Quantenregister, Verschränkung

und Quantengatter

Daniel Maier

Ziele

• Grundlegendes Verständnis der

einzelnen Komponenten eines

Quantencomputers

(Quantennetzwerks)

• Grundlage für

Quantenalgorithmen zur Lösung

komplexer Probleme

Inhalt

I. QuBit

II. Quantenregister

III. Quantengatter

a) Einzel QuBit Gatter

b) Zwei und mehr QuBit Gatter

IV. Messung

V. Zusammenfassung

QuBit

QuBit

Bit

• Zwei klassische unterscheidbare

Zustände: 0 und 1

• Realisiert z.B. durch:

Spannungen

QuBit

• Zwei orthogonale QM-Zustände

die sich in Superposition

befinden können:

wobei

• Realisierbar z.B. durch:

Spin up/down , Zwei-Niveau

Atom, Polarisation,

Quantenregister

Quantenregister

• Klassisches Register ist geordnete

Bitsequenz

• Quantenregister der Länge n

enthält n QuBits

• Zusammengesetzter Zustand in

Hilbert-Raum mit n Faktorräumen

• Registerzustand der natürlichen

Zahl a:

• Beispiele:

Klass. 4-Bit Register aus Flip-Flops

Quantenregister

• Auch Superposition in Register

möglich:

• Allgemeiner Zustand im Register:

Quantenregister aus

Ionenfalle mit 14 QuBits

Quantengatter

Klassische Gatter

• Logische Gatter berechnen

Funktion mit n Eingabe und l

Ausgabe Bits:

• Beispiel: Boolsche Gatter

NOT, AND, OR, XOR

Quanten Gatter

• Quanten Gatter sind Unitäre

Transformationen

Operation ist reversibel

• Aus Unitarität folgt „no-cloning-

theorem“

• Keine Sicherungskopie eines

Zwischenergebnis möglich !

Linearität:

„Cloning Operator“:

Zustand:

Aber:

Einzel QuBit Gatter

Hadamard Gatter

• Erzeugt Superposition

• Kann Superposition aller

Zustände in einem Register

erzeugen

Phase Shift Gatter

• Erzeugt Phasenwinkel bei einer

Erzeugung beliebiger Separierbarer

Zustände• Anwendung von Hadamard und

PhaseShift ermöglicht Erzeugung

beliebiger separierbarer Zustände

Hadamard und PhaseShift

können jede unitäre 1 QuBit

Operation erzeugen

Zwei QuBit Gatter

CNOT (controled NOT) Gatter

• 2 Eingänge:

Kontroll- und Zielbit

• Nur wenn Kontrollbit wird

Zielbit negiert

Erzeugung verschränkter Zustände

• Mit Hadamard und CNOT lassen

sich verschränkte Zustände

erzeugen

• Superposition aus Hadamard wird

als Kontrollbit genutzt

Beispiel

Toffoli (C²NOT) Gatter

• 3 Eingänge:

2 Kontroll- und 1 Zielbit

• Nur wenn beide Kontrollbits

wird Zielbit negiert

• Toffoli Gatter können zur

Realisierung Boolscher

Funktionen genutzt werden

Berechnung Boolscher Funktionen

NOT AND

Berechnung Boolscher Funktionen

ORXOR

Messung

Messung

• Messung i.A. nicht umkehrbar

• Messung wählt einen der Basiszustände mit

Wahrscheinlichkeitsamplitude aus

Zusammenfassung

• Quantennetzwerk besteht aus Quantenregistern, Quantengattern und

einem Messprozess

• Berechnungen werden mit Unitären Transformationen durchgeführt

• Erzeugung von Superpositionen und Verschränkungen

• Boolsche Algebra kann über Toffoli Gatter realisiert werden

• Messung projiziert auf Basiszustände

• Durch Aneinanderreihung verschiedenster Gatter können komplexe

Quantenalgorithmen realisiert werden (vgl. nächsten Vortrag)

Literatur

• Quantum computing, A. Steane, 1998 Rep. Prog. Phys. 61 117

• Quantum Computing verstehen, M. Homeister, 2. Auflage Vieweg Verlag

• Quantum Computation, D. Aharonov, arXiv:quant-ph/9812037v1

• Basic concepts in quantum computation, A. Ekert, arXiv:quant-

ph/0011013v1

• Quanteninformationstheorie Wintersemester 2004/2005, Prof. D. Bruß

• Verschränkte Systeme, J. Audretsch, WILEY-VCH Verlag