i= oc ili2 - Universität Kassel: Aktuelles · Orts- und des Spinraums invariant, da er aber stets...

Addition von Drehimpulsen 63

Großbuchstaben sind den Gesamtdrehlmpulsen eines Mehrteilchensystems vorbehalten - und der linke obere Index wird einfach weggelassen. Für die ersten Werte von i ist dann:

i= !

13.5.4 Die Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses. Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Zu jedem durch das Additionsgesetz bestimmtem Paar (JM) gehört ein Eigenvektor la i1 h J M > des Gesamtdrehlmpulses. Zu seiner eindeutigen Festlegung normieren wir ihn auf Eins und fixieren seine Phase gemäß einer Konvention, die wir weiter unten angeben werden. Die Vektoren la it iz J M> bilden wie die la i1 iz m1 mz > im Unterraum 8, (ai1 i2) eine orthonormierte Basis. Von der einen gelangt man zur anderen durch eine unitäre Transformation:

loc ili2 JM) = L loc hi2 ml m2) <ochi2 ml m2Iocili2 JM). (13.107) nlJ m.

Die bei dieser Transformation auftretenden Koeffizienten besitzen eine sehr wichtige Eigenschaft: Sie sind unabhängig von a, hängen also nur von den Größen it, i2, J, mt> m2 und M ab. Im Unterraum 8, (aith) bilden nämlich die Vektoren lai! iz mt mz > die Basis einer Standarddarstellung, in der die Darstellungsmatrizen für die Komponenten von i1 und i2 von a unabhängig sind (s. GI. (13.28)). Folglich sind auch die Darstellungsmatrizen von JZ und Jz von a unabhängig und ebenso die Komponenten <ai1 iz m1 m2 j ait h J M> ihrer gemeinsamen Eigenvektoren. Diese haben also einen rein geometrischen Charakter: Sie hängen nur von den beteiligten Drehimpulsen und deren Orientierung ab, nicht aber von der physikalischen Natur der dynamischen Variablen 1 und 2, aus denen man die Drehimpulse bildet. Man nennt sie Clebsch-Gordan-Koeffizienten (C.-G.-KoeffIzienten) oder VektoradditionskoeffIzienten. Wir bezeichnen sie im folgenden mit dem Symbol <i1 iz m1 m2 I J M >. Mit dieser Bezeichnung lautet die Beziehung (13.107):

locili2 JM) = L locjli2 ml m2) <ili2 m1 m2IJM). (13.108) mim!

Zur eindeutigen Definition der C.-G.-KoefflZienten müssen die Phasen der Vektoren I ai1 i2 J M> festgelegt werden. Für die relativen Phasen der (2J + 1) zum selben Wert von J gehörenden Vektoren übernehmen wir die üblichen Vereinbarungen aus Abschnitt 13.1.5. Die Vektoren sind also bis auf eine von J abhängige Phase bestimmt. Diese legt man durch die Forderung fest, daß die Komponente von I ai1 iz J J> in Richtung von lai! iz i1 J - il > reell und positiv ist, d.h.

(13.109)

64 13 Der Drehimpuls in der Quantenmechanik

Viele Eigenschaften der C.-G.-Koeffizienten ergeben sich unmittelbar aus ihrer Definition.

Damit <jl j2 ml m2 I J M> nicht Null ist, ist aufgrund des Additionstheorems notwendig (Auswahlregeln), daß gleichzeitig gilt:

Weiter unten zeigen wir, daß sich alle C.-G.-KoeffIzienten zu einem bestimmten Wert von J mit Hilfe von Rekursionsformeln mit reellen KoeffIzienten aus dem reellen KoeffIzienten <jl j2 jl J - jl I J J> ergeben. Daher sind alle C.-G.-KoeffIzienten reell.

Als die KoeffIzienten einer unitären Transformation genügen sie weiter den Orthogonalitätsre/ationen:

(13.110 a)

(13.110 b)

Bei den einfachsten Fällen kann man die Linearkombinationen (13.108) direkt bestimmen. Man beachte, daß für J = jl + j2 und M = J gilt:

lajlj2jl +j2jl +j2>= lajd2jlh>·

Durch wiederholte Anwendung von J_ == jl_ + j2_ auf die beiden Seiten dieser Gleichung konstruiert man alle Vektoren I ajl j2 J M > zu J = jl + j2. Darauf bildet man die Vektoren zu J = jl + j2 - 1. Man beginnt mit dem Vektor zu M = J. Dieser ist durch seine Orthogonalität zu I ajl j2 jl + j2 jl + j2 - 1 > und die Phasenbedingung (13.109) eindeutig bestimmt. Aus ihm ergeben sich dann alle anderen durch wiederholte Anwendung von .J... Und so fort.

Für den Fall der Addition zweier Spins Vz erhält man auf diese Weise die Eigenvektoren des Gesamtspins in Abhängigkeit von den Eigenvektoren I + + >, I + - >, I - + > und I - - > der Einzelspins. In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse zusammengefaßt :

M=l

M=O

M=-l

S=l

111> = 1+ +> 110> = 1+-> + 1- +>

V2 11 -1> = 1-->

100> = 1+-> ~I- +>

Für die Addition höherer Drehimpulse sind die Rechenmethoden aufwendiger. Man kann verschiedene Rekursionsformeln aufstellen (GIn. (C. 18-20)). Durch Anwendung von J+ oder J_ erhält man insbesondere:


vJ(J + l)-M(M + 1) <ili2mlm2lJ M+1>

= Vil(iI + 1)-m1 (m1 -1) <il i2 m1-1 m21J M> (13.111)

+ VMi2 + 1)-m2(m2-1) <iIi2 ml m2- 1 IJM>

VJ(J + l)-M(M -1) <iIi2mlm2lJ M-1 >

= ViI(jl + 1)-m1 (m1 + 1) <iIi2 m1 +1 m2IJM> (13.112)

+ Vi2(j2 + 1) -m2(m2 + 1) <ili2ml m2+11J M>.

Wenn M = J ist, verschwindet die linke Seite von (13.111). Die Anwendung dieser Formel liefert also alle Koeffizienten <iI i2 mi m2 I J J > als Vielfache von z.B. <iI i2 ii J - ii IJ J>. Durch die Normierungsbedingung für den Vektor laii i2 J J >

(~mIm2 <iI i2 mi m2 I JJ>2 = 1) und die Phasenbedingung (13.109) sind sie dann vollständig bestimmt. Alle übrigen C.-G.-Koeffizienten ergeben sich hieraus durch wiederholte Anwendung der Rekursionsformel (13.112). Diese Methode ist von Racah angewandt worden, um die C.-G.-Koeffizienten in der verkürzten Form (C.21) auszudrücken 26).

Neben den hier angegebenen Eigenschaften besitzen die C.-G.-Koeffizienten bemerkenswerte Symmetrieeigenschaften, die ihre Tabellierung sehr erleichtern. Sie sind zusammen mit den grundlegenden Eigenschaften der C.-G.-Koeffizienten im Anhang (Abschnitt C.l) aufgeführt. Dort findet man auch eine Tabelle der einfachsten KoeffIzien ten.

13.5.5 Anwendung: Zwei-Nukleonen-Systeme

Als Anwendungsbeispiele für die Addition von Drehimpulsen bei drehinvarianten Systemen wählen wir das in Abschnitt 13.4.6 behandelte System aus zwei Nukleonen. Wir untersuchen das Eigenwertproblem des Hamilton-Operators für die verschiedenen Formen des spinabhängigen Potentials. Dabei beschränken wir uns auf Potentiale vom Typ (13.99).

Das Potential habe die Form:

In diesem Fall kommutiert der Hamilton-Operator mit L und S, und seine Eigenfunktionen sind Produkte aus den Spinfunktionen I S J.l. > mit den von r abhängigen Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses. Gemäß der Identität (13.106) nimmt das Potential für S = 0 und S = 1 verschiedene Werte an. Es ergeben sich also je nach dem Wert von S zwei Schrödinger-Gleichungen für ein Teilchen (ohne Spin)

26) Bei der Rechnung benötigt man die folgende, auf Racah zurückgehende Identität:

~ (a + s)! (b -s)! _ (a + b + 1)! (a -e)! (b -d)! ~ (e + s)! (d - s)! - (e + d)! (a + b - e - d + 1)!

.,

(a, b, c, d ganz mie a ;;. C ;;. 0, b ;;. d ;;. 0; s ganz nimmt alle Werte von - c bis +d an).


in einem Zentralpotential. Ist S = 0, so ist der Bahndrehimpulsanteil der Eigenfunktion gleich der Eigenfunktion für ein (spinloses) Teilchen im Potential VI - 3 V2; ist S = 1, so ergibt sich entsprechend die Eigenfunktion eines Teilchens im Potential Vi + Vz. Das Eigenwertproblem reduziert sich auf eine Radialgleichung fur jedes Wertepaar (L S).

Hat das Potential die Form:

V = Vdr) + Vz(r) (01.0Z) + V3 (r) (L.S),

so ist der Hamilton-Operator nicht mehr gegenüber getrennten Drehungen des Orts- und des Spinraums invariant, da er aber stets mit L2 und S2 vertauscht, kann man nach den gemeinsamen Eigenlösungen von L2, S2, J2 und Jz suchen. Zu jedem Werte tripel gehört ein Funktionentyp, dessen Abhängigkeit von den Winkeln 8 und I{J und den Spinvariablen völlig bestimmt ist. Unter Verwendung der c.-G.KoeffIzienten kann er explizit angegeben werden:

7fsJ == F(r) 1lrSJ

1lfsJ= L y~(e,q» ISI1-) <LSmI1-IJM). (13.113)

So haben die drei Funktionen für den Zustand lPI die "Winkel abhängigkeit"

1lfol = yr\OO) (M = 0, ± 1)

und die fünf Funktionen zum Zustand 3Dz:

1l;~~ = L Y:1111-> <21mI1-12M> (M = 0, ± 1, ± 2). mlL

Aufgrund der Identitäten (13.100) und (13.101) wirkt der Hamilton·Operator auf eine Funktion dieses Typs wie folgt:

AI [fi.2 1 d2 fi.2 L(L + 1) ].\1

H'P'LSJ= - Mo r dr2r + Mo r2 + VLSJ 'P'LSJ

mit

VLSJ(r) = VIer) + [2S(S + 1)-3] V2(r) + l[J(J + 1) - L(L + 1) - ses + 1)] V3 (r).

Das führt zu folgender Radialgleichung :

[

fi.2 1 d2 fi.2 L(L + 1) ] - Mo r dr2r + Mo r2 + V LSJ(r) F(r) = EF(r).

Die Rechnung verläuft also, als wenn man es mit einem Teilchen (ohne Spin) in einem Zentralpotential zu tun hätte. Der einzige Unterschied besteht darin, daß das "effektive Zentralpotential" VLSJ (r) von einem Wertetripel (L S J) zum andern verschieden ist 27) •

.,) Fußnote 27 siehe Seite 67.


Als letztes Beispiel untersuchen wir den Fall, bei dem das Potential die Form

V = Vc(r) + VT(r) S 12

hat. Wegen des Auftretens der "Tensorkraft" kommutiert der Hamilton-Operator nicht mehr mit L2

• Er vertauscht jedoch stets mit S2 und mit dem in Abschnitt 13.4.6 eingeftihrten ,,Paritätsoperator" P. Folglich kann man die Eigenfunktionen von H unter den gemeinsamen Eigenfunktionen von P, S2, J2 und Jz suchen, d.h. unter den Funktionen zu bestimmtem Gesamtdrehimpuls (J M), zu bestimmter Parität und zu einem bestimmten Wert von S.

Ist S = 0, so ist notwendig L = J (also P = (-Y) und die Eigenfunktion hat die Form: F(r) 'M.%r Weil weiter SIOO > = 0 ist, ist wegen (13.102') klar, daß:

S12 'MJ~J == S12 yy (6, <p) 100> = O.

Folglich ist F(r) Lösung der Radialgleichung fur ein Teilchen mit dem Drehimpuls J im Potential Vc (r).

Ist S = 1 und P = (-)', so ist notwendig L = J, und die "Winkelabhängigkeit" der Eigenfunktion liegt wie im vorhergehenden Fall fest: 'Y;;J = F(r) "J~J . Weiter kann man zeigen (s. Aufgabe 11), daß S12 'MXJ = 2";~J' F(r) ist also Lösung der Radialgleichung flir ein Teilchen mit dem Drehimpuls J im Potential Vc(r) + 2 VT(r).

Ist S = 1 und P = (-Y+ 1, so sind die einzig möglichen Eigenwerte von L: J + und J - 1 (vorausgesetzt, daß J * 0 ist; für J = 0 hat man nur den einen Wert L = 1). Die Eigenfunktion hat darum die Form:

'Y == F J-I (r) 'M_ + F J+ I (r) 'M+"

Hier wurde zur Abkürzung 'M 1: == 'My", I IJ gesetzt. Die Wirkung von S 12 auf 'M+ oder,,_ ergibt eine Kombination dieser beiden Funktionen (Aufgabe 11). Daher ist auch (H - E) q, eine Linearkombination dieser beiden Funktionen, wobei die KoeffIzienten von r abhängen. (H - E) q, = 0 bedeutet das Verschwinden dieser KoeffIzienten. Man erhält ein System von zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung für FJ-l (r) und FJ+l (r).

Für J = 1 schreiben wir dieses gekoppelte Gleichungssystem an. Dieser Fall tritt bei der Behandlung des Deuterons auf. Die Wellenfunktion ist ein Gemisch aus 3S I _ und 3D 1-Zuständen, hat also die Form:

lTJ' 1 ( ) '1,.11 1 ( ) '1,.11 I == r Us r ""11 + r UlJ r ";!II"

27) Für S = 0 verschwindet die Spin-Bahn-Kraft und man hat flir jedes L und jedes J:

JiOL = V, - 3 V2 •

Ist S = 1 und L = J, so hängt das "effektive Potential" nicht von Lab:

VLlL = V, + V2 - va.


Weil (s. Aufgabe 11):

,![ ./- M S12 11011 = V 8 11211

L2 1IO~l = 0 (13.114)

und

fi.2 1 d2 fi.2 L2 ,. H == -M - d2r + M 2 + V c(r)+ V T(r) "12' o r r or

ist die Gleichung (H - E) 'Ir = 0 äquivalent zu:

(13.115)

13.5.6 Addition von drei und mehr Drehimpulsen. Racah-Koeffizienten. 3s j-Symbole

Das im vorigen Abschnitt behandelte Zwei-Nukleonen-System lieferte ein besonders einfaches Beispiel fiir die Addition von drei Einzeldrehimpulsen (GI. (13.103», bei dem keine aufwendige Rechentechnik erforderlich war. Wir untersuchen jetzt das Problem der Addition von drei Drehimpulsen ganz allgemein.

Das System setze sich also aus drei verschiedenen Teilsystemen 1, 2 und 3 mit den Drehimpulsen i! ,i2 und h zusammen. Der Gesamtdrehimpuls ist dann:

J = iI + i2 + h· Das Additionsproblem besteht darin, in dem (2i! + 1) (2i2 + 1) (2i3 + l)-dimensionalen Unterraum, der von den Eigenvektoren

!Ci.ili2h ml m2 m3 > der Einzeldrehimpulse aufgespannt wird, die Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses zu bilden. Ci. ist dabei wie in Abschnitt 13.5.2 definiert, spielt aber im folgenden keine Rolle und wird einfach unterdrückt.

Für die Konstruktion der Vektoren zum Drehimpuls (J M) gibt es verschiedene Möglichkeiten:

1. kann man (Abb. 13.4 a) il und i2 zum Drehimpuls JI2 = il + h koppeln und anschließend JI2 und h zu J. Man erhält so die zu i;./j ,fi, J[2' J2 und Jz gemeinsamen Eigenvektoren

IVI ;2) J 12';3; JM>

= L lit;2;3 ml m2m3> <;1;2mlm2IJI2M12> <J12;3M12m3IJM> (13.116) mIm • . MuTn.

a) it + j. = 11% 111 + j. = 1


b) j. + j. = 1 •• jl +1 .. = 1

Abb. 13.4 Möglichkeiten tür die Kopplung von drei Drehimpulsen.

2. kann man (Abb. 13.4 b) i2 und h zu J23 = i2 + h koppeln und dann il und J23 zu J. Man bekommt dann die zu i; , /i. , i; , .Ji3' J2 und Jz gemeinsamen Eigenvektoren

111' (j2Ia)J23 ; JM>

= L 11112Iamlm2ma><12Iam2maIJ23M23><IIJ23mlM2aIJM> (13.117) m, m3

mlM ..

3. kann man i1 und i3 zu J13 koppeln und dann J13 und i2 zu J.

Man hat also die Wahl zwischen drei verschiedenen Basissystemen des Gesamtdrehimpulses. Bei vielen Problemen erweist es sich als nützlich, von einer Basis zur anderen übergehen zu können. Dieser Übergang geschieht durch eine unitäre Transformation. So hat man z.B.:

111' (j2Ia)J23; JM>= LI (jl 12) J w la; JM> <(il 12) J 12, la Jlit, (j2Ia) J 2a J> (13.118) J"

Die hierin auftretenden Koeffizienten hängen offensichtlich aus denselben Gründen wie die C.-G.-Koeffizienten nicht von a ab. Wendet man auf (13.118) J+ oder J_ an, so sieht man leicht, daß sie auch nicht von M abhängen. Sie hängen also nur von den sechs Drehimpulsen il' i2' h, J 12 , J23 und J ab.

Anstatt nun unmittelbar diese Koeffizienten zu verwenden, ist es bequemer, sich der Racahschen W-Koeffizienten oder der Wignerschen 6i-Symbole zu bedienen, mit denen sie über die folgenden Relationen zusammenhängen:

<(j112) J 12, la Jlll' (i2 la)J23 J> = vi (2J12 + 1) (2J23 + 1) WUl 12 Jj3 ; J 12 J 23) \' . J I

= (-)it+J2+J3f J \/(2JI2 + 1)(2J23 + 1) I ;~~ J: \

Die W-Koeffizienten sind nach ihrer Definition eine Summe über die "m"-Indizes von vier C.-G.-Koeffizienten. Von den einfachsten Sonderfällen abgesehen, ist die direkte Berechnung dieser Koeffizienten sehr mühselig: Man muß eine große Zahl von C.-G.-Koeffizienten berechnen, um mit diesen dann einen komplizierten Ausdruck zu bilden. Racah gelang es, für die W-Koeffizienten einen handlichen Ausdruck zu finden (GI. (C.36». Für die am häufigsten vorkommenden W-Koeffizienten gibt es Tabellen.


Die 6i-Symbole unterscheiden sich von den W-Koeffizienten nur durch das Vorzeichen. Sie sind vor allem wegen ihrer Symmetrieeigenschaften von Interesse. Die wichtigsten Eigenschaften der W-Koeffizienten und der 6i-Symbole sind im Anhang (Abschnitt C.2) zusammengestellt.

Das hier ftir die Addition von drei Drehimpulsen beschriebene Verfahren kann auf die Addition einer größeren Zahl von Drehimpulsen verallgemeinert werden:

J = i1 + i2 + ... + in· (13.119)

Nach der Kopplung von zwei Einzeldrehimpulsen: ii + ik = Jik wird man auf die Addition von (n - 1) Drehimpulsen ge fUhrt, wobei die Vektoren ii und ik auf der rechten Seite von (13.119) durch ihre Summe Jik ersetzt werden. Wiederholt man diese Operation, so gelangt man zur Addition von (n - 2) Drehimpulsen, und so fort. Nach (n - 2) Zwischenschritten hat man dann die n Drehimpulse addiert und erhält ein Basissystem des Gesamtdrehimpulses.

Man kann auf diese Weise mehrere verschiedene Basissysteme konstruieren. Für n = 3 gab es drei. Allgemein kann man zeigen, daß Yz n! Systeme existieren. Durch unitäre Transformation (mit reellen KoeffIzienten) gelangt man von einem System zum anderen. Man bestätigt leicht, daß die Koeffizienten dieser Transformation weder von den Quantenzahlen a noch vom Eigenwert M der Komponente Jz von J abhängen. Sie hängen allein ab von den Quantenzahlen J, il i2, ... ,in und von den beiden Folgen von (n - 2) Quantenzahlen Jik, die den Betrag der das Basissystem charakterisierenden intermediären Drehimpulse angeben. Insgesamt gibt es 1 + n + 2 (n - 2) = 3 (n - 1) "j"-Quantenzahlen. Die Koeffizienten kann man auf die Form von 3 (n - 1) i-Symbolen bringen, eine Verallgemeinerung der bei der Addition von drei Drehimpulsen auftretenden 6i-Symbole. Die 3 (n - 1)i-Symbole sind Summen über die "m"-Indizes von 2(n - 1) C.-G.-KoeffIzienten. Im Anhang (Abschnitt C.3) findet man die wichtigsten Eigenschaften der 9i-Symbole (flir die Addition von vier Drehimpulsen).

13.6 Irreduzible Tensoroperatoren 28)

13.6.1 Darstellung von skalaren Operatoren

Ist eine Observable drehinvariant, so ist der Unterraum jedes ihrer Eigenwerte invariant gegenüber Drehungen. Auf diese Eigenschaft wurde bereits in Abschnitt 13.3.8 hingewiesen. Bisher war der Hamilton-Operator untersucht worden, doch ist klar, daß es sich hierbei um eine allgemeine Eigenschaft skalarer Observabler handelt .

.. ) Für eine systematische Darlegung der Algebra irreduzibler Tensoren und ihrer Anwendungen in der Quantenmechanik siehe U. Fano und G. Racah, lrreducible tensorial sets, New-York: Academic Press Inc. 1959.

Irreduzible Tensoroperatoren 71

Allgemeiner wird eine skalare Observable in einer bestimmten Standarddarstellung durch eine besonders einfache Matrix dargestellt, selbst wenn sie dort nicht diagonal ist.

Seien nämlich i" J M > die Basisvektoren einer {J 2 Jz} -Standarddarstellung (Bezeichnungen wie in Abschnitt 13.1.5). Sei S ein skalarer Operator (nicht notwendig eine Observable). Nach Voraussetzung ist

[J, S1 = O.

Folglich ist der Vektor SIr' J' M' > wie 17' J' M' > ein Drehimpulseigenvektor zu (J' M'): Er ist orthogonal zu jedem Vektor mit dazu verschiedenem Drehimpuls. Daher ist das Matrixelement < 7 J M IS I 7' J' M' > Null, wenn J *- J' oder wenn M *- M'. Für J = J' und M = M' hat man dann, weil J+ mit S kommutiert:

<1'JMIS/1" JM> = [J(J + 1) -M(M -1)rt <1'JMISJ+/1" J M-l >

= [J(J + 1) -M(M -l)r! <1'JMIJ+Sj't" J M-l >

= <1'J M-lISI1" J M-l >. Das Matrixelement hängt also nicht von M ab. Beide Eigenschaften faßt man in der Beziehung

(l3.120)

zusammen, worin S~ eine nur von J, 7 und 7' abhängige Größe ist. Falls Seine Observable ist, so ist die Matrix S(~ hermitisch und diagonalisierbar.

1'T

13.6.2 Irreduzible Tensoroperatoren. Definition

Wir wollen die Beziehung (13.120) auf Operatoren verallgemeinern, die bei Drehungen nicht mehr invariant bleiben, aber ein einfaches Transformationsverhalten zeigen. Das sind die irreduziblen Tensoroperatoren.

Der Begriff des Tensoroperators ist eine Verallgemeinerung des Vektoroperators.

Zunächst die Definition eines Tensors. Sei ßn ein n-dimensionaler Raum, dessen Vektoren bei einer Drehung durch eine lineare Transformation auseinander hervorgehen: Jeder Drehung ist ein linearer Operator dieses Raumes zugeordnet. Nach Definition sind die Vektoren dieses Raumes Tensoren mit n Komponenten. Die Spinoren haben zwei und die Vektoren des gewöhnlichen Raumes drei Komponenten, die Ket-Vektoren eines quantenmechanischen Systems haben unendlich viele Komponenten. Schließlich bestehen die Vektoren eines Unterraumes ß(TJ), wie er in Abschnitt 13.1.5 definiert wurde, aus (2J + 1) Komponenten.

Wählt man im Raum ß n eine Basis, so wird jeder Vektor durch seine n Komponenten dargestellt und seine Drehung wird beschrieben durch die Wirkung einer Matrix mit n Zeilen und n Spalten auf diese n Komponenten. So geschieht die Drehung eines Vektors des gewöhnlichen Ortsraumes, der durch seine drei kartesischen Komponenten gegeben ist, durch die in Abschnitt 13.3.1 definierte Matrix ~. Entsprechend wird im Raum ß (TJ) nach Wahl einer Standardbasis jeder Vektor [u> dieses Raumes durch die (2J + 1) Komponenten UM == < TJ M[u > dargestellt und die Komponenten uM des vermittels der Drehung ~ (01 Ih) transformierten Vektors ergeben sich aus den UM durch (s. Abschnitt 13.3.7):


(13.121 )

Als weiteres Beispiel betrachten wir die neun Größen Viii)', i,i = 1,2, 3, die man erhält, wenn man jede Komponente des Vektors V mit jeder Komponente des Vektors W multipliziert. Das sind die neun Komponenten eines Tensors 2. Stufe, den wir mit V@ W bezeichnen wollen. Nach der Drehung ~ sind seine Komponenten

[V@Wlq == V/Wj = ~ik ~J7 Vk Wr

= ~ik ~]7[V@Wlkl.

Unter den vielen Tensoren, die man auf diese Weise bilden kann, spielen die irreduziblen Tensoren eine bevorzugte Rolle. Ein Tensor heißt irreduzibel, wenn der Raum Ihm in dem er definiert ist, gegenüber Drehungen irreduzibel ist.

Die Vektoren des gewöhnlichen Raumes, die Spinoren, die Vektoren eines Raumes Ih (Tl)

sind irreduzible Tensoren.

Dagegen ist der Tensor V@Wreduzibel. Der Raum nämlich, in dem er definiert ist, ist die Vereinigung von drei ein-, drei-, bzw. fünfdimensionalen invarianten Unterräumen, die gegenüber Drehungen irreduzibel sind. Irreduzible Tensoren sind die Projektionen von V@W auf jeden dieser Unterräume: Das sind bis auf eine Konstante das Skalarprodukt V. W, der Vektor V X Wund ein irreduzibler Tensor mit fünf Komponenten, die sich bei einer Drehung wie die harmonischen Polynome 2. Grades (s. Abschnitt B.lO) transformieren •• ).

Entsprechend sind die (2i, + 1) (2i. + 1)-dimensionalen Vektoren aus Abschnitt 13.5.2 reduzible Tensoren. Ihre Zerlegung in irreduzible Bestandteile ist durch das Additionstheorem bestimmt.

Man gelangt vom Begriff des Tensors zu dem des Tensoroperators genau wie vom Vektor zum Vektoroperator. Transformieren sich bei einer Drehung n Operatoren nach demselben Gesetz wie n linear unabhängige Vektoren eines Raumes Ihn, so sind sie die Komponenten eines n-dimensionalen Tensoroperators 30). Durch lineare Transformation dieser n Komponenten kann man n neue Operatoren bilden, die man als die Komponenten desselben Tensoroperators in einer anderen Darstellung auffassen kann. Ist der Raum Ihn irreduzibel, so heißt der Tensoroperator irreduzibel.

Die Vektoroperatoren bilden eine spezielle Klasse von irreduziblen Tensoroperatoren.

Sind V und W zwei Vektoroperatoren, so sind die neun Operatoren V;1i)' die Komponenten eines reduziblen Tensoroperators. Dieser ist die Vereinigung von drei irreduziblen Tensoroperatoren: dem Skalar V. W, dem Vektor V X W und dem Tensoroperator, der zum Beispiel durch die in der Fußnote 29 angegebenen Komponenten definiert ist .

• 9) Die Drehmatrizen hängen offensichtlich von der für diesen Tensor gewählten Darstellung ab. In der Darstellung, in der die Komponenten

!(V,W. + V.lV,), HV 2 W. + V.W.), HV,W, + V,W.), V,W, - V.W., 2V.W. - V,W, - V.W.

lauten, transformieren sie sich nach demselben Gesetz wie die voneinander linear unabhängigen Polynome

xy, yz. zx, x' - y', 2z' - x' - y'.

30) Dieses Transformationsgesetz ist also nicht dasselbe wie das für die Komponenten der Vektoren des Raumes Ihn in Richtung seiner n Basisvektoren. Genauso ist das Transformationsgesetz (13.54) für die Komponenten des Vektoroperators K nicht dasselbe wie das Gesetz (13.43) für die Transformation der Komponenten des Vektors V entlang demselben Basissystem. Man beachte insbesondere den Unterschied zwischen (13.122) weiter unten und (13.121).


Ein Tensoroperator ist eindeutig bestimmt, wenn man bei einer Drehung das Transformationsgesetz seiner Komponenten in einer bestimmten Darstellung kennt:

Die (2k + 1) Operatoren T~k) (q = -k, -k + 1, ... , k) heißen die Standardkomponenten eines irreduziblen Tensoroperators k-ter Stufe T(k), wenn sie sich bei Drehungen nach dem Gesetz

RT(k) R-l - "T(!;) R(k) q - L q' q'q ,,'

transformieren.

(13.122)

Das ist dasselbe Transformationsgesetz wie für die Basisvektoren I kq > einer Standarddarstellung in einem (2k + 1)-dimensionalen, gegenüber Drehungen irreduziblen Raum:

R Ikq) = L Ikq') R~~:I 'I'

Das Gesetz (13.122) ist für jede Drehung erftillt, wenn es für jede infinitesimale Drehung gilt. In diesem Fall ist der Operator R durch Gleichung (13.55) gegeben, die Matrix R(k) ergibt sich leicht aus der Defmitionsgleichung (13.64), und das Gesetz (13.122) ist äquivalent zu den folgenden Vertauschungsrelationen zwischen den T4k) und den Komponenten des Gesamtdrehimpulses:

[J (k)] • / (k) ±, Tq = V k(k + l)-q(q ± 1) T"I-!

[J T (k)] - q T(k) Z' 'I - q'

(13.123 a)

(13.123 b)

Diese Relationen vergleiche man mit den Beziehungen (13.23-25). Sie stellen eine Definition des irreduziblen Tensoroperator T(k) dar, die zur obigen streng äquivalent ist.

Repräsentieren die Tr) physikalische Größen, so sind sie gegenüber einer Drehung um 2rr invariant, also ist k notwendig ganzzahlig (s. Abschnitt 13.3.6). Wir beschränken uns im folgenden auf solche Operatoren.

Man zeigt leicht, daß die (2 k + 1) Operatoren

S~c) == (_)q T~~t

die Relationen (13.123) erftillen (Aufgabe 16) und damit als die Standardkomponenten eines irreduziblen Tensoroperators k-ter Stufe, S(k), aufgefaßt werden können. Nach Defmition sind S(k) und T(k) zueinander hermitisch konjugiert:

S(k) = T(k)t

(Weil k ganz ist, handelt es sich hierbei um eine reziproke Operation).

Skalare sind irreduzible Tensoroperatoren nullter Stufe, Vektoroperatoren solche erster Stufe: Sind Kx• Ky , Kz die kartesischen Komponenten eines Vektoroperators, so sind seine Standardkomponenten


(Man beachte, daß die Koeffizienten von den in den GIn. (13.94) auftretenden verschieden sind).

Faßt man die (2k + 1) Kugelfunktionen Yff (q = -k, ... , + k) als Operatoren auf, so stellen sie die Standardkomponenten eines irreduziblen Tensoroperators k-ter Stufe dar.

13.6.3 Darstellung von irreduziblen Tensoroperatoren. Wigner-Eckart-Theorem

Das Wigner-Eckart-Theorem gibt die grundlegende Eigenschaft irreduzibler Tensoroperatoren an:

In einer {J2 Jz}-Standarddarstellung mit den Basisvektoren IT J M > ist das Matrixelement < T J M I T~kJ I T' J' M' > der q-ten Standardkomponente eines i"eduziblen Tensoroperators k-ter Stufe, T(kJ, gleich dem Produkt des Clebsch-Gordan-Koeffizienten <f' kM' q IJ M> mit einer von M, M' und q unabhängigen Größe.

Es gilt also:

('d MIT(k)I-r' J' M'> = 1 (-rJIIT(k)II-r' J'> (J'kM'qIJM>. (13.125) q V2J + 1

< T J 11 T(k) 11 T' f' > hängt vom jeweiligen Tensoroperator und den Indizes T, J und T',

f' ab. Man nennt diese Größe reduziertes Matrixelement (der Faktor 1/v'2J + 1 ist lediglich zweckmäßig).

Zum Beweis dieses Theorems betrachten wir die (2k + 1) (2J' + 1) Vektoren r<k)1 T' J' M' > (q = - k, ... , + k; M' = -f', ... , + J') und die folgenden Lineark6mbinationen dieser Vektoren:

Icr JnM"> = L T~k)I-r' J' M'> (J'k M 'qIJnj\1">. M'q

Wegen der Orthogonalitätseigenschaften der C.-G.-KoeffIzienten, GIn. (13.110b), hat man offensichtlich:

T~k)I-r' J' M'> = L Icr J" Mn> (J'k M'qIJ" M">. (13.126) j"M"

Man beachte, daß die Vektoren ~k)1 T' J' M' > nicht notwendig voneinander linear unabhängig sind, daß also einige der I a J" M" > verschwinden können.

Nach den Gleichungen (13.123 a) und (13.24) ist:

J+ T~k)'-r'J'M'> = [J+> T~k)]I-rIJIM'> + T~k)J+I-r'JIM'> = Vk(k + 1) -q(q + 1) T~~I 1-r'JIM'>

+ VJ'(J' + 1)-M'(M' + 1) T~k) 1-r'J' M'+l>


und folglich

J+ laJ" 1\1") = L r<,;C) 1-r'J'M') h/k(k + 1) -q(q-l) a'k 1'.1' q-lIJ" M") .II'q

+ Y J'(J' + 1) - M'(M' -1) a'k M'-1 qlJ" MI') \

Aus der Rekursionsbeziehung (13.111) für die C.-G.-KoeffIzienten folgt, daß die Klammer auf der rechten Seite gleich

yJII(JII + 1)-M"(M" + 1)<J'kM'qIJII 1\1"+1)

ist. Damit ergibt sich:

J+ laJ" 1\1n) = yJ"(J" + 1)-1\1"(M'1 + 1) laJl' lW+l)_

Analog zeigt man:

J_laJ'1 1\1'/) =yJ"(J" + 1)-M"(M"-I) lar M-l)

J t la J" M II ) = M" la JII Ar).

Aus diesen drei Beziehungen schließen wir, daß die (21" + 1) Vektoren 1 aJ" M" > zum selben Wert von JII

(i) entweder alle Null sind oder

(ii) (nicht normierte) Eigenfunktionen zum Drehimpuls (.I" MI), die sich auseinander in der üblichen Weise ergeben.

Also verschwinden alle Skalarprodukte < r J Mla J" MI' > bis auf möglicherweise die mit J" = J und M" = M, d.h. bis auf die (2J + 1) Produkte< r J MI aJ M>. Diese sind von M unabhängig. Hieraus ergibt sich schließlich die Behauptung, denn für das Matrixelement <rJM11t)lr' J'M'> gilt wegen (13.126):

<-rJMIT~")IT'J'M') = L (-rJ M/aJ" "\-fR) a'k M'qfJ" M"). l"MO

Zu den wichtigsten Folgerungen aus dem Wigner-Eckart-Theorem gehören die Auswahlregeln:

Für das Nichtverschwinden des Matrixelements <rJMlnk)lr'J'MI> ist notwendig, daß gleichzeitig: q

q =M-M'

IJ - 1'1 ~ k ~ J + J'.

(13.127)

(13.128)

Diese beiden Regeln folgen unmittelbar aus dem Auftreten des C.-G.-KoeffIzienten auf der rechten Seite von (13.125). In der Praxis ist die zweite dieser Regeln die wichtige. Man drückt das häufig durch folgendes Korrolar aus 31):

3') Hierbei ist A(k) nicht notwendig eine Standardkomponente. Jede Linearkombination aus Standardkomponenten besitzt diese Eigenschaft.


Ist A(k) die Komponente eines irreduziblen Tensoroperators k-ter Stufe, so sind die Matrixelemente von A(k) zwischen den Vektoren zu J, J' notwendig gleich Null, falls k nicht den Ungleichungen

i J - l' 1 ~ k ~ J + J'

genügt.

13.6.4 Anwendungen

Für das Wigner-Eckart-Theorem gibt es zahlreiche Anwendungen in der Atom- und der Kernphysik, insbesondere in der Theorie der ß-Radioaktivität, der Emission elektromagnetischer Strahlung und allgemein bei allen Problemen mit Richtungskorrelationen.

Als Beispiel untersuchen wir die Emission elektromagnetischer Strahlung durch einen Atomkern (r-Strahlung). Durch Aussendung eines r-Quants gehe der Kern aus dem angeregten Zustand X* in seinen Grundzustand über

X* ~ X + y.

Seien J, J' die Spins (d.h. die Gesamtdrehimpulse) des Kerns im Zustand X bzw. X*. In der Theorie der r-Strahlung zeigt man, daß die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, daß ein r-Quant mit der Polarisation v in die Richtung il = (e, 1/') ausgesendet wird, proportional zum Matrixelement

< .. rJMIH(ü, V)IT' J' M')

eines bestimmten Operators H(il, v) zwischen den Vektoren des Anfangs- und des Endzustandes ist 32). H kann man nach Kugelfunktionen entwickeln, worauf wir hier nicht im einzelnen eingehen 33). Es ergibt sich eine Reihe aus irreduziblen Tensoroperatoren, die sich nach der Parität in zwei Arten unterscheiden: die elektrischen und die magnetischen Multipolmomente. Das elektrische 2(Polmoment O(!) ist ein irreduzibler Tensoroperator !-ter Stufe mit der Parität (_)/, das magnetische 2(Polmoment M(!) ist ein irreduzibler Tensoroperator !-ter Stufe mit der Parität (_)1+1. Von den am häufigsten auftretenden Multipolmomenten nennen wir:

(i) das magnetische Moment (im üblichen Sinne): das ist das magnetische Dipolmoment M(1);

(ii) das Quadrupolmoment (im üblichen Sinne): Das ist das elektrische Quadrupolmoment 0(2).

Aufgrund der Auswahlregeln für Tensoroperatoren liefern nur die Momente nichtverschwindende Anteile, für die

IJ - J' 1 ~ I ~ J + l' (13.129)

32) S. Abschnitt 21.4.6.

33) S. J. Blatt und V. Weisskopf, Theoretische Kernphysik, Leipzig 1959.


gilt (außerdem gibt es eine Paritätsauswahlregel, auf die wir hier nicht eingehen). Nach dem Wigner·Eckart·Theorem sind weiter die Anteile der Komponenten eines solchen Moments proportional zum Clebsch·Gordan·Koeffizienten <J' 1M' m IJ M >. Um alle zu erhalten, genügt die Kenntnis des Proportionalitätsfaktors, d.h. des re· duzierten Matrixelements < T JII 0(/)11 T' J' >. Die übergangswahrscheinlichkeit ist also vollständig bestimmt, wenn man die redu· zierten Matrixelemente der Multipolmomente kennt, die den Auswahlregeln genü· gen. Die Multipolentwicklung konvergiert gewöhnlich rasch, und höchstens die er· sten beiden Momente liefern nicht vernachlässigbare Anteile.

Die geraden Multipolmomente (M(l), 0(2), ... ) treten auf, wenn man die Energie· verschiebung für ein Atom oder einen Kern in einem statischen elektromagneti· schen Feld berechnet. So erlaubt die Kopplung eines Kerns mit einem konstanten Magnetfeld die Messung seines magnetischen Moments, und seine Kopplung mit einem inhomogenen elektrischen Feld ermöglicht die Bestimmung seines Quadrupol· moments. Was man mißt, ist der Mittelwert dieser Operatoren fur den Zustand, in dem sich der Kern befmdet, d.h. die Matrixelemente < T J MIM~) I T J M' >, <TJMI~)ITJM'> USW., oder was auf dasselbe hinausläuft, die Diagonalelemente der reduzierten Matrix:

Notwendig ist das magnetische Moment Null, wenn J = 0, und das Quadrupolmo· ment verschwindet, wenn J = 0 oder Yz ist. Allgemeiner ist das 2/·Polmoment eines Kerns mit dem Spin J gleich Null, wenn 2J < 1 ist.

Aufgaben 1. Aus den Gleichungen (13.24) und (13.25) leite man die Beziehungen (13.26)

und (13.27) her.

2. Man zeige, daß in jeder Darstellung, in der Jx und Jz reelle (also symmetrische) Matrizen sind, Jy eine rein imaginäre (also antisymmetrische) Matrix ist. (Anmerkung: Die Standarddarstellungen gehören zu dieser Kategorie).

3. Man zeige: Ein Operator vertauscht dann mit allen Komponenten eines Drehim· pulsvektors, wenn er mit zwei von ihnen vertauscht.

4. Sei 1 der Bahndrehimpuls eines Teilchens, 8 und .p seine Polarwinkel, P der "Paritätsoperator", der eine S}iegelung am Ursprung bewirkt. Seine Wirkung auf eine Funktion F(O,.p) ist definiert durch:

P!(rf>,.p) = F(rr - 0, .p + rr).

Man zeige, daß [P, I] ~ 0 ist. Weiter zeige man, daß die Kugelfunktionen eine wohlbestimmte Parität besitzen, die nur von der Quantenzahl 1 abhängt. Man bestimme sie.

5. Seien rund r' zwei Ortsvektoren, n == (O,.p), n' == (0', .p') ihre Polarwinkel, I und I' die zugehörigen DrehimpuIsvektoren. Sei a (0 ~ a ~ rr) der von rund r'

i= oc ili2 - Universität Kassel: Aktuelles · Orts- und des Spinraums invariant, da er aber stets...

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