IV. BUCH: RAUM MIT

n-DIMENSIONEN

5a. Die EULERSCHE

POLYEDERFORMEL

89+48 =Titelbild: Gilt bei „Fake-Körpern“ auch die Eulerformel?

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Eulerformel für Vielflächner (Polyeder)

E-K+F = 2

Dass die Eckenanzahl E minus Kantenzahl K plus Flächenzahl F der Oberfläche eines

konvexen Vielflächners (Polytops) stets zwei ergibt, wurde dem ertragreichsten

Mathematiker zu Ehren nach Euler benannt, der sie 1752 in zwei Abhandlungen

veröffentlichte1! Sie gilt auch für Polyeder, die es gar nicht gibt, wie die folgenden

Beispiele zeigen:

Abb. Eu1: Dieser konvexe Körper (zwei verschiedene Ansichten) ist ein Fake, - er wäre sonst der 93. Johnson-Körper –

und erfüllt mit 24-48+26 = 2 die Eulersche Polyederformel

1 Diese Formel ( �. N. Wildberger Video: Algebraische Geometrie 10) vermisst man sowohl bei Archimedes als auch bei Descates. Antoine-Jean L´Huilier (1750 -1840) arbeitete die meiste zeit seines Lebens an den Formeln Euler's . L`Huilier veröffentlichte 1813 als erster, dass Eulers Formeln für solche Körper falsch sind, die ein Loch in sich aufweisen (Geschlecht >0). L´Huilier zeigte, dass für Köper mit g Löchern E-K+F = 2 -2g gilt, was das erste bekannte Ergebnis topologischer Invarianten darstellt! Jonquières verallgemeinerte 1890 die Eulerformel auf nicht notwendig konvexe Polyeder und Poincaré auf beliebige Dimensionen. http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/Geometry_Topology.html

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Abb. Eu2: Links E=4+8+4=16, K=24, F=10 also E-K+F=2

Das blaue Deckquadrat ist in Wirklichkeit durch ein halbregelmäßiges Achteck zu

ersetzen und neben den gelben Fünfecken klafft eine mit nicht-gleichseitigen

Dreiecken zu füllende Lücke. Dann erhöht sich die Ecken- und Flächenzahl jeweils

um vier und die Kantenzahl um 8. Somit ist mit E – K + F = 20 – 32 + 14 = 2 der

Eulersche Polyedersatz erfüllt.

Ein anderes Beispiel wären - analog zum Dodekaeder - die zwei Sechsecke

umgebenden 12 Fünfecke, die auch der Eulerschen Formel E – K + F = 24-36+14 =

2 genügt.

Abb. Eu3: Beispiele weiterer Fake-Körper (links der Antifußball2 bei dem um ein Fünfeck Sechsecke angelagert werden)

2 Mit nur regelmäßigen Sechsecken und Fünfecken lassen sich “schöne” Fake-Körper bauen �Standardwerk von Robert Williams, >>The geometrical Foundation of natural structure<<; DOVER 1979

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Der Eulersche Polyedersatz, nach dem E-K+F=2 sein muss, das gilt für alle konvexen Polyeder, sogar auch für Nicht-existierende!

Hier sieht man die Verbiegungen des linken obigen Fake-Körpers deutlich

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Auch hier sieht man, dass die Dreiecke sich nicht zusammenfügen

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Abb. Eu4: Auch für die allermeisten nicht-konvexen gilt die Eulerformel

Oben linkes Haus: 2x7=14 Ecken, 2x7 + 7 = 21 Kanten und

2 Siebenecke und 7 Rechtecke =9 Flächen: 14-21+9=2

Der Larskörper daneben

(unterer Körper ist ein Ikosaeder-Bruchstück, dreifach beschnitten)

hat ebenso viele Ecken wie Flächen, nämlich 19, und 36 Kanten:

19-36+19=2

Konvexe Körper auf konvexe Körper flächenabdeckend aufgesetzt (z.B. zwei Würfel

zu einem Quader) oder flächenabdeckend aushöhlend (z.B. auf ein Würfelquadrat

wird nicht eine quadratischen Pyramide aufgesetzt, sondern umgekehrt herum

gesetzt, mit der Spitze ins Würfelinnere: 9-16+9=2), ergeben wieder,- u. U.

nichtkonvexe Körper, die allesamt der Polyederformel genügen. Denn die Summe

zweier Eulerformeln ergibt zwar vier, aber da nur die beiden zur Deckung gebrachte

Flächen ja als solche verschwinden3, sind es zwei weniger, also 4-2=2 in der

Summe.

3 Es sei denn, die angrenzenden Flächen bilden keinen Winkel, so dass auch noch Kanten und Flächen verschwinden, wie bei zwei ausgesetzten Würfeln: Wegen der Konvexität gilt aber die Polyederformel!