Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper ·...

46
Einleitung Platonische Körper Existenz regulärer Polyeder Dualität Symmetrieeigenschaften Halbreguläre Polyeder Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper Agnes Seiler Institut für Angewandte Geometrie 15.12.2017 Matheseminar JKU Young Scientists

Transcript of Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper ·...

Page 1: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Platonische KörperArchimedische Körper - Catalanische Körper

Agnes Seiler

Institut für Angewandte Geometrie

15.12.2017

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 2: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Definitionen

Polygon Ein Polygon ist ein (geschlossenes) Vieleck,das ausschließlich von geraden Linien be-grenzt ist.

Polyeder Ein Polyeder ist ein Körper, der von Poly-gonen begrenzt ist.

konvex Ein Polyeder ist konvex, wenn es die Ver-bindungsstrecke je zweier in ihm enthaltenerPunkte auch enthält.

regulär Ein Polyeder heißt regulär, wenn alle seineSeitenflächen zueinander kongruente, regel-mäßige Vielecke sind und in jeder Eckegenau gleich viele Seiten zusammen stoßen.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 3: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Motivation: Hexaeder / Würfel

Der Würfel ist ein konvexes, reguläresPolyeder, d.h.

alle seine Seitenflächen sindzueinander kongruente Vielecke(Quadrate) undin allen Ecken stoßen genau gleichviele Seitenflächen zusammen.

Gibt es weitere Körper mit diesenEigenschaften?

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 4: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Motivation: Hexaeder / Würfel

alle seine Seitenflächen sindzueinander kongruente Vielecke(Quadrate) undin allen Ecken stoßen genau gleichviele Seitenflächen zusammen.

Gibt es weitere Körper mit diesenEigenschaften?Ja, die platonischen Körper.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 5: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Motivation: Hexaeder / Würfel

Seitenflächen: QuadrateAnzahl Seitenflächen: 6Anzahl Ecken: 8Anzahl Kanten pro Ecke: 3

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 6: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Tetraeder

Seitenflächen: gleichseitige DreieckeAnzahl Seitenflächen: 4Anzahl Ecken: 4Anzahl Kanten pro Ecke: 3

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 7: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Oktaeder

Seitenflächen: gleichseitige DreieckeAnzahl Seitenflächen: 8Anzahl Ecken: 6Anzahl Kanten pro Ecke: 4

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 8: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Dodekaeder

Seitenflächen: regelmäßige Fünfecke(→ Pentagondodekaeder)Anzahl Seitenflächen: 12Anzahl Ecken: 20Anzahl Kanten pro Ecke: 3

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 9: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Ikosaeder

Seitenflächen: gleichseitige DreieckeAnzahl Seitenflächen: 20Anzahl Ecken: 12Anzahl Kanten pro Ecke: 5

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 10: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Geschichtliches

Pythagoreer (6. Jhd. v. Chr.):Tetraeder, Hexaeder, DodekaederTheaitetos von Athen (4. Jhd. v.Chr.):Oktaeder, IkosaederPlaton (Timaios, 360 v. Chr.):4 Elemente und HimmelsätherEuklid (3. Jhd v. Chr.):Beweis, dass es genau fünfkonvexe reguläre Polyeder gibt

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 11: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Keplers Weltmodell

Mysterium cosmographicum (1596): Abstände der damalsbekannten sechs Planeten Merkur - Saturn

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 12: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Gibt es weitere konvexe, reguläre Polyeder?

Nein.SatzEs gibt genau fünf konvexe reguläre Polyeder. Dies sind dasTetraeder, das Hexaeder, das Oktaeder, das Dodekaeder und dasIkosaeder.

Anmerkung: "Es gibt genau fünf..." bedeutet, dasses mindestens fünf derartige Polyeder gibt undes höchstens fünf derartige Polyeder gibt.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 13: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Beweis

Wir müssen die Existenz von mindestens und höchstens fünfderartigen Polyedern zeigen. Weil wir fünf derartige Polyeder(hoffentlich) gerade gebaut haben, beschränken wir uns darauf zuzeigen, dass es höchstens fünf konvexe, reguläre Polyeder gibt.

Es gibt (mindestens) zwei Möglichkeiten, diese Aussage zubeweisen:

Verwendung der InnenwinkelsummeVerwendung des Eulersches Polyedersatzes.

Beide Beweise sind äquivalent.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 14: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Beweis (1): Innenwinkelsumme

Eine Ecke entsteht nur dann, wenn sich mindestens drei Flächentreffen. Die Summe aller Innenwinkel der angrenzenden Flächen inder Ecke muss kleiner sein als 360 Grad. → Warum?

Bei mehr als 360 Grad ist keine Eckenbildung in einemkonvexen Polyeder mehr möglich.Bei genau 360 Grad liegen die benachbarten Polyeder in einerEbene.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 15: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Beweis (1): Innenwinkelsumme

Eine Ecke entsteht nur dann, wenn sich mindestens drei Flächentreffen. Die Summe aller Innenwinkel der angrenzenden Flächen inder Ecke muss kleiner sein als 360 Grad. → Warum?

Bei mehr als 360 Grad ist keine Eckenbildung in einemkonvexen Polyeder mehr möglich.Bei genau 360 Grad liegen die benachbarten Polyeder in einerEbene.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 16: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Beweis (1) : Innenwinkelsumme

Aufgrund ihrer Innenwinkel (IW) sind folgende regelmäßigePolygone als Grundformen möglich:

Innenwinkelsumme beiIW 3 Flächen 4 Flächen 5 Flächen 6 Flächen

Dreieck 60 180 240 300 360Quadrat 90 270 360 zu großFünfeck 108 324 zu großSechseck 120 360 zu groß

Daher kann es keine weiteren konvexen, regulären Polyeder geben.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 17: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Beweis (2): Eulerscher Polyedersatz

Satz (Eulerscher Polyedersatz)Für ein konvexes Polyeder mit e Ecken, k Kanten und f Flächengilt

e − k + f = 2.

Anwendung auf unser Problem: Wir setzenn: Anzahl der Ecken pro Seitenfläche, n ≥ 3m: Anzahl der Flächen, die in einer Ecke des Polyederszusammenstoßen, m ≥ 3

Die Notationen e, k und f übernehmen wir.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 18: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Beweis (2): Eulerscher PolyedersatzDann gilt

f · n = 2 · k → Warum?e ·m = 2 · k → Warum?

Daraus erhalten wirf = 2k

ne = 2k

mDas setzen wir in die Eulersche Polyederformel e − k + f = 2 ein:

2km − k + 2k

n = 2.

Das ist äquivalent zu1m + 1

n = 12 + 1

k >12 .

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 19: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Beweis (2): Eulerscher Polyedersatz

Jetzt prüfen wir, für welche Paare von n, m ≥ 3 die Relation1m + 1

n > 12 erfüllt ist.

n = 3 n = 4 n = 5 n = 6m = 3 1

3 + 13 = 2

3Tetraeder

13 + 1

4 = 712

Hexaeder13 + 1

5 = 815

Dodekaeder13 + 1

6 = 12

m = 4 14 + 1

3 = 712

Oktaeder14 + 1

4 = 12

14 + 1

5 = 920

14 + 1

6 = 512

m = 5 15 + 1

3 = 815

Ikosaeder15 + 1

4 = 920

15 + 1

5 = 25

15 + 1

6 = 1130

m = 6 16 + 1

3 = 12

16 + 1

4 = 512

16 + 1

5 = 1130

16 + 1

6 = 13

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 20: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

...außerhalb der Mathematik: Glücksspiel

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 21: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

...außerhalb der Mathematik: Natur

Anordnung der Wasserstoffatome unter bestimmtenVoraussetzungen - Tetraederorganische Kohlenwasserstoffmoleküle (→ platonischeKohlenwasserstoffmoleküle)

Kristalle (Rotkupfererz, Flußspat, Magnetit) - Tetraeder,Hexaeder, OktaederQuasikristalle - Dodekaeder, IkosaederStrukturformen von kleinen Nanoteilchen - Ikosaeder

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 22: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

...außerhalb der Mathematik: Natur

Kalkskelette der Strahlentierchen(Radiolarien), einzellige Lebewesen

Vorkommen: im Meer undMeeresboden

rechts: Zeichnung von Ernst Haeckel(1834–1919)

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 23: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

...außerhalb der Mathematik: Natur

Proteinkapsid von Viren -Ikosaeder

Hülle aus Proteinen, die zumSchutz der Viren-DNSausgebildet wird

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 24: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

...außerhalb der Mathematik: Management

Kanten = MitarbeiterKnoten = Themen

Ein Thema wird von denMitarbeitern bearbeitet,deren Kanten sich imzugehörigen Knotentreffen.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 25: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Dualität

Allgemein:

Der Dualkörper zueinem konvexenPolyeder wirdkonstruiert, indemman die MittelpunktebenachbarterSeitenflächen durchKanten verbindet.Dann füllt man dieFlächen, die dadurchentstehen.

Für platonische Körper:

Bildet man denDualkörper desDualkörpers, erhältman den (eventuellverkleinerten)Ursprungskörper.blablaplatzmehrplatzundmehruuuundmehr

Hexaeder undOktaeder sindzueinander dual.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 26: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Dualität

Allgemein:

Der Dualkörper zueinem konvexenPolyeder wirdkonstruiert, indemman die MittelpunktebenachbarterSeitenflächen durchKanten verbindet.Dann füllt man dieFlächen, die dadurchentstehen.

Für platonische Körper:

Bildet man denDualkörper desDualkörpers, erhältman den (eventuellverkleinerten)Ursprungskörper.blablaplatzmehrplatzundmehruuuundmehr

Hexaeder undOktaeder sindzueinander dual.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 27: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Dualität

Allgemein:

Der Dualkörper zueinem konvexenPolyeder wirdkonstruiert, indemman die MittelpunktebenachbarterSeitenflächen durchKanten verbindet.Dann füllt man dieFlächen, die dadurchentstehen.

Für platonische Körper:

Bildet man denDualkörper desDualkörpers, erhältman den (eventuellverkleinerten)Ursprungskörper.blablaplatzmehrplatzundmehruuuundmehr

Hexaeder undOktaeder sindzueinander dual.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 28: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Dualität

Duale PaareHexaeder OktaederOktaeder HexaederTetraeder TetraederDodekaeder IkosaederIkosaeder Dodekaeder

⇒ Der Dualkörper einesplatonischen Körpers ist einplatonischer Körper.

Weitere Eigenschaften (allgemein):

Das duale Polyeder hat so vieleEcken wie das AusgangspolyederFlächen.Das duale Polyeder hat so vieleFlächen wie dasAusgangspolyeder Ecken.Das duale und dasAusgangspolyeder haben gleichviele Kanten.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 29: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Größtmögliche Symmetrie

Für platonische Körper gilt: Zu einem beliebigen Paar von Ecken(Seitenflächen, Kanten) a, b gibt es eine Abbildung, die a auf babbildet. Das bedeutet anschaulich:

Wenn man das Polyeder in einer Ausgangsposition fixiert undsich zwei Ecken (Seitenflächen, Kanten) a und b merkt,dann kann man den Körper auf eine bestimmte Art drehen,sodass

a jetzt dort liegt, wo vorher b lagund man die neue Position des Körpers nicht von derAusgangsposition unterscheiden kann.

Das heißt Flächen, Kanten und Ecken eines platonischen Körperssind ununterscheidbar.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 30: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn

wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?

verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken

→ Archimedische Körperwir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?

unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen

→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 31: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn

wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?

verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken

→ Archimedische Körper

wir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?

unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen

→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 32: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn

wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?

verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken

→ Archimedische Körperwir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?

unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen

→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 33: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn

wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?

verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken

→ Archimedische Körperwir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?

unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen

→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 34: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Archmedische Körper

Archimedes, 287 - 212 v. Chr., hat die halbregulären Polyeder alserster untersucht.

DefinitionEin konvexes Polyeder, dessen Flächen verschiedene regelmäßigePolygone sind und dessen Ecken uniform sind, heißt archimedischerKörper.

Beispiel: Fußball12 Fünf- und 20 SechseckeIn jeder Ecke stoßen zweiSechsecke und ein Fünfeckzusammen.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 35: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Wie erzeugt man einen archimedischen Körper?

AbstumpfungWenn man bei einem platonischen Körper die Ecken soabschneidet, dass die Schnittflächen regelmäßige Polygoneergeben und die restlichen Seitenflächen ebenfalls regelmäßigePolygone bilden, erzeugt man einen archimedischen Körper.Alle 13 archimedischen Körper können auf diese Weise erzeugtwerden.Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einemplatonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auchaus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfenerzeugt werden.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 36: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abstumpfung

Würfel, abges-tumpfter Würfelund Kuboktaeder

Oktaeder und Ok-taederstumpf

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 37: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Wie erzeugt man einen Fußball?

Ein Fußball entspricht einem abgestumpften Ikosaeder.

Wie kann man die Anzahl der Fünf- und Sechsecke bestimmen?

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 38: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Anzahl der Fünf- und Sechsecke

Die Sechsecke sind die zurechtgeschnittenenUrsprungsflächen, also gibt es 20 von ihnen.Die Fünfecke entstehen aus den Ecken des Ikosaeders.→ Wie viele Ecken hat ein Ikosaeder?

Die 20 Dreiecke haben zusammen 60 Ecken.In dieser Zählweise wird jede Ecke fünffach gezählt, weil ineiner Ecke des Ikosaeders fünf Dreiecksecken zusammenstoßen.Daher hat ein Ikosaeder 60

5 = 12 Ecken und der Fußball enthältsomit 12 Fünfecke.

Wie kann man die verschiedenen Seitenflächen zählen, wenn mannicht weiß, durch welchen platonischen Körper der gegebeneKörper erzeugt wurde?

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 39: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Erinnerung: Wenn maneinen archimedischenKörper aus einemplatonischen Körpererzeugen kann, dannkann man ihn auch ausdem dualen platonischenKörper erzeugen.

Die TransformationWürfel → Kuboktaeder→ Oktaeder kann manauch rückwärts lesen.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 40: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Übersicht über die archimedischen Körper

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 41: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abschließende Bermerkungen

Für die vorige Abbildung gilt:Grüne Box: Erzeugung durch "einfaches" Abstumpfen derEcken des UrsprungskörpersRote Box: Nach dem Abschneiden der Ecken entstehenRechtecke, die noch zu Quadraten skaliert werden müssenBlaue Box: Entstehen, indem man im ersten Schritt dieKanten des Ursprungskörpers abflachtGelbe Box: Entstehen durch Drehen und Verkleinern einerSeitenfläche des Ursprungskörpers. EntstehendeZwischenräume werden mit Dreiecken gefüllt.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 42: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abschließende Bemerkungen

Offene Fragen:Warum gibt es keine archimedischen Körper mit mehr als dreiverschiedenen Seitenflächen?

→ Innenwinkelsumme

Gibt es keine anderen Körper, deren Seitenflächengleichmäßige Vielecke und deren Ecken kongruent sind?

→ Prismen und Antiprismen

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 43: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Abschließende Bemerkungen

Offene Fragen:Warum gibt es keine archimedischen Körper mit mehr als dreiverschiedenen Seitenflächen?→ Innenwinkelsumme

Gibt es keine anderen Körper, deren Seitenflächengleichmäßige Vielecke und deren Ecken kongruent sind?→ Prismen und Antiprismen

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 44: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Und wann kommen endlich die catalanischen Körper?Erinnerung:

Archimedische Körper → Uniformität der EckenCatalanische Körper → Uniformität der Flächen

Die catalanischen Körper sind die dualen Polyeder zu denarchimedischen Körpern.Eugène Charles Catalan, 1814 - 1894, Belgien

Eigenschaften:Die Seitenflächen der catalanischen Körper sind nichtregelmäßige Vielecke.Es gibt verschiedene Arten von Ecken, d.h. es stoßenunterschiedlich viele Seitenflächen in verschiedenen Eckenzusammen.

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 45: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Übersicht über die catalanischen Körper

Matheseminar JKU Young Scientists

Page 46: Platonische Körper Archimedische Körper - Catalanische Körper · bekanntensechsPlanetenMerkur-Saturn Matheseminar JKU Young Scientists. Einleitung Platonische Körper Existenz

EinleitungPlatonische Körper

Existenz regulärer PolyederDualität

SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder

Zusammenfassung

Wir haben platonische Körper untersucht und gezeigt, dass eskeine weiteren konvexen, regulären Polyeder gibt. Wir haben dasKonzept der Dualität kennen gelernt. In diesem Zusammenhanghaben wir festgestellt, dass der duale Körper eines platonischenKörpers wieder ein platonischer Körper ist.Wir haben aus den platonischen die archimedischen Körperhergeleitet und genauer untersucht. Die Dualität konnten wirnutzen, um so die catalanischen Körper zu erzeugen. Sowohl mitHilfe der Dualität als auch durch Untersuchen desAbstumpfungsvorgangs konnten wir Aussagen über so erzeugteKörper treffen.

Matheseminar JKU Young Scientists