Herstellung und Charakterisierung von supraleitenden ... · In parallel, persistent current Qubits...

TECHNISCHE

UNIVERSITAT

MUNCHEN

WALTHER - MEISSNER -

INSTITUT FUR TIEF -

TEMPERATURFORSCHUNG

BAYERISCHE

AKADEMIE DER

WISSENSCHAFTEN

Herstellung und Charakterisierung

von supraleitenden

Phasen-Qubits

Diplomarbeit

von

Heribert Knoglinger

Betreuer: Professor Dr. Rudolf Gross

Munchen, den 05. August 2004

http://www.tum.de/

http://www.wmi.badw.de/

http://www.badw.de/

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Abstract

Superconducting Qubits are very promising candidates for the implementation as

fundamental units of information storage in a future quantum computer. This work

describes the production of a special kind of superconducting Qubit the so called

persistent current Qubit, which consists of a superconducting ring interrupted by

three Josephson tunnel junctions.

The behaviour of this Qubit is determined by the ratio of the Josephson coupling

energy and the Coulomb energy, which are directly related to the thickness of the

oxide-tunnel barrier. Therefore several experiments with Josephson tunnel junctions

have been performed to achieve sufficient control of the oxidation process. The results

are used in a theoretical model to get a value for the respective oxide thickness.

Testing the assumptions of this theoretical approach against experimental data from

literature showed a very good agreement.

In parallel, persistent current Qubits as well as intrinsically phase-biased dc SQUIDs

were produced to demonstrate the design stability of the production process.

3

Danksagung

Der folgende Abschnitt ist den Menschen gewidmet, die mich bei der Erstellung der

Diplomarbeit in vielfaltiger Weise unterstutzt haben und denen ich dafur recht herz-

lich danken mochte.

Ich mochte Prof. Dr. R. Gross dafur danken, dass er mir das Thema dieser Diplomar-

beit zur weitgehend selbstandigen Bearbeitung uberlassen und mir mit dieser Aufga-

benstellung den Zugang zu einem in vielerlei Hinsicht außerst interessanten Themen-

gebiet eroffnet hat.

Die umfassende Einfuhrung in die Elektronenstrahllithographie und die Dunnfilm-

technologie die mir durch den Doktoranden Jurgen Schuler zuteil wurde, hat mich

erst in die Lage versetzt, die mir ubertragene Aufgabe der Probenherstellung zu er-

fullen. Im weiteren Verlauf der Arbeit stand er mir zu jeder Zeit mit Rat und Tat zur

Seite, wenn es galt Probleme mit dem Rasterelektronenmikroskop zu losen.

Um reproduzierbare Ergebnisse trotz sehr sensibler Herstellungsschritte zu erzielen,

sind an allen Produktionsanlagen sowie auch im Reinraum nahzu konstante Verhalt-

nisse zu gewahrleisten. Dafur, fur die Konstruktionszeichnungen des Probenstabes

und fur ein extrem unkompliziertes”Miteinander“, dem der Begriff Zusammenarbeit

in keinster Weise gerecht wird, mochte ich mich bei dem Ingenieur Thomas Brennin-

ger bedanken.

Die Konzeption und Konstruktion des Probenstabes ware ohne den Ingenieur Wolf-

gang Hehn und Dr. Christian Probst, die mich durch ihre immens wertvollen Beitrage

vor vielen technologischen Sackgassen bewahrt haben, sicherlich nicht so erfolgreich

gewesen. Ferner hat mich Wolfgang Hehn beim Zusammenbau des Probenstabes mass-

geblich unterstutzt und es mir durch seine Einfuhrung in die Kryotechnik ermoglicht,

die Probencharakterisierung eigenstandig durchzufuhren.

Nicht unerwahnt sollen auch die Arbeiten der mit dem Auslese-Messaufbau der Qubits

beschaftigten Doktoranden Matteo Mariantoni und Chiara Coppi bleiben. Die sehr

5

gute Zusammenarbeit mit dem Diplomanden Georg Wild erleichterte vor allem die

Messungen an den Proben, da ich bei etwaigen Problemen immer auf seine Hilfe zah-

len konnte.

Obwohl ich in diesem Institut fast ausnahmslos auf offene Turen gestoßen bin, habe

ich keine andere so oft beansprucht wie die von Dr. Achim Marx1. Er stand bei Fragen

und Entscheidungen jederzeit beratend zur Seite und lies dabei trotzdem genugend

Freiraum fur die Entwicklung und Umsetzung eigener Ideen. Seine uneingeschrankte

Unterstutzung in allen Phasen dieser Diplomarbeit stellte einen sehr wertvollen Bei-

trag dar.

Gabrielle Gorblich, Robert Muller und die Mitarbeiter unserer hauseigenen Werkstatt

haben durch ihr prazises Arbeiten bei der Produktion der Einzelteile des Probensta-

bes entscheidend zu dem reibungslosen Ablauf meiner Experimente beigetragen.

Abschliessend gilt mein besonderer Dank meinen Eltern, die mir dieses Studium er-

moglicht und mich immer unterstutzt haben.

1fur Andreas Erb: ”Ich weiss Andreas, du sitzt auch in diesem Buro“

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 13

2 Josephson-Tunnelkontakte 17

2.1 Das makroskopische Quantenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Die Josephson-Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Das RCSJ Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Das RCSJ Modell und seine Komponenten . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Josephson-Tunnelkontakt im RCSJ Modell . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Uberdampfte und unterdampfte Josephson-Tunnelkontakte . . . 26

2.4 Gesamtenergie eines unterdampften Josephson-Tunnelkontakts . . . . . 29

2.5 Quantenmechanische Betrachtung der Gesamtenergie . . . . . . . . . . 30

3 dc SQUIDs 33

3.1 Das dc SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Das phasenvorgespannte dc SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Supraleitende Quantenbits 45

4.1 Das Zweiniveausystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Supraleitende Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Vom rf SQUID zum pc Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.1 Das rf SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.2 Das pc Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Experimentelle Resultate mit pc Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Probenherstellung und Messaufbau 69

5.1 Probenherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 REM Aufnahmen hergestellter Qubits und dc SQUIDs . . . . . . . . . 73

5.3 Tieftemperatur Messaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.1 3He-gekuhlter Einsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7

8 Inhaltsverzeichnis

5.3.2 Probenstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4 Elektronischer Messaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Experimentelle Ergebnisse 83

6.1 Messungen an Tunnelkontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Berechnung der Barrierendicke anhand der Messdaten . . . . . . . . . . 88

6.3 Messungen an seriellen Josephson-Tunnelkontakten . . . . . . . . . . . 91

7 Resumee und Ausblick 95

Literaturverzeichnis 101

A Die wichtigsten Parameter der Probenherstellung 103

Abbildungsverzeichnis

2.1 Strom-Spannungs-Charakteristik eines Al-Al2O3-Pb Josephson-Tunnel-

kontaktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 REM Aufnahme eines Al-Al2O3-Al Josephson-Tunnelkontakts . . . . . 21

2.3 Schema eines SIS-Tunnelkontakts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Ersatzschaltbild eines Josephson-Tunnelkontakts im RCSJ Modell und

Waschbrettpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Strom-Spannungs-Charakteristik eines unter- und uberdampften Josephson-

Tunnelkontakts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Schema und Strom-Fluss-Charakteristik eines dc SQUIDs . . . . . . . . 34

3.2 Integrationsweg fur die Phasenanderung im dc SQUID . . . . . . . . . 35

3.3 Schema eines Rings fur die Phasenvorspannung und eines π/2 dc SQUIDs 40

3.4 Energiezustande des Rings fur die Phasenvorspannung . . . . . . . . . 42

3.5 Gemessene und berechnete Strom-Fluss-Charakteristik eines phasen-

vorgespannten dc SQUIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Bloch-Sphare als Zweiniveausystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Energie eines Zweiniveausystems mit endlicher Kopplung . . . . . . . . 48

4.3 Allgemeines Schema eines supraleitenden Qubits und Schema im Grenz-

fall eines Phasen-Qubits und Ladungsqubits . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Potentielle Energie eines rf SQUIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5 REM Aufnahme und Schema eines pc Qubits . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6 Potentialle Energie eines pc Qubits im Phasenraum . . . . . . . . . . . 59

4.7 Energiebarriere fur intrazellulares Tunneln der Phase . . . . . . . . . . 60

4.8 Energiebarriere fur interzellulares Tunneln der Phase . . . . . . . . . . 61

4.9 Energie der ersten 5 Energieniveaus des pc Qubits . . . . . . . . . . . . 63

4.10 Zwei in Delft realisierte Qubitvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.11 Energieniveau Spektroskopie an einem pc Qubit . . . . . . . . . . . . . 66

9

10 Abbildungsverzeichnis

4.12 Ubergange und Resonanzfrequenzen der Ubergange in einem pc Qubit . 67

4.13 Rabi-Frequenzen gegen Mikrowellenamplitude und Ramsey-Interferenz-

experiment an einem pc Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Schema der Probenherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Photo des Probenhalters der EVAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 REM Aufnahme der Zuleitungsstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4 REM Aufnahmen der Qubit Designvariante 1 . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 REM Aufnahmen der Qubit Designvariante 2 . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 REM Aufnahme eines π/2 dc SQUIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.7 Photo des 4He Einsatzes ohne Schleuse und Probenstab . . . . . . . . 76

5.8 Schema des 3He-gekuhlten Messaufbaus mit Einsatz und Probenstab . 77

5.9 Photos des Probenstabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.10 Photos des Probenhalters mit einer Probe . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.11 Schema des elektronischen Messaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1 Strom-Spannungs-Charakteristik eines Josephson-Tunnelkontakts 1 . . 85

6.2 Strom-Spannungs-Charakteristik eines Josephson-Tunnelkontakts 2 . . 85

6.3 Strom-Spannungs-Charakteristik eines Tunnelkontakts 3 . . . . . . . . 87

6.4 3D Bild eines Tunnelkontakts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5 Tunnelwiderstand Rn in Abhangigkeit der Oxiddicke d . . . . . . . . . . 88

6.6 EJ0/EC fur verschiedene Tunnelkontaktflachen in Abhangigkeit von der

Oxiddicke d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.7 REM Aufnahme einer Serienschaltung aus Josephson-Tunnelkontakten 91

6.8 Strom-Spannungs-Charakteristik einer Serienschaltung aus Josephson-

Tunnelkontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Tabellenverzeichnis

6.1 Messergebnisse von Tunnelkontakten mit kleineren L-Werten . . . . . . 86

6.2 Berechnete Oxiddicke d fur die verschiedenen Tunnelkontakte . . . . . 89

6.3 Berechnetes EJ0/EC der Josephson-Tunnelkontakte . . . . . . . . . . . . 89

6.4 Ic, ∆V und IcRn-Produkte der Josephson-Tunnelkontakte der Serien-

schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

11

Kapitel 1

Einleitung

In den 80iger Jahren entwickelte R. Feynman [1] die Idee, quantenmechanische Vor-

gange in quantenmechanischen Systemen zu simulieren, was einen der ersten Schrit-

te zu einem Quantencomputer darstellte. Diese Uberlegungen wurden 1985 von D.

Deutsch [2] durch das Vorstellen von Quantenschaltkreisen und einem universellen

Satz an quantenmechanischen Gattern essentiell weiterentwickelt; er vollzog dabei den

entscheidenden Schritt von der Boolschen Algebra, auf der die klassische elektroni-

sche Datenverarbeitung basiert, hin zu nicht-Boolschen Operatoren. Die Algorithmen

von P. Shor [3] und L. K. Grover [4], die zum ersten Mal die immense Leistungs-

fahigkeit eines potentiellen Quantencomputers andeuteten, haben dem bestehenden

wissenschaftlichen Interesse an diesen Maschinen eine wirtschaftliche Relevanz gege-

ben.

Ein mit dem Shor-Alogrithmus operierender Quantencomputer kann die Periode einer

bestimmten Funktion exponentiell schneller finden, als jede andere klassische Maschi-

ne. Kenntnisse aus der Zahlentheorie ermoglichen dann die Zerlegung einer Zahl in ihre

Primfaktoren. Im Gegensatz zu herkommlichen Computern, bei denen die Anzahl der

dafur notwendigen Rechenschritte exponentiell mit der Lange der zu zerlegenden Zahl

wachst, ist die Anzahl der benotigten Rechenschritte in diesem Algorithmus nur der

dritten Potenz der Lange der zu zerlegenden Zahl proportional [5]. Die Zerlegung einer

500-stelligen Zahl, die ein Produkt aus nur zwei Primzahlen ist, ist mit einem klassi-

schen Computer somit nicht in einer vernunftigen Zeit moglich - ein Quantencomputer

konnte dieses Problem sehr viel schneller losen. Des Weiteren ware ein Quantencom-

puter, der eine aus N Eintragen bestehende Datenbank mit dem Grover-Algorithmus

nach einem bestimmten Eintrag durchsucht, um einen Faktor√

N schneller als ein

klassischer Computer, der dieselbe Aufgabe bearbeitet.

13

14 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Die in diesen Algorithmen demonstrierte Uberlegenheit eines Quantencomputers, ba-

siert auf der hochgradig parallelen Informationsverarbeitung, die auch als Parallelis-

mus [2] bekannt ist. In Anlehnung an die Bits in einem klassischen Computer wird die

elementare Einheit der Informationsspeicherung in einem Quantencomputer Quanten-

bit genannt. Als Erweiterung des klassischen Konzepts werden informationsverarbei-

tende Operationen nicht nur mit reinen Einzelzustanden durchgefuhrt, sondern auch

quantenmechanische Superpositionen aus diesen, physikalisch als Zweiniveausysteme

zu bezeichnenden Quantenbits werden zur Informationsverarbeitung herangezogen.

Ionenfallen [6], Kernspins [7], elektrodynamische Hohlraumexperimente [8] und fest-

korperbasierte, lithographisch hergestellte Schaltungen sind als Quantenbits vorge-

schlagen worden. Der bisher großte Quantencomputer basierte auf dem physikalischen

Prinzip der Kernspin-Resonanz (NMR) und konnte mit sieben Spin-12-Kernen Shors

Algorithmus am Beispiel der Faktorisierung der Zahl 15 in 3 und 5 erfolgreich nach-

weisen [9]. Allerdings stellt die unzureichende Skalierbarkeit hin zu einer großen Zahl

von Quantenbits und deren schwierige Integration in elektronische Schaltkreise einen

Nachteil dieser Technologie dar.

Die theoretisch hoch skalierbaren, festkorperbasierten, lithographisch hergestellten

Quantenbits bieten sich vor diesem Hintergrund als attraktive Alternative an und

ermoglichen gleichzeitig eine hohe Flexibilitat in der Wahl der Designparameter. Ob-

wohl es aufgrund ihrer starken Kopplung an die Umgebung sehr schwer ist, sie von

externen Freiheitsgraden zu entkoppeln und in den lithographischen Prozessen, an-

ders als in Kernspins, eine inharente und schwer zu kontrollierende Variation der

hergestellten Schaltungen enthalten ist, stellen festkorperbasierte Quantenbits viel-

versprechende Kandidaten fur einen Quantencomputer dar. In vielen Experimenten

ist ihre Eignung zur Untersuchung quantenmechanischer Effekte erfolgreich nachge-

wiesen worden. Stellvertretend dafur seien hier [10, 11, 12, 13, 14, 15] genannt.

Supraleitende Quantenbits bieten neben den bereits aufgezeigten allgemeinen Vor-

teilen festkorperbasierter Losungen noch weitere Eigenschaften, die sie als attraktive

Alternativen qualifizieren. Durch die supraleitende Energielucke werden die in die-

sem Energiebereich liegenden Zweiniveausysteme effektiv von den Quasiteilchen und

der Umgebung entkoppelt. Ferner stellt der supraleitende Zustand bereits einen nicht

entarteten, makroskopischen Grundzustand dar. Gegenstand dieser Diplomarbeit sind

sogenannte supraleitende”persistent current“ Quantenbits .

In dieser Diplomarbeit soll eine bereits bestehende Technologie zur Herstellung mi-

15

kroskopischer Schaltungen mittels Elektronenstrahl Lithographie und Schattenbe-

dampfung fur die Produktion von”persistent current“ Quantenbits adaptiert wer-

den. Zu diesem Zweck muss zuerst die Designstabilitat der mikroskopischen Struktu-

ren nachgewiesen werden und im nachsten Schritt mussen die beteiligten Josephson-

Tunnelkontakte hinsichtlich ihrer Oxidbarriere optimiert werden.

Im zweiten Kapitel werden die wichtigsten Bestandteile der”persistent current“ Quan-

tenbits , die Jospehson-Tunnelkontakte diskutiert. Zu diesem Zweck wird zuerst anhand

des makroskopischen Quantenmodells eine phanomenologische Einfuhrung in die Su-

praleitung gegeben. Uber die Josephson-Effekte und die Diskussion eines Jospehson-

Tunnelkontakts im RCSJ Modell , wird in den letzten Abschnitten dieses Kapitels die

Gesamtenergie eines unterdampften Josephson-Tunnelkontakts zuerst klassisch und

dann quantenmechanisch hergeleitet.

Das nachste Kapitel ist den zum Auslesen der hier besprochenen”persistent current“

Quantenbits verwendeten dc SQUIDs gewidmet. Da in dieser Diplomarbeit auch in-

trinsisch phasenvorgespannte dc SQUIDs hergestellt worden sind, wird im zweiten

Abschnitt dieses Kapitels die dafur verwendete Technologie diskutiert.

Kapitel vier setzt sich mit supraleitenden Quantenbits auseinander, wobei diese als

Einstieg in der Architektur-unabhangigen Darstellung des Zweiniveausystems vorge-

stellt werden. Im folgenden Abschnitt werden die zwei unterschiedlichen supraleiten-

den Quantenbitvarianten aus einem anschaulichen Schema abgeleitet. Im Anschluss

daran wird die Entwicklung vom rf SQUID zum”persistent current“ Quantenbit be-

trachtet und die beiden Varianten ausfuhrlich diskutiert. Experimentelle Resultate an

”persistent current“ Quantenbits schliessen dieses Kapitel.

In Kapitel funf werden die Probenherstellung und der Tieftemperatur- sowie der elek-

tronische Messaufbau besprochen. Des Weiteren werden im Anschluss an die Pro-

benherstellung im Rahmen dieser Diplomarbeit hergestellte, aber nicht vermessene

Quantenbit- und dc SQUID-Strukturen gezeigt.

Das Kapitel sechs ist ganz den experimentellen Resultaten und deren Diskussion be-

stimmt.

In Kapitel sieben schliesslich wird ein Resumee gezogen und ein Ausblick hinsichtlich

der Optimierung der Experimente und der Herstellung gegeben.

Kapitel 2

Josephson-Tunnelkontakte

Von einem anwendungsorientierten, technischen Standpunkt aus betrachtet, ist die be-

merkenswerteste Eigenschaft der Supraleitung sicherlich der widerstandsfreie Strom-

transport. Aus physikalischer Sicht ist das Beobachten quantenmechanischer Effekte

an makroskopischen, supraleitenden Objekten hervorzuheben. Die Quantisierung der

charakteristischen Parameter dieser makroskopischen Einheiten ist eine direkte Folge

der makroskopischen Wellenfunktion, die das Verhalten eines Supraleiters im ma-

kroskopischen Quantenmodell beschreibt, das am Anfang dieses Kapitels steht. Die

Bezeichnung”makroskopisch“ leitet sich von der Gesamtheit der Millionen von Cooper-

Paaren ab, die durch diese Wellenfunktion in diesem Quantenmodell dargestellt wird.

Anhand der Josephson-Effekte, wird dann ein Josephson-Tunnelkontakt im RCSJ Mo-

dell diskutiert. Dieses Kapitel schliesst mit der klassischen und quantenmechanischen

Betrachtung der Gesamtenergie eines unterdampften Josephson-Tunnelkontakts .

2.1 Das makroskopische Quantenmodell

In verschiedenen Materialien existiert neben dem normalleitenden Zustand ein supra-

leitender Zustand. Wird ein Supraleiter unter seine kritische Temperatur TC gekuhlt

und ubersteigt ein eventuell vorhandenes Magnetfeld nicht einen materialabhangigen,

kritischen Wert Hc, so findet der Phasenubergang in den supraleitenden Zustand statt.

Dieser Zustand zeichnet sich durch einen verschwindend kleinen Restwiderstand aus,

da der Stromtransport hauptsachlich uber die supraleitenden Ladungstrager erfolgt.

Diese aus einem Elektronenpaar bestehenden Ladungstrager werden als Cooper-Paare

bezeichnet und haben eine Ladung qs von 2e−, und eine Masse mq von 2me, wobei e−

der Elementarladung und me der Elektronenmasse entspricht. Ein phanomenologisches

17

18 KAPITEL 2. JOSEPHSON-TUNNELKONTAKTE

Modell zur Beschreibung von Supraleitern stellt das makroskopische Quantenmodell

[16, 17] dar. Obwohl es keine Erklarung der zugrunde liegenden mikroskopischen Me-

chanismen liefert, bildet es aufgrund seiner quantenmechanischen Natur eine gute

Basis zum Verstandnis der Supraleitung.

Da sich diese Cooper-Paare alle mit derselben Phase bewegen und somit einen ko-

harenten Zustand bilden, postuliert das makroskopische Quantenmodell die Existenz

einer makroskopischen Wellenfunktion Ψ(r, t), die das Verhalten der Gesamtheit der

Cooper-Paare beschreibt. Die zeitliche Entwicklung der makroskopischen Wellenfunk-

tion Ψ(r ,t) folgt der Schrodingergleichung der Quantenmechanik. Betrachten wir eine

Einteilchenwellenfunktion in der Quantenmechanik, so ergibt das Betragsquadrat im-

mer die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens an einem Ort r zu einer Zeit t

und ist, uber das ganze Volumen integriert, auf eins normiert. Die makroskopische

Wellenfunktion Ψ(r, t) beschreibt hingegen die Gesamtheit der Cooper-Paare und ist

deshalb auf deren Gesamtzahl Ns normiert

Ns =

∫Ψ(r, t)∗Ψ(r, t) dV. (2.1)

Somit resultiert aus dem Betragsquadrat nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit son-

dern die Teilchenzahldichte ns(r, t) der supraleitenden Ladungstrager mit

ns(r, t) = |Ψ(r, t)|2 . (2.2)

Die makroskopische Wellenfunktion kann in der Form

Ψ(r, t) =√

ns(r, t) e ιΘ(r, t) (2.3)

mit der reellen Phase Θ(r, t) dargestellt werden.

Aus der, im Vergleich zur Quantenmechanik, unterschiedlichen Normierung der ma-

kroskopischen Wellenfunktion Ψ(r, t) im makroskopischen Quantenmodell resultiert

auch eine andere Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(r, t) als in der

Quantenmechanik. In der quantenmechanischen Schreibweise wird die Wahrschein-

lichkeitsstromdichte in Abhangigkeit vom Ort r und der Zeit t durch

jρ(r, t) = <

ψ∗(r, t)

(−ι~

m∇ −

qm

A(r, t)

)ψ(r, t)

(2.4)

2.1. DAS MAKROSKOPISCHE QUANTENMODELL 19

beschrieben [18]. Der Ausdruck < steht fur den Realteil in Gleichung (2.4), in die

die mikroskopische Einteilchenwellenfunktion ψ(r, t), die Ladung q und die Masse m

des Teilchens eingehen. Durch den Term mit dem Vektorpotential A(r, t) wird einem

Magnetfeld der Starke H = 1µ0

rotA Rechnung getragen.

In Gleichung (2.4) ersetzen wir die Masse m und die Ladung q durch die Masse und

Ladung eines Cooper-Paars. Multiplizieren wir diesen Ausdruck dann noch mit der

Ladung eines Cooper-Paars, so erhalten wir die supraleitende Stromdichte

Js(r, t) = qs<

Ψ∗(r, t)

(−ι~

ms∇ −

qs

msA(r, t)

)Ψ(r, t)

. (2.5)

Durch Einsetzen von Gleichung (2.3) in Gleichung (2.5) und mit dem Flussquant

Φ0 =h2e

(2.6)

vereinfacht sich diese zu

Js(r, t) =qsns~

ms

(∇Θ(r, t) −

2πΦ0

A(r, t)

). (2.7)

Basierend auf Gleichung (2.7) lassen sich also Effekte wie z.B. eine Anderung des

magnetischen Flusses in einem supraleitenden Ring, direkt auf die makroskopische

Wellenfunktion Ψ(r, t) bzw. deren Phase Θ(r, t) zuruckfuhren. Da diese die hochgra-

dig korrelierte, koharente Bewegung der Gesamtheit der Cooper-Paare im Rahmen

der Quantenmechanik beschreibt, konnen deren Gesetzmaßigkeiten an supraleitenden

makroskopischen Elementen uberpruft werden.


Abbildung 2.1: Strom-Spannungs-Charakteristik eines Al-Al2O3-Pb Josephson-Tunnelkontaktesaus [19]. Der Tunnelstrom der Cooper-Paare bei der Spannung V = 0 ist deutlich zu erkennen.

2.2 Die Josephson-Effekte

Lange Zeit war man der Ansicht, dass ein Tunnelstrom aus supraleitenden Ladungs-

tragern nicht zu beobachten sein sollte. Zum ersten Mal wurden sowohl der Tunnel-

strom der Quasiteilchen als auch der der Cooper Paare 1960 von Nicol, Shapiro und

Smith [19] gemessen; die Strom-Spannungs-Charakteristik ist in Abbildung 2.1 ge-

zeigt. Dieser Effekt sollte zwei Jahre lang unerklart bleiben.

B. D. Josephson veroffentlichte 1962 eine Arbeit, in der er unter anderem zwei Effekte

an zwei schwach gekoppelten Supraleitern erklarte [20, 21]. Diese nach ihm benann-

ten Josephson-Effekte wurden in vielen Experimenten einwandfrei nachgewiesen. Die

dafur notwendige schwache Kopplung entsteht durch den Uberlapp der makrosko-

pischen Wellenfunktionen der beteiligten Supraleiter. Als schwach gekoppelte Kon-

takte werden beispielsweise Supraleiter-Isolator-Supraleiter- (SIS) oder Supraleiter-

Normalleiter-Supraleiter-(SNS) Kontakte bezeichnet.

Im Rahmen dieser Diplomarbeit werden ausschliesslich SIS-Tunnelkontakte aus Al-

2.2. DIE JOSEPHSON-EFFEKTE 21

Abbildung 2.2: Rasterelektronenmikroskop (REM) Aufnahme eines Al-Al2O3-Al Josephson-Tunnelkontakts, der im Rahmen dieser Arbeit hergestellt wurde (vgl. Abschnitt 5.1). Der rote Kreisschliesst den Josephson-Tunnelkontakt ein.

Al2O3-Al (siehe Abbildung 2.2) behandelt und deshalb wird im Folgenden auch nur

noch auf solche Kontakte eingegangen.

Der erste Josephson-Effekt beschreibt die Tatsache, dass durch einen SIS-Tunnelkontakt

auch ohne eine angelegte Spannung ein nicht dissipativer Stromfluss aus supraleiten-

den Ladungstragern beobachtet werden kann. Dieser supraleitende Stromfluss wird

auch als dc Josephson-Effekt bezeichnet und ist durch

Is(ϕ) = Ic sinϕ (2.8)

gegeben. Is(ϕ) ist der Strom der Cooper-Paare durch den Kontakt und Ic steht fur

den maximalen, kritischen Suprastrom, den der jeweilige Tunnelkontakt tragen kann.

Die Große ϕ beschreibt den eichinvarianten Phasenunterschied zwischen der linken

und der rechten Elektrode des Tunnelkontaktes, der implizit schon in Gleichung (2.7)


SL 1 SL 2Barriere

1r , t 2 r , t

Abbildung 2.3: Schema eines SIS-Tunnelkontakts. ”SL1“ und ”SL2“ bezeichnen die zwei Supraleiterund ”Barriere“ die Isolationsschicht dazwischen. Ψj bezeichnet die makroskopische Wellenfunktionim jeweiligen Supraleiter SL j.

steht

∇Θ(r, t) −2πΦ0

A(r, t)1. (2.9)

Wie bereits weiter oben eingefuhrt, entspricht Θ der Phase der makroskopischen Wel-

lenfunktion und A(r, t) dem Vektorpotential. Durch Integration von Gleichung (2.9)

von Supraleiter 1 uber die Barriere hinweg zu Supraleiter 2 (vgl. Abbildung 2.3) ergibt

sich der eichinvariante Phasenunterschied

ϕ =

∫ 2

1

(∇Θ(r, t) −

2πΦ0

A(r, t)

)ds

= Θ2 − Θ1 −2πΦ0

∫ 2

1A(r, t) ds.

(2.10)

Dieser Ausdruck reduziert sich im feldfreien Fall auf den Phasenunterschied ∆Θ der

makroskopischen Wellenfunktionen der zwei Supraleiter.

Der eichinvariante Phasenunterschied ϕ stellt sich dabei immer genau so ein, dass

Gleichung (2.8) erfullt ist, falls der Strom nicht großer als der kritische Strom Icist. Ubersteigt der angelegte Strom Ib den kritischen, dann fallt eine Spannung an

dem Kontakt ab und er schaltet in den Spannungszustand . Die Strom-Spannungs-

Charakteristik zeigt dann ein ohmsches Verhalten mit dem normalleitenden Wider-

stand Rn.

Der zweite Josephson-Effekt beschreibt das Verhalten eines Josephson-Tunnelkontakts

an dem eine Spannung abfallt. Diese Spannung V ruft eine zeitliche Entwicklung des

1Dieser Ausdruck wird auch als ”Phasengradient“ bezeichnet, obwohl im allgemeinen keine skalareFunktion γ exisitiert, fur die ∇γ mit Gleichung (2.9) ubereinstimmt. Dies hatte namlich zur Folge,dass ∇γ−∇Θ ∝ A(r, t); wegen ∇×A(r, t) = B(r, t) wurde das nur den Fall B(r, t) = 0 einschliessen.

2.2. DIE JOSEPHSON-EFFEKTE 23

eichinvarianten Phasenunterschieds ϕ an dem Josephson-Tunnelkontakt gemaß

∂ϕ

∂t=

2πΦ0

V (2.11)

hervor. Dieser zweite Josephson-Effekt wird auch als ac-Josephson-Effekt bezeich-

net, da in dieser Situation ein supraleitender Wechselstrom mit der charakteristischen

Josephson-Frequenz

ωc =2πΦ0

V (2.12)

fließt.

Der Uberlapp der beiden makroskopischen Wellenfunktionen kann hinsichtlich seiner

Starke mit der Kopplungsenergie Ej (ϕ) charakterisiert werden. Diese in dem Kontakt

gespeicherte Energie ergibt sich durch Integration der fur die Beschleunigung der su-

praleitenden Ladungstrager notwendigen Leistung uber die Zeit. Mit Gleichung (2.8)

und Gleichung (2.11) resultiert

EJ(ϕ) =∫ t ′

0IsVdt

=

∫ t ′

0Ic sinϕ′

Φ0

2πdϕ′

dtdt

=Φ0Ic2π

∫ ϕ

0sinϕ′ dϕ′

= EJ0(1− cosϕ).

(2.13)

Die erste Integration erstreckt sich vom Zeitpunkt t = 0 bis zu t = t′ und fur die

Integration uber ϕ′ von ϕ(0) = 0 bis ϕ(t′) = ϕ. In Gleichung (2.13) bezeichnet

EJ0 =Φ0Ic2π

(2.14)

die Josephson-Energie.


JJRn

Ib

VC

E p o t

j

I b = 0 I b = 0 . 5 I c I b = 1 . 1 I c

M

Abbildung 2.4: Ersatzschaltbild eines Josephson-Kontakts im RCSJ Modell (links) und Wasch-brettpotential (rechts). Die beiden Bilder werden im Text erklart.

2.3 Das RCSJ Modell

2.3.1 Das RCSJ Modell und seine Komponenten

Die Physik eines Josephson-Tunnelkontakts basiert auf der Beschreibung der nicht-

linearen Dynamik des eichinvarianten Phasenunterschieds ϕ. Anschaulich wird diese

Dynamik am Beispiel der im rechten Teil in Abbildung 2.4 dargestellten Bewegung ei-

nes fiktiven Teilchens diskutiert, dass sich in einem verkippten kosinusformigen, auch

als”tilted washboard“ bezeichneten Potential bewegt [17, 22]. Die Darstellung der

zeitlichen Entwicklung des eichinvarianten Phasenunterschieds ϕ hangt komplett von

dem zugrunde gelegten Schaltkreis ab, mit dem der Josephson-Tunnelkontakt model-

liert wird.

Ein einfacher und oft verwendeter Typ ist das Resistively and Capacitively Shunted

Junction (RCSJ) Modell. In diesem wird ein idealer Josephson-Tunnelkontakt in ei-

ne Parallelschaltung aus einem frequenz- und spannungsunabhangigen Widerstand Rn

und einer idealen Kapazitat C, wie im linken Teil der Abbildung 2.4 gezeigt, integriert.

Der Stromanteil des idealen Josephson-Tunnelkontakts ist durch Gleichung (2.8) gege-

ben. Der Widerstand Rn, der den Quasiteilchenstrom beschreibt, folgt dem Ohm’schen

Gesetz und sein Anteil am Gesamtstrom ist durch

IQ =VRn

(2.15)

2.3. DAS RCSJ MODELL 25

gegeben. Die Parallelkapazitat resultiert aus der Betrachtung des Josephson-Tunnelkon-

takts als idealem Plattenkondensator mit

Id = CdVdt

(2.16)

als Verschiebungsstrom. Wie im Fall eines Plattenkondensators wird die Kapazitat C

durch

C =ε0εRAdoxid

(2.17)

beschrieben. In Gleichung (2.17) steht ε0 fur die Dielektrizitatskonstante des Vakuums,

ε R fur die des Barrierenmaterials (fur Al2O3 ≈ 10), doxid fur die Dicke der Barriere

(ublicherweise 0.35− 1 nm) und A fur die Flache des Josephson-Tunnelkontakts.

2.3.2 Josephson-Tunnelkontakt im RCSJ Modell

Nach dieser kurzen Betrachtung der Bestandteile des RCSJ Modells aus Abbildung 2.4,

wird im folgenden ein Strom Ib an den Josephson-Tunnelkontakt angelegt und das

Verhalten in diesem Modell diskutiert. Ausgehend von

Ib = Is + IQ + Id (2.18)

erhalten wir durch Einsetzen von Gleichungen (2.8), (2.11) und (2.16)

Ib = Ic sinϕ +1Rn

(Φ0

2π

)dϕdt+C

(Φ0

2π

)d2ϕ

dt2. (2.19)

Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit(Φ02π

)und setzen Gleichung (2.14) ein, so ergibt

sich

C

(Φ0

2π

)2 d2ϕ

dt2+

1Rn

(Φ0

2π

)2 dϕdt+

ddϕ

EJ0

(1− cosϕ −

IbIcϕ

)= 0. (2.20)

Ein Vergleich von Gleichung (2.20) mit der Bewegungsgleichung eines Teilchens der

Masse M, Dampfung η in dem Potential Upot

Md2xdt2+ η

dxdt+ ∇Upot = 0, (2.21)


liefert unter der Bedingung, daß ϕ als generalisierte Koordinate gesehen wird, folgende

Analogien:

M ≡ C

(Φ0

2π

)2

(2.22)

η ≡

(Φ0

2π

)2 1Rn

(2.23)

Upot ≡ EJ0

(1− cosϕ −

IbIcϕ

)(2.24)

Dieses Potential U entspricht dem verkippten Waschbrettpotential und wurde fur

verschiedene Verhaltnisse von Ib/Ic im rechten Teil der Abbildung 2.4 dargestellt.

2.3.3 Uberdampfte und unterdampfte Josephson-Tunnelkontakte

Die Analogie zwischen einem Teilchen mit der Masse M in einer verkippten Potenti-

allandschaft und einem Josephson-Tunnelkontakt ermoglicht eine anschauliche Defini-

tion von unter - und uberdampften Josephson-Tunnelkontakten. Ein an den Josephson-

Tunnelkontakt angelegter Strom Ib, der großer als sein kritischer Strom Ic ist, wird

langsam zuruckgedreht. In der Potentiallandschaft des mechanischen Analogons kon-

nen sich somit nach Gleichung (2.24) lokale Minima bilden.

Im Fall eines uberdampften Kontakts stellen diese lokalen Minima tiefe Potential-

topfe dar, in denen das Teilchen wegen seiner geringen Masse und der starken Damp-

fung eingefangen wird. Nach Gleichung (2.22) bzw. Gleichung (2.23) entspricht dies ei-

nem Josephson-Tunnelkontakt mit kleiner Kapazitat C und/oder kleinem Widerstand

R. Da sich die Phase nicht mehr frei bewegen kann, sondern zur Ruhe kommt, schaltet

der Josephson-Tunnelkontakt gemaß Gleichung (2.11) sofort nach Unterschreiten des

kritischen Stroms in den spannungslosen Zustand. Die Strom-Spannungskennlinie, die

im unteren Teil der Abbildung 2.5 gezeigt ist, weist fur ein Durchfahren von Ib > Icnach −Ib < −Ic und wieder zuruck keine Hysterese auf.

In einem unterdampften Kontakt stellen diese lokalen Minima keine tiefen Potenti-

altopfe dar und da das Teilchen mehr Masse hat und keine starke Dampfung vorliegt,

wird es auch nicht mehr sofort eingefangen. Im Gegensatz zu oben entspricht dies ei-

nem Josephson-Tunnelkontakt mit großer Kapazitat C und/oder großem Widerstand

R. Somit kann sich die Phase noch langer die Potentiallandschaft hinunter bewe-

gen und der Jospehson-Tunnelkontakt schaltet erst spater, bei einem Strom der als

”retrapping“ Strom Ir bezeichnet wird, in den spannungslosen Zustand. Die Strom-

2.3. DAS RCSJ MODELL 27

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ib/I

c

<V>/IcR

n

Durchfahren von −Ib nach I

b für |I

b>I

c|

Durchfahren von Ib nach −I

b für |I

b>I

c|

Ir

"retrapping" Strom Ir,

mit Hysterese

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ib/I

c

<V>/IcR

n

Durchfahren von −Ib nach I

b für |I

b>I

c|

Durchfahren von Ib nach −I

b für |I

b>I

c|

kein "retrapping" Strom Ir,

keine Hysterese

Abbildung 2.5: Strom-Spannungs-Charakteristik eines unterdampften (oben) und uberdampften(unten) Josephson-Tunnelkontakts im RCSJ Modell.


Spannungskennlinie, die im oberen Teil der Abbildung 2.5 gezeigt ist, weist deshalb

fur ein Durchfahren von Ib > Ic nach −Ib < −Ic und wieder zuruck eine Hysterese

auf.

Formal lassen sich unter- und uberdampfte Josephson-Tunnelkontakte durch einen

Parameter βc unterscheiden. Da dieser von Stewart [23] und McCumber [24] einge-

fuhrt wurde, wird er auch als Stewart-McCumber Parameter bezeichnet und fur einen

uberdampften Josephson-Tunnelkontakt ist er durch

βc =2πIcRn

2CΦ0

1 (2.25)

gegeben. Im Fall eines unterdampften Josephson-Tunnelkontakts wird dieser Aus-

druck zu

βc =2πIcRn

2CΦ0

1. (2.26)

Analytisch betrachtet beschreibt βc den Einfluss der Kapazitat im RCSJ Modell aus

Abbildung 2.4 bis zu der charakteristischen Frequenz ωc aus Gleichung (2.12), mit

βc =ωc

2

ωp2. (2.27)

Die Frequenz

ωp =

√2πIcΦ0C

(2.28)

enspricht der Plasmafrequenz des Josephson-Tunnelkontakts. Durch diese analytische

Betrachtung wird der direkte Zusammenhang zwischen dem normalleitenden Wider-

stand Rn und der Kapazitat C, und dem Verhalten eines Jospehson-Tunnelkontakts

auf eine physikalisch stabilere Basis gestellt, als durch die anschauliche, mechanische

Analogie eines fiktiven Teilchens.

2.4. GESAMTENERGIE EINES UNTERDAMPFTEN JOSEPHSON-TUNNELKONTAKTS 29

2.4 Gesamtenergie eines unterdampften

Josephson-Tunnelkontakts

Betrachten wir nun einen unterdamften Josephson-Tunnelkontakt im Spannungszu-

stand, d.h. ϕ , 0. Diese Einschrankung ist fur die folgenden Betrachtungen notwendig,

da ein uberdampfter Josephson-Tunnelkontakt im Spannungszustand betrieben, durch

den normalleitenden Strom In viel starker an die Umgebung gekoppelt ist und man

einen dissipativen Term mitberucksichtigen musste. Somit ware die Energieerhaltung

selbst uber sehr kurze Zeitintervalle nicht gewahrleistet und die folgenden Uberlegung

waren nicht anwendbar [16].

Die Gesamtenergie EG eines unterdampften Josephson-Tunnelkontakts bei T = 0 K,

d.h. Quasiteilchen werden in dieser Betrachtung vernachlassigt, setzt sich aus der kine-

tischen Energie EK und der potentiellen Energie U, die in Gleichung (2.13) berechnet

worden ist, zusammen. Die schon bei der Diskussion des RCSJ Modells angewendete

Betrachtung von ϕ als generalisierte Koordinate des Systems rechtfertigt auch hier die

Bezeichnungen”kinetisch“ und

”potentiell“ fur die beteiligten Energien. Die kinetische

Energie resultiert aus

EK =12

CV2 =Q2

2C=

12

EJ0

ϕ2

ωp2. (2.29)

Mit Gleichung (2.29) und Gleichung (2.13) ist die Gesamtenergie EG durch

EG =12

EJ0

ϕ2

ωp2+ EJ0(1− cosϕ) (2.30)

gegeben, wobei EJ0 wie in Gleichung (2.14) die Josephson-Energie und ωp die bereits

oben eingefuhrte Plasmafrequenz des Josephson-Tunnelkontakts ist.


2.5 Quantenmechanische Betrachtung der

Gesamtenergie

Die zwei Josephson-Gleichungen, durch die ein Josephson-Tunnelkontakt beschrieben

wird, setzen voraus, dass die benotigten Variablen wie I , V, oder ϕ mit beliebiger

Genauigkeit gleichzeitig gemessen werden konnen. Obwohl sie eindeutig quantenme-

chanischer Natur sind, verletzen die zwei Josephson-Gleichungen somit doch eines

der elementarsten Prinzipien der Quantenmechanik und sind deshalb gewissermassen

als”klassisch“ zu bezeichnen. Dies stutzt die Annahme, dass die Beschreibung eines

Josephson-Tunnelkontakts durch seine Strom-Phase- und Spannungs-Phase-Beziehung

nur die sehr gute Naherung einer exakten quantenmechanischen Beschreibung, in

einem als klassisch zu bezeichnenden Bereich ist [16]. Ausgehend von der in Ab-

schnitt 2.4 hergeleiteten Gesamtenergie in Gleichung (2.30) wird das Verhalten des

unterdampften Josephson-Tunnelkontakts quantenmechanisch untersucht.

Mit Hilfe des Lagrange Formalismus ergibt sich die klassische Hamilton Funktion

als Summe der potentiellen und der kinetischen Energie. Gleichung (2.30) stellt al-

so bereits diese klassische Hamilton Funktion dar. Der Ubergang zu einer quanten-

mechanischen Behandlung dieses Josephson-Tunnelkontakts wird durch Ersetzen der

klassischen konjugierten Variablen in der klassischen Hamilton Funktion durch den

jeweiligen quantenmechanischen Operator erreicht. Hier bedeutet dies, dass wir die

Ladung durch den Operator in der Phasendarstellung, die der Ortsdarstellung ent-

spricht, ersetzen mussen. Zu diesem Zweck wird zunachst Gleichung (2.30) durch

Einsetzen von Gleichungen (2.11), (2.14) und (2.28) in

EG = EJ0(1− cosϕ) +12

EJ0

ϕ2

ωp2

= EJ0(1− cosϕ) +C2V2

4e2

4e2

2C

(2.31)

umgeformt. Mit Hilfe des Korrespondenzprinzips fur die Variable N, die mit der La-

dung uberQ2e=

CV2e= N, N → ι

∂

∂ϕ(2.32)

verknupft ist, und der Coulomb-Energie EC fur die Ladung eines einzelnen Elektrons

EC =e2

2C(2.33)

2.5. QUANTENMECHANISCHE BETRACHTUNG DER GESAMTENERGIE 31

wird dieser Ausdruck zum Hamilton Operator H des Josephson-Tunnelkontakts

H = EJ0(1− cosϕ) − 4EC

∂2

∂ϕ2. (2.34)

Bei N und ϕ handelt es sich um zwei quantenmechanisch-konjugierte Variablen [25],

die dem Kommutator [ϕ,N

]= ι (2.35)

genugen. Diese Vertauschungsrelation kann alternativ als eine Unscharferelation fur

die Cooper-Paare formuliert werden, die formal der Schwingerschen Ungleichung

∆N∆ϕ ≥ 1 (2.36)

entspricht [26]. Nach [16] kann die Abweichung von der”klassischen“ Beschreibung

durch das Verhaltnis von~2ωp

2

EC2≡

8EJ0

EC

(2.37)

charakterisiert werden. Fur ~ωp 2√

2EJ0 sind die Energieniveaus um das Mini-

mum, ϕ ′ = 2πn, des Potentialtopfes lokalisiert. Dies wird verstandlich, wenn man

berucksichtigt, dass die Hohe U0 des Potentialtopfes nach [16] durch

U0 ∝ 2EJ0 (2.38)

genahert werden kann.

Es ist somit nach [16] moglich, den Kosinus-Term im Potential in Gleichung (2.34) in

einer Taylor-Reihe um das Minimum zu entwickeln. Vernachlassigen wir alle Terme

ab einschliesslich der 3. Ordnung, so erhalten wir einen Hamilton Operator

H = EJ0

12ϕ2 − 4EC

∂2

∂ϕ2, (2.39)

der formal dem des harmonischen Oszillators entspricht. Dessen Energieeigenzustande

sind allgemein nach [18] durch

En = ~ω (n+12

) (2.40)


gegeben. In unserem Fall entspricht der Frequenz ω die Plasmafrequenz des Josephson-

Tunnelkontakts ωp.

Kapitel 3

dc SQUIDs

Die in dieser Diplomarbeit diskutierten supraleitenden Qubits werden uber dc SQUIDs

ausgelesen und deshalb werden diese Bauelemente in diesem Kapitel eingehend be-

sprochen.

Aus technischen Grunden kann es interessant sein, dc SQUIDs und andere supraleiten-

de Bauelemente bei einem festgelegten Arbeitspunkt zu betreiben. Eine sehr elegante

Moglichkeit stellt die im zweiten Abschnitt dieses Kapitels vorgestellte Variante der

Integration eines surpaleitenden Ringes in die dc SQUID-Struktur dar. Diese Kombi-

nation aus Ring und dc SQUID wird dann auch als phasenvorgespanntes dc SQUID

bezeichnet.

3.1 Das dc SQUID

Ein direct current Superconducting QUantum Interference Device, dc SQUID, be-

steht aus zwei parallel geschalteten Josephson-Tunnelkontakten wie im linken Teil der

Abbildung 3.1 gezeigt. Dieses dc SQUID eignet sich zum Nachweis von Anderungen

des die Innenflache des Rings durchsetzenden magnetischen Flusses. Prinzipiell basiert

der Nachweis einer Anderung im externen Fluss Φext auf der Φ0-periodischen Abhan-

gigkeit des kritischen Stroms des dc SQUIDs von dieser Große, wie im rechten Teil der

Abbildung 3.1 gezeigt. Der magnetische Fluss durch die vom dc SQUID umschlossene

Flache verursacht eine Phasenanderung der makroskopischen Wellenfunktionen in den

beiden Zweigen und je nach seiner Starke interferieren die zwei makroskopischen Wel-

lenfunktionen. Diese Eigenschaften spiegeln sich im Namen SQUID durch”quantum“

und”interference“ wieder. Betrachtet man zwei identische Josephson-Tunnelkontakte

33

34 KAPITEL 3. DC SQUIDS

HJJ

ISQUID

I2

I1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Φext

/Φ0

Im

/Ic

2

Abbildung 3.1: Schema eines dc SQUIDs (links); JJ steht fur die Josephson-Tunnelkontakte desdc SQUIDs, die Stome werden durch Ii beschrieben. Die Große H stellt ein angelegtes Magnetfelddar, das aus der Abbildungsebene herauszeigt. Auf der rechten Seite ist die Abhangigkeit des aufIc normierten maximalen Stroms Im eines dc SQUIDs vom ihn durchsetzenden auf Φ0 normiertenmagnetischen Fluss Φext wiedergegeben.

in den Asten des dc SQUIDs mit den kritischen Stromen,

Ii = Ic sinϕi

mit i = 1 oder 2, so ergibt sich der kritische Strom des dc SQUIDs zu

ISQUID = I1 + I2

= Ic sinϕ1 + Ic sinϕ2

= 2Ic cos(ϕ1 − ϕ2

2

)sin

(ϕ1 + ϕ2

2

).

(3.1)

Durch Linienintegration der Phasenanderung der makroskopischen Wellenfunktionen

∇Θ entlang des gestrichelten Integrationswegs in Abbildung 3.2 erhalt man einen Aus-

druck fur die eichinvarianten Phasenunterschiede ϕ1 und ϕ2. Wegen der Eindeutigkeit

der makroskopischen Wellenfunktionen, muss diese Phasenanderung integriert uber

eine geschlossene Kontur C 2πn ergeben,∮C∇Θ ds = 2πn = (Θb − Θa)︸︷︷︸

Kontakt

+ (Θc − Θb)︸︷︷︸Ring

+ (Θd − Θc)︸︷︷︸Kontakt

+ (Θa − Θd)︸︷︷︸Ring

, (3.2)

3.1. DAS DC SQUID 35

Hb

a

c

d

I

I

I1 I2

C

Abbildung 3.2: Die gestrichelte Linie bzw. die schwarzen Pfeile beschreiben den Integrationswegbzw. die -richtung tief im Inneren des supraleitenden Rings. Die Josephson-Tunnelkontakte sind blauund ein den Ring durchsetzendes Magnetfeld H, das aus der Abbildungsebene herauszeigt, ist grundargestellt.

wobei n eine ganze Zahl ist. Unter Berucksichtigung der Gleichungen (2.7) und (2.10)

und mit dem London’schen Koeffizienten

Λ =ms

qs2ns

(3.3)

liefern die einzelnen Summanden in Gleichung (3.2) folgende Beitrage zu dem Linien-

integral

Θb − Θa = −ϕ1 −2πΦ0

∫ b

aA(r, t) ds (3.4)

Θc − Θb = −2πΦ0

∫ c

bA(r, t) ds −

2πΦ0

∫ c

bΛJs(r, t) ds (3.5)

Θd − Θc = ϕ2 −2πΦ0

∫ d

cA(r, t) ds (3.6)

Θa − Θd = −2πΦ0

∫ a

dA(r, t) ds −

2πΦ0

∫ a

dΛJs(r, t) ds (3.7)

Aus den Beitragen mit dem Vektorpotential A(r, t) ist ersichtlich, dass dessen Inte-

gration uber die geschlossene Kontur C mit

2πΦ0

∮CA(r, t) ds =

2πΦsum

Φ0(3.8)


erfolgt. Somit ergibt sich aus Gleichung (3.8) der eingeschlossene magnetische Fluss

Φsum.

Die Integration uber die supraleitende Stromdichte Js erfolgt hingegen nicht uber die

geschlossene Kontur C, sondern spart die Bereiche der Barrieren, also von a nach

b und von c nach d, aus. Diese Abweichung wird durch die Nomenklatur D in der

Integration

2πΦ0

∮DΛJs(r, t) ds =

2πΦ0

∫ a

dΛJs(r, t) ds +

2πΦ0

∫ c

bΛJs(r, t) ds (3.9)

zum Ausdruck gebracht. Unter Berucksichtigung der Gleichungen (3.4), (3.5), (3.6),

(3.7), (3.8) und (3.9) erhalten wir fur die eichinvarianten Phasenunterschiede ϕ1 und

ϕ2 die Beziehung

ϕ2 − ϕ1 = 2πn+2πΦsum

Φ0+

2πΦ0

∮DΛJs(r, t) ds. (3.10)

Die supraleitende Stromdichte Js(r, t) fallt allgemein im Inneren eines Supraleiters

exponentiell mit der London’schen Eindringtiefe

λL(0) =√

ms

µ0nsqs2

(3.11)

ab. In diesem Ausdruck steht µ0 fur die magnetische Feldkonstante. Diese Große ist

temperaturabhangig und λL(0) ist der Wert fur T = 0. Dieser Zusammenhang lasst sich

aus der 2. London Gleichung herleiten, was hier jedoch nicht durchgefuhrt wird. Aus

diesem Grund kann der Beitrag aus Gleichung (3.9) in Gleichung (3.10) vernachlas-

sigt werden, falls die Abmessungen des Querschnitts der supraleitenden Ringstruktur

großer als einige London’sche Eindringtiefen sind. Fur Aluminium finden sich in der

Literatur Werte von λL(0) ≈ 100 nm.

Mit dieser Einschrankung reduziert sich Gleichung (3.10) auf

ϕ2 − ϕ1 = 2πn+2πΦsum

Φ0. (3.12)

Unter Verwendung von Gleichung (3.12) resultiert fur den kritischen Strom des dc

SQUIDs

ISQ = 2Ic cos

(πΦsum

Φ0

)sin

(ϕ1 +

πΦsum

Φ0

). (3.13)

3.1. DAS DC SQUID 37

Der Fluss Φsum laßt sich als Summe aus dem externen und dem selbst induzierten

Fluss durch

Φsum ≡ Φext + Φid (3.14)

darstellen. Setzten wir zusatzlich zu den identischen Kontakten auch noch eine Sym-

metrie der zwei Zweige voraus, so konnen wir den mittleren Strom I und den zirku-

lierenden Strom Icir nach [17] mit

I =I1 + I2

2(3.15)

Icir =I1 − I2

2(3.16)

einfuhren. Der mittlere Strom I in dem Ring hat keinen Anteil an dem induzierten

Feld, da sich dessen Beitrage aufheben. Der selbst induzierte Fluss wird nur durch

den zirkulierenden Strom Icir erzeugt. Mit der geometrischen Induktivitat des Rings

LG und Gleichung (3.16) laßt sich Gleichung (3.14) als

Φsum = Φext + LGIcir

= Φext +LGIc

2(sinϕ1 − sinϕ2)

= Φext + LGIc sin(ϕ1 − ϕ2

2

)cos

(ϕ1 − ϕ2

2

)= Φext − LGIc sin

(πΦext

Φ0

)cos

(ϕ1 +

πΦext

Φ0

) (3.17)

schreiben. Im folgenden soll der Fall LGIc Φext betrachtet werden, indem die Am-

plitude des selbst induzierten Feldes das zu messende externe Feld kaum verfalschen

kann. Die Gleichung (3.14) reduziert sich dann zu Φsum ≈ Φext. Um den maxima-

len Strom Im bei einem festen Φext zu bestimmen, muss das Maximum von Glei-

chung (3.13) in Abhangigkeit von ϕ1 berechnet werden.

ddϕ1

2Ic cos

(πΦext

Φ0

)sin

(ϕ1 +

πΦext

Φ0

)= 2Ic cos

(πΦext

Φ0

)cos

(ϕ1 +

πΦext

Φ0

)= 0 (3.18)

Daraus resultiert die Bedingung

cos

(ϕ1 +

πΦext

Φ0

)= 0. (3.19)


Am Extremum ϕ′1 hat der Sinus in Gleichung (3.13) den Wert

sin

(ϕ′1 +

πΦext

Φ0

)= ±1. (3.20)

Der maximale Strom Im ist somit durch

Im = 2Ic

∣∣∣∣∣∣cos

(πΦext

Φ0

)∣∣∣∣∣∣ (3.21)

gegeben.

3.2. DAS PHASENVORGESPANNTE DC SQUID 39

3.2 Das phasenvorgespannte dc SQUID

Viele supraleitende Anwendungen in der Elektronik basieren auf den Josephson- Effek-

ten, d.h. der Strom und die Spannung hangen direkt von der Phase ab. Aus technischen

Grunden kann es interessant sein, diese Bauelemente bei einer ganz bestimmten Pha-

se zu betreiben, d.h. mit einer Phase”vorzuspannen“ was mit dem Ausdruck

”phase

biased“ beschrieben wird. Normalerweise wird diese Phasenvorspannung oder”pha-

se bias“ durch einen bestimmten externen magnetischen Fluss realisiert. Mit diesem

Verfahren erzeugt man allerdings auch immer Rauschen durch die Stromquelle mit

der die dafur notwendige Spule betrieben wird und benotigt zusatzlichen Platz fur die

Spule. Um das zu vermeiden, sucht man nach intrinsischen Moglichkeiten die Phase

vorzuspannen, d.h. man versucht die benotigte Phasenvorspannung in das Design zu

integrieren.

In π -Josephson-Kontakten wird die Phase mit π vorgespannt, d.h. die Charakteristik

des phasenabhangigen Stroms wird um π verschoben. Solche π - Josephson-Kontakte

sind mit d-Wellen Supraleitern [8] oder mit Supraleiter-Ferromagnet-Supraleiter-Kon-

takten (SFS) [6] bereits realisiert worden. Ohne naher darauf einzugehen, sind dafur

komplexe Herstellungsverfahren und komplizierte Materialsysteme notwendig. An der

Delft University of Technologie im Kavli Institute of Nanoscience unter Professor J.E.

Mooij wurde eine Moglichkeit fur eine Phasenvorspannung in Al-Technologie entwi-

ckelt [27, 28, 29, 30]. In diesen Arbeiten wurde eine einfache Aluminiumstruktur, mit

der beliebige Phasenvorspannungen zwischen 0 und 2π realisiert werden konnen, her-

gestellt und charakterisiert. Es handelt sich dabei um einen geschlossenen Ring aus

Aluminium, der z.B. in eine dc SQUID Struktur integriert wird. Je nachdem mit wel-

chem Bruchteil seines Umfangs er zum dc SQUID Ring beitragt, ruft er eine andere

Verschiebung der Phase im dc SQUID Ring hervor. Das Schema eines solchen Rings

ist im linken Teil der Abbildung 3.3 gezeigt.

Die Phasendifferenz γ entlang dieses Rings mit dem Umfang s muss wegen der Ein-

deutigkeit der makroskopischen Wellenfunktion ein Vielfaches von 2π sein

2πn = 2πΦsum

Φ0+

2πΦ0

∮sΛJs(r, t) ds︸︷︷︸

Phasendifferenz γ

. (3.22)

Das Linienintegral aus Gleichung (3.22) wird mit einer raumlich und zeitlich homo-

genen Stromverteilung, die sich aus dem Querschnitt bh der Ringstruktur und dem

http://qt.tn.tudelft.nl/


s

extind

JJ

Abbildung 3.3: Schema eines Rings fur die Phasenvorspannung (links) und eines π/2 dc SQUIDs(rechts). Links bezeichnet γ die Phasendifferenz entlang des Rings und s seinen Umfang. Φext +

Φind bezeichnet den Fluss in dem Ring. Rechts ist das Schema eines π/2 dc SQUIDs gezeigt. Dergestrichelte Pfad kennzeichnet den Integrationsweg fur den veranderten Phasenunterschied.

Strom im Ring IR zu

Js(r, t) =IR

bh(3.23)

ergibt, sowie der London’schen Eindringtiefe aus Gleichung (3.11) zu

2πΦ0

∮sΛJs(r, t) ds =

2πΦ0λL

2µ0s

bhIR

=2πΦ0

LKIR ≡ γ.

(3.24)

In Gleichung (3.24) wird die kinetische Induktivitat

LK = λL2µ0

sbh

(3.25)

eingefuhrt [17]. Aufgrund der direkten Proportionalitat der Phasendifferenz γ zu die-

ser Große, wird eine wichtige Anforderung an das Design des Ringes deutlich. Die

Abmessungen des Querschnitts der Ringstruktur b und h mussen kleiner als die Lon-

don’sche Eindringtiefe λL sein1, um einen signifikanten Phasenunterschied direkt durch

die Ringstruktur und nicht nur durch den induzierten Fluss darstellen zu konnen.

Fur eine genauere Betrachtung des Phasenunterschieds γ wird Gleichung (3.14) in

1Diese Bedingung ist mit der, bereits weiter oben gemachten, Annahme einer raumlich und zeitlichhomogenen Stromverteilung identisch.


Gleichung (3.22) eingesetzt und mit der magnetischen Frustration des Rings

fR =Φsum

Φ0(3.26)

und der geometrischen Induktivitat LG zu

γ = −2πΦext + Φind

Φ0+ 2πn

= −2π f + 2πn− 2πΦind

Φ0

= 2π

(n− fR −

LGIR

Φ0

)= 2π

[(n− fR)Φ0 − LGIR

Φ0

](3.27)

umgeformt. Das Verhaltnis der kinetischen zur geometrischen Induktivitat

β ≡LG

LK

(3.28)

ermoglicht nach [27] eine weitere Umformung zu

γ = 2πn− fR1+ β

. (3.29)

Der Strom in dem Ring IR ist nach [29] und Gleichung (3.24) durch

IR =Φ0

LG

(n− fR) β1+ β

(3.30)

dargestellt. Die Energiezustande ER des Rings sind nach [27] durch

ER =12

LKIR2 +

12

LGIR2. (3.31)

gegeben. Durch Verwenden von Gleichungen (3.25), (3.24) und (3.29) ergibt sich ER

zu

ER =Φ0

2LK(1+ β)( fR − n)2. (3.32)

Eine Phasenvorspannung wird in mehreren Schritten realisiert. Zunachst wird der

Ring oberhalb von TC einem Magnetfeld ausgesetzt, das in dem Ring ungefahr ein


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fR

ER

(n) n = −1n = 0n = 1

Abbildung 3.4: Einige Energiezustande ER(n) des Rings in Abhangigkeit von seiner FrustrationfR.

Flussquant hervorruft. Der Ring wird in Abhangigkeit dieses magnetischen Flusses

den niedrigsten Energiezustand einnehmen2. Dann wird er unter die kritische Tem-

peratur gekuhlt. Dabei nimmt der Ring den niedrigsten Energiezustand n = 1 an.

Wird das Magnetfeld abgeschaltet, kann der Ring nicht in den neuen Grundzustand

n = 0 ubergehen, da sich dafur seine Phase andern mußte. Da der Ring supraleitend

ist setzt dies voraus, dass die Dichte der supraleitenden Ladungstrager innerhalb der

Ringstruktur auf einer Lange, die in der Großenordnung der Koharenzlange ζ0 liegt,

Null wird und das Flussquant den Ring verlassen kann. Diese Koharenzlange, die

vom jeweiligen Supraleiter abhangt, ist ein Mass fur das Abklingen der makroskopi-

schen Wellenfunktion außerhalb des Supraleiters. Die ohne angelegten Strom benotigte

Energie fur diesen Vorgang betragt nach [27] und [31] ungefahr√

6IcΦ0/2π, wobei Ichier der kritische Strom des Rings ist. Nimmt man einen realistischen kritischen Strom

von 1 mA an so erntspricht die benotigte Energie fur diesen Prozess einer Temperatur

von mehr als 10000 K [27]. Ein auf diese Art”gefangener“ Fluss in einem Ring wird

auch als eingefroren bzw”frozen“ bezeichnet.

Im folgenden wird dieser Ring mit einem eingefrorenen Flussquant in einen supralei-

tenden Schaltkreis integriert. Im rechten Teil der Abbildung 3.3 ist dies am Beispiel

eines dc SQUIDs gezeigt. Dies hat zur Folge, dass dieser Ring auf zwei Arten auf das zu

2Dies hat ganz allgemein zur Folge, dass der n-te Energiezustand fur alle magnetischen Flusse Φext

mit (n− 0.5)Φ0 < Phiext < (n+ 0.5)Φ0 eingenommen wird. Ferner kann man nach [17] zeigen, dassfur das Einfrieren von n Flussquanten mindestens ein Magnetfeld benotigt wird, das in dem Ringeinen Fluss der Starke (n− 0.5)2Φ0 hevorruft.


beeinflussende Element einwirkt. Zum einen geht der Phasenunterschied γ gewichtet

mit as durch

γas

(3.33)

direkt in den eichinvarianten Phasenunterschied des zu beeinflussenden Elements ein.

Hier ist a der Anteil vom Umfang s, mit dem der Ring zur Stromleitung in dem zu

beeinflussenden Element beitragt. Andererseits erzeugt sein Fluss einen Beitrag zum

selbst induzierten Fluss dieses Elements. Ausgehend von supraleitenden Zuleitungen

zu den Josephson-Tunnelkontakten, die wie in Abschnitt 3.1 angenommen, dicker als

einige λL sein sollen, laßt sich die Linienintegration der Phasenanderung ∇Θ uber das

zu beeinflussende Element als∮ele∇Θ ds =

2πΦ0

(Φext + Φ

∗ind

)(3.34)

schreiben. Der Ausdruck Φ∗ind wird zu

Φ∗ind = Φind︸︷︷︸Element

−MIR︸︷︷︸Ring

(3.35)

umgeformt. Die Große M ist die Gegeninduktivitat und ist mit dem Kopplungsfaktor k

und den Induktivitaten der beteiligten Bauteile Li, in unserem Fall den geometrischen

Induktivitaten des Ringes und des dc SQUIDs, durch

M = k√

LRingLdc SQUID (3.36)

gegeben. Diese Große ist, wie die Induktivitaten auch, mit numerischen Simulationen

bestimmbar.

Der komplette Ausdruck fur die Phasenanderung lautet somit∮ele∇Θ ds + 2παn =

2πΦ0Φext + 2πα fR +

2πΦ0Φind. (3.37)

Die Große α ist nach [27] durch

α =

as +

MLGβ

1+ β(3.38)

definiert. Anhand von α kann man das Verhalten eines mit einer bestimmten Phase

vorgespannten Elements diskutieren [29]. Fur den Fall, dass die kinetische Induktivitat

LK dominiert, d.h. β 1, geht hauptsachlich der Phasenanteil der Phasenvorspan-


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Φext

/Φ0

Im

/Ic Referenz DC SQUID

π DC SQUIDπ/2 DC SQUID

2

Abbildung 3.5: Strom-Fluss-Charakteristik eines Referenz, π- und π/2 dc SQUIDs aus [27] (links)und die berechneten Kurven fur die drei dc SQUIDs (rechts). In beiden Graphen ist die Abhangigkeitdes auf den auf den kritischen Strom normierten, maximalen Strom des phasenvorgespannten dcSQUIDs vom ihn durchsetzenden normierten magnetischen Fluss wiedergegeben.

nung ein. Ist die geometrische Induktivitat LG dominant, d.h. β 1, so bestimmt

der Flussanteil der Phasenvorspannung das Verhalten. In den in [27] betrachteten dc

SQUIDs mit Phasenvorspannung war β ≈ 1.

Betrachten wir jetzt Gleichung (3.21), d.h. ein dc SQUID mit vernachlassigbarer

Selbstinduktivitat, und setzten wir die Phasenvorspannung ein, so erhalten wir den

maximalen kritischen Strom

Im = 2Ic |cos (π f + π( fR + n)α| . (3.39)

Aus einer Strom-Fluss-Charakteristik ist der Wert von α uber die Periodizitat be-

stimmbar. Fur die Strom-Fluss-Charakteristik aus dem linken Teil von Abbildung 3.5

ergeben sich α ≈ 0.46 fur das π dc SQUID und α ≈ 0.253 fur das π/2 dc SQUID.

Theoretisch erwartet man fur ein π dc SQUID α ≡ 0.5 und fur π/2 dc SQUID ein

α ≡ 0.25.

Kapitel 4

Supraleitende Quantenbits

Ein Quantenbit wird in seiner Funktionsweise ganz allgemein als ein Zweiniveausystem

beschrieben. Da diese Architektur-unabhangige Darstellung konsequenter Weise auch

supraleitende Quantenbits beschreibt, ist das Zweiniveausystem als Ausgangspunkt

dieses Kapitels gewahlt worden. Im Anschluss daran werden die zwei unterschiedli-

chen supraleitenden Quantenbitvarianten eingefuhrt. In Anlehnung an die zur Dar-

stellung des jeweiligen Zweiniveausystems verwendeten Freiheitsgrade, werden sie als

Phasen-Quantenbit und Ladungsquantenbit bezeichnet. Vor dem Hintergrund SQUID-

basierter Quantenbits werden das rf SQUID und das im Zentrum dieser Diplomarbeit

stehende”persistent current“ Quantenbit im folgenden Abschnitt detailliert diskutiert.

Experimentelle Resultate an”persistent current“ Quantenbits werden im letzten Ab-

schnitt dieses Kapitels kurz skizziert.

4.1 Das Zweiniveausystem

In klassischen Computern werden Informationen in Zeichenfolgen aus Bits, die die

Werte 0 und 1 annehmen konnen, verarbeitet und gespeichert. Ein Quantencomputer ,

so er realisiert werden kann, speichert Informationen in quantenmechanischen Zweini-

veausystemen und verarbeitet diese Informationen durch koharenzerhaltende Wechsel-

wirkung zwischen diesen Systemen [32]. Diese Zweiniveausysteme werden Quantenbits

oder kurz Qubits genannt [33]. Im Gegensatz zu klassischen Bits, konnen Qubits nicht

nur in den reinen Zustanden |0〉 und |1〉 sondern auch in Uberlagerungen oder Super-

positionen aus diesen reinen Zustanden existieren. Es ist generell moglich, quanten-

mechanische Zweiniveausysteme auf das bekannte Spin-12 System zu reduzieren und

deshalb ist dieses spezielle Zweiniveausystem auch Gegenstand der weiteren Diskus-

45

46 KAPITEL 4. SUPRALEITENDE QUANTENBITS

⟨∣⟩

⟨∣0⟩

⟨∣1⟩

z

x

y

Abbildung 4.1: Das Spin- 12 System, dargestellt auf der Bloch-Sphare mit den reinen Zustanden

|0〉 ≡ |↑〉 und |1〉 ≡ |↓〉 und dem allgemeinen Zustand |Ψ〉.

sion, die sich an Standardwerken der Quantenmechanik [34, 18] und an dem Skript

von Professor Gross [16] orientiert.

Ein quantenmechanisches Zweiniveausystem ist dadurch charakterisiert, dass es durch

zwei Basiszustande beschrieben werden kann, die im Folgenden mit |0〉 und |1〉 be-

zeichnet werden. Die entsprechenden Eigenenergien E0 und E1 dieser Eigenzustande

des Systems erhalten wir durch Losen der zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung

H |Ψ〉 = E |Ψ〉 . (4.1)

In Gleichung (4.1) ist H der zeitunabhangige Hamilton-Operator des Systems und

|Ψ〉 = α |0〉 + β |1〉 (4.2)

eine beliebige Superposition der zwei Basiszustande |0〉 und |1〉. α bzw. β ist die kom-

plexe Amplitude, mit der der jeweilige Basiszustand zu der Superposition |Ψ〉 beitragt.

Der Zustand |Ψ〉 ist auf eins normiert, d.h. es gilt |α|2 + |β|2 = 1. Der allgemeine zeitu-

4.1. DAS ZWEINIVEAUSYSTEM 47

nabhangige Ausdruck fur einen Zustand |Ψ〉 kann in der Form

|Ψ〉 = cosΘ

2e−ι

ϕ2 |0〉 + sin

Θ

2e+ι

ϕ2 |1〉 (4.3)

dargestellt werden. In Gleichung (4.3) beschreibt

Θ =|β|

|α|(4.4)

das Verhaltnis der Amplituden und ϕ ist durch den Unterschied der beiden Phasen-

faktoren der zwei Amplituden mit

ϕ = argβ − argα (4.5)

gegeben. Dieser allgemeine Zustand |Ψ〉 ist in Abbildung 4.1 dargestellt. Diese Form

der Darstellung entspricht der Darstellung der Zustande eines Spin-12 Systems auf der

Bloch-Sphare.

Zwei fur die Betrachtung der Energiezustande eines Qubits entscheidende Eigen-

schaften werden allerdings erst durch die Hinzunahme einer zusatzlichen, nicht im

Hamilton-Operator H enthaltenen Kopplung K dieser zwei Basiszustande verstand-

lich [16]. Wir betrachten deshalb jetzt den neuen Hamilton-Operator

Hs = H + K (4.6)

mit den Eigenzustanden |Ψ±〉 und den Eigenergien E±. Die Hinzunahme dieser endli-

chen Kopplung K resultiert somit in neuen Eigenzustanden die nicht mehr mit |0〉 und

|1〉 identisch sind und auch im Allgemeinen andere Energie E± haben werden. Kon-

sequenterweise sind die Zustande |0〉 und |1〉 auch nicht mehr stationar, d.h. existiert

das System im Zustand |0〉 zur Zeit t = 0, so gibt es eine endliche Wahrscheinlichkeit

P01(t) das System zu Zeit t = t ′ im Zustand |1〉 vorzufinden [16].

Vernachlassigt man die Storung in den Diagonalelementen, so ergibt sich der gestorte

Hamilton-Operator in der Matrixschreibweise zu

Hs =

E1 K12

K12 E2

. (4.7)

Diskutiert man diesen Hamilton-Operator Hs in der Basis der ungestorten Eigenzu-


−3 −2 −1 0 1 2 3 −3

−2

−1

0

1

2

ε0 / ∆

Ei / ∆ E

+

∆

E−

[ ε02 + ∆2 ]0.5

R

R

L

L

∝ [R − L]

∝ [R + L]

Abbildung 4.2: Energie eines 2 Niveau Systems mit endlicher Kopplung, die zu einer Abstoßung derreinen Zustande und somit zu einem anti-crossing-Verhalten fuhrt. Die Energie der reinen Zustandeist durch die gestrichelten Linien und die der Superpositionszustande durch die rote bzw. blaue Kurvedargestellt. Die Aufspaltung der Energieniveaus ist durch

√ε02 + ∆2 gegeben. R und L werden spater

benotigt und dort erklart.

stande |0〉 und |1〉 so ergeben sich die Eigenenergien E± der gestorten Zustande zu

E± = ±12

√ε0

2 + ∆2. (4.8)

Dabei wurden

ε0 =12

(E1 − E2) (4.9)

und ∆ = 2 |K12| (4.10)

verwendet. Die Große ∆ wird auch als Tunnelaufspaltung bezeichnet. Diese Energien

E± sind bereits um einen Offset, der auf das Verhalten des Zweiniveausystems keinen

Einfluss hat, verschoben worden. Dieser wurde so gewahlt, dass E± symmetrisch um

die Null verteilt sind wie es in Abbildung 4.2 dargestellt ist. Wie bereits weiter oben

erwahnt, kann jedes Zweiniveausystem auf das bekannte Spin-12 System zuruckgefuhrt

4.1. DAS ZWEINIVEAUSYSTEM 49

werden, das nach [35] mit dem Hamilton-Operator

Hspin =12µ0

Hz −Hx

−Hx −Hz

(4.11)

dargestellt werden kann, in dem Hx und Hz die Komponenten eines angelegten Ma-

gnetfeldes sind. Vergleichen wir Hspin und Hs, so stellen wir fest, dass beide denselben

physikalischen Sachverhalt beschreiben. Die reinen Zustande werden durch die Dia-

goalelemente E1 und E2 bzw. ± Hz beschrieben und Kopplung K12 bzw. Hx erzeugt

Mischzustande der zwei Diagonalzustande mit den Eigenenergien E±.

Im folgenden soll die Ubergangswahrscheinlichkeit P01(t), d.h. die zeitlichen Ent-

wicklung eines Zustands ergrundet werden. Losen wir die zeitabhangige Schrodinger-

Gleichung

ι∂

∂t|Ψ(t)〉 = Hs |Ψ(t)〉 , (4.12)

so erhalten wir die zeitliche Entwicklung des Systems. Ausgehend von einem Anfangs-

zustand mit t = t0|Ψ(t0)〉 = α0 |Ψ+〉 + β0 |Ψ−〉 (4.13)

ergibt sich fur den zeitabhangigen Zustand zur Zeit t = t′

∣∣∣Ψ(t′

)⟩= α0e

ι~E+(t

′−t0) + β0e

ι~E−(t

′−t0), (4.14)

in dem α0 und β0 durch die Anfangsbedingungen festgelegt sind. Strahlt man eine

elektromagnetische Welle in das durch eine Kopplung gestorte energetisch entartete

Zweiniveausystem ein, so oszilliert es zwischen den zwei ungestorten Zustanden [36].

Befindet sich unser Zweiniveausystem zur Zeit t = t0 in dem Zustand |0〉, so beschreibt

die Rabi-Formel [36] die zeitabhangige Wahrscheinlichkeit P01(t), es zur Zeit t = t′

im

Zustand |1〉 vorzufinden

P01(t′

) =A2

A2 + (√ε0

2 + ∆2 − ~ωEM)2sin2

[√A2 + (

√ε0

2 + ∆2 − ~ωEM)2 t′

2~

]. (4.15)

Die Große A in Gleichung (4.15) ist proportional zu ∆ Γ. ∆ ist wieder die Tunnelauf-

spaltung, Γ ist die Amplitude der eingestrahlten elektromagnetischen Welle und ωEM

deren Frequenz. Der Term √ε0

2 + ∆2 − ~ωEM (4.16)


beschreibt die Abweichung der Energie der eingestrahlten Frequenz von der Niveau-

Aufspaltung. Ein Wert fur A ist fur eine sinusformige Frequenzabhangigkeit der einge-

strahlten elektromagnetischen Welle nicht analytisch bestimmbar, sondern kann nur

uber die Naherung des Resonanzfalls√ε0

2 + ∆2 ≡ ~ωEM (4.17)

erhalten werden [37]. Fur diesen Fall findet man fur A nach [38] den folgenden Wert

A ≡∆Γ

2√ε0

2 + ∆2. (4.18)

4.2. SUPRALEITENDE QUBITS 51

CG

Supraleitende Insel

JJ

Elektronen Reservoir

fQubit

= 0.5C

J

(a) (b) (c)

JJC JJC

VG

Abbildung 4.3: Allgemeines Schema eines Qubits (b), Schema im Grenzfall eines Phasen- bzw.Fluss-Qubits mit einem Josephson-Tunnelkontakt (a) und eines Ladungsqubits (c). Im allgemeinenSchema (b) ist der Josephson-Tunnelkontakt durch eine Kapazitat CJ und einem idealen Josephson-Tunnelkontakt JJ dargestellt. Da der durch Gleichung (4.19) angegebene Fall betrachtet wird, in demQuasiteilchen vernachlassigt werden, wird auf einen parallelen Widerstand Rn in Teil (b) verzichtet.Der Grenzfall (a) geht aus (b) im Limit EJ0 EC hervor; (c) geht aus (b) im Limit EC EJ0

hervor und in beiden Darstellungen bezeichnet JJC die in (b) gezeigte Parallelschaltung aus derKapazitat CJ und einem idealen Josephson-Tunnelkontakt JJ. Das Phasen- bzw. Fluss-Qubit wirdnormalerweise wie in Teil (a) dargestellt mit fQubit = 0.5 betrieben. In Teil (c) dient die KapazitatCG der Ankopplung einer Kontrollspannung VG. Der durch die grune Linie eingeschlossene Bereichstellt die supraleitende Insel dar.

4.2 Supraleitende Qubits

Supraleitende Qubits konnen prinzipiell auf zwei Arten realisiert werden, namlich als

Phasen- bzw. Fluss- Qubit und als Ladungsqubit [35]. Die Cooper-Paare in einem

Phasen- bzw. Fluss-Qubit, die sich in einem supraleitenden Ring mit mindestens ei-

nem Josephson-Tunnelkontakt wie z.B. in Teil (a) der Abbildung 4.2 gezeigt, bewegen,

sind fur jeden fQubit-Wert in einem anderen Grundzustand.

Diese Grundzustande setzen sich, wie in Abbildung 4.2 durch R und L angedeutet,

aus jeweils unterschiedlichen Anteilen von Rechts und Links herumlaufenden Kreis-

stromen zusammen. Fur fQubit = 0.5, am sogenannten Entartungspunkt , entsprechen

die Grundzustande der symmetrischen bzw. antisymmetrischen Superposition der rei-

nen Zustande. Durch resonante elektromagnetische Strahlung wird dieses System aus

seinem Grundzustand in einen angeregten Zustand uberfuhrt und es treten koharente

Oszillationen zwischen diesen Zustanden auf.


Das Potential ist dabei, wie bereits in Abschnitt 2.4 fur einen Josephson-Tunnelkontakt

gezeigt worden ist, eine Funktion des eichinvarianten Phasenunterschieds am Josephson-

Tunnelkontakt und ein Ubergang in einen anderen Zustand ist immer auch mit ei-

ner Anderung dieser Große verbunden. Der ebenso verwendete Ausdruck Fluss-Qubit

ruhrt daher, dass diese makroskopischen Strome der Cooper-Paare eine Flussanderung

erzeugen, die z.B. uber ein zum Auslesen des Zustands verwendetes dc SQUID detek-

tiert werden kann. Im folgenden wird fur diese Qubits der Ausdruck”Phasen-Qubit“

verwendet. Somit ist der in Phasen-Qubits verwendete Freiheitsgrad der eichinvarian-

te Phasenunterschied am Josephson-Tunnelkoontakt.

In einem Ladungsqubit, wie es schematisch im Teil (c) der Abbildung 4.2 gezeigt ist,

besteht das Zweiniveausystem aus Zustanden der supraleitenden Insel, die durch das

Tunneln von Ladungstragern uber den Josephson-Tunnelkontakt schwach miteinan-

der gekoppelt sind. Falls mit der Josephson-Energie EJ0 aus Gleichung (2.14), der

Coulomb-Energie EC aus Gleichung (2.33) sowie ∆0 als supraleitender Energielucke

bei T = 0

EJ0EC∆0 (4.19)

gilt, kann man die Betrachtung auf Cooper-Paare beschranken [16]. Diese Zustande

der supraleitenden Insel unterscheiden sich dann durch eine Ladung von 2e−. Der in

Ladungsqubits verwendete Freiheitsgrad ist somit die Anzahl der Cooper-Paare auf

der supraleitenden Insel.

Das unterschiedliche physikalische Verhalten dieser zwei Arten von supraleitenden

Qubits ist durch das Verhaltnis der Josephson-Energie EJ0 und der Coulomb-Energie

EC charakterisiert. Reduziert man bei gleichbleibender Oxiddicke d die Flache eines

Josephson-Tunnelkontakts, so dominiert die Coulomb-Energie die Josephson-Energie

EC EJ0 (4.20)

und die Quantenzustande auf der supraleitenden Insel in Abbildung 4.2 haben La-

dungscharakter. In diesem Fall ist viel mehr Energie notig, um uber den Josephson-

Tunnelkontakt ein zusatzliches Cooper-Paar auf die supraleitende Insel zu bringen,

als eine Anderung des eichinvariaten Phasenunterschieds ϕ um 2π an dem Josephson-

Tunnelkontakt benotigt. Dies hat zur Folge, dass der eichinvariante Phasenunterschied

an dem Josephson-Tunnelkontakt unscharf ist.

4.2. SUPRALEITENDE QUBITS 53

Mit Gleichung (2.36), der Unscharferelation fur Cooper-Paare

∆N∆ϕ ≥ 1

laßt sich dieser Sachverhalt sehr anschaulich zeigen. Die Unscharfe ∆N in der Zahl der

Cooper-Paare auf der supraleitenden Insel geht gegen Null, d.h. N ist scharf definiert;

die Unscharfe des eichinvarianten Phasenunterschieds ∆ϕ auf der supraleitenden Insel

ist somit beliebig.

In solchen Ladungsqubits wurden zum ersten Mal koharente Oszillationen zwischen

verschiedenen Ladungszustanden nachgewiesen [12]. Allerdings weisen Ladungsqubits

einen signifikanten Nachteil auf, da Ladungsfluktuationen sowohl im Substrat als auch

in den Zuleitungen und in den Tunnelbarrieren eine schwer zu kontrollierende Quelle

fur Dekoharenz darstellen. Diese Ankopplung an die Umgebung spricht moglicherwei-

se gegen eine Skalierung hin zu mehr als ein paar Ladungsqubits [39]. Trotzdem stellen

Experimente mit Ladungsqubits eine wichtige Informationsquelle fur die Erforschung

der Quantenkoharenz dar [40].

Wird zusatzlich zur Flache des Josephson-Tunnelkontakts auch die Oxiddicke d redu-

ziert, so ubersteigt die Josephson-Energie die Coulomb-Energie

EJ0 EC (4.21)

und die Quantenzustande haben Phasencharakter. Mit einer ahnlichen Argumentati-

on wie oben, kann gezeigt werden, dass jetzt viel mehr Energie fur eine Anderung des

eichinvarianten Phasenunterschieds ϕ benotigt wird, als fur eine Anderung der Zahl

N der Cooper-Paare.

Phasen-Qubits lassen sich auf zwei Arten realisieren [39]. In der ersten Variante

handelt es sich um einen supraleitenden Ring mit entweder einem unterdampften

Josephson-Tunnelkontakt, auch als Radio Frequency (rf) SQUID [41] bekanntem

Qubit oder einem Ring mit drei unterdampften Josephson-Tunnelkontakten. Ob-

wohl beiden Ringstrukturen gemein ist, dass ihre Quantenzustande durch entgegen-

gesetzte, langlebige, makroskopische Kreisstrome, auch als”persitent currents“ (pc)

bezeichnet, erzeugt werden, wird nur der Ring mit drei unterdampften Josephson-

Tunnelkontakten normalerweise als”persistent current“ (pc) Qubit bezeichnet [13].

Diese langlebigen, makroskopischen Kreisstrome rufen ihrerseits eine Flussanderung

hervor, die z.B. uber ein dc SQUID ausgelesen werden kann. In Abbildung 4.2 ist auf


der linken Seite stellvertretend fur diese erste Variante der Phasen-Qubits ein Ring

mit einem Josephson-Tunnelkontakt, also ein rf SQUID, dargestellt.

Mit beiden Ringkonzepten ist im Experiment bereits das”anti-crossing“ der Energie

Niveaus nachgewiesen worden, das auf koharentem Phasen-Tunneln basiert [15, 42].

Mit der Drei-Kontakt-Variante wurden auch schon quantenmechanische Superpositio-

nen von Phasen-Zustanden, die sich aus entgegengesetzten, langlebigen, makroskopi-

schen Kreisstromen zusammensetzten, durch Messung von Rabi Oszillationen nach-

gewiesen [14]. Ferner wurde durch Koppeln von zwei pc Qubits uber eine spezielle

Ringstruktur, einem sogenannten”superconducting flux transporter“ , eine Moglich-

keit fur eine kontrollierte Ubertragung des durch die Superposition der Kreisstrome

erzeugten Flusses geschaffen und somit eine Verschrankung [43] der Qubits ermoglicht

[44].

Allgemein beschreibt eine Verschrankung eine Korrelation zwischen mehreren Sys-

temen, fur die charakteristisch ist, das eine Wechselwirkung mit nur einem System

immer auch die anderen Systeme beeinflusst. Diese konnen dabei, sofern sie mit dem

der Wechselwirkung ausgesetzten System verschrankt sind, beliebig weit von diesem

entfernt sein. Die Existenz solcher Zustande wurde bereits vor 20 Jahren eindrucksvoll

bewiesen [45]. Dieses Experiment [44] ist deshalb so bemerkenswert, da die immen-

se Leistungsfahigkeit eines potentiellen Quantencomputers zu einem großen Teil auf

dem Arbeiten mit verschrankten Einzelkomponenten basiert und es deshalb die Tur

zu weiteren notwendigen Entwicklungen fur einen Quantencomputer geoffnet hat.

Die zweite oben angesprochene Variante ist das Verwenden einzelner Josephson- Kon-

takte [46, 47], die fur Experimente zur Quantenkoharenz benutzt worden sind.

Gegenstand dieser Diplomarbeit ist das Phasen-Qubit und deshalb wird dieses Bau-

element im folgenden genauer diskutiert.

4.3. VOM RF SQUID ZUM PC QUBIT 55

4.3 Vom rf SQUID zum pc Qubit

4.3.1 Das rf SQUID

Die ersten Experimente, in denen makroskopisches Quantentunneln der Phase1 nach-

gewiesen wurde, sind an Einzel-Josephson-Tunnelkontakten durchgefuhrt worden [47,

46]. Im folgenden wurden auch rf SQUIDs fur Untersuchungen zum makroskopischen

Quantentunneln der Phase herangezogen, fur die hier stellvertretend auf [48] verwie-

sen wird. Diese Systeme wurden Anfang der 80iger Jahre von Caldeira, Leggett und

Garg [49, 50, 51] zur Untersuchung makroskopischer quantenmechanischer Effekte

vorgeschlagen [35]. Diese Experimente an rf SQUIDs konnen im Nachhinein als die

ersten Schritte in Richtung SQUID-basierter Qubits angesehen werden.

Betrachten wir ein rf SQUID, also einen Ring mit einem Josephson-Tunnelkontakt

wie er schematisch im Teil (a) der Abbildung 4.2 gezeigt ist, so wird dessen klassische

Hamilton Funktion nach [35] durch

HRF = −EJ0 cos

(2πΦsum

Φ0

)+

(Φsum − Φext)2

2L+

Q2

2CJ

(4.22)

beschrieben. In dieser Hamilton Funktion HRF steht L fur die Selbstinduktivitat des

Rings, Q fur die Elementarladung e− und CJ fur die Kapazitat des Josephson Tun-

nelkontakts. Die ersten zwei Terme beschreiben den Anteil der potentiellen Energie

U im Fall eines angelegten Magnetfeldes, das bezogen auf die Flache des rf SQUIDs

als Fluss Φext bezeichnet wird und in diesem einen Fluss Φsum hervorruft. Betrachtet

man nur diese potentielle Energie U und formt sie etwas um, so ergibt sich

UEJ0

= − cos

(2πΦsum

Φ0

)+Φ0

2

EJ02L(Φsum − Φext)

2

Φ02

= − cos

(2πΦsum

Φ0

)+ 2π

(2LIcΦ0

)−1 (Φsum − Φext)2

Φ02

.

(4.23)

Der Faktor in den runden Klammern vor dem zweiten Term in der potentiellen Energie

U wird auch als

βL =2LIcΦ0

(4.24)

1Diese Abkurzung soll ab hier fur den etwas unhandlichen Ausdruck ”eichinvarianter Phasenunter-schied“ im Zusammenhang mit dem Tunneln dieser Große verwendet werden.


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

2

4

6

8

10

12

2π Φext

/Φ0

U/EJ0

βL= 0.1

βL= 0.5

βL= 1

βL= 2

βL= 5

βL= 8

βL= 10

βL= 100

Abbildung 4.4: Potentielle Energie eines rf SQUIDs in Abhangigkeit von Φext fur verschiedene βL

mit einem Fluss Φsum ≡ 0.5Φ0. Es ist deutlich zu erkennen, dass fur βL < 1 kein Doppelmuldenpo-tential, wie es zur Darstellung von getrennten Phasen-Basiszustanden in einem Qubit benotigt wird,existiert.

bezeichnet. Da βL den maximal induzierten Fluss LIc normiert auf ein halbes Fluss-

quant Φ0/2 angibt, und somit nach der Lenz’schen Regel die maximale Abschwa-

chung des externen Flusses Φext beschreibt, wird βL auch als”screening parameter“

bezeichnet. Ein Doppelmuldenpotential, wie es zur Darstellung von getrennten Pha-

sen Zustanden in einem Phasen-Qubit benotigt wird, entsteht erst ab βL > 1, wie aus

Abbildung 4.4 ersichtlich ist. Hohere Werte von βL konnen entweder uber eine L- oder

Ic-Erhohung erreicht werden.

Die Induktivitat L skaliert mit der Flache ASQUID des rf SQUIDs. Vergroßerungen der

Flache machen das rf SQUID wesentlich empfindlicher fur Flussrauschen; auch der

kritische Strom kann aufgrund der benotigten, kleinen Kapazitaten der Josephson-

Tunnelkontakte nicht beliebig vergroßert werden.

In Abbildung 4.4 ist deutlich zu erkennen, dass mit steigendem βL die 2 Minima im-

mer weiter auseinander wandern und somit ein Tunneln der Phase fur große βL immer

starker unterdruckt wird. In Summe sprechen diese Argumente alle fur ein rf SQUID

mit βL ' 1.


JJ

fQubit

= 0.5I

1 I2

I3

ĚJ0

EJ0

γ1

EJ0

γ2

γ3

Abbildung 4.5: Rasterelektronenmikroskop Aufnahme aus [52] (links) und Schema (rechts) einespc Qubits mit 3 Josephson Tunnelkontakten. In der Aufnahme entspricht der weisse Balken 1µmund die Josephson-Tunnelkontakte sind durch Kreise hervorgehoben. Im Schema sind sie durch dieblauen Kreuze dargestellt und die Phasenvorspannung ist durch fQubit ≡ Φsum/Φ0 = 0.5 angedeutet.

Friedman et al. in Stony Brook arbeiteten mit einem rf SQUID, in dem anstatt eines

Josephson Tunnelkontakts ein kleines dc SQUID in die Ringstruktur integriert war.

Dieses dc SQUID ermoglicht durch Anlegen eines Flusses Φext eine einstellbare Barrie-

re zwischen den beiden Potentialmulden [15]. Ein βL = 2.33 reichte jedoch bereits aus,

um Tunneln zwischen den beiden Grundzustanden nahezu zu unterdrucken [35]. In

den beiden Potentialmulden existierten allerdings noch energetisch hohere Zustande

die wieder eine ausreichende Tunnelwahrscheinlichkeit aufwiesen. Die spektroskopisch

nachgewiesene Niveau Aufspaltung lies den Schluss zu, dass sich Superpositionen aus

unterschiedlichen Phasen-Zustanden aus den zwei Potentialtopfen aufgebaut haben.

Dieses spektroskopische Experiment stellte eine Leistung dar, wenngleich das verwen-

dete Qubit noch offensichtliche Nachteile beinhaltete wie z.B. die aufwendige Kontrolle

der Barrierenhohe mit einem zusatzlichen externen Fluss und das Einstellen der Bar-

rierenform uber βL oder die Tatsache, dass die verwendeten Superpositonen nicht aus

den Grundzustanden, sondern aus angeregten Zustanden aufgebaut waren.

4.3.2 Das pc Qubit

1999 wurde eine Design-Veranderung von Mooij et al. vorgeschlagen, die die oben

diskutierten Schwierigkeiten in der Darstellung des Doppelmuldenpotentials anhand


des Parameters βL elegant losen konnte [13, 44]. Die vorliegende Diplomarbeit setzt

sich mit pc Qubits dieser Art auseinander, deshalb sollen deren Eigenschaften etwas

ausfuhrlicher diskutiert werden.

Zur Optimierung wurde, im Gegensatz zum rf SQUID, ein viel kleinerer supraleitender

Ring mit drei Josephson-Tunnelkontakten, wie in Abbildung 4.5 als Schema und als

Rasterelektronenmikroskop Aufnahme dargestellt, als Qubit Struktur verwendet [13].

Der Vorteil eines kleineren Rings liegt nicht nur in seiner kleineren Induktivitat, die ihn

unempfindlicher gegenuber Flussrauschen macht, sondern ermoglicht auch eine hohere

Integrationsdichte in einem potentiellen Quantencomputer. Des Weiteren haben nur

zwei der drei Josephson-Tunnelkontakte identische Eigenschaften. Durch einen Para-

meter α wird eine Asymmetrie eingefuhrt. Der dritte Josephson-Tunnelkontakt hat

eine um den Faktor 0.5 ≤ α < 1 kleinere Flache als die zwei anderen [13]. Typischer-

weise wird α ≈ 0.75 gewahlt. Daraus resultiert fur die charakteristischen Energien

EJ0 = αEJ0 , (4.25)

EC = α−1EC. (4.26)

Unter Berucksichtigung der Stromrichtungen und der Richtung der Phasenvorspan-

nung aus Abbildung 4.5 erhalten wir auf dieselbe Art wie in Abschnitt 3.1 einen

Ausdruck fur den gesamten eichinvarianten Phasenunterschied der makroskopischen

Wellenfunktion. Dieser ist aus den einzelnen eichinvarianten Phasenunterschieden γi

der drei Josephson-Tunnelkontakte entlang des Rings in Abbildung 4.5 durch

γ1 − γ2 + γ3 = 2πn− 2π fQubit (4.27)

zusammengesetzt. Hier wurde wieder angenommen, dass die Abmessungen des Quer-

schnitts der Ringstruktur großer als λL sind. Im Folgenden betrachten wir einen Ring

mit vernachlassigbarer Selbstinduktivitat L; damit wird Φsum ≡ Φext. Nutzen wir jetzt

Gleichung (2.13) und erweitern sie durch Summation auf drei Josephson Tunnelkon-

takte so ergibt sich

U =∑

i

EJ0 i (1− cosγi) . (4.28)


Abbildung 4.6: Potentielle Energie eines pc Qubits im 2π × 2π periodischen Phasenraum aufge-spannt von γ1 und γ2. Die dunkelblauen Gebiete sind Energieminima und die dunkelroten Gebietebeschreiben Energiemaxima. Die Linie entlang Tin beschreibt den Barrierenverlauf fur intrazellu-lares und die entlang Tout den fur das interzellulare Tunneln der Phase. Die in dieser Rechnungverwendeten Parameter waren α = 0.75 und fQubit = 0.5.

Setzten wir jetzt Gleichung (4.27) in Gleichung (4.28) ein und berucksichtigen wir

Gleichung (4.25), so erhalten wir fur die potentielle Energie U eines PC Qubits

UEJ0

= 2+ α − cosγ1 − cosγ2 − α cos(2π fQubit + γ1 − γ2

). (4.29)

In Abbildung 4.6 ist die potentielle Energie U im 2π × 2π periodischen Phasenraum,

der von γ1 und γ2 aufgespannt wird, dargestellt. Fur Werte von fQubit ≈ 0.5 und α > 0.5

ergeben sich in jeder 2π× 2π großen Einheitszelle stabile Zustande, die fur fQubit ≡ 0.5

energetisch entartet sind [13]. In Abbildung 4.6 sind die zwei Minima in der zentra-

len Einheitszelle mit L00 und R00 bezeichnet. Die Grundzustande in diesen Minima

entsprechen jeweils den langlebigen, makroskopischen Kreisstromen Ip mit entgegen-

gestzter Umlaufrichtung und identischer Starke. Die Gesamtheit aller Li j Zustande in

dieser Potentiallandschaft beschreibt somit den einen makroskopischen Zustand und

die Gesamtheit der Ri j Zustande den anderen makroskopischen Zustand des Qubits.

Das makroskopische koharente Quantentunneln der Phase kann, wie in Abbildung 4.6


1

2

4.5

γint

U/EJ0

α = 0.5 fQubit

= 0.500α = 0.6 f

Qubit = 0.500

α = 0.7 fQubit

= 0.500α = 0.8 f

Qubit = 0.500

α = 0.9 fQubit

= 0.500α = 1.0 f

Qubit = 0.465

α = 1.0 fQubit

= 0.535

L00

R00

Abbildung 4.7: Energiebarriere fur intrazellulares Tunneln der Phase entlang der Linie Tin inAbbildung 4.6. Die Barrierenhohe ist stark von α abhangig und fur α < 0.7 bildet sich kein Doppel-muldenpotential. Zusatzlich ist die Asymmetrie fur Abweichungen von fQubit = 0.5 zu großeren bzw.kleineren Werten hin fur α = 1 gezeigt.

dargestellt, uber einen intrazellularen Pfad , d.h. innerhalb einer Einheitszelle entlang

Tin und einen interzellularen Pfad , d.h. zwischen zwei Einheitszellen entlang Tout erfol-

gen. In Abbildung 4.7 ist die Energiebarriere fur den intrazellularen Pfad entlang Tin

fur einige Werte von α und fQubit = 0.5 gezeigt. Es ist deutlich erkennbar, dass sich ein

Doppelmuldenpotential erst fur α ≈ 0.7 bildet. Eine Abweichung von fQubit = 0.5 er-

zeugt eine Asymmetrie im Potential wie sie fur fQubit = 0.465bzw. fQubit = 0.535gezeigt

ist. Die Energiebarriere fur den interzellularen Pfad in Abbildung 4.8 ist wesentlich

hoher, breiter und nahezu α-unabhangig. Ein Tunneln zwischen den Einheitszellen ist

fur α ≈ 0.75 gegenuber einem Tunneln in der Einheitszelle unterdruckt.

Diese Unterdruckung des interzellularen Tunnelns ermoglicht erst die Beobachtung

von koharenten Oszillationen der Phase durch makroskopisches Quantentunneln. Oh-

ne diese Einschrankung konnte sich die Phase vollkommen frei in der Potentialland-

schaft aus Abbildung 4.6 bewegen.

Mit Hilfe der Tunnelmatrixelemente, die nach [13] mit der Wentzel-Kramers-Brillouin

Naherung berechnet werden konnen, laßt sich diese Tunnelunterdruckung rechnerisch


1

2

4.5

γout

U/EJ0 α = 0.5 f

Qubit = 0.500

α = 0.6 fQubit

= 0.500α = 0.7 f

Qubit = 0.500

α = 0.8 fQubit

= 0.500α = 0.9 f

Qubit = 0.500

α = 1.0 fQubit

= 0.465α = 1.0 f

Qubit = 0.535

R00

L10

Abbildung 4.8: Energiebarriere fur interzellulares Tunneln der Phase entlang der Linie Tout inAbbildung 4.6. Die Barrierenhohe ist hier nahezu α-unabhangig. Zusatzlich ist die Asymmetrie furAbweichungen von fQubit = 0.5 zu großeren bzw. kleineren Werten hin fur α = 1 gezeigt.

nachweisen. Fur das Matrixelement Tin zwischen den Minima der Einheitszelle L00

und R00 ergibt sich mit α = 0.75 und fQubit = 0.5 demnach

Tin ≈ ~ωpq exp

−0.64

√EJ0

EC

(4.30)

und fur das Matrixelement Tout zwischen den benachbarten Minima zweier Einheits-

zellen z.B. zwischen L10 und R00 erhalten wir wieder mit α = 0.75 und fQubit = 0.5

Tout ≈ ~ωpq exp

−1.5

√EJ0

EC

. (4.31)

Aus Gleichung (4.30) und Gleichung (4.31) ist die großere Tunnelamplitude fur Tin

direkt ersichtlich. ωpq steht fur die Plasmafrequenz des pc Qubits, fur die in diesem

Fall nach [44] gilt

~ωpq ≈ 2.3√

EJ0EC. (4.32)


Hier wird die technologische Herausforderung bei der Herstellung des pc Qubits deut-

lich. Die Plasmafrequenz ωpq muss einerseits klein gegen die Barrierenhohe sein, um

definierte Zustande mit messbaren Stromen zu zulassen und andererseits groß genug

um eine ausreichende Tunnelwahrscheinlichkeit zu ermoglichen [44]. Wie aus Glei-

chung (4.32) ersichtlich, kann diese Balance prinzipiell uber die Josephson-Energie

EJ0 oder die Coulomb-Energie EC eingestellt werden. Die Kunst liegt darin, zusatzlich

zu den Bedingungen, die ωpq an diese beiden Energien stellt, sowohl eine ausreichend

hohes Verhaltnis von EJ0 zu EC zu erreichen um einerseits in das Phasen-Regime der

Josephson-Tunnelkontakte zu kommen und andererseits noch ein ausreichend großes

Tunnelmatrixelement Tin zu gewahrleisten.

Die klassische Hamilton-Funktion fur dieses Qubit setzt sich wieder aus der poten-

tiellen und der kinetischen Energie zusammen. Die kinetische Energie ist prinzipiell

wie in Abschnitt 2.4 durch die Coulomb-Energien der Kapazitaten der Josephson-

Tunnelkontakte durch

T =∑

i

12

CiV2 (4.33)

gegeben. Setzten wir in Gleichung (4.33) Gleichung (2.11) ein und verwenden Glei-

chung (4.27), so erhalten wir fur die kinetische Energie den folgenden Ausdruck:

T =12

C

(Φ0

2π

)2 [γ1

2 + γ22 + α (γ2 − γ1)

2]

(4.34)

Dieses Ergebnis setzt einen zeitlich konstanten Fluss im Qubit Φsum voraus und da

wir die Selbstinduktivitat des Rings vernachlassigen, ist dieser identisch mit Φext.

Benutzen wir wieder den Lagrange Formalismus, so erhalten wir mit Gleichung (4.29)

und Gleichung (4.34)

H =12

C

(Φ0

2π

)2 [γ1

2 + γ22 + α (γ2 − γ1)

2]

+ EJ0

[2+ α − cosγ1 − cosγ2 − α cos

(2π fQubit + γ1 − γ2

)],

(4.35)

die klassische Hamilton-Funktion des pc Qubits. In [13] werden durch eine quanten-

mechanische Behandlung der klassischen Hamilton-Funktion aus Gleichung (4.35) in

Kombination mit numerischen Berechnungen die Eigenfunktionen und Eigenenergien

dieses Systems ermittelt. In Abbildung 4.9 sind die ersten funf Energieniveaus, die mit

[53] fur α = 0.75 und EJ0/EC = 100berechnet wurden, gezeigt. Es ist deutlich ersicht-


0.49 0.495 0.5 0.505 0.51 fQubit

E

Abbildung 4.9: Berechnung der ersten 5 Energieniveaus des pc Qubits mit [53]. Fur diese Simulationwurde α = 0.75 und EJ0/EC = 100 verwendet. Um den Entartungspunkt fQubit ≡ 0.5 sind die beidenuntersten, die fur das Zweiniveausystem verwendet werden, deutlich von den hoheren Energieniveaussepariert.

lich, dass in einer kleinen Umgebung um den Entartungspunkt, 0.495≤ fQubit ≤ 0.505,

die ersten beiden Energieniveaus sehr gut von den hoheren Energieniveaus separiert

sind. In diesem Bereich ist der Abstand der beiden Energieniveaus maximal halb so

groß, wie die Entfernung zum dritten Energienieveau. Betrachtet man nur diese zwei

Energieniveaus, so kann man das Verhalten des Qubits in einem Zweiniveausystem

beschreiben.

Die Eigenenergien in der Form von Gleichung (4.8) resultieren nach [13] aus dem

Hamilton-Operator

HQubit =12

ε0 −∆

−∆ −ε0

. (4.36)

Fur ε0 gilt nach [14]

ε0 = 2Ip

(fQubit −

12

)Φ0, (4.37)


wobei der Strom Ip den langlebigen Dauerstrom, der sich aus einem der energetisch

entarteten klassischen Grundzustande des Zweiniveausystems ergibt, darstellt und ∆

wieder der Tunnelaufspaltung entspricht.

4.4. EXPERIMENTELLE RESULTATE MIT PC QUBITS 65

Abbildung 4.10: Zwei in Delft realisierte Qubitvarianten; die roten Kreise kennzeichnen die dcSQUID Josephson-Tunnelkontakte und die grunen Kreise die des Qubits. Links die erste mit einerinduktiven Ankopplung an das zum Auslesen benotigte dc SQUID [52]. Der weisse Balken entspricht3µm. Rechts die zweite Variante mit einer galvanischen Ankopplung an das zum Auslesen benotigtedc SQUID [14]. Die beiden Pfeile stellen die zwei klassischen Grundzustande des links und rechtsherumlaufenden Stroms dar.

4.4 Experimentelle Resultate mit pc Qubits

In diesem Abschnitt werden kurz die wichtigsten experimentellen Resultate der bei-

den in Delft realisierten Qubit Designvarianten wiedergegeben. Die im linken Teil der

Abbildung 4.10 dargestellte Designvariante 1 enthalt ein 7× 7µm2 großes dc SQUID,

das ein 5 × 5µm2 großes pc Qubit umschliesst. Die kritischen Strome der großeren

Josephson-Tunnelkontakte sind Ic = 570± 60 nA und ihre Kapazitat C = 2.6± 0.4 fF.

Mit der aus dem linken Teil der Abbildung 4.10 abgeschatzten Flache eines dieser zwei

Josephson-Tunnelkontakte von 500× 180 nm2 ergibt sich eine kritische Stromdichte

von 636 Acm−2. Der dritte Josephson-Tunnelkontakt dieses Qubits ist um einen Faktor

α ≈ 0.8 kleiner und somit resultiert fur das Verhaltnis der charakteristischen Energien

EJ0/EC = 38± 8 [52]. Die Parameter der Josephson-Tunnelkontakte des dc SQUIDs,

Ic = 109± 5 nA und C = 0.6 ± 0.1 fF, die Selbstinduktivitat L = 11± 1 pH sowie die

Gegeninduktivitat zwischen dc SQUID und Qubit M = 7 ± 1 pH sind ebenfalls [52]

entnommen.

Mit diesem Aufbau, der zum Auslesen ein dc SQUID induktiv an das Qubit ankoppelt,

wurde bereits die Energieaufspaltung des Zweiniveausystems spektroskopiert. Zu die-

sem Zweck wurden die verschiedenen”switching“ Strome in Abhangikeit von Φext bei

verschiedenen Frequenzen der eingestrahlten Mikrowelle gemessen. Der”switching“


Abbildung 4.11: Energieniveau Spektroskopie aus [52]. In diesem Graph sind die in Abhangigkeitvon Φext(Φ0) gemessenen ”switching“ Strome bei verschiedenen Frequenzen in GHz, auf der rechtenAchse angegeben, dargestellt.

Strom ist dabei der Strom, bei dem das dc SQUID in den Spannungszustand schal-

tet. Das durch das dc SQUID gemessene Flusssignal des pc Qubits wird in Form von

ISw, einem gemittelten”switching“ Strom dargestellt [52]. In Abbildung 4.11 ist dieser

Strom gegen den externen Fluss aufgetragen. Die von der Frequenz abhangigen”dip“

und”peak“ Strukturen, die symmetrisch um 0.5Φ0 sind, treten bei Werten von Φext

auf, an denen die Niveauaufspaltung in Resonanz mit der eingestrahlten Mikrowelle

ist. An diesen Stellen regt die Mikrowelle Ubergange zwischen den Superpositionen

der reinen Zustande an. Durch Auftragen der”dip“ und

”peak“ Strukturen in Abhan-

gigkeit von Φext(Φ0) erhalt man dann eine zu Abbildung 4.2 ahnliche Darstellung.

In der anderen, im rechten Teil der Abbildung 4.10 dargestellten, Designvariante 2

wird das Qubit galvanisch an das dc SQUID gekoppelt. Die kritischen Strome der zwei

großeren Josephson-Tunnelkontakte sind ungefahr 0.5µA, α = 0.8 und EJ0/EC = 34.65

mit EC = 7.36 GHz. Die kritischen Strome der zwei Josephson-Tunnelkontakte des

dc SQUIDs sind ≈ 2.2µA und das Verhaltnis der dc SQUID- zur Qubit-Flache ist

3:1. Fur eine moglichst gute Abschatzung der kritischen Stromdichte wurde aus dem

Wert der Coulomb-Energie und dem Verhaltnis EJ0/EC der mittlere kritische Strom

der Josephson-Tunnelkontakte uber

EJ0 = 34.65ECh =IcΦ0

2π(4.38)

4.4. EXPERIMENTELLE RESULTATE MIT PC QUBITS 67

Abbildung 4.12: Ubergang aus dem Grundzustand in den angeregten Zustand (oben) und Reso-nanzfrequenzen der Ubergange gegen die auf Φ0 normierte Abweichung ∆Φext aufgetragen (unten)aus [14]. Der um den Hintergrundstrom des dc SQUIDs Ibg korrigierte und auf den Mittelwert Istepnormierte Strom Isw ist in der oberen Abbildung gegen die Abweichung ∆Φext aufgetragen. Die Große∆γq gibt die Abweichung von der gepunkteten Symmetriachse an. In der unteren Figur entspricht diegestrichelte Linie einem Fit mit EJ0/EC = 34.65. Die aus den Daten resultierende Tunnelaufspaltung∆ ist ebenfalls angegeben.

berechnet. Berucksichtigen wir die Asymmetrie der drei Josephson-Tunnelkontakte

durch

Ic =0.8+ 2

3Ic, (4.39)

so erhalten wir fur den kritischen Strom der großeren Josephson-Tunnelkontakte Ic =

570 nA. Durch Abschatzen der Flache eines der großeren Josephson-Tunnelkontakte

aus dem rechten Teil der Abbildung 4.10 zu 278× 180 nm ergibt sich fur die kriti-

sche Stromdichte ein Wert von 1139 Acm−2. Die Gegeninduktivitat zwischen dem dc

SQUID und dem Qubit ist durch M ≈ 9 pH [14] gegeben. Diese starkere Kopplung

resultiert aus der gemeinsamen kinetischen und geometrischen Induktivitat und ver-

starkt das Qubit Signal; nachteilig dabei ist die große Zahl der Quasiteilchen, die bei

jedem Auslesevorgang durch das dc SQUID injiziert wird. In Abbildung 4.12 sind


Abbildung 4.13: Abhangigkeit der Rabi-Frequenzen von der Mikrowellenamplitude (links) undRamsey-Interferenzexperiment (rechts) aus [14]. Links ist der charakteristische lineare Zusammen-hang zwischen der Rabi-Frequenz und der Mikrowellenamplitude deutlich zu erkennen; die Geradeist ein linearer Fit und die Punkte stellen die Messdaten dar. Rechts entsprechen die Punkte ebenfallsden Messdaten und aus der angefitteten Kurve ergibt sich τϕ ≈ 20 ns.

die durchgefuhrten spektroskopischen Messungen an diesem Qubit gezeigt. Der obere

Graph zeigt dabei einen”dip“ und einen

”peak“ bei der Frequenz 16 GHzund der un-

tere Teil das Ergebnis, wenn man alle”dips“ und

”peaks“ nach ihrer Frequenz uber der

Abweichung vom Entartungspunkt ∆Φext auftragt. Diese Abweichung kommt durch

den vom dc SQUID induzierten Fluss zustande.

In den folgenden Experimenten an diesem Qubit konnten Rabi-Oszillationen, wie

in Abbildung 4.13 gezeigt, beobachtet werden. Aus der Periodizitat dieser Rabi-

Oszillationen wurde eine, von der eingestrahlten Leistung unabhangige, Abklingzeit

tRabi = 150 nsgefunden. Diese sehr lange Abklingzeit ist ein Beleg fur einige hundert

koharente Rabi-Oszillationen [14]. Experimente bei einer Rabi-Frequnz von 5.71 GHz

ergaben eine Relaxationiszeit von einem angeregten Zustand in einen Grundzustand

von 900 ns. Durch Ramsey-Interferenzexperimente [54] wurde eine Zeit τϕ ≈ 20 ns

fur das Auseinanderlaufen der Phase eines Superpositionszustands gemessen. Der an-

geregte Zustand wurde durch einen π/2-Puls erzeugt. Mit einem zweiten π/2-Puls

wurde dann die Besetzung der reinen Zustande uber die Ubergangswahrscheinlichkeit

bestimmt. Das Ergebnis dieser Messung ist im rechten Teil von Abbildung 4.13 ge-

zeigt. Die Autoren geben als moglichen Grund fur diesen sehr großen Unterschied in

den beiden Zeiten eine zeitliche Variation in der Niveauaufspaltung des Qubits an,

deren Ursache in externem oder internem Rauschen zu suchen ist [14].

Kapitel 5

Probenherstellung und Messaufbau

Dieses Kapitel beginnt mit einer detaillierten Beschreibung der Probenherstellung.

Die im anschliessenden Abschnitt gezeigten Rasterelektronenmikroskop Aufnahmen

von hergestellten pc Qubits und phasenvorgespannten dc SQUIDs, stammen aus Pro-

benserien, anhand derer die Designstabilitat der Herstellungsprozesse erfolgreich nach-

gewiesen wurde. Designstabilitat bedeutet hier diese sehr kleinen, komplexen Struktu-

ren, die das Produkt sehr storanfalliger Einzelprozesse sind, reproduzierbar herzustel-

len. Diese Designstabilitat konnte in vielen Proben sehr gut nachgewiesen werden. Im

zweiten Teil dieses Kapitels wird auf den 3He-gekuhlten Messaufbau eingegangen und

der zur schnelleren Erst-Charakterisierung konstruierte Probenstab fur diesen Mess-

einsatz vorgestellt. Dieses Kapitel schliesst mit einer schematischen Beschreibung des

elektronischen Messaufbaus.

5.1 Probenherstellung

Alle Proben wurden auf einem Silizium Wafer mit 1 Zoll Durchmesser hergestellt.

Dabei wurden die einzelnen Baugruppen durch Schattenbedampfung [55, 56] erzeugt.

Zuerst wird das Substrat im Ultraschallbad in Azeton und Isopropanol gereinigt.

Die Herstellung ist in Abbildung 5.1 schematisch dargestellt und im Anhang A sind

die wichtigsten Parameter der einzelnen Herstellungsschritte wiedergegeben. Auf dem

gereinigten Wafer wird zuerst eine ca. 690 nmdicke Lackschicht aus PMMA/MA auf-

gebracht. Nachdem der Resist bei 160C fur mindestens 100 min ausgebacken wur-

de, wird eine weitere Resistschicht aus PMMA mit ca. 70 nmDicke aufgebracht, die

fur mindestens 60 min bei 100C ausgebacken wird. Die dunnere Lackschicht dieses

Zweilagen-Resists ist unempfindlicher gegenuber Elektronenbestrahlung, d.h. in dem

69

70 KAPITEL 5. PROBENHERSTELLUNG UND MESSAUFBAU

PMMAPMMA/MA

Substrat

e- e-

(a) (b)

(c)

Al

(d)

O2

(e)

Al

-γ

γ

(f)

JJ

Resistbrücke

Abbildung 5.1: Schema der Probenherstellung. (a) ein Muster wird mit einem Elektronenstrahlaus einem REM in den Zweilagen-Resist geschrieben. (b) nach der Entwicklung bleibt eine freitra-gende Resistbrucke ubrig, die durch den Unterschnitt erzeugt wird und fur die Schattenbedampfunggrundlegend ist. (c) danach wird die erste Aluminiumschicht unter einem Winkel γ aufgedampft.(d) die Tunnelbarriere wird durch Oxidation dieser Aluminiumschicht erzeugt. (e) die zweite Alu-minumschicht wird unter einem Winkel −γ aufgedampft. (f) nach dem Entfernen des Photoresistsbleibt nur die Aluminiumstruktur ubrig, die direkt auf das Substrat aufgedampft wurde. Der darausresultierende Josephson-Tunnelkontakt ist durch den Kreis und ”JJ“ gekennzeichnet.

5.1. PROBENHERSTELLUNG 71

Abbildung 5.2: Photo des um ±45 kippbaren Probenhalters der EVAP. Die roten Pfeile markierendie Anschlusse an einen mit flussigem Stickstoff betriebenen Kuhlkreislauf.

nach der Belichtung erfolgenden Entwicklungsprozess mit einem Isopropanol-MIBK-

Gemisch im Verhaltnis 4:1 lost sich dieser Resist wesentlich weniger stark. Daraus

resultiert der fur die Schattenbedampfung notwendige Unterschnitt , auch “undercut“

genannt, durch den die”Maske“ fur die Bedampfung aus der Struktur in der PMMA

Resist-Schicht erzeugt wird.

Nach der Belackung des Wafers wird dieser im Rasterelektronenmikroskop (REM)

mit der gewunschten Struktur durch einen Elektronenstrahl belichtet. Dieser Prozess-

schritt ist in Abbildung 5.1 (a) dargestellt. Es kommt zur Ausbildung einer Streubirne,

die bei der fur den Schreibprozess verwendeten Beschleunigungsspannung von 20 kV

ublicherweise einen Durchmesser von 2µm hat. Durch den Elektronenstrahl werden

die langkettigen PMMA-Molekule in kurzere Ketten zerlegt. Da die dickere Schicht

wesentlich empfindlicher gegenuber Elektronen als die dunnere ist, konnen dort ge-

streute Elektronen die Polymerketten effektiver zerlegen. Bei den gewahlten Resistdi-

cken fuhrt dies dazu, dass sich im Entwicklungsschritt in Abbildung 5.1 (b) mit dem

Entwickler in der PMMA/MA-Schicht ein Unterschnitt herauslosen lasst und eine

Maske fur die gewunschte Struktur entsteht. Das Herauslosen exponierter Bereiche in

der Resiststruktur ist charakteristisch fur die verwendeten Positivresiste.

Danach wird der Wafer in eine Elektronenstrahlverdampfungsanlage (EVAP) mit ei-


nem um ±45 kippbaren Probenhalter eingebracht, der in Abbildung 5.2 dargestellt

ist. Im ersten Schritt der dreiteiligen Schattenbedampfung wird eine ca. 15 nm dicke

Aluminiumschicht unter einem Winkel γ = 16 aufgedampft. Im Gegensatz zur

Resist-Oberflache, wird das Substrat nur an den Stellen mit Aluminium bedampft, an

denen das Aluminium, wie in Abbildung 5.1 (c) gezeigt, die Maskenstruktur passieren

kann. Um das Kollabieren der Resistkanten wahrend dem Bedampfen zu verhindern,

wird der Wafer thermisch an einen, mit flussigem Stickstoff gekuhlten, Kupferblock

angekoppelt. Dessen Leitungen sind in Abbildung 5.2 durch die roten Pfeile markiert.

Im zweiten Schritt, dargestellt in Abbildung 5.1 (d), wird diese Aluminiumschicht

mit reinem Sauerstoff oder einem Sauerstoff-Argon Gemisch mit einem Produkt aus

Sauerstoffpartialdruck und Oxidationszeit von 0.01− 19 mbarsoxidiert. Der Oxidati-

onsdruck, die Oxidationszeit und die Probentemperatur wahrend der Oxidation be-

stimmen die Oxiddicke, und sind somit die Parameter zum Einstellen der Kapazitat

und des kritischen Stroms des Josephson-Tunnelkontaks. Im dritten Schritt wird eine

zweite ca. 15 nmdicke Aluminiumschicht unter einem Winkel von γ = −16 aufge-

dampft.

Im letzten Herstellungsschritt wird die Resistmaske in heissem Azeton von dem Wafer

gelost; alles auf den Resist aufgedampfte Aluminium wird dabei auch von der Probe

entfernt und es bleibt nur das direkt auf das Substrat aufgedampft Aluminium ubrig.

Dieser Prozessschritt wird auch als”lift-off“ bezeichnet. Der Ausdruck Schattenbe-

dampfung resultiert aus dem Uberlapp der zwei durch die Resistbrucke erzeugten

”Schatten“, die mit der Oxidbarriere den Al-Al2O3-Al Josephson-Tunnelkontakt bil-

den. In Abbildung 5.1 (f) ist der Josephson-Tunnelkontakt durch einen roten Kreis

hervorgehoben.

5.2. REM AUFNAHMEN HERGESTELLTER QUBITS UND DC SQUIDS 73

Abbildung 5.3: REM Aufnahme der Zuleitungsstrukturen. Das grungestrichelte Quadrat markiertdas Schreibfeld, in das die zu vermessenden Strukturen geschrieben werden.

Abbildung 5.4: REM Aufnahme der Qubit Designvariante 1 (links) und eine REM Detailaufnahmedieser Variante (rechts). In diesem, im Rahmen dieser Diplomarbeit hergestellten, pc Qubit bezeich-nen die roten Kreise die dc SQUID Josephson-Tunnelkontakte und die grunen Kreise die des Qubits.Rechts ist eine Detailaufnahme des kleineren Josephson-Tunnelkontakts des Qubits und des unterendes dc SQUIDs gezeigt.

5.2 REM Aufnahmen hergestellter Qubits und dc

SQUIDs

Die Rasterelektronenmikroskop Aufnahme in Abbildung 5.3 zeigt eine 1×1 mm2 große

Zuleitungsstruktur, mit dem in deren Mitte liegenden 100× 100µm2 großen Schreib-

feld. In dieses Schreibfeld konnen jeweils vier zu vermessende Strukturen geschrieben

und uber die 16 Bondpads mit dem elektrischen Messaufbau verbunden werden.

Im folgenden werden einige Rasterelektronenmikroskop (REM) Aufnahmen von Struk-

turen, die im Rahmen dieser Diplomarbeit hergestellt wurden, gezeigt. Diesen Struk-

turen ist gemein, dass sie alle noch nicht elektronisch charakterisiert worden sind. Die


Abbildung 5.5: REM Aufnahme der Qubit Designvariante 2 (links) und REM Detailaufnahme derQubit Josephson-Tunnelkontakte (rechts). In diesem, im Rahmen dieser Diplomarbeit hergestellten,pc Qubit, kennzeichnen die roten Kreise die dc SQUID Josephson-Tunnelkontakte und die grunenKreise die des Qubits. Rechts ist eine Detailaufnahme der Josephson-Tunnelkontakte des Qubits zusehen.

Abbildung 5.6: REM Aufnahme eines π/2 dc SQUIDs. Dieses π/2 dc SQUID wurde im Rahmen die-ser Diplomarbeit hergestellt; die roten Kreise kennzeichnen die dc SQUID Josephson-Tunnelkontakteund der grune Kreis die fur die Phasenvorspannung des dc SQUIDs verwendete Ringstruktur.

Qubitstrukturen, die in Abbildung 5.4 und in Abbildung 5.5 dargestellt sind, konnten

noch nicht vermessen werden, da der dafur benotigte Messaufbau noch fertiggestellt

wird; phasenvorgespannte dc SQUIDs, wie das in Abbildung 5.6 gezeigte, konnten aus

Zeitgrunden nicht mehr vermessen werden, obwohl der im Rahmen dieser Diplomar-

beit konstruierte Probenstab (vgl. Abschnitt 5.3.2) dafur ausgelegt worden ist.

In der in Abbildung 5.4 gezeigten Designvariante 1 eines pc Qubits, wurde fur die

großen Josephson-Tunnelkontakte eine Flache von 500× 180 nm2 gewahlt. Die Flache

des Qubits wurde hier zu 4 × 5µm2 und die des dc SQUIDs zu 6 × 6.6µm2 gewahlt.

Die Detailaufnahme zeigt den unteren Josephson-Tunnelkontakt des dc SQUIDs und

den um einen Faktor α ≈ 0.8 kleineren Josephson-Tunnelkontakt des Qubits.

Fur die großen Josephson-Tunnelkontakte in der in Abbildung 5.5 dargestellten De-

5.2. REM AUFNAHMEN HERGESTELLTER QUBITS UND DC SQUIDS 75

signvariante 2 wurde eine Flache von 100× 100 nm2 gewahlt. Die Flache des Qubits

einschliesslich des dc SQUIDs ist ungefahr 4× 2µm2. Der mittlere Qubit Josephson-

Tunnelkontakt ist um einen Faktor α ≈ 0.8 kleiner als die beiden anderen. Der Einfluss,

der wahrend der Aufnahme erzeugten elektrischen Aufladung, macht sich, aufgrund

der relativ kleinen Flache, in der Detailaufnahme deutlich bemerkbar und hat zur

Folge, dass der Strahl abgelenkt und das Bild verzerrt wird.

In Abbildung 5.6 ist eine REM Aufnahme eines π/2 dc SQUIDs gezeigt. Der Cha-

rakter dessen Phasenvorspannung ware allerdings aufgrund des zu groß gewahlten

Querschnitts der zusatzlichen Ringstruktur nicht sehr definiert gewesen. Wie in Ab-

schnitt 3.2 gezeigt wurde, ist es notwendig, diesen Querschnitt kleiner als die Lon-

don’sche Eindringtiefe λL zu wahlen, um eine direkte, durch den Phasenunterschied

des Anteils der zusatzlichen Ringstruktur bedingte, Phasenvorspannung zu realisieren.


1

43

72 658

43

72

65

8

8 8

1

Abbildung 5.7: Photo des 4He Einsatzes ohne Schleuse und Probenstab. (1) bezeichnet den Hart-papierkonus, der den Sinterkorper umschliesst. Uber das Ventil (2) wird der Einsatz durch Einlassenvon 4He bzw. durch Pumpen des Isolationsvakuums thermisch an die 4He-Kanne gekoppelt bzw. vonihr entkoppelt. Durch (7) sind im Betrieb die Heiz- und die Thermometerleitungen gefuhrt. Uberdas Ventil (3) wird 4He fur die thermische Kopplung des Probenraums angeboten bzw. gepumptum den Joule-Thomson-Kuhler zu betreiben; (4) ist das Manometer dieser Kammer fur 4He-Druckezwischen 0− 2000 mbar. Uber das Ventil (5) wird 3He angeboten bzw. gepumpt; (6) ist das Mano-meter dieser Kammer fur 3He-Drucke zwischen 0− 2000 mbar. Die Thermovac Messrohre (8) ist eineder fur alle drei Kammern vorhandenen Messrohren fur den Druckbereich von 10− 10−3 mbar; dieanderen sind in diesen Darstellungen verdeckt und durch die Pfeile kenntlich gemacht. Im unterstenBild ist in Vergroßerung der Hartpapierkonus mit dem durch den blauen Rahmen gekennzeichnetenSinterkorper gezeigt.

5.3 Tieftemperatur Messaufbau

5.3.1 3He-gekuhlter Einsatz

Die ersten Proben wurden in einem Kryostaten mit 3He-4He-Mischkuhler vermessen.

Die Messtechnik in diesem Messaufbau wie z.B. Filterung, thermisches Abfangen der

Messleitungen wurde von Georg Wild weiterentwickelt. Eine detaillierte Beschreibung

dieses Messaufbaus findet sich daher in seiner Diplomarbeit [57].

Da dieses System ein bis zwei Tage zum Evakuieren und Einkuhlen sowie zum Wieder-

aufwarmen benotigt, ist es nicht fur einen schnellen Probenwechsel geeignet. Deshalb

wurde fur die Erstcharakterisierung der Proben, d.h. zum Optimieren der Oxidbarrie-

re ein 3He-gekuhlter Einsatz, dargestellt in Abbildung 5.7, fur eine 4He-Kanne in der

hauseigenen Werkstatt nach Planen von Wolfgang Hehn hergestellt. Im Rahmen dieser

Diplomarbeit wurde dann ein Probenstab fur diesen Einsatz konzipiert und zusam-

mengebaut. Die Einzelteile fur diesen Probenstab wurden ebenfalls in der hauseigenen

5.3. TIEFTEMPERATUR MESSAUFBAU 77

1279 mm

500 mm

0

Schleuse

4He3He

IV

4Helium Kanne

Impedanz desJoule-Thomson-Kühlers

1

2

54 mm

Durchmesser ab 3nach unten

3

4

5

Schleusenventil

Abbildung 5.8: Nicht massstabsgetreues Schema des 3He-gekuhlten Messaufbaus mit Einsatz undProbenstab in einer 4He-Kanne. Die Bezeichnungen werden im Text erklart.

Werkstatt produziert.

Dieses Messsystem ermoglicht nach ca. 2-3 Stunden Einbau, Evakuieren und Einkuh-

len eine Messzeit von ca. 12 Stunden bei einer Temperatur von ca. 0.5 K; das Wieder-

aufwarmen und der Ausbau dauern ca. 1 Stunde. Diese Angaben beziehen sich auf das

Herausnehmen des kompletten Einsatzes aus der 4He-Kanne. Nutzt man die Schleuse

und entnimmt nur diese und den mit ihr fest verbundenen Probenstab, d.h. der Einsatz

bleibt in der 4He-Kanne, so reduzieren sich die Zeiten fur Einkuhlen und Wiederauf-

warmen auf ungefahr die Halfte. In Abbildung 5.8 ist das Schema des 3He-gekuhlten

Messaufbaus mit Einsatz und Probenstab gezeigt. Das Gesamtsystem aus Einsatz und

Schleuse steckt in einer 4He-Kanne. Der durch eine hochvakuumdichte Offnung am

oberen Ende der Schleuse gefuhrte Probenstab endet in der Probenhalterung (5), die

in ihrer tiefsten Position 1-2 mm vom Boden der innersten der drei konzentrischen

Rohren enfernt ist. Eine kleine Kupferscheibe (4) sorgt in dieser Stellung fur die ther-

mische Ankopplung an die durch den Joule-Thomson-Kuhler gekuhlte Eingradstufe.

Diese wird uber (1) von der 4He-Kanne mit 4He gespeist. Bevor die Eingradstufe durch

Pumpen an dem mit 4Hebezeichneten Flansch in Gang gesetzt werden kann, muss der


(a) (b) (c)

1

2

B

A

B

A

Abbildung 5.9: Photos des Probenstabes.

Einsatz von der 4He-Kanne durch ein uber den mit IV bezeichneten Flansch erzeugtes

Isolationsvakuum von ungefahr 5× 10−6 mbarthermisch entkoppelt werden. Das 4He

wird durch einen Sinterkorper vor der Offnung (1), die Impedanz und die Offnung

(2) uber den mit 4He bezeichneten Flansch durch die 4He-Ruckleitung abgepumpt.

Dieser Vorgang entspricht einem Joule-Thomson-Kuhlprozess. Da der Sinterkorper

ca. 270 mm uber dem Grund der 4He Kanne angebracht ist, kann dieser Einsatz bis

zu einem Fullstand der 4He-Kanne von 45− 50 l betrieben werden.

Aufgrund der Pumpleistung ergibt sich fur die Eingradstufe eine minimale Tempera-

tur von etwa 1.3 K, die sowohl uber ein Widerstandsthermometer als auch uber den4He Druck von 1 − 2 mbarbestimmt wurde. Diese Temperatur ist ausreichend, um

das zur Kuhlung verwendete 3He , das uber den mit 3He bezeichneten Flansch von

einem Vorratsbehalter in den Probenraum entspannt wird, einzukondensieren. Nach-

dem die ca. 20 Nl 3He aus dem Tank einkondensiert sind, was bei 1.62 K ca. 34 cm3

3He oder bei den verwendeten Radien einem Fullstand von ca. 5 cm Hohe ohne die

Verdrangung der Probenhalterung in der innersten Kammer entspricht, wird dieses

Bad abgepumpt. Die tiefste, mit der verwendeten Pumpe1 erreichbare Temperatur,

die im Rahmen der Messgenauigkeit uber die gesamte Messzeit konstant war, war ca.

0.45 K. Da die Probe durch den direkten Kontakt mit dem abgepumpten 3He-Bad

gekuhlt wird, hat sie auch dessen Temperatur.

1Es handelt sich hierbei um eine Alcatel 2012h, eine hermetisch dichte Pumpe mit einer Pumpleis-tung von 12 m3h−1

5.3. TIEFTEMPERATUR MESSAUFBAU 79

(a)

(c)

(b)

12

Abbildung 5.10: Photos des Probenhalters mit einer Probe

5.3.2 Probenstab

Der Probenstab besteht an seinem oberen Ende aus einer Steckerbox und endet unten

in der in Abbildungen 5.10 (a) und (c) gezeigten Probenhalter. Um ein Ubersprechen

der acht paarweise verdrillten Messleitungen mit den drei paarweise verdrillten”Ser-

viceleitungen“, d.h. mit der Stromzufuhr fur eine eventuelle Spule und den Leitungen

fur die Temperaturmessung, zu verhindern, sind diese innerhalb des Probenstabs je-

weils in einem getrennten Rohr gefuhrt.

In Abbildung 5.9 (a) ist der untere Teil des Probenstabes von der thermischen Ankopp-

lung an die Eingradstufe bis zu dem von einem Kryopermbecher umschlossenen kup-

fernen Probenhalter dargestellt. Die Leitungen sind wie im Teil (b) der Abbildung 5.9

gezeigt, bis unterhalb der Kupferscheibe in dem Stab gefuhrt und treten dann auf zwei

Seiten aus diesem heraus. Der mit”A“ bezeichnete Strang der Serviceleitungen wird

oben an dieser Kupferscheibe thermisch abgefangen. Die Messleitungen”B“ werden

unten auf der Verlangerung der Kupferscheibe thermisch an die Eingradstufe gekop-

pelt. Zusatzlich werden die Leitungen noch durch den Gasstrom des abgepumpten3He wahrend des Experiments gekuhlt. Die zwei mit

”1“ gekennzeichneten Kupfer-

plattchen dienen als Strahlungsschilde und werden”baffles“ genannt. Der Teil (c) in

Abbildung 5.9 zeigt eine Detaildarstellung der Leitungsankopplung der Serviceleitun-

gen; die Messleitungen sind direkt wie Abbildung 5.10 zeigt, von den Steckern bis zu

den kupfernen Bondpads des”printed circuit boards“, pcb abgekurzt, gefuhrt. Dieses


pcb wurde ebenfalls im Haus hergestellt. Die in Abbildung 5.3 gezeigten Schreibfelder

werden aus dem Wafer herausgebrochen und dann mit GE-Kit auf das pcb aufgeklebt.

Diese pcbs wurden vorher mit Stycast 2866 auf Kupferplattchen geklebt. Nachdem

Bonden wird das Kupferplattchen in den Probenhalter geschraubt und anschliessend

werden die Messleitungen auf die Bondpads gelotet. Dies ist in den Teilen (a) und (b)

der Abbildung 5.10 gezeigt. Der rote Pfeil in Teil (a) deutet auf den mit Stycast 2866

aufgeklebten Widerstand zur Temperaturmessung. Im Teil (c) ist eine Probe nach der

Messung gezeigt;”1“ bezeichnet das pcb und

”2“ das Kupferplattchen.

5.4. ELEKTRONISCHER MESSAUFBAU 81

Spannungs-messgerät

Oszilloskop

Von der Probe

Vorverstärker

zur GPIB Karte Computer

Zur AD Karte

Stromquelle

Abbildung 5.11: Schema des elektronischen Messaufbaus

5.4 Elektronischer Messaufbau

Der elektronische Messaufbau fur den 3He-Probenstab ist in Abbildung 5.11 darge-

stellt. Uber ein LabView Programm wird eine AD Karte angesteuert, die ihrerseits ein

Spannungssignal an eine nicht kommerziell erhaltliche batteriebetriebene Stromquelle

liefert. Dieses Spannungssignal wird gleichzeitig zur Kontrolle an den Eingangskanal

1 eines Oszilloskops angelegt. Die direkt mit der Probe verbundene batteriebetrie-

bene Stromquelle reagiert auf das Spannungssignal an ihrem Eingang und gibt ein

Stromsignal aus. Der dadurch hervorgerufene Spannungsabfall an der Probe wird

durch einen Vorverstarker (Stanford Research SR 530) verstarkt und an ein Span-

nungsmessgerat (Agilent 3458 A) weitergeleitet; parallel wird dieses Spannungssignal

an den Eingangskanal 2 des Oszilloskops angelegt. Das Spannungsmessgerat liefert

die gemessene Spannung uber die GPIB Karte wieder an das LabView Programm

zuruck. Dieser Messaufbau wurde auch bei den Messungen in dem Kryostaten mit3He-4He-Mischkammer-Kuhlung verwendet.

Kapitel 6

Experimentelle Ergebnisse

Die Herstellung von Qubits stellt hohe Anforderungen an die Oxidbarriere der Joseph-

son-Tunnelkontakte. Zur Optimierung des Oxidationsprozesses wurden die in diesem

Kapitel wiedergegebenen Experimente an Josephson-Tunnelkontakten durchgefuhrt.

Das Ziel war, Josephson-Tunnelkontakte mit einer Stromdichte von etwa 1000 Acm−2

zu realisieren. Zu diesem Zweck wurden Tunnelkontakte mit einer Flache von 750×

300 nm2 mit unterschiedlich dicken Oxidbarrieren hergestellt und elektrisch charakte-

risiert. Die Variation in den Oxidbarrieren wurde durch unterschiedliche Sauerstoff-

partialdrucke wahrend der Oxidation und Oxidationszeiten erreicht. Das Produkt L

dieser zwei Großen ist mit der Oxiddicke d korreliert. Die oben genannte Stromdichte

sollte bei dieser Flache einen kritischer Strom von etwa 2.25µA ergeben.

Die Dicke d und die Struktur der Tunnelbarriere bestimmen die wichtigen Parame-

ter eines Tunnelkontakts wie den kritischen Strom und die Kapazitat und somit die

fur diese Arbeit interessanten Energien EJ0 und EC. Da diese Dicke d direkt mit den

Oxidationsparametern Druck und Zeit verknupft ist, wird sie im zweiten Teil dieses

Kapitels anhand der experimentellen Tunnelwiderstande Rn berechnet.

Dieses Kapitel schliesst mit den Messdaten und der Auswertung einer Serienschal-

tung aus Josephson-Tunnelkontakten. Eine solche Anordnung bietet eine sehr gute

Moglichkeit, die Streuung der Parameter in der Serienschaltung zu uberprufen.

6.1 Messungen an Tunnelkontakten

Die den Abbildungen 6.1 und 6.2 dargestellten Strom-Spannungs-Kurven weisen die

fur einen Josephson-Tunnelkontakt charakteristischen Merkmale eines supraleiten-

den Tunnelstroms und eines normalleitenden Quasiteilchenasts auf. Diese Strom-

83

84 KAPITEL 6. EXPERIMENTELLE ERGEBNISSE

Spannungs-Kurven sind beide in dem in [57] ausfuhrlich beschriebenen Kryostaten

mit 3He-4He-Mischkuhler bei ungefahr 28 mK gemessen worden.

Die Messkurve in Abbildung 6.1 weist auf dem Quasiteilchenast eine Vergroßerung

der Energielucke hin zu kleineren Stromen auf. Dies deutet auf eine Temperaturer-

hohung, die durch die im Quasiteilchenast dissipierte Heizleistung I2Rn hervorgerufen

wird, hin. Da die Energielucke eine Funktion der Temperatur ist und mit fallender

Temperatur großer wird, kann man diese Vergroßerung der Energielucke mit fallen-

dem Quasiteilchenstrom erklaren. Ordnen wir den Spannungswerten V bei Ic bzw. Iruber

∆(T) =eV2

(6.1)

mit der Elektronenladung e einen temperaturabhangigen Wert fur die Energielucke

∆(T) zu, so konnen wir die Vergroßerung der Energielucke ∆(T) bei Ir relativ zu dem

Wert bei Ic angeben. Dieser betragt auf der rechten Seite in Abbildung 6.1 ungefahr

4.2% und auf der linken etwa 6.0%. Mit der Ambegaokar-Baratoff-Formel [58], [59]

IcRn =π∆0

2etanh

(∆0

2kBT

)(6.2)

wird der Zusammenhang zwischen dem Produkt aus dem kritischen Strom Ic und

normalleitenden Widerstand Rn und der supraleitenden Energielucke des Josephson-

Tunnelkontakts ∆0 = 0.18 meVbei T = 0 beschrieben. Dabei ist kB die Boltzmann Kon-

stante. Mit dieser Relation berechnet sich der theoretische Wert fur das IcRn-Produkt

zu 0.283 mV; der aus den Messwerten resultierende Wert fur das IcRn-Produkt ist

0.119 mV bzw. ungefahr 42.2% des theoretisch berechneten. Legt man als Hauptkri-

terium fur das Vorhandensein eines Josephson-Tunnelkontakts neben der Gestalt der

Strom-Spannungs-Charakteristik noch die Abweichung des IcRn-Produkts von dem

Ergebnis aus Gleichung (6.2) zugrunde, so darf angenommen werden, dass es sich bei

diesem Tunnelkontakt wirklich um einen Josephson-Tunnelkontakt handelt.

Die Strom-Spannungs-Charakteristik in Abbildung 6.2 zeigt auf dem Quasiteilchenast

ein identisches Verhalten der Energielucke hin zu kleineren Stromen. Die Vergroße-

rung vom Wert der Energielucke bei Ir relativ zu dem Wert bei Ic, betragt auf der

rechten Seite in Abbildung 6.1 ungefahr 4.5% und auf der linken etwa 4.4%. Fur das

IcRn-Produkt dieses Tunnelkontakts ergibt sich 0.157 mV oder ungefahr 55.8% des

theoretisch berechneten Wertes. Mit einer identischen Argumentation wie oben, kann

man wieder annehmen, dass auch dieser Tunnelkontakt ein Josephson-Tunnelkontakt

6.1. MESSUNGEN AN TUNNELKONTAKTEN 85

- 0 . 3- 0 . 2- 0 . 10 . 00 . 10 . 20 . 3

- 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8

I c = 5 5 n A j c = 2 5 A / c m 2

R n = 2 1 7 0 ΩI c R n = 0 . 1 2 0 m VI r = 1 5 n A

V ( m V )

I ( µA )

Abbildung 6.1: Strom-Spannungs-Charakteristik eines Josephson-Tunnelkontakts mit einer Flachevon 750× 300 nm2. Dieser Josephson-Tunnelkontakt ist mit 4.09 mbarsoxidiert und bei etwa 28 mKgemessen worden.

- 0 . 6- 0 . 4- 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 6

- 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8

I s = 1 3 6 n A j c = 6 0 A / c m 2

R n = 1 1 6 0 ΩI c R n = 0 . 1 5 7 m VI r = 2 1 n A

V ( m V )

I ( µA )

Abbildung 6.2: Strom-Spannungs-Charakteristik eines Josephson-Tunnelkontakts mit einer Flachevon 750×300 nm2. Dieser Josephson-Tunnelkontakt ist ebenfalls mit 4.09 mbarsoxidiert und bei etwa28 mK gemessen worden. In dieser sowie in Abbildung 6.1 sind Ic durch grune und Ir durch roteKreise hervorgehoben.


Probe L [mbars] Ic [µA] Ir [µA] Rn [Ω] IcRn [mV] Ξ

A 0.0138 43.60 16.09 333.33 14.519 76.407B 0.0502 17.29 7.30 205.4 3.551 18.689C 0.0502 166.8 51.00 132.92 22.159 116.614D 0.0138 38.41 37.00 73.11 2.808 14.788E 0.0138 17.69 7.60 65.94 1.166 6.139

Tabelle 6.1: Messergebnisse von Tunnelkontakten die mit kleineren L-Werten oxidiert worden sind.Die Bezeichnung Ξ gibt das Verhaltnis aus dem jeweiligen IcRn-Produkt zu dem mit Gleichung (6.2)berechneten Wert fur Aluminium an.

ist. Die in Abbildung 6.2 durch die schwarzen Kreise gekennzeichnete Verkrummung

der Messkurve, die auch schon in Abbildung 6.1 in leichter Andeutung zu erkennen

ist, kann noch nicht erklart werden.

Da die kritische Stromdichte in diesen beiden Josephson-Tunnelkontakten noch viel

zu gering war, wurde das Produkt aus Sauerstoffpartialdruck und Oxidationszeit re-

duziert, wobei im wesentlich der Sauerstoffpartialdruck reduziert wurde und eine Serie

von Tunnelkontakten hergestellt.

Die Messergebnisse an diesen Kontakten sind in Tabelle 6.1 wiedergegeben. Anhand

des Wertes Ξ, der das Verhaltnis aus dem jeweiligen IcRn-Produkt zu dem mit Glei-

chung (6.2) berechneten Wert fur Aluminium angibt, erkennt man fur beide L-Werte

eine deutliche Abweichung. Stellvertretend fur diese Tunnelkontakte ist in Abbil-

dung 6.3 die Strom-Spannungs-Charakteristik der ersten Probe aus Tabelle 6.1 ge-

zeigt. Die viel zu hohen IcRn-Produkte der Messdaten legen den Verdacht nahe, dass

es sich bei diesen Strom-Spannungs-Kurven nicht um Josephson-Tunnelkontakte han-

delt.

Fur eine mogliche Erklarung betrachten wir die in Abbildung 6.4 gezeigte schematische

3D Darstellung eines Tunnelkontakts. Die Flache des eigentlichen Tunnelkontakts be-

tragt 0.225µm2 und der rot umrandete Querschnitt der Zuleitung hat 0.011µm2. Der

Faktor 1/20, um den der Querschnitt der Zuleitungen kleiner als die Kontaktflache

ist, hat zur Folge, dass die maximal mogliche kritische Stromdichte der Zuleitungen

einen Einfluss auf die Strom-Spannungs-Charakteristik haben konnte. In [60] ist der

experimentelle Wert fur die kritische Stromdichte einer 0.15µm2 Aluminiumstruktur

mit 2.9 × 106 Acm−2, allerdings ohne Messtemperatur, angegeben. Fur die elektrisch

charakterisierten Tunnelkontakte aus Tabelle 6.1 ergibt sich mit dieser Stromdichte

ein maximal moglicher kritischer Strom in den Zuleitungen von etwa 326.25µA. Da

6.1. MESSUNGEN AN TUNNELKONTAKTEN 87

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

4 0

6 0

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

I c = 1 7 . 6 9 µA j c = 7 8 6 2 . 2 2 A / c m 2

R n = 6 5 . 9 4 ΩI c R n = 1 . 1 6 m VI r = 7 . 6 µA

V ( m V )

I ( µA )

Abbildung 6.3: Strom-Spannungs-Charakteristik eines ”Tunnelkontakts“ mit einer Flache von 750×300 nm2. Dieser ”Tunnelkontakt“ ist mit 0.0138 mbarsoxidiert und bei etwa 500 mKgemessen worden.Die Strome Ic sind durch grune und Ir durch rote Kreise hervorgehoben.

750 nm 300 nm

750 nm

15 nmAbbildung 6.4: 3D Bild eines Tunnelkontakts aus Tabelle 6.1 mit einer Kontaktflache von 750×300 nm2. Der rote Bereich mit 750 nm2 gibt den Zuleitungsquerschnitt des Tunnelkontakts an.

die aus den Messdaten ermittelten kritischen Strome in dieser Großenordnung liegen,

ware es gut moglich, dass der gemessene Spannungsabfall nicht am Tunnelkontakt

selber, sondern in der Zuleitung aufgetreten ist. Diese wurde bedeuten, dass die Tun-

nelbarriere eine kritische Stromdichte von etwa 1.45× 105 Acm−2 tragen konnte, um

nicht das schwachere Glied in dieser Kette zu sein. Dieser extrem hohe Wert wird

wenn uberhaupt nur von extrem dunnen Barrieren erreicht; es ist also anzunehmen,

dass die Barriere sehr inhomogen ist und Kurzschlusse zwischen den zwei Elektroden

zum Stromtransport beitragen.


0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.90

500

1000

1500

2000

2500

Oxiddicke in d [nm]

Rn[Ω]

A = 75 x 75 nm2

A = 100 x 100 nm2

A = 100 x 150 nm2

A= 100 x 200 nm2

A = 278 x 180 nm2

A = 750 x 300 nm2

Abbildung 6.5: Berechneter Tunnelwiderstand Rn in Abhangigkeit von der Oxiddicke d. Rn er-gibt sich durch Division der Gleichung (6.3) mit der jeweiligen Flache A. Nach [62] entspricht eineMonolage Al2O3 etwa 0.35 nmund ist durch die grun-gestrichelte Linie wiedergegeben.

6.2 Berechnung der Barrierendicke anhand der

Messdaten

Zur Berechnung der Barrierendicke betrachten wir eine Tunnelbarriere der Hohe V

und der Dicke d, deren Flachenwiderstand rn nach [61] durch

rn = 4πhe2

d2

1+ 2κdexp(2κd) (6.3)

mit

κ2 = 2meV/~2 (6.4)

gegeben ist. In Gleichung (6.4) steht me fur die Elektronenmasse und die Barrierenho-

he wurde nach [62] mit V = 1.5 eV eingesetzt. Durch Division mit der Flache A eines

Tunnelkontakts ergibt sich aus dieser Formel der Tunnelwiderstand Rn in Abhangig-

keit von der Oxiddicke. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 6.5 dargestellt.

In Tabelle 6.2 sind die mit Gleichung (6.3) bestimmten Oxiddicken fur die aus den

Messdaten resultierenden Widerstande Rn der charakterisierten Tunnelkontakte1 aus

1Hier wird angenommen, dass der gemessene Spannungsabfall wirklich am jeweiligen Tunnelkontakterfolgt ist.

6.2. BERECHNUNG DER BARRIERENDICKE ANHAND DER MESSDATEN 89

JTK Andere Kontakte

2170Ω 1160Ω 333.33Ω 205.4Ω 132.92Ω 73.11Ω 65.94Ω0.81 nm 0.77 nm 0.67 nm 0.64 nm 0.62 nm 0.57 nm 0.56 nm

Tabelle 6.2: Nach Gleichung (6.3) berechnete Oxiddicke d fur die charakterisierten Tunnelkontaktemit einer Flache von 750× 300 nm2. ”JTK“ bezeichnet dabei die Werte fur die zwei Joesphson-Tunnelkontakte aus den Abbildungen 6.1 und 6.2. Die unter ”Andere Kontakte“ berechneten Wertewurden sich ergeben, falls wir die Kontakte aus Tabelle 6.1 als Tunnelkontakte betrachten, d.h. derSpannungsabfall wirklich an der Barriere stattfinden wurde.

EJ0/EC

2170Ω 98.95971160Ω 181.7494

Tabelle 6.3: Nach Gleichung (6.7) berechnete EJ0/EC fur die charakterisierten Josephson-Tunnelkontakte mit einer Flache von 750× 300 nm2.

Tabelle 6.1 und der Josephson-Tunnelkontakte aus den Abbildungen 6.1 und 6.2 dar-

gestellt. Nach [62] entspricht eine Monolage Al2O3 etwa 0.35 nm.

Wird der Tangens hyperbolicus in Gleichung (6.2) durch eins genahert, was fur T ≈

0.028 K sogar auf drei Stellen exakt ist, diese nach Ic aufgelost und der resultierende

Ausdruck in Gleichung (2.14) eingesetzt, so ergibt sich

EJ0 =h∆

8e2Rn

. (6.5)

Setzten wir

Rn =rn

A(6.6)

in Gleichung (6.5) ein und bilden dann das Verhaltnis aus Josephson- und Coulomb-

Energie so erhalten wir

EJ0

EC

=ε0εR∆0

A

2

16e2π1+ 2κd

d3exp(−2κd). (6.7)

Dieses Verhaltnis ist fur einige Tunnelkontaktflachen in Abbildung 6.6 gezeigt. Durch

Einsetzen der Werte fur die beiden Josephson-Tunnelkontakte aus Tabelle 6.2 in Glei-

chung (6.7) erhalten wir die in Tabelle 6.3 gezeigten Werte fur EJ0/EC.

Abschliessend zur Diskussion der Messergebnisse ist zu sagen, dass bei all diesen Be-

rechnungen zwei schwer zugangliche Parameter, namlich εR und die Barrierenhohe V


0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.950

25

50

75

100

125

150

Oxiddicke in d [nm]

EJ0

/EC

A = 75 x 75 nm2

A = 100 x 100 nm2

A = 100 x 150 nm2

A= 100 x 200 nm2

A = 278 x 180 nm2

A = 750 x 300 nm2

Abbildung 6.6: Nach Gleichung (6.7) berechnetes EJ0/EC fur verschiedene Tunnelkontaktflachenin Abhangigkeit von der Oxiddicke d. Fur diese Berechnungen wurden nach [63] εR = 10 und ∆0 =

0.18 meVverwendet. In dieser Darstellung zeigt die grun-gestrichelte Linie wieder den Wert fur eineMonolage Al2O3 nach [62] an.

eingegangen sind. Berechnen wir mit den Angaben aus [14] fur EJ0/EC = 34.65 und

mit EC/h = 7.36 GHz uber

34.65× 7.36h =e2

C(6.8)

die Kapazitat C und dann weiter uber

dCH =εRε0A

C(6.9)

die Dicke dCH, so erhalten wir mit der Flache A = 278× 180 nm2 als Ergebnis 1.69 nm;

fur EJ0/EC = 34.65 finden wir mit Gleichung (6.7) einen Wert von etwa 0.682 nm

oder etwa 40% des uber die Kapazitat berechneten Wertes. Obwohl εR und die Bar-

rierenhohe V exponentiell in das Ergebnis eingehen, ist die Ubereinstimmung recht

gut.

6.3. MESSUNGEN AN SERIELLEN JOSEPHSON-TUNNELKONTAKTEN 91

Abbildung 6.7: REM Aufnahme einer Serienschaltung aus neun Josephson-Tunnelkontakten. Dieroten Pfeile markieren die etwa 300× 300 nm2 großen Flachen der Josephson-Tunnelkontakte.

6.3 Messungen an seriellen

Josephson-Tunnelkontakten

Die Strom-Spannungs-Kurve einer Serienschaltung aus Josephson-Tunnelkontakten

laßt Ruckschlusse auf die Homogenitat der Serienschaltung zu. In der Abbildung 6.7 ist

eine Rasterelektronenmikroskop Aufnahme einer Serienschaltungen aus neun Josephson-

Tunnelkontakten gezeigt, die durch die roten Pfeile gekennzeichnet sind.

Die Strom-Spannungs-Charakteristik einer zu Abbildung 6.7 ahnlichen Serienschal-

tung aus neun Joesephson-Tunnelkontakten, die bei T ≈ 0.5 K gemessen wurde, ist in

Abbildung 6.8 gezeigt. Die kritischen Strome in dieser Serienschaltung variieren von

etwa 1 nA bis 120 nA.

Da in Abbildung 6.8 nur acht Josephson-Tunnelkontakte erkennbar sind, muss der

neunte einen kritischen Strom von maximal 1 nA haben. Rechnet man die Josephson-

Energie fur diesen kritischen Strom in eine entsprechende Temperatur um, so ergibt

sich T = 0.0238 K; fur den nachst großeren kritischen Strom mit 10.8 nA ergibt sich T =

0.2575 K. Diese Messdaten wurden bei etwa T ≈ 0.5 K gemessen und somit wird die

schwache Kopplung dieser zwei Jospehson-Tunnelkontakte durch thermisch aktivierte

Prozesse (Stichwort”thermisch aktivierter Phasenschlupf“ [64, 16]) stark unterdruckt.


05 0

1 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 0

0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 3 . 5

1 0 . 8 3 7 . 65 5 . 3 6 6 . 5

7 7 . 8 9 0 . 51 0 3 . 3

V ( m V )

I ( n A ) 1 2 0 . 9

Abbildung 6.8: Strom-Spannungs-Charakteristik einer Serienschaltung aus neun 300× 300 nm2

großen Josephson-Tunnelkontakten, die mit L = 3.145 mbarsoxidiert worden sind. Die Serienschal-tung wurde bei T ≈ 0.5 K vermessen.

In der Tabelle 6.4 sind die Werte fur Ic, ∆V und die IcRn-Produkte der Josephson-

Tunnelkontakte der Serienschaltung wiedergegeben. Betrachtet man nur die sieben,

in Abbildung 6.8 am deutlichsten zu erkennenden Josephson-Tunnelkontakte, so erge-

ben sich fur die kritischen Strome Werte von 37 nA bis 120 nAund es fallen an ihnen

Spannungen von 0.31 mV bis 0.43 mV ab. Die IcRn-Produkte erreichen in diesen Fal-

len Werte zwischen 19.2% und 62.6% des mit Gleichung (6.2) bei der Messtemperatur

dieser Serienschaltung berechneten IcRn-Produktes. Der Gesamtwiderstand dieser Se-

rienschalten ist Rn = 8730Ω.

Ic 10.8 nA† 37.6 nA 55.3 nA 66.5 nA∆V 0.2 mV† 0.47 mV 0.43 mV 0.39 mVIcRn 0.0097 mV† 0.0365 mV 0.0536 mV 0.0645 mV

Ic 77.7 nA 90.5 nA 103.3 nA 120.9 nA∆V 0.36 mV 0.33 mV 0.31 mV 0.12 mVIcRn 0.0753 mV 0.0878 mV 0.1002 mV 0.117 mV

Tabelle 6.4: Ic, ∆V und IcRn-Produkte der Josephson-Tunnelkontakte (JTK) der Serienschaltungaus Abbildung 6.8. ∆V bezeichnet den Spannungsabfall am jeweiligen Josephson-Tunnelkontakt. Diemit † bezeichnete Große ist nur sehr ungenau aus den Messdaten zu entnehmen. Das mit Glei-chung (6.2) berechnete IcRn-Produkt dieser Josephson-Tunnelkontakte ist 0.19 mV.

6.3. MESSUNGEN AN SERIELLEN JOSEPHSON-TUNNELKONTAKTEN 93

Der fur die Oxidation charakteristische Parameter L = 3.145 mbarsfur diese Serien-

schaltung ist etwas kleiner als der L-Wert der in Abschnitt 6.1 untersuchten Josephson-

Tunnelkontakte. Somit erwarten wir fur den Widerstand eines Einzelkontakts dieser

Serienschaltung einen etwas kleineren Wert als fur die Josephson-Tunnelkontakte aus

Abbildungen 6.1 und 6.2.

Die an dieser Serienschaltung beobachtete Streuung der kritischen Strome hat, bis auf

den hinsichtlich seines kritischen Stromes schwachsten, ihre Ursache wahrscheinlich

in den unterschiedlichen Flachen der Josephson-Tunnelkontakte. Die extreme Abwei-

chung dieses einen Kontakts von den anderen kann leider nicht erklart werden.

Kapitel 7

Resumee und Ausblick

Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde eine bereits bestehende Technologie zur Her-

stellung mikroskopischer Schaltungen mittels Elektronenstrahl Lithographie und Schat-

tenbedampfung erfolgreich fur die Produktion von”persistent current“ Qubits adap-

tiert. Die Reproduzierbarkeit dieser mikroskopischen Strukturen, die als Designsta-

bilitat bezeichnet wurde, konnte in vielen Proben nachgewiesen werden. Die an den

Joesephson-Tunnelkontakten durchgefuhrten Messungen der Strom-Spannungs-Charak-

teristiken, dienten der Optimierung der Oxidbarriere und sollten mit ihren Ergebnissen

zur Kontrolle des Oxidationsprozesses beitragen. Wie in Kapitel 6 in der Auswertung

der Experimente gezeigt, ist dies fur relativ dicke Oxidbarrieren gelungen. Diese wur-

den mit einem L-Wert von 4.09 mbarsoxidiert und wiesen eine Dicke d ≈ 0.75−0.8 nm

auf.

Die kritischen Stromdichten dieser Josephson-Tunnelkontakte waren jedoch mit ei-

nem Maximalwert von jc = 60 Acm−2 deutlich kleiner als der angestrebte Wert jc =

1000 Acm−2 und deshalb wurde der L-Wert der Oxidation reduziert. Da der Quer-

schnitt der Zuleitung um einen Faktor 1/20 kleiner als die Flache der Josephson-

Tunnelkontakte ist, und der gemessene kritische Strom in der Großenordnung des

nach [60] gemessenen kritischen Stroms fur Aluminium liegt, ist der gemessene Span-

nungsabfall unter Umstanden nicht am Josephson-Tunnelkontakt sondern in den Zu-

leitungen aufgetreten. Dies konnte die große Abweichung der aus den Messergebnissen

resultierenden IcRn-Produkte vom theoretisch berechneten Wert erklaren.

In zukunftigen Designs sollten deshalb beide Aluminiumschichten mit etwa 50 nm

Dicke aufgedampft werden. Hohere Werte bis zu 100 nmwaren naturlich auch noch

geeignet, doch sollte eine bestimmte Bedampfungszeit nicht uberschritten werden.

Die gemessenen Proben wurden mit einer durchschnittlichen Verdampfungsrate von

95

96 KAPITEL 7. RESUMEE UND AUSBLICK

1.5− 2.0 nms−1 hergestellt. Die benotigte Zeit je Aluminiumlage war somit unter 10 s.

Ab einer Bedampfungszeit von mehr als 13 s, zeigte sich bei nahezu konstantem Emis-

sionsstrom sehr haufig ein Kollabieren der Resistrander im zweiten Bedampfungs-

schritt. Gegenuber einer hoheren Aufdampfrate zeigten sich diese Rander stabiler, als

gegenuber einer Verlangerung der Bedampfungszeit; es sollte also moglich sein, im

Rahmen der durch die Anlage gesetzten Grenzen, die Dicke der beiden Aluminium-

schichten zu erhohen.

Je dunner die Oxiddicke d werden soll, desto besser muss man den Oxidationspro-

zess kontrollieren konnen. Die Parameter Oxidationsdruck und Oxidationszeit sind

mit ausreichender Genauigkeit wahrend der Oxidation bestimmbar; die Temperatur

der Probe wird, nachdem diese fur mindestens zehn Stunden von etwa 84 K nach

dem ersten Aufdampfschritt durch die Umgebung aufgewarmt wurde, als identisch

mit der Raumtemperatur angenommen. Die Druckerhohung vom Druck vor der Be-

dampfung von etwa 2 × 10−8 mbar auf den Hintergrunddruck des Aufwarmprozesses

von etwa 5×10−7 mbarwird vermutlich hauptsachlich von dem wahrend der Verdamp-

fung ausgasenden Resist erzeugt. Es ist anzunehmen, dass sich dieser in der langen

Aufwarmzeit auch wieder teilweise auf der bereits aufgedampften Aluminiumschicht

niederschlagt. Fur eine vollstandige Kontrolle der Oxidation, ware es sehr hilfreich die

Probentemperatur bestimmen zu konnen und moglichst schnell nach dem Aufdamp-

fen der ersten Schicht bei einer definierten Temperatur sofort zu oxidieren.

Abschliessend ist festzustellen, dass auf Basis dieser Diplomarbeit die ersten Schritte

zur Herstellung von pc Qubits mit den hauseigenen Anlagen gemacht wurden. Die an-

getroffenen Schwierigkeiten sind gelost oder soweit plausibel analysiert worden, dass

in der nachsten Probengeneration mit den angedeuteten Veranderungen wesentlich

bessere Ergebnisse mit dunneren Tunnelbarrieren erzielt werden sollten.

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Anhang A

Die wichtigsten Parameter der

Probenherstellung

• Reinigung der Wafer

– in technischem Azeton fur 2 min im Ultraschallbad bei Stufe 2

– in Azeton p.a. fur 2 min im Ultraschallbad bei Stufe 2

– in Isopropanol p.a. fur 2 min im Ultraschallbad bei Stufe 2

• Belackungsvorgang fur Elektronenstrahl-Lithographie

– PMMA/MA fur die untere Lackschicht mit Programm 3

∗ 2000 Umdrehungen/min

∗ 120 sDauer

∗ 6 s Beschleunigungszeit

∗ fur mindestens 100 minbei 160C ausbacken

– PMMA 950k fur die obere Lackschicht

∗ 4000 Umdrehungen/min

∗ 120 sDauer

∗ 6 s Beschleunigungszeit

∗ fur mindestens 60 min bei 160C ausbacken

• Einstellung fur die Belichtung mit dem Rasterelektronstrahlmikroskop

– beam blanker: 2

– aperture: 7

ANHANG A. A – 1

– spotsize: 1

– accelaration voltage: 20 kV

– beam current: etwa 11− 12 pA

– working disstance: etwa 6 mm

– writefield size: 120µm

– magnification: x650

– area settling time: 8 ms

– line settling time: 8 ms

– loops: 1

– area dose: 200µAscm−2

– stepsize: 6 nm

– pixel: 3

– dwell time: etwa 4− 5µs

• Entwicklung

– 40 s in MIBK : Isopropanol p.a. 1:4 Gemisch

– 2 min in Isopropanol p.a.

– 18 min in Isopropanol p.a.

• Aufdampfen der Aluminiumschichten

– 15 nm99.999% reines Aluminium unter einem Winkel von −16

– 15 nm99.999% reines Aluminium unter einem Winkel von 16

– Die Verdampfungsparameter an der Elektronenstrahlverdampfungsanlage

waren

∗ Aufampfrate = 1.5− 2.5 nms−1

∗ Dauer = 7− 9 s

∗ IEmission = 340− 350 mA

∗ IFilament = 36 A

∗ Spannung = 8.5 kV

ANHANG A. A – 2

∗ Startdruck ≈ 2× 10−8 mbar

∗ Druck wahrend Bedampfung ≈ 6× 10−6 mbar

∗ Temperatur ≈ 84 K

• Oxidation

– L-Wert (Sauerstoffpartialdruck × Zeit) waren zwischen 0.0138 mbarsund

19 mbars

– Temperatur war in etwa 23C

• Lift-off Prozess

– etwa 8x in technischem Azeton auf Hotplate bei 110C fur jeweils 3 min

– 2x in Azeton p.a. fur 2 min im Ultraschallbad bei Stufe 2

– 1x Azeton p.a. auf Hotpalte bei 110C fur 5 min

– 1x in Isopropanol p.a. auf Hotpalte bei 110C fur 2 min

Herstellung und Charakterisierung von supraleitenden ... · In parallel, persistent current Qubits...

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