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Vorwort 4

Entdeckungen an der Hundertertafel 5 – 14

1.1 Lückenhaftes 51.2 Schräge Rechnungen 61.3 Rechnen in Reihen 71.4 Prim(ige) Zahlen 81.5 PRIMIRP-Zahlen 91.6 Gespiegelte Zahlen 101.7 Wahnsinnige Ergebnisse 111.8 Quadratisch, praktisch, gut 121.9 Gauß, der Schnellrechner 131.10 Gehirnjogging (I.) 14

Magie und ein Quadrat 15 – 24

2.1 Kaiser Yu und sein Lo-Shu 152.2 Ein MQ ist ein MQ ist ein MQ ist ein… 162.3 Meine persönlichen MQs 172.4 Die großen Zwei 182.5 Neue MQs durch Addition 192.6 Geschobene MQs 202.7 Versteckte MQs 212.8 Albrechts berühmtes MQ 222.9 Gemusterte MQs 232.10 Gehirnjogging (II.) 24

Einmaleins ganz anders 25 – 31

3.1 Verschiedene Aufgaben – gleiche Ergebnisse 253.2 Zahlen springen im Quadrat 263.3 Fingerrechnen 273.4 Neuner-Trick 283.5 Großer Trick mit dem Einmaleins 293.6 Unbekanntes Wesen 303.7 Gehirnjogging (III.) 31

Alte Ägypter und schlaue Italiener 32 – 45

4.1 Ägypter ohne Multiplikation 324.2 Pifige Lösungen 334.3 Division auf ägyptisch 344.4 Ergebnisse leicht gemacht 354.5 So rechnete das Mittelalter 364.6 Andere Länder – andere Rechensitten 374.7 Superleichte Probe 384.8 Probe zum Minus 394.9 Probe mit verquerer Summe 404.10 Rückwärtsrechnen auf Probe 414.11 Da bleibt ein Rest 424.12 Zahlenkolonnen auf Probe 434.13 Gehirnjogging (IV.) 44 – 45

Inhalt

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Lieber Nutzer dieses Bandes,

„Zauberhafte Zahlen“ kombiniert Motivation mit Übungen der vier Grundrechenarten und mit dem Erkennen von Zahlenbeziehungen. Das erleichtert die mathematische Vorstellung und unterstützt die schriftlichen und halb-

schriftlichen Rechenverfahren. Die Aufgaben in diesem Band sollen die Schüler für Zahlenbeziehungen sensibi-lisieren.Durch die Aufgaben und Übungen werden folgende mathematische Bereiche abgedeckt:die vier Grundrechenarten – der Umgang mit Quadratzahlen – der Umgang mit Primzahlen – Rechnen mit dem Kleinen und Großen Einmaleins – Umgang mit geraden und ungeraden Zahlen – Rechnen mit vereinfachten Re-

chenproben – Erkennen von Zahlenbeziehungen – Beschäftigung mit erleichternden Rechentricks

Die Arbeit an der Hunderter- und der Einmaleinstafel beschränkt sich nicht nur auf die Klasse 2, sondern macht den Einsatz auch in Klasse 3 und 4 interessant, denn hier geht es um das Aufspüren von Zahlenbeziehungen, die Arbeit mit Primzahlen, Quadratzahlen, geraden und ungeraden Zahlen. Die Erarbeitung der mathematischen Themen beziehen sich bei der Hunderter- und der Einmaleinstafel auf einen beschränkten Raum, sodass auch lernschwache Schüler motiviert werden.Die Magischen Quadrate (MQ) sind aus den Aufgaben im Unterricht nicht mehr wegzudenken. Haben die Schü-

ler das Grundprinzip eines MQs verstanden, wird häuig nur eine Aufgabe gerechnet, vielleicht das Ergebnis an einer zweiten überprüft. Die Mühe, alle Aufgaben in einem MQ zu rechnen, machen sich die Kinder selten. Hier geht es allerdings bei dem Thema darum, neue Erfahrungen mit den MQs zu sammeln.Eine wirkliche Hilfe stellen die vereinfachten Rechenproben dar. Die Endform der schriftlichen Rechenverfahren ist vorgeschrieben, jedoch die Form der Probe nicht. Schüler wenden viel Zeit auf, um z.B. bei der schriftlichen Di-vision die schriftliche Multiplikation als Probe zu rechnen – ein sehr zeitaufwändiges Verfahren und die Unklarheit, in welcher der beiden Aufgaben bei unterschiedlichen Ergebnissen der Fehler steckt. Die vereinfachten Rechen-

proben sind leicht, zeitsparend und für lernschwache Schüler nicht demotivierend.Pascals Dreieck zeigt eine bestimmte Anordnung von Zahlen, die den binomischen Formeln entsprechen. Der Einsatz in der Grundschule vermittelt interessante Zahlenbeziehungen und macht mit einer mathematischen Grundlage bekannt – aus den drei Zahlen lässt sich eine Multiplikationsaufgabe mit den beiden kleineren Zahlen bilden. Wird das Ergebnis halbiert, erhält man die größere der drei Zahlen.Ein Einblick in die Geschichte der Mathematik hilft den Schülern durch die Darstellung alter Rechenverfahren

der Ägypter, Italiener und des Mittelalters, die heutigen schriftlichen Verfahren der Multiplikation und Division bes-

ser nachvollziehen zu können.

Birgit Brandenburg

Vorwort

Inhalt Seite

Pascal erfand ein Dreieck 46 – 47

5.1 Ein Dreieck heißt Pascal 465.2 Wer suchet, der indet! 47

Eine Kiste mit Rechentricks 48 – 57

6.1 Fünfertrick 486.2 Rechnungen im Kalender 496.3 Verzauberte Karten 50 – 516.4 Verhexte Zahlen 526.5 Zahlen erzählen Märchen 536.6 Gedrehte Zahlen 546.7 Verblüffender Rechentrick 556.8 Schottische Hilfe 56 – 57

Lösungen 58 – 64

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1 Entdeckungen an der Hundertertafel

Du kennst die Hundertertafel schon seit dem 1. Schuljahr. Du hast sie vielleicht zeitweise als Hilfe beim Rechnen benutzt. Heute indest du sie natürlich lang-

weilig. Aber du wirst sehen, in der Hundertertafel steckt eine Menge spannen-

der Mathematik. Also – let´s go !

1.1 Lückenhaftes

Aufgabe 1: Mach dich warm, indem du die Lücken mit den passenden Zahlen füllst.

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Leichte Seite –

bekommt ein „like“!

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11 13 17 18 19

21 23 26 27 29 30

32 36 38 40

43 44 45 46 50

51 54 57 58

61 63 65 67 69

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91 93 96 99

Aufgabe 2: Vervollständige den Lückentext und beantworte die Fragen.

a) Ein Schritt nach rechts bedeutet + 1, ein Schritt nach links bedeutet ___________ .

b) Ein Schritt nach unten bedeutet __________ , ein Schritt nach oben __________ .

c) Wie addierst du geschickt 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 zu einer Zahl?

___________________________________________________________________

d) Wie subtrahierst du geschickt 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 von einer Zahl?

___________________________________________________________________

e) Dumme Frage – oder? Wie heißt die 42. Zahl in der Hundertertafel? ____________

f) Noch dümmere Frage? Wie viele doppelte Zahlen stecken in der Hundertertafel?

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1 Entdeckungen an der Hundertertafel

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Du hast das warm-up hinter dir und es geht zur nächsten spannenden Unter-suchung an der Hundertertafel. Gibt es etwas Besonderes an den Diagonalen herauszuinden? Ja – gibt es!

1.2 Schräge Rechnungen

Aufgabe 3: Addiere die Zahlen in jeder der beiden großen Diagonalen.

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Aufgabe 4: Addiere die Zahlen in jeder der kleinen Diagonalen.

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Ergebnisse aus der

1. Diagonale: __________

2. Diagonale: __________

Ergebnis aus beiden Diagonalen zusammen:

__________

1

10

1219

2328

34 37

45 46

55 56

64 67

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5 614 17

2328

3239

41505160

6269

7378

84 8795 96

Ergebnisse aus der

1. Diagonale: __________

2. Diagonale: __________

3. Diagonale: __________

4 Diagonale: __________

Ergebnis aus allen vier Diagonalen zusammen: __________

Vergleiche die beiden Gesamt- ergebnisse der großen und der kleinen Diagonalen.Was fällt dir auf? Notiere.

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1 Entdeckungen an der Hundertertafel

Was ein Quadrat ist, weißt du aus dem Geometrieunterricht. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.

In der Hundertertafel stecken 49 seltsame Quadrate. Jedes Quadrat hat 4 x 4 Käst-chen. Wir nehmen mal ein beliebiges Quadrat heraus. Wir sehen, welche mathema-

tischen Wunder in diesem einen Quadrat stecken.

1.8 Quadratisch, praktisch, gut

Aufgabe 17:

a) Addiere die 4 Eckzahlen.

Notiere das Ergebnis: _____

b) Addiere die gegenüberliegenden

Zahlenpaare.

Notiere das Ergebnis: _____

c) Addiere die 4 inneren Zahlen.

Notiere das Ergebnis: _____

d) Addiere die 4 Zahlen der Diagonalen.

Notiere das Ergebnis: _____

e) Vergleiche die 4 Ergebnisse miteinander.

Notiere, was dir auffällt.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

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91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

12 13 14 15

22 23 24 25

32 33 34 35

42 43 44 45

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12 13 14 15

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42 43 44 45

Quadrate!

Quadrate! Nix als Quadrate!

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11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Aufgabe 18:

a) Berechne die markierten Quadrate.

1. _________________________

2. _________________________

3. _________________________

b) Finde und berechne noch weitere Quadrate

aus der Hundertertafel.

(TIPP: Die Quadrate dürfen sich überschneiden!)

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2 Magie und ein Quadrat

2.1 Kaiser Yu und sein Lo-Shu

Zauberquadrate nennt man auch Magische Quadrate, abgekürzt MQ.

In einem MQ ergibt die Addition der Zahlen in jeder waagerechten, senkrechten und diagonalen Reihe dasselbe Ergebnis.

Dieses Ergebnis nennt man die Magische Zahl des MQs.

Die Geschichte eines besonderen MQs

Das erste MQ wurde wahrscheinlich vor 4200 Jahren in China entdeckt. Der Erzählung nach ging der chinesische Kaiser Yu im Garten seines Kaiserpalastes spazieren. Er dachte sich ständig Knobelaufgaben aus. Das war sein Hobby. Schon tagelang beschäf-tigte er sich mit einem mathematischen Problem. Er wollte die Zahlen von 1 bis 9 so anordnen, dass sie ein MQ ergaben.

Er setzte sich an das Ufer eines Teichs und grübelte über das Problem nach. Dann plötzlich hatte er eine Idee. Schnell wollte er die Lösung aufschreiben, doch er hatte kein Schreibzeug und Papier mitgenommen.

Also nahm er kurzerhand eine Schildkröte aus dem Teich, feuchtete einen Finger mit Erde an und schrieb die Lösung auf den Panzer. Dann trug er die Schildkröte vorsichtig in den Palast und übertrug das MQ auf Papier. Dann trug er die Schildkröte wieder zurück zum Teich.

Kaiser Yu hatte das erste MQ gefunden und nannte es Lo-

Shu. Es ist das einzige MQ mit 3 mal 3 Feldern.

Wie lautet die Magische Zahl des Lo-Shu? _____________

Du kannst das Lo-Shu verändern. Du kannst Reihen oder Zahlen untereinander austauschen. Aber in jeder waagerechten, senkrechten und diagonalen Reihe muss die Magische Zahl stimmen.

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Aufgabe 1: Schneide das Lo-Shu auseinander und lege damit ein neues Lo-Shu.

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2 Magie und ein Quadrat

Jedes MQ bleibt ein MQ, auch wenn du alle Zahlen mit der gleichen Zahl addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst.

Ob das stimmt?

2.2 Ein MQ ist ein MQ ist ein MQ ist ein …

Aufgabe 2: Probiere die Behauptung am Lo-Shu aus.

Trage die Ergebnisse ein und prüfe bei jedem MQ die Magische Zahl.

Notiere, was du herausgefunden hast.

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4 Alte Ägypter und schlaue Italiener

4.3 Division auf ägyptisch

Die Idee der alten Ägypter, ohne die Multiplikation zu kennen Malaufgaben zu lösen, kann auch bei der Division helfen.

Aufgabe 8: Lies die Anleitung, wie die Ägypter Divisionsaufgaben rechneten.

1. Die Beispielaufgabe heißt: 2 210 : 34

2. Sie schrieben die Verdoppelung von 34. 1 34 Aber sie nahmen noch die • 5 und • 10 dazu: 2 68 4 136 5 170 8 272 10 340

3. So kannst du die Ergebnisse errechnen, die dazwischen stehen: 3 • 34 = (1 • 34 + 2 • 34 = 34 + 68) = 102 6 • 34 = (2 • 34 + 4 • 34 = 68 + 136) = 204

7 • 34 = (2 • 34 + 5 • 34 = 68 + 170) = 238

9 • 34 = (4 • 34 + 5 • 34 = 136 + 170) = 306

4. So errechnest du das Ergebnis der der Aufgabe: 60 • 34 = 2 040 + 5 • 34 = 170 65 • 34 = 2 210

5. Also ist: 2 210 : 34 = 65

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Bei 10 • 34 hängst du eine 0 an. Die 5 • 34 ist die Hälfte vom Ergebnis.

Aufgabe 9: Berechne die Aufgaben mithilfe der Anleitung. Mache Nebenrechnungen, wie bei Nr. 3 der Anleitung, ins Heft.

a) 7440 : 93 = _______ 1 93 c) 4312 : 77 = _______ 1 77 2 _______ 2 _______ 4 _______ 4 _______ 5 _______ 5 _______ 8 _______ 8 _______ 10 _______ 10 _______

b) 3995 : 235 = _______ 1 235 d) 3475 : 139 = _______ 1 139 2 _______ 2 _______ 4 _______ 4 _______ 5 _______ 5 _______ 8 _______ 8 _______ 10 _______ 10 _______

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4 Alte Ägypter und schlaue Italiener

4.5 So rechnete das Mittelalter

Im Mittealter mussten vor allen Dingen die Kauleute viel rechnen. Aus den alten Kaufmannsbüchern, in die die Händler ihre Einnahmen und Ausgaben mit Feder und Tinte eintrugen, wissen wir, dass sie Malaufgaben auf andere Weise als wir heute schrieben.

Aufgabe 13: Lies die Anleitung, wie die Kauleute im Mittelalter die Malaufgaben rechneten.

1. Die Beispielaufgabe heißt: 15 • 14 2. Sie zerlegten die 4 in 2 • 7

3. Dann schrieben sie die Aufgabe: 15 • 14

• 2 30

• 7 210

4. Sie rechneten: 2 • 15 = 30 und 30 • 7 = 210

5. Sie konnten das Ergebnis der Aufgabe ablesen: 15 • 14 = 210

EA

Aufgabe 14:

Rechne die Aufgaben

nach der Anleitung.

Die 2. Zahl ist bereits

in zwei Zahlen zerlegt.

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Aufgabe 15:

Rechne die Aufgaben

nach der Anleitung.

Die 2. Zahl ist noch

nicht in zwei Zahlen

zerlegt.

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25 • 12

• 3

• 4

18 • 15

• 3

• 5

33 • 20

• 2• 10

16 • 18

• 3

• 6

25 • 16

• 4• 4

12 • 24

• 3

• 8

20 • 45

• 5• 9

102 • 9

• 3

• 3

13 • 16

• __• __

11 • 21

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55 • 8

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111 • 15

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45 • 25

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14 • 50

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136 • 6

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17 • 14

• __• __

250 • 42

• __• __

310 • 12

• __• __

115 • 36

• __• __

50 • 24

• __• __

1200 • 15

• __• __

2110 • 14

• __• __

715 • 16

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125 • 20

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260 • 25

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4 Alte Ägypter und schlaue Italiener

d) Division ohne Rest

266 : 19 = _____ 672 : 12 = _____ 585 : 13 = _____

2739 : 3 = _____ 2392 : 8 = _____ 5535 : 9 = _____

b) Division mit Rest

95 : 3 = _____ Rest _____ 86 : 7 = _____ Rest _____

3567 : 18 = _____ Rest _____ 2403 : 14 = _____ Rest _____

292859 : 79 = _____ Rest _____ 676648 : 92 = _____ Rest _____

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