E1

I. Einführung1. Qubits2. Quantengatter mit einzelnen Qbits3. Verschränkung und der Dichteoperator4. Multi‐Qubit‐Gatter5. Quantenteleportation

II. Physikalische Realisierungen: Cavity QED und Ionenfallen1. WW von Atom mit EM‐Feld2. Quantisierung des EM‐Feldes3. Jaynes Cummnigs Hamiltonian4. 2‐Qubit Gatter mit Jaynes Cummings‐WW5. Ionenfallen6. QM‐Beschreibung eines Ions7. CNOT mit Ion

III. Quantenalgorithmen1. Deutsch‐Jozsa‐Algorithmus mit Exp.2. Shor‐Algorithmus3. Quanten‐Fourier Transformation4. Grover‐Algorithmus

IV. Dekohärenz und Quantenfehler1. Quantenoperationen2. Operatorsummenzerlegung3. Mastergleichung4. Fehlerkorrektur5. Fehlervermeidung

V. Quantensimulation1. Motivation2. Simulation von Quantensystemen

VI. Minikonferenz

Einführung in die QuanteninformationsverarbeitungProf. Henning Moritz, heute dankenswerter Weise als Vertretung: Prof. Ludwig Mathey

Fr 08.30‐10.00 Hörs AP

Einführung in die QuanteninformationsverarbeitungProf. Henning Moritz, heute dankenswerter Weise als Vertretung: Prof. Ludwig Mathey

Fr 08.30‐10.00 Hörs AP

E2

• Freitag: 10.15‐11.45 SemRm 5. SemRm 6. Beginn am 28.10.2011• www.physik.uni‐hamburg.de/ilp/teaching, Passwort: QI2011• Übungsaufgaben mit je 10 Punkten, 50% der totalen Punkte sind nötig, um 

Schein zu bekommen• Es kann zu zweit abgegeben werden• Aufgaben sind ab Mittwoch online,  werden auch vor der Übung verteilt

• 1 Woche später: Abgabe direkt vor der Vorlesung, Besprechung und evtl. Vorrechnen in der Übung. Musterlösung

• 2 Wochen später. Aufgaben korrigiert zurück• Statt den letzten 2 Übungen wird es eine Minikonferenz geben, in der jeder 

Student einen 15min Vortrag + 10 Minuten Fragen hält, • Prüfung: mündlich, nach Vereinbarung, z.B. in Kombination mit Quantenoptik 

oder Festkörperlaser.

ÜbungenÜbungen

E3

Nielsen & Chuang: „Quantum Computation & Quantum Information“sehr vollständig, gutes Nachschlagewerk, wird primär benutzt

Audretsch: „Verschränkte Systeme“Wird nur in Kapitel 1 benutzt und ausgeteilt. Verschränkung, Optisches QC, 

Teleportation, Theorie,Stolze & Suter: „Quantum Computing“, CRC PressGute Stoffauswahl, kompakt, auch experimentelles 

N. Mermin: „Quantum computer science“Toll geschrieben, ohne experimentelles

Nakahara & Ohmi: „Quantum Computing“, Wileyhat viel experimentelles, gute Stoffauswahl, 

Bouwmeester, Ekert, Zeilinger: „The physics of quantum information“Die relevante Literatur ist meistens auch in der PDF‐Sammlung Material auf der Website vorhanden.

Literatur (alles in Jungiusbib vorhanden)Literatur (alles in Jungiusbib vorhanden)

E44

1.1 Lectures in photonics, UHH

1 Introduction

• Einf. in die experimentelle Quantenoptik (2V+2Ü, 5LP) K. Sengstock Di 8.30‐10.00 Hörs AP      Ü: Di 10.15‐11.45

• Einf. in die Quanteninformationsverarbeitung (2V+2Ü,5LP)Fr 8.30‐10.00 Hörs AP      Ü: Fr 10.15‐11.45 H. Moritz

• Festkörperlaser (2V+2Ü, 5LP) G. HuberMo 10.15‐11.45 HS I Ü: Mo 12.00‐13.30

• Einführung in die nichtlineare Optik (2V+1Ü, 4LP) E. HeumannMi 14.00‐15.30 SemRm2   Ü: Mi 15.45‐16.30

• Methoden moderner Röntgenphysik I  (4V+2Ü, 8LP) G. Grübel, M. Martins,Di 12.45‐14.15, Do 10.15‐11.45 SemRm 4  Ü: Di 14.30‐16.00 E. Weckert

• The Basis of Modern Molecular Physics (4V+2Ü, 8LP)  J. Küpper, T. LaarmannMo+Mi 12.00‐13.30 Hörs AP  Ü: Mi 14.00‐15

• Einführung in die Physik der Quantengase (2V, 3LP) A. HemmerichMi 10,15‐11.45 Hörs AP  

Mastermodule aus der ‚Laserphysik und Photonik‘‚ WS 2011/2012

E55

1.1 Lectures in photonics, UHH

1 Introduction

Seminare u.a. aus der ‚Laserphysik und Photonik‘, WS 2011/2012

• Proseminar: Laseranwendungen (2h, 3LP)Do 15.00 ‐16.30 SemR 1, G. Huber, C. Kränkel

• Proseminar: Solid state simulators – ultracold atoms on optical lattices (2h, 3LP)P. Windpassinger, C. Becker

• Grk Lecture: Selected topics and applications of light‐matter‐interactionDi 10.15‐11.45 SemRm. 052, Bahrenfeld Geb. 69C. Becker, U. Frühling, P. Windpassinger

• Seminar über Viel‐Teilchen Theorie ultrakalter AtomeDi 14.00‐15.30 ZOQ SeminarraumLudwig G. Mathey

E6

Colloquia, WS 2011/2012• ZOQ‐Kolloquium

Mi 17.00‐18.30, SemRm 052, ILP Bahrenfeld, 14‐tägig• Institutskolloquium Quantenoptik und Laserphysik

auf besondere Ankündigung, montags 17.15, ILP Bahrenfeld• SFB 925‐Kolloquium: Light induced dynamics and control of correlated quantum systems

Di 17.15‐18.45, SemRm 052, ILP Bahrenfeld, 14‐tägig• Kolloquium im Graduiertenkolleg 1355: Physik mit neuartigen kohärenten 

StrahlungsquellenDi 17.15‐18.45, SemRm 052, ILP Bahrenfeld, 14‐tägig

Hiwi, Bachelor und Masterarbeiten

1.1 Lectures in photonics, UHH

E7

Motto: „… quantum phenomena do not occur in Hilbert space, they occur in a laboratory“ (Asher Peres)

1.1 (Q)bits• Klassisch: Bit ist die kleinste Informationseinheit, mit Wert „1“ oder „0“. 

Momentan besteht ein Bit auf Flash‐memory aus ca. 100 Elektronen• QM:

die Überlagerung ist kohärent, d.h. die Phase zwischen |0Ú und |1Ú ist definiert.

I. EinleitungI. Einleitung

Vektor der Länge 1, der durch q und f beschrieben wird.

physikalisch nicht relevant

E8

Zwei Qbits: •

N‐Qbits: • 2N a‐Koeffizienten a e C! • Im Prinzip braucht man zur klassischen Darstellung für jedes a

unendlich viele Bits• Selbst wenn nicht: 2300> Atome im Universum

BlochkugelBlochkugel

q

f

xy

z

|1Ú

|0Ú

E10

Quantenmechanische Messung nach Born:

p(|0Ú)=|a|2, p(|1Ú)=|b|2

Der Messprozess zerstört die Superposition

→ Fragen: Wie viel nützliche Information speichert denn nun ein Qbit? Speziell, wenn nicht gemessen wird?

Die Frage erscheint unsinnig, denn wenn nicht gemessen wird, kann die Information nicht erhalten werden.aber: die „Natur“ kennt die Größe von f und q exakt und kann sie korrekt Zeit‐entwickeln.

fl Hier steckt Quanteninformation im Verborgenen

Und wie liest man diese Information aus?Und wie liest man diese Information aus?

D. Mermin, Chap. 1.8+1.9

E11

Ansatz der Quanteninformationstheorie (QI):Finde clevere Algorithmen, bei denen die meisten Qbits nahe bei|0Ú sind. Die übrigen tragen die Information.Da auch die Qbits mit b<<1 machmal als |1Ú gemessen werden,muss man das Ergebnis klassisch überprüfen können.• Beispielprobleme: Primzahlfaktorisierung, Suche.

Wie können wir diese qm‐Information nutzen?Wie können wir diese qm‐Information nutzen?

E12

Auf einem Vortrag hat Feynman 1981 die Frage gestellt: Mit welchem Computer will man Physik simulieren?

Beispiel: 

Aspekt Quantensimulation (Kap. V)Aspekt Quantensimulation (Kap. V)

Für Interessierte: R.P. Feynman, Int. J. of Theo. Phys. 21: 467, 1982 im Material

• Speicherbedarf nimmt exponentiell zu• Simulation durch ein anderes Quantensystem, das den gleichen 

Gesetzmäßigkeiten gehört! Z.B. Atome in optische Gittern• Muss Simulation oft durchführen, um Ensemblemittel zu finden.

E13

Klassische Computer bestehen aus Bits und Gattern, die Operationen durchführen. Einzige nichttriviale Operation auf einem Bit:  NOT

Quantum‐NOT Gatter: in Matrixschreibweise

Blochkugel: 180° Drehung um x‐AchseQuantengatter mit einzelnen Qbits können durch 2x2 Matrizen dargestellt werden. Diese müssen unitär sein, U+ U=1. Siehe Übung für die Darstellung durch Paulimatrizen.

1.2 Quantengatter mit einzelnen Qubits1.2 Quantengatter mit einzelnen Qubits

Nachlesen: Audretsch Kap. 3.1‐3.4

E14

Pauli: Wirkung

Darstellung durch PaulimatrizenDarstellung durch Paulimatrizen

Übungsblatt 1, Audretsch Kap. 3.1‐3.4

¾xj0i = j1i "bit °ip"

¾xj1i = j0i¾yj0i = ij1i¾yj1i = ¡ij0i¾zj0i = +j0i "phase °ip"

¾zj1i = ¡j1i

Wichtige Eigenschaft von Gattern U

„Jedes U kann man als Rotation um aum Achse e verstehen“Aber wie bekommt man e und a?

Bestimme U‘=e ib U so, dass det(U‘)=1

Beweise siehe Übungsblatt 1

E15

Phasengatter

Bewirkt Phasenverschiebung zwischen der |0Ú und |1 ÚKomponente.

Blochkugel: Drehung um die Z‐Achse um Winkel a.

Hadamard Gatter: 

Wirkungsweise: 

Besonderheit: H2=1 „square‐root NOT‐Gatter“, weil Spin |0Únur halb  invertiert wird

Weitere 1 Qbit GatterWeitere 1 Qbit Gatter

q

f

xy

E16

Blochkugel:  

Perfekt zur Initialisierung von Registern! Erst messen, dann Qubits mit Ergebnis |1Úmit sx flippen Ø |0Ún. Dann Hadamard

Fortsetzung HadamardFortsetzung Hadamard

xy

E17

Häufig benutzte 1‐Qbit GatterHäufig benutzte 1‐Qbit Gatter

siehe Audretsch, S. 57

E19

I. Einführung1. Qubits2. Quantengatter mit einzelnen Qbits3. Verschränkung und der Dichteoperator4. Multi‐Qubit‐Gatter5. Quantenteleportation

II. Physikalische Realisierungen: Cavity QED und Ionenfallen1. WW von Atom mit EM‐Feld2. Quantisierung des EM‐Feldes3. Jaynes Cummnigs Hamiltonian4. 2‐Qubit Gatter mit Jaynes Cummings‐WW5. Ionenfallen6. QM‐Beschreibung eines Ions7. CNOT mit Ion

III. Quantenalgorithmen1. Deutsch‐Jozsa‐Algorithmus mit Exp.2. Shor‐Algorithmus3. Quanten‐Fourier Transformation4. Grover‐Algorithmus

IV. Dekohärenz und Quantenfehler1. Quantenoperationen2. Operatorsummenzerlegung3. Mastergleichung4. Fehlerkorrektur5. Fehlervermeidung

V. Quantensimulation1. Motivation2. Simulation von Quantensystemen

VI. Minikonferenz

Einführung in die QuanteninformationsverarbeitungProf. Henning MoritzFr 08.30‐10.00 Hörs AP

Einführung in die QuanteninformationsverarbeitungProf. Henning MoritzFr 08.30‐10.00 Hörs AP

E20

Moore‘s LawMoore‘s Law

“Where a calculator on the ENIAC is equipped with 18,000 vacuum tubes and weighs 30 tons, computers In the Future may have only 1,000 vacuum tubes and perhaps weigh 1.5 tons.”Popular Mechanics, March 1949 edition

“The complexity for minimum component costs has increased at a rate of roughly a factor of two per year.”G.E. Moore, Elec. Mag., April 1965

E22

• Bitte überlegen Sie sich in den nächsten 10 Minuten wie man diese Systeme im Labor realisieren kann:

• Wie präpariert man diese Systeme in einem wohldefinierten Anfangszustand?• Wie realisiert man 1 Qbit Rotationen?• Wie liest man die Information aus?

• Wenn möglich, überlegen sie sich auch Kriterien, nach denen man diese Systeme beurteilen kann: Schwächen und Stärken?.

• Diskutieren Sie zu zweit/dritt. Wir werden Ihre Antworten an der Tafel sammeln:Präparation, Rotation, Auslesen, Stärken und Schwächen.

1.3 Realisierungen von Qbits1.3 Realisierungen von Qbits

Wie kann man Qbits physikalisch realisieren?Beispiele: Atom, Photon (und Elektron)Wie kann man Qbits physikalisch realisieren?Beispiele: Atom, Photon (und Elektron)

E26

• Spin ½‐ Teilchen, z.B. e‐ oder 2‐Niveau‐System• Systeme mit vielen effektiven Freiheitsgraden (Atome, Ionen) sind 

effektive 2‐Niveau‐Systeme, • Bsp.: 87Rb, ähnlich für alle Alkaliartigen Systeme wie Neutralatome 

Na, K, Rb, Cs oder einfach Ionisierte Erdalkali Mg+, Ca+, Ba+

Bsp. für Qbit: AtomBsp. für Qbit: Atom

Notation:    2S+1XJ

P

S

P3/2

P1/2

S1/2

FeinstrukturKopplung L+SØJ

HyperfeinstrukturKopplung J+IØFHier: I=3/2

780n

m

F=1F=2

F=1F=2

F=1F=2F=3F=4

Lebensdauer einige nsflschlecht geeignet als Qbits

Lebensdauer für spontanen Zerfall viele Jahre, „metastabil“

E27

Genauer:

F=1F=2

F=1

F=2

mF= ‐2 ‐1 0 1 2

Viele mögliche Qbits=2‐Niveausysteme

Aufspaltung0.5‐10 GHz

|0Ú

|1Ú

Fluoreszenz, s+

P‐Zustand, F=3,mF=3

E28

Untersuche Quantenzustände von mehreren Teilchen:

Mögliche Zustände:    |0ÚA , |1ÚA |0ÚB , |1ÚB

Produktzustände, z.B.: 

Was ist mit:   

Kann nicht als Produktzustand geschrieben werden Ø „verschränkter Zustand“ (engl.: entangled state)„Verschränkung ist, wenn man das eine Teilchen kitzelt und das andere lacht. “ (Jeff Kimble)

Beispiel: Messe |ÚA =z.B: |1ÚAfl |1ÚB

1.4 Verschränkung und der Dichteoperator1.4 Verschränkung und der Dichteoperator

allgemein: Nielsen & Chuang, Kapitel 2.4, speziell 2.4.3+2.5;  Audretsch, Kapitel 4, speziell: Kap: 4.1.3+4.1.4, 4.4

A B

jÃi =1

2(j0iA + j1iA)Ð (j0iB + j1iB)

=1

2(j0A0Bi+ j01i+ j10i+ j11i)

jÁ+i =1p2(j00i+ j11i)?

E29

• Eigenart der QM• Vorraussetzung für QC („entanglement is resource for QC“)• i.a. ist es schwierig festzustellen, ob ein verschränkter oder 

Produktzustand vorliegt. (siehe Übung 2). Wenn man viele Teilchen hat, ist ein verschränkter Zustand wahrscheinlicher, denn es gibt mehr davon.

• Wie erzeugt man einen verschränkten Zustand?Ø Brauche einen Operator, der nicht ein Produktoperator ist, 

siehe 1.5 Multi‐Qbit‐Gatter• Verschränkte Zustände verhalten sich komisch, wenn Sie 

gemessen werden.• Um das genauer zu untersuchen, brauchen wir den 

Dichteoperator

Verschränkte ZuständeVerschränkte Zustände

E30

• beschreibt auch „gemischte“ Zustände, von denen nur bekannt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit pi man |YiÚmisst, aber nicht der exakte Zustand. Also keine maximale Information bekannt.

• Eigenschaften: 1. Hermitesch: 2.

3. Ermöglicht Unterscheidung rein/gemischt:

Dichteoperator 1Dichteoperator 1

z.B. Nielsen & Chuang 2.4, Audretsch Kap. 4

½ =X

i

pijªiihªij;X

pi = 1; pi ¸ 0; in anderer Basis jÃii

hÃnj½jÃmi =X

i

hÃnjªiipihªijÃmi =X

i

pi cnic¤mi

½y = ½

tr(½) =Xn

hÃnj½jÃni =X

i

Xn

hªijÃnihÃnjªiipi =X

i

hªijªiipi

= 1

tr(½2) < 1 fÄur gemischten, mit unterem Limit1

Dimension

tr(½2) = 1 fÄur reinen Zustand

E31

Beispiel: 

Anwendung: Der Dichteoperator kann verwendet werden, umTeilsysteme von komplizierten Quantensystemen zu beschreiben. Dasist wichtig für Quantencomputer, wenn Qbits an andere Qbits oder andie Umgebung/Messapparatur koppeln.

Reduzierter Dichteoperator:Wobei trB eine „partial trace“ nur über System A im Allg. bedeutet:

Dichteoperator 2Dichteoperator 2

Nielsen & Chuang, Chap. 2.4.3!

½ = jÁ+ihÁ+j = 1

2[(j00i+ j11i) (h00j+ h11j)]

½2 =1

4[(j00i+ j11i) (h00j+ h11j) [(j00i+ j11i)| {z }

=2

(h00j+ h11j)]

= ½ ) tr(½2) = 1 ) reiner Zustand!

½A = trB(½AB)

trB(ja1iha2j Ð jb1ihb2j) = ja1iha2j ¢ tr(jb1ihb2j)

E32

1.)

2.)  Dichtematrix des Bellzustandes

Wenn                          mit d=Dimension des Hilbertraumes, dann nennt man den Zustand maximal gemischt

2 Beispiele reduzierter Dichteoperator2 Beispiele reduzierter Dichteoperator

Nielsen & Chuang, Chap. 2.4.3!

½AB = ½A Ð ½B

½A = trB(½AB) = ½A ¢ tr(½B) = ½A trivial ...?

jÁ+i =1p2(j00i+ j11i)

½A =1

2trB(j00ih00j+ j11ih00j+ j00ih11j+ j11ih11j)

N:R trB(j1A1Bih0A0Bj) = h0Bj1A1Bih0A0Bj0Bi+ h1Bj1A1Bih0A0Bj1Bi = 0

=1

2(j0Aih0Aj ¢ jh0j0iBj2| {z }

=1

+j1Aih0Aj ¢ 0 + j0Aih1Aj ¢ 0 + j1Aih1Aj ¢ jh1j1iBj2| {z }=1

)

=1

2(j0ih0j+ j1ih1j) =

1

2¢ 1

½ = 1=d ¢ 1

E33

Ist der Zustand des Teilchens 1 alleine auch rein?

Erstaunlich: Der Zweiteilchenzustand ist Produktzustand/rein, d.h. wir haben maximales qm Wissen über ihn. Betrachten wir nur ein Teilchen, haben wir einen gemischten Zustand mit minimalem Wissen.Dies ist eine Besonderheit von verschränkten Zuständen.Ø Ein Zustand heißt dann „maximal verschränkt“, wenn die reduzierte 

Dichtematrix proportional zu 1 ist.

Nielsen & Chuang, Chap. 2.4.3!

tr¡(½A)2

¢= tr(

1

41) =

1

2< 1 ! Nein!

E35

Klassisches Computing: wichtige Gatter stellen logische Verknüpfungen zwischen den Eingängen her, z.B. AND

Solche Gatter sind nicht invertierbar und führen zu Informationsverlust.Widerspruch zur unitären Zeitentwicklung eines Quantenzustands

Stattdessen: Ein Gatter, bei die Anzahl der Eingänge und Ausgänge gleich bleibt:

1.5 Multi‐Qbit Gatter1.5 Multi‐Qbit Gatter

ab a AND b

j00i ! j00 >

j01i ! j01 >

j10i ! j11 >

j11i ! j10 >

Kontrollbit     Zielbit„Controlled‐Not“, kurz „CNOT“

CNOT =

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

1CCA =

μ1 00 ¾x

¶

E36

Wichtig: „Universalität“: Jedes 2‐Qbit Gatter kann aus einem CNOT und geeigneten 1‐Qbit Gattern erzeugt werden, (Beweis siehe Blatt 3)

Wir können die Bellzustände durch Kombination von Hadamard und CNOT‐Gatter erzeugen:

….. CNOT….. CNOT

j00ij01ij10ij11i

H1Ã!

j00i+ j10ij01i+ j11ij00i ¡ j10ij01i ¡ j11i| {z }

Produktzustand

CNOTÃ!| {z }nichtlokal

j00i+ j11ij01i+ j10ij00i ¡ j11ij01i ¡ j10i| {z }verschraenkt

=:

jÁ+ijÃ+ijÁ¡ijái| {z }

Bell¡Zustand

jÁ + i„Parity‐Bit“Spins sind gleich oderentgegengesetzt

„Phase‐Bit“Relativphase ei0oder eip

Alle maximal verschränkten Zuständeauch eine Basis von 2Qbit Raum.

abstrakt: ja; bi ! ja; a© bi© := Addition modulo 2 ja© bi

jai jai

jbi

E37

Wenn beide Qbits beisammen sind, können wir messen, in welchem Zustand sie sind: Wir führen eine Messung durch, die auf die {|f+ Ú, |f‐ Ú, |y+ Ú, |y‐ Ú} – Basis projiziert. Also z.B. erst CNOT(+), dann H(+) ausführen, dann in |00Ú‐Basis messen

Aber: Wenn die qbits getrennt sind, kann man durch Messung an nur einem qbit keine Informationen über den Zweiteilchen‐zustand gewinnen.

Was passiert, wenn man nur ein Qbit manipuliert?Beispiel: Alice hat einen |f+ Ú‐Zustand und wendet eine sz Operation darauf an:

Nur Phasenänderung – keiner kann den Effekt alleine beobachten.

Messung an 2 QbitsMessung an 2 Qbits

μ1 00 ¡1

¶A

·1p2

(j0iAj0iB + j1iAj1iB)

¸=

1p2

(j0iAj0iB ¡ j1iAj1iB)

E38

Alter Traum: Man will Gegenstand von A nach B „teleportieren“, inkl.aller qm Information. Das „No‐cloning“‐Theorem verbietet das. Wirkönnten natürlich das Objekt von A nach B bringen, aber währendder langen Reise könnte es Dekohärenz geben.

Trick: Wir messen den Zustand bei A nicht, sondern geben die Information durch Verschränkung weiter.

Rezept: 

1.) Alice will Zustand  Bob übermitteln2.) Dazu teilen sich Alice und Bob ein verschränktes Paar

wobei der Abstand zwischen ihnen sehr groß sein kann.

1.6 Quanten‐Teleportation1.6 Quanten‐Teleportation

Idee: C.H. Bennett et al.,  Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993)

jÃi1 = ®j0i1 + ¯j1i1

jÁ+i23 =1p2

[j00i23 + j11i23]

E39

3.) Alice projiziert nun Ihre beiden Qbits (1,2) auf die Bellbasis des 2‐Qbitraums (entspricht Verschränkung 1‐2), und teilt das Ergebnis Bob per Telefon/klassisch mit. Algebra: Nutze

Um umzuformen:

fl Wenn Alice |f+Úmisst, hat nun Bob das ursprüngliche Qbit fl Teleportation!Sonst muss Bob entsprechend Alice‘s Telefonanweisung an Qbit3 drehen: Beispiel: 

… … 

Nachlesen: Mermin 6.5

j00i12 =1p2

¡jÁ+i12 + jÁ¡i12

¢j01i12 =

1p2

¡jÃ+i12 + jái12

¢j11i12 =

1p2

¡jÁ+i12 ¡ jÁ¡i12

¢j10i12 =

1p2

¡jÃ+i12 ¡ jái12

¢jÃi123 = (®j0i1 + ¯j1i1)Ð

1p2[j00i23 + j11i23]

=1

2[jÁ+i12 Ð (®j0i3 + ¯j1i3)

+jÁ¡i12 Ð (®j0i3 ¡ ¯j1i3)+jÃ+i12 Ð (¯j0i3 + ®j1i3)+jái12 Ð (¡¯j0i3 + ®j1i3) ]

jÁ¡i12 ¡! ¾z

E40

• Es wird nur klassische Information übertragen!

• Warum verstößt man nicht gegen das „No‐cloning theorem“?

• Qbit 1 ist nach der Teleportation in einem maximal gemischten Zustand! Keine Information mehr da!

• Je Qbit, das übertragen werden soll, braucht man ein Bell‐paar

• Wird da nicht klassische Information schneller als Licht übertragen? Nein, denn Alice muss ja noch mit Bob telefonieren.

• Entanglement swapping: 

• Wie realisiert man Messung auf Bellbasis? Z.B. erst CNOT, dann Hadamard anwenden, aus Bell |f+Ú wird damit z.B. |00Ú, messen in |00Ú, |01Ú … Basis.

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Nachlesen: Mermin 6.5

E41

Photonen mit Polarisierung: |0Ú:= |HÚ, |1Ú:= |VÚErzeugung von Bell‐Zustand |y‐Ú= |HÚ2|VÚ3‐ |VÚ2|HÚ3 zwischen Alice 

und Bob durch „parametric – down conversion“: Ein Photon zerfällt in zwei mit halber Energie

Hadamard‐Gatter: Wird durch einen 50/50‐Beamsplitter realisiert:

Experiment: Bouwmeester et. al, Nature 390, 575 (1997)Experiment: Bouwmeester et. al, Nature 390, 575 (1997)

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E42

E43

ResultsResults

E44

• Skalierbar zu großer Anzahl Qbits• Initialisierung von beliebigen Anfangszuständen

• Gatter schneller als Dekohärenzzeit• Universeller Satz an Gattern• Readout

Vorgriff: Die DiVincenzo KriterienVorgriff: Die DiVincenzo Kriterien

D. P. DiVincenzo, Fortschr. Phys. 48, 771 (2000), see also Nakahara