JOrgen Tietze

Einf~hrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

JiJrgen Tietze

Einf[Jhrung in die angewandte Wi rtsc h aftsm ath em ati k Das praxisnahe Lehrbuch - bew~hrt durch seine brillante Darstellung

14., aktualisierte Auflage e e

Mit 500 Abbildungen und 1300 Ubungsaufgaben

STUDIUM

VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Qber <http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

Prof. Dr. J(Jrgen Tietze Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Fachhochschule Aachen Eupener StraBe 70 52066 Aachen

tietze@fh-aachen.de

1. Auflage 1988 2., verbesserte Auflage 1990 3., verbesserte Auflage 1991 4., verbesserte Auflage 1992 5., neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1995 6., verbesserte Auflage 1996 7., durchgesehene Auflage 1998 8., durchgesehene Auflage 1999 9., durchgesehene Auflage 2000

10., verbesserte und aktualisierte Auflage 2002 11., verbesserte Auflage 2003 12., vollst~indig Oberarbeitete Auflage 2005 13., verbesserte Auflage 2006 14., aktualisierte Auflage 2008

Alle Rechte vorbehalten �9 Vieweg +Teubner Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008

Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Susanne Jahnel

Der Vieweg +Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de

Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiJtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzul~ssig und strafbar. Das gilt insbesondere fQr Vervielf~iltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w~iren und daher von jedermann benutzt werden d(Jrften.

Umschlaggestaltung: K(JnkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf s~iurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN 978-3-8348-0514-0

.Mathematik = HOhere Faulheit: stgindig harte Arbeit auf der

Suche nach dem leichteren Weg"

(Graffito auf einer HOrsaalbank)

Vorwort zur 14. Auflage

Ein wirtschaftswissenschaftliches Studium ist heutzutage ohne Mathematik (als Hilfswissenschaft) un- denkbar, mathematische Beschreibungs-, Erklfirungs- und Optimierungs-Modelle beherrschen grol3e Tei- le der 6konomischen Theorie und in zunehmendem Mage auch der 6konomischen Praxis.

Mathematik in diesem Zusamrnenhang bedeutet einerseits das Problem, mathematische Ideen zu ver- stehen, um die dazugehOrigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunachst abstrakten Techniken zielgeriehtet und sinnvoll for 6konomische Anwendungen nutzbar zu machen.

Das nun in 14. Auflage vorliegende Buch - als Lehr-, Arbeits- und l)bungsbuch vorrangig zum Selbststu- dium konzipiert - versueht, beide Aspekte zu berficksichtigen durch

- ausft~hrliche Darstellung, plausible Begriandung und Ein~bung mathematischer Grundelemente und 6konomisch relevanter mathematischer Techniken aus der Analysis (d.h. der Differential- und Integralrechnung), der linearen Algebra und der linearen Optimierung sowie

- ausftihrliehe Demonstration der Anwendbarkeit mathematischer Instrumente auf Beschreibung, Erklfirung, Analyse und Optimierung 6konomischer Vorg~nge, Situationen und Probleme.

Dieses Buch wendet sich daher sowohl an Studierende der ersten Semester, die das notwendige mathe- matisehe Elementarrustzeug yon Grund auf verstehen, wiederholen, ein~iben und 6konomisch anwenden mOchten als auch an fortgeschrittene Studierende oder quantitativ orientierte Wirtschaftspraktiker, die sich ~iber die F~ille der Anwendungsm6glichkeiten mathematischen Instrumentariums auf 6konomische Sachverhalte informieren mOehten.

Jahrelange Erfahrungen mit Teilnehmer(inne)n meiner Vorlesungen in Finanz- und Wirtschaftsmathe- matik bzw. Operations Research haben mich darin bestfirkt, ein Buch for den (zuni~chsO nicht so bewan- derten Leser zu schreiben (und nicht far den mathematischen Ewerten). Wenn daher auch in manchen Rillen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemOht, jeden mathematisehen Saehverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begrOnden und plausibel herzuleiten. Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verstiindnis abzielende) Darstellung dtirfte allen den Leserinnen und Lesern entgegenkommen, die sich im Selbststudium die Elemente der Wirt- schaftsmathematik aneignen wollen.

Weiterhin habe ich bewusst auf das eine oder andere Detail traditioneller Mathematikdarstellungen ver- zichtet, so auf die Theorie der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsilontik oder auf die Theorie der Determinanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematisehen Interesse sind, nicht aber im Vordergrund 6konomischer Anwendungen stehen und daher dem Studienanffinger (und erst recht dem Praktiker) als unn6tiger theoretischer Ballast erscheinen k6nnen.

Die vorliegende 14. Auflage wurde erneut sorgf~ltig durchgesehen und in manchen Details verbessert. Das bis zur 4. Auflage noch enthaltene Kapitel fiber Finanzmathematik ist in wesentlich erweiterter Form als eigenst/~ndiges Lehrbuch ,, Einf~ihrung in die Finanzmathematik" im gleichen Verlag erschienen, siehe [66 ]im Literaturverzeichnis.

Der Text enthfilt eine Vielzahl erggnzender Beispiele und 12Ibungsaufgaben, die das Gefiihl f~ir die Beherr- schung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kernstoffes st/irken sollen. FiJr den umfangreichen

VI Vorwort

Aufgabenteil (mit mehr als 1300 Aufgaben in aber 300 Obungsteilen) ist im gleichen Verlag ein separates 13bungsbuch erschienen, das neben s/imtlichen Aufgaben dieses Lehrbuchs auch deren L6sungen - mit z.T. ausf~ahrlichen L6sungswegen- sowie zehn Original-Klausuren enth/ilt:

Tietze, J.: Ubungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik - Aufgaben, Testklausuren und LOsungen - 6. Auflage Vieweg Braunschweig, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0254-5

Zum Gebrauch des Buches: Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessem, wurde die ~iuBere Form struk- turiert:

Definitionen, mathematische S/itze und wichtige Ergebnisse sind jeweils eingerahmt.

Bemerkungen sind in kursiver Schrifttype gehalten.

Beispiele sind mit einem senkrechten Strichbalken am linken Rand gekennzeichnet.

Definitionen (Def.), Satze, Bemerkungen (Bern.), Formeln, Beispiele (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) und Ab- bildungen (Abb.) sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne ROcksicht auf den Typ fortlaufend durch- nummeriert. So folgen etwa in Kap. 6.2 nacheinander Bsp. 6.2.15, Abb. 6.2.16, Bem. 6.2.17, Def. 6.2.18 usw. Ein * an einer Aufgabe weist auf einen etwas erh6hten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigen Klammern, z.B. [66 ], beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Schluss des Buches.

Die reproduktionsfNaige Rohvorlage for den Druck hat in monatelanger tmermi~dlicher und sachkundiger Weise Herr cand. rer. pol. Norbert Breker gestaltet. Hilfreiche Untersttitzung erhielt ich yon Herrn cand. rer. pol. Manfred Havenith (digitale Bearbeitung der Graphiken) sowie von Herin cand. rer. pol. Roland Hansen (Korrektur). Ihnen allen danke ich herzlich.

Die 3-D-Darstellungen in Kapitel 3 wurden mit der Graphiksoftware GRAPHDAT, einer Entwicklung des Instituts f~ir Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH Aachen erstellt. FOr seine diesbezt~g- liche Untersttitzung danke ich Herrn Prof. Dr. Reinhard Wodicka vielmals.

Dieses Buch h~itte nicht entstehen k6nnen ohne Henna, die mir in vielen kritischen Situationen ihre Kraft zum Weitermachen lieh.

Zum Schluss gebt~hrt mein Dank dem Vieweg Verlag Wiesbaden und hier besonders Frau Ulrike Schmick- ler-Hirzebruch sowie Frau Susanne Jahnel ftir die gute und verst~indnisvolle Zusammenarbeit.

Die Hinweise vieler Leserinnen und Leser auf Fehler und VerbesserungsmOglichkeiten in den vorherge- henden Auflagen waren for mich und - so hoffe ich - auch far diese aktualisierte Neuauflage sehr wert- voll. Da ich allerdings damit rechne, dass trotz aller Sorgfalt der Fehlerteufel (bzw. die Fehlerteufelin) nicht untfitig geblieben sind, danke ich schon jetzt allen Leserinnen und Lesem fiar entsprechende Kor- rekturhinweise oder Verbesserungsvorschl/ige, z.B. per E-Mail (tietze@fh-aachen.de). Ich werde jede Ih- rer Riickmeldungen beantworten und in allen F~llen auch um eine schnelle Antwort bemOht sein.

Aachen, im Marz 2008 J~trgen Tietze

VII

I n h a l t s v e r z e i c h n i s

V o r w o r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

S y m b o l v e r z e i c h n i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v

Abkiirzungen, Variablennamen, griechisches Alphabet . . . . . . . .

1 Grundlagen und Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Mengen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Spezielle Zah lenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Aussagen undAussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Verkntipfungen von Aussagen und Aussageformen . . . . . 8

1.1.4.1 Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4.2 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4.3 Negat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4.4 Zusammengese tz te Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5 Folgerung (Implikation) und Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5.1 Folgerung (Implikation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5.2 Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.6 Relat ionen zwischen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.6.1 Gle ichhei tzweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.6.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.7 Verkntipfungen (Operat ionen) mit Mengen . . . . . . . . . . . 16 1.1.7.1 Durchschnit tsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.7.2 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.7.3 Res tmenge (Differenzmenge) . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.8 Paarmengen, Produktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Ari thmet ik im Bereich der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1 Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln in IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2

XVI

22 1.2.1.1 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1.2 Elementare Rechenregeln ftir reelle Zahlen . . . 24 1.2.1.3 Betrag einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1.4 Das Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1.5 Das Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2.1.6 Fakultfit und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . 32 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.2.2.1 Potenzen mit nattirlichen Exponenten . . . . . . . . 34 1.2.2.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . 36 1.2.2.3 Potenzen mit rationalen (gebrochenen)

Exponenten; Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

VIII Inhaltsverzeichnis

1.2.3

1.2.4

1.2.5 1.2.6

1.2.2.4 P o t e n z e n mi t ree l len E x p o n e n t e n . . . . . . . . . . . . L o g a r i t h m e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1 Begriff des L o g a r i t h m u s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2 L o g a r i t h m e n b a s e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.3 R e c h e n r e g e l n ftir L o g a r i t h m e n . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.4 L o g a r i t h m e n zu be l i eb ige r Basis . . . . . . . . . . . . . G l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.1 A l l g e m e i n e s fiber G l e i c h u n g e n und

d e r e n L 6 s u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.2 A q u i v a l e n z u m f o r m u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.3 L inea r e G l e i c h u n g e n ax + b = cx + d . . . . . . . . . 1.2.4.4 L inea r e G l e i c h u n g s s y s t e m e (LGS) . . . . . . . . . . . 1.2.4.5 Q u a d r a t i s c h e G l e i c h u n g e n ax 2 + bx + c = 0 . . . . 1.2.4.6 G l e i c h u n g e n h 6 h e r e n als zwei ten G r a d e s . . . . . 1.2.4.7 W u r z e l g l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.8 E x p o n e n t i a l g l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.9 L o g a r i t h m e n g l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.10 B r u c h g l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U n g l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wo s teck t de r Feh le r? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.1 F e h l e r b e i T e r m u m f o r m u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.2 Feh le r be i de r L 6 s u n g von G l e i c h u n g e n . . . . . . . 1.2.6.3 Feh le r be i de r L 6 s u n g von U n g l e i c h u n g e n . . . . .

Funktionen einer unabhfingigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Begriff und D a r s t e l l u n g von F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Funk t ionsbegr i f f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 G r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g von F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Abschn i t t swe i se def in ie r te F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 U m k e h r f u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Impl iz i te F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 V e r k e t t e t e F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 E igenscha f t en von F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Beschrf inkte F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 M o n o t o n e F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Symmet r i s che F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Nul l s t e l l en von F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 E l e m e n t a r e Typen von F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 G a n z r a t i o n a l e F u n k t i o n e n (Po lynome) . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1.1 Grundbegr i f f e , H o r n e r - S c h e m a . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.2 Kons t an t e und l ineare F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . 2.3.1.3 Q u a d r a t i s c h e F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.4 Nul l s t e l l en von P o l y n o m e n und

Po lyno mze r l egung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 G e b r o c h e n - r a t i o n a l e F u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 42 42 43 44 46 47

47 50 54 55 59 62 65 66 67 67 69 72 73 74 76

77 77 77 82 87 89 94 95 96 96 97 99

100 100 100 101 102 109

111 114

Inhaltsverzeichnis IX

2.3.3 Algebra ische Funk t ionen (Wurzel funkt ionen) . . . . . . . . . 2.3.4 Exponen t i a l funk t ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Logar i thmusfunk t ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Tr igonometr ische Funk t ionen

(Kreisfunkt ionen, Winke l funkt ionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 I terat ive Gleichungsl6sung und Nul l s te l l enbes t immung

(Regula falsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Beispiele 6konomische r Funk t ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funktionen mit mehreren unabh/ingigen Variablen . . . . . . . .

3.1 Begriff von Funk t ionen mit m e h r e r e n unabhfingigen Var i ab len . 3.2 Dars te l lung einer Funkt ion mit m e h r e r e n unabhfingigen

Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Homogeni t f i t von Funkt ionen mit m e h r e r e n unabhfingigen

Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grenzwerte und Stetigkeit yon Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Der Grenzwer tbegr i f f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Grenzwer t e von Funk t ionen ftir x ~ x 0 . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Grenzwer t e von Funk t ionen ftir x ~ o o (bzw. x ~ - o o ) . . .

4.2 Grenzwer t e spezieller Funk t ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Grenzwertsf i tze und ihre A n w e n d u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Der Stet igkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Uns te t igke i t s typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Stet igkei tsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Stet igkeit 6konomische r Funk t ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 A s y m p t o t e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D ifferentialrechnung fiir Funktionen mit einer unabh/ingigen Variablen - Grundlagen und Technik . . . . . . .

5.1 Grund lagen der Dif ferent ia l rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Problemste l lung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Durchschni t t l iche Funkt ionss te igung

(Sekantens te igung) und Di f fe renzenquo t i en t . . . . . . . . . . 5.1.3 Steigung und Able i tung einer Funkt ion

(D iffere ntialquo tient) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Dif fe renz ierbarke i t und Stet igkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Technik des Differenzierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Die Able i tung der G r u n d f u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1.1 Able i tung der kons tan ten Funkt ion fix) = C . . . 5.2.1.2 Able i tung der Potenzfunkt ion fix) = x n . . . . . . . . 5.2.1.3 Able i tung der Exponen t ia l funk t ion f(x) = e ~ . . . 5.2.1.4 Able i tung der Logar i thmusfunk t ion f(x) = in x .

5.2.2 Able i tungsrege ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116 118 120

121

127 131

153 153

154

163

167 167 168 172 178 181 185 187 189 192 195

199 199 199

199

201 205 206 207 207 207 208 209 211 211

X Inhaltsverzeichnis

5.2.2.2 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.2.2.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.2.2.4 Quot ientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.2.2.5 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.2.3 Ergfinzungen zur Ableitungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.2.3.1 Ableitung der Umkehr funkt ion . . . . . . . . . . . . . . 218 5.2.3.2 Ableitung allgemeiner Exponential- und

Logari thmusfunkt ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.2.3.3 Logarithmische Ablei tung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.2.4 H6here Ablei tungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.2.5 Zusammenfassung der wichtigsten Differentiat ionsregeln 225

5.3 Grenzwerte bei unbest immten Ausdr t i cken- Regeln von de L'H6spital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.4 Newton-Verfahren zur nfiherungsweisen Ermit t lung von Nullstellen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabh/ingigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 7

6.1 Zur 6konomischen Interpretat ion der ersten Ablei tung . . . . . . . . 237 6.1.1 Das Dif ferent ia le iner Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Die Interpretat ion der 1 .Ablei tung als (6konomische)

Grenzfunkt ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.1.2.1 Grenzkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.1.2.2 Grenzerl6s (Grenzumsatz, Grenzausgaben) . . . . 243 6.1.2.3 Grenzproduktivitfi t (Grenzertrag) . . . . . . . . . . . . 244 6.1.2.4 Grenzgewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.1.2.5 Marginale Konsumquote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.1.2.6 Marginale Sparquote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.1.2.7 Grenzrate der Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.1.2.8 Grenzfunkt ion und Durchschnit tsfunktion . . . . 249

6.2 Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Funkt ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.2.1 Monotonie- und Krt immungsverhal ten . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.2.2 Ext remwer te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.2.3 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.2.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 6.2.5 Ext remwer te bei nichtdifferenzierbaren Funkt ionen . . . . 268

6.3 Die Anwendung der Differentialrechnung auf 6konomische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 6.3.1 Beschreibung 6konomischer Prozesse mit Hilfe

von Ablei tungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 6.3.1.1 Beschreibung desWachstumsverhal tens

6konomischer Funkt ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.3.1.2 Konstruktion 6konomischer Funkt ionen

mit vorgegebenen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . 274

Inhaltsverzeichnis XI

6.3.2

6.3.3

6.3.4

Analyse und Optimierung 6konomischer Funktionen . . . 6.3.2.1 Fahrstrahlanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2.2 Diskussion 6konomischer Funktionen . . . . . . . . 6.3.2.3 Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2.4 Gewinnmaximierungbei doppelt-geknickter

Preis-Absatz-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2.5 Optimale Lagerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Elastizitfit 6konomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . 6.3.3.1 Anderungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3.2 Begriff, Bedeutung und Berechnung

der Elastizitfit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3.3 Elastizitfit 6konomischer Funktionen . . . . . . . . . 6.3.3.4 Graphische Ermittlung der Elastizitfit . . . . . . . . Uberprtifung 6konomischer Gesetzmfil3igkeiten mit Hilfe der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D ifferentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabh/ingigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.1 Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen . . . . 7.1.2 Okonomische Interpretat ion par t ie l lerAble i tungen . . . . 7.1.3 Partielle Ableitung h6herer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Kennzeichnung von Monotonie und Krt immung

durch partielle Ablei tungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Partielles und vollstfindiges (totales) Differential . . . . . . . 7.1.6 Kettenregel, totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.7 Ableitung impliziter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Ext rema bei Funktionen mit mehreren unabhfingigen Variablen 7.2.1 Relative Extrema ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . 7.2.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2.2 Variablensubs titutio n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2.3 Lagrange-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Beispiele ftir die Anwendung der Differentialrechnung auf 6konomische Funktionen mit mehreren unabhfingigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Partielle Elastizitfiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1.1 Begriff der partiellen Elastizitfit . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.2 Die Eulersche Homogenitfitsrelation . . . . . . . . . 7.3.1.3 Elastizitfit homogener Funktionen . . . . . . . . . . . 7.3.1.4 Faktorentlohnung und Verteilung

des Produktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Okonomische Beispiele ftir relative Extrema

(ohne Nebenbedingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2.1 Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion . . . .

276 277 280 282

289 291 301 301

303 308 314

319

325 325 325 330 331

333 335 337 340 344 344 346 346 348 348

352 352 352 353 354

357

362 362

XII Inhaltsverzeichnis

7.3.3

7.3.2.2 Gewinnmaximierung von Mehrproduktunternehmungen . . . . . . . . . . .

7.3.2.3 Gewinnmaximierung bei rfiumlicher Preisdifferenzierung . . . . . . . . . .

7.3.2.4 Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . Okonomische Beispiele ftir Ext rema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.1 Minimalkostenkombinat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.2 Expansionspfad, Faktornachfrage- und

Gesamtkostenfunkt ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.3 Nutzenmaximierung und H a u s h a l t s o p t i m u m . . . 7.3.3.4 Nutzenmaximale Gtiternachfrage- und

Ko ns um fu nktio n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Einfiihrung in die Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1 Das unbest immte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Stammfunktion und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Elementare Rechenregeln ftir das unbest immte

Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Das best immte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.1 Das Flficheninhaltsproblem und der Begriff des best immten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.2 Beispiel zur e lementaren Berechnung eines bes t immten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.3 Elementare Eigenschaften des best immten Integrals . . . . 8.3 Beziehungen zwischen bes t immtem und unbest immtem Integral

8.3.1 Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Der 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 8.3.3 Der 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 8.3.4 Flficheninhaltsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4 Spezielle Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5 Okonomische Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . 8.5.1 Kosten-,Erl6s- und Gewinnfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Die Konsumentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Die Produzentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.4 Kontinuierliche Zahlungsstr6me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.5 Kapitalstock und Investitionen einerVolkswirtschaft . . . 8.5.6 Optimale Nutzungsdauer von Investitionen . . . . . . . . . . .

8.6 Elementare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 L6sung von Differentialgleichungen durchTrennung

der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

371 374

377 377

383 387

393

401 401 401 404

405 407

407

409 410 412 412 413 415 416 418 419 420 422 422 425 426 428 432 433 437 437

438

Inhaltsverzeichnis XIII

8.6.3 Okonomische Anwendungen separabler Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3.1 Exponentielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3.2 Funktionen mit vorgegebener Elastizitfit . . . . . . 8.6.3.3 NeoklassischesWachstumsmodell nach So low. .

9 Einfiihrung in die Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1 Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Grundbegriffe der Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Spezielle Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Operat ionen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1.3.1 Addition von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem

Skalarfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3.3 Die skalare Multiplikation zweier Vektoren

(Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3.4 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1.4 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.5 Okonomisches Anwendungsbeispiel

(Input-Output-Analyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 L6sungsverfahren ftir lineare Gle ichungssys teme-

Gaugscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Pivotisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 L6sbarkeit linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Berechnung der Inversen einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6 Okonomische Anwendungsbeispiele ftir lineare

Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6.1 Teilebedarfsrechnung, Stticklistenaufl6sung . . . . 9.2.6.2 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung . . . . . .

10 Lineare Optimierung (LO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1 Grundlagen und graphische L6sungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Ein Problem der Produktionsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Graphische L6sung des Produkt ionsplanungsproblems. . 10.1.3 Ein Difit-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4 Graphische L6sung des Difit-Problems . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.5 Sonderffille bei graphischer L6sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.6 Graphische L6sung von L O - P r o b l e m e n -

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.1 Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems . 10.2.2 Grundidee des Simplexverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Einftihrung von Schlupfvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

441 441 441 443

449 449 449 453 454 454

456

458 459 466

468 473 473

475 481 486 491

493 493 495

499 499 499 5OO 502 503 505

508 510 510 512 512

x I v Inhaltsverzeichnis

10.2.4 Eckpunkte und Basisl6sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 .2 .50pt imal i t f i t skr i te rium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.6 Engpassbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.7 Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fal l -

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.8 Beispie lzum Simplexverfahren

(Standard-Maximum-Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Zweiphasenmethode zur L6sung beliebiger LO-Probleme . . . . . 10.4 Sonderffille bei LO-Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.4.1 Keine zulfissige L6sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Keine endliche optimale L6sung

(unbeschrfinkte L6sung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Degenerat ion (Entartung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.4 Mehrdeutige optimale L6sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.5 Fehlen von Nichtnegativitfitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 10.4.6 Ablaufdiagramm des Simplexverfahrens

im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Die 6konomische Interpretat ion des optimalen Simplextableaus

10.5.1 Produktionsplanungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1.1 Problemformulierung, Einftihrung

von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 .5 .1 .20p t imal tab leau und optimale Basisl6sung . . . . . 10.5.1.3 Deutung der Zielfunktionskoeffizienten . . . . . . 10.5.1.4 Deutung der inneren Koeffizienten . . . . . . . . . . . 10.5.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.5.2 Difitproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Dualitfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.6.1 Das duale LO-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2 Dualitfitssfitze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.7 Okonomische Interpretat ion des Dualproblems . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1 Dua le ines Produktionsplanungsproblems . . . . . . . . . . . . . 10.7.2 Dua le ines Difitproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 S a c h w o r t v e r z e i c h n i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

513 515 516

518

519 521 528 528

529 529 531 533

534 535 535

535 537 537 538 540 541 542 542 545 548 548 550

553

557

XV

Symbolverzeichnis (auf den angegebenen Seiten finden sich n~here Erl~uterungen zu den jeweiligen Symbolen)

(SO) ist (kein) Element von, 1 lim f(x) Grenzwert von f , 167ff I x - -~ o,, ffir: x gegen unendlich

{x e M ... } Mengenklammer, 2f x ~ x 0 fiir: x g e g e n x 0

IN, Z, ID, IR spezielle Zahlenmengen, 3 x ~ x~- r e c h t s s e i t i g e r G r e n z w e r t x--~ x C l inksseit iger Grenzwer t

{ }, ~ leere Menge, 2 [a,b], ] a,b [ Af Differenzenquotient

" ~ (S ekantensteigung) ,200 [a,b [ ; ] a,b ] Intervalle, 4 Ax < ; < kleiner; kleiner oder gleich f'(x), df Differentialquotient , 201f

- ~ 1. Ableitung > ; > gr6Ber; gr6f3er oder gleich d w, f wahr, falsch, 4 d - - ~ Differentialoperator, 201 A(x), d2f A(x,y .... ) Aussageformen, 5 f"(x), ~ x 2 2. Ableitung, 223f

T(x), T(x,y .... ) Terme, 5 f(n)(x), dnf dx n n-te Ableitung, 223f

D A, D G Definitionsmenge, 6,47 df Differential, 237ff L, L a, L G L6sungsmenge, 6ff,48f �9 .= ; =. definitionsgemfiB gleich, 3 ef, x x-Elastizitfit von f, 303ff - identisch gleich [ , ~ 1 Lfinge der (gerichteten) Streeke

yon A nach B, 314f ungefahr gleich ~f ~- entspricht ax ' fx 1. partielle Ableitung, 327ff A , V , --7 und, oder, nicht, 8ff

~ Folgerung, 13f 0 partieller Differential- ' ~--~ operator, 327

�9 => Jkquivalenz, 14f c ist Teilmenge von, 15f ~2f Cl, O Durchschnitt,Vereinigung, 16f 0 X 2 , fxx 2. partielle Ableitung, 33 i f

\ Mengendifferenz, 17f df x partielles Differential, 335f A x B x ... Produktmenge, 20f df totales Differential, 336 IR n n-dimensionaler Raum, 21 J f f (x) dx

unbestimmtes Integral, 403 l al absoluter Betrag, 29 Z, II Summe, Produkt, 29ff / - b

)a f(x)dx bestimmtes Integral, 408 n! Fakultgtt, 32 (~) Binomialkoeffizient, 32f F(x)[~ F(b)-F(a) , 415

dy an' eX i Potenz, 34ff ~ y'(t), d-i- , 437 n

v~a -, a ~ Wurzel, 37ff A, B, ... logax, lnx, lgx Logarithmus, 42ff Am, n Matrizen, 449ff c~ unendlich, 4,43,167ff (aik) f, f(x),f(x,y,..) Funktionen, 77ff,153ff aik, bik .... Matrix-Elemente, 450 Df, Wf Definitions-, Wertebereich, 78 A T transponierte Matrix, 451 x ~-> f(x) Zuordnungsvorschrift, 77ff f - 1 Umkehffunktion, 89ff a_ b, ... Spaltenvektoren, 45 If

f(g(x)) verkettete Funktion, 95f,215 a T, b T, ... Zeilenvektoren, 45 i f f ~ , f ~ f steigt bzw. f~llt, 97f,6-18f O,-0 Nullmatrix, Nullvektor, 453 sin, cos trigonometrische Funktio- Einheitsmatrix, tan, cot nen, 121ff E,-C i Einheitsvektor, 453 ~" Vektor, 154,451f A -i inverse Matrix, 466

1. 1 ,, uneigentliche Terme, 180,226ff ,, ~ ,, -E+ rg A Rang der Matrix A, 486

XVI Abkfirzungen

Abkiirzungen BL Basisl6sung BV Basisvariable CD Cobb-Douglas c.p. ceteris paribus DB Deckungsbeitrag d.h. das heigt tg Euro f falsch FE Faktoreinkommen GE Geldeinheit LE Leistungseinheit LGS Lineares Gleichungs-

system LO Lineare Optimierung m.a.W, mit anderen Worten

ME Mengen-Einheit NB Nebenbedingung NBV Nichtbasisvariable NNB Nichtnegativitatsbe-

dingung p.a. pro Jahr s. siehe Ttg tausend Euro u.v.a und vieles andere u.v.a.m, und vieles andere mehr vgl. vergleiche w wahr WE Wfihrungseinheit w.z.b.w, was zu beweisen war ZE Zeiteinheit

Abkiirzungen fiir Rechengesetze:

A1 - A5 Axiome ffir ,, +" D Distributivgesetz M1 -M5 Axiome ft~r,,." L1 - L3 Logarithmengesetze P1 - P7 Potenzgesetze R1 - R13 Rechenregeln in IR W1 -W5 Wurzelgesetze

Hfiufig verwendete Variablennamen

a t, a(t) Auszahlung d. Periode t A, A(t) Annuit/~t; Arbeitsinput (in t) B Bestand; (zuli~ssiger) Bereich C Konsum, Konsumsumme C O Kapitalwert e Eulersche Zahl e t, e(t) Einzahlung d. Periode t E ErlOs, Umsatz, Ausgaben;

Einheitsmatrix e Elastizitfit g Stfickgewinn gD Stfickdeckungsbeitrag G Gewinn G D Deckungsbeitrag h Stunde(n) i Zinssatz (= p/100) I, I(t) Investition (im Zeitpunkt t) k Stt~ckkosten K Kosten; Kapital k r stfickfixe Kosten Kf Fixkosten K n Endwert (eines Kapitals)

k~

L

P q r

R Rn S t T U x

Y Z

Barwert (eines Kapitals) Zeitwert (eines Kapitals

im Zeitpunkt 0 stfickvafiable Kosten variable Kosten L6sungsmenge; Lagrange- Funktion; Liquidationserl6s Lagrange-Multiplikator Preis; Zinsfuf3 Zinsfaktor (= 1 + i) Input; Homogenitfitsgrad; (stetiger) Zinssatz; Rang einer Matrix Rate; Zahlungsstrom Renten-Endwert Sparen, Sparsumme Zeit Laufzeit Nutzen(index) ; Umsatz Nachfrage; Angebot; Output; Menge Einkommen; Sozialprodukt Zielfunktion

Griechisches Alphabet a, A Alpha /3, B Beta y, F Gamma 6, A Delta e, E Epsilon ~, Z Zeta r/, H Eta 0, (3 Theta

t, I K, K 4, A # , M v, N ~ ,Z o, O

Jota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi

p, P Rho a, Z Sigma ~, T Tau v, Y Ypsilon ~o, ~ Phi Z, X Chi % W Psi o), f2 Omega