502

Bild 40.7: Homogenes Magnetfeld im Innem einer Zylinderspule und Rechtsschraubenre­gel für Feldrichtung und Strornlaufrichtung

40.3 Magnetische Feldgrößen

40 Magneti che Feld

Bild 40.8: Magnetische Feldlinien einer RingspuJe

40.3.1 Magnetische Feldstärke (magnetische Erregung)

Wie beim elektrischen Feld geschieht die Beschreibung des Feldes durch Feldgrößen. Da­bei gebt man wie im elektrischen Feld von den Kraftwirkungen aus, die das magnetische Feld ausübt. Die Kräfte können dabei sowohl auf bewegte elektrische Ladungen (s. 46.3, diese Betrachtung führt unmittelbar auf die Feldgröße magnetische Flußdichte B (s. auch 40.3.4)) als auch auf magnetische Probedipole einwirken. Aus der zweiten Betrachtungs­weise g~langt man zur Feldgröße magnetische Feldstärke H. Um die magnetische Feld­stärke H im homogenen Feld einer langen Zylinderspule zu erhalten, untersucht man die Kraftwirkung (genauer das Drehmoment i1) auf einen Probedipol im Innern der Spule. Die Meßanordnung heißt Magnetometer und ist in Bild 40.9 dargestellt.

2

Bild 40.9: Prinzip des Magnetometers. J ist die ZeigersteIlung ohne Stromfiuß, der Probedipol steht quer zur Spulenachse. 2 ist die ZeigersteUung bei Strornßuß, nachdem sich der Probedipol in der Spule in Feldrichtung gestellt hat.

Die Drehachse des Dipols ist an einer Spiralfeder befestigt, und man ist in der Lage, über einen an der Achse befestigten Zeiger auf die Größe des Drehmoments zu schließen. Steht

40.3 Magneti che Feldgrößen 503

die Magnetnadel anfang quer zur Spulenach e, 0 dreht sie sich nach dem Einschalten de Strome um einen Winkel in Richtung de Magnetfeldes. Das durch das Kräftepaar (Bild 40.10) hervorgerufene Drehmoment M ist über den Zeigerausschlag meßbar und dem Betrag der magneti ehen Feld tärke ii proportional.

F

.NSsjM Fz

..

~ ..

H

Bild 40.10: Drehmoment auf einen magnetischen Dipol im Magnetfeld

Genaue Ver uche mit dem Magnetometer zeigen, daß das Drehmoment M der elektrischen Strom tärke 1 und der Windung zahl N der Spule direkt proportional, der Spulenlänge I je­doch indirekt proportional ist. Die Querschnittsfläche A der Spule, die von einer Windung umschlos en wird hat keinen Einfluß auf das Drehmoment und damit auf clie Feldstärke H. Der 0 gefundene Zu ammenhang liefert die magnetische Feldstärke H für das ho­mogene Feld im Innem einer stromführenden langen Zylinderspule und gilt, wie wir später zeigen werden, auch für das Feld im Innern der Ringspule (l ist dann der mittlere Umfang der Feldlinien), deren Länge I gegenüber dem Durchmesser d einer Windung sehr viel größer i t:

Magnetische Feldstärke in einer langen ZylinderspuJe oder RingspuJe

(40.1)

Die Einheit der magnetischen Feld tärke, [H] = Alm (Ampere je Meter), gilt für alle Ma­gnetfelder, auch wenn im inlwmogenen Feld die magnetische Feld tärke H nach Betrag und Richtung ortsabhängig ist. Die magnetische Feldstärke ii ist wie die elektrische Feld­stärke E eine vektorielle Größe, welche die Richtung der durch den betreffenden Feldpunkt verlaufenden Feldlinie angibt.

Das magnetische Feld ist ein Vektorfeld.

Vergleicht man die Einheiten von Hund E, fällt eine erste formale Analogie auf:

[E] = V/rn [H] =Alm

Auch bei anderen Ge etzen kann gezeigt werden, daß beim Auftreten der Spannung im elektrischen Feld die e durch die Stromstärke im Magnetfeld ersetzt werden kann und um­gekehrt. Diese formale Analogie hat zwar nicht konsequent Gültigkeit, ist aber in zahlrei­chen Fällen eine brauchbare Gedächtnisstütze.

Gleichung (40.1) gilt nicht exakt für den gesamten Innenraum auch der langen Zylinder­spule (Bild 40.11 a und b). Me sungen und Berechnungen zeigen, daß da Feld nicht bis zu den Spulenenden homogen ist, sondern daß dort der Betrag von H nur noch die Hälfte de nach (40.1) berechneten ist, um nach außen ehr schnell fast auf null abzufallen. Für viele prakti che Zwecke reicht aber eine Idealisierung de Feld tärkeverlaufs nach Bild 40.11 c au ( . Bei piel2 in 40.3.3).

504 40 Magnetisches Feld

H

Jr~~'~~L~~[L I a) __

~ 1

H

H m / b) 2/

H

c)

I

Hm

0

Hm

0

"'\

I'-.. H

Bild 40.11 : Verlauf der magnetischen Feld­stärke in der Zylinderspule. Erläuterungen im Text.

40.3.2 Durchßutungsgesetz

Zur Berechnung magnetischer Feldstärken inhomogener Felder kann man vom Durch­ßutungsgesetz ausgehen, zu welchem folgende Überlegungen führen: Für die elektrische Spannung zwischen zwei Feldpunkten im elektrischen Feld erhielten wir mit (39.21)

~ i=n

U = [ E· ds bzw. in der Summenschreibweise U = LEi . fis;. Analog dazu be-lp, ;=1

zeichnet man als magnetische Spannung V zwischen zwei Feldpunkten des Magnetfeldes das Linienintegral bzw. die Liniensumme

;=n

V = LHi' fiSi Magnetische Spannung (40.2) i=1

Die Einheit der magnetischen Spannung ist [V] = A. Wenden wir (40.2) auf das homogene Feld (Bild 40.11) an, wo die magnetische Feldstärke H konstant ist, ergibt sich

I V] ,2 = H· fiSI = Hfis] cosa I Magnetische Spannung im homogenen Feld

(40.3)

bzw. für zwei Punkte an den Spulenenden V = H I (analog (39.2), woraus sich im homo­genen elektrischen Feld für die Spannung U = Es ergibt).

Nach den Bildern 40.3 und 40.4 sind die Feldlinien um einen geraden stromführenden Lei­ter konzentrische Kreise. Bezeichnet man die Feldstärke entlang einer Feldlinie mit H, so konnte experimentell gezeigt werden, daß der Betrag H konstant ist und für jede Feld­linie bei einem geschlossenen Umlauf die magnetische UmJaufspannung (magnetische Randspannung) gleich der elektrischen Stromstärke 1 im Leiter ist. Die von der Feldlinie

40.3 Magnetische Feldgrößen 505

umschlossene Fläche A wird vom elektrischen Strom "durchflutet":

Magnetische Umlaufspannung

(40.4)

Durchfluten mehrere Ströme die betrachtete geschlossene Linie, überlagern sich deren ma­gnetische Felder zu einem resultierenden Feld, und man gelangt als Verallgemeinerung von (40.4) zum Durchflutungsgesetz. Die Summe aller elektrischen Stromstärken, die in die von der Feldlinie umschlossene Fläche A gelangen, wird als elektrische Durchflutung e (auch als magnetische Quellenspannung) bezeichnet (Bild 40.12):

s

Bild 40.12: Zur Definition der Größe DUIchflutung. Die von s umrandete Fläche A wird von vier Strömen durchstof3en. Die

Durchflutung ist e = I[ + h - /3 + 14

k=fl

e = L ii; . /).Si = L h k=[

Durchftutungs- (40.5) gesetz

Die magnetische Umlaufspannung ist gleich der elektrischen Durchftutung der von der betrachteten FeldJinie umschlossenen Fläche.

Wird kein Strom von der betrachteten Feldlinie umschlossen bzw. um chließt der Inte­grationsweg keinen Strom, ist die Durchflutung e = 0 und damit auch die magneti che Umlaufspannung:

f iI . d5 = 0 bzw. L Hi . /).5i = 0

Die Einführung der Größen magnetische Spannung und magnetische Umlauf pannung führt zu einer weiteren Analogie zum elektrischen Feld (s. (39.21», wenn da Durchflu­tungsgesetz wie folgt interpretiert wird:

Die magnetische Umlaufspannung längs einer Feldlinie ist gleich der Summe der magnetischen Spannungen der Teile dieser Feldlinie.

Mit dem Durchflutungsgesetz lassen sich einfache Feldberechnungen durchführen. Weil die Größen H . /).5 ein skalares Produkt der Vektoren Hund /).s dar teilen, werden für die Berechnungen stets die Komponenten der Feld tärke H in Richtung de Wege /).5 eingesetzt.

506 40 Magnetisches Feld

Wenden wir Gleichung (40.5) auf die lange Zylinderspule an und rechnen im lnnem nrit konstanter Feldstärke H, im Außenraum jedoch mit Ha ~ 0 (in Übereinstimmung mit dem Experiment, Bild 40.11), so wird eine von einer geschlossenen Feldlirue urnrandete Fläche N-mal (N ist die Windungszahl, s. Bild 40.13) vom elektrischen Strom mit der Stromstärke I durchflossen. Die Anteile der Umlaufsumme Hallsa im Außenraum können vernachlässigt werden, und man erhält in Übereinstimmung mit (40.1) H I = NI bzw. H = NI / l, wobei dies korrekt nur für die Spulenmitte gilt.

N d

Bi Id 40.13: Zur Anwendung des Durchftutungsge­setzes bei einer langen Zylinderspule

Bild 40.14: Zur Anwendung des Durchftu­tungsgesetzes auf eine Ringspule

Auf die Ringspule angewendet wird ebenfalls eine von einer Feldlinie umrandete Fläche A wie bei der Zylinderspule N -mal vom Strom I durchflossen (durchflutet). Setzt man nach Bild 40.14 r» d, kann man das Feld in der Spule als homogen ansehen. Die Länge der Feldlinien ist l = 2nr. Damit ergibt das Durchflutungsgesetz jetzt H . 2rrr = H l = NI und damit wiederum H = NI j(2nr) = NI j l (s. Gleichung (40.1)).

Schließlich erhält man auch mit dem Durchflutungsgesetz die Feldstärke H im Abstand r vom geraden stromführenden Leiter (Bild 40.5) aus H . 2nr = I:

~ H--2nr

Magnetische Feldstärke außerhalb eines geraden Stromleiters

40.3.3 Biot-Savartsches Gesetz

(40.6)

Das Durchflutungsgesetz kann nicht in allen Leiteranordnungen zur Feldberechnung ge­nutzt werden. Zur Berechnung beliebiger Leiteranordnungen dient das Gesetz von Biot­Savart. Nach diesem Gesetz erzeugt ein Wegelement ds eines beliebig geformten, von der elektrischen Stromstärke I durchflossenen Leiters in einem Punkt P außerhalb des Leiters im Abstand r die Teilfeldstärke dH (Bild 40.15) mit dem Betrag

lsinads dH = --;,--

4nr2 Gesetz von Biot-Savart (40.7)

In dieser Gleichung ist a der Winkel zwischen der Richtung des Linienelementes ds und dessen Verbindung r mit dem Punkt P. Der Vektor dH steht senkrecht auf der von ds und r aufgespannten Ebene.

534 40 Magnetisches Feld

ist nach systematischen Versuchen proportionaL zur magnetischen FLußdichte B, zur eLek­trischen Ladung Q und zur Geschwindigkeit v. Weitere zusätzliche Faktoren sind nicht vorhanden, so daß die LORENTZ-Kraft durch folgende Gleichung beschrieben wird:

Lorentz-Kraft für v-LB (40.37)

Man findet die e Gleichung auch bestätigt, wenn in der Feldgleichung E = vB (40.31) für die elektrische Feldstärke E = F j Q gesetzt wird.

Bilden die Vektoren der Geschwindigkeit ii und der magnetischen Flußdichte B den belie­bigen Winkel a, muß (40.37) als Vektorprodukt geschrieben werden:

Lorentz-Kraft (40.38)

Die Kraft F steht senkrecht auf der von der Geschwindigkeit v und der magnetischen Fluß­dichte iJ aufgespannten Fläche (Bild 40.50). Der Betrag der Kraft ist dann F = QvB sin a. Die LORENTz-Kraft ist maximal, wenn v und iJ senkrecht aufeinander stehen, die Ladung Q bewegt sich für a = 90° auf der schon erwähnten Kreisbahn. Die Kraft ist gleich null für a = 0, d. h., in Richtung der Feldlinien ist keine Kraft vorhanden. Für beliebige Winkel o < a < 90° bewegen sich die Ladungsträge! auf einer Schraubenbahn, deren Achse die Richtung der magnetischen Flußdichtelinien Bist.

Weil die Kr1ift F außer von der Ladung Q, deren Geschwindigkeit v und der magnetischen Flußdichte B von keinen anderen Größen a~hängig ist, wird (40.37) auch als Definitions­gleichung für die magnetische Flußdichte B verwendet, die bereits in 40.3.4 eingeführt wurde. Auch erhält die magnetische Flußdichte gewissermaßen durch B = F j (Qv) eine mechani che Deutung, und man findet die Einheit der Flußdichte T (Tesla) bestätigt:

[F] N N N . m A . V . sV· s Wb [B]---- = = - -----T

- [Q][v] - C·mjs A·m A·m2 A·m2 - m2 - m2 -

Das LORENTz-Kraft-Gesetz findet zahlreiche Anwendungen, z. B. in der Elektronik, in be­stimmten Massenspektrometern und bei Teilchenbeschleunigern (Zirkularbeschleunigern) in der Kernphysik. Die Kraft auf bewegte Ladungsträger bedingt auch den in 43.5 beschrie­benen Hall-Effekt.

40.6.2 Kraft auf einen geraden stromführenden Leiter

Aus der Existenz der Elektromotoren ist allgemein die Umwandlung elektrischer Energie in mechanische Energie bekannt. Die Wirkungsweise der Motoren kann aus der Kraft auf einen stromführenden Leiter im Magnetfeld erklärt werden. Diese Kraft kann man in dem Versuch nach Bild 40.51 zeigen: Fließt ein elektrischer Strom I in der angegebenen Rich­tung, wird der an der Schaukel befestigte Draht mit der Länge l im Magnetfeld senkrecht zur Flußdichte B aus dem Feld getrieben.

Das Ergebnis dieses Versuchs stellt in gewisser Weise die Umkehrung des im Bild 40.38 dargestellten Induktionsvorgangs dar. Dort rief eine Bewegung eines Drahtes im Magnet­feld einen Induktionsstrom hervor, hier entsteht durch den elektrischen Strom im Magnet­feld eine Kraft F. Die Kraftrichtung wird durch die Linke-Band-Regel (Bild 40.52) be­stimmt:

40 .6 Kraft und Energie im Magnetfeld

+

~ J8 I~

F

Bild 40.51 : Kraft auf einen Stromleiter im Magnetfeld

535

N

Bild 40.52: Linke-Hand-Regel

Durchsetzen die B-Linien die linke Handfläche und weisen die Finger der aus­gestreckten Hand in Richtung des elektrischen Stromes, gibt der Daumen die Bewegungsrichtung und damit die Richtung der Kraft an.

Wie bei den elektrischen Feldern in 39.4 addieren sich auch die magnetischen Feldgrö­Ben iI oder jj zweier Magnetfelder vektoriell zu einem resultierenden Feld (Bild 40.53). Im vorliegenden Fall überlagert sich das aus konzentrischen Kreisen bestehende Magnet­feld des geraden Leiters mit dem homogenen Feld zwischen den beiden Magnetpolen. Um ein richtiges Bild zu erhalten, muß der Abstand der Kreise umgekehrt proportional zum Abstand vom Leiter gewählt werden (Bild 40.54). Es entsteht eine resultierende magneti­sche Flußdichte Bres mit einer größeren Feldliniendichte auf der einen und einer kleineren auf der anderen Seite des Leiters. Die Kraft wirkt in Richtung der Feldlinienverdünnung (Schwächung des magnetischen Feldes).

Bild 40.53: Überlagerung von Magnetfeldern Bild 40.54: Resultierendes Feld zu Bild 40.51

Wie durch Ver uche nachgewiesen wurde, ist die Kraft F der magnetischen Flußdichte B , der elektri chen Stromstärke I und der im Feld befindlichen Leiterlänge I proportional. Die wird durch die Anwendung des LORENTz-Kraft-Gesetzes bestätigt. Die sich nach

636 46 Elektrische Leitung im Vakuum

EA = 100 V/crn ein. Die Länge des ablenkenden Feldes sei l = 100 rnm. Berechnen Sie unter Vernach­lässigung der relativistischen Massenzunahme die Ablenkung h im Feld sowie den Ablenkwinkel Cl!

Bei welcher Feldstärke EA wäre der Ablenkwinkel 30,00?

Aus (43.1 ) folgt v = 1, 88.107 mls. Mit den im Text genannten Werten für e und me und EA = U /s eEA/2 .

ist nach (46.3) die Ablenkung h = --2 = 24, 9 mm ~ 2, 5 cm und nach (46.4) der AblenkwInkel 2mev

( 2 ) EAl °

Cl = arctan eEAlI(mev) = arctan 2UB = 26, 6 .

me v2 tan Cl 2UB tan Cl . Bei 30,00 müßte EA = = = 11 , 5 kV Im = 115 V Icrn sem.

el l

46.3 Ablenkung von Elektronen im magnetischen Feld

Beim Eintritt von Elektronen mit der Geschwindigkeit v in ein Magnetfeld mit der magneti­schen Flußdichte B gilt das in 40.6.1 behandelte Lorentz-Kraft-Gesetz. Für die elektrische Ladung Q ist jetzt die Elementarladung -e zu setzen:

F = -ev x B Lorentz-Kraft auf ein bewegtes Elektron im Magnetfeld

Bild 46.2: Kreisbewegung eines freien Elektrons im Magnetfeld

(46.5)

Bilden die Geschwindigkeit v und die magnetische Flußdichte B einen rechten Winkel, erhält man für den Betrag der LORENTZ-Kraft analog (40.37)

Lorentz-Kraft auf ein Elektron für v ...L jj (46.6)

Wie aus Bild 46.2 ersichtlich ist, stehen die Geschwindigkeit V, die Flußdichte B und die LORENTZ-Kraft F senkrecht aufeinander. Bei der Bewegungsrichtung ist zu beachten, daß bei entgegengesetzter Flußrichtung zu Bild 40.49 infolge der negativen Ladung des Elek­trons die Geschwindigkeit v die gleiche Richtung hat (es muß hier die Rechte-Hand-Regel angewendet werden, da die Bewegungsrichtung der Elektronen der technischen Stromrich­tung entgegengesetzt ist).

Da die LORENTZ-Kraft die Radialkrajt Fr = me v2 / r der Kreisbewegung des Elektrons ist,

die das Elektron bei konstanter magnetischer Flußdichte beschreibt, ergibt sich der Radius der Kreisbahn aus ev B = me v2 / r zu

Radius der Kreisbahn eines bewegten Elektrons im homogenen Magnetfeld

(46.7)

46.4 Elektronenröhren 637

Auch andere elektri ch geladene Teilchen können durch Magnetfelder auf einer Kreisbahn gehalten werden (Zyklotron, Synchrotron, Speicherringe). So ist z. B. beim Zyklotron die U mlauffrequenz f geladener Teilchen bei Vernachlässigung der relativistischen Massen­zunahme von ihrer Geschwindigkeit v und dem Radius r unabhängig. Mit der Ladung Q der Teilchen folgt aus (46.7) v = Qr B/m, und mit v = wr = 2nfr ergibt sich f = QB/(2nm).

Für ein Proton mit m = 1, 67 . 10-27 kg ist dann bei einer magnetischen Flußdichte B == 2,2 T die Umlauffrequenz f = 33,6 MHz. Da sich bei großen Geschwindigkeiten die Massenänderung bemerkbar macht, also (46.7) jetzt r(v) = me(v)v/(eB) lautet, muß die Frequenz angepaßt werden. Derartige Teilchenbeschleuniger werden als Synchrotron be­zeichnet.

Bild 46.3: Prinzip eines Massenspektrometers. I Ionenquelle, EB Beschleunigungsfeld, B magnetische Fluß­dichte (senkrecht aus der Zeichenebene), M Mas enspektro­gramm, Teilchen gleicher Ladung und gleicher Geschwindig­keit werden bei größerer Masse weniger abgelenkt.

Die Ablenkung von elektrisch geladenen Teilchen in Feldern findet auch bei der Bestim­mung ihrer spezifischen Ladung Q/ m eine wichtige Anwendung. Bild 46.3 zeigt da Prin­zip eines Massenspektrometers, das nicht nur zur Q/ m-Bestimmung dient, ondern bei konstanter elektrischer Ladung zur Identifizierung verschiedener Isotope. Es wird außer­dem als empfindlichstes Gerät in der Spurenanalyse genutzt.

Wirken gleichzeitig ein elektrisches und ein magnetisches Feld auf ein bewegtes Elektron ein, gilt das vollständige LORENTZ-Kraft-Gesetz:

I F = -e(E + v x B) I Vollständiges Lorentz-Kraft-Gesetz (46.8)

Beispiele: I. Wie groß ist der Radius r der Kreisbahn eines Elektrons mit der kinetischen Energie Ek = 400 eV, das senkrecht zu den magnetischen Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes mit der magnetischen Flußdichte B = 10,0 mT gelangt?

Aus (43.1) und (46.7) folgt r = .,j2meEk/(eB) = 6,74 mm.

2. Ein zweifach po itiv geladenes Ion wird durch die Spannung UB = 1000 V beschleunigt und gelangt senkrecht zu den magnetischen Feldlinien eines homogenen Feldes mit der magnetischen Flußdichte B = 1,00 T. Dort wird es auf einer Kreisbahn mit dem Durchmesser d = 26,5 mm geführt. Wie groß ist die relative Atommasse Ar des Ions?

Nach (43.1) Ek = mv2 /2 = QUB und Q = 2e erhält man v = 2.jeUB/m. Ein etzen in (46.7) und Umstellen ergibt In = d2eB 2 /(4UB) = 2, 81 . 10-26 kg. Mit (51.3) ist die relative Atomma e

Ar = rn/u = 16,9 (Sauerstoffisotop J~ 0; 1 u = 1,66· 10-27 kg ist die atomare Ma seneinheit).

46.4 Elektronenröhren

Die Glühemission sowie die Bewegungsgesetze der Elektronen in elektri chen und magne­tischen Feldern finden in Vakuum-Elektronenröhren Anwendung. Die Bedeutung dieser

638 46 Elektrische Leitung im Vakuum

Röhren ist mit der Entwicklung der Halbleiter bis hin zur Mikroelektronik so zurückge­gangen, daß z. B. in einem Fernsehapparat nur noch eine einzige Elektronenröhre, nämlich die Bildröhre, vorhanden ist. Wegen der größeren Abmessungen, der geringeren Zuverläs­sigkeit und der benötigten wesentlich höheren Versorgungsspannung (abgesehen von der Heizung der Katode) gegenüber den Halbleiterbauelementen werden Röhren nur noch in Einzelfällen eingesetzt.

Bei der Diode bewegen sich die durch Glühemission herausgelösten Elektronen nur dann von der indirekt geheizten Katode zur Anode, wenn an dieser der +-Pol der Spannungs­quelle ist. Sie werden im elektrischen Feld beschleunigt. Bei umgekehrter Polung ist die Röhre gesperrt. An der Stromstärke-Spannungs-Kennlinie (Bilder 46.4 und 46.5) erkennt man, daß bei kleiner Anodenspannung Va die um die Katode vorhandene negative Raumla­dungswolke aus Elektronen nicht vollständig von der Anode "abgesaugt" wird. Die Raum­ladungs wolke bildet mit der Katode ein elektrisches Gegenfeld. Ab einer gewissen Ano­denspannung Vas gelangen alle aus der Katode austretenden Elektronen zur Anode. Die Sättigungsstromstärke las ist erreicht.

+

Bild 46.4: Schaltung der Diode zur Aufnahme der Kennlinie

Bild 46.5: Stromstärke-Spannungs­Kennlinie einer Diode

Die Diode hat also ähnliche Eigenschaften wie die Halbleiterdiode und konnte daher bis auf Einzelfälle durch diese ersetzt werden.

In den Mehrelektrodenröhren dienen weitere Elektroden zwischen Katode und Anode zur Steuerung der Anodenstromstärke.

+

+~.----.--~----~--~--o

Bild 46.6: Schaltung einer Triode zur Aufnahme der Kennlinie

Bild 46.7: Kennlinienfelder einer Triode: a) Va als Parameter, b) Vg als Parameter

Bei der Triode kann durch das gegenüber der Katode K negative Steuergitter G (s. Bilder