Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22....

62
Institut für Erziehungswissensc Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008

Transcript of Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22....

Page 1: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematics meets SnowsportsSchruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008

Page 2: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Übersicht

• Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte

• Steigung

• Parabeln und Kurven

• Kräftewirkung

• Geschwindigkeit

• Impressum

Page 3: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Mathematics meets Mathematics meets SnowsportsSnowsports

Funktionen, Extremstellen, Funktionen, Extremstellen, WendepunkteWendepunkte

Page 4: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

GliederungGliederung

Lineare FunktionLineare Funktion Quadratische FunktionQuadratische Funktion Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades RechenbeispielRechenbeispiel BetragsfunktionBetragsfunktion

Page 5: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Lineare FunktionLineare Funktion

Konstante Steigung, Proportionalität Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerteder Funktionswerte

f(x)=-1/2x+3

Page 6: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Quadratische FunktionQuadratische Funktion

Parabelförmig Parabelförmig

f(x)=-1/3*x^2+2*x+1

Page 7: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades

Wendepunkte, ExtrempunkteWendepunkte, Extrempunkte

Page 8: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

RechenbeispielRechenbeispiel

f(x)= x³+2x²-4x+6f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4f´´(x)=12x+4

Extremstellen:Extremstellen:

f´(x)=0f´(x)=0 1.Fall: x=-21.Fall: x=-2

2.Fall: x= 0,662.Fall: x= 0,66

Wendepunkte:Wendepunkte:

f´´(x)=0f´´(x)=0 x=-0,33 x=-0,33

Page 9: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

BetragsfunktionBetragsfunktion

Funktion aus mehreren EinzelfunktionenFunktion aus mehreren Einzelfunktionen

f(x)=-|x+1|

Page 10: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit

Page 11: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

SteigungSteigung

Mathematics meets SnowsportsMathematics meets Snowsports

Page 12: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Inhalt

I. Die StraßeI. Umrechnung von % in GradII. Mathematische Herleitung

II. Der BergI. Mathematische HerleitungII. Wann rutscht man vom Berg?

III. Die SeilbahnI. Mathematische HerleitungII. Momentane Steigung (Ableitung)

IV. Die BuckelpisteI. Mathematische Herleitung

Page 13: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Die Straße

• Umrechnung von % in Grad:

• α=arctan(33%)• α=18,26°

• arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete

Page 14: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Mathematische Herleitung

• Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks

α

ab

c

Page 15: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Der Berg

Page 16: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Mathematische Herleitung

f(x)=mx+b m=Δy/Δx

f(x)

Page 17: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Wann rutscht man vom Berg?

Page 18: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Wann rutscht man vom Berg?

• Aufgabe:

Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt?

(fR=0,3 Reibungszahl von Gummi auf Schnee)

Page 19: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Wann rutscht man vom Berg?

FH>FR (Ansatz)

FH=FG·sin(α)

FN=FG·cos(α)

FR=FN·fR

FG=m·g

g≈9,81m/s²

Page 20: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Wann rutscht man vom Berg?

• Lösung:

FH>FR

m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR

sin(α)/cos(α) > fR

tan(α) > fR

α > arctan(0,3)

α > 16,7° = 30%

Page 21: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Die Seilbahn

Page 22: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Mathematische Herleitung

f(x)=ax²+bx+c

Ø Steigung

f‘(x)=2ax+b

Page 23: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Die Buckelpiste

Page 24: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Mathematische Herleitung

f(x)=sin(x)

f‘(x)=cos(x)

Page 25: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Fazit

• Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen.

• Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.

Page 26: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Ende

Vielen Dank für Vielen Dank für Ihre Ihre

AufmerksamkeitAufmerksamkeit

Page 27: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Parabeln & Kurven

Page 28: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Inhaltsangabe

Kurven Ebene Kurven Raumkurven

Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens

Parabeln

Page 29: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Kurven

Ebene Kurven Raumkurven

Page 30: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Ebene Kurven Ebene Kurven:

eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben

werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven:

Gerade Kreis Parabel

haben nur Krümmungen

Page 31: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Raumkurve

haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional

Page 32: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Trigonometrische Funktionen

Sinus Kosinus Tangens

Page 33: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Sinuskurve

eHypothenus

teGegenkathe)sin(

Page 34: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Kosinuskurve

eHypothenus

Ankathete)cos(

-Komplementärwinkel von Sinus

-Steht im 90° Winkel zu Sinus

Page 35: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Tangenskurve

Ankathete

teGegenkathe)tan(

Page 36: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Parabel

Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet

Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen

Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden

Page 37: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Ende

Wir bedanken uns für

Ihre Aufmerksamkeit

Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff

Page 38: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Mathematics meet Mathematics meet SnowsportsSnowsports

KräftewirkungKräftewirkung

Page 39: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis

Zentrifugal- & ZentripetalkraftZentrifugal- & Zentripetalkraft

GewichtskraftGewichtskraft

HangabtriebskraftHangabtriebskraft

Potentielle EnergiePotentielle Energie

1.1.DefinitioDefinitionn

2.2.BeispielBeispiel

3.3.FormelnFormeln

Page 40: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und Zentripetalkraft DefinitionDefinition

Zentrifugalkraft (Fliehkraft)Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen aufTritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außenWirkt nach außen

Zentripetalkraft Zentripetalkraft Wirkt nach innenWirkt nach innen Hält das Objekt in der KreisbahnHält das Objekt in der Kreisbahn

|Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft| |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|

Page 41: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftBeispielBeispiel

rM

FZP

FZ

F

Page 42: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftFormelnFormeln

FFZ Z = (m * v²)/ r= (m * v²)/ r

Page 43: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

GewichtskraftGewichtskraft DefinitionDefinition

Wirkt in Richtung des ErdkernsWirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Ist dafür verantwortlich, dass

Objekte auf der Erde bleiben und Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegennicht wegfliegen

Die Durchschnittliche Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²9,81m/s²

Page 44: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

44

GewichtskraftGewichtskraftBeispielBeispiel

G

FAuftrieb

Page 45: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Gewichtskraft Gewichtskraft FormelnFormeln

FFGG = m * g = m * g

g = 9,81 m/s²

Page 46: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

HangabtriebskraftHangabtriebskraft DefinitionDefinition

Eine Komponente der Gewichtskraft Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft)Gewichtskraft)

Ist auf einer schiefen Ebene Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtethangabwärts gerichtet

Page 47: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

HangabtriebskraftHangabtriebskraftBeispielBeispiel

Hangabtriebskraft FH

Gewichtskraft FG

Normalkraft FN

Page 48: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Hangabtriebskraft Hangabtriebskraft FormelnFormeln

FFHH = F = FGG * sin( * sin(αα))

FFNN = F = FGG * cos( * cos(αα))

FG = m * g

Page 49: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Potenzielle EnergiePotenzielle Energie DefinitionDefinition

Energie, die ein Objekt durch seine Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält.Gravitationsfeld erhält.

Bezugspunkt: ErdoberflächeBezugspunkt: Erdoberfläche

Page 50: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

50

Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieBeispielBeispiel

Höhendifferenz

Page 51: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieFormelnFormeln

V = m * g * hV = m * g * h

V = Potenzielle Energie

Page 52: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Powered byPowered by

Page 53: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Geschwindigkeit

M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich

Page 54: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Formelzeichen:

[] = Geschwindigkeit

[s] = Strecke

[t] = Zeit

t

sv

Formel:

Page 55: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Inhaltsangabe

• Momentangeschwindigkeit

• Durchschnittsgeschwindigkeit

• Beschleunigung

• Lawinen

Page 56: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

t

sv

lim0t

Momentangeschwindigkeit

Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für t gegen 0.

Momentangeschwindigkeit

Formelzeichen

[v] = Geschwindigkeit

[s] = Weg

[t] = Zeit

t

sv

lim0t

Formel:

Page 57: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Formelzeichen:

[v] = Geschwindigkeit

[s] = Weg

[t] = Zeit

Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten.

21

21

tt

ssv

Formel:

Page 58: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2.

Formelzeichen:[a] = Beschleunigung[v] = Geschwindigkeit[t] = Zeit

)(

)(

12

12

tt

vva

Beschleunigung

Beschleunigung

Formel:

t

sa

Formelzeichen:

[a] = Beschleunigung

[s] = Weg

[t] = Zeit

Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0.

So müssen wir den zurückgelegten Wegdurch die benötigte Zeit berechnen.

Page 59: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Lawinen

Auslaufzone

- Hangneigung von ca. 30 – 50°

- Punktförmiger Anriss->Lockerschneelawine

-Linienförmiger Anriss->Schneebrettlawine

Ausgangspunkt

Bewegungsgebiet

-Flächige o. in Runsen konzentriert

- Stillstandzone- Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab

Faktoren f. Lawinen allg. :

- Neuschnee- Viel Schneefall in kurzer Zeit- Hangneigung- Bodenbedeckung- Hanglage

Page 60: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Lawinenarten

Schneebrettlawine

Lockerschneelawine

Page 61: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Ende

Danke für Ihre Aufmerksamkeit

Page 62: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.

Institut für Erziehungswissenschaft

Impressum

Die Projektwoche „Mathematics meets Snowsports“ wurde entwickelt von Verena Scharmacher ([email protected]) und Daniel Gersmeier ([email protected]).

Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.