HELIOSEISMOLOGIE & ASTEROSEISMOLOGIE

Markus Roth & Svetlana BerdyuginaFakultät für Mathematik und PhysikAlbert-Ludwigs-Universität Freiburg

Kiepenheuer-Institut für Sonnenphysik

IV. Oszillationsgleichungen

Überblick stellare Oszillationen

Eigenschaften von Sonnen(-ähnlichen) Pulsationen

• Kleine Amplitude; können deshalb als lineare Störungen des Gleichgewichts angesehen werden• Perioden sind viel kürzer als thermische Zeitskala in den meisten Sternen; deshalb Annahme adiabatischer Oszillationen gerechtfertigt.

• Modi sind wahrscheinlich hauptsächlich durch den konvektiven Fluss und turbulente Druckstörungen gedämpft• Modi werden stochastisch durch die Konvektion angetrieben• Amplituden werden durch ein Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr und Dämpfung bestimmt. Deshalb gibt es Anregung von beobachtbaren Oszillationen über einen breiten Frequenzbereich

Nicht-sonnenähnliche Oszillationen:• Intrinsisch getrieben, der Stern funktioniert wie eine Wärmemaschine (in der kritischen Schicht)• Begrenzung der Amplitude unklar, führt zur irregulären Auswahl von beobachtbaren Modi

Pulsierende Sterne im HR Diagramm

Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik

Energie Gleichung, adiabatische Näherung

Relative Größen:

Kleine Störungen um das Gleichgewicht

Linearisierte GrundgleichungenKontinuitätsgleichung

Bewegungsgleichung

Adiabatizität

Poisson Gleichung

Schallwellen im homogenen Medium

Innere Schwerewellen

In Wirklichkeit hat man erhöhte Trägheit wegen horizontaler Bewegungen

Stern zum „Leben“ erwecken

Bewegung eines Gaspakets mit Masse m im dreidimensionalen Stern:

Statischer Stern – eindimensional:

Kontinuitätsgleichung (keine Massenquellen und -senken)

Bewegungsgleichung (3D)

Masse m ist keine geeignete Koordinate mehr, um dreidimensionale Bewegungen im Stern zu

beschreiben

Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik

Störungen dieses zeitabhängigen Modells – durch kleine Bewegungen

Alle Größen können in der Form

© (r ,t) = ©0(r) + ©‘(r, t) , wenn ©‘ << ©0

geschrieben werden.

gestörte Größe = Gleichgewichtsmodell + kleine zeitabhängige Störung

) Einsetzen in die Grundgleichungen der Hydrodynamik

) Beibehalten von Termen bis erster Ordnung in der Störung

) Abziehen der Gleichgewichtsgrößen

Linearisierte GrundgleichungenKontinuitätsgleichung

Bewegungsgleichung

Adiabatizität

Poisson Gleichung

Separation von (, )Separation der Auslenkung in Radialteil und Horizontalteil (radiale Richtung hat besonderen Status):

Bewegungsgleichung separiert dann auch:

Kontinuitätsgleichung:

Radiale Komponente

Horizontale Komponente

Separation von (, )Divergenz anwenden auf horizontalen Bewegungsgleichung: Divergenz von Gleichgewichtsgrößen verschwindet, da keine horizontalen Anteile

Einsetzen der Kontinuitätsgleichung:

Poisson Gleichung ausgeschrieben für Radial- und Horizontalteil:

Die letzten drei Gleichungen nochmals

Ableitung nach den Winkelvariablen µ u. Á nur in Verbindung mit! weitere Vereinfachung möglich

Bis jetzt: Gleichungen sind ein System partielle Differentialgleichungen in erster Ordnungin den vier Variablen

Separation von (, )

Weiterer Separationsansatz mit Funktion f(, ) in der Art, dass f(, ) Eigenfunktion des horizontalen Laplace-Operators ist:

Erfüllt mit

Ziel, Abhängigkeit von den Winkelkoordinaten weiter vereinfachen.

Koeffizienten sind unabhängig von Á, d.h. weitere Separation f(µ,Á ) = f1(µ) f2(Á)

Separation von (, )Ergebnis: Die r-abhängigen Variablen in dem Differentialgleichungssystem können geschrieben werden als:

Den gemeinsamen Faktor Ylm exp (-i!t) kürzt man aus den Gleichungen heraus

und erhält ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen:

Energiegleichung:

Separation von (, )Separation der skalaren Größen, z.B:

Auslenkungsvektor:

Effekt des horizontalen Laplace Operators auf eine beliebige Störung ’:

Kugelflächenfunktionen

Nicht radiale Modi: Quadrupol Modus

l=2, m=0 l=2, m=2

Rich Townsend

Schwingungen in Sternen

Schwingungen in Sternen

Separierte GleichungenSeparation der Zeit gemäß exp(- it); adiabatische Oszillationen:

Lamb Frequenz, Schallgeschw., Brunt-Väisälä-Frequenz

System gewöhnlicher Differentialgleichungen vierter Ordnung für die vier Variablen:

RandbedingungenIm Zentrum singulärer Punkt (Taylor-Entwicklung in r)Für l ≠ 0 folgt: »r » rl-1, p’, ©’ » rl; für l=0: »r» r

An der Oberfläche: r=R1. Forderung der Kontinuität der Lösung und ihrer Ableitung; außerhalb des Sterns verschwindet die Dichtestörung, Poisson Gl. analytisch lösbar. Im Unendlichen :

Die Diff.Gl.en und Randbedingungen bestimmen die Frequenzen (Eigenwert) wnl

2. Lagrangesche Druckstörung verschwindet:

Frequenzabhängigkeit vom inneren Aufbau der Sonne

Frequenzen hängen von dynamischen Größen ab:

Jedoch können aus dem hydrostatischen Gleichgewicht und der Poisson-Gleichung p und g aus ½ bestimmt werden.

Deshalb sind adiabatische Oszillationen vollständig charakterisiert durch

oder äquivalent

Frequenzen von Model S

n = w / 2 p

Beobachtete Modi der Sonne

Experimenteller Beweis

Franz-Ludwig Deubner, 1974

Genäherte Gleichungen

Cowling Näherung

Hohe radiale Ordnung ! Störungen variieren schneller mit r als Gleichgewichtsgrößen) Ableitungen von Gleichgewichtsgrößen vernachlässigbar

Kombination der zwei verbleibenden Gleichungen:

Moden-Einfang (“Mode Trapping”)

Eigenfunktionen oszillieren als Funktion von r, falls

Lokales Verhalten von »r hängt vom Vorzeichen von K(r) ab: K positiv: lokales oszillieren K negativ: exponentielles Verhalten

Asymptotische FrequenzenDispersionsrelation für akustische Wellen

Deshalb

Wellenpfade

Ort des Umkehrpunkts

Einfluß auf Eigenfunktionen

rt

rt

Seismologie der SonneUnterschiedliche Wellen laufen durch unterschiedliche Bereich in der Sonne→ Information aus verschiedenen Tiefen

Voraussetzungen:

• Sehr genaue Messung der Frequenzen, um die Wellen trennen zu können

→ lange u. ununterbrochene Messungen

Frequenzauflösung:

Seismologie der Sonne damit möglich

„Helioseismologie“

Aus den Tönen, auf den Aufbau des Instruments schließen

Asymptotische FrequenzenDispersion Beziehung für akustische Wellen

Deshalb

Bedingung für stehene Wellen mit oberflächengeneriertem Phasensprung a

Folgerung: Duvall’sches Gesetz (Duvall 1982; Nature 300, 242)

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

F(w)

Innerer Aufbau der Sonne

Dichte

c2 [m

2 /s2 ]

[g

/cm

3 ]

(Kosovichev, 1996) (Vorontsov, 2002)

Schallgeschwindigkeit

Differenz zwischen theoretischem Modell und Helioseismologie: ca. 2%

Inversion der Integralgleichung für die Schallgeschwindigkeit (ähnlich für die Dichte):

Zentraltemperatur der Sonne

Die Zentraltemperatur der Sonne beträgt:

15,7 Millionen Grad Celsius

Unsicherheit: 2%

(Vorontsov, 2002)