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Hm-3 9 Ws 19/20 16.12.19 Übungsaufgaben 1 Sei f (z) = e -z 2 1 + e -2↵z , ↵ 2 C. a. Bestimmen Sie ↵ so, dass f (z) - f (z + ↵) = e -z 2 . b. Bestimmen Sie alle Residuen von f . c. Zeigen Sie Z 1 -1 e -x 2 dx = p ⇡ , indem Sie über Quadrate in der oberen komplexen Halbebene mit einer Seite [-R, R] integrieren. 2 Untersuchen Sie, ob f (z) = z 2 - 1 z 3 + 4z 2 + z außerhalb seiner Polstellen eine Stammfunktion besitzt. Schriftaufgaben 3 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen a. z + 1 z b. 1 z 4 (z 2 + 1) c. 1 cos z d. sin z z e. 1 - cos z z 5 f. z 2 - 2z sin(⇡ z) 4 Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale. a. Z |z-2|=1 z 2 ln(z 2 ) dz b. Z |z|=⇡ tan z z dz c. Z |z|=3 e ↵z 1 + z 2 dz . 5 Berechnen Sie: a. Z 1 -1 e i t 4 + t 2 dt b. Z 1 -1 x + 1 x 4 + 1 dx c. Z 2⇡ 0 sin z 2 + cos z dz . Hm-3 Ws 19/20 Pöschel Blatt 9 vom 16.12.19 Seite 1 von 2
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Hm-3 9Ws 19/20 16.12.19
Übungsaufgaben
1 Sei
f (z) = e�z2
1 + e�2↵z, ↵ 2 C.
a. Bestimmen Sie ↵ so, dass f (z) � f (z + ↵) = e�z2.
b. Bestimmen Sie alle Residuen von f .c. Zeigen Sie
Z 1
�1e�x
2dx =
p⇡ ,
indem Sie über Quadrate in der oberen komplexen Halbebene mit einer Seite[�R, R] integrieren.
2 Untersuchen Sie, ob f (z) = z2 � 1
z3 + 4z2 + zaußerhalb seiner Polstellen eine
Stammfunktion besitzt.
Schriftaufgaben
3 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen
a. z + 1z
b.1
z4(z2 + 1)c.
1cos z
d.sin z
z
e.1 � cos z
z5 f.z
2 � 2z
sin(⇡z)
4 Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale.
a.
Z
|z�2|=1z
2 ln(z2) dz b.
Z
|z|=⇡
tan z
zdz c.
Z
|z|=3
e↵z
1 + z2 dz .
5 Berechnen Sie:
a.
Z 1
�1
eit
4 + t2 dt b.
Z 1
�1
x + 1x4 + 1
dx c.
Z 2⇡
0
sin z
2 + cos zdz .
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