IV. BUCH: RAUM MIT n-DIMENSIONEN · 4 25.03.2014 ARCHI 4: Es gibt drei archimedische Körper, die...

IV. BUCH: RAUM MIT

n-DIMENSIONEN

8b. Die ARCHIMEDISCHEN

ARCHIMEDISCHE

http://www.polytope.de/

Übersicht mit Eckcharakterisierung1

{4, 6, 10} beim „Riesen“ bedeutet beispielsweise an jeder Ecke trifft ein Viereck

mit einem Sechseck und einem Zehneck zusammen

1 Spektrum der Wissenschaften Mai2012 >>Wundergarten der Polyeder (Norbert Treitz)

www.Udo-Rehle.de 3 25.03.2014

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...

Eine Reihe archimedischer Körper entsteht, wenn man von platonischen Körpern passend alle Ecken entfernt. Ein Beispiel ist der abgestumpfte Würfel.

Das kleine Rhombenkuboktaeder entsteht aus einem Würfel, wenn alle Kanten passend abgeschnitten werden.

1 Abschrägen der Würfelkanten so, dass die Quadrate zu regelmäßigen Achtecken werden. 2 Zerlege die Achtecke in Quadrate und Dreiecke. Drei gelbe Zentralquadrate des kleinen Rhombenkuboktaeders2 (quadr. Dikuppel) auf den Würfelflächen erkennt man schon.

Man kann den kleinen Rhombenkuboktaeder auch aus einem Oktaeder gewinnen. 2 Schräge alle Kanten des Oktaeders 1 passend ab, so wie an einer Kante angedeutet. 4 Mit Farbe und ohne Durchsicht wird der Körper deutlicher.

2 http://www.mathematische-basteleien.de/rhombenkuboktaeder.htm


ARCHI 4: Es gibt drei archimedische Körper, die nur aus reg. Dreiecken und Quadraten bestehen

Ganz links: Die verlängerte quadratische Dikuppel 24-48+26 = 2, erhält man

durch Kantenabschnitte beim Würfel mit anschließendem Eckenabschneiden Man nennt ihn – obwohl er keine Rauten hat – Rhombenkuboktaeder.

Es ist ein Würfeleckenabschnitt bis zur Kantenmitte.

Daneben sechs Quadrate vollständig von Dreiecken umgeben mit insgesamt 32 Dreiecken und 6x4=24 Ecken: 24-60+38=2.

Der 13. ist der 6 Quadrate und 8 Dreiecke abwechselnde Kuboktaeder3 oder Mittelkristall 12–24+14=2

ARCHI 4 ganz rechts: Die Hälfte des durch das Abschneiden der 12 Ikosaederecken bis zur Kantenmitte entstandenen Körpers der vorhergehenden Abbildung, ist ein Rondell (eine „fünfeckige Rotunde“) und wird am Boden durch ein regelm. Zehneck begrenzt.

Abwicklungen von Kubokta- und Rhombenkuboktaeder

3 Dieses war schon vor über 2400 Jahren Plato bekannt, während der Rhombendodekaeder zuerst in Leonardo da Vinchis >>Divina Proportione<< auftaucht. Mittelkristall: Über Kristallgitter siehe Spektrum der Wissenschaft 11.2010


Der Rhombenkuboktaeder4 24-48+26=2

Man beachte, dass >>Edges<< Kanten bedeutet und das >>Vertices<< die Ecken sind!

Auch hat die Oberfläche des Körpers keine Rhomben

Das große Rhombenkuboktaeder ist ein Körper, der von 12 Quadraten, 8 regelmäßigen Sechsecken und 6 regelmäßigen Achtecken gebildet wird

4 http://gogeometry.com/solid/rhombicuboctahedron_archimedes.html


Drei Beispiele von konvexen aber nichtarchimedischen Körpern, die nur aus regelm. Dreiecken und Quadraten bestehen

� IV Kap. 10 .Johnsonkörper

Kein halbregelmäßiger Körper kann aus vier verschiedenen regelmäßígen Polygonen aufgebaut werden

Es existieren nur 17 Körper mit aus vier verschiedenen regelmäßigen Polygonen aufgebaute Oberflächen, und überhaupt kein Körper kann mit

fünf verschiedenen regelmäßigen Vielecken begrenzt sein -� IV.10 Johnson-Körper


Nimmt man die Schwerpunkte der regelmäßigen Vielecke aus der

Oberfläche dieser 13 archimedischen Körper, so bilden diese

Schwerpunkte die Ecken ihrer 13 Dualkörper, die von dem unbekannten E.

C. Catalan entdeckt wurden. Beispielsweise ist der Dualkörper des

Kuboktaeders der Rhombendodekaeder (6 quadratische Pyramiden im

45°-Mantelwinkel so auf einen Würfel gesetzt, dass 12 Rauten entstehen).


http://www.paranormal.de/paramirr/geo/rot/index.html


Zonoherdon: _

Links: Der Halbriese ist ein abgeschnittener Kuboktaeder Mitte und rechts: Ikosaedersymmetrische

Für archimedische Parketts -� IV.11 Maler, Parkettierer und Raumfüller

http://home.inreach.com/rtowle/quasicrystals/Zonotiles.html


Ein oktaedersymmetrisches Zonohedron und eines mit 14 250 Begrenzungsflächen5

3D-Zonogon:- Der archimedische Riese in der Mitte6

5 http://home.inreach.com/rtowle/Zonohedra/zonohedra.html http://home.inreach.com/rtowle/Towle.html

6 http://home.inreach.com/rtowle/Mathematica/Mathematica.html

http://home.inreach.com/rtowle/Zonohedra/zonohedra.html


Das abgeschnittene 24-Zell {3,4,3} ist ein vierdimensionaler archimedischer Körper.

Neben den sechs platonischen Hyperkörpern existieren natürlich auch

archimedische Hyperkörper. Kommen wir nun auf die 41

vierdimensionalen archimedischen Körper zu sprechen7.

7 Vierdimensionale Archimedische Polytope, Dissertation von Marco Möller, Uni Hamburg 2004 Edmund Hess (1843-1903), der Entdecker der vierdimensionalen regelmäßigen Sternkörper, der auch über die Kugelteilung schrieb, publizierte schon 1878

>>Über vier archimedische Polyeder höherer Art<<. Neben O. Hesse, - um die Verwirrung unter diesen deutschen Mathematikern komplett zu machen -, gibt es auch noch den J.F.C. Hessel, dessen geometrische Klassifizierung von 32 Kristallarten (wie so oft bei damaligen Mathematiken) lange unbeachtet blieb.


Analog wie im Dreidimensionalen wollen wir nun den kleinsten

regelmäßigen Hyperkörper bearbeiten. Beim regelmäßigen Simplex

schneiden wir an den fünf Ecken bei halber Kantenlänge fünf kongruente

Hyperkörper, nämlich Hypertetraeder ab. Bleibt analog zum

dreidimensionalen Fall der Hyperoktaeder übrig? Schneiden wir in

Drittelkantenlängen ab, dann sind es fünf 81-mal kleinere Hypertetraeder.

Der Schnitt ist dabei ein Dreieck. Die begrenzenden Zellen des

Hypertetraederstumpfes sind dann aber bestimmt nicht alle Tetraeder.

Und ob ein Hyperstumpf nur von regelmäßigen Körpern begrenzt wird,

von denen es ja (anders als bei den unendlich vielen regelm. Vielecken)

nur fünf gibt, und keiner davon enthält z.B. ein regelmäßiges Sechseck, ist

wohl kaum noch möglich.

Archimedische Hyperkörper Dreidimensionale Projektionen eines archimedischen Hyperkörpers 8

Neben den beiden unendlichen Klassen von antiprismatischen Primachora und von Biprismachorac gibt es genau 647Archimedische Polychora, die in vier Gruppen eingeteilt werden: http://www.polytope.de/arch4_1.html , http://www.polytope.de/arch4_2.html, und http://www.polytope.de/arch4_3.html 8 �http://www.georgehart.com/ http://www.georgehart.com/hyperspace/hart-120-cell.html


Das 600-malige Abschneiden an den 600 Ecken eines Hyperdodekaeders

ergibt einen archimedischen Hyperkörper. Den abgeschnittenen

Hyperdodekaeder entdeckte Ludwig Schläfli, der übrigens auch die

vier regelmäßigen Sterne entdeckte, und er wurde 1910 erstmals

beschrieben. Bearbeitet man diesen durch weitere Abschneidungen,

dann erhält man wiederum einen archimedischen Hyperkörper, dessen 3-

D-Projektionsmodell die obige Abbildung zeigt9.

Die regelmäßigen Hyperkörper sind

� IV.6 Regelmäßige Körper und Hyperkörper

Das n-dimensionale Simplex

Der n-dimensionale Kubus

Das n-dimensionale Kreuzpolytop

Das 24-cell

Das 120-cell

Das 600-cell

Die archimedischen (halbregelmäßigen bzw. uniformen) Hyperkörper sind:

0_21 auch Hypersimplex genannt 1_21, halber 5-Würfel 2_21, Delaunay polytope of the root lattice E6 3_21, Delaunay polytope of the root lattice E7 4_21, Voronoi polytope of the root lattice E8 snub 24-cell octicosahedric polytope, i.e. the medial of 600-cell.

Siehe auch �IV.10 Die 92 JOHNSON - Körper, Wehrle-Körper

für Körper mit Oberflächen aus regelmäßigen Vielecken

9 Im Spektrum der Wissenschaft Juni2012 findet sich ein interessanter Bericht über

archimedische Hyperkörper! Archimedisches Polychor Nr. 56 (cantellated 600-cell)

http://www.polytope.de/nr56.html


Waterman Körper

-> http://dogfeathers.com/java/ccppoly.html

Wenn man die Bedingung der Konvexität der Körpers aufhebt,

dann existieren natürlich wesentlich mehr Körper, nämlich größere

Klassen von Polygonen, Polyedern und Polytopen. So sind z.B. auch

Pentagone, Heptagone und so weiter möglich; ein Zusammensetzen dieser

führt z.B. zu (auch nicht-konvexen) Sternenpolyedern (auch Kepler-

Poinsot-Körper genannt). Entsprechend findet man für den 4-

dimensionalen Raum die nicht-konvexen regelmäßigen Schläfli-Hess-

Polychora. Der halbregelmäßige (genauer uniforme10) nicht-konvexe Fall

10 nach http://www.liga.ens.fr/~dutour/Regular/ G.Blind and R.Blind, "The semi-regular polyhedra", Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150--154. T.Gosset, "On the regular and semiregular figures in spaces of $n$ dimensions", Messenger of Mathematics 29 (1900) 43--48.

Bei der Definition von Halbregelmäßigkeit gab es lange Zeit Uneinigkeit. Selbst im 3-Dimensionalen gibt es mehrere Möglichkeiten einer Definition. So könnte z.B. die Transitivität der Ecken, die Regelmäßigkeit der Flächen oder die Gleichheit der Flächen aufgegeben werden. Aus diesem Grunde definieren wir einen neuen Begriff: Uniformität: Ein Polygon ist uniform, wenn es regelmäßig ist. Ein Polytop in n Dimensionen, n ≥ 3, ist uniform, wenn es nur aus (nicht notwendig gleichen) uniformen Polytopen der Dimension n–1 aufgebaut ist und über Eckentransitivität verfügt. http://www.polytope.de/def.html


im 4-Dimensionalen ist allerdings noch völlig offen; so werden fast monatlich

weitere gefunden (siehe z.B. die Seiten von George Olshevsky

http://members.aol.com/Polycell/).

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