Neue Ansätze im Geometrie-Unterricht der S I

durch elektronische ArbeitsblätterHans-Jürgen Elschenbroich

A B

C

ma

Es ist ein Kreis k konstruiert, dessen Mittelpunkt Mauf der Mittelsenkrechten ma liegt und der durch Bverläuft. P ist der Schnittpunkt von ma und mb.

a) Begründe, warum dieser Kreis auch durch Cverlaufen muss.

b) Ziehe so an M, dass der Kreis auch durch Averläuft. Warum ist dies immer möglich?

c) Welche Lage nimmt M dann ein?

d) Konstruiere entsprechende Kreise mitMittelpunkten auf mb und mc und verfahre genauso.Was stellst du fest?

e) Was bedeutet dies für einen Kreis um P durch A?Was kann man über die Abstände von P zu A, B, Caussagen?

M

mcmb

k

P

Inhalt

Geometrie-Unterricht und DGS Bewegliche Geometrie: (k)eine neue Idee Dynamischer Invarianz-'Beweis‘ Visuell-dynamische Beweise Neue Ansätze: Elektronische Arbeitsblätter Verändertes Lernen Verändertes Lehren Beispiele

Geometrie-Unterricht und DGS

Werkzeuge im Geometrie-Unterricht:• Zirkel, Lineal, Geodreieck• Geometrie-Software der 1. Generation• Dynamische Geometrie-Software (DGS) Unterrichtlicher Einsatz von DGS:• Neue Möglichkeiten• Probleme und Vorbehalte

Behandlung von Standardthemen in moderner Sicht in stabiler Lernumgebung!

Bewegliche Geometrie: (k)eine neue Idee

“Als einer der Hauptunterschiede altgriechischer und neuzeitlicher Geometrie gilt das, daß in jener die Figuren sämtlich als starr und fest gegeben angenommen werden, in dieser als beweglich und gewissermaßen fließend, in stetem Übergang von einer Gestaltung zu anderen begriffen. ...Der Auffassung der Figuren als starrer Gebilde kann und muß in verschiedener Weise entgegen gearbeitet werden. Das eine hierzu Erforderliche ist das Beweglichmachen der Teile einer Figur ... .”Peter Treutlein, 1911

Dynamischer Invarianz-‘Beweis‘

Das Feststellen einer Invarianz im Zugmodus bleibt auf der Stufe der experimentellen 'Beweise' (vgl. Wittmann/Müller und Blum/Kirsch).

dynamischer Invarianz-'Beweis‘ (Elschenbroich)

Keine Antwort auf die Frage nach dem „Warum?“

Visuell-dynamischer Beweis

Präformale, visuell-dynamische Beweise:

• visuell: anschaulich, auf eine Zeichnung bezogen als Figur, Eigenschaften und Bezeichnung

• dynamisch: keine einzelne, starre Zeichnung, sondern eine ideale Zeichnung, eine ganze Klasse von Zeichnungen, ermöglicht und sichtbar gemacht durch den Zugmodus von DGS

• Beweis: ein vollgültiger Beweis in dem Sinne, dass er nicht durch rationale Argumentationen zu erschüttern ist und eine Antwort auf die Frage 'Warum' gibt.

Neue Ansätze: elektr. Arbeitsblätter

Vom Konstruieren von Figuren . . . zum Arbeiten mit FigurenAnalogie zur Informatik

Elektronische Arbeitsblätter als „mediale Brücke“

Gefahr bei der Konstruktion von el. AB:- klammheimliche Voraussetzungen- Engführung/ Offenheit; unterrichtliche Robustheit.

Gefahr beim Unterrichten mit el. AB:- Angst des Lehrers vor der eigenen Überflüssigkeit.- Einengung auf nur eine ‚richtige‘ Lösung.

Verändertes Lernen

• handelnd statt passiv zuhörend

• eigenständigeres Arbeiten

• kooperatives Lernen

• entdeckendes Lernen

• mehr visuelle, heuristische & experimentelle Anteile

• Dokumentation, Präsentation

Verändertes Lehren

• Beobachten und Beraten.

• Aufgaben öffnen, Differenzierungsangebote.

• Wissensbasis der Schüler organisieren.

• Fehler als Chance.

• Methodenkompetenz vermitteln.

• Auch Selbstkontrolle der Schüler ermöglichen.

• Andere Formen der Bewertung und Leistungsüberprüfung.

Beispiele

Beispiele von Schüler-ArbeitsblätternBeispiele von Lehrer-Seiten.

Die Beispiele können im Internet von der Mathe-Werkstatt geladen werden.

http://www.mathe-werkstatt.de/download.htm

Literatur

Blum, Werner/ Kirsch Arnold: Warum haben nicht-triviale Lösungen von f ' = f keine Nullstellen? Beobachtungen und Bemerkungen zum 'inhaltlich anschaulichen' Beweisen. In: Kautschitsch/ Metzler: Anschauliches Beweisen. Elschenbroich, Hans-Jürgen: Geometrie beweglich mit Euklid. Dümmler, Bonn 1996.Elschenbroich, Hans-Jürgen: Dynamische Geometrieprogramme: Tod des Beweisens oder Entwicklung einer neuen Beweiskultur? In: MNU 8/ 97. Elschenbroich, Hans-Jürgen:Visuelles Beweisen - Neue Möglichkeiten durch Dynamische GeometrieSoftware. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 1999.

Elschenbroich, Hans-Jürgen/ Seebach, Günther: Dynamisch Geometrie entdecken. Elektronische Arbeitsblätter mit Euklid, Klasse 7/8. Dümmler-Stam, Köln 1999.Freudenthal, Hans: Was beweist die Zeichnung? In: mathematik lehren, Heft 17/ 1986.Kautschitsch, Hermann: Wie kann ein Bild das Allgemeingültige vermitteln?In: Kautschitsch/ Metzler: Anschauliches Beweisen. Wittmann, Erich Christian; Müller, Gerhard: Wann ist ein Beweis ein Beweis? In: Mathematikdidaktik: Theorie und Praxis. Festschrift für Heinrich Winter. Cornelsen, Berlin 1988.