Irreduzibilität

Andreas Flesch

Irreduzibilität 2

Motivation

• i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe

• Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen

• zurückführbar auf endliche Zahl von „Grunddarstellungen“?

Irreduzibilität 3

• endliche Gruppe: alle Darstellungen können aus endlicher Zahl „unterschiedlicher irreduzibler“ Darstellungen gewonnen werden

Irreduzibilität 4

Definition

• L invarianter Vektorraum bezüglich Darstellung von G:

GGLrGTLr aa

)(

• T reduzibel: es existiert Teilraum L1 (L10, L1L) und orthogonales Komplement L2 von L, so dass beide invariant unter T sind

Irreduzibilität 5

• wichtig: L2 auch invariant

• andere Lehrbücher: Reduzibilität Vollreduzibilität

• T irreduzibel: es existiert kein solcher Unterraum

Irreduzibilität 6

unitäre Darstellungen

• alle T(Ga) unitär: Invarianz von L1 => Invarianz von L2

• Beweis: ei: Basis von L1, ej: Basis von L2

2

11

)(

0)(,0,)(

0,)(0,)(

LeGT

eGTeeeGT

eeGTeeGT

ja

jaijia

jiajia

Irreduzibilität 7

• Bem.: Darstellungen in der Physik in der Regel unitär (im Folgenden vorausgesetzt)

Irreduzibilität 8

Folgerungen

• Zerlegung von L in invariante und irreduzible Unterräume (nicht eindeutig):

q

qLL

• T(q)(Ga):irreduzible Darstellung von G in Lq

• Achtung: Summe von Operatoren aus verschiedenen Räumen

)(...)()()( )()2()1(a

naaa GTGTGTGT

Irreduzibilität 9

• Darstellungsmatrizen bez. „sortierter“ Basen der Unterräume Lq (Blockdiagonalform):

000

00

0)(0

00)(

)()2(

)1(

a

a

a

GT

GT

GT

)(...)()()( )()2()1(a

naaa GTGTGTGT

• T(q)(Ga) (dim(Lq) dim(Lq))-Matrix

Irreduzibilität 10

• Blockstruktur wird in der Regel erst nach Basiswechsel (Unterräume Lq) erreicht

• Verfahren, invarianten Unterraum zu erzeugen, liefert schließlich auch irreduzible Darstellungen

• Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten):

qq

n

qq Lrrr

,

1

Irreduzibilität 11

Beispiel (Gruppe D3)

• R1/2: Rotation in x-y-Ebene um 120° bzw. 240°

Irreduzibilität 12

• eine mögliche Darstellung (L=R3):

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 1RT

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 2RT

100

010

001

)( 3RT

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 4RT

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 5RT

100

010

001

)( ERT

Irreduzibilität 13

• Darstellung ist reduzibel

• invariante orthogonale Unterräume V1 (x,y) und V2 (z) bilden mit den entsprechenden Teilmatrizen zwei- bzw. eindimensionale Darstellungen von D3

• Darstellung in V2 offensichtlich irreduzibel

• V1 auch irreduzibel, da es keine , gibt, so dass

yxyx eeeeee

**,** 21 Basis von V1 und

312212112 0))(,()())(,()( DReRTeRTeRTeRT aaaaa

(einfacheres Nachweisverfahren folgt später)

Irreduzibilität 14

Äquivalente Darstellungen

• Eigenschaften von Darstellungen folgen aus den irreduziblen Darstellungen

• es existieren unendlich viele irreduzible Darstellungen (vgl. Basiswechsel)

Irreduzibilität 15

• T(Ga) Darstellung von G in L, A Abbildung von L nach L‘ (gleiche Dimension)

1)()( AGATGT aa

• T‘(Ga) Darstellung von G in L‘

• T‘ und T heißen äquivalent

• Beweis: z.B. Elliot & Dawber

• äquivalente Darstellungen bilden eine Klasse

• Maschke‘s Theorem: Jede Klasse äquivalenter Darstellungen für endliche Gruppen beinhaltet unitäre Darstellungen

Irreduzibilität 16

• Beweis: z.B. Elliot & Dawber

• Bem.: gilt häufig auch für physikalisch relevante unendliche Gruppen

• daher Beschränkung auf unitäre Darstellungen

• ist T(Ga) Matrix der Darstellung bezüglich Basis ei und eine neue Basis ei‘ gegeben durch

,ii eAe

Irreduzibilität 17

AGTA a )(1

dann ist T(Ga) bezüglich der neuen Basis gegeben durch:

(äquivalente Matrixdarstellung)

Achtung: Unterschied zu oben, da dort neuer Operator, während hier gleicher Operator bezüglich neuer Basis!

•Eigenschaften wie die Eigenwerte der Darstellungsmatrizen sind für alle Elemente einer Klasse gleich.

Irreduzibilität 18

nicht äquivalente irreduzible Darstellungen

• T, T‘ sind nicht äquivalent, falls es keinen Operator A gibt, so dass gilt:

aaa GAGATGT 1)()(

• äquivalente Darstellungen werden identifiziert (geeignete Basis => Matrizen identisch), daher

)(TmT

Irreduzibilität 19

läuft über nicht äquivalente irreduzible Darstellungen

• m: Häufigkeit

Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Darstellungen

Irreduzibilität 21

Motivation

• bisher: Reduktion auf die Analyse nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen

• für diese gelten wichtige Orthogonalitätsrelationen

• entscheidend für charakteristische Eigenschaften von Symmetrien (in der Physik)

Irreduzibilität 22

Schur‘s erstes Lemma

• T(Ga) irreduzible Darstellung von G in L, A Operator in L, Konstante, 1 Einheitsoperator

1*)()( AGGGATAGT aaa

• Wenn A für alle Ga mit T(Ga) kommutiert, ist A ein Vielfaches des Einheitsoperators!

Irreduzibilität 23

Schur‘s zweites Lemma

• T(1)(Ga), T(2)(Ga) seien irreduzible Darstellungen von G in L1 (Dimension s1) bzw. L2 (Dimension s2), A Operator, der Vektoren aus L2 nach L1 transformiert. Dann gilt, falls T(1) und T(2) nicht äquivalent sind:

0)()( )2()1( AGGGATAGT aaa

• Beweise: z.B. Elliot & Dawber

Irreduzibilität 24

Orthogonalitätsrelationen

• betrachte im Folgenden nur identische oder nicht äquivalente irreduzible Darstellungen

• dann zusammenfassende Darstellung der Lemmata möglich

• T()(Ga), T()(Ga) irreduzible Darstellungen von G in L bzw. L, A Operator, der die Vor. der Lemmata erfüllt:

Irreduzibilität 25

,1A wobei

,0 falls T(), T() nicht äquivalent

,1 falls T()=T()

Wähle ),()( 1)()( bbb

GXTGTA

wobei X beliebiger Operator, der Vektoren aus L nach L abbildet.

Irreduzibilität 26

Dann gilt:

),(

)()()(

)())(()(

)()()()(

)()()()(

)(

)(1)()(

)(1)()(

)(1)(1)()(

1)()()()(

a

acc

c

abab

ba

aabb

ba

bb

baa

GAT

GTGTXGT

GTGGXTGGT

GTGTGXTGGT

GXTGTGTAGT

da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft

Irreduzibilität 27

Einsetzen in die Lemmata:

g

a

s

m

s

kijijamjkmaik AGTXGT

1 1 1

1)()( )()(

Wähle mqkpkmX

g

aijaqjaip GTGT

1

1)()( )()(

Bestimmung von :

Falls i=j und = gilt, folgt nach Summation über i:

s

i

g

aaqiaip sGTGT

1 1

1)()( )()(

Irreduzibilität 28

g

aijqpaqjaip

qp

g

aqpqp

s

gGTGT

s

g

sgET

1

1)()(

1

)(

)()(

)(

Falls T() unitär ist, folgt:

,)()(1

)()(ijqp

g

aajqaip s

gGTGT

da

Irreduzibilität 29

)))((())(())(()( )()(1)(1)( taaaa GTGTGTGT

• rechte Seite 0 für =,i=j,q=p

• dann:

pis

gGT

g

aaip ,)(

1

2)(

• Mittelwert über die Gruppe: Division durch die Anzahl g der Gruppenelemente

Irreduzibilität 30

• Orthogonalität:

pqijqjpi

gip

ippi

s

gxx

GT

GT

x

),,(),,(

)(

1)(

),,(

*

)(

)(

• gilt nur für irreduzible Darstellungen ( => Test auf Irreduzibilität)

Irreduzibilität 31

• Folgerung: irreduzible Darstellungen von Abelschen Gruppen sind eindimensional

• Beweis: T()(Ga) sei irreduzible Darstellung einer Abelschen Gruppe G, dann gilt:

1)(

,)()()()()()(

)()()()(

aa

baabba

GT

GGGGTGTGTGT

(Schur)

T()(Ga) ist diagonal für alle Ga und somit reduzierbar (Widerspruch!), es sei denn, T()(Ga) hat Dimension 1

Irreduzibilität 32

• Beispiel (D3) (g=6):

T(1): 154321 RRRRRE s1=1

T(2): 1;1 54321 RRRRRE s2=1

T(3):

10

01E

2

1

4

34

3

2

1

1R

2

1

4

34

3

2

1

2R

10

013R

2

1

4

34

3

2

1

4R

2

1

4

34

3

2

1

5R s3=2

D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen!

Irreduzibilität 33

• Nun gilt z.B.:

6

1

2)3( ,32

6)]([

aaip piGT

piGTGTa

aaip ,0)()(6

1

)2()3(

0)()(6

1

)2()1( a

aa GTGT

6

1

2)2( 61

6)]([

aaGT

Irreduzibilität 34

Eigenschaften von Darstellungen

• durch Basiswechsel können unendlich viele Darstellungen einer Gruppe erzeugt werden („Ähnlichkeitstransformation“)

• gesucht: von solchen Transformationen unabhängige Eigenschaften

• es existieren diverse solche Eigenschaften (z.B. Eigenwerte der Matrizen)

Irreduzibilität 35

• in der Regel genügt es eine zu betrachten

• besonders nützlich:

Die Spur der Matrix T(Ga) (Summe der Eigenwerte, Summe der Diagonalelemente in beliebiger Basis) (Ga) ist invariant unter Ähnlichkeitstransformationen. Die Menge

GGG aa |)(

heißt Charakter der Darstellung.

Irreduzibilität 36

• Beweis:

kj jaajjkjajk

kjikiajkij

iaiia

aa

s

iaiia

GGTAAGT

AGTAGTG

AGATGT

GTG

,

1

,,

1

1

1

)()())((

)()()(

)()(

)()(

• ebenso haben alle Elemente der gleichen Klasse Cp den gleichen Charakter p

Irreduzibilität 37

• Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm

-1. Dann folgt für beliebige Darstellung T von G:

)()(

)()(

)()()(

)()()(

,

1

1

,,

1

bj

bjj

kjmmkjbjk

mkji

kibjkmij

i imbmiiaiia

GGT

GGTGT

GTGTGT

GGGTGTG

Irreduzibilität 38

Orthogonalität:

pqp

qp

p

n

ppp

c

g

gc

)(*)(

*)(

1

)(

Weiterhin:

2asg

Irreduzibilität 39

Kriterium für Irreduzibilität:

p

pp gc2

lirreduzibe

Irreduzibilität 40

Quellen

• J.P. Elliot, P.G. Dawber, Symmetry in physics, Volume 1, Principles and simple applications, MacMillan, London, 1979

• E. Stiefel, A. Fässler, Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung, Teubner, Stuttgart, 1979