Hydrostatik von Schiffen - Über uns | · PDF fileHydrostatik von Schi en 6.3.5 Kr...

SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU

Stefan Krüger

Hydrostatik von Schiffen

August 2008

Institut furEntwerfen von Schiffen und SchiffssicherheitProf. Dr.-Ing. Stefan Kruger


Prof. Dr.-Ing. Stefan Kruger

23. April 2013


Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 41.1 Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ansichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Linienriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Volligkeitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Flachentragheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Gesetz des Archimedes 102.1 Druckverteilung im Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Schwimmender Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Kleine Anderungen der Schwimmlage 153.1 Beliebige, kleine Anderung der Schwimmlage . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Tiefertauchung um δT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Verdrehung um δϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Verdrehung um δψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Schwimmkorper unter außeren Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Stabilitat von Schwimmlagen 27

5 Kleine Schwimmlagenanderungen intakter Schiffe 325.1 Krangung um δϕ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Trimm um δψ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Einheitstrimmmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Stabilitatsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Pantokarenen und Stabilitatshebelarme 386.1 Pantokarenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Stabilitatshebelarme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.1 Schiffskorper unter der Wirkung eines krangenden Momentes Mξ

und außermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes . . . . . . . 426.3 Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader . . . . . . . . . . . . 46

6.3.1 Berechnung des Verdrangungsschwerpunkts und der Pantokarenengekrangter Quader (Formschwerpunktskurve) . . . . . . . . . . . . 46

6.3.2 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwer-punktes und der Pantokarenen fur die Bereiche I und 1. . . . . . . 47

6.3.3 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwer-punktes und der Pantokarenen fur die Bereiche II und 2. . . . . . . 49

6.3.4 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwer-punkts und der Pantokarenen fur die Bereiche III und 3. . . . . . . 51

Prof. Dr.-Ing. Stefan Kruger www.ssi.tu-harburg.de Seite: 2/77


6.3.5 Krummung, Krummungsradius der Formschwerpunktskurve (Me-tazentrische Evolute) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.6 Metazentrische Evolute eines Quaders fur die Bereiche I und 1. . . 556.3.7 Metazentrische Evolute fur die Bereiche II und 2. . . . . . . . . . . 566.3.8 Metazentrische Evolute eines Quaders fur die Bereiche III und 3. . 566.3.9 Stabilitatskurven bzw. Pantokarenen . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.10 Hebel des aufrichtenden Momentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.4 Schiff und Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Krangende Momente 647.1 Moment durch seitlichen Winddruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Moment bei Drehkreisfahrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Verschiebung von Flussigkeiten in Tanks mit freien Oberflachen . . . . . . 657.4 Moment durch Verrutschen von Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Moment durch Wasser an Deck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.6 Moment durch Vereisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.7 Moment durch Personen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.8 Moment durch hangende Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.9 Moment durch Trossenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.10 Moment durch Propellerdrehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.11 Momentenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.12 Stabilitatsforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8 Schiff mit Grundberuhrung 688.1 Schiff sitzt mit der ganzen Lange des Kiels auf. (Schiff im Dock) . . . . . 688.2 Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest. (Strandung, Aufdrehen beim

Stapellauf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9 Stapellauf 749.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10 Erweiterungen und Notizen 7710.1 Pantokarenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77



1 Grundlagen

1.1 Hauptabmessungen

Abbildung 1: Hauptabmessungen, nach Normentwurf DIN 81 209-1



Bezeichnung Einheit Bedeutungdeutsch englisch

LOA LOA m Lange uber alles, vom vordersten zum hintersten fes-ten Punkt

LPP LPP m Lange zwischen den Loten (Perpendiculars)LWL LWL m Lange in der SchwimmwasserlinieDWL CWL m KonstruktionswasserlinieVL FP m Vorderes Lot (Fore Perpendicular), Schnittpunkt

CWL mit Mallkante VorderstevenHL AP m Hinteres Lot (After perpendicular), Mitte Ruder-

schaftBOA BOA m Breite uber allesT, TDWL T, d, TD m Konstruktionstiefgang gemessen auf halber Lange

zwischen den LotenH D m SeitenhoheF F m Freibord∇ ∇ m3 Verdrangtes Volumen des Schiffes auf Spanten∆ ∆ t Deplacement: Verdrangte Masse

MS CL Mittschiffsebene (Centreline plane)HS,

⊗MF Hauptspant

WL WL WasserlinieSB SB Steuerbordseite (starboard)BB, XB PS, XB Backbordseite (portside)

Tabelle 1: Einige wichtige Abmessung

In der Seefahrt wird das gebunkerte Sußwasser als Frischwasser bezeichnet, in Anlehnungan das englische Wort freshwater fur Sußwasser.

1.2 Koordinatensystem

Man fuhrt ein schiffsfestes Koordinatensystem ein. Ublicherweise liegt der Koordina-tenursprung im hinteren Lot (HL) auf der Hohe der Basis in der Schiffsmitte. Die x-Achse geht entlang der Schiffslangsachse, die y-Achse ist die Querachse und die z-Achsedie Hochachse. Da der Ursprung in der Schiffsmitte liegt, konnen die y-Werte sowohlpositiv als auch negativ sein. Fur die Backbordseite sind die y-Werte positiv und furdie Steuerbordseite negativ. Die x-Werte werden zum Bug hin positiv gezahlt, alles washinter HL liegt wird negativ.



Abbildung 2: Schiffsfestes Achsensystem, nach Normentwurf DIN 81 209-1

1.3 Ansichten

Man denkt sich den Schiffsrumpf von Ebenen parallel zu den Ebenen des kartesischenKoordinatensystems zerschnitten. Die Projektionen der so entstandenen Umrisslinien aufjeweils eine gemeinsame Zeichenebene ergeben drei Ansichten des Schiffskorpers (sieheAbbildung 3):

• Spantenriss (body plan) in der y,z-Ebene (Spanten, frames,sections),

• Langsriss (sheer plan) in der x,z-Ebene (Schnitte, buttocks),

• Wasserlinienriss (half-breadth plan, water-line plan) in der x,y-Ebene (Wasserlinien,waterlines).



Abbildung 3: Projektion des Schiffskorpers in die drei Ebenen des kartesischen Koor-dinatensystems. Wegen der Ubersichtlichkeit ist der Ursprung verschobengezeichnet.

Ein weiterer Schnitt, der in einem Winkel zur Mittschiffsebene gelegt wird, dient derKontrolle des Linienverlaufs und wird Sentenriss (plan of diagonals) genannt. Ausgehendvon der Mittschiffsebene werden geneigte Schnitte gefuhrt, die moglichst viele Spantenmoglichst senkrecht schneiden. Es ergeben sich den Wasserlinien ahnliche Kurven.

1.4 Linienriss

Der Linienriss enthalt den Spantenriss, den Langsriss und den Wasserlinienriss. Bei derEntwicklung des Linienrisses mussen die Linien

”straken“, d.h. sie mussen stetig verlau-

fen.

• Spanten: Lpp wird in eine gerade Anzahl gleicher Abstande eingeteilt (z.B. 10 oder20); es entstehen 10 bzw. 20 Konstruktionsspanten, wobei man mit der Zahlungam AP mit 0 beginnt. Da an den Schiffsenden starke Krummungen der Außenhautauftreten, werden hier meist weitere Spanten in engeren Abstanden angeordnet.Im Spantenriss wird das Vorschiff rechts und das Hinterschiff links dargestellt.

• Schnitte: Der Umriss stellt Vor- und Hintersteven, die Aufbauten und den Decks-verlauf dar. Dabei werden die halben Schnitte durch die vordere Schiffshalfte rechtsund die durch die hintere Schiffshalfte links dargestellt.

• Wasserlinien: Glatte Abstande, z.B. 0,5 m oder 1 m usw. Zusatzlich wird die Kon-struktionswasserlinie CWL eingezeichnet. Es wird jeweils nur die Backbordhalfte



dieser Kurven in den Linienriss eingezeichnet.

Abbildung 4: Linienriss

1.5 Volligkeitsgrade

Unter dem Volligkeitsgrad oder der Volligkeit versteht man im Schiffbau das Verhaltnis

• einer beliebig geformten Flache zur Flache des umschreibenden Rechtecks,

• eines beliebig geformten Korpers zum Volumen des umschreibenden Quaders.

Die Volligkeitsgrade charakterisieren die Schiffsform.



Definition Bezeichnung Erlauterung

CWP =AW

L ·B

Volligkeitsgradder Wasserlinien-flache

Verhaltnis der auf Mallkante bezogenen Was-serlinienflache zum umschreibenden Recht-eck

CM =AM

B · T

Volligkeitsgradder eingetauchtenHauptspantflache

Verhaltnis der auf Mallkante bezogenen ein-getauchten Hauptspantflache zu dem Recht-eck aus Breite und Tiefgang

CB =V

L ·B · T

Blockkoeffizient Verhaltnis des Volumens des Unterwasser-schiffes zum umschriebenen Quader

CP =V

AM · L

Zylinderkoeffizientoder Scharfegrad

Verhaltnis des Volumens des Unterwasser-schiffes zum Volumen des aus Hauptspant-flache und Lange gebildeten Korpers

1.6 Flachentragheitsmomente

Im Schiffbau gibt es fur die Flachentragheitsmomente der Wasserlinienflache verschie-dene ubliche Bezeichnungen. So wird das Flachentragheitsmoment um die x-Achse auchBreitentragheitsmoment genannt, ubliche Bezeichnungen sind: IxS = IWL = IT . Das Fla-chentragheitsmoment um die y-Achse wird auch Langentragheitsmoment genannt undhat die Bezeichnungen: IyS = IWLL = IL.



2 Gesetz des Archimedes

Diese Dokumentation wurde erstellt aufgrund der Vorlage von Prof. Kloppenburg, ehem.Inst. f. Schiffbau.

2.1 Druckverteilung im Wasser

Neben dem bereits in Kapitel 1 erwahnten schiffsfesten Koordinatensystem wird einortsfestes Koordinatensystem eingefuhrt. Das globale Koordinatensystem ξ, η, ζ (xi, eta,zeta) orientiert sich an der Wasseroberflache. Die ξ, η-Ebene ist die Wasseroberflacheoder eine dazu parallele Ebene, ζ weist senkrecht nach unten (zum Erdmittelpunkt).Das ruhende Wasser besitzt die Dichte ρ und damit das spezifische Gewicht (ρg). Dasspezifische Gewicht gibt den Quotienten aus Gewichtskraft (gravity, Abkurzung G) undVolumen an:

G

V=m · gV

= ρg

Die Flussigkeitssaule hat den Querschnitt A und die Hohe ζ. Dann existieren an derWassersaule folgende Vertikalkrafte (Krafte, die nach oben zeigen, werden positiv ge-zahlt), siehe Abbildung 5 .

Wasserdruck p

Luftdruck pB . ξ

η

ζ

ζ

GlobalesKoordinatensystem

A

.

Abbildung 5: Absoluter Wasserdruck

F0 = −p0 ·A (Druckkraft an der Oberseite) (2.1)

FG = G = −(ρg) · V = −(ρg)A · ζ (Gewicht) (2.2)

FS = p ·A (Druckkraft an der Unterseite) (2.3)



Das statische Gleichgewicht liefert:∑F = −p0 ·A− (ρg)A · ζ + p ·A = 0 (2.4)

Damit erhalt man in der Tiefe ζ einen Uberdruck von:

(p− p0) = (ρg) · ζ (2.5)

Der Uberdruck ist die Differenz zwischen dem Umgebungsdruck p0 und dem Druck p inder Tiefe ζ.

2.2 Schwimmender Korper

Es gibt zwei Schwimmzustande fur Schwimmkorper: voll getaucht und teilweise getaucht.Ein voll getauchter Schwimmkorper befindet sich in nur einem Medium, wie z.B. ein U-Boot ganz unter Wasser, ein teilweise getauchter Schwimmkorper befindet sich in zweiMedien, wie z.B ein konventionelles Frachtschiff in Luft und Wasser.Daraus ergeben sich fur das Schwimmverhalten, z.B. die Schwimmstabilitat, unterschied-liche Zusammenhange. Bei einer Krangung eines Uberwasserschwimmkorpers verandertsich die Form des eingetauchten Volumens, entsprechend muss sich auch die Lage desAuftriebsschwerpunktes andern. Wird ein Unterwasserschwimmkorper gekrangt, so an-dert sich die Lage des Auftriebsschwerpunktes nicht, da sich die Wasser verdrangendeForm nicht andert. Im Auftriebsschwerpunkt greift die Auftriebskraft FB an.Es existiert ein schwimmender/teilweise eingetauchter Korper mit einer UnterwasserformS(ξ,η) siehe Abbildung 6.

(ξ,η)S

ξG

ξB

.

W

FB

pdA

dA

pBdA Körper

G

ζ

ξη ...

BdV

Abbildung 6: Auftrieb

Denkt man sich eine Saule mit dem Querschnitt dA aus dem Korper herausgeschnitten,wirken an der Saule folgende Vertikalkrafte, wobei die Krafte, die nach oben zeigen,



wieder positiv gezahlt werden:

dFB = (p− pB) · dA = (ρg)ζ · dA = (ρg) · dV. (2.6)

Momente von dFB um die ξ− und η−Achse:

dMBξ = ηdFB = (ρg)ηζdA = (ρg)ηdV,

dMBη = ξdFB = (ρg)ξζdA = (ρg)ξdV. (2.7)

Hier bedeutet dV den eingetauchten/schraffierten Volumenanteil.Fur den Gesamtauftrieb gilt dann:

FB =

∫SdFB = (ρg)

∫SζdA = (ρg)V ; ζ > 0. (2.8)

FB ist die Gesamtauftriebskraft.S ist der eingetauchte, benetzte Oberflachenanteil des Korpers.V ist das eingetauchte Korpervolumen, d.h. seine Verdrangung.B(ξB; ηB; ζB) ist der Auftriebsschwerpunkt, d.h. der Volumenschwerpunkt der verdrang-ten Flussigkeit.

Momente des Gesamtauftriebs FB um die ξ− bzw. η−Achse:

MBξ =

∫SdMBξ = (ρg)

∫SηζdA = (ρg)

∫SηdV = (ρg)MV ξ = (ρg)ηBV,

MBη =

∫SdMBη = (ρg)

∫SξζdA = (ρg)

∫SξdV = (ρg)MV η = (ρg)ξBV. (2.9)

MBξ bzw. MBη nennt man Auftriebsmoment, bei MV ξ bzw. MV η spricht man vom Vo-lumenmoment.

Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkorper:

Drei Gleichgewichtsbedingungen definieren die hydrostatische Schwimmlage eines teil-getauchten Korpers: Eine translatorische (Kraftegleichgewicht in ζ-Richtung) und zweirotatorische (Momentengleichgewicht um die ξ-Achse und um die η-Achse) Gleichge-wichtsbedingungen.

• Kraftegleichgewicht:

−G+ FB = −G+ (ρg)V = 0

Daraus folgt das Gesetz des Archimedes:

G = g∆ = (ρg)V (2.10)



In Worten:

Das Gewicht eines Schwimmkorpers ist gerade so groß wie das Gewicht des von ihmverdrangten Wassers.Anders: Die Auftriebskraft eines schwimmenden Korpers ist gleich der Gewichtskraftdes verdrangten Flussigkeitsvolumens.G ist die Gewichtskraft - kurz das Gewicht - des Schwimmkorpers,∆ = ρV ist sein Deplacement (Masse; Einheit in t),V ist das eingetauchte Volumen (wird im Schiffbau auch mit dem Symbol 5 gekenn-zeichnet).

• Momentengleichgewicht:

G(ξG; ηG; ζG) ist der Gewichtsschwerpunkt.

Moment um die ξ−Achse:

−G · ηG +MBξ = −G · ηG + (ρg)ηBV = 0.

Daraus folgt:ηG = ηB (2.11)

Moment um die η−Achse:

−G · ξG +MBη = −G · ξG + (ρg)ξBV = 0.

Daraus folgt:ξG = ξB (2.12)

In der Gleichgewichtslage liegen Gewichtsschwerpunkt G und AuftriebsschwerpunktB auf einer gemeinsamen vertikalen Wirkungslinie.



Beispiele:

Beispiel 1:Ein Holzfloß mit dem Volumen VFl = 0,8m3 und der Dichte von Holz ρH = 0,7 t

m3

schwimmt in Sußwasser (engl. freshwater; ρFW = 1 tm3 ); g = 9,81m

s2= 9,81Nkg = 9,81kNt .

Bei welcher Beladung F geht das Floß unter?Man betrachtet das Kraftegleichgewicht FB −G−F = 0 kurz bevor das Floß untergeht,also wenn es vollstandig getaucht ist; das eingetauchte Volumen entspricht dann demGesamtvolumen des Floßes. Daraus folgt:

F = FB −G = (ρFW − ρH)g · VFl = (1,0− 0,7)t

m3· 9,81

kN

t· 0,8m3 = 2,35kN.

Beispiel 2:Ein Ponton (L = 7m; B = 2m; ∆ = 6t) schwimmt in Seewasser (ρSW = 1,03t/m3).a) Welcher Tiefgang stellt sich ein?b) Welche Masse m muss zu-/abgeladen werden, damit eine Tiefgangszu-/abnahme vonδT = 0,15m erreicht wird?

Zu a):Mit ∆ = ρSW · V = ρSW · L ·B · T findet man:

T =∆

ρSW · L ·B=

6t

1,03 tm3 · 7m · 2m

= 0,416m.

Zu b):

m = ρSW · L ·B · δT = 1,03t

m3· 7m · 2m · 0,15m = 2,16t.



3 Kleine Anderungen der Schwimmlage

Dieses Kapitel beschaftigt sich mit der Betrachtung der Krafte und Momente an einembeliebig geformten Korper, wenn dieser kleine Anderungen seiner Schwimmlage erfahrt.Hier wird also die Theorie hergeleitet, die dann im Kapitel

”Kleine Schwimmlageande-

rungen intakter Schiffe“ auf Schiffe angewendet wird. Wichtig ist, dass die Formeln dieserbeiden Kapitel nur fur kleine Neigungen gelten.Wie in der Einfuhrung bereits benutzt, ist bei der Betrachtung schwimmender Kor-per im allgemeinen eine Unterscheidung zwischen einem globalen/ortsfesten (ξ; η; ζ) undeinem lokalem/korperfesten (x; y; z) Koordinatensystem notig oder nutzlich. Die ein-schrankende Aussage hier, dass namlich nur kleine Anderungen der Schwimmlage be-trachtet werden sollen, ist dagegen so gemeint, dass diese Unterscheidung zwischen denbeiden Koordinatensystemen nicht erforderlich ist.Der Unterschied beider Systeme sei also klein und vernachlassigbar. Deshalb wird im Fol-genden immer nur vom globalen Koordinatensystem gesprochen werden. Die ξ; η−Ebenesei wieder horizontal, also parallel zur Wasseroberflache, die ihrerseits als unveranderlichangesehen wird. Dagegen kann der Koordinatenursprung beliebig gewahlt werden. Nachder Wahl bleibt das Koordinatensystem (ξ; η; ζ) fest. Veranderungen der Schwimmlagewerden als Veranderungen im gewahlten Koordinatensystem angegeben, s. Abb. 7.Ausgehend von einer statischen Gleichgewichtslage, ΣF = 0; ΣM = 0, sollen kleineVeranderungen / Abweichungen von einer erwarteten/gewollten Schwimmlage betrach-tet werden.Der Schwimmkorper erfahre kleine Verschiebungen (Translationen) und Verdrehungen(Rotationen). Er besitzt sechs Freiheitsgrade, drei translatorische und drei rotatorische.Verschiebungen in ξ− und η−Richtung (also Bewegungen parallel zur Wasseroberfla-che), sowie Drehung um die ζ−Achse bewirken keine Veranderung des eingetauchtenVolumens/ Auftriebs, dadurch ergeben sich keine zusatzlichen Kraft- bzw. Momenten-wirkungen. Bezuglich dieser drei Freiheitsgrade befindet sich der Korper im indifferentenGleichgewicht.

3.1 Beliebige, kleine Anderung der Schwimmlage

Eine beliebige, kleine Veranderung der Lage des Schwimmkorpers enthalt ein δT als Ver-schiebung in ζ−Richtung und Drehungen δϕ um die ξ− Achse und δψ um die η−Achse.Jede dieser anteiligen Lageanderungen des Schwimmkorpers liefert eine Veranderung deseingetauchten Volumens um δV und fuhrt dadurch zu Anderungen des Auftriebs δFBund der Auftriebsmomente δMBξ und δMBη. Es werden nun also die Anderungen desAuftriebs und der Auftriebsmomente fur die drei Anderungen der Schwimmlage naherbetrachtet:

1. Tiefertauchung um δT (translatorische Bewegung in Richtung der ζ-Achse),

2. Verdrehung um δϕ (rotatorische Bewegung um die ξ-Achse),

3. Verdrehung um δψ (rotatorische Bewegung um die η-Achse).



3.2 Tiefertauchung um δT

ξ η

ζ

Aw

δT ursprgl.WL

Schwimmwasserlinie

Körper

dA

Abbildung 7: Tiefertauchung um δT

Vergroßerung des Tiefgangs T um δT liefert eine Veranderung des Volumens um δV ,siehe Abbildung 7:

δV =

∫Aw

δT dA = δT

∫Aw

dA = δTAw. (3.1)

mit Aw als Flache der Schwimmwasserlinie (WL-Flache)

Auftriebsanderung:

Mit dem Gesetz des Archimedes

FB = (ρg)V (3.2)

deltaFB = (ρg)δV (3.3)

findet man den Differenzenquotienten

δFBδT

= (ρg)δV

δT= (ρg)Aw. (3.4)

Beim Grenzubergang δT → 0 wird daraus der Differentialquotient:

∂FB∂T

= (ρg)Aw. (3.5)

δFB sei positiv bei einer Tiefgangszunahme, dann ist δFB nach oben gerichtet.



Anderung des Momentes MBη des Auftriebs FB (Auftriebsmoment um die η-Achse):

δMBη = ξδFB = ξ(ρg)δV = (ρg)δT

∫Aw

ξ dA (3.6)

Der Schwerpunkt der WL-Flache habe die Koordinaten F (ξw; ηw), berechnet aus

Aw · ξw =

∫Aw

ξ dA; Aw · ηw =

∫Aw

η dA. (3.7)

Damit wird

δMBη

δT= (ρg) ξw ·Aw, (3.8)

und beim Grenzubergang δT → 0 :

∂MBη

∂T= (ρg) ξw ·Aw. (3.9)

Anderung des Auftriebsmomentes MBξ( um die ξ-Achse):

δMBξ = ηδFB = η(ρg)δV = (ρg)δT

∫Aw

η dA,

Damit wirdδMBξ

δT= (ρg) ηw ·Aw,

und beim Grenzubergang δT → 0 :

∂MBξ

∂T= (ρg) ηw ·Aw.

Zusammenstellung : Aufgrund einer Tiefertauchung ∂T ergibt sich:

∂FB∂T

= (ρg)Aw;∂MBη

∂T= (ρg) ξw ·Aw;

∂MBξ

∂T= (ρg) ηw ·Aw.

3.3 Verdrehung um δϕ

Rechts-(Links-)Drehung des Korpers um die negative (positive) ξ−Achse um δϕ.

(Eine Verdrehung um die horizontale ξ−Achsen liefert zunachst eine Horizontalverschie-bung des Korpers um ζdϕ, womit keine Anderung des eingetauchten Volumens verbun-den ist. Allerdings ist als zusatzlicher Effekt mit der Verdrehung auch eine paralleleTiefertauchung um ζ(dϕ)2 verbunden. Letztere ist jedoch von hoherer Ordnung kleinund damit vernachlassigbar. Gleiches gilt auch fur eine Verdrehung um die η−Achse.)



h= ηδϕ

ξ η

ζ

WL

ursprgl. WL

dAδϕ

Körper

δηΒ

ξ η

ζ

..

rr

B

B’

δϕ

ϕ

Körper

Abbildung 8: Verdrehung um δϕ (links) und Auswanderung des Auftriebsschwerpunktes(rechts).

Verdrehung um δϕ liefert, siehe Abbildung 8 (links):

δV =

∫Aw

h · dA = δϕ

∫Aw

ηdA = δϕ ηw ·Aw.

Auftriebsanderung:

δFBδϕ

= (ρg)δV

δϕ= (ρg) ηw ·Aw

bzw.∂FB∂ϕ

= (ρg) ηw ·Aw.

Anderung des Auftriebsmomentes MBη :

δMBη = ξδFB = ξ(ρg)δV = (ρg)δϕ

∫Aw

ξ η dA.

δMBη

δϕ= (ρg)Jξη

bzw.∂MBη

∂ϕ= (ρg)Jξη.

Iξη =∫Aw

ξ η dA Zentrifugalmoment der WL-Flache, bezogen auf die ξ− und η−Achse.



Anderung des Auftriebsmomentes MBξ :

Moment des eintauchenden Volumens δV :

δMBξ1 = ηδFB = η(ρg)δV = (ρg)δϕ

∫Aw

η2dA.

δMBξ1

δϕ= (ρg)Iξ

bzw.∂MBξ1

∂ϕ= (ρg)Iξ.

Iξ =∫Aw

η2dA Tragheitsmoment der WL-Flache bezogen auf die ξ−Achse.

Moment durch Anderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B, s. Abb. 8 (rechts),(Anderung des Momentes MBξ der Gesamtverdrangung V ) :

ηB=rcosϕ

ζB

=rs

inϕ

δϕr

.

.ζ

ξ δηϕ

δϕ

B

η

Β

.

δηB

B’r

r

ϕ

Abbildung 9: Anderung δηB bei Verdrehung um δϕ

Der Auftriebsschwerpunkt habe die Koordinaten B(ξB; ηB; ζB). Durch Drehung umδϕ wandert er nach B′, r bleibt erhalten, ϕ andert sich um (−δϕ), siehe Abbildung 9.

ηB = r cosϕ; ζB = r sinϕ.

δηB =dηBdϕ

(−δϕ) = −d(r cosϕ)

dϕδϕ = r sinϕ δϕ = ζB δϕ;

dηBdϕ

= ζB;dηBdT

=dηBdψ

= 0.

Bei diesem Anteil der Anderung des Auftriebsmomentes ist die Gesamtverdrangung be-teiligt!

δMBξ2 = δηB · (ρg)V = (ρg)δϕ ζBV



δMBξ2

δϕ= (ρg)ζBV

bzw.∂MBξ2

∂ϕ= (ρg)ζBV.

Zusammenstellung : Aufgrund einer Verdrehung δϕ um die negative ξ− Achse ergibtsich:

∂FB∂ϕ

= (ρg)ηwAw;∂MBη

∂ϕ= (ρg)Iξη;

∂MBξ

∂ϕ= (ρg)(Iξ + ζBV ).

3.4 Verdrehung um δψ

Rechtsdrehung des Korpers um die positive η−Achse um δψ.Verdrehung um δψ liefert, s. Abb. 10 (links):

Körper

WL

ursprgl. WL

dA

h=

ζ

ξδψδψ

ξη

rδψ

ζB

=rs

inψ

=rcosBξ ψ.

.ζ

B

Β

.

B

B’r

r

ηξ

δψ

ψ

δξ

ψ

Abbildung 10: Verdrehung um δψ

δV =

∫Aw

h dA = δψ

∫Aw

ξ dA = δψ ξw ·Aw

Auftriebsanderung:

δFBδψ

= (ρg)δV

δψ= (ρg) ξw ·Aw

bzw.∂FB∂ψ

= (ρg)ξw ·Aw.



Anderung des Auftriebsmomentes MBη :

Moment des eintauchenden Volumens:

δMBη1 = ξδFB = ξ(ρg)δV = (ρg)δψ

∫Aw

ξ2 dA

δMBη1

δψ= (ρg)Iη

bzw.∂MBη1

∂ψ= (ρg)Iη.

Iη =∫Aw

ξ2dA Tragheitsmoment der WL-Flache bezogen auf die η−Achse.

Moment durch Anderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B.

Durch Drehung um δψ wandert der Auftriebsschwerpunkt nach B′, r bleibt erhalten, ψandert sich um −δψ, s. Abb. 10 (rechts).

ξB = r cosψ; ζB = r sinψ

δξB =dξBdψ

(−δψ) = r sinψ δψ = ζB δψ

dξBdψ

= ζB;dξBdT

=dξBdψ

= 0.

δMBη2 = δξB · (ρg)V = (ρg)δψ ζBV

δMBη2

δψ= (ρg)ζBV

bzw.∂MBη2

∂ψ= (ρg)ζBV.

Anderung des Auftriebsmomentes MBξ:

δMBξ = ηδFB = η(ρg)δV = (ρg)δψ

∫Aw

ξ η dA

δMBξ

δψ= (ρg)Iξη

bzw.∂MBξ

∂ψ= (ρg)Iξη.



Zusammenstellung : Aufgrund einer Verdrehung δψ um die positive η−Achse ergibtsich:

∂FB∂ψ

= (ρg)ξw ·Aw;∂MBη

∂ψ= (ρg)(Iη + ζBV );

∂MBξ

∂ψ= (ρg)Iξη.

Gesamtanderung dFB (totales Differential) des Auftriebs aufgrund von dT ; dψ; dϕ :

dFB =∂FB∂T

dT +∂FB∂ψ

dψ +∂FB∂ϕ

dϕ

= (ρg)[Aw dT + ξwAw dψ + ηwAwdϕ]. (3.10)

Gesamtanderung dMBη des Auftriebsmomentes:

dMBη =∂MBη

∂TdT +

∂(MBη1 +MBη2)

∂ψdψ +

∂MBη

∂ϕdϕ

= (ρg)[ξwAwdT + (Iη + ζBV )dψ + Iξηdϕ]. (3.11)

Gesamtanderung dMBξ des Auftriebsmomentes:

dMBξ =∂MBξ

∂TdT +

∂MBξ

∂ψdψ +

∂(MBξ1 +MBξ2)

∂ϕdϕ

= (ρg)[ηwAwdT + Iξηdψ + (Iξ + ζBV )dϕ]. (3.12)

Die neun Ableitungen von FB; MBη; MBξ nach T ; ψ; ϕ lassen sich in folgender Kurz-schreibweise zusammenfassen:

∂(FB;MBη;MBξ)

∂(T ;ψ;ϕ)=

∂FB∂T

∂FB∂ψ

∂FB∂ϕ

∂MBη

∂T∂MBη

∂ψ∂MBη

∂ϕ

∂MBξ

∂T∂MBξ

∂ψ∂MBξ

∂ϕ

= A

A = (ρg)

Aw ξwAw ηwAw

ξwAw (Iη + ζBV ) Iξη

ηwAw Iξη (Iξ + ζBV )

. (3.13)

Die Matrix A der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch.Die drei Gleichungen 3.10, 3.11, 3.12 zur Berechnung der Anderungen von Auftrieb undAuftriebsmomenten lassen sich damit in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen: dFB

dMBη

dMBξ

= A

dTdψdϕ

. (3.14)



3.5 Schwimmkorper unter außeren Einwirkungen

Bisher wurde statisches Gleichgewicht angenommen,∑F = 0;

∑M = 0. Jetzt soll der

Fall behandelt werden, dass sich endliche Resultierende ergeben, d.h. von außen wird aufden Korper eingewirkt.

Resultierende Vertikalkraft:Fζ = FB −W

bzw.δFζ = δFB − δW.

Da sich durch Anderung der Schwimmlage das Gewicht des Schwimmkorpers nichtandert (G = konst.), verschwinden auch alle Ableitungen

∂G

∂T=∂G

∂ψ=∂G

∂ϕ≡ 0.

und es kann δG ≡ 0 gesetzt werden und somit:

δFζ = δFB.

Die Definition von Fζ ist: Wenn eine Tiefertauchung δT eintritt, ist FB > G −→Fζ > 0. Damit weist Fζ positiv nach oben, was jedoch auch bedeutet, dass dieaußere Einwirkung den Schwimmkorper nach unten druckt.

Resultierende Momente :

— η−Achse:Mη = MBη − ξG ·G

bzw.δMη = δMBη − δξG ·G.

— ξ−Achse:Mξ = MBξ − ηG ·G

bzw.δMξ = δMBξ − δηG ·G.



Anderung der Schwerpunktskoordinaten :

Gδη

δϕr

ηG rcosϕ=

rsin

ϕ=

ζ G.

.ζ

ξ δηϕ

δϕ

η

G

.G’

ϕ

G

r

r

Abbildung 11: Anderung δηG bei Verdrehung um δϕ

Der Gewichtsschwerpunkt habe die Koordinaten G(ξG; ηG; ζG). Drehung um −δϕum die negative ξ−Achse, siehe Abbildung 11: ηG = r cosϕ; ζG = r sinϕ;δηG = dηG

dϕ (−δϕ) = r sinϕ δϕ = ζG δϕ. Bei einer Verschiebung um δT andert sichηG nicht, auch nicht durch Verdrehung um δψ.Zusammengefasst:

dηGdϕ

= ζG;dηGdT

=dηGdψ

= 0.

— Drehung um −δψ um die positive η−Achse:

ξG = r cosψ; ζG = r sinψ

δξG =dξGdψ

(−δψ) = r sinψ δψ = ζG δψ.

Bei einer Verschiebung um δT andert sich ξG nicht, auch nicht durch Verdrehungum δϕ.Zusammengefasst:

dξGdψ

= ζG;dξGdT

=dξGdϕ

= 0.

Die Gesamtanderungen von Fζ ; Mη; Mξ (totales Differential) aufgrund von dT ; dψ; dϕ:

dFζ = dFB =∂Fζ∂T

dT +∂Fζ∂ψ

dψ +∂Fζ∂ϕ

dϕ

= (ρg)[AwdT + ξwAwdψ + ηwAwdϕ] (3.15)

dMη = dMBη −GdξG =∂Mη

∂TdT +

∂Mη

∂ψdψ +

∂Mη

∂ϕdϕ

= (ρg)[ξwAwdT + (Iη + ζBV )dψ + Iξηdϕ]−GζG dψ (3.16)



dMξ = dMBξ −GdηG =∂Mξ

∂TdT +

∂Mξ

∂ψdψ +

∂Mξ

∂ϕdϕ

= (ρg)[ηwAwdT + Iξηdψ + (Iξ + ζBV )dϕ]−GζG dϕ (3.17)

Hier wurden dFB; dMBη und dMBξ von vorne ubernommen, s. Gl. (3.10); (3.11) und(3.12).Die neun Ableitungen von Fζ ; Mη; Mξ nach T ; ψ; ϕ lassen sich in folgender Kurz-schreibweise zusammenfassen:

∂(Fζ ;Mη;Mξ)

∂(T ;ψ;ϕ)=

∂Fζ∂T

∂Mζ

∂ψ∂Fζ∂ϕ

∂Mη

∂T∂Mη

∂ψ∂Mη

∂ϕ

∂Mξ

∂T∂Mξ

∂ψ∂Mξ

∂ϕ

= S (3.18)

S = (ρg)

Aw ξwAw ηwAw

ξwAw (Iη + ζBV )− IξηGζG/(ρg)

ηwAw Iξη (Iξ + ζBV )−GζG/(ρg)

(3.19)

Die Matrix S der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch, d.h.:

S = S′.

S′ ist die transponierte Matrix zu S. Fur die Elemente der Matrix S gilt deshalb:

aik = aki.

Hier bedeutet i den Zeilenzahler und k den Spaltenzahler.

Fur Gleichgewicht der Vertikalkrafte gilt:

G = (ρg)V = FB.

Dann wird aus der Matrix S:

S∗ =

(ρg)Aw (ρg)ξwAw (ρg)ηwAw

(ρg)ξwAw G(Iη/V + ζB − ζG) (ρg)Iξη

(ρg)ηwAw (ρg)Iξη G(Iξ/V + ζB − ζG)

. (3.20)

Das Gleichungssystem 3.15; 3.16; 3.17 lasst sich analog zu Gl.3.14 ebenfalls in kurzerMatrizenschreibweise darstellen: dFζ

dMη

dMξ

= S

dTdψdϕ

. (3.21)



Zu gegebenen dT ; dψ; dϕ lassen sich hiermit direkt die aus Gewicht G und Auftrieb FBresultierenden Krafte und Momente bestimmen, indem die Matrix S mit dem Vektor dTdψdϕ

multipliziert wird. Sind jedoch resultierende Krafte oder Momente gegeben,

ist die Schwimmlagenanderung durch Losung des resultierenden Gleichungssystems zuermitteln.



4 Stabilitat von Schwimmlagen

Stabilitat ist die Fahigkeit eines Schwimmkorpers, sich aus einer geneigten Lage (Kran-gung) wieder selbststandig aufzurichten. Allgemein wird die Stabilitat von folgendenFaktoren beeinflusst:

• die Form des Unterwasserschiffes, z.B. vollige oder weniger vollige Hauptspantform,

• die Verhaltniswerte der Hauptabmessungen, z.B. B/T, T/D,

• vom Freibord; bei geringem Freibord taucht Seite Deck zu fruh ein,

• die Lage des Gewichtsschwerpunktes; ein tiefliegender Gewichtsschwerpunkt fuhrtzu starken aufrichtenden Momenten (Schiff ist ”steif”), ein hochliegender Gewichts-schwerpunkt bewirkt nur ein geringes aufrichtendes Moment (Schiff ist rank),

• außere Einflussgroßen wie Winddruck, uberkommende Wassermassen bei Seegang.

Der Schwimmkorper befinde sich in der Gleichgewichtslage:

Fζ = Mη = Mξ ≡ 0.

Die Schwimmlage ist stabil, wenn kleine Schwimmlageanderungen (δT ; δψ; δϕ) in belie-biger Kombination eine positive (zu leistende) Arbeit erfordern, d.h der Schwimmkorperwird versuchen in die aufrechte Position zuruckzukehren.Wiederholung der Vorzeichendefinitionen, s. Abb. 12:

δT Tiefertauchung des Korpers:Kraft δFζ nach oben.

δψ Rechtsdrehung um η−Achse:Moment δMη linksdrehend um η.

δϕ Linksdrehung um ξ−Achse:Moment δMξ rechtsdrehend um ξ.

Schwimmlageanderungen (δT ; δψ; δϕ) und daraus resultierende Krafte/Momente sindentgegengesetzt gerichtet.



δT

Rη

ζ

ηξ

δψ

ψ

Rζ

Rξ

δT

ξ

ζ

η

ϕ

δϕ

Abbildung 12: Vorzeichendefinition

Tiefertauchung δT erfordert die Arbeit, s. Abb.13:

L1 =

∫ T0+δT

T0

FζdT =1

2δTδFζ .

Hier ist T0 der Gleichgewichtstiefgang.Treten außerdem Anderungen (δψ; δϕ) auf, so ist die Gesamtarbeit:

L =1

2(δTδFζ + δψδMη + δϕδMξ).

In Matrizenschreibweise: (siehe Kapitel”Kleine Anderung der Schwimmlage “)

2L = (δT δψ δϕ)

δFζδMη

δMξ

2L = (δT δψ δϕ) · S ·

δTδψδϕ

.

Die Schwimmlage ist dann und nur dann stabil, wenn 2L fur beliebige Vektoren (δT ; δψ; δϕ) 6=(0; 0; 0); positiv ist: d.h. wird S von rechts mit einem Vektor 6= (0; 0; 0) und von links mitdemselben Vektor multipliziert, muss sich eine positive Zahl ergeben. S ist positiv definit.Eine Dreiecksmatrix mit nur positiven Elementen in der Hauptdiagonalen ist positiv definit.Deshalb muss S in eine Dreiecksmatrix umgeformt werden. a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

−→ E1 A B

0 E2 C0 0 E3



Rζ

L1

T0Tδ

δR ζ

T

Abbildung 13: Arbeit bei Tiefertauchung δT

1.Index i =Zeile,2.Index k =Spalte.Da die Matrix S symmetrisch ist, sind die Elemente aik = aki.

1.)2.)3.)

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

·(a12/a11) (2.− 1.)

∣∣∣∣∣∣·(a13/a11)

(3.− 1.)

Damit sind aus der zweiten und dritten Zeile die jeweils ersten Elemente a12; a13 entferntund man erhalt:

1.)2.)3.)

a11 a12 a13

0 (a22 − a212/a11) (a23 − a12a13/a11)

0 (a23 − a12a13/a11) (a33 − a213/a11)

·(a23−a12a13/a11a22−a212/a11

) (3.− 2.)

Die Dreiecksmatrix wird schließlich zu: a11 a12 a13

0 (a22 − a212/a11) (a23 − a12a13/a11)

0 0 (a33 − a213/a11)−

((a23−a12a13/a11)2

a22−a212/a11

)



Damit werden die Elemente der Hauptdiagonalen der Dreiecksmatrix und nach demErsetzen der aik aus der Matrix S zu:

E1 = a11

= (ρg)Aw

E2 = a22 − a212/a11

= (ρg)(Iη + ζBV )−GζG − (ρg)ξ2wAw

E3 = a33 − a213/a11 −

1

E2(a23 − a12a13/a11)2

= (ρg)(Iξ + ζBV )−GζG − (ρg)η2wAw −

1

E2((ρg)Iξη − (ρg)ξwηwAw)2

E2;E3 lassen sich mit Hilfe des Steinerschen Satzes vereinfachen:

Iη − ξ2wAw = IηS

IηS ist das Flachentragheitsmoment der WL-Flache Aw um eine zur η−Achse paralleleAchse durch den Schwerpunkt der WL-Flache.

Iξ − η2wAw = IξS

IξS ist das Flachentragheitsmoment der WL-Flache Aw um eine zur ξ−Achse paralleleAchse durch den Schwerpunkt der WL-Flache.

Iξη − ξwηwAw = IξηS

IξηS ist das Zentrifugalmoment der WL-Flache Aw bezuglich der Schwerpunktsachsender WL-Flache.

E1 = (ρg)Aw

E2 = (ρg)(IηS + ζBV )−GζG

E3 = (ρg)(IξS + ζBV )−GζG −1

E2(ρg)2I2

ξηS

Da G = (ρg)V > 0 und fur die stabile Schwimmlage die Ei > 0; (i = 1; 2; 3) sein mussen,wird durch G bzw. (ρg)V geteilt. Damit ist die Schwimmlage nur und nur dann stabil,wenn

1.) Aw > 0;

2.) IηS/V + ζB − ζG > 0;

3.) IξS/V + ζB − ζG −(IξηSV

)2/(IηS/V + ζB − ζG) > 0.

Ist eine der drei Großen gleich Null, die anderen jedoch großer Null, so kann dieSchwimmlage stabil, instabil oder indifferent sein.



So ist z.B. bei einem Fisch Aw = 0. Er befindet sich in einem indifferenten Gleichgewicht.Da G = (ρg)V, kann der Fisch ohne Arbeitsaufwand vertikal verschoben werden.Ist nur eine der drei Großen kleiner Null, so ist die Schwimmlage instabil, d.h. dieSchwimmlage verandert sich ohne Arbeitsaufwand in eine neue, stabile Gleichgewichts-lage.



5 Kleine Schwimmlagenanderungen intakter Schiffe

Wir betrachten symmetrische, aufrecht schwimmende Schiffe, bei denen das Archimedi-sche Gesetz

G = (ρg)V = FB

erfullt ist. Sie sollen kleine Anderungen (δT ; δϕ; δψ) der Schwimmlage erfahren.

Alle Formeln sind nur gultig fur kleine Anderungen der Schwimmlage. Praktisch be-deutet das, dass beispielsweise die Formanderung der Wasserline durch Ein- bzw. Aus-tauchen infolge von Trimm, Krangung oder Tiefertauchung verschwindend gering istund im Wesentlichen der Ausgangsform entspricht. Absolute Zahlenwerte konnen furmoderne Schiffslinien nicht angegeben werden.

Beim Schiff nennt man die Anderung um δT Tiefertauchung, die Anderung um δϕKrangung und die Anderung um δψ Trimm.Das schiffsfeste Koordinatensystem (x; y; z) und das an der Wasseroberflache orien-tierte raumfeste Koordinatensystem (ξ; η; ζ) fallen ungefahr zusammen. Somit konnen(Mξ;Mη;Fζ) durch (Mx;My;Fz) ersetzt werden. Dabei ist: Schiffslangsrichtung x; nachBackbord y; nach oben z. Die x,z−Ebene ist die Mittschiffs- und Symmetrieebene; dafurgilt: yw = 0; Ixy = 0, da das Flachendeviationsmoment Ixy fur symmetrische Korpergleich Null wird.Da yw = 0 und Ixy = 0, vereinfacht sich die Matrix der Auftriebs-/Momentenanderungenzu (siehe Kapitel

”Kleine Anderungen der Schwimmlage “):

∂Fz/∂T ∂Fz/∂ψ ∂Fz/∂ϕ∂My/∂T ∂My/∂ψ ∂My/∂ϕ∂Mx/∂T ∂Mx/∂ψ ∂Mx/∂ϕ

= S

S = (ρg)

Aw xwAw 0

xwAwG

(ρg)(Iy/V + zB − zG) 0

0 0 G(ρg)(Ix/V + zB − zG)

Multipliziert man S mit der Spaltenmatrix (δT ; δψ; δϕ) ergibt sich:

δFz = (ρg)Aw(δT + xwδψ);

δMy = (ρg)xwAwδT +G(Iy/V + zB − zG)δψ;

δMx = G(Ix/V + zB − zG)δϕ.

Legt man den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt der WL-Flache so wird:

xw = 0; Ix → IxS = IWL; Iy → IyS = IWLL.



Dann gilt:

δFz = (ρg)AwδT ;

δMy = G(IWLL/V + zB − zG)δψ;

δMx = G(IWL/V + zB − zG)δϕ.

Danach bewirkt eine Vertikalkraft im WL-Schwerpunkt nur eine Anderung des Tief-gangs um (δT ). Trimm und Krangung bleiben unverandert. Ein Moment um Quer-oder Langsachse (y − , oder x−Achse) andert nur Trimm oder Krangung um (δψ) oder(δϕ). Der Tiefgang am WL-Schwerpunkt bleibt unverandert, da das Schiff um den WL-Schwerpunkt dreht.

5.1 Krangung um δϕ :

Durch die Krangung andert sich die Form des eingetauchten Volumens des Schiffes; derAuftriebsschwerpunkt B wandert nach B’ (s. Abb. 10). Die neue Wirklinie der Auftriebs-kraft geht durch den Punkt B’ und schneidet die bisherige Wirklinie der Auftriebskraftim Punkt M, dem Metazentrum. Der Begriff

”meta “(griech.: scheinbar) weist darauf

hin, dass dieser Schnittpunkt kein wirkliches Zentrum ist, also nicht festliegt. Die Bahn,auf der sich das Metazentrum bewegt, heißt Evolvente. Bei Schiffsformen ist das Meta-zentrum aber fur kleine Krangungswinkel bis etwa 10◦ ein fester Punkt. Vor allem inalterer Literatur wird das Metazentrum als scheinbarer Drehpunkt oder Aufhangepunktgedeutet.

Durch die Krangung erfolgt eine Verschiebung eines Keilvolumens von der austauchen-den Seite zur eintauchenden Seite. Die Keilvolumina setzen sich aus VolumenteilchenδV zusammen, die alle horizontal und vertikal verschoben werden; es entstehen so ho-rizontale und vertikale Verschiebungsmomente. Die Summe der Verschiebungsmomenteder Teilvolumen entspricht dem Verschiebungsmoment der Gesamtverdrangung. Mit derGesamtverschiebung des Autriebsschwerpunktes (yB′ ,zB′) gilt fur die Verschiebungsmo-mente in y-Richtung yB′ · V und in z-Richtung zB′ · V (siehe Abbildung 14):



’

’

FBBz

yB

K

B

M

B’

G

x y

.

.

.

.

.h

dA

δϕ

δϕ

W

z

Abbildung 14: Krangung um δϕ

1. Die Verschiebung in y-Richtung:

yB′V =

∫Aw

ydV =

∫Aw

ydz · dA =

∫Aw

yyδϕ · dA = δϕ

∫Aw

y2dA = δϕIT

Daraus folgt:

yB′ =IWL

Vδϕ

In dem annaherungsweise rechtwinkligen Dreieck ∆BB′M sieht man, dass fur kleineWinkel gilt:

yB′

BM= sin(δϕ) ≈ δϕ

Damit ist:

BM =yB′

δϕ=IWL

V

2. Die Verschiebung in z-Richtung:

In z-Richtung wandert der Auftriebsschwerpunkt kaum aus, so dass zB′ ≈ zB ist.



Metazentrum: Die z-Koordinate von M ist:

zM =yB′

δϕ+ zB′ ≈ IWL

V+ zB

Beim Schiff bedeuten:

IxSV

=IWL

V= BM ; zB = KB; zG = KG; zM = KM

KM = BM +KB = IWL5 +KB

Eine Krangung um δϕ ruft ein aufrichtendes Moment MA hervor:

δRx = MA = FB · h = G · h

Aus der Abbildung liest man ab: h = GM · δϕ. Daraus folgt:

MA = G ·GM ·δϕ

GM nennt man die (Breiten-)Metazentrische Hohe. GM = KB+BM−KG Wird allege-mein vom Metazentrum oder der metazentrischen Hohe gesprochen, so ist in aller Regeldas Breitenmetazentrum gemeint. Fur ubliche Handelsschiffe ist GM wenige Dezimeterbis wenige Meter.

5.2 Trimm um δψ :

δMy = G(IWLL

V+ zB − zG)δψ = GGMLδψ

GML = KB +BML −KG

Hier bedeutenIySV

=IWLL

V= BML,

ML das Langenmetazentrum und GML die Langenmetazentrische Hohe. Fur ublicheHandelsschiffe ist GML von der Große der Schiffslange oder großer.Bei kleinen Drehungen (δψ; δϕ) ist die Lage von M ; ML etwa konstant, aber nichtgleich. M und ML unterscheiden sich erheblich. Als Abschatzung dient:

BM ∼ LB3; BML ∼ L3B −→ BML

BM∼(L

B

)2



5.3 Einheitstrimmmoment

Das Einheitstrimmmoment ET ist dasjenige Trimmmoment, das eine gesamte Trimm-anderung von t = 1m hervorruft.Herleitung: t sei der Unterschied der Tiefgange an vorderer und hinterer Ahming (Ah-ming: Tiefgangsmarken, die am Bug, am Heck und mittschiffs angebracht sind. DieTiefgangsangabe wird vom Kiel gerechnet.), LA ≈ Lpp sei der Abstand zwischen denAhmingen, siehe Abbildung 15).

t = Tv − Th = tanψLA

Fur kleine Trimmanderungen gilt dann mit tanψ ≈ ψ:

δt = LA · δψ.

LA

ψ t

Abbildung 15: Trimmanderung

Das trimmende Moment errechnet sich dann

δMy = G ·GMLδψ = G ·GML ·δt

LA.

Trimmende Momente δMy werden durch Langsverschiebung von Massen mi hervorge-rufen:

δMy = g∑i

mixi = g∆GML

LAδt.

Mit ∆ = ρV als Masse (Deplacement) des Schiffes wird das Trimmmoment zu:

δMy

g=∑i

mixi = ∆GML

LAδt

bzw. das Einheitstrimmmoment ET (Trimmmoment fur 1m Tiefgangsunterschied) wirdzu:



ET = ∆GML

LA=

∆

LA(KB +BML −KG).

Da (KB −KG)� BML ist, kann vereinfacht berechnet werden:

ET ≈∆

LABML =

∆

LA· IWLL

V=ρIWLL

LA.

Einheitskrangungsmoment:

Analog zum Einheitstrimmmoment kann auch ein Einheitskrangungsmoment berechnetwerden:

EK =∆

B(KB +BM −KG) =

∆

B(KB +

IWL

V−KG).

B ist die Breite des Schiffes. Das Einheitskrangungsmoment findet in der Praxis nahezukeine Verwendung.

5.4 Stabilitatsbedingungen

Stabilitatsbedingungen fur die Schwimmlage eines intakten Schiffes:

1.) Aw > 0;

2.) IWLLV + zB − zG = BML +KB −KG = GML > 0;

3.) IWLV + zB − zG −

(IxySV

)2/(IWLLV + zB − zG

)> 0.

Fur zur Mittschiffsebene symmetrische Schiffe wird JxyS = 0, so dass sich die Stabili-tatsbedingung 3.) vereinfacht:

3.)IWL

V+ zB − zG = BM +KB −KG = GM > 0.

Falls M unterhalb von G liegt (negatives GM), ist das Schiff instabil, der Krangungs-winkel vergroßert sich dann eventuell bis zum Kentern. Falls G und M an derselbenStelle liegen, befindet sich das Schiff im indifferenten Gleichgewicht.

Damit sind Schiffe stabil, wenn Aw, GML und GM >0.

Da GM � GML, bleibt im Wesentlichen die Berechnung von GM zur Uberprufung derStabilitat.



6 Pantokarenen und Stabilitatshebelarme

Die Bedingung fur kleine Neigungen ist nun nicht mehr erfullt; die Formeln aus dem Ka-pitel

”Kleine Schwimmlageanderungen intakter Schiffe “konnen nicht benutzt werden.

Die Anderungen der Schwimmlage sind also nun nicht mehr klein, d.h. das schiffsfes-te (lokale) x; y; z−Koordinatensytem und das globale ξ; η; ζ -Koordinatensystem fallennicht mehr zusammen. Der Koordinatenursprung ist fur beide Systeme gleich, namlichKielpunkt K im Schnitt von Mittschiffs- und Hauptspantebene, siehe Abbildung 16 undAbbildung 17.

FB

η Β

x

y

z

ξ

η

ζ

.

.

ϕ

B

WL

.

Abbildung 16: Lokales und globales Koordinatensystem in der y; z−Ebene

WL

y

z

η

ξ

ζ

ψ x

Abbildung 17: Lokales und globales Koordinatensystem in der x; z−Ebene

x; y; z−Koordinatensystem— x−Langsachse, positiv nach vorn,



— y−Querachse,positiv nach Bb,— z−Hochachse, positiv nach oben.

ξ; η; ζ−Koordinatensystem— ξ; η−Achsen, parallel zur Wasseroberflache,— ζ−Achse, senkrecht nach oben.

6.1 Pantokarenen

Bei den Pantokarenen handelt es sich um das Lot vom Kielpunkt auf die Wirklinie derAuftriebskraft FB, sie werden im Allgemeinen mit w abgekurzt. Diese Strecke w andertsich mit der Krangung, dem Trimm und dem Tiefgang. Fur eine konstante Krangung ϕkann dann die zugehorige Pantokarene bestimmt werden.Die aus Auftrieb (ρg)V und Gewicht G resultierenden Krafte und Momente sind (sieheauch Kapitel

”Kleine Schwimmlageanderungen intakter Schiffe “):

• die resultierende Vertikalkraft Fζ = (ρg)V −G;

• das resultierende Moment um die Querachse (Trimmmoment) Mη = (ρg)ξBV −ξGG;

• das resultierende Moment um die Langsachse (krangendes Moment)Mξ = (ρg)ηBV−ηGG.

Mit FB = (ρg)V = G folgt:

Fζ = 0; Mη = (ξB − ξG)G; Mξ = (ηB − ηG)G.

Hier wird ηB = w bezeichnet.w ist das Lot vom Kielpunkt K auf die Wirkungslinie von FB bei vorgegebener Neigungϕ, aus Abbildung 18 liest man ab:

w = yB cosϕ+ zB sinϕ.



η B=w

yB

zB

z Bsinϕ

yBcosϕ

y

z

η

ζ

.

.

ϕ

WL

. B

Κ

ϕ

Abbildung 18: Berechnung von w aus den lokalen Koordinaten von B

Die Bestimmung der Pantokarene w ist eine geometrische Aufgabe, d.h. Berechnungvon Volumen und Volumenschwerpunkten (yB; zB). Die Pantokarene ist vom Tiefgangbzw. eingetauchten Volumen, dem Trimm bzw. Gewichtsschwerpunkt in Schifflangsrich-tung und der Krangung abhangig:

w = f(T ;ψ;ϕ) = f(V,xG;ϕ).

Die Pantokarene fur vorgegebene konstante Krangung ϕ hangt damit nur noch vomTiefgang bzw. eingetauchten Volumen und dem Trimm bzw. Gewichtsschwerpunkt inSchifflangsrichtung ab:

w = f(V ;xG) mit ϕ = konst.

Berechnung der Pantokarenen:Die Berechnung der Pantokarenen erfolgt also uber die Bestimmung des Verdran-gungsschwerpunkts B(yB; zB). Dies geschieht zunachst im lokalen System, dannerfolgt mit w = yB · cosϕ+ zB · sinϕ die Umrechnung uber den Krangungswinkelϕ ins globale System.

Trimmausgleich:Fur alle Volumina V und Krangungswinkel ϕ wird der Trimmwinkel ψ = konst.;in der Regel ψ = 0 angenommen. Da aber im Allgemeinen die Langskoordinatedes Auftriebsschwerpunktes ξB vom verdrangten Volumen und vom Krangungs-winkel abhangt ξB = f(V,ϕ); wobei die Anderungen allerdings klein sind, bleibtein kleines resultierendes Trimmmoment, da der Gewichtsschwerpunkt ja konstantbleibt fur alle Anderungen der Schwimmlage (ξG = konst.). In der Regel wird dieseAbhangigkeit des Auftriebsschwerpunktes vom Trimmwinkel jedoch vernachlassigt.



Pantokarenen ohne Trimmausgleich:Rechnet man die Pantokarene ohne Trimmausgleich, tut man damit so, als verhieltesich ξB wie ξG. Die Lage des Auftriebsschwerpunktes bleibt dann konstant.

Pantokarenen mit Trimmausgleich:Rechnet man mit Trimmausgleich, wird nur fur ϕ = 0 der Trimmwinkel ψ = konst.,in der Regel ψ = 0 angenommen. Fur ϕ > 0 wird das Trimmmoment durch einenveranderten Trimmwinkel ausgeglichen.

Pantokarenen mit Trimmausgleich fallen immer kleiner aus als ohne. Der Unterschiedist dann besonders deutlich, wenn die Unterwasserform stark asymmetrisch zur Lagexw des Wasserlinienschwerpunktes ist. Bei Symmetrie von Vor- und Hinterschiff ist im-mer Mη ≡ 0, dann liegt fur alle ϕ der Verdrangungsschwerpunkt B in der Symmetrie-/Hauptspantebene.

6.2 Stabilitatshebelarme

Eine Gleichgewichtslage mit der Krangung ϕ = ϕEQ (EQ als Abkurzung fur Equi Libri-um) ist dadurch gegeben, dass Auftrieb und Gewicht gleich groß sind und die jeweiligenSchwerpunkte erdfest ubereinander liegen, siehe Abbildung 19.

G

B

K

LC

FB

G

K

LC

G

B

FB

G

Abbildung 19: Gleichgewichtslage; links: yG = 0 rechts: yG 6= 0

Bildet man nun das Moment um den Kielpunkt K, ergibt sich:∑MK = 0 = B(yB · cosϕEQ + zB · sinϕEQ)−G(yG · cosϕEQ + zG · sinϕEQ)

Daraus folgt die Gleichgewichtsbeziehung:

yB · cosϕEQ + zB · sinϕEQ = yG · cosϕEQ + zG · sinϕEQFur einen Winkel, in dem sich das Schiff nicht in einer Gleichgewichtslage befindet, giltfur den Stabilitatshebelarm h:

h = yB · cosϕ+ zB · sinϕ︸︷︷︸w=Pantokarene

−yG · cosϕ− zG · sinϕ



Liegt der Massenschwerpunkt auf Center Line, d.h. yG = 0, vereinfacht sich h zu:

h = w − zG · sinϕ

h

= 0 Gleichgewichtslage

> 0 aufrichtender Hebel (stabil; ruckdrehendes Moment)

< 0 krangender Hebel (instabil; krangendes Moment)

Ist h > 0, so nimmt der Schwimmkorper eine Schwimmlage mit kleinerer Krangung ϕ,fur h < 0 mit großerer Krangung ϕ ein.Eine stabile Gleichgewichtslage erfordert zusatzlich

dh

dϕEQ=dhaufrichtend

dϕ+dhkrangend

dϕ> 0.

Tragt man die Hebel h uber die Winkel ϕ auf, entsteht die sog. Hebelarmkurve. Bestimmtman bei ϕ = 0 die Steigung der Tangente an die Hebelarmkurve, ergibt sich daraus dasAnfangsmetazentrum GM (siehe Abbildung 22).

GM =dh

dϕ=dw

dϕ− zG · sinϕ

dϕ=dw

dϕ− zG · cosϕ

GM = dwdϕ −KG · cosϕ

Der maximale Hebel gibt das maximal ertragbare Moment an.

6.2.1 Schiffskorper unter der Wirkung eines krangenden Momentes Mξ undaußermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes

Die Koordinaten des Massenschwerpunktes sind G(xG; yG; zG = KG). Im globalen Sys-tem wird aus

ηG = yG cosϕ+KG sinϕ.

Mit yG 6= 0 wird eine außermittige Lage des Gewichtsschwerpunktes zugelassen, wie siesich aus einer seitlichen Verschiebung einer Masse m ergibt.

Fur die Gleichgewichtslage eines Schiffes, auf das zusatzlich ein außeres krangendesMoment Mξ wirkt, gilt fur das Momentengleichgewicht um K:∑

MK = 0 = FB · w −G(KG sinϕ+ yG cosϕ)−Mξ

0 = w −KG sinϕ− yG cosϕ−Mξ

G

w = KG sinϕ+ yG cosϕ+Mξ

Ghaufr = hkr

(6.1)



Rξ

FB

KGsin ϕ

yG

y Gcosϕ

y

z

η

ζ

.

. .

ϕ

B.w

h

Κ

.

WL

W

m

G

Abbildung 20: Schiffskorper unter der Wirkung eines krangenden Momentes Mξ undaußermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes.

Damit wird in der Gleichgewichtslage der aufrichtende Hebel gleich dem krangenden Hebel.

Das Momentengleichgewicht kann um jeden beliebigen Punkt gebildet werden, wie bis-her um den Kielpunkt K, so wird der aufrichtende Hebel (als derjenige Hebel, der zuraufrichtenden Kraft FB gehort) gleich der Pantokarene. Bildet man das Momentengleich-gewicht um den Punkt X, so ergibt sich der aufrichtende Hebel (Hebel zur Kraft FB) zuw −KG sinϕ. Im Grunde sind diese nur verschiedene Notationen.

Beispiel:

Das Deplacement eines Schiffes betragt in Seewasser (ρSW = 1025kg/m3) ∆ = 1025t.Eine Ladung m = 102,5t werde parallel zum Doppelboden um yk = 5m seitlich ver-schoben, KG = 5m, die Pantokarenen seien bekannt. Die Verdrangung betragt V =∆/ρ = 1000m3. Durch die Ladungsverschiebung krangt das Schiff, der Krangungswinkelder neuen Gleichgewichtslage wird nun gesucht.Wird in einer Masse eine Teilmasse verschoben, so erfahrt der Gesamtschwerpunkt einegleichsinnige, parallel gerichtete Verschiebung, vergleiche Verschiebungssatz formuliertvon Herner. Die beiden Momente, gebildet aus Verschiebungsweg und Masse sind gleichgroß: yG ·∆ = yk ·m. Daraus folgt: Die außermittige Lage des Gewichtsschwerpunktesbetragt nach der Verschiebung

yG = (yk ·m)/∆ = 5 · 102,5/1025m = 0,5m.

Mit den gegebenen Pantokarenen konnen dann die Hebelarme h = w−zG·sinϕ−yG·cosϕbestimmt werden:



ϕ 10◦ 20◦ 30◦ 40◦ 50◦

w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40

h in [m] -0,36 -0,18 0,02 0,28 0,24

Tragt man nun den Hebel h uber den Winkel ϕ auf, so ergibt sich die Hebelarmkurvefur ein Schiff mit außermittiger Lage des Gewichtsschwerpunktes. Der Schnittpunkt beih = 0 mit der ϕ-Achse zeigt den Krangungswinkel der Gleichgewichtsschwimmlage mitϕEQ ≈ 29◦, also der Winkel, den das Schiff aufgrund der Ladung einnehmen wird, sieheAbbildung 21.

0,1

0,2

0,3

h [m]

ö

-0,3

-0,2

-0,1

0010° 20° 30° 40°

Abbildung 21: Hebelarmkurve

Alternativ lasst sich die Hebelarmkurve des Schiffes ohne Ladeverschiebung mit h =w−zG ·sinϕ (yG = 0) berechnen (siehe Abbildung 22). Zusatzlich wird der Hebelarm derLadeverschiebung yG cosϕ als eigene Kurve uber den Krangungswinkel ϕ aufgetragen:

ϕ 10◦ 20◦ 30◦ 40◦ 50◦

w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40

h in [m] 0,13 0,29 0,45 0,61 0,57

yG cosϕ in [m] 0,49 0,47 0,43 0,38 0,32

So liefert der Schnittpunkt der beiden Kurven h(ϕ) und yG cosϕ auch hier den Kran-gungswinkel der Gleichgewichtsschwimmlage mit ϕEQ ≈ 29◦.



10o

20o

40o

30o

50o

57,3o

29o

cosϕyG

cosϕyG

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

ϕ

GM

0

mmh

h

Abbildung 22: Bestimmung des Krangungswinkels

Beide Betrachtungen liefern als Gleichgewichtsschwimmlage denselben Krangungswin-kel; im ersten Fall werden fur das Schiff direkt die Hebelarme mit Ladeverschiebungberechnet, indem angenommen wird, der Gewichtsschwerpunkt des Schiffes habe sichverschoben. Im zweiten Fall hingegen wird die Ladeverschiebung als ein krangendes Mo-ment aufgefasst (siehe Kapitel

”Krangende Momente “) und mit der Hebelarmkurve des

ungekrangten Schiffes aufgetragen.

Bei in aufrechter Schwimmlage symmetrischen Korpern ist die Mittschiffsebene (ξ,ζ−Ebene)die Symmetrieebene.

Mξ = G · h−G · yG cosϕ

Fur die Anderung des krangenden Momentes gilt:

dMξ

dϕ= G

dh

dϕ+G · yG sinϕ.

Fur kleine Krangungen (ϕ→ 0) und verschwindendes yG wird daraus mit ξ = x :

dMx

dϕ= G

dh

dϕ

∣∣∣∣ϕ=0

.

Fur kleine Winkel war fruher gefunden worden:

δMx = G ·GM · δϕ

bzw. fur ϕ→ 0 :dMx

dϕ

∣∣∣∣ϕ=0

= G · dhdϕ

∣∣∣∣ϕ=0

= G ·GM.



Dann wirddh

dϕ

∣∣∣∣ϕ=0

= GM = tanα =GM

1.

Die Flache unter der Hebelarmkurve gibt die Arbeit an. 1 im Bogenmaß entspricht einemWinkel von ϕ = 57,3◦. Zeichnet man bei ϕ = 0 die Tangente an die Hebelarmkurve, solaßt sich bei ϕ = 57,3◦ das GM der aufrechten Schwimmlage ablesen, siehe Abbildung22.Betrachtet man die Hebelarmkurve mit der Ladungsverschiebung, erkennt man, dass dieSteigung im Punkt 0 negativ ist, das Schiff hat also aufgrund der verschobenen Ladungein negatives GM und seine Gleichgewichtslage nicht mehr bei ϕ = 0 sondern bei ϕ ≈ 29◦

6.3 Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader

6.3.1 Berechnung des Verdrangungsschwerpunkts und der Pantokarenengekrangter Quader (Formschwerpunktskurve)

Hier wird zunachst nun fur unvertrimmte Quader gezeigt wie der Verdrangungsschwer-punkt bestimmt werden kann. Daraus ergeben sich mit den Krangungswinkeln ϕ dannunmittelbar die Pantokarenen. Die Bezeichnungen Verdrangungs- oder Auftriebs- oderFormschwerpunkt werden in gleicher Bedeutung benutzt und bezeichnen den Schwer-punkt des eingetauchten Volumens des Quaders bzw. des Schwimmkorpers.Ubergeordnetes Kriterium ist, dass der Betrag des eingetauchten Volumens

V0 = LBT = konst. (6.2)

fur alle Neigungen ϕ erhalten bleibt. Es kommt nur zur Anderung der Form des einge-taucheten Volumens. Implizit heißt das jedoch auch, dass das Volumen des Uberwasser-schiffes Vu = LBF = konst. fur alle Neigungen ϕ erhalten bleibt, beide Volumen sindeinander komplementar. Fur das Gesamtvolumen V des Quaders gilt immer

V = V0 + Vu. (6.3)

Es wird nun zwischen zwei Fallen unterschieden:1. Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfache liegt ist großer als das Volumenunterhalb der Wasseroberflache, das bedeutet Freibord F ist großer als Tiefgang T.2. Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfache liegt ist kleiner als das Volumenunterhalb der Wasseroberflache, das bedeutet Freibord F ist kleiner als Tiefgang T.

1. Fall 2.Fall

F/T > 1 : (Abb. 23, links) F/T < 1 : (Abb. 23, rechts)Bereich I: 0 ≤ tanϕ < T/(B/2) (Kimmtaucht aus.)

Bereich 1: 0 ≤ tanϕ < F/(B/2) (SeiteDeck taucht ein.)

Bereich II: T/(B/2) ≤ tanϕ <H2/(2BT ) (Seite Deck taucht ein.)

Bereich 2: F/(B/2) ≤ tanϕ <H2/(2BF ) (Kimm taucht aus.)

Bereich III: H2/(2BT ) ≤ tanϕ ≤tan(90o)

Bereich 3: H2/(2BF ) ≤ tanϕ ≤tan(90o)



2BT/H

I

III

H F

T

B/2

B

F/T>1

II

B/2

B

F

HT

F/T<1

1

23

2BT/H-B

Abbildung 23: Einteilung der Bereiche I, II, III (links) und 1, 2, 3 (rechts).

6.3.2 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwerpunktesund der Pantokarenen fur die Bereiche I und 1.

Fur die Bereiche I und 1 ist die Forderung fur V0 = konst. erfullt, wenn das Volumendes eintauchenden Keils Ve gleich dem des austauchenden Keils Va ist (Abb. 24).



B/2tanϕB/6tanϕH F

T

B/2

B

.

.K

pq(B’).. .

B/3 B/3

(B)

T/2

ϕ

Abbildung 24: Lage des Auftriebsschwerpunktes in den Bereichen I und 1.

Va =1

2L

(B

2

)2

tanϕ = Ve = Vk (6.4)

Durch die veranderte Unterwasserform verschiebt sich jedoch der AuftriebsschwerpunktB nach B′, und zwar seitlich um yB′ und vertikal um zB′ , siehe Abbildung 24.Die Anderung des Momentes des Gesamtvolumens ist gleich der Summe der Anderungender Momente der Teilvolumen (Verschiebungssatz Herner).Seitliche Verschiebung yB′ :

V0 · yB′ = LBT · yB′ = Vk ·1

3·B + Va ·

1

3·B = 2 · Vk ·

B

3=

1

2L

(B

2

)2

tanϕ · 2B

3

yB′ =B2

12T tanϕ (6.5)

Vertikale Verschiebung zB′ :

V0·zB′ = LBT ·zB′ = Vk·1

6·B·tanϕ+Va·

1

6·B·tanϕ = Vk·

2B

6tanϕ =

1

2L

(B

2

)2

tanϕ

(2B

6

)tanϕ



zB′ = 12 ·

B2

12T tan2 ϕ = 12 ·yB′ tanϕ (6.6)

Die absolute Lage des Auftriebsschwerpunktes B′ ist nur insofern wichtig, dass er dieWirkungslinie des Auftriebs definiert, die durch B′ senkrecht zur Wasseroberflache ver-lauft. Deshalb kann die Wirkungslinie des Auftriebs auch durch den senkrechten Abstandw vom Kielpunkt K (Koordinatenursprung) angegeben werden.

yB’cos ϕ

zB’sinϕ

y

ϕ

.

.

.(B)

(B’)y B’

w

zB’

z

ϕ

Abbildung 25: Abstand w der Wirkungslinie des Auftriebs vom Kielpunkt K.

Fur B′(xB′ ; yB′ ; zB′) bzw. B′(L2 ; yB′ ; T2+q ) wird w zu, siehe Abbildung 25.

6.3.3 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwerpunktesund der Pantokarenen fur die Bereiche II und 2.

Bereich II: (Abb. 26)

V0 = LBT =1

2abL =

1

2a2L tanϕ

Mit b = a tanϕ wird

a =

√2BT

tanϕ; b =

√2BT tanϕ ab = 2BT (6.7)

Damit werden die Schwerpunktskoordinaten y′B; z′B hier zu:



(B’).

H F

T

B/2

B

.K

ϕ

a

b

a/3 b/3

Abbildung 26: Lage des Auftriebsschwerpunktes im Bereich II.

yB′ =B

2− a

3=B

2− 1

3

√2BT

tanϕ(6.8)

zB′ =b

3=

√2BT tanϕ

3(6.9)

w berechnet sich zu:

w =

(B

2− 1

3

√2BT

tanϕ

)cosϕ+

(1

3

√2BT tanϕ

)sinϕ (6.10)

Bereich 2: (Abb. 27)Da sich Volumen und Schwerpunkt des Uberwasserteils einfacher berechnen lassen, sollin diesem Fall mit Vu gearbeitet werden.

Vu = LBF =1

2abL =

1

2a2L tanϕ

Mit b = a tanϕ wird

a =

√2BF

tanϕ; b =

√2BF tanϕ; ab = 2BF. (6.11)

Damit berechnet man zB′ zu:

V0 · zB′ = LBT · zB′ = LBHH

2− 1

2abL(H − b/3)



(B’).

a

K

b/3

a/3

HF

T

B/2

B

ϕ

b

.

.

s

z*

Abbildung 27: Lage des Auftriebsschwerpunktes im Bereich 2.

BT · zB′ = BH2

2−BF

(H − 1

3

√2BF tanϕ

)zB′ =

T 2 − F 2

2T+

F

3T

√2BF tanϕ (6.12)

Fur die weitere Berechnung werde eine Hilfskoordinate z∗ durch die linke Seite des Qua-ders parallel zu z eingefuhrt.Seitlicher Abstand s von (B’):

V0 · s = LBT · s = LBHB

2− 1

2abL

a

3

s =HB

2T− F

3T

√2BF

tanϕ

yB′ = s− B

2=F

T

(B

2− 1

3

√2BF

tanϕ

)(6.13)

w = yB′ cosϕ+ zB′ sinϕ (6.14)

6.3.4 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwerpunktsund der Pantokarenen fur die Bereiche III und 3.

Fur die Berechnung des eingetauchten Bodenabschnittes c und des eingetauchten Deckab-schnittes d gilt (Abb. 28):



(B’).K

HF

T

B/2

B

.

.

ϕ2H/3

2(c-d)/3 d

s

z*

c

Abbildung 28: Lage des Auftriebsschwerpunktes in den Bereichen III und 3.

V0 = LBT = L

(c+ d

2

)H

Mit tanϕ = H/(c− d) wird daraus

BT =

(H/ tanϕ+ 2d

2

)H.

Schließlich bekommt man:

d =BT

H− H

2 tanϕ

und

c =BT

H+

H

2 tanϕ.

Zur Bestimmung der Schwerpunktskoordinaten werden die Rechteckflache cH und dieDreiecksflache (c − d)H/2 herangezogen. Dazu werde eine Hilfskoordinate z∗ durch dierechte Seite des Quaders parallel zu z eingefuhrt.Seitlicher Abstand s von (B′) :(

c+ d

2

)HL · s = cHL · c

2−(c− d

2

)HL

(d+

2

3(c− d)

)

s =1

3

(c+ d− cd

c+ d

)=

1

3

(2BT

H− H

2BT

((BT

H

)2

− H2 cot2 ϕ

4

))



yB′ =B

2− s =

BF

2H− 1

2

(H3

12BT

)cot2 ϕ (6.15)

Vertikaler Abstand zB′ von B′ :

LH

(c+ d

2

)zB′ = cH

H

2−(c− d

2

)H · 2

3H

zB′ =H

3

(c+ 2d

c+ d

)=H

2

(1− H2 cotϕ

6BT

)(6.16)

w =

(BF

2H− 1

2

(H3

12BT

)cot2 ϕ

)cosϕ+

(H

2

(1− H2 cotϕ

6BT

))sinϕ (6.17)

6.3.5 Krummung, Krummungsradius der Formschwerpunktskurve (MetazentrischeEvolute)

Die Krummung κ einer Kurve y = f(x) ist, Abb. 29 (links),

κ = lim∆s→0

∆α

∆s=dα

ds=

1

ρ. (6.18)

Kehrwert der Krummung κ ist der Krummungsradius ρ des Krummungskreises. Als

P1

α 1

α 1

∆s

α∆

.

.P

α

y=f(x)

y

x

P2

P1

f(x)

..

.

P

M ρ.

Abbildung 29: Krummung κ (links) und Krummungskreis (rechts) im Punkt Pder Funktion f(x).

Krummungskreis der Kurve f(x) im Punkt P bezeichnet man die Grenzlage des Kreisesdurch die Punkte P ; P1; P2, wenn P1; P2 gegen P streben, Abb. 29 (rechts). Errichtetman in P die Normale und tragt auf ihr den Krummungsradius ρ ab, so findet man denKrummungsmittelpunkt M. Der Kreis um M mit dem Radius ρ ist der Krummungskreis



des Punktes P.Fur einen Schwimmkorper (Schiff, Quader) lasst sich die Krummung der Formschwer-punktkurve wie folgt bestimmen:Aus einer bereits um ϕ gekrangten Lage werde der Schwimmkorper um einen weiterenkleinen Winkel dϕ weiter gekrangt. Durch die Krangung um dϕ verschiebt sich der Auf-triebsschwerpunkt von (Bϕ) nach (Bϕ+dϕ) (Abb. 30). Die Auswanderung um dp parallelzur Wasserlinienflache ist gleich dem Moment der ein- bzw. austauchenden Keilstucke inBezug auf eine senkrechte Ebene durch den WL-Schwerpunkt geteilt durch das gesamteeingetauchte Volumen V0.

dϕ

dϕ

Bϕ( )ϕ+dBϕ( )

Bϕ

aVeV

. .dq

dpds

Abbildung 30: Berechnung des Auftriebsschwerpunktes bei geneigterSchwimmlage.

dp =

∫ BeBa

y2dA

V0dϕ =

ITϕV0

dϕ (6.19)

ITϕ ist das transversale (Breiten-)Flachentragheitsmoment der geneigten Schwimmwas-serlinienflache Awϕ.Die Auswanderung dq des Auftriebsschwerpunktes senkrecht zur Wasserlinienflache istgleich dem Moment der Keilstucke in Bezug auf die Wl-Flache geteilt durch das Volumen



V0.

dq =1/2dϕ2

∫ BeBa

y2dA

V0= 1/2

ITϕV0

dϕ2 (6.20)

dq ist von hoherer Ordnung klein und kann deshalb gegenuber dp vernachlassigt werden.Daraus folgt, dass bei kleinen Neigungen dϕ der Schwerpunkt parallel zur Wasserlinien-flache um

ds ≈ dp =ITϕV0

dϕ (6.21)

auswandert. Die Große ITϕ/V0 ist bereits ein Maß fur die Anderung der Lage des Auf-triebsvektors bei einer kleinen Aderung der Krangung. Zeichnet man die Linienelemen-te ds fur mehrere aufeinanderfolgende Krangungen, so erhalt man den Weg, den derVerdrangungsschwerpunkt durchlauft, wenn der Schwimmkorper so geneigt wird, dassdas Volumen V0 konstant bleibt (Formschwerpunktskurve). Die Tangenten an die Form-schwerpunktskurve sind somit den zugehorigen geneigten Wasserlinien paralell.Mit dem obigen Ausdruck kann auch

dp/dϕ ≈ ds/dϕ = ρ =ITϕV0

= 1/κ (6.22)

der Krummungsradius bzw. die Krummung berechnet werden. Tragt man ρ in (Bϕ) inRichtung der Wirkungslinie des Auftriebs, die ja senkrecht zu dp bzw. senkrecht zur zu-gehorigen Wl-Flache ist, ab, so erhalt man den Mittelpunkt des Krummungskreises Mϕ.Mϕ wird Metazentrum genannt. Der Verlauf der Krummungsmittelpunkte einer Kurveheißt Evolute. Die Kurve der Metazentren ist die Evolute der Formschwerpunktskur-ve, sie wird auch metazentrische Evolute genannt. Die Formschwerpunktskurve ist dieEvolvente.

6.3.6 Metazentrische Evolute eines Quaders fur die Bereiche I und 1.

Fur die Bereiche I und 1 berechnet sich die Breite der Wl-Linie des bereits um ϕ ge-krangten Pontons aus (Abb. 24)

Bϕ =B

cosϕ

und damit der Krummungsradius

ρ =ITϕV0

=LB3

ϕ

12LBT=

B2

12T cos3 ϕ(6.23)

Die Gl. 6.23 gilt imBereich I: 0 ≤ tanϕ < T/(B/2) (Kimm taucht aus)

und imBereich 1: 0 ≤ tanϕ < F/(B/2) (Seite Deck taucht ein).



6.3.7 Metazentrische Evolute fur die Bereiche II und 2.

Bereich II: (Abb. 26)Es gilt die Gl. 6.7. Damit ergibt sich hier die Breite der Wl-Linie des gekrangten Pontonszu

Bϕ =√a2 + b2 =

√2BT

√1

tanϕ+ tanϕ = 2

√BT

sin 2ϕ

Damit findet man den Krummungsradius hier

ρ =ITϕV0

=LB3

ϕ

12LBT=

2

3BT

(BT

sin 2ϕ

)3/2

. (6.24)

Bereich 2: (Abb. 27)Es gilt die Gl. 6.11. Damit ergibt sich hier die Breite der Wl-Linie des gekrangten Pontonszu

Bϕ =√a2 + b2 =

√2BF

√1

tanϕ+ tanϕ = 2

√BF

sin 2ϕ

Damit findet man den Krummungsradius hier

ρ =ITϕV0

=LB3

ϕ

12LBT=

2

3BT

(BF

sin 2ϕ

)3/2

. (6.25)

Die Gl. 6.24 gilt imBereich II: T/(B/2) ≤ tanϕ < H2/(2BT ) (Seite Deck taucht ein)

und Gl. 6.25 gilt imBereich 2: F/(B/2) ≤ tanϕ < H2/(2BF ) (Kimm taucht aus).

6.3.8 Metazentrische Evolute eines Quaders fur die Bereiche III und 3.

Fur die Bereiche III und 3 berechnet sich die Breite der Wl-Linie des bereits um ϕgekrangten Pontons aus (Abb. 28)

Bϕ =H

sinϕ

und damit der Krummungsradius

ρ =ITϕV0

=LB3

ϕ

12LBT=

H3

12BT sin3 ϕ(6.26)

Die Gl. 6.26 gilt imBereich III: H2/(BT ) ≤ tanϕ < tan(900)

und imBereich 3: H2/(2BF ) ≤ tanϕ < tan(900).

Die Abb. 31 zeigt die Formschwerpunktskurve und die metazentrische Evolute fur einen



ϕIIIϕ

ϕI

IIϕ

90o

90

o

ϕIIIϕ

B

M

F/T=1,5

xx

x

x

o

o

o

o

Abbildung 31: Auftriebsschwerpunktskurve und metazentrische Evolute eines Quadersmit F/T > 1

90

o

B

M

F/T=0,333

x xxx

oo

o o

Abbildung 32: Auftriebsschwerpunktskurve und metazentrische Evolute eines Quadersmit F/T < 1



0o

ϕ1

ϕ2

90o

90

o

ϕ1

ϕ2

B

M

F/T=0.333

xx

x

x

o

o

o

o

Abbildung 33: Vergroßerte Darstellung der Auftriebsschwerpunktskurve und metazen-trischen Evolute eines Quaders mit F/T < 1, s. Abb. 32.

Quader mit F/T > 1. Besonders hervorgehoben sind die Krangungen bei ϕ = 0; ϕI ; ϕII ; 90o.Bei ϕI taucht die Kimm aus, bei ϕII taucht Seite Deck ein. Bei diesen Krangungen zeigtdie eingetauchte Breite Bϕ jeweils einen Knick, s. Gl. 6.23; 6.24; 6.26.Dieser Umstandfuhrt auch zu Spitzen bzw. Knicken bei der metazentrischen Evolute.Die Abb. 32 zeigt die Formschwerpunktskurve und die metazentrische Evolute fur einenQuader mit F/T < 1, zur Verdeutlichung vergroßert in der Abb. 33. Besonders hervorge-hoben sind auch hier die Krangungen bei ϕ = 0; ϕ1; ϕ2; 90o. Bei ϕ1 taucht Seite Deckein, bei ϕ2 taucht die Kimm aus. Bei diesen Krangungen zeigt auch hier die eingetauch-te Breite Bϕ jeweils einen Knick, s.Gl. 6.23; 6.25; 6.26.Der Verlauf der metazentrischenEvolute ist im Bereich des Winkels ϕ1 und in der Umgebung des Winkels ϕ2 in der Abb.34 nochmals vergroßert worden, damit der Verlauf auch im Einzelnen deutlich wird.

6.3.9 Stabilitatskurven bzw. Pantokarenen

Die in den vorhergehenden Abschnitten - s. Gl. 6.10, 6.14, 6.17 - bereitgestellte Theoriegestattet auch die Stabilitatskurven bzw. Pantokarenen zu berechnen. Dabei handeltes sich um die Lange des Lotes gemessen vom Kielpunkt K bis zur Wirkungslinie desAuftriebs, s. Abb.25.



ϕ1 F/T=0.333

M

ϕ ϕ

o

oϕ

2 ϕ

ϕϕ

ο

F/T=0.333

Abbildung 34: Metazentrische Evolute eines Quaders mit F/T < 1 im Bereich des Win-kels ϕ1 (links) und des Winkels ϕ2 (rechts).

H/B=1,0H/B=0,625 H/B=1,6T/H=0,1

T/H=0,9

H

B K K. .K .

Abbildung 35: Schematische Darstellung der fur die Berechnung der Pantokarenen be-nutzten Geometrien.

Zur Beschreibung der Geometrie eines eingetauchten Quaders genugen zwei unabhan-gige Parameter, namlich das Seitenverhaltnis H/B des gesamten Rechteckquerschnittsund das Seitenverhaltnis T/B des eingetauchten Rechteckquerschnitts. Damit gleichwer-tig ist T/H = (T/B)/(H/B) = Vo/V = L ·B ·T/L ·B ·H als der Verhaltniswert fur denanteilig eingetauchten Unterwasserteil des Quaders. Die Berechnung der Pantokarenenkann also so erfolgen, dass fur ein festes H/B das T/H und damit die relative Verdran-gung Vo/V systematisch variiert wird. Fur jede Kombination von H/B und T/H sinddie gewunschten Krangungswinkel ϕ zu rechnen. Die fur die Beispielrechnungen benutz-



KG sinϕ

K

90°G

h

y

ϕ

.

.

.(B)

(B’)

w

z

.

ϕ

Abbildung 36: Berechnung des aufrichtenden Hebelarmes.

ten Geometrien sind schematisch in der Abb. 35 dargestellt. Fur drei verschiedene H/Bsind die dimensionslosen Pantokarenen w/B als Funktion von T/H mit ϕ als Parameteraufgetragen. Außerdem sind die Pantokarenen eingezeichnet, bei denen die Kimm aus-bzw. Seite Deck eintaucht.

6.3.10 Hebel des aufrichtenden Momentes

Der Hebel des aufrichtenden Momentes - s. Abb. 36 - berechnet sich aus

h = w −KG · sinϕ. (6.27)

Fur die Beispiele der Abb. 37 wurde die Berechnung fur jeweils drei verschiedene KGdurchgefuhrt, namlich fur H/B = 0,625 mit KG = 0,5H; 0,6H = 0,7H, fur H/B = 1,0mit KG = 0,4H; 0,5H = 0,6H und fur H/B = 1,6 mit KG = 0,3H; 0,4H = 0,5H.Parameter ist T/H = 0,3; 0,5; 0,7. Die fur die Beispielrechnungen benutzten Geometriensind schematisch in der Abb. 37 dargestellt.



KG/H=0,5; 0,6; 0,7 KG/H=0,4; 0,5; 0,6 KG/H=0,3; 0,4; 0,5

H

..

.G

..

.G ..

.G

T/H=0,3

T/H=0,7

H/B=0,625 H/B=1,0 H/B=1,6

T/H=0,5

B .K .K .K

Abbildung 37: Schematische Darstellung der fur die Berechnung der Hebelarme benutz-ten Geometrien.

6.4 Schiff und Quader

Fur unvertrimmte Schiffe mit senkrechten Seitenwanden werden die Pantokarenen anna-hernd wie fur einen Quader berechnet, solange das Deck noch nicht ein- und der Bodennoch nicht austaucht, das sind die Bereiche I und 1 der vorhergehenden Betrachtung..

w = yB cosϕ+ zB sinϕ

Mit yB = BM tanϕ und zB = KB +BM tan2 ϕ/2 wird daraus

w =

(BM

(1 +

tan2 ϕ

2

)+KB

)sinϕ =

(KM +BM

tan2 ϕ

2

)sinϕ.

Diese Beziehung wird fur Abschatzungen der Stabilitat auch bei Schiffen angewandt,obwohl im Vor- und Hinterschiff die Wande normalerweise nicht senkrecht sind. Dengroßten Einfluss auf die Pantokarenen hat jedoch das breite parallele Mittelschiff.Zur Verbesserung der Abschatzung fur Schiffe schreibt man:

w =

(KM + λ ·BM tan2 ϕ

2

)sinϕ

bzw.

h =

(GM + λ ·BM tan2 ϕ

2

)sinϕ.

Fur Konstruktionstiefgang wird λ = 1 und fur Ballasttiefgang λ = 0,6 gesetzt.Der Term

λ ·BM tan2 ϕ

2sinϕ

wird Formzusatzstabilitat genannt.

Bsp.:



WL(ϕ = 0 )

WL(ϕ > 0)

B ϕB o

..

ϕ

ϕ

M

K

.w..

Abbildung 38: Formzusatzstabilitat eines Kreiszylinders

Wie groß ist λ fur die Formzusatzstabilitat eines Schiffes mit kreiszylindrischen Span-ten?Der Auftriebsschwerpunkt bewegt sich auf einem konzentrischen Kreis, der Kreismittel-punkt ist gleichzeitig das Metazentrum M , d.h. w = KM sinϕ. Daraus folgt λ = 0, s.Abb. 38.

Bsp.:Bei einem Schiff ist das Anfangs- GM < 0. Welcher Krangungswinkel stellt sich ein?Unter der Annahme, daß keine außeren Momente vorhanden sind, gilt

h =

(GM + λ ·BM tan2 ϕ

2

)sinϕ = 0.

Es gibt zwei Losungen:1.) ϕ = 0.

Es besteht instabiles Gleichgewicht, da die Stabilitatsbedingung GM > 0 nicht erfulltist.

2.) ϕ1;2 = ± arctan

√−2GM

λ ·BM.



ϕ1/2

instabil ϕstabil

h

Abbildung 39: Gleichgewichtslage bei negativer Anfangsstabilitat

Das Schiff liegt gekrangt mit den Winkeln ϕ1 oder ϕ2. Das unterschiedliche Vorzeichenweist darauf hin, das eine Krangung entweder nach BB oder StB vorliegen kann, s. Abb.39.



7 Krangende Momente

Damit ein Schiff nicht kentert, durfen die gleichzeitig auftretenden krangenden Momentenicht großer sein als das aus Auftrieb und Gewicht resultierende aufrichtende Moment.

7.1 Moment durch seitlichen Winddruck

Die seitliche Windkraft auf das Uberwasserschiff

FL = cw ·ρ

2v2AL

bewirkt gemeinsam mit einer entgegengesetzt gleich großen Stutzkraft Fw durch desWasser am Unterwasserschiff ein krangendes Moment. Dieses kann wie folgt abgeschatztwerden:

hoF

W

FL

T/2

Abbildung 40: Krangendes Moment durch Winddruck

M = cw ·ρ

2v2AL0h0(0,25 + 0,75 cos3 ϕ).

Es bedeuten:— ρ = 1,25kg/m3 Dichte der Luft einschließlich Regen, Gischt usw.;— v Windgeschwindigkeit in einer mittleren Hohe des Uberwasserschiffes;— cw · ρ2v

2 = 0,3 kN/m2 fur Watt- und Kustenfahrt;— = 0,6 kN/m2 fur kleine Fahrt;— = 1,0 kN/m2 fur Mittlere und Große Fahrt als brauchbare Werte;— AL0 Uberwasser-Lateralplanflache des ungekrangten Schiffes;— h0 Vertikaler Abstand des Schwerpunktes von AL0 von T/2. Damit nimmt man an,



dass die Stutzkraft Fw auf halbem Tiefgang angreift.— (0,25 + 0,75 cos3 ϕ) stammt aus Versuchsergebnissen.In der Resolution A.749(118) vom Nov.1993 werden inzwischen weitergehende Empfeh-lungen gegeben, die auch das Rollen des Schiffes aufgrund des Seeganges mitberucksich-tigen.

7.2 Moment bei Drehkreisfahrt

Auf das Schiff wirkt im Massenschwerpunkt eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft,namlich

FZF = ∆v2

R.

— v Schiffsgeschwindigkeit im Drehkreis;— R Drehkreisradius.Die Gegenkraft im Wasser wird wieder auf T/2 bei ungekrangter Lage angenommen.Dann wird das krangende Moment zu:

M = FZF

(KG− T

2

)= ∆

v2

R

(KG− T

2

).

— v2/R ≈ cdv20/L

— v0 Dienstgeschwindigkeit bei Geradeausfahrt;— cd Vom Ruderwinkel abhangiger Beiwert;— L Schiffslange in der CWL.Eine ubliche Naherung ist:

M = 0,02v2

0

L∆

(KG− T

2

).

7.3 Verschiebung von Flussigkeiten in Tanks mit freien Oberflachen

Durch Verschieben des Massenschwerpunktes der Flussigkeit mit freier Oberflache kommtes zu einer scheinbaren Reduktion der metazentrischen Hohe:

GMr = GM −∑i

ρLρ

iTV

= KB +IWL

V−KG−

∑i

ρLρ

iWL

V.

Tanks, zwischen denen Flussigkeit hin- und herstromen kann, mussen wie ein Tank be-handelt werden. iWL ist fur die gemeinsame Schwerpunktsachse zu berechnen.Tanks, die mit dem Außenwasser in Verbindung stehen, sind bei der Berechnung desIWL der WL−Flache zu berucksichtigen, d.h. ihre freien Oberflachen sind abzuziehen.



7.4 Moment durch Verrutschen von Ladung

7.5 Moment durch Wasser an Deck

7.6 Moment durch Vereisung

7.7 Moment durch Personen

7.8 Moment durch hangende Lasten

7.9 Moment durch Trossenzug

7.10 Moment durch Propellerdrehmoment

7.11 Momentenbilanz

hA h kr

h kr 1

h kr 2

h kr 3

h A

ϕA ϕB ϕC

. .ϕ

AB

C

.

Abbildung 41: Momentenbilanz

In Abb. 41 sind dem Hebel des aufrichtenden Momentes hA drei mogliche Verlaufekrangender Hebel gegenubergestellt. Die Gleichgewichtsbedingung hA = hkr ist fur hkr1uberhaupt nicht erfullt, somit gibt es hier auch keine Gleichgewichtsschwimmlage. DieKurve hkr3 dagegen schneidet den aufrichtenden Hebel in den Punkten A und C. Beidestellen somit eine Gleichgewichtsschwimmmlage dar, jedoch ist nur der Fall A stabil, weilhier allein bei Neigung uber den Winkel ϕA hinaus der aufrichtende Hebel uberwiegt,das Schiff also in die Ausgangslage zuruckgedreht wird. Als Stabilitatskriterium lasstsich demnach formulieren:

dhAdϕ

>dhkrdϕ

∣∣∣∣ϕA

.



Diese Bedingung ist fur ϕC nicht erfullt.Im Punkt B haben dagegen hA und hkr2 nur einen Beruhrungspunkt,d.h.

dhAdϕ

=dhkrdϕ

∣∣∣∣ϕB

.

Bei einem Krangungswinkel ϕ > ϕB ist hkr > hA, das Schiff kentert.

7.12 Stabilitatsforderungen

Die International Maritime Organisation (IMO), eine Unterorganisation der UNO,gibt in ihrer Resolution A.749 (18)vom 4.November 1993 folgende allgemeinen Empfeh-lungen zur Intaktstabilitat von Passagier- und Frachtschiffen:1. Die Flache unter der Kurve des aufrichtenden Hebels sollte bis zu einem Krangungs-winkel von ϕ = 300 nicht kleiner als 0,055m · radiant sein, bis zu ϕ = 400 nicht kleinerals 0,09m ·radiant. Zusatzlich soll die Flache unter der Hebelarmkurve zwischen ϕ = 300

und ϕ = 400 nicht kleiner als 0,03m · radiant sein.2. Der aufrichtende Hebel sollte bei einem Krangungswinkel ϕ ≥ 300 mindestens 0,20mbetragen.3. Der Maximalwert des aufrichtenden Hebels sollte bevorzugt bei ϕ ≥ 300 vorliegen,nicht aber unterhalb von 250.4. Die Anfangsmetazentrische-Hohe GM0 sollte nicht kleiner als 0,15m sein.5. Bei Passagierschiffen sollte der Krangungswinkel durch uberlaufen von Passagieren zueiner Seite oder bei Drehkreisfahrt 100 nicht ubersteigen.Fur andere Schiffstypen gibt die Resolution weitere spezielle Empfehlungen.



8 Schiff mit Grundberuhrung

8.1 Schiff sitzt mit der ganzen Lange des Kiels auf. (Schiff im Dock)

B

WLϕ

T0

M0

WL 0

BϕB

K

G

W

R

ϕ

ϕ..

.

.

.T

WL

M

.F

Abbildung 42: Schiff im Dock

Durch Fallen des Wasserstandes wird der Auftrieb kleiner, wahrend das Gewicht gleichbleibt, siehe Abbildung 42.

G > FB; T < T0.

T0 ist der Tiefgang bei freiem Schwimmen. Der Auftriebsverlust wird durch die Aufla-gerkraft R ubernommen. Stabilitat bedeutet GM > 0.Gleichgewichtsbedingungen:

G = FB +R → R = G− FB.

Moment um den Kielpunkt K :

M(K)A = (KM · FB −KG ·G) sinϕ

= (KM(G−R)−KG ·G) sinϕ

= (GM ·G−KM ·R) sinϕ.

Klammert man G aus, so wird

M(K)A = G

(GM −KM · R

G

)sinϕ = G ·GM∗ sinϕ.

Hier bedeutet

GM∗

= GM −KM · RG

= GM −KM(

1− FBG

)=

(KM · FB

G−KG

).



T0

KG

KM;

∆ 0

∆=f(T)

KM

FB

W

FB

W

T

∆

KM

KM

T

Abbildung 43: Ermittlung des Tiefgangs, bei dem h∗ = 0.

Die metazentrische Hohe GM0 des freischwimmenden Schiffes wird in doppelter Weiseverandert:— M 6= M0, da bei geringerem Tiefgang T, d.h. bei veranderter WL-Flache und kleine-rem V zu ermitteln;— GM wird um KM ·R/G reduziert.

Die Auflagerkraft R fuhrt zu einer Verminderung der Querstabilitat!Es werde untersucht:Wann ist die Schwimmlage stabil, indifferent oder instabil,d.h. wann ist GM

∗> 0; GM

∗= 0; GM

∗< 0?

Dafur werde das aufrichtende Moment nocheinmal aufgeschrieben:

M(K)A = (KM · FB −KG ·G) sinϕ = G(KM

FBG−KG) sinϕ = h∗ ·G.

Man bezeichnet

h∗ = (KMFBG−KG) sinϕ

als den reduzierten Hebel, s. Abb. 43.

h∗ > 0 : KMFBG

> KG → stabil,

h∗ = 0 : KMFBG

= KG → indifferent,

h∗ < 0 : KMFBG

< KG → instabil!



8.2 Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest. (Strandung, Aufdrehen beimStapellauf)

T∆ x TR

FB

.R

W

a

b

ψ.

.

Abbildung 44: Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest

Bestimmung der Gleichgewichtsschwimmlage, siehe Abbildung 44:∑F = 0 = FB +R−G → G = FB +R.

Moment um den Lagerpunkt:∑M (R) = 0 = FB · a−G · b.

Die Gleichgewichtsschwimmlage, bestimmt durch ∆Tx lasst sich grafisch bestimmen,siehe Abbildung 45:

T∆T∆ 1 T∆ 3T∆ 2

T∆ x

FB

FB

W.bFB.a

FB.a

Abbildung 45: Ermittlung der Tiefgangsanderung ∆Tx

∆T FB a · FB∆T1 FB1 a1 · FB1

∆T2 FB2 a2 · FB2

∆T3 FB3 a3 · FB3



Praktische Durchfuhrung der Rechnung:Annahme: Trimmwinkel ψ sei klein, sodass cosψ ≈ 1; b ≈ konst.; TR ≈ konst..Fur mindestens drei vertrimmte WL, die alle durch TR verlaufen, werden mit Hilfe desKurvenblatts die Verdrangung V und der Abstand a des Verdrangungsschwerpunktesbestimmt. Der Schnittpunkt von a · FB = f(∆T ) und b ·G = konst. liefert das ∆Tx derGleichgewichtsschwimmlage.

Stabilitat:Die Drehachse bei Krangungen um ϕ verlauft durch K1 und parallel zur Wasseroberfla-

FB

K2 K1K3

KB

Drehachse

W

..

R

..G.B

. .K

Abbildung 46: Stabilitat eines aufsitzenden Schiffes

che, siehe Abbildung 46. Da die beteiligten Krafte FB; G; R alle vertikal gerichtet sind,muss der Drehmomentenvektor dazu senkrecht, also horizontal, gerichtet sein.Die Punkte K1; K2; K3 liegen auf der Drehachse des Schiffes. Das Moment um diehorizontale Drehachse durch den Aufsitzpunkt K1, siehe Abbildung 47, wird zu:

M(K1)A =

(FB ·K3M −G ·K2G

)sinϕ = G

(FBGK3M −K2G

)sinϕ = G · h∗

h∗ =

(FBGK3M −K2G

)sinϕ

Fur kleine Trimmwinkel ψ wird K1 ≈ K2 ≈ K3 und fur kleine Krangungswinkel ϕ wirdsinϕ ≈ ϕ. (

FBGK3M −K2G

)≈(FBGKM −KG

)= GM

∗



WLϕ

Bϕ

K1/2/3

G

W

ϕ

..

R

FB

WL

.

.M

Abbildung 47: Krangung eines aufsitzenden Schiffes

K1K2K3

M*

KBb

a

M

B

W

G.. ...

..

K. .

Abbildung 48: Bestimmung des aufrichtenden Momentes

GM∗

ist die wirksame metazentrische Hohe, siehe Abbildung 48.M∗ liegt auf der Verbindung von K1 mit M oberhalb von G!Mit Hilfe des Strahlensatzes findet man

K2M∗

b=K3M

a→ b

a=K2M

∗

K3M≈ KM

∗

KM.

Aus dem Momentengleichgewicht ergibt sich:

FB · a = G · b → b

a=FBG.



Wird dieses in die Gleichung fur GM∗

eingesetzt, bekommt man:(FBGKM −KG

)=

(b

aKM −KG

)=(KM

∗ −KG)

= GM∗.



9 Stapellauf

9.1 Allgemeines

Der Stapellauf kommt nur noch bei wenigen Werften zum Einsatz; die meisten Schiffewerden heute in Trocken- oder Schwimmdocks gebaut. Nach der Fertigstellung des Schif-fes werden diese geflutet bzw. abgesenkt, bis das Schiff aufschwimmt. Trotzdem hat sichauch hier der Name Stapellauf erhalten.Grundsatzlich gibt es zwei Arten des Stapellaufs. Das Schiff kann zum einen der Langenach, meistens mit dem Heck voran (Langsstapellauf) oder seitlich (Querstapellauf) aufeiner schragen Bahn ins Wasser gelassen werden. Bei Hochseeschiffen kommt im Allge-meinen der Langsstapellauf zur Anwendung, bei Binnenschiffen, oft auch bei U-Booten,der Querstapellauf. Das Schiff wird in geneigter Lage auf der Helling (auch Helgen ge-nannt) gebaut und ruht wahrend der Bauzeit auf der Pallung. Auf Holzschlitten gleitetdas Schiff dann die Bahn hinunter, wobei zur Uberwindung des Reibwiderstandes entwe-der Fette oder Teflonplattchen) notig sind. Der Vorteil der Teflonplattchen liegt darin,dass die Sektionen direkt auf den Schlitten zum Ablaufen gebaut werden konnen undnicht noch umgesetzt werden mussen, um das Fett aufzutragen.

Der Stapellauf ist ein kritischer Moment fur das Schiff. Beim Langsstapellauf wirkengroße Krafte (vor allem Langsbiegekrafte) auf den Rumpf, der zuerst nach unten durch-gebogen wird (hogging), sobald das Heck das Ende der Rampe erreicht hat. Anschließendschwimmt das Heck auf, so dass der Rumpf nur auf dem Bug aufliegt und nach obendurchgebogen wird (sagging). Zudem hat das Schiff zu dieser Zeit nur eine geringe Roll-stabilitat und kann leicht kentern.Beim Querstapellauf hingegen gerat das Schiff beim Eintauchen durch die Bremswirkungdes Wassers in starke Seitenlage.

9.2 Ablauf

Wird die Haltevorrichtung entfernt, fahrt das Schiff los, sofern die Bahn stark genuggeneigt ist. Die Bahn muss so stark geneigt sein, dass die Grenzhaftung uberwundenwird. In seltenen Fallen wird mit einem Hydraulikstempel das Schiff angeschoben, umdie Haftreibung zu uberwinden.Fur den Grenzwinkel β0 gilt tan(β0) = µ0, so dass β0 ≥ arctan(µ0) sein muss.Beispiele fur Haftungskoeffizienten µ0:Teflon: µ0 ≈ 0,026Fett: µ0 ≈ 0,018Sobald die Grenzhaftung uberwunden ist, gleitet das Schiff mit dem Gleitreibungskoef-fizienten µ die Bahn hinunter.Solange sich das Schiff noch nicht im Wasser befindet, gilt fur die Beschleunigung langsder Bahn:



m · x = G · tan(β)− µ ·G (9.1)

Taucht das Schiff ein, kommen zu den bisherigen Kraften noch die Komponenten desAuftriebs und der Widerstandskraft des Wassers FH dazu:

m · x = G · tan(β)− µ ·G−B · tan(β)− FH (9.2)

Ist der Massenschwerpunkt uber die Hinterkante der Bahn (HKB) gefahren, besteht dieGefahr, dass das Schiff um den Auflagepunkt an der HKB kippt. Dies passiert wenn derAuftrieb des bereits eingetauchten Schiffsvolumens zu diesem Zeitpunkt noch nicht großgenug ist. Die Grenzbedingung fur dieses Kippen ergibt sich aus dem Momentengleich-gewicht um den Punkt HKB:

ΣMHKB = 0 = G · xG −B · xB⇔ G · xG = B · xB (9.3)

Die Restkraft ergibt sich dann aus dem Kraftegleichgewicht zu:

ΣF = 0 = R+B −G⇔ R = G−B (9.4)

Von dem Moment an, in dem das Heck in das Wasser eintaucht, erhalt das Heck stetigmehr Auftrieb. Dann liegt das Schiff also nur am Bug auf Vorderkante-Schlitten (VKS)auf, was eine große Beanspruchung durch die Langsbiegekrafte fur den Rumpf in Langs-richtung darstellt. Fur das Momentengleichgewicht um diesen Punkt VKS gilt dann:Aufdrehen bedeutet, dass das Schiff anfangt aufzuschwimmen, aber der Auftrieb nochzu klein ist, damit das Schiff komplett freischwimmt.

ΣMV KS = 0 = G · xGVKS −B · xBVKS⇔ G · xGVKS = B · xBVKS (9.5)

Ist die Restkraft R=0, schwimmt das Schiff frei.

Folgende Probleme konnen auftreten:

• Das Schiff kippt. Das Schiff dreht nicht rechtzeitig auf und kippt dann um Hinter-kante Bahn. Diese Schadensart fuhrt unter Umstanden zu einem Totalverlust desSchiffes bei gleichzeitigen Schaden an Schlitten und Bahn. Daher muss das Kippenunter allen Umstanden vermieden werden. Offensichtlich neigt das Schiff vor allemdann zum Kippen, wenn der Massenschwerpunkt weit hinten liegt und gleichzei-tig hinten wenig Auftrieb entsteht, z. B. weil das Schiff sehr schlank ist oder beiniedrigem Wasserstand.



• Das Schiff dumpt. Das Schiff schwimmt an Hinterkante Bahn nicht frei und falltdann ins Wasser. Das Dumpen fuhrt nur dann zu einem Schaden, wenn das Schiffim Verlauf seiner Fallkurve entweder auf das Hellingende oder auf den Gewasser-boden aufschlagt. Dann allerdings kann die Beschadigung betrachtlich sein. Imallgemeinen dumpen Schiffe dann, wenn der Massenschwerpunkt so weit vorneliegt, dass beim freigeschwommenen Schiff vorne ein großerer Tiefgang vorliegt alsder Wasserstand an Hinterkante Bahn.

• Das Schiff kentert beim Aufdrehen. Schiffe kentern beim Stapellauf von vorne-herein, wenn deren seitliche Auswanderung des Massenschwerpunkts das Kippmo-ment der Bahn uberschreitet. Dies kommt allerdings -selbst bei nur einer Mittelbahn-praktisch nicht vor. Allerdings ist zu beachten, dass Schiffe wahrend der Aufdreh-phase kentern konnen, da die Restkraft am Bugschlitten ein krangendes Momentverursacht. Im wesentlichen sind lange, schlanke Schiffe kentergefahrdet, die hoheRestkrafte bei geringen KM-Werten aufweisen.



10 Erweiterungen und Notizen

10.1 Pantokarenen

Auszug aus Soding Skript

1. Pantokarenen”ohne Trimmausgleich“: Der Gewichtsschwerpunkt in Langsrichtung

xG wird abhangig von der Verdrangung ∆ und ϕ so angenommen, dass der Trimmdes Schiffes fur verschiedene ∆ und ϕ konstant (meist geich Null) ist. Dies wird auchRechnung mit festem (oder konstantem) Trimm genannt. Es wird keine Gleichge-wichtslage betrachtet.

2. Pantokarenen”mit Trimmausgleich“: xG wird nur von der Verdrangung ∆ abhan-

gig angenommen, so dass sich bei ϕ = 0 ein konstanter Trimm (meist gleich Null)einstellt. xG ist jedoch nicht von ϕ abhangig, so dass sich fur ϕ 6= 0 andere Trimm-winkel ergeben. Es wird jeweils eine Gleichgewichtslage fur jeden Krangungswinkelbetrachtet.


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