Grundlagen&Anwendungen des Magnetismus

8/7/2019 Grundlagen&Anwendungen des Magnetismus

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Grundlagen und Anwendungen des

Magnetismus

Prufungsfragen

April 14, 2011

1. Allgemein

Hamiltonian:H = H0

ohne Feld

+ BL + gS

B

Para-Term

+e2B2

2m

Zi=1

ri DiaTerm

Was ist ? Was ist ? : magnetische Permeabilitat, Verhaltnis von Feld zu Fluss: B = H. : Suszeptibilitat:, Verhaltnis von Feld und Magnetisierung: M = H. Zusammenhang: B = H+ M B = H+ M = 1 +

Was ist Dia-, Para-, Ferro-, Antiferro-, Ferrimagnetismus? Dia: < 0, < 1 Feld in Medium schwacher als im Vakuum induzierte Kreisstrome (Larmor-/Langevin Diamag, keine T-abhangigkeit,Storung des vorhandenen Orbits/Hamiltonians):

LarmorDia Zr2

Landau Dia: Leitungse: Kondensation der Zustande auf Landau-R ohren,hier ist Feld keine Storung sondern Grund neuer Quantisierung!

Landau

Dia = 0kFe

2

122m

Para: > 0 , > 1 Medium verstarkt Feld Ausrichten der Momente: Langevin Paramagnetismus Leitungs e: Pauli Paramagnetismus oberhalb CT: Stoner-Verstarkung

Groenordnungen LangevinPara >> |LarmorDia | PauliPara |LandauDia | V anV leckpara Lande-Faktor

gyromagnetischer Faktor, teilchenabhangig. Fur Elektronenspin g 2

Ursachen des Magnetismus: L + S = J

nicht-WW,frei: Pauli (Spinabhangige DOS+Fermi-Vert (TF


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3. Paramagnetismus

Langevin-Paramagnetismus M = MSBJ(Y) abhangigkeit von Y Verlauf furgroerwerdendes Y (Sattigung, siehe unten)

Herleitung uber Statistische Mechanik. M(B, T)-Kurve. J = 1/2, J = erklaren. J = widerspruch zu Bohr-van-Leuwven? Statistische Mechanik:

dF = dET dSSdT, dE = TdSp dVm dB, m = FB

, =M

H=

1

V

m

H

F = kbT ln Z, wobei Z = traceexpH/kbT die Partitiosfunktion ZN wennunabhangig.

Herleitung: Hpara = B L+gS B = BgJJ B wobei J das Gesamtmomentund gJ der landesche Faktor.(1 +

J2 + S2 L22J2

mit 2 = (+ 1))

PartitionsfunktionZ =

exp(Ei/kBT) = . . . = sinh(. . .)

sinh (. . .)

Einsetzen in F, 1x ableiten M = NV

gjB MS

BJ

Verhalten der Brillouinfunktion: Zeichnen + Grenzfalle erklaren + Herleitung.

Brillouinfunktion, Argument Y =gjBkBT

BT

B(Y) =1

J

J +

1

2

coth

(J +

1

2)Y

1

2coth

1

2Y

Grenzfalle/Asymptotik limY BJ(Y) = 1, limY0 BJ(Y) = 0 J = 1

2: B 1

2

(Y) = tanh(12

Y),

J (damit gJB 0) : B(Y) = coth

B

kBT

kBT

BDie Langevin-Funktion, auch moglich mitEpot = B = B cos(, B)und klassischem Dipolmoment High-Temp-Limit: Y


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Temperaturunabhangig Qualitativ: Spin-drehung kostet viel kinetische energie bzw. ist fur von Fermi-

Kante entfernte e nicht moglich. (nurT/TF tragen bei) Es ist L = 0 daherHPara = gBS B Zustandstichte

E jetzt Spinabhangig

E+/BB

Aufspaltung DOS fuhrt zu mehr Parallel geordneten Elektronenspins. Berechnungn = . . .

B F(E, T)

E+ B dE

BF(E, T)E B dE

M = nB g(EF)2BB bei T = 0 : PauliPara = 32 NV0

2

B

EF+ O(B)

Stonerkriterium (U g(EF) > 1 Ekin = Epot) Pauli-Paramag. des Molekularfeldes fuhrt zu spontaner Ordnung (Potentielle

Energie aus Austausch vs. Kinetische)

Eges = Ekin + Epot = 1/2g(EF)E

so vielee

Esoweit

+( M0MdB

MdB = M0 dM daher Epot = 1/20M2, einsetzen: M = g(EF)E

und U = 02B liefert Stonerkrit.

4. Ferromagnetismus

Austausch-WW erklaren, Ursprung (Pauli-Verbot + Coulomb-WW) Zunachst vernachlassigt man Spin-Bahn-Wechselwirkung und rechnen ohne

Spinanteil der WFT H = /2m(21 + 22) ze2/r1 ze2/r2

Wasserstoffahnlich

+ e2/r12Storung

Grundzust: 01s,1s(r1, r2)unabh. Tensorprod.

= 01s(r1)01s(r2)

Storungsrechnung erster Ordnung liefert Coulomb-Integral:01s,1s|

e2

r12 |01s,1s

Angeregte Zustande: 01s(r1)0nl(r2) und

01s(r1)

0nl(r2) moglich. Wegen Un-

unterscheidbarkeit: Kombinationen (+/ sym/asym) Fur e in Zust. a/b: E = 2Ja,b Austauschintegral. Jetzt mit Spinanteil: 4 Moglichkeiten fur Spin (wieder wg. ununterscheid-

barkeit) (siehe Singlett/Triplett) Pauli: Gesamt-WFT antisym. Fuhrt zu Energieuntersch. zw. Singlett und Triplett Austauschintegral wirkt wie Korellation der Spins. (H = 2JS1S2)

Singlett/Triplett Energieaufspaltung, an H erklaren (Austauschintegral)

Singlett: Spin=0, Antisym. Spin-WFT:

1

2(||) Triplett: Spin=1, Symm: 1

2(|+ |), |,|

J > 0 Esym > Easym ESinglett > ETriplett FM, da in dem Fall diesymmetrie der Spins die gunstigere, asymmetrische WFT ermoglicht.

J abhangig vom Uberlapp der WFT also vom Abstand der Kerne.

Molekularfeld erklaren Erklarung f ur FM, AnnahmeL = 0, J = S, Heisenberg-Hamiltonian+Zeeman: H = 2j


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M = MSBJ(Y) (Paramag. lokalisierter Momente) mit Effektiv-feld in

Y =gJBJ(

Beff

B + 0M)

kBT

fuhrt zu Implizitem Gleichungssystem fur M, graph lsg. aus obiger Glg. undM = kBT

gj0BJ(Gerade mit Temperaturabhangiger Steigung schneidet Bril-

louin funktion!)

5. Austauscharten

Direkter Austausch Siehe Heisenberg Modell, hangt via Austauschintegral von Uberlapp ab, der

ist oft klein (muss ja lokalisiert sein). Daher indirekter Austausch!

Indirekter Austausch

Modell fur indirekten Austausch: Hubbard

H = t

I=j,=,

ErzeugerCi, Cj, + C

j,Ci,

Ekin die durch Hupfen gewonnen wird

+ U

i

ni,ni, EpotCoulomb, bestraft doppelbesetzung

Spinabhangigkeit implizit uber Pauli-Verbot einbezogen 2J12 = 4t2U Wenn Hupfen Energiegewinn bringt, muss nach Pauli Prinzip zur

Energiminimierung AFM-Kopplung vorliegen.

U > t Stark Lokalisiert, Spins koppeln nicht: Mott-Hubbard-Isolator (Kop-

pelt erst in Angeregten Zustanden).

Doppelaustausch ( reales Hupfen) Tritt auf bei gemischten Valenzen (Dotierte Manganate zB) Rumpfspins fest (zB t2g, ein zusatzliches e

bei einem atom (zB im eg) kann nach Hund nur bei FM-Konfiguration Hupfen.

Superaustausch ( virtuelles Hupfen) Beispiel Mn-O-Mn. Kopplung uber das 2p Orbital von Sauerstoff, vorzeichen

mussen Passen

Analog zu Direktem Austausch im H2 Molekul

Hubbard Model: t = tdd, Heisenberg: J12 = 2t2/U je nach kristallfeld meist AFM-Kopplung (Siehe H2)

RKKY-Austausch 4f-Elektronen Koppeln via Leitungselektronen 24-f-5-d-WW 4f-4f-WW. JRKKY cos(2kFR)

R3Vorzeichen Oszilliert.

Heisenberg-Modell (Formel+ ersten Summanden erklaren) Austausch-WW als Spinkopplung: H =

i=jJijSiSj

Jij Austausch-WW zwischen i-tem und j-tem Spin (> 0 =FM) Gutes Modell fur lokalisierte Elektronen (i.e. nicht-metallische, magnetische

Materialien)

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Stoner Modell: Stonerkrit. erklaren, Faustregel wann Ferromag. auftretenkann ( Abstand) Stonerkrit. siehe oben, Stoner Walfarth: selbes wie Stoner-Kriterium nur mit

beliebiger DOS. Bethe-Slater-Kurve: Verhaltniss typ. Atomradius - Abstand

Vergleich Heisenberg-Stonermodell (Weisssche Molekularfeldnahreung vs. Spin(??)-Anregung

Heisenberg: lokalisierte Momente (man setzt ja auch in Langevin/Brillouinein)

Stoner: Metall, freie Elektronen

M/MS T/TC-Diagramm, Grenzfalle, Curie-Weiss-Gesetz Bestimmung Curie-Temp: Im graph. Verfahren mussen Steigungen in 0 gleich

sein Linear im klassischen Grenzfall

Temperaturverhalten der Suszeptibilitat von Para und Ferromagnet fur T >TC Am Ende vom Tag sind wir alle DIa

sonst Curie-Weiss-Gesetz: FM,ParaT>TC =C

T TC6. Kristallfeld

Energieverschiebung + Erklarung ( Orbital Richtung Ion oder nicht) H = Hfreies Ion(r) +

Liganden V

lig(r Rligi ) Coulomb WW mit Liganden Kristallfeld

Energieaufspaltung uber Storungsrechnung oder uber Symmetrie eg-t2g-Split Anschaulich: eg entlang MnO-Achse, t2g dazwischen.

Ausloschung von Drehimpulsen Man kann zeigen, fur eg Lz = 0 (Quenching) Fur t2g ist Lz {1, 0, 1} (Projektion/Pseudomoment)

Aufspaltung in oktaedrischer vs tetraedrischer Umgebung Gruppentheo, irred. Darstellung identisch Oktaeder: t2g gunstiger, Tetraeder: eg gunstiger.

7. Hundsche Regeln

Angeben

Si max (Austausch-WW)

Li max (Coulomb-WW)

J = |L S|, falls Schale halbvoll, L + S sonst (Spin-Bahn-WW) Wann gelten sie (Grundzustand) Ubergang FK: Regeln missachtet L gequencht.

KF fuhrt zu Quenching Freie e im FK haben garkein L

8. Beispiele

Magnetit (Kristallfeld, Kopplung, gemischte Valenzen, FM/AFM) A-Platze Tetraeder: eg bevorzugt

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B-Platze Oktaeder: t2 bevorzugt A-A-Kopplung: Doppelaustausch (gemischte Valenzen): FM A-B-Kopplung: Superaustausch: AFM

LaMnO3 (Einfluss der Kristallfeldsymmetrie, Oktaedrische Sauerstoffumge-bung fuhrt zur Aufspaltung der 3d-Orbitale im Mangan, Drehimpulsquench-ing, Superaustausch, Hamiltonian im Hubbard Modell, ferromagnetische Kop-plung durch gemischte Valenzen in Dotierten Manganaten, Doppelaustauscherklaren)

La hat abgeschlossene Schale: Mangan fur Magnetismus verantwortlich Oktaedersymmetrie: t2g bevorzugt. Drehimpuls Partiell austeloscht (nach Hund ware J = 0 fur Mn) Kopplung von Mangan: Superaustausch (gleiche Valenzen, virtuelles hupfen,

AFM, Isolator) Bei Dotierung: uberschussigee konnen Springen: Doppelaustausch,FM,Leitfahigkeit

steigt

Hubbard siehe oben.

9. Spinwellen

Magnonen: Was? Dispersionsrelation, warum wachst Energie mit k? Landau-Lifschitz-Gilbert: d

dtM = M B |M|M (M B)

Kleine Wellenlange: Austauschdominiert, groe WL: Dipol-Dominiert Dispersion; (q) = 2JS(1 cos(aq)), cos(aq) (1 a2q2) furqa


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Brillouin-Lichtstreu-Spektroskopie. Domanenwande fuhren zu veranderungder SpinwellenresonanzBLS nutzt Stokes/anti-Stokes Prozess / Streuung von Photonen an Magnonen.

Domanen bei Rechteck

Mechanismen Domanen Auszubilden11. Anisotropie

Richtungscosinusse (??) Beitrage: Form-, Magnetokristallin, ...

Formanisotropie: Ursache Demagnetisaation-FieldBerechnung uber Skalarprodukt mit Demagnetisation-Tensor

Magnetokristalline Anisotropie: Ursache Kristallfeld (symmetrie)Entwicklung in sinus/kosinus mit koeffizienten.

12. Messmethoden/Anwendungen

Bestimmen von magnetischen Momenten von Atomen/Molekulen: XMCD -Was wird wohin anregeregt, warum kan man daraus Zustandstichte ablesen? Ubergangsdichte mit g(, ) gewichtet. Spin-Bahn Kopplung bewirkt Aufspaltung in L2, L3 Kante. (l s bzw. l + s) Photon mit L = +/1 hebt Elektron an, kann wegen Spin-Bahn-Kopplung

und Derhimpulserhaltung auch Spin andern (naturlich nur in eine Richtung,daher Spinpolaristation)

Unterschiedlicher Absorbtionsintensitat folgt dann aus vorhandensein von Lochernin der DOS (zB konnten nur Spin up angenommen werden)

DOS: man kennt Differenz der Locher aus der differenz der Peaks Intensitat des effekts hangt vom Kosinus des winkels zwischen polarisation

und Magnetisierung ab. Dunne Probe oder Sekundarprozesse!

Mott-Detektor, SLPEED: Effekt (L-S-Kopplung) und was in etwa passiert Analog zur Spin-Bahn-Kopplung: Relativistische trafo erzeugt B-feld (Rotiert

um kern) Spin-up teil wird lings vom Kern zum kleineren feld, rechts zum groeren, also

immer nach links abgelenkt (anschaulich)

Kerr-Effekt: Einfache Erklarung (oszillierende Dipole) + mikroskopische Erklarunguber Dichroismus

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