Induktives Beweisen 6. Induktives Beweisen - Themenub ersichtls5- · Induktives Beweisen 6.1...

Induktives Beweisen

6. Induktives Beweisen - Themenubersicht

Ordnungsrelationen

Partielle OrdnungenQuasiordnungenTotale OrdnungenStriktordnungenOrdnungen und Teilstrukturen

Noethersche Induktion

Anwendung: Terminierungsbeweise

Verallgemeinerte Induktion

Anwendung: Fibonacci-Funktion

Strukturelle Induktion

Anwendung: Boolesche Terme

Vollstandige Induktion

Anwendung: Gesetze naturlicher ZahlenProf. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 144 / 182

Induktives Beweisen 6.1 Ordnungsrelationen

Partielle Ordnungen

Definition 6.1 (5.1)

Eine homogene Relation � ⊆ A× A heisst partielle Ordnung oder auchHalbordnung, gdw.

1 � ist reflexiv: ∀ a ∈ A. a � a

2 � ist antisymmetrisch: ∀ a1, a2 ∈ A. a1 � a2 ∧ a2 � a1 ⇒ a1 = a2

3 � ist transitiv: ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 � a2 ∧ a2 � a3 ⇒ a1 � a3

Beispiele

⊆ auf P(M) fur beliebige Grundmenge M.

Teilbarkeitsbeziehung | auf N.

Teilzeichenreihenbeziehung auf A∗ definiert durch:

w ′ v w ⇔df ∃w1,w2 ∈ A∗. w1 w ′ w2 = w .

Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2013 145 / 182


Partielle Ordnungen

Definition 6.2 (Ordnung auf N) (5.2)

Fur n,m ∈ N definiere wir eine Relation ≤ durchn ≤ m ⇔df ∃ k ∈ N. n + k = m.

Satz 6.3 (5.1)

≤ ist eine partielle Ordnung auf N.

→ Spater: ≤ ist total.



Partielle Ordnungen

Satz 6.3 (5.1)


Beweis (Reflexivitat): Sei n ∈ N. Fur k = 0 gilt dann n + 0 = 0 + n = n,also auch n ≤ n.



Partielle Ordnungen

Satz 6.3 (5.1)


Beweis (Antisymmetrie (1/3)): Seien m, n ∈ N mit n ≤ m und m ≤ n.Dann existieren Zahlen k1, k2 ∈ N mit :

n + k1 = m

m + k2 = n

Setzt man m aus der ersten Gleichung in die Zweite ein, erhalt man(n + k1) + k2 = n. Wegen der Assoziativitat und Kommutativitat derAddition folgt (k1 + k2) + n = n.



Partielle Ordnungen

Satz 6.3 (5.1)


Beweis (Antisymmetrie (2/3)): Gemaß der Definition der Additionnaturlicher Zahlen (siehe Definition 4.2(a)) folgt daraus

(k1 + k2) + n = 0 + n

und weiterk1 + k2 = 0

Es bleibt noch nachzuweisen, dass die bereits k1 = 0 impliziert.



Partielle Ordnungen

Satz 6.3 (5.1)


Beweis (Antisymmetrie (3/3)): Angenommen k1 ware von 0 verschieden.Dann gabe es nach Lemma 4.1 eine naturliche Zahl k ′1 mit k ′1 = s(k1) unddamit wegen der Definition der Addition naturlicher Zahlen auch mit:

k1 + k2 = s(k ′1) + k2Def.4.2.(a)

= s(k ′1 + k2).

Also ware k1 + k2 ein Nachfolger einer naturlichen Zahl und damit von 0verschieden, im Widerspruch zu k1 + k2 = 0.



Partielle Ordnungen

Satz 6.3 (5.1)


Beweis (Transitivitat: Seien n,m, p ∈ N mit n ≤ m und m ≤ p. Dannexistieren Zahlen k1, k2 ∈ N mit:

n + k1 = m

m + k2 = p

Setzt man m aus der ersten Gleichung in die Zweite ein, so erhalt man(n + k1) + k2 = p. Mit der Assoziativitat der Addition folgt

n + (k1 + k2) = p

und damit n ≤ p.



Quasiordnungen

Definition 6.1

Eine homogene Relation - ⊆ A× A heisst Quasiordnung oder auchPraordnung, gdw.

1 - ist reflexiv: ∀ a ∈ A. a - a

2 - ist transitiv: ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 - a2 ∧ a2 - a3 ⇒ a1 - a3

Beispiel

“Kleiner oder gleich groß”-Beziehung auf Menge von Personen.

Teilbarkeitsbeziehung | auf Z (Beachte −1|1 und 1| − 1).

Implikation “⇒” auf Booleschen Termen.

“Weniger machtig”-Beziehung ≤ auf Mengensystemen.



Quasiordnungen

Beobachtung

Quasiordnung - ⊆ A× A induziert Aquivalenzrelation auf A durch:

a1 ∼ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a2 - a1.

Man spricht hier auch vom Kern der Quasiordnung.

- bildet partielle Ordnung auf A/ ∼.

Beispiel

Implikation “⇒” auf Booleschen Termen ist Quasiordnung.

Kern von “⇒” ist die semantische Aquivalenz auf Booleschen Termen.

Implikation auf Klassen semantisch aquivalenter Boolescher Terme istpartielle Ordnung.



Totale Ordnungsrelationen

Definition

Eine Quasiordnung - ⊆ A× A, in der alle Elemente vergleichbar sind,heißt totale Quasiordnung oder auch Praferenzordnung, d.h.

∀ a1, a2 ∈ A. a1 - a2 ∨ a2 - a1

Beispiel

“Weniger machtig”-Beziehung ≤ auf Mengensystemen.



Totale Ordnungsrelationen

Definition

Eine partielle Ordnung � ⊆ A× A, in der alle Elemente vergleichbar sind,heißt totale Ordnung oder auch lineare Ordnung, d.h.

∀ a1, a2 ∈ A. a1 � a2 ∨ a2 � a1

Beispiel

≤ auf N.

Lexikographische Ordnung auf A*.



Striktordnungen

Beobachtung

Zu einer gegebenen Quasiordnung - lasst sich die zughorige Striktordnung≺ definieren durch:

a1 ≺ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a1 6∼ a2 .

Lemma 6.4 (5.1)

1 ≺ ist asymmetrisch, d.h.: ∀ a1, a2 ∈ A. a1 ≺ a2 ⇒ a2 6≺ a1

2 ≺ ist transitiv, d.h.: ∀ a1, a2, a3 ∈ A. a1 ≺ a2 ∧ a2 ≺ a3 ⇒ a1 ≺ a3

Folgerung: ≺ ist irreflexiv, d.h.: ∀ a ∈ A. a 6≺ a



Striktordnungen

Beobachtung

Zu einer gegebenen Striktordnung ≺ lasst sich die zughorige partielleOrdnung definieren durch:

a1 � a2 ⇔df a1 ≺ a2 ∨ a1 = a2 .

Definition

Reduziert man eine Striktordnung auf die unmittelbar benachbartenAbhangigkeiten erhalt man die Nachbarschaftsordnung ≺N definiert durch:

a1 ≺N a2 ⇔df a1 ≺ a2 ∧ @ a3 ∈ A. a1 ≺ a3 ≺ a2 .

Graphische Darstellung von ≺N als Hasse-Diagramm bekannt.

Es gilt: ≺∗N=�



Teilbarkeitsordnungen

Teilbarkeitsordnungen auf {1, 2, 3, 4, 6, 12} als (a) Partielle Ordnung (b)Striktordnung (c) Nachbarschaftsordnung



Hasse-Diagramme

Hasse Diagramme zu (a) ≤ auf N, (b) ⊆ auf P({1, 2, 3}), (c) | auf{1, . . . , 12}.



Extremalelemente

Definition 6.5 (Minimale, maximale Elemente) (5.3)

Sei � ⊆ A× A partielle Ordnung und B ⊆ A. Ein Element b ∈ B heißt

1 minimales Element in B ⇔df @ b′ ∈ B. b′ ≺ b und

2 maximales Element in B ⇔df @ b′ ∈ B. b ≺ b′.



Extremalelemente

Definition 6.7 (Kleinstes, großtes Element) (5.4)

Sei � ⊆ A× A partielle Ordnung und B ⊆ A. Ein Element b ∈ B heißt

1 kleinstes Element in B ⇔df ∀ b′ ∈ B. b � b′ und

2 großtes Element in B ⇔df ∀ b′ ∈ B. b′ � b.


Induktives Beweisen 6.2 Noethersche Induktion

Noethersche Ordnungen


Eine Quasiordnung - ⊆ A×A heißt Noethersch genau dann, wenn jedenichtleere Teilmenge von M ein minimales Element besitzt.

Satz 5.2 (Absteigende Kettenbedingung)

Eine Quasiordnung (M,�) ist genau dann Noethersch, wenn es in M keineunendliche, echt absteigende Kette x0 � x1 � x2 . . . gibt.




Satz 5.2 (Absteigende Kettenbedingung)

Eine Quasiordnung (M,�) ist genau dann Noethersch, wenn es in M keineunendliche, echt absteigende Kette x0 � x1 � x2 . . . gibt.

Beweis “⇒”: Sei x0 � x1 � x2 . . . eine unendliche, echt absteigende Kettein M. Dann ist A =df {x0, x1, x2 . . . } nichleer. Angenommen nun es gabeein minimales Element amin ∈ A. Dann existierte ein Index i mit xi = amin.Wegen xi � xi+1 ware xi aber im Widerspruch zur Annahme nicht minimal.Folglich gibt es kein minimales Element in A und M ist nicht Noethersch.




Beispiel 6.10 (5.3)

1 ≤ auf N ist Noethersch, denn jede nichtleere Teilmenge enthalt sogarein kleinstes Element.

2 Die Teilzeichenreichenbeziehung v auf A∗ ist Noethersch.

3 ⊆ ist Noethersch auf P(M) fur jede endliche Grundmenge M.

Beispiel 6.11 (Nicht Noethersche Ordnungen) (5.4)

1 ≤ auf Z ist nicht Noethersch, denn Z besitzt kein minimales Element.

2 ≤ auf Q≥0 ist nicht Noethersch, denn {12 ,

13 ,

14 , . . .} besitzt kein

minimales Element.

3 ⊆ auf P(N) ist nicht Noethersch, denn{N, N\{0}, N\{0, 1}, N\{0, 1, 2}, . . .} besitzt kein minimalesElement.



Noethersche Induktion

Beweisprinzip 6.12 (Noethersche Induktion)(7)

Sei - ⊆ M×M eine Noethersche Quasiordnung. Lasst sich eine AussageA uber M fur jedes m ∈ M aus der Gultigkeit der Aussage fur alle echtkleineren Elemente ableiten, dann ist sie fur jedes m ∈ M wahr.

(∀m ∈ M.

(∀m′ ∈ M. m′ ≺ m ⇒ A(m′)

)⇒ A(m)

)⇒ ∀m ∈ M. A(m).

Beweis: Per Kontraposition.Falls ∀m ∈ M. A(m) nicht gilt, existiert nichtleere Menge G ⊆ M vonGegenbeispielen.

G =df {g ∈ M | ¬A(g)}.

Weil - Noethersch ist, existiert ein minimales Gegenbeipiel gmin ∈ G .gmin verletzt dann den Induktionsschluss.



Anwendung: Kommutativitat der Addition

Satz 6.19(2)

∀ n,m ∈ N. n + m = m + n.

Beweis durch Noethersche Induktion uber komponentenweise Ordnung aufN× N.

(n,m) ≤ (n′,m′) ⇔df n ≤ n′ ∧ m ≤ m′.

Details: Skript.



Anwendung: Terminierung

Euklidischer Algorithmus

ggt : N× N→ N

ggt(n,m) =

n + m falls n = 0 oder m = 0ggt(n −m,m) falls m < nggt(n,m − n) falls n < m

Terminierung: Noethersche Quasiordnung auf N× N:

(n,m) .sum (n′,m′) ⇔df n + m ≤ n′ + m′.




Ackermann-Funktion

ack : N× N→ N

ack(n,m) =

m + 1 falls n = 0ack(n − 1, 1) falls n > 0, m = 0ack(n − 1, ack(n,m − 1)) falls n > 0, m > 0

Terminierung: Lexikographische Ordnung (Noethersch und total) aufN× N:

(n,m) ≤lex (n′,m′) ⇔df n < n′ ∨ (n = n′ ∧ m ≤ m′).




Collatz-Funktion

col : N\{0} → {1}

col(n) =

1 falls n = 1col(n/2) falls n geradecol(3n + 1) falls n ungerade

Terminierung: Keine geeignete Noethersche Ordnung bekannt.


Induktives Beweisen 6.4 Verallgemeinerte Induktion

Beweisprinzip Verallgemeinerte Induktion

Beweisprinzip 6.13 (Verallgemeinerte Induktion)(8)

Lasst sich eine Aussage uber naturliche Zahlen fur jede naturliche Zahl ausder Gultigkeit der Aussage fur alle kleineren naturlichen Zahlen ableiten,dann ist sie fur jede naturliche Zahl wahr.(∀ n ∈ N. (∀m ∈ N. m < n ⇒ A(m)) ⇒ A(n)

)⇒ ∀ n ∈ N. A(n).

Spezialfall der Noetherschen Induktion



Anwendung Fibonacci-Zahlen


fib(0) =df 0fib(0) =df 1fib(n + 1) =df fib(n) + fib(n − 1)

Es gilt: ∀ n ∈ N. fib(n) < 2n.

Beweis:

n = 0. Dann fib(0)Def.= 0 < 1 = 20.

n = 1. Dann fib(1)Def.= 1 < 2 = 21.

n ≥ 2. Dann gilt:

fib(n)Def.

= fib(n − 2) + fib(n − 1)IA< 2n−2 + 2n−1

≤ 2n−1 + 2n−1 = 2 · 2n−1 = 2n.




Erinnerung: Induktiv strukturierte Mengen (Folie 119)

Definition 4.4

1 A eine Menge elementarer oder atomarer Bausteine und

2 O eine Menge von Operatoren (oder Konstruktoren) mit zugehorigenStelligkeiten k ≥ 1, die es erlauben, kleinere Bausteine zu grosserenEinheiten zusammenzusetzen.

Die durch A und O induktiv beschriebene Menge M ist die kleinsteMenge, fur die gilt:

1 A ⊆ M und

2 Ist o ein Operator der Stelligkeit k und sind m1, . . . ,mk ∈ M, so istauch o(m1, . . . ,mk) ∈ M.




Gegeben:

Induktiv strukturierte Menge M mit Atomen A und Konstruktoren O

Eigenschaft A uber M.

Ziel: Beweise, dass A(m) gilt fur alle Elemente m ∈ M.

Vorgehen:1 Man beweist, dass A fur jedes Atom a ∈ A gilt.

2 Man beweist fur jeden Konstruktor o ∈ O, dass unter derVoraussetzung, dass A fur beliebige m1, . . . ,mk ∈ M gilt, A auchfur o(m1, . . . ,mk) gilt.




Beweisprinzip 6.15 (Strukturelle Induktion) (9)

Sei M induktiv strukturierte Menge (mit Atomen A, Konstruktoren O).Lasst sich eine Aussage A uber M fur jedes Atom a ∈ A beweisen, undlasst sich fur jeden Konstruktor o ∈ O aus der Gultigkeit der Aussage furm1, . . . ,mk ∈ M die Gultigkeit fur o(m1, . . . ,mk) ableiten, dann ist A furjedes m ∈ M wahr.((∀ a ∈ A. A(a)

)∧(∀ o ∈ O,m1, . . . ,mk ∈ M.(A(m1) ∧ · · · ∧ A(mk)

)⇒ A

(o(m1, . . . ,mk)

)))⇒ ∀m ∈ M. A(m)




.. als Spezialfall Noetherscher Induktion.

Nachbarschaftsordnung ≺N durch induktive “Bauanleitung” derStrukturen:

m1 ≺N m2 ⇔df ∃ o ∈ O. m2 = o(m′1, . . . ,m′k) ∧m1 ∈ {m′1, . . . ,m′k}.

“Ist-Teilstruktur”-Relation � als reflexiv-transitive Hulle von ≺N , d.h:� = ≺∗N .

Klar: � ist Noethersch.



Anwendung: Aussagenlogik

Satz 6.16 (Funktionale Vollstandigkeit von ¬und∧) (5.3)

Wir betrachten aussagenlogische Formeln (Definition 2.5, Folie 37),aufgefasst als induktiv beschriebene Menge aus den Atomen a, b, c , . . .(elementare Aussagen) sowie dem einstelligen Konstruktor ¬ und denzweistelligen Konstruktoren ∧,∨,⇒,⇔.

Zu jeder aussagenlogischen Formel φ existiert eine semantisch aquivalenteFormel φ′, so dass φ′ lediglich die Junktoren ¬ und ∧ enthalt.




Beweis: (Strukturelle Induktion)

Uber den induktiven Aufbau von φ:

Fall 1: φ = a. Trivial, denn φ enthalt keine Junktoren.

Fall 2: φ = ¬ψ. Nach der Induktionsannahme (IA) existiert Formelψ′ ≡ ψ, so dass ψ′ nur ¬ und ∧ enthalt. Dies gilt dann auchfur φ′ = ¬ψ′, und es gilt φ′ ≡ φ.

Fall 3: φ = ψ1 ∧ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1, ψ′2 ≡ ψ2

mit der gewunschten Eigenschaft, und φ′ = ψ′1 ∧ ψ′2 ≡ φenthalt ebenfalls nur ¬ und ∧.

Fall 4: φ = ψ1 ∨ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1, ψ′2 ≡ ψ2

mit der gewunschten Eigenschaft, undφ′ = ¬(¬ψ′1 ∧ ¬ψ′2) ≡ φ enthalt ebenfalls nur ¬ und ∧.




Beweis: (Strukturelle Induktion)

Uber den induktiven Aufbau von φ:

Fall 5: φ = ψ1 ⇒ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1,ψ′2 ≡ ψ2 mit der gewunschten Eigenschaft, undφ′ = ¬(ψ′1 ∧ ¬ψ′2) ≡ φa enthalt ebenfalls nur ¬ und ∧.

Fall 6: φ = ψ1 ⇔ ψ2. Dann existieren nach der IA ψ′1 ≡ ψ1,ψ′2 ≡ ψ2 mit der gewunschten Eigenschaft, undφ′ = ¬(¬(ψ′1 ∧ ψ′2) ∧ ¬(¬ψ′1 ∧ ¬ψ′2)) ≡ φb enthalt ebenfallsnur ¬ und ∧.

aAufgrund der Aquivalenz A ⇒ B ≡ ¬A∨B und der deMorganschen Regeln.bAufgrund der Aquivalenz A ⇔ B ≡ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) und der

deMorganschen Regeln.



Anwendung: Boolesche Terme

Satz 6.13 (Kompositionalitat von [[ · ]]B)(Kap. 5.7.2, 5.7.3)

Seien t, t ′, t ′′ ∈ BT mit t ′ ≡ t ′′. Dann gilt

t[t ′/x ] ≡ t[t ′′/x ],

dass heißt man darf (simultan) Gleiches durch (semantisch) Gleichesersetzen.


Induktives Beweisen 6.3 Vollstandige Induktion

Beweisprinzip: Vollstandige Induktion

Beweisprinzip 6.18 (Vollstandige Induktion)(10)

Ist eine Aussage A uber naturliche Zahlen fur 0 wahr und lasst sich ihreGultigkeit fur jede großere naturliche Zahl aus der Gultigkeit der Aussagefur ihren Vorganger ableiten, dann ist sie fur jede naturliche Zahl wahr.(

A(0) ∧ ∀ n ∈ N. A(n) ⇒ A(n + 1))⇒ ∀ n ∈ N. A(n).



Vollstandige Induktion

Satz 6.15 (5.4)

Seien n,m, k ∈ N. Dann gilt:

Assoziativitat:1) (n + m) + k = n + (m + k)2) (n ·m) · k = n · (m · k)

Kommutativitat:1) n + m = m + n2) n ·m = m · n

Neutrale Elemente:1) n + 0 = n2) n · 1 = n

Distributivitat:(n + m) · k = n · k + m · k



Beispiele

Beispiel 6.16 (5.5)

Fur alle n ∈ N gilt:

1 Es gibt 2n Teilmengen von n–elementigen Mengen.

2n∑

i=1i = n∗(n+1)

2 , Summe der ersten n naturlichen Zahlen.

3n∑

i=1(2i − 1) = n2, Summe der ersten n ungeraden Zahlen.


Induktives Beweisen 6. Induktives Beweisen - Themenub ersichtls5- · Induktives Beweisen 6.1...

Documents

Transcript of Induktives Beweisen 6. Induktives Beweisen - Themenub ersichtls5- · Induktives Beweisen 6.1...