Integralrechnung - Matheblog Oberstufe · 2018. 2. 17. · Modul 2 Grundlagen Wissen..... 11...

Kü /Ma Integralrechnung SJ 2017/2018

Integralrechnung

Inhalt Integralrechnung ..................................................................................................................................... 1

Kompetenzen, die am Ende erreicht sein müssen .......................................................................... 2

Anleitung – Wie gehe ich mit einem Skript um? .............................................................................. 3

Materialien .............................................................................................................................................. 7

Weg A Projekt .......................................................................................................................................... 9

Weg B (Skript) ........................................................................................................................................ 10

Modul 1 Problemorientierter Einstieg ............................................................................................. 10

Kapitel 1 Streckenberechnung ..................................................................................................... 10

Modul 2 Grundlagen Wissen ............................................................................................................ 11

Kapitel 1 Ober- und Untersumme berechnen ............................................................................. 11

Zusatz Kapitel 2 Von der Obersumme zum Integral (nicht abiturrelevant) ............................... 11

Modul 3 Hauptsatz der Differential- Integralrechnung (HDI) und graphisch integrieren .............. 12

Modul 4 Rechentechniken zur Integralrechnung ............................................................................ 13

Kapitel 1 Grundlegende Integrale und Rechentechniken ........................................................... 13

Kapitel 2 Einstiegsproblem ........................................................................................................... 14

Kapitel 3 weiterführende Integrationsregeln .............................................................................. 14

Modul 5 Flächen- und Volumenberechnung ................................................................................... 16

Kapitel 1 Problem der negativen Flächen .................................................................................... 16

Kapitel 2 Schnittfläche zwischen zwei Funktionen ...................................................................... 16

Kapitel 3 Rotationskörper ............................................................................................................ 17

Kapitel 4 Anwendungsaufgaben (wichtig!!!) ............................ Fehler! Textmarke nicht definiert.

Modul 6 Mittelwertsatz der Integralrechnung ................................................................................ 18

Zusatz Modul 7 Optimierungsprobleme (Abiturrelevant) .............................................................. 20

Modul 8 Abituraufgaben .................................................................................................................. 21


Kompetenzen, die am Ende erreicht sein müssen Fülle folgenden Fragebogen zu Beginn des Themas und am Ende einmal aus:

Kompetenzen, die du nun erreicht haben solltest + 0 -

Einstieg

Ich verstehe, wozu man die Integralrechnung in der Mathematik verwenden kann

Grundlagen

Ich weiß, wie man die Ober- und Untersumme bildet, um eine Fläche anzunähern

Zusatz Ich weiß, wie man mit Hilfe des Limes aus der Ober- bzw. Untersumme das Integral berechnet

HDI und graphisch integrieren

Ich kenne den HDI und kann die zwei Aussagen daraus in der Integralrechnung anwenden

Ich kann graphisch integrieren

Rechentechniken zur Integralrechnung

Ich kenne alle grundlegenden Integrale

Ich beherrsche die Potenz- und Summenregel

Ich kann mittels Substitution integrieren

Zusatz Ich kann mittels partieller Integration integrieren

Flächen- und Volumenberechnung

Ich kann die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt, berechnen – auch wenn Teile davon unterhalb der x-Achse liegen

Ich kann die Fläche, die zwischen zwei Graphen eingeschlossen ist, berechnen

Ich kann Rotationskörper im die x-Achse berechnen

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ich kenne den Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ich kann den Mittelwertsatz in Aufgaben anwenden

Zusatz Ich kann Optimierungsprobleme mittels Integralrechnung lösen

Ich kann Abituraufgaben zum Thema Analysis vollständig lösen


Anleitung – Wie gehe ich mit einem Skript um? Im Folgenden wird genau beschrieben, wie du mit einem Skript arbeiten kannst und

worauf du dabei achten musst. Du kannst dir dies zusätzlich – oder stattdessen – auch in

einem Video erklären lassen:

Schaue dir dazu auf www.youtube.com/alexkueck11 das Video mit dem Namen „Aufbau

eines Skriptes“ an.

Um dir das Thema „Integralrechnung“ zu erarbeiten, kannst du grundsätzlich zwei

verschiedene Wege gehen:

Weg A – hier nicht vorhanden.

Weg B – Du gehst die einzelnen Module Schritt für Schritt durch und erarbeitest dir

so nach und nach die einzelnen Module (hier lernst du sozusagen Stück für Stück, wie

die Projektaufgabe gelöst werden kann. Die Projektaufgabe wurde daher auch in

„kleine Häppchen“ aufgeteilt und am Ende von jedem Modul wird ein Stück der

Projektaufgabe gelöst).

Mit beiden Wegen kannst du die geforderten Kompetenzen erwerben. Wenn du schon

einiges über die funktionale Programmierung weist und gerne an etwas knobelst, kannst

du Weg A wählen. Behalte dabei aber immer auch im Auge, was du am Ende der Einheit

können musst.

Wenn du in diesem Bereich aber noch unsicher bist und das Thema lieber Schritt für

Schritt erklärt bekommen möchtest, um es zu begreifen, wähle zunächst lieber Weg B.

Auch hier löst du die Projektaufgabe, aber eben Schritt für Schritt und es wird dir

vorgegeben, wie der Lösungsweg aussehen kann.

Wenn du einen der beiden Wege eingeschlagen hast, bedeutet das allerdings nicht, dass

du darauf festgelegt bist! Natürlich kannst du vom Projekt auch wieder auf die Module

umsteigen, zum Beispiel, wenn du bei einer Sache nicht weiterkommst. Ebenso kannst

du auch zur Projektaufgabe wechseln, wenn du nach ein paar Modulen merkst, dass du

jetzt schon gut im Thema drin bist, und versuchen möchtest, eigenständig weiter zu

knobeln.

Lege dir eine Mappe an, in der du alle Lösungen und (Zwischen-) Ergebnisse zu den

Aufgaben bzw. dem Projektvorhaben festhältst.

Wichtig: Du kannst deine Ergebnisse immer zwischendurch mit dem Lehrer abgleichen, um

zu sehen, ob du auf dem richtigen Weg bist.

Gerade wenn du an dem Projekt arbeitest (aber auch wenn du mit dem Skript

eigenverantwortlich durch das Thema gehst), ist es wichtig, dass du festhältst, wie du

vorgegangen bist. Das tust du bitte in einem Blog oder einer Mappe. Dort hältst du fest, in

welche Probleme du gelaufen bist und wie du sie gelöst hast – und vor allem, was du

dadurch gelernt hast.

Wichtige Ergebnisse, Erkenntnisse, Merksätze oder Lösungsstrategien gehören hier

ebenfalls hin. Am besten ist es, wenn du das in deinen eigenen Worten oder auch durch

eine Skizze ausdrücken kannst. Selbst wenn das dann nicht ganz richtig ist, ist es besser


so, als etwas Fertiges abzuschreiben. Der Lehrer kann so drauf schauen und dir helfen,

wenn du etwas noch nicht vollständig verstanden hast.

Problemlösestrategien stehen bei diesem Projekt im Vordergrund nicht die Inhalte!

Wenn du nicht genau weißt, was du aufschreiben sollst, lasse es dir vom Lehrer erläutern.

Vorgefertigte Bögen, wo du Hilfestellung zu den Inhalten bekommst, kannst du beim Lehrer

abholen.

Weg A – Bearbeitung der Projektaufgabe:

Hier nicht vorhanden.

Weg B – Bearbeitung der Module

Gehe die Module Schritt für Schritt durch. Um die in jedem Modul angegebenen

Aufgaben bearbeiten zu können, musst du vorher lernen, wie das geht. Nicht der

Lehrer erklärt dir das, du entscheidest, auf welchem Weg du die Informationen haben

möchtest und musst sie dann selbst so für dich zusammenstellen, dass du die

Aufgaben lösen kannst. In der Regel kannst du wählen zwischen einem erklärenden

Text, Webseiten, auf denen du passende Informationen findest oder erklärenden

Videos. Diese kannst du dir so oft ansehen, wie du es brauchst und magst. Wenn du

dennoch weitere Erklärungen benötigst, notiere dir deine Fragen und wende dich damit

an deinen Lehrer oder suche im Internet selbst nach weiteren erklärende Texten oder

Videos. Der Lehrer ist da, um dich in deinem Lernen zu unterstützen, aber du musst

aktiv werden und nachfragen, wenn etwas unklar ist.

Es ist wichtig, dass du alle neuen Begriffe, die du nicht kennst, klärst und richtig

verstehst. Du musst sie in eigenen Worten beschreiben oder sie in einer Skizze

darstellen können.

Gehe bei jedem der Kapitel wie folgt vor:

1. Zu Beginn jedes Kapitels findest du Verweise auf Materialien, die dir helfen sollen,

das Thema zu verstehen, damit du später die dazugehörigen Aufgaben lösen

kannst. Das können zum Beispiel sein:

- erklärende Videos,

- Infotexte (parallel zu den Videos),

- Seiten in einem Schulbuch und

- Texte in Zeitschriften oder auch

- Internetseiten

2. Eventuell brauchst du trotz der Materialien eine zusätzliche Erklärung, dann frage

beim Lehrer nach. Eventuell haben andere ja auch diese Frage, dann kannst du

auch einen kurzen Lehrvortag dazu bekommen oder ein zusätzliches erklärendes

Video.

3. Die Videos und Dateien, auf die in diesem Skript verwiesen werden, findest du

o auf dem YouTube-Kanal: youtube.com/alexkueck11


4. Falls du in den Materialien auf unbekannte Begriffe stößt, notiere diese. Das

können auch einfache Worte sein. Versuche sie mithilfe der weiteren Materialien

oder durch eigene Recherchen zu klären.

5. Wenn du das Thema verstanden hast und alle darin enthaltenen Fachbegriffe in

deinen eigenen Worten oder mittels einer Skizze erklären kannst, gehst du weiter

zu den Aufgaben:

- Die Aufgaben fordern dich auf, das Gelernte nun anzuwenden.

- Gehe die Aufgabe, die im Skript angegeben sind der Reihe nach durch

(die Aufgaben sind logisch aufeinander aufgebaut, daher der Reihe nach

durchgehen).

- Wenn du eine Aufgabe nicht bearbeiten kannst, gehe noch einmal über die

Materialien oder schaue dir das erklärende Video erneut an. Vielleicht hast

du einen neuen Begriff oder eine neue Idee noch nicht ganz verstanden –

dann hole das nun nach.

- Wenn das nichts hilft, frage bei Mitschülern oder dem Lehrer nach. Lass

dir aber nicht die ganze Aufgabe lösen. Wichtig ist, dass du eigenständig

an einer Lösung arbeitest – auch wenn sie am Ende vielleicht nicht ganz

richtig ist.

- Wenn du an deiner Lösung zweifelst, schaue in den Musterlösungen nach

(falls vorhanden) oder frage den Lehrer, ob er sich deine Ergebnisse auch

zwischendurch anschauen kann.

Falls du bei einer Aufgabe doch noch Schwierigkeiten hast, schaue dir noch

einmal die erklärenden Materialien an.

Wichtig ist, dass du selbst an den Lösungen arbeitest und nicht andere das

mache lässt.

6. Wenn Aufgaben, die mit einem Zusatz gekennzeichnet sind, brauchst du nicht

bearbeiten. Diese Aufgaben sind schwieriger und gehen über das hinaus, was du

als Minimum erreichen musst, um das Skript erfolgreich abzuschließen. Für eine

abschließende Note im Einser- oder Zweier-Bereich solltest du aber

zumindest einige dieser Zusatzaufgaben bearbeiten.

7. Es wird zwischendurch Tests geben, diese werden rechtzeitig angegeben. Auch

welche Kompetenzen in den Tests angefragt werden.


Wichtig:

Wichtig ist, dass du bei der Arbeit mit dem Skript selbst aktiv wirst und deinen eigenen

Lernprozess überwachst:

Liege ich noch gut in der Zeit?

Habe ich alles verstanden/begriffen oderbrauche ich noch Hilfe oder zusätzliche

Erklärungen?

Wie kann ich Zusammenhänge besser verstehen/begreifen, die noch unklar sind?

Wer kann mir bei der Bearbeitung der Aufgaben helfen?

Du musst selbst entscheiden, wo du dir weitere Informationen/hilfen holen möchtest und von

dir aus auf deinen Lehrer oder Mitschüler zugehen, um Fragen zu stellen, damit du die

Themen und Begriffe besser verstehst und am Ende die geforderten Zielkompetenzen

erreichst!

Es wird am Ende eine Klausur geben, die du bestehst, wenn du alle Aufgaben bearbeitet und

verstanden/begriffen hast und die Kompetenzen erreicht hast.


Materialien Videos

Integralrechnung

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-einfuehrung-beispiel-strecke

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-ober-und-untersumme

Obersumme in n Teilen berechnen: https://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmY

Zusatz Obersumme und der Limes: https://www.youtube.com/watch?v=MBsHRSxuDKM

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdi

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren-ii

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregel

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregel

Zusatz: http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-partielle-integration

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-negative-flaechen

Fläche zwischen zwei Graphen: https://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4

Mittelwertsatz: https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7

Zusatz Einführung Extremwertaufgaben: https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxo

Zusatz maximaler Flächeninhalt: https://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bI

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-rotationskoerper

Texte Integralrechnung

http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad

https://www.dom-gymnasium.de/mathpage/12/Integration/integral01.html

http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/

Bestimmtes Integral - Grundwissen

https://www.mathebibel.de/integration-durch-substitution

https://www.mathebibel.de/partielle-integration

https://www.mathebibel.de/integrationsregeln

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/fleache-zwischen-funktionen.html rotation

Arbeitsblätter im Skript

Integralrechnung Einführung Beispiel Strecke

Bestimmtes Integral - Anwendungsaufgabe Heißluftballon

Berechnung Bestimmter Integrale mit Stammfunktionen - Einf…

Potenzregel Aufgaben

e fkt integ und abl

Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-einfuehrung-beispiel-streckehttp://kkghh.de/neu.php?name=ober-und-untersummehttps://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmYhttps://www.youtube.com/watch?v=MBsHRSxuDKMhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdihttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregelhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregelhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-partielle-integrationhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-negative-flaechenhttps://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxohttps://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bIhttps://www.dom-gymnasium.de/mathpage/12/Integration/integral01.htmlhttp://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/file:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Grundwissen.pdfhttps://www.mathebibel.de/integration-durch-substitutionhttps://www.mathebibel.de/partielle-integrationhttps://www.mathebibel.de/integrationsregelnhttp://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/fleache-zwischen-funktionen.htmlfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Skript/rotation.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docxfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Anwendungsaufgabe%20Heißluftballon.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Einführung/Berechnung%20Bestimmter%20Integrale%20mit%20Stammfunktionen%20-%20Einf….pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/Potenzregel%20Aufgaben.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/e%20fkt%20integ%20und%20abl.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen.pdf


finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen

AufgabeSektglas

arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung

Der Tropf mit Lösung

Das Bierschaumexperiment

textaufgaben-zur-integralrechnung6 aufgaben-paket-2-ea-mat1

mat1-ea-paket2-ab-2016


Kurzzusammenfassung der Themen

https://www.studyhelp.de/mathe/analysis/integralrechnung/

file:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Rotationskörper/AufgabeSektglas.docfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/ganzrationale%20Funktionen/arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Der%20Tropf%20mit%20Lösung.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Das%20Bierschaumexperiment.docxfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/textaufgaben-zur-integralrechnung6.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/aufgaben-paket-2-ea-mat1.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket2-ab-2016.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket3-ab-2016.pdf


Weg A Projekt Du kannst statt der Skriptaufgaben auch folgende Projektaufgaben bearbeiten. Das aber bitte nur in

Absprache mit der Lehrkraft, da die Projektaufgaben nicht alle nötigen Kompetenzen abdecken –

diese musst du zu gegebener Zeit im Skript nacharbeiten. Behalte daher die Kompetenzübersicht

stets im Blick.

Kompetenzübersicht

Projektaufgaben


Weg B (Skript) Modul 1 Problemorientierter Einstieg Was kann man mit Integralrechnung eigentlich tun – was ist der Nutzen davon? Diese Frage soll hier

zunächst beantwortet werden

Kapitel 1 Streckenberechnung Man berechnet die Länge der zurückgelegten Strecke bei einer gleichförmigen Geschwindigkeit über

𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡. Im v-t-Diagramm entspricht dieses Produkt also der Fläche unter dem Graphen.

Bearbeite zunächst folgendes Arbeitsblatt, schaue das Video nur, wenn du nicht weiterkommst.

Videos:

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-einfuehrung-beispiel-strecke

Erklärende Texte:

…

Aufgabe 1.1 Integralrechnung Einführung Beispiel Strecke

../problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docx


Modul 2 Grundlagen Wissen Wie kann man die Fläche unter gekrümmten Graphen berechnen? Oder zumindest gut annähern.

Wie das geht, erfährst du hier

Kapitel 1 Ober- und Untersumme berechnen Um die Fläche unter einer gekrümmten Kurve zu berechnen, zumindest annähernd, bildet man die

Ober- und Untersumme. Was das ist und wie man es berechnet, erfährst du hier.

Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-ober-und-untersumme

Erklärender Text: o http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernp

fad

Aufgabe 2.1

1. Gegeben ist die Funktion f(x)=3x³. Bestimme die Ober und Untersumme für n=8 Rechtecke im Intervall [0..2]

2. Mache einen Merkhefteintrag, indem du genau erläuterst, wozu man die Ober- bzw. Untersumme berechnet und wie man das macht.

3. Wähle dir selbst weitere Funktionen aus, um im Intervall zwischen [0..2] die Ober- und Untersumme berechnen und können – bis du es sicher kannst.

Zusatz Kapitel 2 Von der Obersumme zum Integral (nicht

abiturrelevant) Integralrechnung ist quasi die Ober. Bzw. Untersumme nur als exakte Fläche – nicht genähert. Wie

kommt man nun von der Ober- bzw. Untersumme zum Integral?

Erklärendes Video: o Obersumme in n Teilen berechnen:

https://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmY o Obersumme und der Limes: https://www.youtube.com/watch?v=MBsHRSxuDKM

Erklärender Text: o https://www.dom-gymnasium.de/mathpage/12/Integration/integral01.html

Aufgabe 2.2. Berechne mit Hilfe der Obersumme die Fläche von x+1, x² und x³ im Intervall [0..1]

Tipp: es gilt: o 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 o 1²+2²+3²+…+ n² =n(n+1)(2n+1)/6 o 1³+2³+3³+…+n³ = n²(n+1)²/4

http://kkghh.de/neu.php?name=ober-und-untersummehttps://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmY


Modul 3 Hauptsatz der Differential- Integralrechnung

(HDI) und graphisch integrieren Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist eine der wichtigsten Aussagen in der

Analysis (.. das Thema in der Mathematik, was mit Funktionen und so zu tun hat…). Er sagt aus, wie

integrieren und differenzieren miteinander zusammenhängen – nämlich das das jeweils eine die

Umkehrung des anderen ist!

Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdi o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren-ii

Erklärender Text: o http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernp

fad/ o Bestimmtes Integral - Grundwissen

Aufgabe 3.1.

1. Mache einen Merkhefteintrag zum HDI und formuliere in eigenen Worten die zwei wichtigen Aussagen.

2. Einstiegsaufgabe graphisch integrieren: Bestimmtes Integral - Anwendungsaufgabe Heißluftballon

3. Einstieg bestimmte Integrale und graphisch integrieren: Berechnung Bestimmter Integrale mit Stammfunktionen - Einf…

weitere Aufgaben graphisch integrieren: Aufgaben zur graphischen Integration

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdihttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/../Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Grundwissen.pdf../Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Anwendungsaufgabe%20Heißluftballon.pdf../Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Anwendungsaufgabe%20Heißluftballon.pdf../Einführung/Berechnung%20Bestimmter%20Integrale%20mit%20Stammfunktionen%20-%20Einf….pdf../Einführung/Berechnung%20Bestimmter%20Integrale%20mit%20Stammfunktionen%20-%20Einf….pdf../Aufgaben/Aufgaben%20zur%20graphischen%20Integration.pdf


Modul 4 Rechentechniken zur Integralrechnung Rein rechnerisch entspricht das Integrieren dem “rückwärts“ ableiten und wird daher auch oft

„aufleiten“ genannt. Leider ist es aber nicht immer ganz so einfach, daher musst du ein paar

grundlegende Rechentechniken beherrschen.

Kapitel 1 Grundlegende Integrale und Rechentechniken Hier zunächst ein paar Funktionen von denen man die Stammfunktion einfach kennen muss (leider auswendig lernen):

Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregel

Erklärender Text: o https://www.mathebibel.de/integrationsregeln

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregel


Aufgabe 4.1. 1. Potenzregel Aufgaben 2. Bestimme allgemein die Stammfunktion zu 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥+𝑏 3. Übungen zu e-Funktionen (17, 18, 4.Übung 1 und 2, Zusatz: Übung 3,4): e fkt integ

und abl 4. Allgemeine Übungen:

a. Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen b. finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen

Kapitel 2 Einstiegsproblem Nun solltest du alle Techniken beherrschen, um den Rest des Einstiegsproblems lösen zu können

Aufgabe 4.2. 1. Löse das Einstiegsproblem nun vollständig: Integralrechnung-Einführung am

Beispel Strecke

Kapitel 3 weiterführende Integrationsregeln Genau wie beim Ableiten, gibt es auch beim Aufleiten ein paar mathematische „Tricks“, mit denen

man eventuell auch komplexere Funktionen aufleiten kann. Die Substitution entspricht in etwa der

Substitution beim ableiten – man muss nur auf die Integrationskonstante aufpassen.

Die partielle Integration entspricht in etwa der Produktregel. Aber man kann einige Produkte von

Funktionen damit integrieren.

Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregel o Zusatz: http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-partielle-

integration Erklärender Text:

o https://www.mathebibel.de/integration-durch-substitution o Zusatz https://www.mathebibel.de/partielle-integration

Aufgabe 3.3 1. Schreibe in dein Merkheft einen Algorithmus zur

Substitutionsregel

Zusatz partiellen Integration

2. Weise jeweils mit Hilfe der Substitution nach, dass F eine Stammfunktion von f ist:

12)( xexF 1

2

2)( xexxf

../Aufgaben/Potenzregel%20Aufgaben.pdf../e%20fkt%20integ%20und%20abl.pdf../e%20fkt%20integ%20und%20abl.pdf../Aufgaben/Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen.pdf../Aufgaben/finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen.pdf../problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docx../problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docxhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregelhttps://www.mathebibel.de/integration-durch-substitutionhttps://www.mathebibel.de/partielle-integration


)2ln()(xexF x

x

e

exf

2)(

5)13(

5

1)( xxF 4133)( xxf

2212)( xxF

221

4)(

x

xxf

3. Übungen zur Substitution:

Finde heraus, welche Struktur die Funktionen f aufweisen

Integriere mittels Substitution

Zusatz Löse mit Hilfe der partiellen Integration


Modul 5 Flächen- und Volumenberechnung Wie kann man mit Hilfe der Integralrechnung konkrete Flächen berechnen mit gekrümmten

Umrandungen.

Kapitel 1 Problem der negativen Flächen Eigentlich gibt es natürlich keine negativen Flächen, aber liegt eine Fläche im KOS unterhalb

der x-Achse, so bekommt sie ein negatives Vorzeichen. D.h. berechnet man eine

Gesamtfläche unter einem Graphen und der Graph wechselt dabei von positiven y-Werten

zu negativen, so bekommt man nicht die korrekte Fläche berechnet.

Erklärendes Video (nur falls nötig):

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-negative-flaechen

Aufgabe 5.1. 1. Bevor du das Video schaust, überlege selbst einmal, wie man das Problem der

negativen Flächen beheben könnte. D.h. ich möchte von 0 bis 8 integrieren und die Fläche unter dem Graphen bestimmen, aber die Funktionswerte des Graphen sind von 0-4 positiv und ab 4 negativ.

2. Buch S. 175, Aufgabe 2, 3, 4; S. 181, Aufgabe 1

Kapitel 2 Schnittfläche zwischen zwei Funktionen Um die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, benutzt man

folgenden Ansatz

Erklärendes Video:

Fläche zwischen zwei Graphen: https://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4

Erklärender Text:

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/fleache-zwischen-funktionen.html

Aufgabe 5.2. 1. Wähle 5 der im Link aufgeführten Aufgaben aus und löse sie (ohne vorher in die

Lösung zu schauen!!!): http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p6_int_t_03/p6_int_t_03.htm

2. Zusatz (Achtung Abiturrelevant): Gegeben sei die Funktion 𝑓𝑢(𝑥) =1

8𝑥3 + 𝑢 ∙ 𝑥2.

Bestimme u, so dass ein Wendepunkt der Funktion bei x=3 liegt

Berechne für 𝑢 = 3

4 die Fläche, die zwischen der Normalen im

Wendepunkt, der Kurve (Graph) und der y-Achse liegt.

Berechne für 𝑢 = 3

4 die Fläche, die zwischen der Normalen im

Wendepunkt, der Kurve (Graph) und der x-Achse liegt.

https://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p6_int_t_03/p6_int_t_03.htm


Kapitel 3 Rotationskörper Wenn man die Funktion um die x-Achse rotieren lässt, entsteht ein Rotationskörper. Sein

Volumen kann man mit Hilfe der Integralrechnung berechnen

Erklärendes Video:

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-rotationskoerper ErklärenderText

o rotation

Aufgabe 5.3. 1. Berechne folgende Volumina:

𝑓(𝑥) = 5 [2,3]

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4 [0,2]

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 [0,2]

𝑓(𝑥) = √𝑟2 − 𝑥2 [−𝑟, 𝑟]

2. .

3. .

4. AufgabeSektglas

http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-rotationskoerperrotation.pdf../Rotationskörper/AufgabeSektglas.doc


Modul 6 Mittelwerte bei Integralen Häufig kommt das in Teilaufgaben vor, daher hier noch eine Erklärung, wenn nach mittleren

Werten beim Integrieren gefragt wird.

Erklärendes Video:

https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7

Aufgabe 6.1.

1. Berechne die Mittelwerte zu den folgenden Funktionen im jeweils angegebenen Bereich:

a. 𝑓(𝑥) =1

𝑥2 𝑓ü𝑟 𝑥 𝑖𝑛 [1,6]

b. 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 𝑓ü𝑟 𝑥 𝑖𝑛 [−1,3] c. Zusatz: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) 𝑓ü𝑟 𝑥 𝑖𝑛 [0,2𝜋]

i. Tipp: partielle Integration einmal anwenden und dann sin²x+cos²x=1 anwenden.

d. Ein Auto beschleunigt in 10 s von 0 auf 100 km/h. In dieser Zeit verläuft die Geschwindigkeit in etwa entlang der Funktion

𝑣(𝑡) =1

3,6∙ 𝑡(20 − 𝑡) (𝑖𝑛

𝑚

𝑠)

i. Wie viel Strecke hat das Auto nach 5 Sekunden zurückgelegt? ii. Wie viel Strecke hat das Auto im Mittel pro Sekunde in dem

Zeitraum von 0 bis 10 Sekunden zurückgelegt? e. Der Mittelwert der Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 beträgt 27 in dem Intervall

[0,a]. Bestimme a.


Modul 7 Anwendungsaufgaben Ein paar komplexere Aufgaben zur Anwendung von den bisher erlernten Rechentechniken

Aufgabe 7.1.

1. arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung (2. Ist Zusatz) 2. Der Tropf mit Lösung (schwieriger) 3. Das Bierschaumexperiment2 4. textaufgaben-zur-integralrechnung6

../Aufgaben/ganzrationale%20Funktionen/arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung.pdf../Der%20Tropf%20mit%20Lösung.pdfAB%20zum%20Skript/Das%20Bierschaumexperiment2.docx../Aufgaben/textaufgaben-zur-integralrechnung6.pdf


Zusatz Modul 8 Optimierungsprobleme

(Abiturrelevant) Wie kann man den maximalen Flächeninhalt bestimmen….

Erklärendes Video: o Einführung

Extremwertaufgaben: https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxo

o maximaler Flächeninhalt: https://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bI

Aufgabe 7.1.

1. schreibe einen Algorithmus mit Haupt- und Nebenbedingung auf, wie man an Extremwertaufgaben herangeht.

2.

3.

4.

https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxohttps://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bI


Modul 9 Abituraufgaben Gemischt, verschiedene Funktionsarten mit Differential und Integralrechnung – jetzt musst

du alles können zum Thema Analysis.

Aufgabe 7.1. aufgaben-paket-2-ea-mat1


file:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/aufgaben-paket-2-ea-mat1.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket2-ab-2016.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket3-ab-2016.pdf

Integralrechnung - Matheblog Oberstufe · 2018. 2. 17. · Modul 2 Grundlagen Wissen..... 11...

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