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Integralrechnung

Fakultat Grundlagen

Marz 2016

Fakultat Grundlagen Integralrechnung

Bestimmtes Integral I

n Teilintervalle: x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn = bIn [xk−1, xk ] sei f k bzw. f k der großte bzw. kleinste Wert.Die Ober- und Untersummen On, Un sind Naherungen der Flache.

On = f 1 ·∆x1 + f 2 ·∆x2 + . . . + f n ·∆xn =∑

f k ·∆xk

Un = f 1 ·∆x1 + f 2 ·∆x2 + . . . + f n ·∆xn =∑

f k ·∆xk

Falls bei beliebiger Ver-feinerung der Unterteilung (max|∆xk | → 0 ) die Folgen{On} und {Un} einem gemein-samen Grenzwert zustreben,so heißt dieser Grenzwert dasbestimmte Integral uber f (x)von a bis b.

Schreibweise:

f (x) dx

y = f (x)

x0 x1 x2 xn−1xn

Fakultat Grundlagen Integralrechnung Folie: 2

On = f 1 ·∆x1 + f 2 ·∆x2 + . . . + f n ·∆xn =∑

f k ·∆xk

Un = f 1 ·∆x1 + f 2 ·∆x2 + . . . + f n ·∆xn =∑

f k ·∆xk

Schreibweise:

f (x) dx

y = f (x)

x0 x1 x2 xn−1xn

On = f 1 ·∆x1 + f 2 ·∆x2 + . . . + f n ·∆xn =∑

f k ·∆xk

Un = f 1 ·∆x1 + f 2 ·∆x2 + . . . + f n ·∆xn =∑

f k ·∆xk

Schreibweise:

f (x) dx

y = f (x)

x0 x1 x2 xn−1xn

Bestimmtes Integral II

Schreibweise:

f (x) dx (b∫a

: zur Erinnerung an Summe! )

︷︸︸︷f (x) d x

6� 6� Integrationsvariable

?� Integrand

-untere Integrationsgrenze

-obere Integrationsgrenze

Die Integrationsvariable ist eine so genannte gebundene Vari-able. Sie kann beliebig umbenannt werden und hat außerhalbdes Integrals keinerlei Bedeutung.

f (x) dx =

f (t) dt = . . .

Bestimmtes Integral II

Schreibweise:

f (x) dx (b∫a

: zur Erinnerung an Summe! )

︷︸︸︷f (x) d x

6� 6� Integrationsvariable

?� Integrand

-untere Integrationsgrenze

-obere Integrationsgrenze

Die Integrationsvariable ist eine so genannte gebundene Vari-able. Sie kann beliebig umbenannt werden und hat außerhalbdes Integrals keinerlei Bedeutung.

f (x) dx =

f (t) dt = . . .

Stammfunktion, unbestimmtes Integral

Flacheninhaltsfunktion: F (x) =

x∫x0

f (t) dt fur a ≤ x ≤ b .

Dabei ist F (x) die Flache unterdem Graphen von f (x) zwischenx0 und x ; die obere Integrations-grenze x ist die Variable; x0 istfester Startpunkt der Integration.Man sagt: F (x) ist eine Funktionder oberen Grenze. Fur stetigesf nennt man F (x) auch Stamm-funktion von f (x) .

y = f (t)

xx0a b

Zu einer Funktion f (x) gibt es beliebig viele Stammfunktionen – je nachWahl des Startpunkts x0. Alle zu einer Funktion gehorenden Stammfunk-tionen unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.Wird bei Stammfunktionen die Konstante noch offen gelassen, so sprechenwir vom unbestimmten Integral und lassen beide Integrationsgrenzen weg!

x∫x0

y = f (t)

xx0a b

x∫x0

y = f (t)

xx0a b

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Mit Hilfe der Stammfunktion kann das Flachenproblem gelost werden:∫ b

af (x) dx = F (b) − F (a) .

Hauptsatz der Differenzial- und IntegralrechnungIst y = f (x) auf [a, b] stetig und F (x) wie folgt definiert:

F (x) =

af (t) dt ,

so ist F (x) fur a < x < b differenzierbar und es gilt

F ′(x) = f (x) fur x ∈ (a, b).

Damit ist das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens – beivorgegebener Ableitung wird die Ausgangsfunktion gesucht. F (x) heißtStammfunktion von f (x).

af (x) dx = F (b) − F (a) .

F (x) =

af (t) dt ,

F ′(x) = f (x) fur x ∈ (a, b).

af (x) dx = F (b) − F (a) .

F (x) =

af (t) dt ,

F ′(x) = f (x) fur x ∈ (a, b).

Eigenschaften des Integrals I

1 ∫ b

[f (x) + g(x)] dx =

f (x) dx +

g(x) dx∫ b

αf (x) dx = α

f (x) dx fur α ∈ IR

Linearitat

2 f (x) ≥≤ 0 auf [a, b] =⇒∫ b

f (x) dx ≥≤ 0 .

3 Das bestimmte Integral ergibtden orientierten Flacheninhalt, d.h. die vorzeichenbehaftete Flachezwischen dem Graphen einer Funk-tion und der x–Achse:

Z. B. y = sin x , a = 0, b = 2π.2π∫0

sin x dx = − cos x∣∣∣2πx=0

π 2π

y = sin x

Dabei wird die Teilflache oberhalb der x-Achse positiv, die Teilflache unterhalbnegativ gezahlt.

1 ∫ b

[f (x) + g(x)] dx =

f (x) dx +

g(x) dx∫ b

αf (x) dx = α

Linearitat

2 f (x) ≥≤ 0 auf [a, b] =⇒∫ b

f (x) dx ≥≤ 0 .

Z. B. y = sin x , a = 0, b = 2π.2π∫0

π 2π

y = sin x

1 ∫ b

[f (x) + g(x)] dx =

f (x) dx +

g(x) dx∫ b

αf (x) dx = α

Linearitat

2 f (x) ≥≤ 0 auf [a, b] =⇒∫ b

f (x) dx ≥≤ 0 .

Z. B. y = sin x , a = 0, b = 2π.2π∫0

π 2π

y = sin x

1 ∫ b

[f (x) + g(x)] dx =

f (x) dx +

g(x) dx∫ b

αf (x) dx = α

Linearitat

2 f (x) ≥≤ 0 auf [a, b] =⇒∫ b

f (x) dx ≥≤ 0 .

Z. B. y = sin x , a = 0, b = 2π.2π∫0

π 2π

y = sin x

Eigenschaften des Integrals II

Flachen zwischen zwei Kurven, diesich fur x = a und x = b schneiden:Integral zwischen a und b uber dieDifferenz obere Kurve minus untereKurve. Dies gilt auch fur den Fall,dass sich das gesuchte Gebiet zumTeil in der oberen und zum Teil inder unteren Halbebene befindet. Ad-diert man namlich zu beiden Funktio-nen eine genugend große KonstanteK , so liegt das zu bestimmende Ge-biet in der oberen Halbebene; Flachezwischen den Kurven bleibt gleich.

a[f (x)− g(x)] dx

a bg(x)

g(x) + K

f (x) + K

Integrationsregeln I

lineare Substitution:

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f (ax + b) dx = 1

a · F (ax + b) .

Formal: u = ax + b dudx = a dx = du

a∫f (ax + b) dx =

∫f (u)dua = 1

a ·∫

f (u) du = 1a · F (u)

∣∣∣u=ax+b

=F (ax + b)

nichtlineare Substitution:

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f(u(x)

)· u′(x) dx = F

Formal: u = u(x) dudx = u′(x) du = u′(x) · dx∫

f(u(x)

)· u′(x) dx =

∫f (u) du = F (u)

∣∣∣u=u(x)

= F(u(x)

Beispiel:

∫sin4(x) · cos(x) dx

u = sin(x)du = cos(x)dx

∫u4 du = u5

5 + C∣∣∣u=sin(x)

=sin5(x)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f (ax + b) dx = 1

a · F (ax + b) .

a∫f (ax + b) dx =

∫f (u)dua = 1

a ·∫

f (u) du = 1a · F (u)

∣∣∣u=ax+b

=F (ax + b)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f(u(x)

)· u′(x) dx = F

f(u(x)

)· u′(x) dx =

∫f (u) du = F (u)

∣∣∣u=u(x)

= F(u(x)

Beispiel:

∫u4 du = u5

5 + C∣∣∣u=sin(x)

=sin5(x)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f (ax + b) dx = 1

a · F (ax + b) .

a∫f (ax + b) dx =

∫f (u)dua = 1

a ·∫

f (u) du = 1a · F (u)

∣∣∣u=ax+b

=F (ax + b)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f(u(x)

)· u′(x) dx = F

f(u(x)

)· u′(x) dx =

∫f (u) du = F (u)

∣∣∣u=u(x)

= F(u(x)

Beispiel:

∫u4 du = u5

5 + C∣∣∣u=sin(x)

=sin5(x)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f (ax + b) dx = 1

a · F (ax + b) .

a∫f (ax + b) dx =

∫f (u)dua = 1

a ·∫

f (u) du = 1a · F (u)

∣∣∣u=ax+b

=F (ax + b)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f(u(x)

)· u′(x) dx = F

f(u(x)

)· u′(x) dx =

∫f (u) du = F (u)

∣∣∣u=u(x)

= F(u(x)

Beispiel:

∫u4 du = u5

5 + C∣∣∣u=sin(x)

=sin5(x)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f (ax + b) dx = 1

a · F (ax + b) .

a∫f (ax + b) dx =

∫f (u)dua = 1

a ·∫

f (u) du = 1a · F (u)

∣∣∣u=ax+b

=F (ax + b)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f(u(x)

)· u′(x) dx = F

f(u(x)

)· u′(x) dx =

∫f (u) du = F (u)

∣∣∣u=u(x)

= F(u(x)

Beispiel:

∫u4 du = u5

5 + C∣∣∣u=sin(x)

=sin5(x)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f (ax + b) dx = 1

a · F (ax + b) .

a∫f (ax + b) dx =

∫f (u)dua = 1

a ·∫

f (u) du = 1a · F (u)

∣∣∣u=ax+b

=F (ax + b)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f(u(x)

)· u′(x) dx = F

f(u(x)

)· u′(x) dx =

∫f (u) du = F (u)

∣∣∣u=u(x)

= F(u(x)

Beispiel:

∫u4 du = u5

5 + C∣∣∣u=sin(x)

=sin5(x)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f (ax + b) dx = 1

a · F (ax + b) .

a∫f (ax + b) dx =

∫f (u)dua = 1

a ·∫

f (u) du = 1a · F (u)

∣∣∣u=ax+b

=F (ax + b)

Es sei

∫f (x) dx = F (x) =⇒

∫f(u(x)

)· u′(x) dx = F

f(u(x)

)· u′(x) dx =

∫f (u) du = F (u)

∣∣∣u=u(x)

= F(u(x)

Beispiel:

∫u4 du = u5

5 + C∣∣∣u=sin(x)

=sin5(x)

Integrationsregeln II

Bei der Berechnung bestimmter Integrale gibt es zwei Moglichkeiten:

Die Substitutionsmethode wird nur zur Bestimmung der Stammfunktionbenutzt.Hier wird also zunachst das unbestimmte Integral berechnet.

Neben den Integrationsvariablen werden auch die Grenzenmittransformiert.

π2∫

2x + π6

)dx = 1

7π6∫

sin u du = − cos u2

∣∣∣u= 7π6

⇑︷︸︸︷u = 2x + π

6du = 2dx

dx = du2

x 0 π2

π2∫

2x + π6

7π6∫

∣∣∣u= 7π6

⇑︷︸︸︷u = 2x + π

6du = 2dx

dx = du2

x 0 π2

π2∫

2x + π6

7π6∫

∣∣∣u= 7π6

⇑︷︸︸︷u = 2x + π

6du = 2dx

dx = du2

x 0 π2

π2∫

2x + π6

)dx = 1

7π6∫

sin u du

= − cos u2

∣∣∣u= 7π6

⇑︷︸︸︷u = 2x + π

6du = 2dx

dx = du2

x 0 π2

π2∫

2x + π6

)dx = 1

7π6∫

∣∣∣u= 7π6

⇑︷︸︸︷u = 2x + π

6du = 2dx

dx = du2

x 0 π2

logarithmische Integration:

∫g ′(x)g(x)

dx = ln(|g(x)|

Beispiel:

1 + x2dx = ln(x2 + 1) + C

Produktintegration bzw. partielle Integration∫u(x) · v ′(x) dx = u(x) · v(x) −

∫u′(x) · v(x) dx bzw.

u(x) · v ′(x) dx = u(x) · v(x)∣∣∣ba−

u′(x) · v(x) dx

Beispiel:

∫x ln(x) dx = x [x ln(x)− x ]−

∫[x ln(x)− x ] dx

= x2 ln(x)− x2 −∫x ln(x) dx +

∫x dx

2∫x ln(x) dx = x2 ln(x)− x2 + x2

2 ∫x ln(x) dx = x2

2 ln(x)− x2

∫g ′(x)g(x)

dx = ln(|g(x)|

)Beispiel:

1 + x2dx = ln(x2 + 1) + C

u(x) · v ′(x) dx = u(x) · v(x)∣∣∣ba−

u′(x) · v(x) dx

Beispiel:

= x2 ln(x)− x2 −∫x ln(x) dx +

∫x dx

2∫x ln(x) dx = x2 ln(x)− x2 + x2

2 ∫x ln(x) dx = x2

2 ln(x)− x2

∫g ′(x)g(x)

dx = ln(|g(x)|

)Beispiel:

1 + x2dx = ln(x2 + 1) + C

u(x) · v ′(x) dx = u(x) · v(x)∣∣∣ba−

u′(x) · v(x) dx

Beispiel:

= x2 ln(x)− x2 −∫x ln(x) dx +

∫x dx

2∫x ln(x) dx = x2 ln(x)− x2 + x2

2 ∫x ln(x) dx = x2

2 ln(x)− x2

∫g ′(x)g(x)

dx = ln(|g(x)|

)Beispiel:

1 + x2dx = ln(x2 + 1) + C

u(x) · v ′(x) dx = u(x) · v(x)∣∣∣ba−

u′(x) · v(x) dx

Beispiel:

= x2 ln(x)− x2 −∫x ln(x) dx +

∫x dx

2∫x ln(x) dx = x2 ln(x)− x2 + x2

2 ∫x ln(x) dx = x2

2 ln(x)− x2

∫g ′(x)g(x)

dx = ln(|g(x)|

)Beispiel:

1 + x2dx = ln(x2 + 1) + C

u(x) · v ′(x) dx = u(x) · v(x)∣∣∣ba−

u′(x) · v(x) dx

Beispiel:

= x2 ln(x)− x2 −∫x ln(x) dx +

∫x dx

2∫x ln(x) dx = x2 ln(x)− x2 + x2

2 ∫x ln(x) dx = x2

2 ln(x)− x2

∫g ′(x)g(x)

dx = ln(|g(x)|

)Beispiel:

1 + x2dx = ln(x2 + 1) + C

u(x) · v ′(x) dx = u(x) · v(x)∣∣∣ba−

u′(x) · v(x) dx

Beispiel:

= x2 ln(x)− x2 −∫x ln(x) dx +

∫x dx

2∫x ln(x) dx = x2 ln(x)− x2 + x2

2 ∫x ln(x) dx = x2

2 ln(x)− x2

Gebrochen rationale Funktionen

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

Durch Polynomdivision lasst sich der ganzrationale Anteil abspalten. Fur große|x | verhalt sich die Funktion f (x) asymptotisch wie das abgespaltene Polynom.

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x6 +5x5 +9x4 +0x3−10x2− x +6:(x5 + 5x4 + 8x3 + 0x2 − 9x − 5) =

x + . . .x6 +5x5 +8x4 +0x3− 9x2 −5x

x4 − x2 +4x +6

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lasst sich das Nennerpolynom alsein Produkt von Linearfaktoren und nicht weiter zerlegbaren quadratischenAusdrucken darstellen.

qm(x) = . . . ·(x−xi ) · . . . ·(x−xj)r · . . . ·(x2 +αkx +βk) · . . . ·(x2 +αlx +βl)

Jedem Faktor des Nennerpolynoms entspricht bei der Partialbruchzerlegung ein

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x6 +5x5 +9x4 +0x3−10x2− x +6:(x5 + 5x4 + 8x3 + 0x2 − 9x − 5) =

x + . . .x6 +5x5 +8x4 +0x3− 9x2 −5x

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x6 +5x5 +9x4 +0x3−10x2− x +6:(x5 + 5x4 + 8x3 + 0x2 − 9x − 5) =

x + . . .x6 +5x5 +8x4 +0x3− 9x2 −5x

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x6 +5x5 +9x4 +0x3−10x2− x +6:(x5 + 5x4 + 8x3 + 0x2 − 9x − 5) =

x + . . .x6 +5x5 +8x4 +0x3− 9x2 −5x

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x6 +5x5 +9x4 +0x3−10x2− x +6:(x5 + 5x4 + 8x3 + 0x2 − 9x − 5) = x + . . .x6 +5x5 +8x4 +0x3− 9x2 −5x

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x4 − x2 +4x +6

Summand.

f (x) =pn(x)qm(x)

= a0 + a1x + . . .+ anxn

b0 + b1x + . . .+ bmxm ;

an 6= 0bm 6= 0

g(x) = x6 + 5x5 + 9x4 − 10x2 − x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

= x + x4 − x2 + 4x + 6x5 + 5x4 + 8x3 − 9x − 5

x4 − x2 +4x +6

Summand.

Partialbruchzerlegung

einfache reelle Nullstelle des Nennerpolynoms

(x − xi ) −→ Ai(x − xi )

r -fache reelle Nullstelle des Nennerpolynoms

(x − xj)r −→ Bj1

(x − xj)+

(x − xj)2 + . . .+

(x − xj)r

einfaches quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle

(x2 + αkx + βk) −→ Ck + Dkx(x2 + αkx + βk)

r -faches quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (x2 + αlx + βl)r

−→ El1 + Fl1x(x2 + αlx + βl)

+ El2 + Fl2x(x2 + αlx + βl)

2 + . . .+ Elr + Flrx(x2 + αlx + βl)

Die Koeffizienten bestimmt man durch Koeffizientenvergleich der Zahler, nach-

dem die Summanden auf den Hauptnenner gebracht wurden. Bei einfachen

reelle Nullstellen des Nenners, lassen sich die Koeffizienten auch dadurch bes-

timmen, dass man mit dem entsprechenden Linearfaktor multipliziert und dann

die zugehorige Nullstelle einsetzt (Zuhaltemethode).

(x − xi ) −→ Ai(x − xi )

(x − xj)r −→ Bj1

(x − xj)+

(x − xj)2 + . . .+

(x − xj)r

−→ El1 + Fl1x(x2 + αlx + βl)

2 + . . .+ Elr + Flrx(x2 + αlx + βl)

(x − xi ) −→ Ai(x − xi )

(x − xj)r −→ Bj1

(x − xj)+

(x − xj)2 + . . .+

(x − xj)r

−→ El1 + Fl1x(x2 + αlx + βl)

2 + . . .+ Elr + Flrx(x2 + αlx + βl)

(x − xi ) −→ Ai(x − xi )

(x − xj)r −→ Bj1

(x − xj)+

(x − xj)2 + . . .+

(x − xj)r

−→ El1 + Fl1x(x2 + αlx + βl)

2 + . . .+ Elr + Flrx(x2 + αlx + βl)

(x − xi ) −→ Ai(x − xi )

(x − xj)r −→ Bj1

(x − xj)+

(x − xj)2 + . . .+

(x − xj)r

−→ El1 + Fl1x(x2 + αlx + βl)

2 + . . .+ Elr + Flrx(x2 + αlx + βl)

die zugehorige Nullstelle einsetzt (Zuhaltemethode).Fakultat Grundlagen Integralrechnung Folie: 12

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