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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung

Algorithmus von Micciancio und Warinschi

Hermite- und Smith-Normalform

Robert Meirich

11. Juli 2008

Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform

Einleitung

Untersuchung von Gittern

Losen diophantischer Gleichungen

Inhaltsverzeichnis

1 Theorie zur Hermite- und Smith-NormalformDefinition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform

2 praktische Berechnung

3 Algorithmus von Micciancio und WarinschiSchema des AlgorithmusAddRowAddColumn

Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform

Definition der Hermite Normalform

Definition (Hermite Normalform)

Eine Matrix mit vollem Zeilenrang hat Hermite Normalform, wennsie die Form [

hat, wobei gilt

B ist nicht singulare, nicht negative, untere Dreiecksmatrix,

jede Zeile von B hat eindeutiges maximales Element auf derHauptdiagonalen.

Hermite Normalform - Beispiele

12 0 0 01 4 0 04 1 19 03 0 1 5

1 0 0 00 2 0 00 0 1 0

123 32 115 323

Existenz der Hermite Normalform - Satz

Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang kann mit elementarenSpaltenoperationen in ihre Hermite Normalform transformiertwerden.

AU−−→ HNF (A)

Beweis.

Algorithmus zum Berechnen von HNF (A).

Schritt 1: Transformiere A in eine untere Dreiecksmatrix.

Schritt 2: Anpassen der Koeffizienten unterhalb derHauptdiagonalen.

AU−−→ HNF (A)

Beweis.

AU−−→ HNF (A)

Beweis.

AU−−→ HNF (A)

Beweis.

AU−−→ HNF (A)

Beweis.

Existenz der Hermite Normalform - Beweis Schritt 1

Transformiere A in untere Dreiecksmatrix mit positiverHauptdiagonale

b1 · · · bn

bi ≥ 0 ∀i = 1, . . . , n

b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn∑bi minimal

dann gilt

b1 > 0 (echt großer, sonst ist die Matrix singular)

b2 = b2 = . . . = bn = 0, sonst ist die Summe nicht minimal

Damit ist die aktuelle Zeile wie gewunscht reduziert.

Existenz der Hermite Normalform - Beweis Schritt 2

Anpassen der Koeffizienten unterhalb der Hauptdiagonalen

for spalten i = 2, . . . , n dofor spalten j = 1, . . . , i − 1 do

A·j ← A·j + zA·i , so dass 0 ≤ aij < aii

Existenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = b

Korollar

Sei A ∈ Qm×n eine rationale Matrix und b ∈ Qm ein rationalerSpaltenvektor. Das System Ax = b hat eine ganzzahlige Losung xgenau dann, wenn gilt: yTb ist ganzzahlig fur jeden rationalenVektor y , fur den yTA ganzzahlig ist.

∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yTA ∈ Zn : yTb ∈ Z

Beweis von Korollar

Korollar

∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z

Beweis

(⇒) Ax = b hat ganzzahlige Losung x . Sei y rationalerZeilenvektor, so dass yA ganzzahlig ist.

zu zeigen: yb ist ganzzahlig.

Ax = b ⇒ yAx = yb,wegen yA und x ganzzahlig, ist (yA)x und damit auch ybganzzahlig.

Beweis von Korollar

Korollar

Beweis

Beweis von Korollar

Korollar

Beweis

Beweis von Korollar

Korollar

Beweis

Ax = b ⇒ yAx = yb,

wegen yA und x ganzzahlig, ist (yA)x und damit auch ybganzzahlig.

Beweis von Korollar

Korollar

Beweis

(⇐) Es gilt: ∀y ∈ Qm, yTA ∈ Zn : yTb ∈ Z. zu zeigen :∃x ∈ Zn : Ax = b

∃x ∈ Qn : Ax = b ⇒ Zeilen von A sind linear unabhangig

Aquivalenz ist invariant unter elementaren Spaltenoperationen. Annahme: A = HNF (A).

B−1[B 0] = [I 0] ist ganzzahlig, nach Voraussetzung ist B−1b ganzzahlig (Zeilenweise gesehen)

es gilt

(B−1b

also ist x =

(B−1b

)die gesuchte ganzzahlige Losung.

Beweis

es gilt

(B−1b

also ist x =

(B−1b

Beweis

es gilt

(B−1b

also ist x =

(B−1b

Beweis

es gilt

(B−1b

also ist x =

(B−1b

Definition : Gitter

Die Spaltenvektoren a1, . . . , an ∈ Qm einer Matrix A generiereneine Gruppe

Λ(A) = {λ1a1 + . . .+ λnan | λ1, . . . , λn ∈ Z}.

Die Gruppe heißt Gitter, wenn sie von linear unabhangigenVektoren erzeugt werden kann.

Wichtig: Wenn Matrix B aus Matrix A durch elementareSpaltenoperationen hervorgeht, erzeugen ihre Spalten die selbeGruppe bzw. das selbe Gitter.

AU−→ B ⇒ Λ(A) = Λ(B)

Definition : Gitter

Λ(A) = {λ1a1 + . . .+ λnan | λ1, . . . , λn ∈ Z}.

AU−→ B ⇒ Λ(A) = Λ(B)

Definition : Gitter

Λ(A) = {λ1a1 + . . .+ λnan | λ1, . . . , λn ∈ Z}.

AU−→ B ⇒ Λ(A) = Λ(B)

Korollar - Gitter

Korollar

Wenn a1, . . . , an ∈ Qm rationale Vektoren sind, dann ist die vonihnen generierte Gruppe ein Gitter, wird also von linearunabhangigen Vektoren erzeugt.

Beweis.

Annahme: Λ(a1, . . . , an) volldimensional, sonst lineareTransformation A hat vollen Zeilenrang

sei [B 0] = HNF (A). Es ist Λ(B) = Λ(A) und die Spalten vonB sind linear unabhangig.

Korollar - Gitter

Korollar

Beweis.

Korollar - Gitter

Korollar

Beweis.

System von Fundamentallosungen

Fur jedes rationale System Ax = b mit mindestens einerganzzahligen Losung existieren ganzzahlige Vektoren x0, x1, . . . , xt ,so daß

{x | Ax = b, x ganzzahlig } = {x0+λ1x1+. . .+λtxt | λ1, . . . , λt ∈ Z},

wobei x1, . . . , xt linear unabhangig sind und

t = ( Anzahl der Spalten von A)− rang(A)

Eindeutigkeit der HNF

Seien A und A′ rationale Matrizen mit vollem Zeilenrang und mitHermit Normalformen [B 0] bzw. [B ′ 0]. Dann gilt. Die Spaltenvon A erzeugen das gleiche Gitter wie die Spalten von A′ genaudann, wenn B = B ′.

Λ(A) = Λ(A′) ⇐⇒ B = B ′

Korollar

Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang hat eine eindeutigbestimmte Hermit Normalform.

Eindeutigkeit der HNF

Seien A und A′ rationale Matrizen mit vollem Zeilenrang und mitHermit Normalformen [B 0] bzw. [B ′ 0]. Dann gilt. Die Spaltenvon A erzeugen das gleiche Gitter wie die Spalten von A′ genaudann, wenn B = B ′.

Λ(A) = Λ(A′) ⇐⇒ B = B ′

Korollar

Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang hat eine eindeutigbestimmte Hermit Normalform.

Eindeutigkeit der HNF - Beweis

(⇐) Sei B = B ′. Zu zeigen: Λ(A) = Λ(A′)

AU−→ HNF (A) = [B 0]⇒ Λ(A) = Λ(B)

A′U−→ HNF (A′) = [B ′ 0]⇒ Λ(A′) = Λ(B ′)

⇒ Λ(A) = Λ(A′).

AU−→ HNF (A) = [B 0]⇒ Λ(A) = Λ(B)

A′U−→ HNF (A′) = [B ′ 0]⇒ Λ(A′) = Λ(B ′)

⇒ Λ(A) = Λ(A′).

AU−→ HNF (A) = [B 0]⇒ Λ(A) = Λ(B)

A′U−→ HNF (A′) = [B ′ 0]⇒ Λ(A′) = Λ(B ′)

⇒ Λ(A) = Λ(A′).

(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )

Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index

wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij

o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten

bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)

also bj − b′j ∈ Λ(B).

insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.

Nun gilt

B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)

der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen

⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii

Das ist ein Widerspruch, denn

Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.

Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.

Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

o.B.d.A sei βii ≥ β′ii

Betrachte die entsprechenden Spalten

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Vorbemerkungen

Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)

Nun gilt

Smith Normalform

Eine rationale Matrix liegt in Smith Normalform vor, wenn sie dieGestalt [

D 00 0

D = diag(δ1, . . . , δk),

δ1, . . . , δk positiv rational, so dass δ1|δ2| · · · |δk .

Jede rationale Matrix kann durch elementare Zeilen- undSpaltenoperationen in Smith Normalform gebracht werden.

praktische Berechnung

Beispiel27 21 20 0 1110 25 22 11 4

3 7 28 21 213 19 7 16 20

31 16 29 19 16

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

3095346 2808261 2427406 2477867 4860490

großter Koeffizient wahrend der Berechnung: 3890819406

Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn

Micciancio, Warinschi:”A linear space algorithm for computing the

Hermite Normal Form“ (2001)

Gegeben eine nichtsingulare, ganzzahlige n × n-Matrix, derenKoeffizienten durch M beschrankt sind, erfordert der Algorithmus

Speicheraufwand O(n2 log M)

Rechenaufwand O(n4 log2 M)

Zerlege A

Berechne Hermite Normalform HB von B

AddRow: Berechne xT , so dass

])= Λ

])AddColumn: Berechne

])= HA

Zerlege A

]Berechne Hermite Normalform HB von B

])= Λ

])= HA

Zerlege A

])= Λ

AddColumn: Berechne

])= HA

Zerlege A

])= Λ

])= HA

AddRow

Finde x t , so dass

])= Λ

HB = BU x t = atU

Rechnung:

Berechne Losung y von Bty = a und anschließend x = Bt y

AddRow

Finde x t , so dass

])= Λ

HB = BU x t = atU

Rechnung:

AddRow

Finde x t , so dass

])= Λ

HB = BU x t = atU

Rechnung:

AddRow - Speicherkomplexitat

Suche Abschatzung fur x t = atHBB−1

B ∈ Zn×n mit |(B)ij | < M ⇒ |(B−1)ij | < det(B) = O(Mn)

h1, . . . , hn die Diagonalelemente von HB

|(B−1HB)ij | ≤ O(n∑

Dhi ) ≤ O(D2)

Damit gilt

|xi | ≤ V = O(nMD2) = O(nM2n+1),

und bit-Große von x ist O(n2 log M).

AddRow - Zeitkomplexitat

Berechne Bty = a und x = Bt y modulo geeigneter Primzahlenund rekonstruiere das Ergebnis nach der Methode des ChinesischenRestsatzes

O(log V ) Primzahlen zur Berechnung von x notwendig

damit großte Primzahl: log V log log V

jedes Gleichungssystem mod pi kann mit Gauß inO(n3 log2 pi ) gelost werden

AddRow benotigtO(log V )O(n3 log2(log V log log V )) = O(n4polylog(n,M))Rechenschritte.

AddColumn: Algorithmus in Pseudocode

setze H = [A|c], wobei c = [0, . . . , det[A|b]]T ;mn ← hn,n ;for i = n − 1 to 1 do mi = mi+1 · hi,i ;for j = 1 to n do

finde k, l , g , so dass khj,j + lbj = g = gcd(hj,j , bj) ;for i = j to n do

hi,j = khi,j + lbi ( mod mi ) ;bi = bihj,j/g − hi,jbj/g ( mod mi ) ;

endfor k = j + 1 to n do

q = hk,j ÷ hk,k ;for l = k to n do

hl,j = hl,j − qhl,k ( mod ml) ;end

AddColumn - Korrektheit

mk ist die Determinante der Submatrix, die denNonzero-Zeilen der letzten n − k + 1 Spalten von Hj

entspricht, also gehort (0, ..., 0,mk , 0, ..., 0)T zum Gitter, dasvon den letzten n − k + 1 Spalten von Hj generiert wird.den k-ten Eintrag eines Vektor modulo mk zu Reduzierenentspricht der Subtraktion eines entsprechenden Vielfachender letzten n − k + 1 Spalten von Hj

die Spaltenoperationen in Schritt (4,5,6,7) entsprechen derlinearen Transformation [

k −bj/gl hj ,j/g

]Determinante dieser Matrix ist 1 wegen der Definition vonk, l , g , es handelt sich also um eine unimodulare Matrix, diedamit also elementaren Spaltenoperationen entspricht.Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform

AddColumn - Speicherkomplexitat

Große der Inputmatrix A ist O(n2 log M) (damit auch dieGroße von H)

for-Schleife (3) modifiziert j-te Spalte von H und den Vektorb. Eintrage sind durch mi beschrankt, Speicher fur beideVektoren ist

O(n∑

log mi ) = O(n log mn),

wegen m1 = det(H) ist das O(n2 log M)

wegen der Dreiecksreduktion in Zeile 8-11 benotigt [H|b]O(n2 log M) Speicher am Beginn jeder Iteration

alle Berechnungen in situ, Platzbedarf ist also O(n2 log M).

AddColumn - Zeitkomplexitat

Hauptberechnung in Zeile 8− 11. Dreiecksreduktion benotigtO(n log2 D) = O(Mn) (da D = det(A))

der for-Loop in (6) benotigt O(n2 log2 M)

⇒ Gesamt: n(O(n log2 Mn) +O(n2 log2 M) = O(n4 log2 M)

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