UNKONVENTIONELLE COMPUTER Seminar...

Quantengatter und Quantenschaltkreise Seite 1/16

UNKONVENTIONELLE COMPUTER

Seminar SS2001 Vortrag von Jan Rödling

Technische Universität Braunschweig

4XDQWHQJDWWHU�XQG�4XDQWHQVFKDOWNUHLVH�

��

Das Modell

Quantengatter

Quantenschaltkreis

Quantenmessungen

Universelle Quantengatter


Das Modell :

Das Modell eines Quantencomputers beruht auf einem geschlossenen

quantenmechanischen System.

Die Register eines konventionellen Computers entsprechen in diesem Modell den

Qubitregistern, welche als Einheitsvektoren im k

C 2interpretiert werden.

Die auf diesen Qubitregistern durchgeführten Operationen werden durch unitäre

Operationen realisiert, d.h., sie sind in jedem Falle reversibel.

Wir betrachten hier nur die theoretischen und mathematischen Prinzipien, nach

denen die Quantencomputer arbeiten, ohne auf die physikalischen Vorgänge

einzugehen.

Quantengatter

Definition: Ein Quantengatter besitzt n Eingänge und

n Ausgänge (mit n = 1, 2, 3, ... ) und wird durch eine unitäre Matrix

(unitärer Operator) vom Grad 2n dargestellt.

Entstehung der Indizes

11100100

11011000

1010

11100100

1111

11

0000

00

aaaa

aaaaaaaa

aaaa

+++=

+++=

+⊗+=⊗Ψ

ΨΨΨΨ

ΨΨ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

=

44434241

34333231

24232221

14131211

uuuu

uuuu

uuuu

uuuu

U


Das Tensorprodukt:

Das Tensorprodukt wird bei den Operationen auf Quantengattern zwischen

unabhängigen Qubits bzw. Teilschaltkreisen verwendet. Dabei werden Vektoren und

Matrizen gleichermaßen behandelt:

Jeweils paarweise werden die einzelnen Elemente der Vektoren und Matrizen

miteinander multipliziert.

Vektoren:

10

10

dc

ba

+=

+=

ϕ

φ

Tensorprodukt der Vektoren :

=

⊗

=⊗

bd

bcadac

dc

ba

ϕφ

Tensorprodukt der Matrizen:

=⊗

=

=

dBcBbBaB

BAhgfe

Bdcba

A

Formale Definition:

)()(:

:,,,

φϕφϕ

φϕ

⊗⊗=⊗

∈∈∈∈ ××

BABA

dannCCCBCA nmnnmm


Darstellungen der Gatter:

z.B. : das Toffoligatter

Die Qubits a, b, c sind unabhängig und werden durch das Tensorprodukt miteinander

verknüpft. Der Punkt an den sich kreuzenden Leitungen bedeutet, daß die jeweiligen Qubits

eine Kontrollfunktion erfüllen, aber selbst nicht verändert werden.

Das Symbol am Kreuzungspunkt vom Qubit c entspricht dem des klassischen XOR-Symbols.

Da in Quantencomputern nur reversible Funktionen berechnet werden können, ist immer

mindestens ein Kontrollqubit notwendig. Im obigen Beispiel heißt das, daß Qubit c genau

dann invertiert wird, wenn die (Kontroll-)Qubits a und b den Wert 1 annehmen.

Unitäre Matrix :

==

0100000010000000001000000001000000001000000001000000001000000001

CCNOTTOFFOLI

011011

010010

001001

000000

→

→

→

→

110111

111110

101101

100100

→

→

→

→


Beispiel:

Die Hadamard - Transformation versetzt ein Qubit in einen Zustand, der sich genau

„zwischen“ den zwei Basiszuständen eines Qubits befindet.

Hadamard auf ein Qubit :

−

=11

11

21

H

Im folgenden Beispiel werden 2 Qubits einer unitären Operation unterworfen. Das

obere Qubit erfüllt eine Kontrollfunktion, d.h., das untere Qubit wird genau dann in

den überlagerten Zustand versetzt, wenn das Kontrollqubit im Zustand „1“ ist.

controlled-Hadamard (2 Qubits) :

−

=

21

21

00

21

21

00

00100001

cH


Quantenschaltkreise

Ein Quantenschaltkreis besteht aus verschiedenen Quantengattern, die durch

Quantenleitungen miteinander verbunden sind.

Dabei sind Quantenleitungen und –gatter nur abstrakte Modelle. Die Leitungen

stellen einen zeitlichen Ablauf dar, während die Gatter die Zustandsänderungen

repräsentieren.

Rechenregeln in Quantengattern und -schaltkreisen:

22121 ,mit MatUUUU ∈⊗

42112 ,mit MatUUUU ∈

z.B.:

trixEinheitsmaCICUCUistdabei

IUUU

CBAABC

xxx 22882

441

12

,,

)(

∈∈∈

⊗=

⊗⊗==

ϕϕ

ϕ


Regeln für Quantenschaltkreise :

Es gelten drei wichtige Regeln in Quantengattern und –schaltkreisen :

1) Es sind nur nichtzyklische Schaltkreise erlaubt. Das bedeutet, daß Ausgänge

eines Gatters (Schaltkreises) nicht wieder mit bereits benutzten Eingängen

verbunden werden können. Es können also keine Schleifen realisiert werden.

Soll ein Gatter mehrmals durchlaufen werden, so muß eine entsprechende

Anzahl dieses Gatters hintereinander geschaltet werden.

2) Im Gegensatz zu klassischen Gattern ist es wegen der Reversibilität nicht

möglich, mehrere Eingänge zu einem Eingang zusammenzuschalten.

KEIN FANIN

3) Es ist ebenfalls nicht möglich, eine Quantenleitung in zwei oder mehrere

identische Quantenleitungen aufzuteilen.

KEIN FANOUT

Dies wird im folgenden NO-CLONING-THEOREM bewiesen :


NO-CLONING-Theorem:

Es gibt keine unitäre Operation, mit der Qubits kopiert werden können !

Annahme: Es existiert ein unitärer Operator U , welcher beliebige Zustände

kopieren kann, also ϕϕϕ ,0, =U für alle Zustände ϕ erfüllt.

Zwei beliebige verschiedene orthogonale Basiszustände βα ,

können folgendermaßen kopiert werden :

βββββ

ααααα

⊗==

⊗==

,)0,(

und ,)0,(

U

U

Weiterhin sei γ ein speziell gewählter Zustand :

( )βαγ +=2

1:

Dann ist:

( ) 2

1)00U(

2

1)0( ββααβαγ +=+=U

Andererseits gilt:

( ) 21

)(2

1)(

2

1 ββαββαααβαβαγγ +++=+⊗+=

Offensichtlich gilt also :

γγγ ≠ )0(U , was im Widerspruch zur Annahme steht.

Man sieht, dass das Kopieren eines beliebigen Qubits nicht möglich ist. Daher ist das

"Vervielfältigen" von Qubits nicht realisierbar.


Quantenprogramm

Um mit einem Quantenrechner Ergebnisse erzielen zu können, muß ein

Quantenprogramm realisiert werden. Ein solches besteht aus einem

Quantenschaltkreis und einer oder mehrerer abschließender Messungen der

Zustände des Quantensystems.

Ein Quantenprogramm realisiert eine probabilistische Quantenturingmaschine. Alle

Ergebnisse der Messungen sind in geeigneter Form als Wahrscheinlichkeiten

interpretierbar. Gegebenenfalls muß das Quantenprogramm mehrfach ausgeführt

werden, um die Ergebnisse zu verifizieren.

Trotzdem liefern Quantenrechner bei Anwendung geeigneter Algorithmen sehr viel

schneller Ergebnisse als herkömmliche Computer.


Quantenmessungen

Messungen beschreiben wir durch Projektionen des Zustands auf geeignete

Unterräume des Quantenregisters n

C 2 . Bis zur Messung ist der Zustand eines

Systems unbestimmt. Als Ergebnis einer Quantenrechnung haben wir einen noch

unbestimmten Zustand (blauer Pfeil) erhalten. Eine Messung in eine beliebige

Richtung (gestrichelte Linie) verändert den Systemzustand irreversibel in

Messrichtung (roter Pfeil)!

Die Koeffizienten des (herunter-)projezierten Zustands ergeben eine als

Wahrscheinlichkeit interpretierbare Größe.

Beispiel 1 : (unbestimmter Zustand) :

12

10

21 +=φ

Die Koeffizienten der Basisvektoren sind in geeigneter Form wegen 122 =+ βα als

Wahrscheinlichkeiten interpretierbar . Im obigen Beispiel erhält man durch eine

Messung mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,5 eine klassische „0“.

Der Zustand ist nach der Messung in Messrichtung festgelegt: 0=φ .

Bei einer erneuten Messung in die eben benutzte Messrichtung würde man mit

100%-iger Wahscheinlichkeit eine klassische „0“ erhalten.

Das Messen eines 2-Bit-Zustandes ijij∑= αφ ergibt 2 Bits ij mit der

Wahrscheinlichkeit 2

ijα und zwingt φ in den Zustand ij .


Beispiel 2:

11100100 11100100 aaaa +++=φ

Das Ergebnis “01” wird mit einer Wahrscheinlichkeit 2

01a erzielt.

Nach der Messung in Richtung 'φ ist der Zustand des 2-Qubit-Systems im

Meßrichtung festgelegt und wird wieder auf einen Einheitsvektor normiert.

)1'(01

'01

01 == φα

φa

Beispiel 3:

Zustand des Systems vor Messung sieht wieder wie folgt aus :

11100100 11100100 aaaa +++=φ

Das erste Qubit ist mit Wahrscheinlichkeit 2

012

00 aa + im Zustand „0“. Die

Messung führt zu der Änderung des Gesamtzustandes φ nach :

201

200

0100 0100'

aa

aa

+

+=φ

Auch hier wurde der Bildvektor auf einen Einheitsvektor normiert .


Vorgehensweise der Zustandsmessung:

Wir können uns auf folgenden Standpunkt stellen :

Wenn ϕ z.B. in der Form

111110101100011010001000 111110101100011010001000 ααααααααϕ +++++++=

vorliegt, dann existiert eine Meßvorschrift, die den Zustand „101“ mit der

Wahrscheinlichkeit p=2

101α liefert.

Durch geeignete Algorithmen können durch Interferenz einzelner Amplituden

(=Faktoren der Basisvektoren) die Wahrscheinlichkeiten einzelner Basiszustände

beeinflusst werden.

Die zugehoerige Messung koennen wir uns wie folgt vorstellen:

Die Messapparate � erzeugen eine klassische Anzeige aus {0,1} für jeweils eine

Quantenleitung (entspricht einem Qubit).


Universelle Quantengatter

Klassische (boolesche) Schaltkreise können aus wenigen Grundgattern aufgebaut

werden. So genügt eine geeignete Verschaltung von NAND-Gattern für die

Realisation eines beliebigen Schaltkreises.

Für Quantenschaltkreise sind solche Zerlegungen in universelle Gatter ebenfalls

sinnvoll.

Definition: Eine Menge M von Quantengattern heißt universell, wenn jede

beliebige unitäre Transformation U als Quantenschaltkreis mit

Quantengattern aus M realisiert werden kann.

Die Menge M1 ist universell:

} :{}{ 221 unitäristUCUCNOTM x∈∪=

CNOT ist das Controlled-NOT-Gatter, d.h. das Zielqubit wird genau dann invertiert,

wenn das Kontrollqubit den Wert „1“ hat.

Es gibt überabzählbar viele unitäre C2x2 – Matrizen, daher ist M1 unendlich groß.

Eine Approximation von unitären Abbildungen bzw. Quantenschaltkreisen liefert oft

ausreichende Ergebnisse.


εε - Approximation von universellen Quantengattern

Motivation : Eine unendliche Zahl von Quantenoperationen soll durch

möglichst wenige Grundgatter realisiert werden.

Die Quantenrechnung ist aufgrund der Messungen immer probabilistisch, d.h., die

Ergebnisse sind nicht mit beliebiger Genauigkeit bestimmbar.

Da effiziente Implementierungen von beliebigen Gattern erwünscht sind, genügt oft

eine entsprechende Approximation durch universelle Quantengatter.

Die Matrix M ist eine Approximation des gesuchten unitären Operators U, wenn gilt :

10 ≤≤≤− εε mitMU

Der Gatteraufwand eines approximierten Schaltkreises kann im günstigsten Fall

polynomial sein, im schlechtesten Fall erhalten wir einen exponentiellen Aufwand.

Der Aufwand ist natürlich abhängig von der gewünschten Genauigkeit ε .

Beispiel einer universellen εε-approximierenden Menge:

0

01 },,{

42

== πi

eWwobeiWHCNOTM

Die Menge M2 wird in der Quanteninformatik häufig verwendet.


Beispiel eines approximierten Schaltkreises mit M2:

Gesuchte Funktion :

01F ,10 ==F

z.B.:

11

0

0

1

11

11

21

10

01

11

11

21

)0( =

=

−

−

−

=F

φφ FHWH →→→ ......4

Hinweis :

−

=10

014W

Der Aufwand (hier 6 Gatter) ist ziemlich hoch, da die gesuchte Funktion durch ein

einziges Gatter

=

0110

XOR realisiert werden könnte.

Die Approximation eines beliebigen Schaltkreises auf n Qubits mit einer Genauigkeit

ε hat einen Aufwand an Gattern von

)4

log4(2

2

ε

nn n

nO

Es ist also nicht in jedem Fall sinnvoll (s.o.), einen Schaltkreis durch universelle

Quantengatter zu realisieren.


Literatur JOZEF GRUSKA, Quantum Computing, McGraw-Hill, London, 1999

JOHANNES BLÖMER, Skript zur Vorlesung Quantencomputer, Universität

Paderborn, SS 2000

MICHAEL A. NIELSEN, ISAAC L. CHUANG, Quantum Computation and Quantum

Information, Cambridge University Press, Cambridge, 2000

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