umgestellt:

Folie: 69

Das ohmsche Gesetz

Leiter

Leiter1AlR

Fasst man die Material- und Geometriegrößen zusammen:

Leiter

Leiter

AlR bzw.

Erhält man das Ohmsche Gesetz: iRu

Merke: Die elektrische Stromstärke i in einem Leiter ist proportional zur Spannung u über dem Leiter. Die Proportionalitätskonstante R ist der elektrische Widerstand des Leiters.

AVR

Folie: 70

Das ohmsche GesetzDa der spezifische elektrische Widerstand und der elektrische Widerstand R über

Leiter

Leiter

AlR

verknüpft und somit proportional zueinander sind, gilt ebenfalls:

00 1 RR

Leiter

Leiter1lA

RG Der Kehrwert des elektrischen Widerstands ist

der Leitwert G:

Der Einheit des Leitwerts ist Siemens: SG

Folie: 71

Elektrischer Widerstand und Leitwert

Anmerkung: Wegen der Gleichung

Leiter

Leiter

AlR

wird der spez. elektrische Widerstand auch mitunter in folgender Form angegeben (siehe Tabelle „Spez. elektr. Widerstand einiger Werkstoffe“:

m

Ωmm2

Leiterlänge in Metern

Leiterquerschnitt in Quadratmillimetern

Folie: 72

Die elektrische Leistung

Im Abschnitt „Das elektrische Feld“ wurde bereits die Arbeit berechnet, die das elektrische Feld beim Transport einer Ladung verrichtet.

1

0

P

P

sdEQW

Leiter

2

1

lEsdEu Die Spannung u ist die Spannung, die

längs des Leiter (von Klemme 1 bis 2) abfällt. Es gilt:

QuW Für die Arbeit ergibt sich:

Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit:

dtdQu

dtdWp

Folie: 73

Die elektrische Leistung

Merke: Liegt an einem Leiter die elektrische Spannung u an und fließt im Leiter ein Strom der Stromstärke i, so bringt das elektrische Strömungsfeld im Leiter die Leistung p = u . i auf.

dQ/dt ist die transportierte Ladung pro Zeiteinheit und entspricht der elektrischen Stromstärke i im Leiter:

iup WAV p

Weist der elektrische Leiter den elektrischen Widerstand R auf, so gilt unter Anwendung des Ohmschen Gesetzes:

iRu mit

RuiRiup

22 folgt:

Der elektrische StromEnde

Elektrische Bauelemente I

Folie: 76

Elektrische Bauelemente I•Bauelemente in der Elektrotechnik sind physikalische Geräte, die einen gewünschten funktionalen Zusammenhang z.B. zwischen der elektrischen Spannung und dem el. Strom realisieren. Hier werden zunächst die für Gleichstromnetzwerke wichtigen Bauelemente vorgestellt. Zu unterscheiden sind zwei Arten von Bauelementen:

•aktive Bauelemente bzw. elektrische Quellen

•ohne Anlegen einer Spannung von außen kann ein elektrischer Strom fließen.

•Spannungsquellen, Stromquellen

•Beispiele für Gleichspannungsquellen: Batterie, Gleichstromgenerator

•passive Bauelemente

•ohne Anlegen einer Spannung von außen kann in ihnen kein elektrischer Strom fließen.

•Bei Anlegen einer Spannung wandeln sie die el. Energie in Wärme um, speichern oder übertragen sie.

•Beispiele: Widerstand, Kondensator

Folie: 77

Elektrische QuellenStarre oder ideale elektrische Spannungsquellen sind Spannungsquellen, die unabhängig von der Stromstärke eine konstante Spannung u0 aufweisen.

u0

i

Spannungsquelle

u0

i

Gleichspannungssquelle

u0

i

Wechselspannungsquelle

i

Batterie

u0

+-

Folie: 78

Elektrische QuellenStarre oder ideale elektrische Stromquellen sind Stromquellen, die unabhängig von der Belastung eine konstante Stromstärke i0 aufweisen.

u

i0

StromquelleBezugspfeile:Verbraucher nehmen elektrische Leistung auf. Die von Verbrauchern aufgenommene Leistung wird positiv gezählt, weshalb die Bezugspfeile für Spannung und Stromstärke bei Verbrauchern in dieselbe Richtung zeigen, damit das Produkt p = u . i positiv ist.Demzufolge werden bei elektrischen Quellen die Bezugspfeile für Spannung und Stromstärke in entgegen gesetzter Richtung eingezeichnet , da Quellen elektrische Leistung abgeben. (Verbraucher-Bezugspfeilsystem).

Folie: 79

Elektrische GleichspannungsquellenAnmerkung: In der Realität gibt es keine elektrischen „Quellen“. Es handelt sich vielmehr um Energiewandler.Beispiele:•Gleichstromgeneratoren - wandeln Rotationsenergie in elektrische Energie um•Batterien - wandeln chemische in elektrische Energie um.

Batterien

Gleichstromgenerator nach Hefner-Alteneck (1873)

Folie: 80

WiderständeDas Bauelement „elektrischer Widerstand“ stellt ein passives Bauelement dar. Es wird durch das nachstehende Ersatzschaltbild erfasst durch ein Schaltzeichen mit Richtungspfeil für Strom und Spannung (DIN 40 712). Strom und Spannung zeigen in dieselbe Richtung (siehe Verbraucher-Bezugspfeilsystem).

I

U

R

1R

R

allgemeines Schaltsymbol

Schiebewider-stand

Stufig einstellbarer Widerstand

Folie: 81

WiderständeLegt man eine Spannung u an den Widerstand an, so fließt entsprechend der Größe R ein elektrischer Strom der Stromstärke i.Das Produkt p = u . i beschreibt die elektrische Leistung, die in dem Widerstand in thermische Leistung umgesetzt wird. In Folge dessen erwärmt sich der Widerstand.Abhängig von den für das Bauelement eingesetzen Materialien verändert das Bauelement „Widerstand“ seinen Größenwert R.Geht man zum Beispiel von einem gewickelten Drahtwiderstand aus, wird bei größerem el. Strom der Drahtes sich stärker erwärmen, was bei Metallen zu einem steigenden el. Widerstand führt. Bestimmte Materialmischungen (z. B. Konstantan) gewährleisten innerhalb eines bestimmten Betriebsbereichs einen nahezu konstanten elektrischen Widerstand.Mit der folgenden Messschaltung kann die Linearität eines Widerstands geprüft werden:

A

VU

I

Folie: 82

WiderständeEs werden unterschiedliche Spannungen eingestellt und der Strom durch den Widerstand gemessen. Mit

werden die Widerstandswerte bei unterschiedlichen Arbeitspunkten bestimmt.iuRiRu

U

I

R

I

linearer Bereich

nichtlinearerBereich

dUdI

Arbeitspunkt

linearer Bereich

nichtlinearerBereich

U-I-Kennlinie eines Widerstandes mit linearem und nichtlinearem Bereich

Folie: 83

Verlustleistung an el. WiderständenAnmerkung: Solange nicht gesondert erwähnt, werden Widerstände bei der Berechnung als linear (mit konstantem Größenwert) betrachtet.

Im Folgenden wir die elektrische Verlustleistung an linearen elektrischen Widerständen betrachtet. Es gilt:

IUP

IRU Verdoppelt man die Spannung, so verdoppelt sich auch die Stromstärke:

IRU 22Somit erhält man für die Leistung:

PPIUP 22422Merke: Bei linearen Widerständen wächst die elektrische Leistung quadratisch bei linearer Erhöhung des Stroms und der Spannung.

Folie: 84

Verlustleistung an el. Widerständen

Quadratisches Wachstum der elektrischen Leistung am elektrischen Widerstand: R

uiRp2

2

Folie: 85

WiderständeIm Folgenden werden einige Bauformen von Widerständen gezeigt:

Drahtwiderstand

Widerstand

im Keramikrohr

glasierter

Drahtwiderstand

Hochlastwiderstand

im Metallgehäuse

Folie: 86

WiderständeEinstellbarer Widerstand: „Trimmer“ genannt

W6 / k 82– 24 W50 / 22– 1

Drahtwiderstände

Massewiderstand(Consumer electronics)

20%ToleranzMΩ4,2

Metallschichtwiderstand

1%ToleranzkΩ56

Folie: 87

WiderständeFarbcode für Widerstandswerte nach DIN IEC 62 bzw. mit Temperaturkoeffizient nach DIN 41429 :

Folie: 88

WiderständeBeispiel:

Kondensatoren

UCQ

Kondensator:In den vorherigen Kapiteln wurden Ladungen auf zwei parallele Metallplatten aufgebracht, bzw. gespeichert. Diese Anordnung nennt man Kondensator bzw. Plattenkondensator.

Je größer die angelegte Spannung an den Elektroden ist, umso größer ist die gespeicherte Ladung auf den Platten. Es gilt:

Den hierbei wirksamen Proportionalitätsfaktor nennt man die Kapazität C der Anordnung. Die Einheit der Kapazität ist:

FVAs

C

- - - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - -

-

+ + + + + + + ++ + + + + + + +

+ + + + + + + +

u

Farad: zu Ehren des englischen Physikers und Chemikers „Michael Faraday“ Folie: 89

KondensatorenBerechnung der Kapazität eines Plattenkondensators:

ED r0mit folgt:

c

A

sdE

dAnD

UQC

dEADC

dEAEC

r0

dAC r0

Folie: 90

KondensatorenDer Zylinderkondensator:Koaxialkabel (z.B. Antennenkabel) besitzen den Aufbau eines Zylinderkondensators. Der Innenleiter ist von einer koaxialen Isolierung umgeben auf der eine Schirmung aufgebracht ist.

c

A

sdE

dAnD

UQC

Zur Berechnung wird die elektrische Feldstärke E bzw. Verschiebungsdichte D benötigt!

q

rqE2

rqD2

Folie: 91

Kondensatoren

lqlq

dldq

dlrdr

qQ

l

l

22

2

2

0

2

0

0

2

0

l

ri ra

Kapazität des Zylinderkondensators:

Folie: 92

i

aln22

a

irrqdr

rqsdEU

r

rc

Kondensatoren

l

ri ra

Kapazität des Zylinderkondensators:

Folie: 93

i

aln2 r

rqlq

UQC

i

aln

2

rr

lC

Aufladen des KondensatorsLegt man an die ungeladenen Platten eines Kondensators eine Gleichspannung wie im nebenstehenden Bild an, dann fließen die Elektronen von der oberen Platte ab und werden zur unteren Platte transportiert. Es entsteht ein elektrischer Strom:

dttdqti )()(

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Eu0

i

u(t)

dtduCi mit uCq folgt

Mit dem Strom lädt sich der Kondensator auf und die Spannung u(t) zwischen den Platten wächst.

Folie: 94

Aufladen des KondensatorsIst der Verlauf des Ladestroms bekannt, so kann die Spannung zwischen den Platten berechnet werden:

duCdti 0

00 )(1)(

t

dttiC

tu

Folie: 95

Weisen die Platten zu Beginn t0 bereits eine Ladung auf, so dass zwischen den Platten bereits eine Spanung besteht, dann gilt:

1

0

)(1)( 01

t

t

dttiC

Utu

Energieinhalt des Kondensators

Folie: 96

Die im Kondensator gespeicherte Energie berechnet sich mit Hilfe des Energieinhaltes des elektrischen Feldes:

UQW 21

el UQC mit der Kapazität

erhält man:

CQW

2

Kon 21

CQU

Schaltsymbol

u

i

Kondensator

Folie: 97

Das Bauelement „Kondensator“ stellt ein passives Bauelement dar. Es wird durch das nachstehende Ersatzschaltbild erfasst durch ein Schaltzeichen mit Richtungspfeil für Strom und Spannung. Strom und Spannung zeigen in dieselbe Richtung (siehe Verbraucher-Bezugspfeilsystem).

u

i

Elektrolyt-Kondensator

+ -

KondensatorenTechnische Bauformen von Kondensatoren:

Die folgende Abbildung zeigt Folien- und Keramikkondensatoren

Aufbau eines Kondensatorwickels

Stirnkontaktierter Wickelkondensator

Keramik-Vielschicht-Kondensator

Folie: 98

KondensatorenKondensatoren (Beispiele):

Folie: 99

Elektrolytkondensator: Anoden-Elektrode mit einer Oxidschicht als Dielektrikum und einem Elektrolyt (elektrisch leitende Flüssigkeit) als Kathode. Kompakte Bauform aber hohe Kapazität, große Toleranz (20%).

Keramik-Schichtkondensator: Elektroden mit einem keramischen Dielektrikum, für genau definierte Frequenzbereiche und einem definierten Temperaturverhalten.

Elektrische Bauelemente I Ende

Gleichstromnetzwerke

Der elektrische Stromkreis

Folie: 102

Schaltet man eine Quelle (aktiver Zweipol) mit einem Verbraucher (passiver Zweipol) zusammen, so entsteht ein Stromkreis:

Dieser geschlossene Stromkreis ist denkbar einfach: hier stimmt die Klemmenspannung UK mit der Spannung U0 der Spannungsquelle und der Spannung UR am Verbraucher überein. Quelle und Verbraucher werden von demselben Strom I durchflossen.

U0

I

RUR

aktiverZweipol

passiverZweipol

UK

Elektrische Netze bzw. Stromkreise sind oft weitaus komplizierter. Im Folgenden werden Regeln zur Berechnung von Netzwerken aufgestellt:

Die Kirchhoffsche Knotenregel

I1

I2

I3

I4

I5

Knoten

Strom-zweige

Folie: 103

Knoten: Ein Punkt, von dem mehrere Stromzweige abgehen, nennt man Knoten.Ein Knoten kann keine Ladung speichern. Im Gleichstromkreis muss daher die Summe der auf den Knoten zufließenden Ströme gleich der Summe der von ihm abfließenden Ströme sein, da sonst eine Ladungsanhäufung im Knoten stattfinden würde.

Merke: Die Summe aller dem Netzknoten zufließenden Ströme muss Null sein!

n

I1

0

Beispiel: 054321 IIIII

Die Kirchhoffsche Maschenregel

Folie: 104

Masche: Unter einer Masche versteht man einen beliebig gewählten, aber geschlossenen Umlauf innerhalb eines elektrischen Netzwerkes.

Merke: Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null!

n

U1

0

Beispiel: 0q13q221 UUUUU

Uq1

I

R3

U1 R1

R2

U2

U3

Uq2

Maschenumlauf+

Die Kirchhoffsche Maschenregel

Folie: 105

Beispiel Fortsetzung: Diese Gleichung lässt sich nach den Quellspannungen umstellen:

321q2q1 UUUUU und besagt in dieser Form, dass die Summe aller treibenden Quellen-Spannungen in einer Masche gleich der Summe der Verbraucherspannungen ist.

321q2q1 WWWWW

Merke: Die Maschenregel folgt zwingend aus dem Energieerhaltungssatz!.Eine Ladung q, die diese Masche durchläuft, nimmt in den beiden Spannungsquellen dieselbe Energie auf, die sie in den Verbrauchern wieder abgibt:

321q2q1 UqUqUqUqUq

Reihenschaltung von zwei WiderständenReihenschaltung von Widerständen:

0210 UUU

210 UUU

IRU 11

mit dem ohmschen Gesetz:

IRU 22

IRRU 210

folgt:

1

1

RUI

mit:

1

1210 R

URRU ergibt sich:

U0

I

R2

R1

U2

Maschenumlauf+

U1

Folie: 106

Die SpannungsteilerregelReihenschaltung von Widerständen:

21

101 RR

RUU

Durch Umformen ergibt sich die Spannungsteilerregel:

21

202 RR

RUU

Analog ergibt sich für U2:

U0

I

R2

R1

U2

Maschenumlauf+

U1

2

1

2

1

RR

UU

Dividiert man U1 durch U2 erhält man eine weitere Form des Spannungsteilers:

Merke: Die Spannung teilt sich entsprechend dem Verhältnis der Widerstände auf!

Reihenschaltung von n WiderständenAus der Spannungsteilerregel ergibt sich auch, dass bei einer Reihenschaltung der Gesamtwiderstand die Summe der Einzelwiderstände ist:

21ges RRR

n

1iiges RRallgemein gilt für n

Widerstände in Reihe:

Charakteristisch für eine Reihenschaltung ist, das durch alle Teilwiderstände derselbe Strom fließt:

n321 ... IIIII

n321 ... UUUUU Für die Spannungen gilt:

I

Rges

U

U

I

R1

U1I1

U2I2

U3In

Un

R2 R3 Rn

Messbereichserweiterung

Zur Messbereichserweiterung schaltet man einen geeigneten Vorwiderstand Rv in Reihe zum Innenwiderstand des Meßgerätes RM, dass bei der größtmöglichen Spannung zwischen den Klemmen A und B am Messgerät gerade dessen höchstzulässige Spannung anliegt.

Anwendungsbeispiel: MessbereichserweiterungZwischen den Klemmen A und B soll die Spannung U, die einen Maximalwert von 1000 V annehmen kann, mit einem Spannungsmessgerät gemessen werden, das maximal mit einer Spannung von 100 V beansprucht werden darf.

M

V

M

V

RR

UU

Spannungsteiler-Regel:


Gesucht wird der benötigte Vorwiderstand:

MM

VV R

UUR

Mit Größenwerten ergibt sich: MMV 9V100V900 RRR

Anmerkung: Der Innenwiderstand des Messgeräts ist dem Datenblatt des Messgeräts zu entnehmen.

Reihenschaltung von Kondensatoren

Folie: 111

Schaltet man zwei identische Kondensatoren in Reihe, so sind die beiden mittleren Platten miteinander elektrisch verbunden und bilden somit eine Äquipotential-fläche. Es ergibt sich somit ein Kondensator mit dem doppelten Plattenabstand. Für dessen Kapazität gilt:

dAC

2r0ges

Allgemein: Bei der Reihenschaltung addieren sich die Spannungsabfälle:

00

020121 )(1)(1 tt

dttiC

dttiC

uuu

u1 u2

C1 C2

dACCC r021 mit

2gesCC

000

0210201

)(11)(1)(1 ttt

dttiCC

dttiC

dttiC

Reihenschaltung von Kondensatoren

Folie: 112

ges21

111CCC

ges21

1

21

2 1CCC

CCC

C

21

21

ges

1CCCC

C

21

21ges CC

CCC

Parallelschaltung von Widerständen

Folie: 113

Parallelschaltung von Widerständen:

U0

I

R2R1

+

U1 U2

I1 I2

+

K1

K2

M1 M2

10

10 0UU

UU

M1:

021

21 0UUU

UU

M2:

Knoten K1: 021 III 21 III

1

0

1

11 R

URUI mit dem ohmschen Gesetz:

2

0

2

22 R

URUI

21

210 RR

RRIU

Die Stromteilerregel

Folie: 114

Parallelschaltung von Widerständen:

wird aus der Knotenregel:

210

2

0

1

021

11RR

URU

RUIII

21

210 RR

RRUI

mit: 110 RIU

21

21 RR

RII

ergibt sich die Stromteilerregel: Analog ergibt sich für I2:

21

12 RR

RII


Folie: 115

2

1

1

2

2

1

GG

RR

II

Dividiert man I1 durch I2 erhält man eine weitere Form des Stromteilers:

Merke: Der Strom teilt sich entsprechend dem Verhältnis der Leitwerte auf!

21ges

111RRR

Aus der Stromteilerregel ergibt sich auch, dass bei einer Parallelschaltung von Widerständen der Gesamtwiderstand sich aus der Summe der Leitwerte ergibt:

21ges GGG


Folie: 116

Allgemein ergibt sich für die Parallelschaltung von n Widerständen (bzw. Leitwerten):

n

1iiges GG oder…

21

1

21

2

ges

1RR

RRR

RR

21

21

ges

1RRRR

R

21

21ges RR

RRR

Damit ergibt sich für die Parallelschaltung zweier Widerstände:

Die Parallelschaltung von n Widerständen

Folie: 117

U

I

R2R1 U1 U2

I1 I2

R3 U3

I3

Rn Un

In

Charakteristisch für eine Parallelschaltung ist, das über allen parallelen Teilwiderständen dieselbe Spannung U ansteht:

n321 ... UUUUU

U

I

Rges U

I

n

1i i

ges 11

R

R


Folie: 118

Anwendungsbeispiel: Messbereichserweiterung bei der StrommessungIn dem Stromzweig zwischen den Knoten A und B soll der Strom I, der einen Maximalwert von 20 A annehmen kann, mit einem Strommessgerät gemessen werden, das maximal einen Strom von 5 A führen darf.

I A B A

MR

PR

MI

PI

Man schaltet hierzu einen sogenannten „Shunt“-Widerstand RP parallel, der gerade den für das Messgerät unzulässigen Stromanteil IP übernimmt. Dieser Shunt-Widerstand berechnet sich zu:

M

P

P

M

RR

II

P

MMP I

IRR 3A15

A5 MMP

RRR

Belasteter Spannungsteiler

Folie: 119

Anwendungsbeispiel: belasteter SpannungsteilerMit Hilfe eines Spannungsteilers kann eine zu hohe Spannung auf die für den Verbaucher geeignete Spannung heruntergeteilt werden.

RV UV

Wird ein Verbraucher angeschlossen, so verändert dieser das Teilerverhältnis!

U0

I

R2

R1

U2

U1

Die Spannung U2 muss neu ausgerechnet werden.

V2

V2P RR

RRR

P1

P02 '

RRRUU

Merke: Je kleiner der Verbraucherwiderstand, desto mehr bricht die Spannung ein!

Parallelschaltung von Kondensatoren

i1 C1

C2i2

i

Schaltet man zwei identische Kondensatoren parallel, so verdoppelt sich die Plattenfläche. Für die Kapazität gilt:

dAC 2

r0ges

dACCC r021 mit CC 2ges

Folie: 120

Parallelschaltung von Kondensatoren

ttuC

ttuC

ttuC

d)(d

d)(d

d)(d

21ges

Folie: 121

21ges CCC

Allgemein: Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Ströme:

21 iii ttuCti

d)(d)( mit folgt

Die reale Spannungsquelle

V

0

RUI

Gedankenexperiment: Bei den bisherigen Schaltungen wurde immer eine ideale Spannungsquelle angenommen, welche belastungsunabhängig immer dieselbe Spannung liefert. Halbiert man bei einer solchen idealen Spannungsquelle den Verbraucherwiderstand, so verdoppelt sich der Strom. Halbiert man ihn erneut, so vervierfacht sich der Strom, usw.

IRU

RUI 22

2/'

V

0

V

0 IRUI 4

4/''

V

0

Für die Leistungen würde somit gelten:

IUP 0 PIUIUP 22'' 00 PP 4'' usw.

Bei einer idealen Spannungsquelle geht die Leistung für immer kleinerer Verbraucherwiderstände gegen unendlich! Reale Spannungsquellen sind nicht in der Lage, beliebig viel Leistung abzugeben. Als Energiewandler sind sie nur in der Lage, maximal die aufgenommene Leistung multipliziert mit ihrem Wirkungsgrad als elektrische Leistung abzugeben. aufel PP Folie: 122

Die reale SpannungsquelleBeispiel: Bei einem Generator werden Spannungen in Leiterschleifen aus Kupfer induziert. Bei Anschluss eines Verbrauchers muss der elektrische Strom über den elektrischen Widerstand dieser Leiterschleifen fließen. Es entsteht ein Spannungs-fall an diesen inneren Widerständen. Dieser Spannungsfall steht an den Außen-klemmen nicht als Klemmenspannung zur Verfügung. Die Spannung bricht ein.

Folie: 123

Mit der Spannungs-teilerregel ergibt sich: Vi

V0K RR

RUU

U0

I

RVUK

Ui=Ri.I

Der Klemmenstrom beträgt:

Vi

0

RRUI

i0K RIUU Der Maschenumlauf liefert die Klemmenspannung:

V

Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle

U0

I=0

UK

Ui=Ri.I

Beim Leerlauf ist der Strom I Null und damit auch der Spannungsfalll am Innenwiderstand.

0i U

Der Innenwiderstand einer realen Spannungsquelle lässt sich durch zwei Versuche bestimmen:

Folie: 124

1. Leerlaufversuch:

0K UU

Mit einem hochohmigen Spannungsmessgerät kann die Leerlaufspannung gemessen werden:

U0

IK

UK=0

Ui=U0

Der Innenwiderstand einer SpannungsquelleBeim Kurzschlussversuch stellt sich der maximale Strom IK ein und die Klemmenspannung beträgt Null.

0K U

Folie: 125

2. Kurzschlussversuch:

Ki

0i

IRUUMit einem Strommessgerät

kann der Kurzschlussstrom gemessen werden. Es gilt:

A

Mit der gemessenen Leerlaufspannung U0 bestimmt sich der Innenwiderstand zu: K

0i I

UR

Anmerkung: Im Labor wird der Kurzschlussversuch mit reduzierter Quellenspannung durchgeführt, um díe Spannungsquelle nicht zu zerstören.

Strom- Spannungskennlinie

Folie: 126

Betrieb:Generatorkennlinie (1): in Abhängigkeit des Verbrauchers RV stellt sich die Klemmenspannung UK ein.Verbraucherkennlinie (2): in Abhängigkeit des Klemmenstroms stellt sich der Spannungsfall UV ein.

Der Schnittpunkt beider Kennlinien, UV = UK stellt den Arbeitspunkt der Schaltung dar.

U

I

IK

U0

UK

UV=RV.I

UV = UK

1

2

RV

Fragen: •In welchem Arbeitspunkt gibt die Quelle die maximale Leistung ab?

•In welchem Arbeitspunkt arbeitet die Quelle mit dem maximalen Wirkungsgrad?

Maximale Verbraucherleistung

Folie: 127

Maximale Leistung: IUP KK

mit

Vi

V0K RR

RUU

und

Vi

0

RRUI

folgt 2Vi

V20K RR

RUP

Extremwertsuche:Erste Ableitung gleich Null setzen.

021

3Vi

V2

Vi

20

V

K

RRR

RRU

dRdP


Folie: 128

Maximale Leistung (Fortsetzung:

3Vi

V2

Vi

21RR

RRR

VVi 2RRR

Damit ergibt sich die maximal abgebbare Leistung:

2

ii

i20K RR

RUPi

20

Max 4 RUP

Vi RR Die Quelle gibt die maximale Leistung ab, wenn:


U

I

IK

U0

UK = U0/2RV = Ri

PMax

Graphische Erklärung: Die Fläche unterhalb der Strom-Spannungskennlinie stellt die Leistung dar. Werden die Achsen des Strom-Spannungsdiagramms gleich skaliert, so wird die Leistung maximal, wenn Strom und Spannung ein Quadrat bilden.

Der Wirkungsgrad im Arbeitspunkt der maximalen Leistungsabgabe ergibt sich zu:

iV

V

PPP

5,02 V

V P

P

Vi RR da Vi PP

Folie: 129

Schlechter Wirkungsgrad!

Maximaler Wirkungsgrad

iV

V

iV

V

iV

V

RRR

RRIRI

PPP

In der elektrischen Energieversorgung geht es weniger um Leistungsanpassung als um die Erzielung eines möglichst hohen Wirkungsgrades.

1//

iV

iV

RRRR Der Wirkungsgrad wir umso höher, je größer RV

zu Ri ist!

Folie: 130

Merke: Um einen hohen Wirkungsgrad zu erzielen, muss der Verbraucherwiderstand groß im Vergleich zum Innenwiderstand der Quelle gewählt werden!

Wirkungsgradkennlinie

0 2 4 6 8 1000

20

40

60

80

10 0

%

R V / R i

P V /P i

P V /P KP /P i

Das Diagramm zeigt die die Kennlinien für die im Verbraucher umgesetzte Leistung sowie für den Wirkungsgrad als Funktion des Widerstandsverhältnisses (RV/Ri).

Folie: 131

Großer Verbraucherwiderstand RV und gleichzeitig große Verbraucherleistung PV lassen sich jedoch nur bei hoher Spannung erreichen, - in der Energietechnik eine Maßgabe für die Übertragung großer Leistungen über weite Entfernungen von den Kraftwerken hin zu den Verbrauchsschwerpunkten mit Hilfe von Hoch- und Höchstspannunngs-Freileitungen und -Kabeln.

V2KV / RUP

Die reale StromquelleEbenso wie die reale Spannungsquelle, ist die auch reale Stromquelle nicht in der Lage, beliebig viel Leistung abzugeben. Bei der Spannungsquelle ist die Klemmenspannung belastungsabhängig, bei der Stromquelle der Klemmenstrom. Die Stromquelle wird erweitert um einen parallel geschalteten Innenwiderstand. Man spricht auch von einer Stromquelle mit Innenleitwert.

I0

Ri

Ii

IV

RVUVEin Teil des Stroms fließt über den Innenleitwert und steht somit an den Klemmen nicht zur Verfügung. Je größer die Belastung und damit IV desto kleiner die Klemmenspannung UV.

i0V III

VVV IRU i0VV IIRU

Die reale Stromquelle

I0

Ri

Ii

IV

UV=0

Kurzschluss:

Leerlauf:

I0

Ri

Ii

IV=0

UV

Der Verbraucherstrom ist gleich Null. 0V I

Der Strom fließt vollständig über den Innenleitwert: 0i II

Die Klemmen-spannung ist gleich: 0iiV IRUU

Damit ist der Verbraucher-strom gleich dem Quellen-strom (Kurzschlussstrom).

0i IDer Strom fließt vollständig über den Kurzschluss:

0V II 0V U

Auch hier werden die Fälle Leerlauf und Kurzschluss betrachtet.

Äquivalente QuellenReale Strom-und Spannungsquellen zeigen gleichartiges Verhalten: Steigt die Belastung und damit der Verbraucherstrom, sinkt die Klemmenspannung.Bei der realen Spannungsquelle wurde der Kurzschlussstrom bestimmt zu:

Wählt man den Quellenurstrom der Stromquelle zu:

i

00 R

UI i

0K R

UI Dann weisen beide Quellen identisches Verhalten an den Klemmen auf!

Die Quellen sind äquivalent zueinander. Die Quellenumwandlung erleichtert das Berechnen komplizierter Netzwerke!

I0

Ri

Ii

IV

UVU0

I

UK

Ri

Äquivalente QuellenBeispiel: Leerlaufspannung der äquivalenten Stromquelle:

i

00 R

UI 0iV IRU 0V UU mit ergibt sich:

2/0V UU Bei der Spannungsquelle ergab sich:

Beispiel: Leistungsanpassung bei der äquivalenten Stromquelle

I0

Ri

Ii

IV

UV RV = Ri 2/0iV III Bei der Stromquelle ergibt sich:

2/0iV IRU

i

00 R

UI mit 2/0V UU folgt:

Verzweigte StromkreiseSystematische Analyse verzweigter Stromkreise:

Folie: 136

M3Im Folgenden werden an diesem Beispielnetzwerk einige einfache Regeln zur Netzwerkanalyse aufgestellt.

Es besteht aus drei Maschen und zwei Knoten.Bestimmt werden sollen die drei Ströme I1, I2 und I3.

U01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

R4M1 M2

K1

K2

Verzweigte Stromkreise

02012211 UUIRIR

Folie: 137

M1:

0243322 URRIIR M2:

0143311 URRIIR M3:

M1:+M2:

0243322

02012211

URRIIRUUIRIR

0143311 URRIIR entspricht M3!

M3U01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

R4M1 M2

K1

K2


Folie: 138

Die Masche M3 ist nicht linear unabhängig von Masche M1 und M2!Dies liegt darin begründet, daß bei dem Umlauf der Masche III keine neuen Informationen gegenüber den beiden vorher berücksichtigten Maschen I und II hinzukommen, da kein neuer Netzzweig berücksichtigt wird.Man darf also nur solche Maschenumläufe durchführen, die gegenüber allen anderen Maschenumläufen einen neuen Netzzweig einführen.

Merke: Von M möglichen Maschenumläufen im Netzwerk (hier: M = 3) können also immer nur (M-1) Maschenumläufe ausgewertet werden!

K1:

Auswerten der Knoten K1 und K2:

0321 III 0321 IIIK2:

Auch die Gleichung des Knotens K2 ist nichtlinear unabhängig von K1!

Merke: Von den K Knotenpunkten im Netzwerk (hier: K = 2) können immer nur (K-1) Netzknoten ausgewertet werden!


Folie: 139

Mit zwei Maschengleichungen und einer Knotengleichung stehen drei Gleichungen zur Verfügung, um die drei Unbekannten I1, I2 und I3 zu bestimmen. Es ergibt sich in Matrixschreibweise:

0UIR�

0111)(0

0

02

0201

3

2

1

432

21

UUU

III

RRRRR

oder ausführlich:


Folie: 140

Ein solches Gleichungssystem kann Computer unterstützt (z.B. MatLab oder Spice) mit Standardverfahren ausgewertet werden, so dass mit dem beschriebenen Verfahren prinzipiell auch sehr große, komplizierte Netzwerke mit vielen Tausend Unbekannten analysiert werden können.

01 URI�

Die Lösung wird durch Inversion der Widerstandsmatrix gewonnen:

Beinhaltet das Netzwerk nur lineare Bauelemente, so kann auch das Überlagerungsverfahren -auch Superpositionsprinzip genannt- eingesetzt werden.Das Netzwerk wird in mehrere Netzwerke zerlegt, die jeweils nur noch eine Quelle enthalten:


Folie: 141

Es ergeben sich zwei Netzwerke:

U01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

R4

U01

R2

R1

I'1 I'3

R3I'2

R4

R2

R1

U02

I"1 I"3

R3I"2

R4


Folie: 142

Im oberen Netzwerk wird nur die Spannungsquelle (U01) berücksichtigt und die zweite Spannungsquelle (U02) kurzgeschlossen. Im unteren Netzwerk wird genau umgekehrt verfahren.

In beiden Fällen hat sich das Netzwerk jeweils so vereinfacht, dass alle auftretenden Spannungen und Ströme durch einfache Berechnung der Widerstandsschaltung (siehe Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen) berechnet werden können.

Die tatsächlichen Ströme und Spannungen erfolgen dann durch Überlagerung:

111 III 222 III 333 III

33434444 IIRIRUUU Zum Beispiel die Spannung am Widerstand R4:


Folie: 143

Eine weitere Methode ist das Ersatzquellenverfahren:Bei der Methode der Ersatzspannungsquellen wird das gesamte Netzwerk als eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand dargestellt.

Zunächst wird das Bauteil, an dem die Spannung oder durch das der Strom berechnet werden soll, herausgetrennt und die Spannung Ue an den neu entstandenen Klemmen berechnet.

U01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

R4 U01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

Ue

Beispielaufgabe: Berechnen der Spannung und des Stroms für den Widerstand R4:


Folie: 144

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung):

Masche M2:

0332202e IRIRUU

2202e IRUU 03 I

I2 ist noch unbekannt:

011220201 IRIRUUMasche M1:

21

02012 RR

UUI

M1U01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

UeM2


Folie: 145

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung):

Die Klemmenspannung ergibt sich zu: 21

0201202e RR

UURUU

Die Klemmenspannung Ue wird als Quellenspannung der Ersatzquelle angenommen. Das restliche Netzwerk wird zum Innenwiderstand Ri zusammengefasst:

Ri

UkUeU01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

Ue


Folie: 146

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung):Da die Quellenspannungen bereits berücksichtigt wurden, werden sie bei der Berechnung des Innenwiderstands Ri kurzgeschlossen:

R2

R1 R3

21

213i RR

RRRR

U01

R2

R1

U02

I1 I3

R3I2

Ue


Folie: 147

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung):Das so berechnete Netzwerk wird schließlich mit R4 belastet:

mit den bekannten Größen:

21

213i RR

RRRR

21

0201202e RR

UURUU

Ri

U4Ue R4

I3

4i

4e4 RR

RUU

4

43 R

UI

ergeben sich Strom und Spannung für den Widerstand R4:

und Aufgabe

gelöst!

GleichstromnetzwerkeEnde

Das magnetische Feld

Das magnetische FeldDie Veränderung des Raums durch ruhende Ladungen und deren Kaftwirkung aufeinander wurde anhand des elektrischen Feldes beschrieben.1820 zeigten Ørsted und Ampère eine weitere Kraftwirkung, hervorgerufen durch bewegte elektrische Ladungen:

Der elektrische Strom, also die Bewegung, elektrischer Ladungen, ruft eine weitere Veränderung des Raums hervor.Zur Beschreibung dieser Kraftwirkungen wird ein neues Feld eingeführt: das magnetische Feld.

Mit Hilfe von Eisenspänen lassen sich die Feldlinien eines Strom durchflossenen Leiters sichtbar machen.

•ein vom elektrischen Strom durchflossener Leiter lenkt eine Kompassnadel ab,

•zwei Strom durchflossene Leiter üben eine Kraft aufeinander aus.

Das magnetische FeldDie Feldlinien umschließen den Leiter kreisförmig, sie sind in sich geschlossene Wirbel und besitzen demnach keinen Anfang (keine Quellen) und kein Ende (keine Senken) wie das elektrische Feld. Das magnetische Feld ist ein quellenfreies Wirbelfeld.

Rechte-Faust-Regel: hält man den Daumen in Stromrichtung, zeigen die Finger die Richtung der Feldlinien an.

a) Ib)

Folie: 151

Die Drehrichtung der Feldlinien ist dem Rechtsschraubensinn zugeordnet: Zeigt der Strom aus der Ebene hinaus, drehen sich die Feldlinien im Gegenuhrzeigersinn (Bild a links), zeigt der Strom in die Ebene hinein, drehen sich die Feldlinien im Uhrzeigersinn (Bild a rechts).

Das magnetische FeldNeben dem Magnetfeld, verursacht durch elektrische Ströme, sind auch magnetische Effekte von magnetisierten Körpern, z. B. Permanentmagneten bekannt.

Beispiele:•Magnetit (Fe3O4) – wegen seines starken Magnetismus gehört es zu den wichtigsten Eisenerzen der Elektroindustrie.

•Erdmagnetfeld - der stark eisenhaltige Erdkern sorgt für die Nordweisung magnetisierter Körper (z.B. Kompassnadeln).

Die Kraftwirkungen solcher Permanentmagnete sind auf mikroskopische Ströme im atomaren Bereich zurückzuführen.

Folie: 152

Die magnetischen Feldlinien im Bereich eines Stabmagneten: sie repräsentieren wie im elektrostatischen Feld die Richtung der vom Feld (z.B. auf eine Kompassnadel) ausgeübten Kräfte.

Kompass-nadel

NS

Das magnetische FeldDie Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Feldes. Zu erkennen ist, dass die Feldlinien aus einem Bereich des Stabmagneten - dem Nordpol - austreten und in den abgewandten Bereich - den Südpol - wieder eintreten. Sie schließen sich innerhalb des Magneten.

Magnetische Felder haben große Bedeutung für den Elektromaschinenbau: fast alle elektrischen Maschinen erzeugen in ihrem Inneren durch die in den Wicklungen fließenden Ströme starke Magnetfelder. Diese technischen Magnetfelder im Nahbereich der Wicklungen weitaus höher (ca. Faktor 50.000) als das Erdmagnetfeld (ca. 40 µT).

Eine Wicklung entsteht, wenn ein elektrische Leiter zu Leiterschleifen geformt wird. Das den Leiter kreisförmig umgebende Magnetfeld überlagert sich dann von einer Windung zur nächsten zu einem Gesamtmagnetfeld.

Folie: 153

Das magnetische FeldDas magnetische Feld einer langen Spule mit großer Windungszahl (typisch: 100 oder mehr) überlagert sich auf analoge Weise.

Zu erkennen ist, dass das Magnetfeld im Inneren einer hinreichend langen Spule, das so genannte Hauptfeld, homogen ist und parallel zur Spulenachse ausgerichtet ist. Das äußere Feld, das so genannte Streufeld, einer solchen langen Spule entspricht demjenigen eines Stabmagneten.

Im unteren Bild sind die Feldlinien einer langen Spule mit Eisenspänen sichtbar gemacht worden.

Folie: 154

Der magnetische FlussMerke: Die Gesamtheit aller magnetischen Feldlinien, die eine bestimmte Fläche senkrecht durchsetzen, nennt man den magnetischen Fluss .

Folie: 155

Bei der Zylinderspule tritt der magnetische Fluss durch die kreisförmige Querschnittsfläche. Bezieht man den magnetischen Fluss auf die Fläche, erhält man die magnetische Induktion B (früher auch magnetische Flussdichte genannt).

WbVs][ (Weber)

AB

T

mVs

2 B (Tesla)

Im Fall des homogenen magnetischen Flusses im Innern der Zylinderspule gilt:

Voraussetzung hier ist, dass die betrachtete Fläche A senkrecht zur Flussrichtung orientiert ist.

Der magnetische FlussIst die magnetische Induktion nicht homogen, ändert sich der magnetische Fluss mit dem betrachteten Flächenelement dA.

Folie: 156

Integriert man über die Durchtrittsfläche A, die die magnetische Induktion durchsetzt, ergibt sich im allgemeinen Fall für den magnetischen Fluss:

A

AnB d

cosddd ABAB

Anmerkung: ist der Winkel zwischen den Feldlinien und dem Normalenvektor der Durchtrittsfläche.

B

Die magnetische DurchflutungDer elektrische Strom ist als Ursache für das Magnetfeld anzusehen. Bei einer Spule mit mehreren Windungen überlagern sich die Einzelfelder der einzelnen Windungen zu einem Gesamtfeld. Der magnetische Gesamtfluss hängt also von der Anzahl der Windungen ab.Als ursächliche Größe des Magnetfeldes in einem magnetischen Kreis wird daher die Durchflutung eingeführt. Es gilt:

Folie: 157

IwΘ AΘ Man nennt die Durchflutung auch die „magnetische Urspannung“ bei einem magnetischen Kreis.

Beispiel: eines magnetischen KreisesEine Spule, in der die für den Magnetfluss notwendige Durchflutung erzeugt wird, ist auf einem magnetisch gut leitfähigen Material aufgewickelt.

I

Luftspalt

mittlere Weglänge lKern

lLuft

Analogie magnetischer Kreis - Gleichstromkreis:• die Durchflutung entspricht der Spannungsquelle,• der Magnetfluss entspricht dem elektrischen Strom, • den Schenkeln des Magnetkreises lassen sich magnetische Widerstände

Rm zuordnen, die den elektrischen Widerständen entsprechen,• über den magnetischen Widerständen liegen magnetische Spannungen V,

die den elektrischen Spannungen nach dem ohmschen Gesetz entsprechen.

Der magnetische KreisDer magnetische Kreis besitzt einen Luftspalt, der ebenfalls vom Magnetfluss durchsetzt wird.

Mit Hilfe dieses Magnetfeldes im Spalt können Kraftwirkungen erzielt werden, z.B. die Auslenkung des Zeigers eines Messwerkes oder die Ablenkung eines Elektronenstrahls (Funktionsprinzip der Fernsehröhre).

I

Luftspalt


lLuft

Der magnetische KreisDie magnetische Spannung über den Luftspalt beträgt:

Luft m,Luft RV

Kern m,Kern RVund für den magnetisch leitfähigen Kern:

I

Luftspalt


lLuft

Folie: 159

Für die magnetischen Widerstände gilt:

AlR

0

LuftLuftm, A

lR

r0

KernKern m,

mit µ, der magnetische Leitfähigkeit (wird später noch eingehend erläutert).

Der magnetische KreisWendet man die Maschenregel auf den magnetischen Kreis an, ergibt sich analog zur Reihenschaltung bei den Gleichstromkreisen:

Folie: 160

Kern m,Luft m,KernLuft RRVVΘ

Der magnetische Fluss errechnet sich allgemein zu:

n

i

R

Θ

1i

Merke: Die Summe aller magnetischen Spannungen in einem geschlossenen Umlauf ist gleich der elektrischen Durchflutung.

Allgemein gilt:

n

i

n

i

RVΘ1

i1

i (vergleiche Ohmsches Gesetz)

Die magnetische FeldstärkeAnalog zur elektrischen Feldstärke:

Folie: 161

sEsEU d sEsEU d

c

d sEU

wird im magnetischen Feld die Feldstärke H als längenbezogene magnetische Spannung eingeführt:

sVH

dd

mA

H

Luft

dLuftl

sHV

Beispiel: Beträgt die Feldstärke im Luftspalt aus dem magnetischen Kreis H und integriert man über die Länge des Luftspalts, erhält man die magnetische Spannung:

Ist das Feld homogen, ergibt sich vereinfacht: LuftLuft lHV

Das DurchflutungsgesetzAnalog zum 2. Grundgesetz der Elektrostatik:

Folie: 162

sEsEU d sEsEU d

ergibt das Integral über die magnetische Feldstärke H bei einem geschlossenem Umlauf Null, solange der Umlauf keine Ströme einschließt.

0 sdE

0 sdH

Beispiel: Ein geschlossenes Umlaufintegral im Luftspalt des magnetischen Kreises ergibt Null.

Luftspalt

lLuft c

Das Durchflutungsgesetz

Folie: 163

sEsEU d sEsEU d

Umschließt das Umlaufintegral jedoch Ströme, so ergibt das Integral die resultierende Durchflutung:

INΘsdH

IlHlHsH 5d FeFeLL

Beispiele: Diverse Umlaufintegrale im magnetischen Kreis:

IΘlHlH

sH

5

d

KernKernLuftLuft

I

HKern

HLuft

Integrationsweg

lLuft

lKern

Das Umlaufintegral entlang der mittleren Weglänge im Kern:


I

1

2

3

Folie: 164

sEsEU d sEsEU d

Beispiele (Fortsetzung): Diverse Umlaufintegrale im magnetischen Kreis

IsH 5d1

IsH 2d

2

0d3

sH

Für n Leiterströme gilt allgemein:

n

1iid IsH


Folie: 165

sEsEU d sEsEU d

Sind Stromdichten gegeben, so berechnet sich die Durchflutung aus dem Flächenintegral über die Stromdichte. Dabei handelt es sich um die Fläche, die vom Umlaufintegral eingeschlossen wird.

cA

sdHdAnSΘ

Sc1

A1 1= S.A1

Sc1

A2 2= S.A2= I

c2

21 ΘΘ


Folie: 166

sEsEU d sEsEU d

Anmerkungen zum Durchflutungsgesetz und zum Magnetfeld:

Beim elektrostatischen Feld ist das Umlaufintegral immer Null.Das elektrostatische Feld ist ein wirbelfreies Quellenfeld und besitzt eine skalare Potentialfunktion.Das Umlaufintegral im Magnetfeld ist nicht Null, es ist gleich der Durchflutung, wenn es elektrische Ströme einschließt. Das Integrationsergebnis ist abhängig vom Integrationsweg. Das Magnetfeld ist somit ein Wirbelfeld und besitzt keine skalare Potentialfunktion.

Der stromdurchflossene Leiter

H(r),H (r)x

Hmax

Hx

R r

I

R

Hds

x

Folie: 167

sEsEU d sEsEU d

Anwendungsbeispiel: Magnetfeld eines stromdurchflossenen LeitersAusgegangen wird von einem Leiter mit dem Radius R, der von einem Strom I durchflossen wird. Damit ist dieser Strom von koaxialen Feldlinien umgeben, die ihm rechtsschraubig zugeordnet sind.

Magnetische Feldstärke im Leiterinneren (r < R):Hier wird mit dem Abstand r von der Leiterachse eine Fläche umlaufen, die nur einen Teil des Leiterstromes I erfasst. Dieser Teilstrom lässt sich über die Stromdichte S im Leiter und die umlaufene Teilfläche A(r) berechnen:

2RIS


Folie: 168

sEsEU d sEsEU d

r

R

²)( rSrI

rr ASI

Der von der Teilfläche umfasste Strom beträgt:

2RIS

mit

2r rA und

22r r

RII

ergibt sich:2

2

r RrII


r

R

²)( rSrI

Folie: 169

sEsEU d sEsEU d

Das Durchflutungsgesetz ergibt:

rrH

drrHsdHc

2)(

)(2

0

rR

IrH

22)(

Damit ergibt sich die magnetische Feldstärke eines stromdurchflossenen Leiters zu:

rrHRrI 2)(2

2Eingeschlossenen Strom und Umlaufintegral gleichsetzen:


Folie: 170

sEsEU d sEsEU d

RR

IRrH

22)(

Innerhalb des Leiters steigt die magnetische Feldstärke, beginnend in der Leiterachse mit der Größe Null, mit dem Radius r linear an bis zu einem größten Wert, der sich an der Leiteroberfläche zu

RIRH

2

)( ergibt.

Magnetische Feldstärke außerhalb des Leiters (r > R):Im Abstand r von der Leiterachse liefert das Durchflutungsgesetz für einen Umlauf:

rrHdrrHI

2)()(2

0 rIrH

2

)(

H

rr = R


Folie: 171

sEsEU d sEsEU d

Damit ist die magnetische Feldstärke außerhalb des Leiters proportional zum Strom und nimmt hyperbolisch mit dem Leiterradius ab. Das Diagramm zeigt die Verteilung der magnetischen Feldstärke innerhalb und außerhalb des stromdurchflossenen Leiters.

RIRH

2

)(

rIrH 1

2)(

rR

IrH

22)(

Magnetfeld und MaterieDer magnetisch leitfähige Kern aus dem Beispiel des magnetischen Kreises weist folgenden magnetischen Widerstand auf:

Kern

KernKern m, A

lR

So wie für das elektrische Feld die Permittivität eingeführt wurde, so wird hier die Permeabilität µ eingeführt. Sie ist ein Maß für die magnetische Leitfähigkeit und lässt sich wie die Permittivität in zwei Faktoren aufspalten:

r0 Die Permeabilität des Vakuums beträgt:

AmVs104 7

0

Folie: 172

?

Die Permeabilität

Folie: 173

Die relative Permeabilität beschreibt die magnetische Leitfähigkeit eines Material in Vergleich zum Vakuum. Die meisten Stoffe sind unmagnetisch, hierfür gilt:

1r „Unmagnetische“ Stoffe unterscheidet man in diamagnetische und paramagnetische Stoffe. Der Spin des Elektrons besitzt ein magnetisches Moment und erzeugt so ein Feld, welches jedoch aufgrund des Pauli-Prinzips (antiparallele Spins) und der ungeordneten Ausrichtung makroskopisch nicht in Erscheinung tritt. Alle Stoffe sind daher grundsätzlich diamagnetisch. Dieser Effekt wird jedoch bei einigen Materialien vom stärkeren Paramagnetismus oder Ferromagnetismus überlagert.

Diamagnetische Stoffe weisen ein µr < 1 auf: hierzu gehören z. B. Kupfer, Gold, Silber, Wasser (Kupfer hat z. B. eine relative Permeabilität von µr = 0,999991)

Paramagnetische Stoffe weisen ein µr > 1 auf: hierzu gehören z. B. Luft, Sauerstoff, Aluminium, Platin (z.B. Sauerstoff: µr = 1,000002; Aluminium: µr = 1,000024)

Die Permeabilität

Folie: 174

Ferromagnetische Stoffe (kommt vom Lateinischen „ferrum“ und bedeutet Eisen). Diese Stoffe weisen ein µr >> 1 auf: hierzu gehören z. B. Eisen Kobalt und Nickel. Oft ist µr > 1000, speziell entwickelte, ferromagnetische Legierungen weisen µr bis zu einigen 100 000 auf.Die Elementarmagnete (Elektronenspins) richten sich über große Bereiche spontan parallel aus. Ferromagnetische Materialien bestehen aus mehreren Domänen (Weiss‘sche Bezirke), die jeweils eine bestimmte Magnetisierungsrichtung besitzen. Die Grenzen zwischen den Domänen werden Blochwände genannt.

Bei Anlegen eines Magnetfeldes verschieben sich die Blochwände. Die Domänen, die in Richtung des Magnetfeldes liegen, wachsen auf Kosten der anderen Domänen.

Die Permeabilität

Folie: 175

Temperaturabhängigkeit des Ferromagnetismus:Mit wachsender Temperatur nimmt die Permeabilität langsam ab. Bei Erreichen der Curie-Temperatur verschwindet der Ferromagnetismus schlagartig, und es stellt sich Paramagnetismus ein.Dieser Effekt ist reversibel. Die Curie-Temperatur beträgt bei Eisen 760°C, bei Nickel 360°C und bei Kobalt 1120°C.

Einfluss von ferromagnetischen Materialien auf das Magnetfeld:Betrachtet werden zwei Ringspulen gleicher Geometrie von denen die linke mit Luft gefüllt ist und die rechte auf einem Eisenkern gewickelt ist.Im Bild rechts wurden die Feldlinien in der Ringspule wieder mit Eisenspänen sichtbar gemacht.

Die Permeabilität

Folie: 176

Einfluss von ferromagnetischen Materialien auf das Magnetfeld:Das Experiment ergibt, dass der magnetische Fluss in der Eisenspule weitaus höher ist als derjenige in der Luftspule:

LuftKern Materialien mit hoher Permeabilität konzentrieren und führen den magnetischen Fluss in Ihrem Innern und verringern so auch das Streufeld. Den Ferromagnetika kommt deshalb als technischer Werkstoff eine große industrielle Bedeutung zu.

Die MagnetisierungskennlinieMessanordnung zum Aufnehmen einer Magnetisierungskennlinie

Auf einen ferromagnetischen Ringkern sei eine Spule (Querschnittsfläche A; mittlere Länge l) aufgebracht, deren Strom eingestellt werden kann. Zur Bestimmung des magnetischen Verhaltens dieses Materials wird mit einem speziellen Messverfahren der magnetische Fluss im Kern als Funktion des Spulenstroms ermittelt:

I

A ,

A, l

lIwA

lΘA

RΘ

m

Für den magnetischen Fluss ergibt sich: Folie: 177

Die Magnetisierungskennlinie

Der magnetische Fluss wird durch Variation des Stromes I eingestellt. Hieraus folgt die magnetische Flussdichte bzw. magnetische Induktion zu:

lΘ

AB

Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke entlang der mittleren Länge l des Kerns ergibt nach dem Durchflutungsgesetz:

ΘIwlHsH dll

IwH

Daraus folgt der Zusammenhang: HB HB r0

Folie: 178

Die MagnetisierungskennlinieFür diamagnetische und paramagnetische Materialien ist die Magnetisierungskennlinie aufgrund der feldunabhängigen Permeabilität eine Gerade. Bei den Ferromagnetika hingegen zeigt sich kein eindeutiger Zusammenhang, es entsteht eine Hysteresekennlinie:

B

H

Ist das Material zuvor noch nicht magnetisiert worden, erhält man beim ersten Hochfahren des Spulenstroms die Neukurve.

Die Kennlinie verläuft zuerst sehr steil (hohes µr) um dann für große Magnetfeldstärken (bzw. großem Spulenstrom) abzuflachen. In diesem Bereich haben sich die Domänen nahezu vollständig in Feldrichtung ausgerichtet. Das Material geht in die Sättigung. Folie: 179

Die MagnetisierungskennlinieWird nach Erreichen der Sättigung die magnetische Feldstärke (bzw. der Spulenstrom) wieder verkleinert, so ergeben sich für jeden Strom höhere magnetische Induktionen, als sie vorher erreicht wurden; es tritt eine Hysterese auf. Werden Spulenstrom bzw. Magnetfeldstärke zu Null reduziert, bleibt eine bestimmte Induktion - die Remanenzinduktion Br - im Material bestehen.

Bei abnehmender magnetischer Feldstärke ist das Material bestrebt, seine ursprüngliche Domänenstruktur wieder einzunehmen, jedoch bleiben die Blochwände an den Gitterdefekten des Materials hängen.

B

H

Br

Folie: 180


Wird die Magnetfeldstärke jetzt negativ (d.h. der Strom fließt anwachsend in umgekehrter Richtung), so wirkt die erzeugte Durchflutung dem remanenten Magnetfluss entgegen, - das Material wird entmagnetisiert. Die Magnetfeldstärke HC, bei der dies passiert, heißt Koerzitivfeldstärke. Sie ist ein Maß für die Entmagnetisierbarkeit des ferromagnetischen Materials.

Folie: 181

B

H

Br

-HC


Bei weiterer Steigerung der Magnetfeldstärke in negativer Richtung wird die magnetische Induktion ebenfalls negativ. Das Material wird nun in die entgegen gesetzte Richtung magnetisiert. Die Steigung nimmt ab, wenn die Sättigung erreicht wird.

Folie: 182

B

H

Br

-HC

B

H

Br

-HC HC

-Br


Wird der umgekehrte Spulenstrom nun auch wieder zu Null reduziert, erreicht man den Punkt der negativen Remanenz.

Lässt man den Spulenstrom nun wieder in der ursprünglichen Richtung anwachsen, erreicht man die Koerzitvifeldstärke und schließlich wieder die Sättigung.

Die Neukurve wird nicht wieder erreicht. Die gesamte durchlaufene Kennlinie nennt man Hystereseschleife.

Neukurve

Sättigung

Entmag-netisierung

Koerzitiv-feldstärke

Remanenz

Entmag-netisierung

Koerzitiv-feldstärke

Sättigung

Remanenz

Folie: 183

Hart- und weichmagnetische Materialien

B hartmagnetisch

weichmagnetisch

H

Weichmagnetische Werkstoffe•kleine Koerzitivfeldstärken•schmale Hystereseschleifen•leicht zu entmagnetisierenAnwendungsgebiete: elektrischen Maschinen und Transformatoren, da hier wegen der Wechselströme laufend Ummagnetisierungen im Material stattfinden.

Die Form der Hystereseschleife gibt Aufschluss über die magnetischen Eigenschaften des Materials. Die Breite der Hystereseschleife ist ein Maß für die Verlustleistung beim Ummagnetisieren.

Hartmagnetische Werkstoffe •breite Hystereseschleife•schwer zu entmagnetisieren•hohe RemanenzAnwendungsgebiete:DauermagneteTon- und Videobänder, Festplatten Folie: 184

Hart- und weichmagnetische Materialien

Die Bezeichnung „weich“ bzw. „hart“ kennzeichnen die mechanischen Eigenschaften dieser Werkstoffe, von denen sich die eine Gruppe weich und zäh, die andere sich hingegen hart und spröde verhält.

Genau wie bei den elektrischen Feldern stellt sich die Frage, wie sich die magnetische Feldstärke verhält, wenn die Feldlinien des Magnetfeldes von einem magnetischen Material mit der relativen Permeabilität µr1 in ein anderes mit der rel. Permeabiltät µr2 übergeht.

Beispiel: Ein Magnetkopf „beschreibt“ (magnetisiert) ein hartmagnetisches Band mit Informationen.

Folie: 185

Stetigkeit der magnetischen Feldstärke

Folie: 186

sEsEU d sEsEU d

Betrachtet wird eine Grenzschicht zwischen zwei magnetisch unterschiedlichen Materialien mit den Permeabilitäten µ1 und µ2 (siehe auch zum Beispiel magnetischer Kreis mit Kern und Luftspalt):

0d sH

022

2

2

441

442

2223

32

331111

ltHltH

ltHltH

ltHltH


Folie: 187

sEsEU d sEsEU d

Lässt man l3 und l4 gegen Null gehen, ergibt sich die Stetigkeitsbedingung:

0222111 ltHltH

mit lll 21

02211 tHtH

mit ttt

21

021 tHtH

Merke: Die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke an der Grenze zweier magnetisch unterschiedlicher Materialien ist stetig, wenn in der Grenzschicht kein Strom fließt.


I

HKern

HLuft lLuft

lKern

Folie: 188

sEsEU d sEsEU d

Beispiel: Der magnetische Kreis(die magnetische Feldstärke steht normal zur Querschnittsfläche)

Der Magnetische Fluss beträgt:

ges m,R

Bei Vernachlässigung von Streufeldern gilt AFe=ALuft. Die Magnetische Induktion ist überall gleich: LuftFe AA

B

Geht man davon aus, dass das µr im Kern aufgrund des homogenen Flusses konstant, z.B. µr = 1000 ist:

0Luft

BH r0

Fe BH vgl.

Dann erhöht sich die magnetische Feldstärke beim Übergang vom Eisenkern zum Luftspalt um den Faktor 1000!

Stromdurchflossener Leiter im MagnetfeldVerläuft ein vom elektrischen Strom durchflossener Leiter durch ein Magnetfeld, so wird auf den Leiter eine Kraft ausgeübt.

Versuchsanordnung: Das Magnetfeld sei homogen und die Feldlinien stehen senkrecht auf dem Leiter. Dann ist die Kraft, die auf diesen Leiter ausgeübt wird, umso größer, je größer die magnetische Induktion, der Leiterstrom I und die Leiterlänge sind. Es gilt:

BlIF

lIBF

Sind die Feldlinien nicht senkrecht zum Leiter orientiert, gilt allgemein:

Folie: 189

Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld

90°

F

B

IKraftrichtung:

Die Richtung der Kraftwirkung erhält man als Axialbewegung einer Rechtsschraube, deren Kopf mit dem Strompfeil auf kürzestem Wege in die Induktionsrichtung gedreht wird.

Noch einfacher ist die Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Daumen in Richtung des Stroms, der Zeigefinger in Richtung des B-Feldes, dann zeigt der Mittelfinger Mittelfinger die Kraftrichtung an.

Schließen der Strom I und die magnetische Induktion B einen Winkel ein, so gilt:

sin lIBF

Folie: 190

Kraftwirkung zweier stromdurchflossener Leiter

Folie: 191

Die Feldschwächung erfolgt jeweils auf der dem anderen Leiter abgewandten Seite. Die Leiter stoßen sich also ab. Gleichsinnig durchflossene Leiter ziehen sich an.

Es werden zwei parallele, stromdurchflossene Leiter betrachtet: Jeder Leiter erfährt eine Kraftwirkung durch das Magnetfeld des anderen Leiters. Die folgende Abbildung zeigt den Fall, dass die Leiter von gegensinnigen Strömen durchflossen werden:


Folie: 192

Die Kraftwirkung auf den Leiter 2 erhält man, indem zunächst das Magnetfeld bestimmt wird, das der Leiter 1 am Ort von Leiter 2 hervorruft. Dann wird die Kraft auf den Leiter 2 berechnet:

HB

01

1x222 )( BelIF

1222 BlIF

zx2210

2 )(2

eea

lIIF

z10

1 2)0,( e

aIzayB

z

yx

ez

a


Folie: 193

Die Kraftwirkung auf den Leiter 2 ergibt sich zu: y

22102 2

ea

lIIF

Analog ergibt sich die Kraft auf den Leiter 1: )(

2 y1210

1 ea

lIIF

Beispiel: Gegeben sind zwei parallele Leiter in Luft mit dem Abstand 0,2 m und der Länge 10 m. In beiden Leitern fließt ein Kurzschlussstrom von I1 = I2 = 60 kA. Damit ergibt sich eine Kraft auf die Leiter von:

m2,02Amm10A)²1060(Vs104

2² 67

0

alIF

N36000F Das entspricht einer Gewichtskraft von etwa 3,67 Tonnen!

Kraftwirkung auf Ladungen im Magnetfeld

Folie: 194

Die Kraftwirkung wirkt auf die bewegten Ladungsträger (el. Strom I) im elektrischen Leiter. Folglich muss sich die Ladung nicht in einem Leiter befinden, um eine Kraftwirkung zu erfahren. Statt des Stroms I wird nun eine Ladung Q im Magnetfeld betrachtet. Es gilt: vQlI

B

i=dQ/dt

l

B

l

- -

v

BlIF

BvQF

Merke: Auf einen bewegten Ladungsträger wird im Magnetfeld eine Kraft ausgeübt. Die ist die so genannte Lorentz-Kraft.

Dass Elektronen im Magnetfeld abgelenkt werden, findet z. B. in Fernsehröhren Anwendung.

Das magnetische FeldEnde

Zeitlich veränderliche Felder

InduktionsvorgängeBisher wurden nur stationäre, also zeitunabhänge Felder betrachtet: z.B. ruhende Ladungen oder zeitlich konstante Ströme, zeitlich konstante Magnetfelder.

Hier sollen nun Effekte betrachtet werden, die bei zeitlich sich ändernden Feldern auftreten.

Es war M. Faraday, der 1831 experimentell das Induktionsgesetz nachwies. Faraday benutzte eine von einer Gleichspannungsquelle versorgte, schaltbare Spule in deren Nähe sich eine Leiterschleife so befand, dass ein von der Spule erzeugter Magnetfluss teilweise auch diese Leiterschleife durchsetzte. Die Enden der Leiterschleife waren zu einem Spannungsmessgerät geführt.

v S

Folie: 197

InduktionsvorgängeVersuchsergebnis:

Immer dann, wenn der Schalter geschlossen oder geöffnet wird, zeigt das Spannungsmessgerät einen Spannungsstoß an. Sowohl bei lange geschlossenem Schalter (konstanter Strom und

v S

Magnetfluss in der Spule) als auch bei geöffnetem Schalter (Strom und Magnetfluss Null) ist die angezeigte Spannung Null.

Daraus ist zu folgern, dass nur dann eine Spannung in der Leiterschleife entsteht, wenn der von ihr umfasste Magnetfluss sich zeitlich ändert, d.h. in Zeiten des Flussaufbaus oder Flussabbaus. Nach dem Schaltvorgang klingt die Spannung rasch auf Null ab.

Folie: 198

InduktionsvorgängeMan nennt diesen Vorgang des Entstehens einer Spannung aufgrund des zeitveränderlichen Magnetflusses Induktion und die entstehende Spannung induzierte Spannung.

Die induzierte Spannung ist als Quellenspannung in der Leiterschleife aufzufassen. Sie ist bei geschlossener Leiterschleife in der Lage, einen Strom zu treiben und an angeschlossene Verbraucher (und auch an den Eigenwiderstand der Schleife) elektrische Energie abzugeben.

Merke: Je schneller sich der Magnetfluss ändert, desto größer ist die induzierte Spannung uind:

tu

dd

ind

Folie: 199

Welches Vorzeichen hat die induzierte Spannung uind?

Schließt man die Leiterschleife, z.B. mit einem Kurzschlussbügel oder über einen Verbraucher, so fließt in diesem geschlossenen Kreis ein Strom.

Linksschrauben-Regel:

Man erhält die Richtung des induzierten Stromes aus der Drehbewegung einer linksgängigen Schraube, die sich axial in Richtung des Flusszuwachses (d/dt) bewegt. Oder: Der induzierte Strom wirkt seiner Ursache entgegen.

InduktionsvorgängeDie Lenzsche Regel sagt aus, dass der durch die induzierte Spannung getriebene Strom in der Leiterschleife immer so gerichtet ist, dass das vom Strom erzeugte Magnetfeld die induzierende Flussänderung zu schwächen versucht.

tu

dd

ind

Folie: 200

Leiter

Leiter

iind

kurzgeschlosseneLeiterschleife

S

Iind

B

Feld-verstärkung

Feld-schwächung

N

S

InduktionsvorgängeUrsachen eines Induktionsvorganges:1) Der magnetische Fluss ändert sich aufgrund einer Stromänderung in einer induzierenden Spule (siehe vorheriges Experiment),

Folie: 201

2) Der magnetische Fluss ändert sich, wenn ein Dauermagnet in die Nähe der Leiterschleife gebracht wird.Beispiel: Ringpendelversuch - der geschlossene Metallring wird beim Durchfahren des Magnetfeldes abgebremst).

InduktionsvorgängeUrsachen eines Induktionsvorganges (Fortsetzung):3) Das äußere Magnetfeld bleibt konstant, aber der Leiter wird durch das Magnetfeld

bewegt, wodurch sich die Fläche der Leiterschleife verändert.

Folie: 202

B

R

B

R

+

-

vFI

I

InduktionsvorgängeDas Prinzip Induktion durch bewegte Leiter wird in Generatoren durch rotierende

Leiterschleifen angewandt.

Folie: 203

B B

N N

S S

I

I

InduktionsvorgängeNur der Bewegungsanteil senkrecht zu den Feldlinien (in x-Richtung) induziert eine Spannung. Steht die Schleife senkrecht, ist die Spannung am größten und wird Null, wenn die Schleife waagerecht steht.

B

N

S

t

v, U

Folie: 204

InduktionsvorgängeDreht sich die Schleife über die waagerechte Lage hinaus weiter, kehrt sich die Bewegungsrichtung der Leiter um, die induzierte Spannung wird negativ.

B

N

S

t

v, U

Der Generator gibt also eine Spannung wechselnder Polarität ab!

Folie: 205

InduktionsvorgängeUm eine höhere induzierte Spannung zu erhalten, besitzt die vom Fluss durchsetzte Leiterschleife nicht nur eine, sondern N Windungen.

In jeder dieser Windungen wird dann eine Spannung induziert. Da diese Windungen elektrisch in Reihe geschaltet sind, entsteht an dieser Spule insgesamt die Spannung:

tΨ

tu

dd

ddwind

ist der mit der Spule der Windungszahl N verkettete Fluss. Seine Einheit ist die des magnetischen Flusses.

VsΨ 1

Folie: 206

Die QuellenspannungSind die Enden der Leiterschleife in die hinein induziert wird, nicht verbunden, so steht an den Klemmen eine Spannung uq an:

Hier wird die Leistung in der Leiterschleife umgesetzt. Sie dient als Verbraucher.

Bei Anschluss eines Verbrauchers wird der Leiterschleife Leistung entnommen. Sie dient als Quelle.

RVLeiter

Leiter

iind


uind

Ri

uind

Ri

uq

iind=0

Folie: 207qind uu Für die Quellenspannung gilt:

iind

Die Quellenspannung

Damit lässt sich die Leiterschleife mit der Quellenspanung Uq, dem Schleifenwider-stand Ri als reale Spannungsquelle mit dem Verbraucherwiderstand RV zeichnen:

tΨ

tu

dd

ddwq

Damit folgt für die Quellenspannung:

RVuq

Ri IRV

uind

Ri

uq

iind

Folie: 208

Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld, das als wirbelfreies Quellenfeld (und als Potentialfeld) definiert war, ist dieses Umlaufintegral über die elektrische Feldstärke hier von Null verschieden. Dies bedeutet, dass zeitveränderliche Magnetfelder durch Induktion quellenfreie elektrische Wirbelfelderhervorrufen. Man spricht von elektromagnetischen Feldern, da hier das elektrische mit dem magnetischen Feld verknüpft ist.

Das elektromagnetische Feld

Das Umlaufintegral über diese Feldstärke ergibt gerade die treibende, induzierte Spannung:

indiindd iRusE

Anmerkung: Betrachtet man die geschlossene Leiterschleife, in die von einem sich zeitlich ändernden Magnetfeld eine Spannung uind induziert wird, dann treibt diese Spannung einen Strom iind. Dieser Strom verursacht eine elektrische Feldstärke. (siehe Abschnitt „Der elektrische Strom“)

Leiter

Leiter

iind


uind

Ri

Folie: 209

Selbstinduktion

Folie: 210

Bei den bisherigen Induktionsversuchen wurde die Induktion durch äußere Magnetfelder in einer Leiterschleife hervorgerufen. Der induzierte Strom in der Leiterschleife baut aber selbst ein Magnetfeld auf.Wie wirkt das selbst bewirkte Feld sich auf den Strom bzw. der Spannung in der Leiterschleife aus?

Experiment:Eine Leiterschleife wird an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen.Nach dem Einschalten wird sich ein anwachsender Strom i einstellen, der seinerseits einen wachsenden Magnetfluss erzeugt.

d/dt uL

i

Dieser zeitlich sich ändernde Magnetfluss induziert eine Spannung in die Schleife: tu d/dind

Selbstinduktion

Folie: 211

Da die Leiterschleife geschlossen ist, bewirkt diese induzierte Spannung einen Strom in Gegenrichtung, so dass der Gesamtstrom in der Leiterschleife sich zunächst zu Null ergibt. Dies bedeutet, dass in einer Leiterschleife mit zeitveränderlichem Strom durch Selbstinduktion eine Gegenspannung entsteht, die von der äußeren Spannungsquelle kompensiert werden muss.Handelt es sich bei der Leiterschleife um eine Spule mit w Windungen, so beträgt die induktive, von der Spannungsquelle aufzubringende Spannung:

tΨ

twu

dd

dd

L

Drückt man den verketteten magnetischen Fluss durch den Leiterstrom i aus, so erhält man mit

iwΘwΨR

,,m

Selbstinduktion

Folie: 212

mmL d

ddd

dd

Riw

tw

RΘ

tw

twu

Je schneller der Strom sich ändert, umso größer ist die zu kompensierende Gegenspannung.

ti

Rwu

dd²

mL

Der Vorfaktor wird zusammengefasst zu:

m

²RwL

tiLu

dd

L L ist die Eigeninduktivität oder Selbstinduktivität der Spule.

Dann ergibt sich:

Die Induktivität

Folie: 213

ti

Rw

tΨ

tw

dd

dd

dd

m

2

Vergleicht man die beiden Gleichungen:

ergibt sich:

tiL

tΨ

dd

dd

iLΨ und durch Integration auf beiden Seiten: i

ΨL bzw.

Die Einheit der Eigeninduktivität der Spule ist damit:

HAVs

L

Die Induktivität

Folie: 214

Mit dem magnetischen Widerstand einer Spule: A

lR

m

Ergibt sich die Induktivität einer Spule zu:

lAw

RwL

2r0

m

2

A

l

w

Man erkennt, dass die Induktivität einer Spule quadratisch mit der Windungszahl anwächst: Verdoppeln der Windungszahl bewirkt also eine vierfache Induktivität.

Querschnittsfläche der Spule

WindungszahlPermeabilität des (Eisen)-Kerns

Länge der Spule

Die Induktivität

Folie: 215

Viel stärker noch wächst die Induktivität der Spule, wenn ein Eisenkern in das Spuleninnere eingebracht wird. Deshalb werden in der Energietechnik zur Erzeugung großer Magnetfelder und Induktivitäten meist Spulen mit Eisenkern, sog. Drosselspulen oder Drosseln, verwendet.

Für den Kern industriell verwendete kernorientierte Elektrobleche erhöhen die Induktivität einer Spule um ein Mehrtausendfaches.

Energieinhalt des Magnetfeldes

Folie: 216

Ähnlich wie im elektrostatischen Feld lässt sich auch der Energieinhalt des magnetischen Feldes berechnen. In der Elektrostatik wurde dies am Beispiel des Kondensators vorgenommen, hier wird die in einer Spule gespeicherte magnetische Energie bestimmt:

Allgemein gilt für die elektrische Leistung und Arbeit:

)()()( titutp

11

001 d)()(d)()(

tt

ttituttptW

Wird der Strom um di erhöht, wird eine Spannung uind induziert, die der Erhöhung des Stroms entgegenwirkt (Lenzsche Regel). Diese Spannung muss von der angeschlossenen Spannungsquelle durch uL komensiert werden:

tiLuu

dd

indL

Energieinhalt des Magnetfeldes

Folie: 217

1

01 d)(

dd)(

t

ttitiLtWFür den Energieinhalt ergibt sich:

1

01 d)(

dd)(

t

ttitiLtWDie Induktivität ist zeitlich konstant

und wird vor das Integral gezogen:

I

itiLtW0

1 d)()(In der Zeit von 0 bis t1 wird der Strom von Null auf I erhöht:

2magn 2

1 ILW Damit ergibt sich der Energieinhalt des Magnetfeldes zu:

Zeitveränderliche FelderEnde

Elektrische Bauelemente II

Die SpuleMit der Spule ist ein neues elektrisches Bauelement hinzugekommen. Um es in Netzwerken verwenden zu können, muss ein Schaltsymbol definiert werden:

Für eine Spule mit Eisenkern werden auch folgende Symbole verwendet:

Schaltzeichen Spule mit Eisenkern

oder

ui

Schaltzeichen Spule

ui

oder

Folie: 220

Bauformen von SpulenBeispiele und Bauformen:

Ölgekühlte Kompensationsdrosselspulen und Strombegrenzungsdrosseln werden in der Energietechnik vor allem eingesetzt, um Oberspannungen oder Kurzschlussströme zu begrenzen.

Kleinere Bauformen für die Verwendung in elektronischen Schaltungen:

Vorschaltdrossel für Leuchtstoffröhren

Reihenschaltung von Spulen

Folie: 222

Schaltet man zwei identische Spulen in Reihe, so ergibt sich eine Spule mit doppelter Windungszahl und doppelter Länge. Für deren Induktivität gilt:

lAwL

2)2( 2

r0ges

Ll

Awl

AwL

222

4 2r0

2r0

ges

Allgemein: Bei der Reihenschaltung addieren sich die Spannungsabfälle:

u u u L it

L it

L it

1 2 1 2dd

dd

dd

u1 u2

L1 L2

Reihenschaltung von Spulen

Folie: 223

Daraus ergibt sich:21 LLL

Allgemein ergibt sich für die Reihenschaltung von n Spulen:

n

1iiLL

Bei der Parallelschaltung von Spulen addieren sich die Ströme:

L1

L2

i1

i1

21 iii

ti

ti

ti

dd

dd

dd 21

Parallelschaltung von Spulen

Folie: 224

Daraus ergibt sich:

21

21

LLLLL

Allgemein ergibt sich für die Parallelschaltung von n Spulen:

n

1i i

11

L

L

Lu

LLu

ti 111

dd

21

21

111LLL

mit

tiL

tiLu

dd

dd 2

21

1 ergibt sich:

Die verzögernde Wirkung von Induktivitäten

Folie: 225

Es wurde bereits angeführt, dass Spulen auch als Strom begrenzende Drosseln eingesetzt werden. Diese Eigenschaft, den Stromanstieg zu verzögern, wird im Folgenden rechnerisch untersucht.

An eine Spule der Induktivität L und dem ohmschen Widerstand R (der Draht, aus dem die Spule gewickelt ist, weist einen Widerstand auf) wird eine Gleichspannungsquelle geschaltet:

uL

i (t)

uR

u0

t = 0 s

R

L

tiLiRU

dd

0

LR0 uuU Masche:


uL

i (t)

uR

u0

t = 0 s

R

L

Folie: 226

Es ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung:

LUi

LR

ti 0

dd

1. Schritt: Lösen der homogenen DGL:

0dd

iLR

ti

iLR

ti

dd

tLRi

idd1


Folie: 227

tLRi

idd1

Beide Seiten integrieren:

tLRct

LR

eccecti

211 ')( 2

21)ln()ln( ctLRci bzw.

2. Schritt: Anfangsbedingungen ausnutzenDer Strom muss stetig sein, i(t =-0) = i(t = +0) = 0:

0

21 '0

LR

ecc 21 'cc

)1()( 1

tLR

ecti

Einsetzen ergibt:


Folie: 228

)1(10

tLR

ecR

UEinsetzen ergibt:

RUti 0)( Nach Abklingen des Schaltvorgangs ist die

Spannung an der Spule Null. Der Strom ergibt sich zu:

=0

RUc 0

1

)1()( /0 teR

Uti RL /mit der Zeitkonstanten

Damit ergibt sich als Lösung: )1()( 0t

LR

eR

Uti

oder


Folie: 229

t

LR

eLR

RUL

tiLU 0

L dd

Für die Spannung an der Spule ergibt sich:

Strom- und Spannungsverlauf ist in den folgenden Diagrammen gezeigt:

i

t

U0/RuL

t

u0

tLR

eUU

0L


Folie: 230

Ergebnisse:

Die Spannung an der Spule springt im Einschaltmoment auf U0 und verhindert dass sprungartig ein Strom fließen kann.

Der Strom steigt stetig von Null an und geht asymptotisch gegen seinen stationären Endwert U0/R. Es findet ein Ausgleichsprozess statt, bei dem der Strom nach dreifacher Zeitkonstante rund 95 %, nach fünffacher Zeitkonstante rund 99,3 % seines Endwertes erreicht hat.

Der Strom in einer Spule kann sich niemals sprunghaft ändern. Die Ausgleichsfunktion verläuft umso langsamer, je größer die Zeitkonstante = L/R der widerstandsbehafteten Spule ist. Frage:

Stimmen der zeitliche Verlauf des Stroms und der Spannung mit der Gleichung für die im Spulenfeld gespeicherten magnetischen Energie überein?

2magn 2

1 ILW

Der Energieinhalt der Spule

Folie: 231

Die im Verbraucher umgesetzte Energie ist:

0

00

ges d)(d)( ttiUttiuW

Sie setzt sich zusammen aus: LRges WWW RgesL WWW

Damit ergibt sich die Spulenenergie zu:

00

0L d)²(d)( ttiRttiUW

0

220

0

20

L d1d1 teR

UteR

UWtt

Spulenstrom einsetzen:

Der Energieinhalt der Spule

Folie: 232

Ausmultiplizieren:

0

220

L d211 teeeR

UWttt

Integrieren:

0

220

L 22

ttt

eeeR

UW

2

20

L

RUWIntegrieren: mit: RL /

²21

L ILW 2²

20

L

R

LUW RUI /0mit:

ergibt sich:

folgt:

Gegeninduktion

1ui

NN

11

12

2

Gegeninduktion:

Sind zwei Spulen so angeordnet, dass der zeitveränderliche Magnetfluss der einen Spule (N1) zumindest teilweise die andere Spule (N2) durchsetzt, so wird in die zweite Spule eine Spannung induziert.

Folie: 233

L12 heißt Gegeninduktivität und drückt die magnetische Kopplung beider Spulen aus.

Gegeninduktion

1ui

NN

11

12

2

Gegeninduktion:

Der Strom in der Spule N1 verursacht also einen magnetischen Fluss in der Spule N2. Es gilt:

1122 iL wenn N2 eine Windung aufweist.

1122 iLΨ wenn N2 mehrere Windungen besitzt.

222 wΨ

GegeninduktionGegeninduktion:

Das Experiment kann auch umgekehrt durchgeführt werden: Ein Strom in Spule 2 erzeugt einen magnetischen Fluss in Spule 1. Es gilt:

2112 LL Nach den Überlegungen zum Induktionsgesetz wird aufgrund des Stromes i1 in Spule 1 in der Spule 2 eine Spannung uind2 induziert:

tiL

tΨ

twu

dd

dd

dd 1

1222

ind2

Ebenso wird natürlich auch ein in der Spule 2 fließender Strom i2 in der Spule 1 eine Spannung uind1 induzieren:

tiL

tΨ

twu

dd

dd

dd 2

1211

ind1

Folie: 235

Der TransformatorTechnische Anwendung der Gegeninduktion:

Das Phänomen der Gegeninduktion wird beim Transformator ausgenutzt. Es werden zwei Spulen auf einen Eisenkern gewickelt:

i1 i2

u1 u2w1 w2

m1

m2

m1

m2

AFe, lFe, rIst die Permeabilität des Kernmaterials hoch, so wird der gesamte Magnetfluss im Kern geführt (keine Streuflüsse in der Luft), und beide Spulen werden von demselben magnetischen Fluss durchsetzt.

Folie: 236

Der Transformator

rm A

lR0

Geht man von einem magnetischen Widerstand des Trafokerns von

r0Fe

Fem

AlR

aus, so ist der Magnetfluss im Eisenkern, falls nur eine der beiden Spulen Strom führt:

m

11

m

1m1 R

IwRΘ

m

22

m

2m2 R

IwRΘ

oder:

m2m1 Da der magnetische Fluss im Kern überall gleich ist (keine Streufelder), gilt:

Es ergibt sich: 2211 iwiw 1

2

2

1

ww

iibzw.:

Folie: 237

2

1

2

1

2

1

dddd

ww

tw

tw

uu

Dividiert man u1 durch u2, ergibt sich:

Der TransformatorMerke:Beim idealen Transformator verhalten sich die Ströme umgekehrt wie die Wicklungswindungszahlen!

1

2

2

1

ww

ii

Für die in den Spulen induzierten, an den Klemmen anstehenden Spannungen gilt dann:

twu

dd

11

t

wudd

22

und

Folie: 238

Der TransformatorMerke:Beim idealen Transformator verhalten sich die Spannungen wie die Wicklungswindungszahlen!

2

1

2

1

ww

uu

Damit ist man in der Lage, zeitveränderliche Spannungen auf Spannungen anderer Höhen zu transformieren.

Bei den Spannungsquellen galt, dass man viel Leistung bei gutem Wirkungsgrad nur bei hohen Spannungen erzielen kann.

Mit Hilfe von Transformatoren kann man niedrige Spannungen entsprechend hoch transformieren. Sie sind daher unverzichtbar zur verlustarmen, wirtschaftlichen Übertragung elektrischer Energie!

Folie: 239

Der TransformatorBerechnung der Gegeninduktivität:

Lässt man eine Seite offen, z. B. i1= 0, dann lässt sich die Gegeninduktivität (auch Koppelinduktivität genannt) des Transformators einfach berechnen zu:

twu

dd

11

m

211 d

dRΘ

twuDer magnetische

Fluss wird von Spule 2 erzeugt:

tiL

ti

Rwwu

m dd

dd 2

12221

1

mit:

r0Fe

Fem

AlR

Ergibt sich die Gegeninduktivität zu:

lAwwL r02112

Der Transformator wird vertiefend in der Vorlesung „Elektrische Maschinen“ behandelt.

Elektrische Bauelemente IIEnde

Wechselstromkreise

Erzeugen einer Wechselspannung

N

S

Läufer-wicklung

Erreger-wicklung

Polschuhe

Läufer

In einem Generator (z.B. die Lichtmaschine im Auto) dreht sich ein Läufer in einem Magnetfeld. Nach dem Induktionsgesetz wird eine Spannung in die Läuferwicklung induziert. Um den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung zu bestimmen, wird exemplarisch eine Windung der Läuferwicklung betrachtet:

Folie: 243

BN

S

I

In

t

U


BN

S

n

BN

S

n

Rotiert die Leiterschleife in dem homogenen Erregermagnetfeld, so ändert sich fortwährend der die Schleife durchsetzende Magnetfluss.

Folie: 244

Mit dem Flächennormalenvektor n ergibt sich der senkrecht zur Leiterschleife orientierte Anteil des magnetischen Flusses zu:

cos ABAB

Erzeugen einer WechselspannungMit dem Winkel :

Folie: 245

Bn

Bei konstanter Rotationsgeschwindigkeit (z.B. 50 Umdrehungen in der Sekunde) gilt für den Winkel :

t

Nach dem Induktionsgesetz wird folgende Spannung in die Leiterschleife induziert:

tutABt

u sinsindd

ind

tAB cosDamit ergibt sich der magnetische Fluss zu:

Erzeugen einer WechselspannungBesitz die Läuferwicklung w Windungen, erhöht sich entsprechend die induzierte Spannung:

tutABwt

wu sinsindd

ind

Folie: 246

u Scheitelwert

0 Phasenwinkel

T Periodendauer

Im Allgemeinen Fall wird zum Zeitpunkt t0 der Läufer nicht beim Winkel 0° starten, sondern wird eine beliebige Winkelstellung 0 aufweisen. Es ergibt sich eine Zeitfunktion der Form: 0sin)( tutu

t

u(t) T=2

u


Folie: 247

Der Kehrwert der Periodendauer ist die Frequenz:

Tf 1Die Frequenz und gibt die Anzahl der Schwingungen je

Zeiteinheit an. In einem 50 Hz-Netz schwingt die Spannung 50-mal in der Sekunde; die Periodendauer beträgt T = 20 ms

fT

22

Wegen des Drehwinkels der Leiterschleife trägt man die Schwingung oft statt über der Zeit t über dem Winkel t auf. Dabei gilt für die Winkelgeschwindigkeit:

Die Winkelgeschwindigkeit wird auch Kreisfrequenz genannt.

Kenngrößen von WechselspannungenEine Gleichspannung ist durch die Angabe ihrer Größe, z.B. 100 V, vollständig beschrieben.

Welche Angaben sind zur vollständigen Beschreibung von Wechselgrößen geeignet, die ständig ihre Größe ändern?

Der arithmetische Mittelwert: ttuT

U d)(1

Der arithmetische Mittelwert einer periodisch zeitveränderlichen Größe entspricht der Fläche zwischen ihrer Zeitfunktion und der Zeitachse, dividiert durch die Periodendauer.

t

u(t)

T

Der zeitliche Mittelwert einer sinusförmigen Spannung ergibt sich zu Null. Ein an diese Spannung Spannung angeschlossener Gleichstrommotor würde sich nicht bewegen. Folie: 248

Kenngrößen von Wechselspannungen

t

u(t)U

Folie: 249

Würde hingegen die Spannung um einen zeitlichen Mittelwert U schwingen, so würde der Motor dieselbe Drehzahl entwickeln, als würde er mit einer Gleichspannung U gespeist.

Der arithmetische Mittelwert gibt also den Gleichanteil in einer Wechselspannung wieder.

Wechselspannung mit Gleichanteil

Beispiel: Um den Gleichstrommotor anzutreiben, wird ein einpulsiger Gleichrichter (Gleichrichter, der nur die positive Halbwelle durchlässt) vorgeschaltet:

i (t)

uRu0 R


Folie: 250

Da die negative Halbwelle ausgefiltert wird, erfolgt die Integration bis T/2:

t

u(t)

TT/2 3T/2 20

d)sin(ˆ1 T

ttuT

U

1)

2cos(

ˆ)cos(ˆ 2

0

TTut

TuU

T

TuT

TTuU

ˆ21)

22cos(

ˆ

TuTUˆ2

2


uuU ˆ318,0ˆ

Der arithmetische oder zeitliche Mittelwert beträgt also 31,8 % des Scheitelwertes. Beträgt der der Scheitelwert z.B. 100 V, so dreht sich der Gleichstrommotors so schnell wie bei Anschluss an eine 31,8 V Gleichspannung.

Die physikalischen Auswirkungen von Wechselspannungen und -ströme können meistens über die Effektivwerte beschrieben werden!

Der Effektivwert:Weitaus größere Bedeutung hat in der Elektrotechnik der Effektivwert. Wenn nicht anders gesagt, werden Spannungen, Ströme, elektrische Feldstärken, magnetische Induktionen usw. immer als Effektivwerte angegeben!

T

ttuT

U0

2eff d)(1

Folie: 251


Folie: 252

Beispiel:Ein ohmscher Widerstand wird von einem Wechselstrom i(t) durchflossen: )sin(ˆ)( titi Die im Widerstand umgesetzte augenblickliche Leistung beträgt:

22 )sin(ˆ)()( tiRtiRtp

Die mittlere Leistung P beträgt:

T

ttiRT

P0

22 dsin1

2

ˆd2cos1

2

ˆ 2

0

2 iRttTiRP

T

Vergleicht man das Ergebnis mit dem Effektivwert:


Folie: 253

Berechnung des Effektivwertes:

2

ˆ

2

ˆ1)d(inˆ1 2

0

22eff

iTiT

ttsiT

IT

2eff

2

2

ˆ

2

ˆ

2

ˆIRiiRiRP Vergleich:

Der Effektivwert des sinusförmigen Stroms erzeugt also die gleiche mittlere thermische Leistung im Widerstand wie der entsprechende Gleichstrom!Der Effektivwert einer sinusförmigen Wechselgröße beträgt demnach etwa 70,7 % ihres Scheitelwertes.

iiI ˆ707,02

ˆeff


Merke: Zeitabhängige Größen, bzw. Augenblickswerte werden mit Kleinbuchstaben u, i gekennzeichnet, Effektivwerte mit Großbuchstaben U, I.

Analog zur Stromstärke gilt ebenfalls für die sinusförmige Spannung:

RUP

2

uuU ˆ707,02ˆ

mit

Beispiel: Die gewöhnliche Netzspannung aus der Steckdose von U = 230 V besitzt einen Scheitelwert von:

Uu 2V 325,3

Folie: 254

Die Richtung von Strom und Spannung

Folie: 255

In der Gleichstromtechnik zeigt ein Strompfeil die Bewegung der positiven Ladungsträger an. Beim Wechselstrom entfällt diese physikalische Bedeutung da sich ständig die Polarität der Spannung und damit die Stromrichtung ändert.

Man interpretiert den Strompfeil als einen willkürlich festzulegenden Zählpfeil. Nach Verbraucherbezugspfeilsystem sind Strom und Spannung in die gleiche Richtung zu zeichnen, wenn das Bauelement passiv ist, also Leistung aufnimmt. Das Produkt aus Spannung und Strom ist somit positiv.

Die Richtung von Strom und Spannung

Folie: 256

Bei Wechselspannungs- und Wechselstromquellen (aktive Bauelemente) zeigen Strom und Spannung in die entgegen gesetzte Richtung. Die Leistung ist dann negativ (vergleiche auch den Abschnitt „Elektrische Bauelemente I“).

U0

I

Wechselspannungsquelle

I

R

U

Widerstand

Sinusförmige Größen als komplexe ZeigerProblem:

In der Wechselstromrechnung sind wegen der Strom-Spannungsgleichungen von Kondensatoren und Spulen

ttiLtu

d)(d)(L tti

Ctu d)(1)(Cund

immer wieder Differentiationen oder Integrationen der sinusförmigen Größen vorzunehmen, so dass in Stromkreisen mit mehreren Bauelementen unübersichtliche Differentialgleichungen höherer Ordnung zu behandeln sind.

Folie: 257

)sin()sin(ˆˆ)()()( iu ttiutitutp

Bereits bei einer einfachen Aufgabe wie der Leistungsberechnung entstehen Produkte sinusförmiger Größen, die das Anwenden komplizierter Additionstheoreme erfordert:

Sinusförmige Größen als komplexe ZeigerMan entgeht dieser Problematik und kommt zu einfachen Rechenregeln, die denjenigen des Gleichstromkreises entsprechen, wenn man auf die so genannte komplexe Wechselstromrechnung übergeht.

Sinusförmigen Spannungen und Ströme werden durch komplexe Zeiger ersetzt.

Folie: 258

))sin(j)(cos(ˆ)(~uu1 ttutu

ttt eueeueutu jjj)(j1 ˆˆˆ)(~ uu

Die Zeitfunktion )cos(ˆ)( u1 tutu wird ergänzt:

ujˆˆ euu Die trigonometrischen Funktionen sind verschwunden, es entsteht ein komplexer Scheitelwertzeiger:

Es gilt die Eulersche Gleichung: )sin(j)cos(j xxe x

Sinusförmige Größen als komplexe ZeigerMerke: Die Überlagerung dieser linearen Funktionen, kann durch

Realteilbildung wieder rückgängig gemacht werden, so dass nach der Berechnung wieder das richtige Ergebnis herauskommt.

tt eueeutu jjj1 ˆˆ)(~ u

Komplexer Drehzeiger

verursacht die Drehung

Komplexer Scheitelwert-

zeiger

Die sinusförmige Zeitabhängigkeit durch den Faktor ejt ausgedrückt. Da man aber bei der Wechselstromrechnung weiß, dass man es mit sinusförmigen Größen der Kreisfrequenz zu tun hat, ist diese Information redundant: sie kann entfallen. Die wesentlichen Informationen zur Spannung u(t) sind der Scheitelwert und die Phasenlage, die durch den komplexen Scheitelwertzeiger û ausgedrückt werden. Man muss daher nicht mit den Drehzeigern rechnen sondern es reicht die Berechnung über die Scheitelwertzeiger. Folie: 259

r

H(r)

RR

H(r)I

r

0 45 90 135 180 225 270 315 360-1

-0,75

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

u(t)

o o o o o o o o o

tms

u

t0

t2

u0

u2

u

re

im u

Sinusförmige Größen als komplexe ZeigerAbbildung des komplexen Drehzeigers als Sinusfunktion auf die reelle Ebene:

Folie: 260

Anmerkung: In der Elektrotechnik wird häufig auch der komplexe Effektivwertzeiger verwendet:

2ˆ Uumit ergibt sich:

tt UUtu jjj e2Reee2Re)( U

Sinusförmige Größen als komplexe Zeiger

Vorteile:

Mit den komplexen Scheitelwertzeigern gestaltet sich die Berechnung wesentlich einfacher als mit den Zeitfunktionen.

Wie sich noch zeigen wird, vereinfachen sich die Differentialgleichungen (die beim Einsatz von Spulen und Kondensatoren entstehen) zu algebraischen Gleichungen.

Nachteil:

Der zusätzliche Aufwand, welcher zunächst für das Verständnis der Transformation in die komplexe Ebene aufgebracht werden muss und das Beherrschen der Rechenregeln für komplexe Zahlen.

Folie: 261

Grundregeln:

Eine komplexe Größe A wird dargestellt durch ihren Realteil Ar, der auf der reellen Achse aufgetragen wird, und ihren Imaginärteil jAi, der auf der imaginären Achse aufgetragen wird. jr jAAA

Grundregeln der komplexen Rechnung

Folie: 262

. 1j

Imaginäre Einheit:

Die imaginäre Einheit ist die Wurzel aus minus Eins. 1j

Re

jIm

AjAi

Ar

Die Zeigerdarstellung gleicht einer Vektordarstellung in der (x, y) -Ebene. Für die Betragbildung und die Winkelberechnung gilt:

r

jA arctan

AA

)( 2j

2r AAAA


Folie: 263

. 1j

Ar cosAA Ai sinAAReal- und Imaginärteil bildet man durch:

Beispiel: Gegeben sei eine sinusförmige Spannung

)87,36cos(V100)cos()(

ttûtu

6,873jVe100uDer Scheitelwertzeiger ist:

Nach der Eulerschen Formel ergibt sich:

))87,36(inj)87,36(cos(V100ˆ suVj60 V80,6)0j8,0(V100ˆ u

100V

j60 V

80 V

36,87°


Folie: 264

. 1j

Produkt zweier komplexer Größen:

BA jj eBeABA

C

BA

j

)(j

eCC

eBA

Re

jIm

A

C

C

B

Merke: Der Betrag des Produktes C ist das Produkt der Beträge. Der Winkel des Zeigers C ist die Summe der einzelnen Winkel.

Sonderfall: Ist B =1 erfährt A, eine Drehung um B:

)(jj BAB eAeADer Zeiger A wird um den Winkel B in mathematisch positiver Richtung, entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht.


Folie: 265

. 1j

Damit gelten die Zusammenhänge:

j)90sin(j)90cos(90j eEine Multiplikation mit j entspricht einer Drehung um 90°.

j)90sin(j)90cos(90-j eEine Multiplikation mit -j entspricht einer Drehung um-90°.

1)180sin(j)180cos(081j eEine Multiplikation mit -1 entspricht einer Drehung um180°.

Kehrwerte: 1j 1j2

j1-j

jj

j1

2 j1j

j-j

j-1

2

Re

jIm

A

CB

B c


. 1j

Summe zweier komplexer Größen:Anwenden der Eulerschen Formel:BA jj eBeABA

Cjir

iirr

j

)(j)(eCCCC

BABA

BABA sinsinj cos cos BABA

Merke: Die Summe zweier Zeiger A und B entspricht der Vektoraddition. Man erhält die Summe C, indem man jeweils die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile addiert.

Folie: 266


. 1j

Quotient zweier komplexer Größen:

Folie: 267

CBA

B

Aj)(j

j

j

eCCeBA

eBeA

BA

Merke: Der Betrag des Quotienten C ergibt sich als Quotient der Beträge.Der Winkel des Zeigers C als Differenz der einzelnen Winkel.

Re

jIm

A

C

B

C

Die Induktivität in der komplexen Rechnung

ttiLtu

d)(d)(

Spannung eilt dem Strom um 90° voraus.

Zunächst die Berechnung mit der Zeitfunktion:

Für die Spule gilt:

icosˆ)( titiEs soll ein sinusförmiger Strom durch die Spule fließen:

isinˆd

)(di tittDie Differentiation ergibt:

Folie: 268

2cosˆ)( i

tiLtu

Der Sinus wird durch Verschieben um 90° wieder in die cos-Funktion überführt:


Folie: 269

Spannung eilt dem Strom um 90° voraus.

Jetzt folgt die Berechnung mit dem komplexen Drehzeiger:

ttiLtu

d)(~d)(~ Für die Spule gilt:

ijˆ)(~ teitiDer sinusförmige Strom wird komplex ergänzt:

Die Differentiation ergibt: ijˆjd

)(i~d teitt

2/jj ~~jˆj i eiiei t

Der Vorfaktor j erzeugt eine Drehung um 90°:


Folie: 270

tt iLuu jj eˆjeˆ~ Für den Drehzeiger der Spannung an der Spule ergibt sich:

Hat man die Differentiation einmal ausgeführt, reicht die Darstellung mit Scheitelwertzeigern, die Drehung kann weggelassen* werden:

*Mathematisch gesehen, handelt es sich um eine Fouriertransformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Das Differential geht in eine Multiplikation mit jüber.

tt iLu jj eˆjeˆ Für den Scheitelwert-Spannungszeiger an der Spule ergibt sich:

ILU jDarstellung mit Effektivwertzeigern:

iLu ˆjˆ


Folie: 271

Fasst man die Größen vor dem Stromzeiger zusammen: IZILU Ljund vergleicht dieses mit dem Ohmschen Gesetz: IRU

LZ jLDann besitzt die Spule einen imaginären frequenzabhängigen Widerstand:

Merke: Die Spule besitzt einen imaginären, frequenzabhängigen Widerstand, welcher induktiver Blindwiderstand oder Impedanz genannt wird. Je häufiger der Strom seine Polarität wechselt, je höher also seine Frequenz ist, umso größer ist seine Impedanz. Die imaginäre Einheit „j“ bewirkt eine Drehung um 90°. Die Spannung eilt also dem Strom um 90° voraus.Den reinen Größenwert des Blindwiderstands nennt man Reaktanz. Es gilt

LfLX 2L


Folie: 272

Für die Spule ergibt sich folgendes Zeigerbild:

û

î

Zeigerdarstellung Zeitverlauf von Strom und Spannung

Die Kapazität in der komplexen RechnungZunächst die Berechnung mit der Zeitfunktion:

ttiC

tut

d)(1)(0Für den Kondensator gilt:

)cos(ˆ)( i titiEs soll ein sinusförmiger Strom durch den Kondensator fließen:

)sin(1d)(i i0

tttt

Die Integration ergibt:

Spannung eilt dem Strom um 90° nach.

)2

cos(11)( i

t

Ctu

Der Sinus wird durch Verschieben um 90° wieder in die cos-Funktion überführt:

Folie: 273

Spannung eilt dem Strom um 90° nach.

Die Kapazität in der komplexen RechnungJetzt folgt die Berechnung mit dem komplexen Drehzeiger:

Folie: 274

ttiC

tut

d)(~1)(~0

0Für den Kondensator gilt:

ijˆ)(~ teitiDer sinusförmige Strom wird komplex ergänzt:

Die Differentiation ergibt: ij

0

ˆj1d)(i

~

t

t

eitt

2/j-j ~1~jˆj1

i

eiiei t

Der Vorfaktor j erzeugt eine Drehung um 90°:

Die Kapazität in der komplexen Rechnung

Folie: 275

Für den Drehzeiger der Spannung am Kondensator ergibt sich:

Hat man die Integration einmal ausgeführt, reicht die Darstellung mit Scheitelwertzeigern, die Drehung kann weggelassen* werden:

*Mathematisch gesehen, handelt es sich um eine Fouriertransformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Die Integration geht in eine Multiplikation mit 1/jüber.

tt eeiC

euu

jjj iˆ

j1ˆ~

Für den Scheitelwert-Spannungszeiger am Kondensator ergibt sich:

tt eieu

jj ˆ

j1ˆ i

Cu ˆ

j1ˆ

Darstellung mit Effektivwertzeigern: I

CU

j1


Folie: 276

Damit besitzt der Kondensator einen imaginären frequenzabhängigen Widerstand:

IZU CCC

Z

jj

1C

Merke: Der Kondensator besitzt einen imaginären, frequenzabhängigen Widerstand, welcher kapazitiver Blindwiderstand oder Impedanz genannt wird. Je häufiger der Strom seine Polarität wechselt, je höher also seine Frequenz ist, umso geringer ist seine Impedanz. Die imaginäre Einheit „-j“ bewirkt eine Drehung um -90°. Der Strom eilt also der Spannung um 90° voraus.Den reinen Größenwert des Blindwiderstands nennt man Reaktanz. Es gilt

CfCX

211

C


Folie: 277

Für den Kondensator ergibt sich folgendes Zeigerbild:

Zeigerdarstellung Zeitverlauf von Strom und Spannung

Der ohmsche Widerstand ist rein reell und erzeugt somit keine Phasenverschiebung. Strom und Spannung sind in Phase.

Der Widerstand in der komplexen Rechnung

)()( tiRtu

Re

jIm

Uu=i

I

Aus dem Ohmschen Gesetz für zeitabhängige, sinusförmige Ströme und Spannungen wird im Komplexen:

iRu ˆˆ IRU bzw. mit Effektivwert-zeiger

t

u(t) U

u(t)

i(t)i(t)

I

Folie: 278

Impedanzen

Folie: 279

Strom- und Spannungszeigerdiagramme:

U

Kondensator

I

U

Spule

I

U

Widerstand

I

Re

jIm

U

I

I

U

Re-jIm

U

I

I

U

Re

jIm

U

I=U

I

U-I = -90°

U-I = +90° U-I = 0°

Impedanzen

Folie: 280

Impedanzzeigerdiagramme:

U

Kondensator

I

U

Spule

I

U

Widerstand

I

U-I = -90°

U-I = +90° U-I = 0°

Re

jIm

ZL

Re

-jIm

ZC

Re

jIm

R

Impedanzen

Folie: 281

Allgemein berechnet sich die Impedanz zu:

ZIU j)(j ee ZI

UI

UZ

Der Winkel der Impedanz entspricht also der Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom:

IUZ Der Kehrwert der Impedanz nennt man Admittanz:

ZUI

U

Ij-j

j

j1

eYeUI

eUeI

UI

ZY

Frequenzabhängigkeit von Impedanzen

Folie: 282

Betreibt man eine Spule mit einer Induktivität von L = 1 mH mit einer Wechselspannung der Frequenz f = 50 Hz, ergibt sich die Impedanz zu:

Ω314,0j

Ω10502j

j3

LZ L

Mit f = 100 Hz, verdoppelt sich die Impedanz:

Ω628,0j

Ω101002j 3L

Z

Merke: Die Impedanz der Spule ist proportional zur Frequenz!

f

XL

L

Frequenzabhängigkeit von Impedanzen

Folie: 283

Betreibt man einen Kondensator mit einer Kapazität von C = 10 nF mit einer Wechselspannung der Frequenz f = 50 Hz, ergibt sich die Impedanz zu:

Mit f = 100 Hz, halbiert sich die Impedanz:

Merke: Die Impedanz des Kondensators ist antiproportional zur Frequenz!

kΩ3,318j

Ω10502j

12j

18

CfZ C

f

XC

C

kΩ2,591j

101002j1

8

CZ

Verlustbehaftete Spule

Folie: 284

Die bisher behandelten Impedanzen waren entweder reell (ohmscher Widerstand) oder rein imaginär (sog. Blindwiderstand der Spule oder des Kondensators). Im allgemeinen Fall weisen Impedanz einen Realteil und einen Imaginärteil auf.

Diese Schaltung entspricht zwei in Reihe geschalteten Bauelementen (vergleiche Reihenschaltung von Widerständen im Gleichstromkreis).Merke: Mit der Einführung der komplexen Rechnung können alle Methoden der Analyse von Gleichstromnetzwerken übernommen werden.

Beispiel: Verlustbehaftete SpuleIst die Spule z.B. aus Kupferdraht gewickelt, besitzt der Draht einen ohmschen Widerstand. Es ergibt sich eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand und Induktivität. UL

L

I

R

UR

U


Folie: 285

Die ohmschen Widerstände und die Blindwiderstände werden zu einer Impedanz zusammen gefasst:

IZU LRZ jmit

LR UUU ILIRU j

ILRU j

mit dem ohmschen Gesetz:

Vergleicht man die Impedanz mit der Darstellung nach Real- und Imaginärteil, ergibt sich:

ZZZ jImRe RZ Re LZ Im

Im-Teilpositiv!


Folie: 286

Umwandlung in Betrag und Phase:

22 LRZZ

RL arctanZ

Merke: Der Phasenwinkel Z der Impedanz gibt gleichzeitig die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung an!

900

Strom-Spannungszeigerdiagramm: Impedanzzeigerdiagramm:

Re

-jIm

U

I

Re

jIm

Z

Z=U-I

R

L

U-I

Verlustbehaftete SpuleBetrag und Phasenwinkel der Impedanz einer Spule hängen von der Frequenz f (bzw. der Kreisfrequenz = 2f ) ab. Variiert man die Frequenz, erhält man die sogenannte Ortskurve:

Folie: 287Ortskurve Frequenzabhängiger Impedanzverlauf

Re

jIm

Z

R

L

f

Z

R

Parallelschaltung von Spulen

UL

LI

R

UR

IL

IR

Beispiel: Die Impedanz einer Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivität L lässt sich mit den gleichen Methoden berechnen wie bei den Gleichstromkreisen:

LR

111ZZZ

LRLR

ZZZZZ

jj

LR

LR

I

Z

U

Folie: 288

Parallelschaltung von SpulenDiese Gleichung lässt sich nicht sofort nach Real- und Imaginärteil trennen, da der Nenner komplex ist. Es muss konjugiert komplex erweitert werden!

LRLR

LRLRZ

jj

jj

LRLRRLLR

jj

jj 2222

2222

2222

jjj

LRRLLRZ

Im Nenner entfallen (siehe dritte binomische Formel) beim Ausmultiplizieren die gemischten Terme:

222

222jLRRLLRZ

= -1

= -1

222

22

ReLR

RLZ

222

2

ImLR

LRZ

Folie: 289

Parallelschaltung von SpulenNun ist die Darstellung nach Betrag und Phase möglich:

Folie: 290

RLLR

LRLRRLLRZ jj

222222

222

222

222222

LR

LRLRLR

LRZ

Betrag von Z:

LR

arctanZ

Phasenwinkel von Z:

Verlustbehafteter KondensatorBeispiel: Verlustbehafteter Kondensator

Die Isolierung eines technischen Kondensators ist nicht ideal, sie besitzt eine geringe Leitfähigkeit G = 1/R.

Es ergibt sich eine Parallelschaltung von Kondensator und Widerstand:UC

CI

R

UR

IC

IR

I

Z

U

Die Admittanz beträgt:

RCRC

RY j1j1

Folie: 291

Verlustbehafteter Kondensator

Daraus ergibt sich die Impedanz:CR

RZj1

Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen:

CRCR

CRRZ

j1j1

j1

Ergibt sich:222

2

1j

RCCRRZ

Real- und Imaginärteil:

222

2

1-Im

RCCRZ

2221

ReRC

RZ

Folie: 292

Im-Teilnegativ!

Verlustbehafteter KondensatorNun ist die Darstellung nach Betrag und Phase möglich:

222222

2222

111

RC

RRC

RCRZ

Betrag von Z:

CRRCR -arctan-arctan

2

Z

Phasenwinkel von Z: 090

Betrag und Phasenwinkel der Impedanz eines Kondensators hängen von der Frequenz f (bzw. der Kreisfrequenz = 2f ) ab. Variiert man die Frequenz, erhält man die sogenannte Ortskurve. Folie: 293

Verlustbehafteter Kondensator

Die Impedanz eines verlustbehafteten Kondensators geht für geringe Frequenzen immer mehr gegen den (großen) ohmschen Widerstand R der elektrischen Isolierung. Folie: 294

Re

jIm

Y

1/R

C

f

ZR

f

R

f

Z

f = 0

C

Die Impedanz eines verlustbehafteten Kondensators geht für hohe Frequenzen gegen Null.

Der Reihenschwingkreis

UR UL UC

Folie: 295

Schaltet man Spulen und Kondensatoren zusammen, so entsteht ein schwingungsfähiges System. Man unterscheidet zwei Grundtypen von Schwingkreisen:• Spule, Kondensator und Widerstand in Reihe –Reihenschwingkreis• Spule, Kondensator und Widerstand parallel – Parallelschwingkreis

Impedanz des Reihenschwingkreises:

CLR

CLRZ

1j

j1j

Der Realteil dieser Impedanz ist konstant, ihr Imaginärteil dagegen frequenzabhängig.


Folie: 296

Kleine Frequenzen: Der Reihenschwingkreis wirkt kapazitiv, d.h. der Impedanzzeiger liegt im vierten Quadranten (j < 0), der Strom eilt der Spannung voraus. Mit immer kleiner werdender Frequenz wächst die Impedanz hyperbolisch gegen Unendlich.

Große Frequenzen: Der Reihenschwingkreis wirkt induktiv, d.h. der Impedanzzeiger liegt im ersten Quadranten (j > 0), der Strom eilt der Spannung nach. Mit wachsender Frequenz wächst die Impedanz linear gegen Unendlich.

Resonanzfrequenz: Bei einer bestimmten Frequenz - der Resonanzfrequenz - wird der Imaginärteil Null. Die Impedanz ist minimal, reell und ist gleich dem ohmschen Widerstand R.

CLR

CLRZ

1j

j1j

01

CL

LC12

CL

1

Re

jIm

UR

UL

UC

Re

jIm

UR

UL

UC


LC1

0 LC

f

2

10mit 00 2 f

Obwohl Induktivität und Kapazität in Reihe liegen, machen sie sich bei der Resonanzfrequenz nach außen hin nicht bemerkbar. Über beiden Elementen können hohe Spannungen über beiden Elementen liegen, die sich aber aufgrund ihrer Phasenverschiebung um 180° gegeneinander aufheben.

Folie: 297

Re

jIm

ZR f

Z

R

f

R

R

R

R

R

R

f -> 0

f0


Folie: 298Ortskurve eines Reihenschwingkreises

Impedanz eines Reihenschwingkreises als Funktion der Frequenz

U2

UL

UC

U1()

UR


Folie: 299Einfaches Bandpassfilter

Man spricht von einem Bandpass, da der Schwingkreis Ströme in einem bestimmten Frequenzbereich (Frequenzband) durchlässt und andere Frequenzen sperrt.Stellt man sich den Reihenschwingkreis als Spannungsteiler vor, wird die Spannung U2 am Ausgang maximal, wenn die Frequenz der Eingangsspannung U1 der Resonanzfrequenz entspricht.

Der Parallelschwingkreis

Folie: 300

ILIC

I()

UR

IR

Beim Reihenschwingkreis teilten sich die Spannungen auf, den Parallelschwingkreis kann man als Stromteiler auffassen.Bei einer Parallelschaltung ist es vorteilhaft, die Admittanz auszurechnen.Admittanz des Reihenschwingkreises:

CLR

Y

jj11

RLRLC

RLR

RLLY

jjj

jjj

Hauptnenner bilden:


Folie: 301

RLRCL

RLR

RLLY

jj

jjj 22

Zähler ausmultiplizieren:

RLLRCLRY

jj2

j2 ergibt -1:

RL

LRCLRY

-

j 2

Erweitern mit j, um den Nenner reell zu bekommen:

RL

RRCLLY

2jErgibt die Admittanz,

getrennt nach Real- und Imaginärteil:


Folie: 302

02 RRCLDer Parallelschwingkreis ist in Resonanz, wenn der Imaginärteil verschwindet. Die Resonanzbedingung lautet:

RRCL 2 12 CLCL12

CL1

0 Damit ergibt sich die Resonanzfrequenz zu: CL

f

2

10bzw.

Merke:Die Resonanzbedingung für den Parallelschwingkreis ist dieselbe wie für den Reihenschwingkreis.Beim Reihenschwingkreis wird bei Resonanz die Impedanz minimal, beim Parallelschwingkreis wird die Admittanz minimal.


Folie: 303

Merke: Die Resonanzbedingung für den Parallelschwingkreis ist dieselbe wie für den Reihenschwingkreis.Beim Reihenschwingkreis wird bei Resonanz die Impedanz minimal, beim Parallelschwingkreis wird die Admittanz minimal.

RRL

LY 1

0

00

Setzt man die Resonanzfrequenz ein,

verschwindet der Imaginärteil:

RZ 0Im Resonanzfall wird die Admittanz minimal somit die Impedanz maximal. Die Impedanz nimmt den Wert R an:

Der Parallelschwingkreis kann als einfaches Filter aufgefasst werden, der Frequenzen im Bereich der Resonanzfrequenz sperrt, die restlichen Frequenz durchlässt. Man spricht auch von einer Bandsperre.


Folie: 304Admittanz-Ortskurve eines Parallelschwingkreises

Impedanz eines Parallelschwingkreises als Funktion der Frequenz

Re

jIm

Yf

R

f

f -> 0

f0

1/R

1/R

1/R

1/R

1/R

1/R

1/R

Z

Leistung in Wechselstromkreisen

An eine Wechselspannungsquelle wird ein Verbraucher mit der Impedanz Z angeschlossen:

)(cosˆ)( I titi

)(cosˆ)( U tutu

Dann fließt ein Strom:

jeZZ

U Z

I

Folie: 305


ergibt sich die Leistung zu:

)2(coscos2

ˆˆ)( IUIU

tiutp

Die augenblickliche Leistung berechnet sich zu:

)(cos)(cosˆˆ)()()( IU ttiutitutpMit dem Additionstheorem:

coscos21coscos

2uU

2iI Mit den Effektivwertzeigern: und

Folie: 306

Merke: Die Momentanleistung (Leistung zu einem beliebigen Zeitpunkt t) eines Verbrauchers schwingt mit doppelter Netzfrequenz um einen zeitlichen Mittelwert.

)2(cos)(cos IUIU tIUIU

)2(cos)(cos)( IUIU tIUtp

Leistung in Wechselstromkreisenergibt sich die Leistung zu:

Da bei technischen Frequenzen (geringe Frequenzen 50 Hz; 60 Hz) dieser Mittelwert über die physikalischen Auswirkungen, wie Wärmeentwicklung, Kraftwirkungen usw. entscheidet, nennt man den Mittelwert der Momentanleistung die Wirkleistung P.

Folie: 307t

p(t)

P

u(t)


Die Einheit der Wirkleistung wird nach dem schottischen Erfinder James Watt (1736-1819) benannt.

Es gilt: cos IUP WP Einheit: Watt

Der Faktor cos bezeichnet den Anteil der Wirkleistung, die der Verbraucher Z in Wärmeleistung umsetzt. Er wird deshalb auch Wirkleistungsfaktor genannt.

Das Produkt der beiden Effektivwertzeiger U.I wird Scheinleistung genannt und enthält auch den Anteil der Pendelleistung.Der Anteil der Leistung, der mit doppelter Netzfrequenz pendelt, wird nicht im Verbraucher in Wärmeleistung umgesetzt, sondern pendelt zwischen Spannungsquelle und Verbraucher. Dieser Anteil wird Blindleistung genannt.

Folie: 308

Blindleistung tritt immer dann auf, wenn das Netzwerk Energiespeicher, alsoKondensatoren (Energiespeicher des elektrischen Felds), Spule (Energiespeicher des magnetischen Felds) enthält.

Anschauliche Beschreibung:Das Bierglas muss für den Schaum größer bemessen werden.


Folie: 309

Physikalische Beschreibung:Bei der positiven Halbwelle wird zum Aufbau des Feldes Energie bezogen, welche beim Abbau des Feldes wieder an die Quelle zurückgegeben wird.Bei der negativen Halbwelle wird erneut Leistung bezogen, um das Feld in umgekehrter Richtung aufzubauen. Beim Abbau wird erneut Energie an die Quelle zurückgegeben. Die Leistung pendelt deshalb auch mit dem Doppelten der Netzfrequenz zwischen dem Energiespeicher (Spule, Kondensator) und der Wechselstromquelle. Der zusätzliche Blindstrom belastet die Betriebsmittel, z.B. muss der Querschnitt der Leitungen für den größeren Strom ausgelegt werden.

Blindleistung:

Wirkleistung:


Folie: 310

Berechnung der Leistung mit komplexen Zeigern:Betrachtet man die Wirkleistung im Zeitbereich, so steht dort die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom:

)(cos IU IUPBetrachtet man die komplexen Effektivwertzeiger:

UjeUU IjeII

Ergibt sich die Phasendifferenz, wenn man die Spannung mit dem konjugiert komplexen Strom multipliziert:

IU -jj* eIeUIUS j)j( IU eSeIUS

Mit der Eulerschen Formel ergibt sich: sinjcos SSS


Folie: 311

Damit setzt sich die Scheinleistung aus der reellen Wirkleistung und der imaginären Blindleistung zusammen:

sinjcos SSS

QPS j

Für die Wirkleistung ergibt sich wieder der Mittelwert im Zeitbereich: cosSP

Und für die Blindleistung: sinSQ

Merke: Die vom Verbraucher aufgenommene Wirkleistung ist immer positiv. Die Blindleistung steht senkrecht auf der Wirkleistung und kann positiv oder negativ sein. Die Scheinleistung ist die Hypothenuse (Verbindungslinie) zwischen Wirk- und Blindleistung. Die Scheinleistung schließt den Winkel mit der Wirkleistung ein.


Q

P

S

Folie: 312

Für die Leistung ergibt sich folgendes Diagramm:

Der Betrag der Scheinleistung lässt sich aus Wirk- und Blindleistung berechnen:

22 QPS

Der Winkel der Scheinleistung ergibt sich zu:

PQarctan


Folie: 313

Vergleicht man die Scheinleistung

j)j()j( IUIU eSeSeIUS

mit der komplexen Impedanz:

j)j(

j

j

IU

I

U

eZeZeIeU

IUZ

so erkennt man, dass der Phasenwinkel der Impedanz identisch mit dem Phasenwinkel der Scheinleistung ist!

Im{Z}

Re{Z}

Z

S

Q

P


Folie: 314

Merke: Die Berechnung von Wirk- Blind- und Scheinleistung erfolgt völlig analog zur Berechnung von Wirk- (Resistanz) Blind- (Reaktanz) und Scheinwiderstand (Impedanz). Der Winkel ist bei beiden identisch und kann sowohl über die Leistung als auch aus der Impedanz berechnet werden.

}{jIm}Re{ ZZZ QPS j22 }Im{}Re{ ZZZZ 22 QPS

}Re{}Im{arctan

ZZ

PQarctan

)cos(}Re{ ZZ )cos(SP

)sin(}Im{ ZZ )sin(SQ

Leistung rein induktiver Verbraucher

Folie: 315

Berechnung der Leistung einer Spule:

Da Phasenwinkel von Impedanz und Leistung identisch sind, gilt auch für die Leistung: 90iu

j90L ej LLZ Die Spule besitzt die Impedanz:

j)j()j( iuiu* eSeSeIUIUS Für die Scheinleistung gilt allgemein:

Aus der Eulerschen Formel folgt: 90sinj90cos SSS090cos SPSSQ 90sin

Merke: Die ideale Spule nimmt keine Wirkleistung auf, sie verursacht nur positive Blindleistung, genannt „induktive Blindleistung“!


Berechnen der induktiven Blindleistung:

ZUIIZU Es gilt das Ohmsche Gesetz im

Komplexen:

*IUS

Für die Scheinleistung ergibt sich: L

UUUZUUS

2

09j-

-jj

jLe

ee** UU

90jeLLjZ Die Impedanz einer Spule ist:

Damit ergibt sich die induktive Blindleistung einer idealen Spule zu: L

UQ

2

Folie: 316


L

Re

= 90°

jIm

Re

= 90°

jIm

Q

Vergleich: Impedanzzeigerbild Leistungszeigerbild

Folie: 317

Merke: Induktive Blindleistung weist immer einen positiven Imaginärteil auf!

Leistung rein kapazitiver Verbraucher

Folie: 318

Berechnung der Leistung eines Kondensators:

Da Phasenwinkel von Impedanz und Leistung identisch sind, gilt auch für die Leistung: 90iu

CCZ

-j90

Ce

j1

Der Kondensator besitzt die Impedanz:

j* eSIUS Für die Scheinleistung gilt wieder:

Aus der Eulerschen Formel folgt: )90sin(j)90cos( SSS

0)90cos( SPSSQ )90sin(

Merke: Der ideale Kondensator nimmt keine Wirkleistung auf, er verursacht nur negative Blindleistung, genannt „kapazitive Blindleistung“!

Leistung rein kapazitiver Verbraucher

Folie: 319

Berechnen der kapazitiven Blindleistung:

Die Scheinleistung wurde bereits mit dem Ohmschen berechnet zu:

**ee

** 2-jj UU

ZU

ZUU

ZUUS

Damit ergibt sich die kapazitive Blindleistung eines idealen Kondensators zu:

2UCQ

CZ

90-je

Die Impedanz eines Kondensators ist: C

Z

90je*

22

j*

UCZUS Die Scheinleistung

ergibt sich zu:

Leistung rein kapazitiver VerbraucherVergleich: Impedanzzeigerbild Leistungszeigerbild

Merke: Kapazitive Blindleistung weist immer einen negativen Imaginärteil auf!

Folie: 320

Re= -90°

-jIm

1/C

Re= -90°

-jIm

QC

Leistung komplexer Verbraucher

ULUR

Beispiel: Ohmsch-induktiver Verbraucher

*IUS LR UUU

*LR IUUS mit: ;R IRU ILU jL

2j*j ILRIILRS

2IRP 2ILQ Damit ergeben sich Wirk- Blind-und Scheinleistung zu:

2j ILRS

)arctan()arctan()arctan( 2

2

RL

IRIL

PQ

Der Phasenwinkel der Scheinleistung ergibt sich zu:

Leistung komplexer VerbraucherVergleich zur Impedanzberechnung der verlustbehafteten Spule:

LRZ j 2j ILRS Scheinleistung - Impedanz

2IRP RZ ReWirkleistung – Ohmscher Widerstand

2ILQ LZ ImBlindleistung – Reaktanz der Spule

RL arctanZ

RL arctanS

Phasenwinkel Scheinleistung - Impedanz:

Folie: 322


Beispiel: Ohmsch kapazitiver Verbraucher*IUS

CR UUU

*CR IUUS mit: ;R RIU I

CU

1jC

CIIRS

22 j

2IRP C

IQ

2Damit ergeben sich Wirk- Blind-und Scheinleistung zu:

CRIS

1j2

UCUR

21 IC

Q

C

Z1Im Blindleistung – Suszeptanz

des Kondensators

CRZ

1j

CRIS

1j2

Scheinleistung - Impedanz

Leistung komplexer VerbraucherVergleich zur Impedanzberechnung des verlustbehafteten Kondensators:

2IRP RZ ReWirkleistung – Ohmscher Widerstand

CR arctanZ CR arctanSPhasenwinkel Scheinleistung- Impedanz:

Folie: 324


L

P

Z

R

Q S

Ohmsch-induktiver VerbraucherZeigerbilder für die Leistungen im Vergleich zu den Impedanzen:

C

R

Z

P

QS

Ohmsch-kapazitiver Verbraucher

Merke: Bei ohmsch-induktiven Verbrauchern liegt der Impedanzzeiger bzw. die Scheinleistung immer im ersten Quadranten, bei ohmsch-kapazitiven Verbrauchern immer im vierten. Folie: 325

Leistungsanpassung

Folie: 326

In Generatoren werden Spannungen in die im Magnetfeld rotierenden Läuferwicklungen induziert. Wird einem Generator Strom entnommen, fällt ein Teil der erzeugten Spannung an der Innenimpedanz der Läuferwicklung ab.Die Verbraucherimpedanz soll nun so angepasst werden, dass der Quelle (dem Generator) die maximale Wirkleistung entnommen wird:

I

UKU0

Zi

Za

Innenimpedanz:

Lastimpedanz:

iii jXRZ

aaa jXRZ

Die Impedanzen können allgemein als Reihenschaltung eines Ohmschen Widerstands und einer Reaktanz gesehen werden:

Leistungsanpassung

Folie: 327

Der Strom ergibt sich zu:

I

UKU0

Zi

Za

Ohmsche Widerstände sind immer positiv, aber Reaktanzen können positiv (induktiv) und negativ (kapazitiv) sein. Die Reaktanzen im Nenner verschwinden für:

ia XX

Der Strom soll maximal werden, also muss der Nenner sein Minimum annehmen!

)(j)( aiai

00

XXRRU

ZUI

ges

2aa IRP Für die Verbraucherwirkleistung gilt:

Leistungsanpassung

Folie: 328

Ist die Kompensationsbedingung erfüllt, sind nur noch die Ohmschen Widerstände wirksam, es gilt wie im Fall der Gleichstromquelle: ia RR

Damit gilt für die Verbraucherimpedanz im Fall der Leistungsanpassung:

*iiia j ZXRZ

Die umgesetzte Leistung beträgt dann wie bei der Leistungsanpassung bei den Gleichstromquellen, nur dass hier U0 der Effektivwert der Spannungsquelle ist:

i

20

a 4 RUP

LeistungsanpassungBeispiel: Die Innenimpedanz des Generators sei ohmsch-induktiv:

Abgleichbedingung für die Widerstände:

ia RR

Abgleichbedingung für die Reaktanzen:

ia XX

I

UKU0

Ri

Ra

Li

-1/Ca

Dann muss der Verbraucher ohmsch-kapazitiv sein:

ai

1C

L

i2a1L

C

Merke: Die Leistungsanpassung gilt nur für die Betriebsfrequenz!Hier sind Spule und Kondensator in Resonanz (vergleiche Resonanz-frequenz Reihenschwingkreis).

Blindleistungskompensation

Folie: 330

Blindleistung bedeutet

•größere Ströme IL in den Netzleitungen,

•höhere Übertragungsverluste PL und

•dass Leiterquerschnitte vergrößert werden müssen.

Bei Großverbrauchern wird zusätzlich zur Wirkleistung auch der Blindleistungsbedarf mittels Blindstromzähler gemessen. Bei Überschreiten vorgegebener Grenzwerte verlangen die Energieversorgungsunternehmen Strompreiszuschläge.

Eine Alternative ist die Blindleistungskompensation.Die von den Verbrauchern aufgenommene Blindleistung ist meistens induktiv (Wicklungen von Antriebsmotoren, Transformatoren, Magneten, Heizspulen, usw.). Auch Freileitungen zur Stromübertragung wirken induktiv. Eine wirkungsvolle Maßnahme zur Blindleistungskompensation ist daher das Parallelschalten von Kondensatoren.

2LL IRP


Folie: 331

Parallelschalten von Kondensatoren zur Blindleistungskompensation:

RV

CKompLV

Die kapazitive Blindleistung des parallelen Kondensators (je nach Größe des Verbrauchers auch große Kondensatorbänke) vermindert die induktive Blindleistung des Verbrauchers.

Auf eine vollständige Kompensation wird in der Praxis (z. B. aus Gründen der Netzstabilität) verzichtet. Es wird in der Regel ein Leistungsfaktor voncos = 0,9...0,95 angestrebt.


P

Q

S

Folie: 332

Zeigerbild der Blindleistungskompensation:

induktiver Verbraucher mit Blindleistungsaufnahme

P

-QC

S

Q-QC

Der Kompensations-kondensator gibt Blindleistung ab.

P

Neu

S

Q-QC

QNeu

SNeu

Blind- und Scheinleistung verringern sich. Die Wirk-leistung bleibt konstant.


URe

j Im

IIBlind

IKon

Der Blindstrom verringert sich und damit auch der Gesamtstrom.

Dem Verbraucher mit induktivem Blindstrom wird ein Kondensator parallel geschaltet.

U

Neu Re

j Im

IIBlind

IKon

INeu

Der Blindstrom verringert sich.

Folie: 333

WechselstromkreiseEnde

Drehstromsysteme

Erzeugung von Drehstrom• Elektrische Energie wird in

Kraftwerksgeneratoren großer Leistung (bis zu 2000 MVA) erzeugt.

• Im Generator befinden sich räumlich zueinander versetzte Wicklungen, in denen durch einen rotierenden Elektromagneten (Polrad) zeitlich versetzte sinusförmige Spannungen induziert werden.

• Die Frequenz dieser Spannungen beträgt50 Hz in Europa; in England, den USA und einigen anderen Ländern 60 Hz.

Prinzip des Drehstromgenerators(Innenpolmaschine)

Folie: 336

Erzeugung von Drehstrom

Folie: 337

Kraftwerksgenerator (hier Innenpolmaschine) in der Turbinenhalle während der Montage

Funktionsprinzip DrehstromgeneratorDie Läuferwicklung wird vom Gleichstrom durchflossen und erzeugt einen magnetischen Fluss.Der Fluss tritt aus dem Läufer aus, über den Luftspalt in das Ständereisen ein und schließt sich über den Ständer.Treibt man den Läufer an, so rotiert dieser und die Feldlinien schneiden die Wicklungen im Ständer.In den jeweiligen Ständerwicklungen wird eine Spannung induziert, die an den Klemmen U1, U2 bzw. V1, V2 sowie W1, W2 des Generators abgegriffen werden kann.Es entstehen drei zeitlich jeweils um 120° versetzte Wechselspannungen.

U1 U2

W2 V1

W1V2

N

S

m

x xx xx xx xx x

Folie: 338

Funktionsprinzip Drehstromgenerator

U1 U2

W2 V1

W1V2

m

N

S

x xx xx xx xx xx

x

x

iU

iV

iW

t2 t5t1 t3 t4 t6 t7

Folie: 339


U1 U2

W2 V1

W1V2

m NS

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

iU

iV

iW

t2 t5t1 t3 t4 t6 t7

Folie: 340


U1 U2

W2 V1

W1V2

m

N

S

xxxxxxxxxx

x x

x

iU

iV

iW

t2 t5t1 t3 t4 t6 t7

Folie: 341


iU

iV

iW

t2 t5t1 t3 t4 t6 t7

U1 U2

W2 V1

W1V2

m

N

Sxx xx xx xx xx x

x

x

Folie: 342


U1 U2

W2 V1

W1V2

mN S

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

iU

iV

iWt2 t5t1 t3 t4 t6 t7

Folie: 343


U1 U2

W2 V1

W1V2

m

N

S

x xx xx xx xx x

xx

x

iU

iV

iW

t2 t5t1 t3 t4 t6 t7

Folie: 344


U1 U2

W2 V1

W1V2

m

N

S

x xx xx xx xx xx

x

x

iU

iV

iW

t2 t5t1 t3 t4 t6 t7

Folie: 345

Sternpunkt

mmm

222

111

cosˆ)(...cosˆ)(

cosˆ)(

tutututututu

Mehrphasige SpannungsquellenDie Anzahl der Wicklungen im Ständer des Generators entscheidet darüber, wie viele zeitlich versetzte Wechselspannungen entstehen.

Jede Wechselspannung kann im Ersatzschaltbild als eine eigene Spannungsquelle gezeichnet werden:

U1

U2

U3

L1

L2

L3

Um

Lm

Alle Spannungsquellen haben dieselbe Frequenz f, bzw. Kreisfrequenz

Die gemeinsame Verbindung (Knoten) der Spannungsquellen wird Sternpunkt genannt.

Allgemein gilt:

Mehrphasige Spannungsquellen

In der Praxis ist der Generator symmetrisch ausgelegt, das bedeutet, dass die Ständerwicklungen alle die gleiche Windungszahl besitzen und gleichmäßig auf dem Ständerumfang verteilt sind.Deshalb haben alle induzierten Spannungen dieselbe Amplitude und weisen dieselbe Phasendifferenz zueinander auf:

uuuu ˆˆ...ˆˆ m21

mm 13221 ...Besitzt der Generator m Ständerwicklungen, ergibt sich die Phasendifferenz zu:

mT

Folie: 347


Die erste Phasenlage darf willkürlich festgelegt werden:

Folie: 348

01 Dann ergibt sich das symmetrische Mehrphasensystem zu:

)1(cosˆ)(...cosˆ)(

cosˆ)(

m

2

1

mtutututututu

Unterschiedliche Phasenzahlen:In der Elektrotechnik treten Systeme mit unterschiedenen Phasenzahlen auf. Zum Beispiel die bisher betrachteten Wechselstromkreise können als Sonderfall des Mehrphasensystems mit m = 1 aufgefasst werden. Einphasensysteme kommen in der Regel nur bei kleinen Leistungen zum Einsatz.

120cosˆ240cosˆ)(120cosˆ)(

cosˆ)(

3

2

1

tututututututu

Mehrphasige SpannungsquellenUnterschiedliche Phasenzahlen (Fortsetzung):Ausnahme: Die Bahnstromversorgung wird generell bis hin zu großen Leistungen einphasig betrieben. Die Bahnstromfrequenz beträgt16,67 Hz.

Die Phasenzahl m = 2 tritt zum Beispiel bei elektrischen Kleinmaschinen auf, in Form eines unsymmetrischen Systems mit einer Phasenwinkeldifferenz = 90° bzw. 270°.

Höhere Phasenzahlen treten z.B. in der Stromrichtertechnik mit m = 6; 12 oder 24 auf.

Die Basis der Energietechnik bildet das rechtsdrehende symmetrische Dreiphasensystem, also m = 3.


U1

U2

U3

U2

U3

Folie: 350

Anmerkung: Bei rechtsdrehenden Systemen ist die Phasendifferenz negativ, da Winkel im Gegenuhrzeigersinn positiv gezählt werden. Man erkennt den Drehsinn, wenn man die Spannungszeiger aneinanderlegt.

Drehsinn

U1

U2

U3

-120°

-120°+120°

u2(t)

Das symmetrische Dreiphasensystem

Zeit

Spa

nnun

g

Folie: 351

u1(t) u3(t)

Das rechtsdehende Dreiphasensystem besteht also aus drei Wechselspannungen, die jeweils um -120° phasenverschoben sind.Die Überlagerung der drei Wechselspannungen stellt die einfachste Möglichkeit dar, ein gleichmäßiges Drehfeld zu erzeugen. Das Drehfeld wird zum Betrieb von Drehstrommaschinen (z.B. Motoren) genutzt.Das Dreiphasensystem wird deshalb auch als Drehstrom-System bezeichnet.

Leiterfarben und KlemmenbezeichnungenDie spannungsführenden Leitungen, auch Außenleiter genannt, werden mit L1, L2 und L3 (früher R, S, T) bezeichnet. Die Außenleiter dürfen alle Farben außer grün und gelb aufweisen. Nach DIN VDE 0293-308 ist der Farbcode schwarz, braun, grau.

Folie: 352

U1

U2

U3

L1

L2

L3

N

PE

Ist der Sternpunkt nach außen geführt, wird dieser Sternpunktleiter als Neutralleiter bezeichnet. Er trägt die Bezeichnung N. Der Neutralleiter besitzt die Farbe blau.Der Schutzleiter, PE (dient nicht dem Stromtransport sondern schützt vor gefährlicher Berührungsspannung), muss die Farbe grün-gelb haben. In sehr alten Installationen findet man noch rote Schutzleiter.Im industriellen Bereich sind die Steckverbindungen nach dem CEE-System als Kraftstecker ausgeführt.

Leitungen und Kraftstecker

NYM-Leitung5x10mm2

Folie: 353

NYM-J1 1x16mm2

Erdungsleitung

Beispiele für Leitungen: Beispiele für Steckverbindungen:

Kraftstecker, fünfpolig

Kraftstecker und Kupplung, dreipolig

Sternspannung / Dreieckspannung

U1

U2

U3

U31

U12

U23

L1

L2

L3

NU1 U2 U3

Frage: Warum gibt es beim Drehstromsystem immer zwei Spannungen (z.B. im Niederspannungsnetz: 400 V / 230 V)?Die Lösung bringt ein Maschenumlauf:

Folie: 354

0j1 Ve230U

0-j122 Ve230U

120j-0j

12

ee

V230U

1221 UUU


Folie: 355

))120sin(j)120(cos(V230))jsin(0)cos(0(V23012

U

)2/3j5,00j1(V23012 U

)2/3j5,1(V23012 U

Betrag und Phase ausrechnen:

;3)2/3()2/3( 22

30

2/32/3arctan


Folie: 356

30j12 e3V230U

Maschenumläufe ergeben für U23 und U31:

09j23 e3V230U

051j31 e3V230U

Merke:Die Spannungen zwischen Außenleiter und Sternpunkt heißen Sternspannungen.Die Spannungen zwischen den Außenleitern heißen verkettete Spannungen oder Dreieckspannungen. Die Dreieckspannungen haben alle die gleiche Amplitude und sind um jeweils 120° phasenverschoben. Die beiden symmetrischen Spannungssysteme sind um 30° gegeneinander verdreht.

Die Spannung U12 ergibt sich zu:

0j1 eV230U

0-j122 eV230U

0j123 eV230U

Vergleich mit den Sternspannungen:


Zeit

Spa

nnun

g

Sternspannungen

Dreieckspannung

Rechts im Diagramm die Überlagerung von zwei Sternspannungen zur Dreieckspannung im Zeitbereich.

Folie: 357

)()()(

21

12

tututu

112 3 UU

212 3 UU bzw.

Selbiges gilt natürlich auch für U23 und U31!

U1

U2

U3

30°

U12


-U2

Die Subtraktion der beiden Sternspannungen kann auch im Zeigerdiagramm graphisch ausgeführt werden.Der Spannungspfeil U2 wird um 180° gedreht und an die Spitze von U1 gesetzt. Die Verbindung der beiden Fußpunkte von U1 und U2 ergibt die verkettete Spannung U12.

Folie: 358

Ein symmetrischer Drehstromerzeuger erzeugt also grundsätzlich zwei verschiedene, symmetrische Spannungssysteme.

Sternspannung / DreieckspannungWarum die verketteten Spannungen auch Dreieckspannungen genannt werden, sieht man am Zeigerbild des symmetrischen Drehstromsystems:

U1

U2

U3

U12

U23

U31

U1

U2

U3

U31

U12

U23

L1

L2

L3

N

Die verketteten Spannungen bilden ein gleichseitiges Dreieck. Folie: 359

SternpunktSternpunkt

NennspannungKommt es nicht auf die Phasenlage an, kann man sich auf die Angabe der Beträge beschränken. Die Dreieckspannung wird mit indiziert und die Sternspannung mit Y. Im symmetrischen Drehstromsystem gilt:

312312N UUUU Folie: 360

UU 3Ist die Nennspannung gegeben, ist damit grundsätzlich die verkettete Spannung bzw. die Dreieckspannung gemeint. Sie wird mit N indiziert oder ohne Index geschrieben.

Der Sternpunkt ist -außer im Niederspannungsnetz- in der Regel nicht als Neutralleiter nach außen geführt, so dass die Spannung nur zwischen den Außenleitern gemessen werden kann, weshalb diese Spannung als Nennspannung festgelegt ist.

U1

U2

U3

U31

U12

U23

L1

L2

L3

Drehstromverbraucher

Folie: 361

•symmetrische Verbraucher in Sternschaltung,•unsymmetrische Verbraucher in Sternschaltung,•symmetrische Verbraucher in Dreieckschaltung,•unsymmetrische Verbraucher in Dreieckschaltung,•Drehstromsysteme mit und ohne Neutralleiter sowie•ein- und zweiphasige Verbraucher.

An das symmetrische Drehstromsystem soll nun ein Verbraucher angeschlossen werden. Hier gibt es eine Vielzahl von Fällen zu unterscheiden:

Zuerst wird der Fall eines Drehstromverbrauchers in Sternschaltung betrachtet:Werden die Einflüsse der Übertragungsleitungen vernachlässigt, sind Erzeuger- und Verbraucherklemmen identisch. Am Verbraucher tritt das symmetrische Spannungssystem der Sternspannungen U1, U2, U3 auf.

Verbraucher in SternschaltungDie Knotenregel ergibt:

;L11Str II ;L22Str II ;L33Str II

Die Ströme im einzelnen Verbraucherstrang ent-sprechen den Leiterströmen:

LStr II

U1

U2

U3

U12

UStr1

UStr2

UStr3

N

L1

L2

L3

IL1

IL2

IL3

IStr1

IStr2

IStr3

U23

U31

IN

Folie: 362

Die Maschenumläufe über den Neutralleiter ergeben:

;11Str UU ;22Str UU 33Str UU Die Spannung über den einzelnen Verbraucherstrang entspricht der Sternspannung.

Verbraucher in Sternschaltung

Merke: Die Strangspannung des im Stern geschalteten Verbrauchers ist um Wurzel 3 kleiner als die Nennspannung!Die Leiterströme entsprechen den Strangströmen!

3/NYStr UU LYStr II

Frage: Wie groß ist der Strom im Neutralleiter, wenn der Drehstromverbraucher symmetrisch ist?

Der Strom im Neutralleiter ergibt sich nach der Knotenregel allgemein zu:

3Str2Str1StrN IIII Folie: 363

Symmetrischer Verbraucher in Sternschaltung

Beim symmetrischen Verbraucher sind alle Impedanzen gleich groß:

321 ZZZ

Folie: 364

3

3Str

2

2Str

1

1StrN Z

UZ

UZ

UI

;/ 111Str ZUI ;/ 222Str ZUI ;/ 333Str ZUI

Berechnen des Stroms im Neutralleiter:Die Strangströme ergeben sich zu:

ZUUUI 3Str2Str1Str

N

/23j5,0/23j5,00j1StrN

ZUI

Symmetrischer Verbraucher in SternschaltungBerechnen des Stroms im Neutralleiter (Fortsetzung):

Folie: 365

Alle Sternspannungen betragsmäßig gleich groß und unterscheiden sich nur durch ihre Phasenlage:

;Str3Str2Str1Str UUUU 0jStr1Str eUU

;e 0-j12Str2Str

UU 0j12Str1Str eUU

0j120j12-0jStrN eee

ZUI Mit der Eulerschen

Formel ergibt sich:


Folie: 366

Merke: Beim symmetrischen Drehstromverbraucher ist der Strom im Neutralleiter Null!

0N I 03Str2Str1Str III

Da alle Sternspannungen betragsmäßig gleich groß sind und beim symmetrischen Verbraucher alle Impedanzen gleich groß sind, sind auch die Ströme betragsmäßig gleich groß. Es gilt:

;Str3Str2Str1Str IIII ;e I-jStr1Str

II

;e )0j(-12Str2Str

III )0j(12Str3Str

Ie IIDamit bilden die Ströme im Zeigerdiagramm ein gleichseitiges geschlossenes Dreieck.

U1

U2

U3I3

I2I1

U3

U2


03Str2Str1StrN

ZUUUI

I2

I3

Die Stromsumme wurde durch Division durch die Impedanz Z berechnet. Da beim symmetrischen Verbraucher alle Impedanzen identisch sind, ergibt auch die Summe aller Spannungen Null.

03Str2Str1Str UUU

Dies erkennt man auch am Zeigerdiagramm:

Folie: 367


0312312 UUU

Ergänzt man das Zeigerbild der Sternspannungen um die Dreieckspannungen, so erkennt man, dass auch die Summe der verketteten Spannungen gleich Null ist:

Folie: 368

U1

U23

U3

U12

U31

U2

Unsymmetrischer Verbraucher in SternschaltungDas Schaltbild sieht genauso aus wie im symmetrischen Fall, jedoch sind beim symmetrischen Verbraucher die Impedanzen unterschiedlich:

321 ZZZ

3

3Str

2

2Str

1

1StrN Z

UZ

UZ

UI

Berechnet man den Strom im Neutralleiter:

Folie: 369

U1

U2

U3

I2

I1

I2

I3

U2

IN

I3

dann kompensieren sich die drei Strangströme aufgrund der unterschiedlichen Impedanzen im Allgemeinen nicht mehr zu Null und es fließt ein Strom im Neutralleiter.

0N I

Unsymmetrischer Verbraucher in Sternschaltung

Folie: 370

Sonderfall: Die drei Strangströme können sich zufällig zu Null kompensieren, so dass kein Strom im Neutralleiter fließt, das Dreieck der Stromzeiger ist dann jedoch nicht mehr gleichseitig sondern unsymmetrisch.

Die Bedingung IN = 0 ist also nicht hinreichend, um einen symmetrischen Dreiphasenverbraucher zu beschreiben, es muss Z1 = Z2 = Z3 gelten! U1

U2

U3

I2

I1

I2

I3

U2

I3Im Diagramm rechts ergibt die Stromsumme im unsymmetrischen Verbraucher hier zufällig Null.

Bedeutung des Neutralleiters

Ist bei symmetrischer Belastung der Strom im Neutralleiter Null, kann dieser weggelassen werden.

Da ein 3-LeiterDrehstromsystem kostengünstiger ist als ein 4-Leiter- Drehstromsystem, werden generell symmetrische Belastungen und symmetrische Drehstromverbraucher angestrebt.

Symmetrische Belastungen sind vor allem bei Hochspannungsnetzen(380 kV/ 220kV und 110 kV) sowie in Mittelspannungsnetzen (20 kV/ 10 kV) gegeben, weshalb in diesen Netzen auf den Neutralleiter verzichtet wird.

Im Niederspannungsnetz kommen sowohl Drehstromverbraucher als auch eine Vielzahl unsymmetrischer (einphasiger) Verbraucher vor, weshalb das Niederspannungsnetz generell als 4-Leiter-Netz, also mit Neutralleiter ausgeführt ist.

Im Folgenden wird der einphasige Verbraucher im Drehstromsystem mit Neutralleiter betrachtet.

Folie: 371

Bedeutung des NeutralleitersNur wenige Haushaltsgeräte haben einen 400-V-Drehstromanschluss, z.B. Elektroherd und Durchlauferhitzer zur Warmwasserbereitung.Die Mehrheit der im Haushalt vorkommenden Geräte benötigen nur eine kleine Leistung, weshalb der Anschluss an 230 V völlig ausreicht. Der Einsatz des Dreiphasensystems ist erst ab einigen Kilowatt wirtschaftlich sinnvoll.Diese sogenannten einphasigen Verbraucher entnehmen einem Außenleiter den elektrischen Strom, welcher dann über den Neutralleiter zur Quelle zurückfließt.

Folie: 372

U1

U2

U3

UStr1

N

L1

L2

L3

IL1

IL2

IL3

IStr1

IN

Um eine Schieflast (ungleichmäßige Belastung der Außenleiter eines Drehstromnetzes) zu vermeiden, sollen die einphasigen Verbraucher möglichst auf unterschiedliche Außenleiter verteilt werden, so dass sich im Mittel eine symmetrische Belastung ergibt.

Drehstromnetz ohne NeutralleiterFrage: Welcher Effekt tritt bei einer unsymmetrischen Belastung bei einem Netz ohne Neutralleiter ein?Zum Beispiel kann sich eine unsymmetrische Belastung durch einen Fehler im Netz (einpoliger Kurzschluss) ergeben.Oder im unsymmetrisch belasteten Niederspannungsnetz ist der Neutralleiter unterbrochen.

Folie: 373

U1

U2

U3

UStr1

UStr2

UStr3

IL1

IL2

IL3

IStr1

IStr2

IStr3

Z1

Z2

Z3

UMP

Es kann kein Ausgleichsstrom über den Neutralleiter fließen. Da die Sternpunkte nicht miteinander verbunden sind, kann sich zwischen ihnen ein Potentialunterschied UMP ausbilden.

Drehstromnetz ohne Neutralleiter

U1

U2

U3

UStr1

UStr2

UStr3

IL1

IL2

IL3

IStr1

IStr2

IStr3

Z1

Z2

Z3

UMP Folie: 374

Maschenumläufe: ;Str1MP1 UUU ;Str2MP2 UUU

Str3MP3 UUU Knoten: 0321 III

1

Str11 Z

UI

2

Str22 Z

UI

3

Str33 Z

UI

Berechnung von UMP:

Drehstromnetz ohne Neutralleiter

Folie: 375

03

Str3

2

Str2

1

Str1 Z

UZ

UZ

UBerechnung von UMP (Fortsetzung):

321

3

3

2

2

1

1

MP 111ZZZ

ZU

ZU

ZU

U

03

MP3

2

MP2

1

MP1

ZUU

ZUU

ZUUAus den

Maschen-umläufen folgt:

Ist der Verbraucher symmetrisch, also Z1 = Z2 = Z3, ergibt sich die Spannung zwischen den Sternpunkten zu Null.Ist der Verbraucher unsymmetrisch, kommt es zu einer Potentialverschiebung zwischen den Sternpunkten!

U1

U2

U3

UMP

UStr2UStr3

UStr1

Drehstromnetz ohne NeutralleiterPotentialverschiebung zwischen generator- und verbraucherseitigem Sternpunkt:

MP1Str1 UUU

MP2Str2 UUU

MP3Str3 UUU

Unerwünschter Effekt: Die Verbraucher-strangspannungen unterscheiden sich von Phase zu Phase! Bei einem Kurzschluss kann sich die Sternspannung bis zur Dreieckspannung (also um Wurzel 3) erhöhen!

Folie: 376

Im Niederspannungsnetz wird deshalb der generatorseitige Sternpunkt (herausgeführt als Neutralleiter) geerdet und so auf ein definiertes Potential gelegt.

Spezialfall: Symmetrischer Drehstromverbraucher ohne Sternpunktleiter

Symmetrischer Verbraucher:

321 ZZZ

Merke: Punkte gleichen Potentials dürfen zur Berechnung miteinander verbunden werden. Das System verhält sich wie eines mit Sternpunktleiter. Es ergibt sich:

;1Str1 UU ;2Str2 UU ;3Str3 UU

U1

U2

U3

UStr1

UStr2

UStr3

IL1

IL2

IL3

IStr1

IStr2

IStr3

Z1

Z2

Z3

0MP U

Bei symmetrischer Belastung liegen beide Sternpunkte auf gleichem Potential, genauso, als ob sie elektrisch miteinander verbunden wären.

Folie: 377

Verbraucher in Dreieckschaltung

Folie: 378

Die Dreieckschaltung ist wie die Sternschaltung eine Grundschaltung der Dreh-stromtechnik. Die Impedanzen sind zwischen jeweils zwei Außenleiter geschaltet, so dass über den einzelnen Verbraucherstrang die verkettete Spannung, sprich Nennspannung, anliegt. Es besteht keine Anschlussmöglichkeit für den Neutralleiter.

Strangspannungen:

2112 UUU

3223 UUU

1331 UUU

U1

U2

U3

IL1

IL2

IL3

U12

U23

U31

I12

I23

I31UN

UN UN

Z12

Z31

Z23


Folie: 379

N312312 UUUU Die Verbraucherimpedanzen werden durch die Strangströme belastet, deren Richtung nach Verbraucherpfeilsystem angenommen wird. Es gilt:

Die Strangspannung entspricht der Nennspannung:

12

1212 Z

UI

23

2323 Z

UI

31

3131 Z

UI

U1

U2

U3

IL1

IL2

IL3

U12

U23

U31

I12

I23

I31UN

UN UN

Z12

Z31

Z23

Symmetrischer Verbraucher in Dreieckschaltung

Folie: 380

Wie groß sind die Strangströme in Bezug auf die Leiterströme?

03112L1 III 3112L1 III Knotenregel:

ZZZZ 312312Symmetrischer Verbraucher:

501j30jN3112L1 ee1

ZUUU

ZI

31

31

12

12L1 Z

UZUI Ohmsches Gesetz einsetzen:


Folie: 381

2/1j2/32/1j2/3NL1

ZUI

3NL1

ZUI

ZUI N

Str mitStrL 3 II

Merke:Die Spannung über den einzelnen Strang des im Dreieck geschalteten Verbrauchers entspricht der Nennspannung!Der Strom in den Zuleitungen ist um Wurzel drei größer als in den Verbrauchersträngen des im Dreieck geschalteten symmetrischen Verbrauchers!

StrL 3 IINΔStr UU


Folie: 382

;3112L1 III Wendet man die Knotenregel auf alle drei Knoten an, ergibt sich:

;1223L2 III 2331L3 III Addiert man die der Gleichungen, erhält man:

233112233112L3L2L1 IIIIIIIII

0L3L2L1 IIIMerke: Bei der Dreieckschaltung ergänzen sich die Außenleiterströme zu Null, ohne dass Vorgaben bezüglich der Impedanzen notwendig sind – also auch für unsymmetrische Verbraucher.

Die Dreieckschaltung ist als ein strukturierter Knoten aufzufassen und bei einem Knoten ist die Summe aller Ströme immer Null.

Unsymmetrischer Verbraucher in Dreieckschaltung

Folie: 383

Das Zeigerbild des unsymmetrischen Verbrauchers in Dreieckschaltung:Die Leiterströme kompensieren sich zu Null und bilden ein unsymmetrisches Dreieck.

IL1

I23

IL2

IL3

I12

I31

Zeigerbild der Ströme:

I23

I12

I31

I23

I31

Die Strangströme kompensieren sich nicht zu Null!


Folie: 384

Ist der Dreieckverbraucher symmetrisch, ergänzen sich neben den Leiterströmen auch die Strangströme zu Null.

Symmetrischer Verbraucher: ZZZZ 312312

Addition der Strangströme und Anwenden des Ohmschen Gesetzes::

31

31

23

23

12

12312312 Z

UZU

ZUIII

3123123123121 UUUZ

III

0312312 III0312312 UUUDa die Summe der verketteten Spannungen Null ergibt:

gilt auch


Folie: 385

Das Zeigerbild des symmetrischen Verbrauchers in Dreieckschaltung:Die Außenleiterströme und die Strangströme kompensieren sich zu Null!

I23

I12

I31

I23

I31IL1

I23

IL2

IL3

I12

I31

Zeigerbild der Ströme:

Einphasiges Ersatzschaltbild

Folie: 386

Betrachtet man ein 4-Leiter-Drehstromsystem mit symmetrischem Verbraucher, unterscheiden sich die Spannungen U1, U2 und U3 dem Betrag nach nicht sondern nur durch Ihre Phasenlage. Gleiches gilt für die Ströme IL1, IL2 und IL3.

Die Stränge 2 und 3 enthalten somit keine neuen Informationen, sind also redundant.

Nebenstehendes Ersatzschaltbild (hier mit Leitungsimpe-danzen) soll deshalb zu einem einphasigen Ersatzschaltbild vereinfacht werden.

U1

U2

U3

Z

N

Z

Z

L1

L2

L3

L1

L2

L3

N

ZL

ZL

ZL

ZL

IL1

IL2

IL3

Einphasiges Ersatzschaltbild

U1

N

ZL1L1

N

ZL

Folie: 387

Für das einphasige ESB wird eine der Phasen herausgegriffen:

Warum fehlt beim einphasigen ESB die Leitungsimpedanz im Neutralleiter?

Beim symmetrischen Verbraucher kompensieren sich die Strangströme zu Null, der Neutralleiter ist stromlos.Über die Leitungsimpedanz des Neutralleiters fällt also keine Spannung ab.Im einphasigen Ersatzschaltbild fehlen aber die Strangströme I2 und I3 zur Kompensation, der Neutralleiter dient nun als Rückleiter für den Strom I1.

Damit keine Spannung über die Impedanz des Neutralleiters abfällt, muss er weggelassen werden.Damit ist aber auch klar, dass bei der Drehstromtechnik geringere Stromwärmeverluste auf der Leitung entstehen (Neutralleiter ist stromlos), als bei Anschluss an drei einphasigen Wechselspannungen.

IL1

IL1

Einpolige Ersatzschaltbilder

Komplizierte Drehstromsysteme werden durch einpolige Ersatzschaltbilder dokumentiert. Diese entstehen aus der einphasigen Darstellung durch Verzicht auf den Rückleiter.

Drei Schrägstriche über den Leitungen bringen in Erinnerung, dass es sich um die Kurzdarstellung eines Drehstromsystems handelt.

ZZL

3

Folie: 388

Elektrische Leistung in Drehstromsystemen

Folie: 389

Für einphasige Wechselstromsysteme ergab sich die Scheinleistung zu:

j-jj IU* eSeIeUIUS

Die Scheinleistung setzt sich aus der reellen Wirkleistung und der imaginären Blindleistung zusammen: QPS j

Mit der Wirkleistung: cosSP und der

Blindleistung: sinSQ

IUS Mit dem Betrag der Scheinleistung: IU und der

Phasendifferenz:

Betrachtet man allgemein einen Drehstromverbraucher, lassen sich die Leistungen für jeden Strang gesondert berechnen. Die Gesamtleistung ergibt sich dann aus der Addition der Einzelleistungen.


Folie: 390

Für den allgemeinen Fall des unsymmetrischen Drehstromverbrauchers ergibt sich die Scheinleistung zu:

321 SSSS *Str3Str3

*Str2Str2

*Str1Str1 IUIUIUS

321 jStr3Str3

jStr2Str2

jStr1Str1 eee IUIUIUS

Damit gilt für die Wirkleistung:

*Str3Str3

*Str2Str2

*Str1Str1Re IUIUIUP


Folie: 391

Oder über Wirkleistungsfaktoren ausgedrückt:

)cos()cos()cos( 3Str3Str32Str2Str21Str1Str1 IUIUIUP

Merke: Im unsymmetrischen Verbraucher kann jeder Verbraucherstrang einen anderen Wirkleistungsfaktor aufweisen!

Analog gilt für die Blindleistung:

)sin()sin()sin( 3Str3Str32Str2Str21Str1Str1 IUIUIUQ

*Str3Str3

*Str2Str2

*Str1Str1Im IUIUIUQ

bzw.

Leistung der Sternschaltung

Folie: 392

Ist der Drehstromverbraucher im Stern angeschlossen, gilt:

;1Str1 UU ;2Str2 UU 3Str3 UU ;L1Str1 II ;L2Str2 II L3Str3 II

*L33

*L22

*L11 IUIUIUS

3L332L221L11 coscoscos IUIUIUP

3L332L221L11 sinsinsin IUIUIUQ

Einsetzen in die Leistungsgleichungen ergibt:

Strangspannung = Sternspannung

Strangsstrom = Leiterstrom

(Dies gilt auch für unsymmetrische Drehstromverbraucher im Stern mit Neutralleiter)


Folie: 393

Ist der im Stern angeschlossen Drehstromverbraucher symmetrisch, gilt:Alle Strangspannungen bzw. alle Strangströme sind betragsmäßig gleich groß und nur um jeweils 120° phasenverschoben.

jLY

*L33

*L22

*L11

e

IU

IU

IU

IU

U1

U3

U2

IL1

IL3

IL2


Folie: 394

LY3 IUS

Damit gilt für die Scheinleistung des symmetrischen Verbrauchers in Sternschaltung:

LN3 IUS

3/NY UU mit folgt

cos3 LN IUP

sin3 LN IUQ

Für Wirk- und Blindleistung gilt entsprechend:

Leistung der Dreieckschaltung

Folie: 395

Ist der (unsymmetrische) Drehstromverbraucher im Dreieck angeschlossen, gilt:

*3131

*2323

*1212 IUIUIUS

313131232323122112 coscoscos IUIUIUP

313131232323121212 sinsinsin IUIUIUQ

Einsetzen in die Leistungsgleichungen ergibt:

;12Str1 UU ;12Str1 II ;23Str2 II 31Str3 II

;23Str2 UU 31Str3 UU Strangspannung = verkettete Spannung

Leiterstrom setzt sich aus zwei Strangströmen zusammen.(Dies gilt auch für unsymmetrische Verbraucher im Dreieck.)


Folie: 396

Ist der im Dreieck angeschlossen Drehstromverbraucher symmetrisch, gilt:Alle Strangspannungen und alle Strangströme sind betragsmäßig gleich groß und nur um jeweils 120° phasenverschoben.

jStr

*3131

*2323

*1212

e

IU

IU

IU

IU

U23

U12

U31

I12

I31I23


Folie: 397

Str3 IUS

Damit gilt für die Scheinleistung des symmetrischen Verbrauchers in Dreieckschaltung:

cos3 LN IUP

sin3 LN IUQ

Für Wirk- und Blindleistung gilt entsprechend:

LN3 IUS NUU mit folgtund 3/LΔStr II

Leistung symmetrischer DrehstromverbraucherMerke: Die Gleichungen zur Leistungsberechnung für den symmetrischen Stern- und Dreieckverbraucher sind identisch! Zusammenfassend gilt:

LN3 IUS

cos3 LN IUP

sin3 LN IUQ

StrStr3 IUS

cos3 StrStr IUP

sin3 StrStr IUQmit

LStrNStr ;3/:Y IIUU

3/;: LStrNStr IIUU Folie: 398

Messung der elektrischen Leistung

Folie: 399

Als elektromechanisches Messgerät kann ein elektrodynamisches Messwerk, oder Dynamometer, zur Leistungsmessung verwendet werden.

Ein Eisenkern mit ausgeprägten Magnetpolen trägt eine feststehende Wicklung, die vom Strom i1 durchflossen wird. Zwischen den Polen dieses Eisenkernes befindet sich, drehbar gelagert, eine zylinderförmige Spule, die von einem zweiten Strom i2 durchflossen wird.

Der Strom i1 erzeugt im Luftspalt eine magnetische Induktion B.

Auf die drehbare, vom Strom i2 durchflossene Spule, wird ein Moment ausgeübt, welches beiden Strömen proportional ist. Das Rückstellmoment dieser Spule wird durch eine Spiralfeder oder ein Spannband erzeugt und ist damit proportional zum Auslenkwinkel .

Leistung bei Gleichstrom


Folie: 400

Betrachtet wird zunächst der Messvorgang bei Gleichstrom:

21 IIk Bei Gleichströmen und Gleichheit dieser Momente ist der Auslenkwinkel beiden Strömen proportional.

Das Messwerk zeigt das Produkt zweier Ströme an und kann somit zur Leistungsmessung verwendet werden. Der zu messende Strom I = I1 wird durch die niederohmige feststehende Spule geschickt und die zu messende Spannung U an die drehbare hochohmige Spule mit dem Widerstand R2 angelegt.

22 / RUI

Der Auslenkwinkel ergibt sich zu: IUkIRUk 11

2

Der Strom I2 ergibt sich zu:


Folie: 401

Verlaufen Strom und Spannung sinusförmig, so würde bei trägheitsfreier Drehspule der Augenblickswert der Leistung gemessen:

)()()( 1 titukt

)2cos()cos()( IUIU1 tIUktDa das mechanische System aufgrund seiner Massenträgheit der Pendelleistung mit der Frequenz von 100 Hz (im 50-Hz-Netz) nicht folgen kann, stellt sich ein mittlerer Auslenkwinkel ein:

PkIUk 11 cosBei Betrieb mit Wechselstrom zeigt das Dynamometer also die Wirkleistung P an und wird deshalb umgangssprachlich auch „Wirkleistungsmesser“ genannt.


ZU

I

I2

Folie: 402

Zur Messung der Wirkleistung wird das Messgerät also an den Spannungspfad und den Strompfad angeschlossen:

Unter Verwendung eines Phasenschiebers kann auch die Blindleistung gemessen werden:

ZU

I

I2

/ 2


Folie: 403

Bei Drehstromsystemen mit Neutralleiter können die Einzelleistungen und die Gesamtwirkleistung mit drei Leistungsmessern gemessen werden:

321ges PPPP

Z

N

Z

Z

L1

L2

L3

IL1

IL2

IL3

U1 U2 U3

P1

P2

P3


Folie: 404

Ist der Neutralleiter nicht nach außen geführt und damit der Sternpunkt nicht erreichbar, kann ein künstlicher Sternpunkt geschaffen werden:

Bei unsymmetrischer Belastung wird nur die Gesamtleistung richtig gemessen, da sich der Verbrauchersternpunkt verschiebt. Die Einzelanzeigen P1, P2 und P3 haben keine physikalische Bedeutung!

Z

Z

Z

L1

L2

L3

P1

P2

P3

R R R


Folie: 405

Ist der Drehstromverbraucher symmetrisch, zeigen die Leistungsmesser die Strangleistung an. Daher reicht ein Messgerät aus. Das Messergebnis wird mit drei multipliziert.

Z

Z

Z

L1

L2

L3

3.P1

R R R


Z

Z

Z

L1

L2

L3U23

IL1

Folie: 406

Ist der Drehstromverbraucher symmetrisch, gibt es die Möglichkeit, auch die Blindleistung mit nur einem Messgerät zu messen.

U1

U23

U3

U12

U31

U2

0jStr1 eUU 0-j9

Str23 e3 UUDie beiden Spannungen sind um 90° phasen-verschoben:

j-Str1 e

ZUIFür den Strompfad

ergibt sich:


Folie: 407

Damit zeigt das Messgerät folgenden Auslenkwinkel an:

)90cos(3cos Str11 UkIUk

)0j(9-2Str

123 e3 Z

UIU

Das Produkt von Spannung und Strom ergibt sich zu:

)sin(3 Str1 UkÜberführen der cos-Funktion in die Sinusfunkion:

Da die verkettete Spannung um Wurzel drei größer ist, wird das Messbergebnis anstatt mit 3 nur mit Wurzel 3 multipliziert:

Messges 3 QQ


Folie: 408

In der Praxis wird die Leistungsmessung am (unsymmetrischen) Drehstrom-system ohne Neutralleiter nur mit zwei Leistungsmessern durchgeführt – der sogenannten Aron-Schaltung. Die Leistungsmesser werden an die verketteten Spannungen angeschlossen:

Es wird nur die Gesamtleistung richtig gemessen, die Einzelanzeigen P1 und P2 haben keine physikalische Bedeutung! Der Neutralleiter darf nicht angeschlossen sein!

Z

Z

Z

L1

L2

L3

P1

P2


Folie: 409

Für den unsymmetrischen Verbraucher berechnet sich die Wirkleistung zu:

L33L22L11Re IUIUIUP Der dritte Strom IL3 wird mit Hilfe der Knotenregel ersetzt:

L2L1L3L3L2L1 0 IIIIII

)(Re L2L13L22L11 IIUIUIUP Es ergibt sich:

Sortiert man nach den Strömen, erhält man:

L232L131 )()(Re IUUIUUP


;1331 UUU

Folie: 410

Die Spannungsdifferenzen ergeben die verketteten Spannungen!

2332 UUU

*L223

*L131Re IUIUP Damit ergibt sich die Gleichung

Aron-Schaltung: Es reichen also zwei Leistungsmesser aus, wenn man die Messgeräte an zwei verkettete Spannungen anschließt.

Z

Z

Z

L1

L2

L3

P13

P23

U23U13

IL1

IL2


Z

Z

Z

L1

L2

L3

N CCC

Folie: 411

Bereits für einphasige ohmsch-induktive Verbraucher wurde die Blindleistungskompensation durch Parallelschalten eines Kondensators vorgestellt. Zur Blindleistungskompensation bei Drehstromverbrauchern werden Kondensator-batterien verwendet.Ist der Sternpunkt nach außen geführt, können die Kondensatoren zwischen Außenleiter und Neutralleiter angeschlossen werden, so dass sie parallel zu den Verbrauchersträngen liegen.

Z

Z

Z

L1

L2

L3

N

C

C

C


Z

Z

Z

L1

L2

L3

C

C

C

Folie: 412

Ist der Sternpunkt nicht nach außen geführt, können die Kondensatoren nur zwischen die Außenleiter geschaltet werden. Es ergibt sich eine Dreieckschaltung.Ist der Verbraucher im Stern geschaltet, liegt eine gemischte Schaltung vor, die schwierig zu berechnen ist.

Z

Z

Z

L1

L2

L3

C

C

C

?

Es ergäbe sich eine einfache Berechnung, wenn die Kondensatoren im Stern, also strangweise parallel geschaltet wären. Gesucht ist eine Rechenvorschrift, die Stern- und Dreieckschaltungen ineinander umrechnet.

Stern-Dreieck-Umwandlung

Z1

Z2Z3

Umrechnen der im Dreieck geschalteten Bauelementgrößen, als ob sie im Stern geschaltet wären,bzw., Umrechnen der im Stern geschalteten Bauelementgrößen, als ob sie im Dreieck geschaltet wären.

Z12

Z23

Z31

Folie: 413


Folie: 414

Z1

Z2Z3

Z12

Z23

Z31

Eingangsimpedanzen: es wird ein identisches Verhalten an den Außenklemmen gefordert, eine Klemme bleibt leerlaufend:

)1(;)(

312312

31231221 ZZZ

ZZZZZ

)2(;)(

312312

31122332 ZZZ

ZZZZZ

)3()(

132312

23121331 ZZZ

ZZZZZ


Folie: 415

)4(

:)2()1(

312312

3123311231 ZZZ

ZZZZZZ

312312

31121

22

:)4()3(

ZZZZZZ

)5(312312

31121 ZZZ

ZZZ

:)1(in)5(

)6(312312

23122 ZZZ

ZZZ

:)2(in)6(

)7(312312

23313 ZZZ

ZZZ


Folie: 416

)8(3

212112 Z

ZZZZZ

Analog ergibt sich für die Stern-Dreieck-Umwandlung:

)9(1

323223 Z

ZZZZZ

)10(2

313131 Z

ZZZZZ

Damit ergibt sich für die Kondensatoren:

Y321312312 j

1;j

1C

ZZZZC

ZZZZ

Berechnen der Kompensationskapazitäten

Folie: 417

Damit ergibt sich für die Kondensatoren:

Y

Y

YY

YY j3

j1

j1

j1

j1

j1

j1

CC

CCCCC

Z

Yj3

j1

CC

CC 3Y3YCC

oder

Die im Dreieck geschalteten Kondensatoren müssen also ein Drittel der Kapazität aufweisen, damit sie dieselbe kapazitive Blindleistung erzeugen, wie die im Stern geschalteten.

Anwendungen der Stern-Dreieck-Umwandlung

Folie: 418

Die Stern-Dreieckumwandlung ist allgemein gültig und lässt sich auch außerhalb von Drehstromsystemen verwenden.

Beispiel: Berechnung der Impedanz einer Brückenschaltung – sie lässt sich nicht einfach in Reihen- und Parallelschaltung zerlegen.

Man kann Z1, Z2 und Z3 als Dreieckschaltung auffassen und in eine Sternschaltung umwandeln!

ZA

ZB

ZD ZE

ZC

Z2

Z4 Z5

Z3

Z1

Anwendungen der Stern-Dreieck-Umwandlung

Folie: 419

Z2

Z4 Z5

Z3

Z1

CBA

CA1 ZZZ

ZZZ

CBA

BA2 ZZZ

ZZZ

CBA

CB2 ZZZ

ZZZ

5335 ZZZ

4224 ZZZ

3524

35242345 ZZ

ZZZ

12345ges ZZZ

Somit stellt die Stern-Dreieck-Umwandlung ein weiteres Hilfsmittel zur Vereinfachung von Netzwerken dar.

Impedanz berechnet!

Grundlagen der Elektrotechnik Vorlesung Dr.-Ing. Jörg Stammen Bismarckstr. 81, 47057 Duisburg, BE...

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