Grundlagenkrise der Mathematik Criptoan alisis de Enigma A...

$: Grundlagenkrise der Mathematik Criptoan alisis de Enigma A ...delta.cs.cinvestav.mx/~francisco/ssi/turing_db.pdf · \Alan Turing y sus m aquinas de escribir", Universidad Don Bosco,$
Infancia y primeros trabajosLa “Grundlagenkrise der Mathematik”

Criptoanalisis de EnigmaA manera de conclusiones

“Alan Turing y sus maquinas de escribir”, Universidad Don Bosco, 17.marzo.2014

Universidad DonBosco, 17.marzo.2014

1 / 48



Contenido de esta presentacion

1 Infancia y primeros trabajos

2 La “Grundlagenkrise der Mathematik”

3 Criptoanalisis de Enigma

4 A manera de conclusiones



2 / 48










3 / 48



Alan Turing de nino

Alan Mathison Turing nacio el 23 de junio de 1912 enPaddington, Inglaterra. Tuvo un solo hermano [mayor que el]llamado John.



4 / 48



Alan Turing de nino


Por anos, John y Alan estuvieron a cargo de una familiaadoptiva en Inglaterra mientras sus padres vivıan en la Indiadebido al trabajo de su padre Julius Mathison en ese paıs



4 / 48



Alan Turing de nino



Desde sus primeros anos Alan demostro ser un nino diferente,un poco excentrico, aunque no precisamente un nino prodigio.



4 / 48



Alan Turing de nino



Desde sus primeros anos Alan demostro ser un nino diferente,un poco excentrico, aunque no precisamente un nino prodigio.

Por ejemplo, a pesar de que su padre hablaba varios idiomasindios, Alan tuvo problemas para aprender el frances.



4 / 48



Alan Turing de nino



5 / 48



Alan Turing de nino

Se sabe tambien que el nino Turing sonaba con ser uninventor de maquinas de escribir, un deseo que la vida leiba a conceder de una manera insospechada



5 / 48



Alan Turing de nino

Escribe John, acerca de su hermano:“My mother, perhaps unwittingly, gives the impression inher book that she recognized Alan’s genius from thestart, and that she sedulously fostered it”



5 / 48



Alan Turing de nino

“...The truth of the matter, as I now view it inretrospect, is that neither of Alan’s parents or his brotherhad the faintest idea that this tiresome, eccentric andobstinate small boy was a budding genius.”extracto tomado de las memorias de John Turing [hermano de Alan]



5 / 48



Alan Turing como universitario

En 1931, Alan ingreso en el prestigioso King’s College de laUniversidad de Cambridge gracias a una beca academica. Durantesu estancia escribio una tesis que le merecio una mencion especiala la sorprendente edad de 22 anos. El tema de su tesis fue lafuncion error de Gauss en la que redescubrio el teorema del lımitecentral. Al respecto John menciona una anecdota curiosa:



6 / 48




“In 1931, Alan went to King’s College, Cambridge, with amathematical scholarship... I have a horrid recollection of“The Gaussian Error Function””



6 / 48




“In 1931, Alan went to King’s College, Cambridge, with amathematical scholarship... I have a horrid recollection of“The Gaussian Error Function”(whatever that might be)”



6 / 48




“...for Alan had left it to the eleventh hour to sort thesheets, parcel and dispatch them. My mother and I spenta frantic half hour on hands and knees putting them inorder; Mother did up the parcel in record time and Alansped with it to the GPO3 on his bike, announcing on hisreturn that there were at least twenty minutes to spare.”



6 / 48




“This is my only positive contribution to mathematicalthought.”



6 / 48










7 / 48



La “Grundlagenkrise der Mathematik”

La gran crisis de las matematicas se habıa originado comoconsecuencia del trabajo de diversos investigadores queconducıan a importantes contradicciones y paradojas encuerpos matematicos que se consideraban bien establecidos ybien comportados



8 / 48



La “Grundlagenkrise der Mathematik”

un ejemplo famoso de estos resultados es la paradoja deBertrand Russell (18 de Mayo de 1872 – 2 de Febrero de1970), en la que el demostro que la teorıa informal deconjuntos de Georg Cantor contenıa una contradiccion quepodıa ser construida a partir de sus propios axiomas.



8 / 48



El programa de David Hilbert

Como respuesta a la crisis, el cientıfico aleman David Hilbert[23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943], propuso unproyecto de investigacion que mas tarde serıa conocido comoel “programa de Hilbert”



9 / 48



El programa de David Hilbert

Como respuesta a la crisis, el cientıfico aleman David Hilbert[23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943], propuso unproyecto de investigacion que mas tarde serıa conocido comoel “programa de Hilbert”

Durante el Congreso Internacional de Matematicas celebradoen Bologna en 1928, Hilbert planteo tres preguntas concretas:



9 / 48



Las 3 preguntas del programa de David Hilbert

Primera pregunta: Demostrar si acaso la Matematica podıaformularse como un sistema completo, en el sentido de quecualquier enunciado matematico (tal como decidir si la raızcuadrada de dos es o no un numero racional) pudiera ser yasea, demostrado formalmente, o refutado.



10 / 48




Segunda pregunta: Demostrar si la Matematica eraconsistente en el sentido de que para cualquier sistema fueseimposible arribar a contradicciones (tales como “1 + 2 = 4”en la aritmetica de los enteros), derivadas de aplicar pasosmatematicos correctamente deducidos a partir del conjunto deaxiomas que definıan al sistema.



10 / 48




Tercera pregunta: Encontrar si acaso la Matematica eradecidible en el sentido de que pudiera demostrarse que paracualquier asercion debıa existir algun metodo o algoritmocapaz de decidir en un tiempo finito acerca de la validez dedicha afirmacion.



10 / 48



Kurt Friedrich Godel

Inesperadamente y muy poco tiempo despues, en septiembrede 1930, el joven matematico checo Kurt Godel [28 de Aprilde 1906 – 14 de enero de 1978] sacudio inolvidablemente a lacomunidad matematica al anunciar en una conferencia enKonisberg sus teoremas de incompletitud.



11 / 48




Allı Godel demostraba que:

1 Si un sistema es consistente entonces no puede ser completo,2 Si un sistema es inconsistente entonces debe ser completo y,3 La consistencia de los axiomas no puede ser probada desde

dentro del sistema.



11 / 48




Una consecuencia directa de estos resultados es que lasrespuestas correctas a las dos primeras preguntas de Hilberteran un sonoro: ¡no!



11 / 48




Una consecuencia directa de estos resultados es que lasrespuestas correctas a las dos primeras preguntas de Hilberteran un sonoro: ¡no!

Sin embargo la respuesta a la tercera pregunta de Hilbertconocida como el Entscheidungsproblem, continuaba abierta.



11 / 48



Max H. A. Newman

En la primavera de 1935 Alan Turing tomo oficialmente el curso quesobre los fundamentos de la matematica daba el topologo y logicoingles Max H. A. Newman [7 de febrero de 1897 - 22 de febrero de1984]. El curso de Newman concluyo con la demostracion delteorema de Godel.



12 / 48



Max H. A. Newman

Newman menciono que el Entscheidungsproblem continuaba abiertoy cerro su curso con una pregunta provocativa dirigida a su clase:

“¿Es posible concebir un proceso mecanico capaz de seraplicado a enunciados matematicos para responder siellos son o no demostrables?”



12 / 48



G. H. Hardy

G. H Hardy [7 de febrero de 1877 - primero de diciembre de 1947]se habıa pronunciado con escepticismo ante la posibilidad de que unautomata mecanico pudiera demostrar enunciados matematicos:

“There is of course no such thing, and this is veryfortunate, since if there were we should have amechanical set of rules for the solution of allmathematical problems, and our activites asmathematicians would come to an end”



13 / 48



G. H. Hardy

Mas adelante, en 1940, Hardy escribirıa un famoso ensayo tituladoen espanol: “Apologıa de un matematico”, donde afirmo:

“ 317 is a prime, not because we think so, or because ourminds are shaped in one way rather than another, butbecause it is, because mathematical reality is built thatway. ”



13 / 48



De maquinas de escribir a maquinas de Turing

El metodo de ataque que Turing empleo para resolver elEntscheidungsproblem, fue el de idear un automata mecanicoque fuera capaz de ejecutar cualquier programa de maneraautomatica.



14 / 48




Fue ası como Turing especifico las capacidades de computo deuna maquina equipada con una cinta de tamano infinito lacual contenıa las instrucciones y los datos del programa a serejecutado. La maquina podrıa leer, escribir y navegar sobre lacinta, con la capacidad de modificar a su paso los valoresalmacenados en ella.



14 / 48






15 / 48



El Entscheidungsproblem resuelto

Alan Turing simulo el problema de decision de Hilbert en suautomata, demostrando a traves de una adaptacion delfamoso argumento de la diagonal de Cantor que existıannumeros reales que eran computables mientras que otros eranno computables.



16 / 48




Los numeros reales no computables son infinitos y noenumerables, y Turing mostro ademas que el problema deescribir un numero no computable es indecidible. Con laevidencia de este contra ejemplo, Turing encontro que larespuesta correcta a la tercera pregunta de Hilbert era una vezmas negativa.



16 / 48




El hallazgo y definicion de numeros computables le parecio aTuring un resultado tan fundamental que titulo el artıculo enque publico su investigacion como: “On computable numbers,with an application to the Entscheidungsproblem”, que puedetraducirse como “Acerca de los numeros computables y de suaplicacion al Entscheidungsproblem”



16 / 48




El resultado negativo al Entscheidungsproblem contiene en sımismo muchas resonancias filosoficas pues demuestramatematicamente que hay problemas que no podrıan serresueltos por ninguna entidad inteligente sin importar si estadispone de recursos de computo infinitos y sin importar sipuede esperar por toda una eternidad a que se produzcan lassoluciones a tales problemas.



16 / 48




Entre otras cosas, la existencia de numeros no computablesdemuestra matematicamente la no existencia de diosestodopoderosos, y mas mundanamente define las cotassuperiores de nuestra capacidad como civilizacion pararesolver problemas.



16 / 48




Claramente, “On computable numbers, with an application tothe Entscheidungsproblem” es el Magnus Opus de Alan Turing



16 / 48



¿Maquinas de Turing o humanos disfrazados de maquinas?

En palabras de Turing, sus maquinas son una idealizacion delcomputador humano:

“The behaviour of the computer at any moment isdetermined by the symbols which he is observing, and his“state of mind’ at that moment. We may suppose thatthere is a bound B to the number of symbols or squareswhich the computer can observe at one moment...”’

Nota: La palabra “computer” arriba significa lo que esa palabraquerıa decir en 1936: un ser humano haciendo calculos



17 / 48




Y agrega:

“We may compare a man in the process of computing areal number to a machine which is only capable of a finitenumber of conditions . . . called “m-configurations”.The machine is supplied with a “tape” ...”



17 / 48




Y agrega:

“We may compare a man in the process of computing areal number to a machine which is only capable of a finitenumber of conditions . . . called “m-configurations”.The machine is supplied with a “tape” ...”

A lo que Wittgenstein replico genialmente:

“Las “maquinas” de Turing, son en realidad humanosdisfrazados de maquinas que calculan”



17 / 48



Ludwig Wittgenstein Vs. Alan Turing

Ludwig Wittgenstein [26 de abril de 1889 - 29 de abril de 1951] esconsiderado el filosofo mas influyente del siglo XX.



18 / 48




atormentaba a Turing con sus preguntas [fue su profesor]: “CuandoHardy dijo que 317 era un primo porque “it was so” ¿que quizodecir?, ¿quiso decir que los humanos estarıan todos de acuerdo sisumaban correctamente?, ¿Como sabe Hardy cuales son las reglascorrectas?”’



18 / 48




“¿Por que “las contradicciones” les parecen tan importantes austedes los matematicos?”



18 / 48



Alonzo Church

Sin embargo, Alonzo Church [14 de junio de 1903 - 11 deagosto de 1995] matematico estadounidense de la Universidadde Princeton, ya habıa demostrado la existencia de problemasindecidibles utilizando la herramienta del calculo lambda.



19 / 48



Alonzo Church

Gracias a la entusiasta recomendacion de Max Newman,Church decide aceptar ser el asesor doctoral de Alan Turing.Turing se doctora en la Universidad de Princeton en junio de1938



19 / 48



Alonzo Church

Gracias a la entusiasta recomendacion de Max Newman,Church decide aceptar ser el asesor doctoral de Alan Turing.Turing se doctora en la Universidad de Princeton en junio de1938

Juntos Church y Turing publican varios resultados importantesincluyendo la famosa tesis de Church-Turing que algunosllaman simplemente la tesis de Turing



19 / 48



Personajes en Princeton

En las primeras decadas del siglo XX, Gottingen y Cambridge [enese orden], eran el centro de las matematicas a nivel mundial. Sinembargo, debido a la guerra, las principales figuras academicas eintelectuales europeas poco a poco migraron hacia Princeton quepronto se convirtio el centro cientıfico mundial mas importante de laepoca



20 / 48



Personajes en Princeton

En Princeton, Turing tuvo la oportunidad de interactuar con Godel,Hardy, John von Newmann y alguna vez, ver por allı paseandose enlos jardines a Einstein. Desafortunadamente, la interaccion conGodel fue muy corta debido a que este personaje habıa decididosalir de Princeton desde antes que llegara Turing



20 / 48










21 / 48



Glosario basico

Criptografıa: Diseno de sistemas y esquemas para realizarcomunicaciones confiables sobre canales inseguros.



22 / 48



Glosario basico


Criptoanalisis: Disciplina que estudia como romper esquemascriptograficos.



22 / 48



Glosario basico



Texto en claro: mensaje que desea transmitirse de manera segura.



22 / 48



Glosario basico




cifra: mensaje que resulta despues de haber cifrado el texto en claro.



22 / 48



Glosario basico




cifra: mensaje que resulta despues de haber cifrado el texto en claro.

llave o clave secreta: informacion secreta que permitecifrar/descifrar documentos.



22 / 48



Modelo de seguridad de Enigma



23 / 48




Posibles objetivos de Alan Turing:

1 Leer el mensaje original



24 / 48






2 Obtener la llave secreta de Alicia.



24 / 48







3 Modificar el contenido del mensaje original.



24 / 48







3 Modificar el contenido del mensaje original.

4 Usurpar la identidad de Alicia



24 / 48



Principio de Kerckhkoff

Se parte de la premisa que el oponente conoce el algoritmocriptografico utilizado. Por lo tanto, la seguridad del sistema debeestar basada en:



25 / 48



Principio de Kerckhkoff

Se parte de la premisa que el oponente conoce el algoritmocriptografico utilizado. Por lo tanto, la seguridad del sistema debeestar basada en:

La calidad (fortaleza) del algoritmo

El tamano del espacio de la llave (tamano en bits de la llave)



25 / 48



La maquina de escribir Enigma



26 / 48



La maquina de escribir Enigma



27 / 48



Detalles de diseno de Enigma



28 / 48



Detalles de diseno de Enigma

Los principales componentes de Enigma son

Un teclado que consistıa de 26 letras de la A a la Z

Un panel de conexiones [plugboard] con 26 pares de tomas [unapara cada letra] que permitıa que el operador intercambiara pares deletras.

cinco rotores de los cuales podıan utilizarse hasta tres a la vez.Cada rotor implementaba una permutacion de 26 entradas/26salidas por medio de re-alambrado de los contactos metalicos. Cadauno de los rotores podıa colocarse en 26 diferentes posiciones deinicio que podıan ser facilmente seleccionadas por el operario.

El rotor de mas a la derecha se movıa un paso cada vez quepresionaba una tecla. Los otros dos rotores se movıan a un pasomas lento

un reflector colocado a al izquierda de los tres rotores principales

26 bombillas de luz, una para cada letra de la A a la Z“Alan Turing y sus maquinas de escribir”, Universidad Don Bosco, 17.marzo.2014


29 / 48



Detalles de diseno de Enigma: permutaciones de los rotores



30 / 48



Cifrado y descifrado de informacion con Enigma

tomado de la pagina:http://enigmaco.de/enigma/enigma.swf



31 / 48

http://enigmaco.de/enigma/enigma.swf







32 / 48








33 / 48








34 / 48








35 / 48




Modelado matematico de Enigma

La transformacion de cada letra del texto en claro puede sermodelada como un producto de permutaciones. Sea P lapermutacion realizada por el tablero de conexiones y sean L,M,R yU las permutaciones asociadas a los rotores de la izquierda, de enmedio, de la derecha y por el reflector, respectivamente. Entonces elcifrado de una letra esta dada por el producto:

E = P · R · M · L · U · L−1 · M−1 · R−1 · P−1



36 / 48



Modelado matematico de Enigma

Mas aun, si cada uno de los tres rotores principales es girado iposiciones su transformacion se convierte en: ρiRρ−i , donde ρ esuna permutacion cıclica que proyecta A a B, B a C , etc. Entonces,el cifrado de la letra i-esima del texto en claro queda descrito por laecuacion:

E = P · (ρiRρ−i ) · (ρjMρ−j) · (ρkLρ−k) ·U · (ρkL−1ρ−k) · (ρjM−1ρ−j) · (ρiR−1ρ−i )P−1



36 / 48



Configuracion de Enigma

Eleccion por parte del operador de 3 rotores de un total decinco



37 / 48





Posicion inicial de los tres rotores escogidos



37 / 48






Posicion de paso de transmision [stepping] de los primeros dosrotores



37 / 48






Posicion de paso de transmision [stepping] de los primeros dosrotores

Configuracion del tablero de conexiones que podıaintercambiar hasta trece pares de letras



37 / 48



Configuracion de Enigma: # posible de combinaciones

elecciones de rotores:

(5

3

)= 60.



38 / 48





(5

3

)= 60.

numero posible de posiciones de rotores: 263 = 17, 576.



38 / 48





(5

3

)= 60.


configuraciones de paso de transmision: 262 = 676.



38 / 48





(5

3

)= 60.


configuraciones de paso de transmision: 262 = 676.

# posible de configuraciones del tablero de conexiones:

N(k) =1

k!

k−1∏i=0

(26 − 2i

2

),

donde k es el numero de pares a ser intercambiados Estafuncion adquiere su valor maximo con k = 11 dando un totalde combinaciones de: N(11) = 205, 552, 193, 096, 250



38 / 48




Enigma puede configurarse deN = 146, 534, 573, 628, 069, 026, 400, 000 maneras diferentes,con una seguridad equivalente a aproximadamente 77 bits



38 / 48



Modo de operacion de Enigma

Todos los dıas los operadores de las Enigmas configuraban laposicion inicial de sus maquinas de acuerdo a lasespecificaciones del libro de codigos.



39 / 48




Todos los dıas los operadores de las Enigmas configuraban laposicion inicial de sus maquinas de acuerdo a lasespecificaciones del libro de codigos.

Sin embargo para cada mensaje enviado se escogıan distintasllaves secretas cambiando la posicion de los rotores



39 / 48




El modo de operacion para cifrar cualquier mensaje seguıa elsiguiente algoritmo:

1 Colocar Enigma en la configuracion inicial especificada en ellibro de codigos

2 cifrar la siguiente llave secreta a ser utilizada repitiendola dosveces, por ejemplo: BITBIT

3 colocar los tres rotores de Enigma en la posicion indicada porla nueva llave secreta [en este caso: BIT ]

4 cifrar el mensaje que se deseaba enviar de acuerdo a la nuevaconfiguracion

5 enviar todas las cifras en un solo paquete



39 / 48




El correspondiente modo de operacion para descifrar cualquiermensaje seguıa el siguiente algoritmo:

1 Colocar Enigma en la configuracion inicial especificada en ellibro de codigos

2 recibir y descifrar los seis caracteres, checando que la claveestuviera repetida y recuperar la llave [BIT en este caso]

3 colocar los tres rotores de Enigma en la posicion indicada porla llave secreta descifrada

4 descifrar el resto de las cifras



39 / 48



Debilidades del modo de operacion de Enigma

el enviar dos veces la llave secreta es una debilidad muy altade Enigma que fue explotada muy ingeniosamente por lospolacos e ingleses

Operadores flojos, distraidos y/o incompetentes

Los ingleses contaban con cribs que les permitıan tener paraciertos casos parejas de texto cifrado y su correspondientetexto en claro

Turing utilizo teorıa de la probabilidad y teorema de Bayespara hacer un criptoanalisis muy efectivo

Turing y su equipo perfeccionaron las bombas polacas a sumaxima expresion



40 / 48



La Bomba de Turing



41 / 48










42 / 48



Maquinas Vs humanos: ¿Quen derroto a quien?

se dice que el ingenio de Alan Turing [en representacion de loshumanos] derroto a la fuerza bruta mecanica [representadapor Enigma], ¿pero es esto cierto?



43 / 48





en realidad Turing utilizo la invaluable ayuda de las bombaspara poder realizar criptoanalisis por fuerza bruta educada



43 / 48





en realidad Turing utilizo la invaluable ayuda de las bombaspara poder realizar criptoanalisis por fuerza bruta educada

en realidad si los alemanes hubieran utilizado Enigma como loindicaban sus libros de codigos hubieran tenido un sistema decifrado de 77 bits [absolutamente inalcanzable para la epoca]



43 / 48




pero entonces...¿Quien derroto a quien?



43 / 48




Respuesta indudable: ¡las maquinas al hombre!



43 / 48




¿o mas bien los hombres disfrazados de maquinas de los quehablaba Wittgesntein derrotaron a los otros hombres?



43 / 48



Maquinas de escribir y Turing: una eterna trenza dorada

Material desclasificado en mayo de 2012



44 / 48



Maquinas de escribir y Turing: una eterna trenza dorada

Material desclasificado en mayo de 2012



45 / 48



Alan Turing y Claude Shannon

En una de las mas afortunadas conicidencias cientıficas en tiemposde guerra, Alan Turing y Claude Shannon (30 de abril de 1916 - 24de febrero de 2001) se conocieron en los laboratorios Bell en losanos cuarentas. La influencia que el trabajo de cada uno de ellosejercio en el otro fue muy profunda.



46 / 48




Con sus artıculos seminales: “”A Mathematical Theory ofCryptography,”” y “”Communication Theory of SecrecySystems”””, Claude Shannon fundo la criptografıa como ciencia. Seadvierte una profunda influencia de Turing en estos dos trabajos.



46 / 48




Del mismo modo el trabajo de Shannon influencio el desarrollo de“Delilah” un sistema de cifrado por voz que ideo Turing durante lapost-guerra

Ambos compartieron su gusto por el ajedrez y por la idea de crearprogramas de ajedrez



46 / 48



¿Que tan viejas son las palabras bit, programa,computadora?

La palabra ’bit’ fue inventada en los laboratorios Bell y publicadapor primera vez en los artıculos de Shannon

Turing escribıa “Programme” cunado se referıa a programas decomputacion

Turing no llamaba “Maquinas de Turing” a sus “maquinasuniversales de computo”

Para Turing la palabra “Computer” significaba un operador humanoque hacıa computo



47 / 48



¿Que tan grande es el legado de Alan Turing en lacomputacion?

A pesar de todos los homenajes a su obra, Alan Turing ha sidollamado el Capitan Scott de las matematicas pues se argumenta queen sus principales descubrimientos [prueba del teorema del lımitecentral, resolucion del “Entscheidungsproblem”, inventor decomputadoras y progrmas] siempre llego en segundo lugar



48 / 48





Sin embargo estamos ciertos que las maquinas de Turing son una delas invenciones mas memorables y originales de la ciencia del sigloXX.



48 / 48





Sin embargo estamos ciertos que las maquinas de Turing son una delas invenciones mas memorables y originales de la ciencia del sigloXX.

Estamos ciertos que de aquı a 100 anos otros profesores delCINVESTAV organizaran el bicentenario de Alan Turing



48 / 48

Grundlagenkrise der Mathematik Criptoan alisis de Enigma A...

Documents

Transcript of Grundlagenkrise der Mathematik Criptoan alisis de Enigma A...