Didaktik der Geometrie 7.1Jürgen Roth

Didaktik der GeometrieJürgen Roth

Didaktik der Geometrie 7.2Jürgen Roth

Inhalte

Didaktik der Geometrie

1 Ziele und Inhalte

2 Begriffsbildung

3 Konstruieren

4 Argumentieren und Beweisen

5 Problemlösen

6 Entdeckendes Lernen

7 Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.3Jürgen Roth

Kapitel 7: TrigonometrieDidaktik der Geometrie

Didaktik der Geometrie 7.4Jürgen Roth

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 7: Trigonometrie

7.1 Seitenverhältnisse und Winkelim rechtwinkligen Dreieck

7.2 Winkel im Einheitskreis

7.3 Sinussatz, Kosinussatzund Additionstheoreme

7.4 Trigonometrische Funktionen

7.5 Angewandte Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.5Jürgen Roth

7.1 Seitenverhältnisse und Winkel im rechtwinkligen Dreieck

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.6Jürgen Roth

Drehleiter

Didaktik der Geometrie 7.7Jürgen Roth

Benutzungs-feldanzeige

Freynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirus http://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html

Didaktik der Geometrie 7.8Jürgen Roth

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Freynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirus http://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html

Didaktik der Geometrie 7.9Jürgen Roth

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Didaktik der Geometrie 7.10Jürgen Roth

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Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 111

Didaktik der Geometrie 7.11Jürgen Roth

Steigung

Didaktik der Geometrie 7.12Jürgen Roth

Steigunghttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/tangens_steigung_laengenverhaeltnis.html

Didaktik der Geometrie 7.13Jürgen Roth

Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/seitenverhaeltnisse_im_rechtwinkligen_dreieck.html

Didaktik der Geometrie 7.14Jürgen Roth

Einführung des Sinus im Schulbuch

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110

Didaktik der Geometrie 7.15Jürgen Roth

Einführung des Sinus im Schulbuch

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110

Didaktik der Geometrie 7.16Jürgen Roth

Besondere Sinus-und Kosinuswerte

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.17Jürgen Roth

Besondere Sinus-und Kosinuswerte

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.18Jürgen Roth

Besondere Sinus- & Kosinuswerte

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.19Jürgen Roth

Besondere Sinus-und Kosinuswerte

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.20Jürgen Roth

Besondere Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte

𝜶𝜶 im Gradmaß 𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟎 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎

𝜶𝜶 im Bogenmaß 𝟎𝟎𝝅𝝅𝟔𝟔

𝝅𝝅𝟒𝟒

𝝅𝝅𝟑𝟑

𝝅𝝅𝟐𝟐

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟑𝟑 𝟏𝟏

Merkhilfefür 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶

𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟑𝟑𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟒𝟒

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝜶𝜶 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟑𝟑𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟎𝟎

𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 𝜶𝜶 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟑𝟑

𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑 nicht definiert

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte_loesung.html

Didaktik der Geometrie 7.21Jürgen Roth

Steigung

Es gilt:

12

12xxyy

xym

−−

=

=∆∆

t: Schnittstelle Graph ↔ y-Achse (Achsenabschnitt)m: Steigung des Graphen

P1(x1|y1) und P2(x2|y2) ∈ Gg

P2(x2|y2)

P1(x1|y1)

g

α

x1 x2

y1

y2

y

xα

t

αtan=

= AnkatheteteGegenkathe

g: x m · x + t

Didaktik der Geometrie 7.22Jürgen Roth

7.2 Winkel im EinheitskreisKapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.23Jürgen Roth

Winkelfunktionen am Einheitskreis

𝟎𝟎𝟎 < 𝜶𝜶 < 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎 bzw. 𝟎𝟎 < 𝜶𝜶 < 𝝅𝝅𝟐𝟐

𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎 < 𝜶𝜶 < 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 bzw. 𝝅𝝅𝟐𝟐

< 𝜶𝜶 < 𝝅𝝅http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/einheitskreis.html

Didaktik der Geometrie 7.24Jürgen Roth

Winkelfunktionen am Einheitskreis

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 < 𝜶𝜶 < 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎 bzw. 𝝅𝝅 < 𝜶𝜶 < 𝟑𝟑𝟐𝟐𝝅𝝅 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎 < 𝜶𝜶 < 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎 bzw. 𝟑𝟑

𝟐𝟐𝝅𝝅 < 𝜶𝜶 < 𝟐𝟐𝝅𝝅

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/einheitskreis.html

Didaktik der Geometrie 7.25Jürgen Roth

(sin α)2 + (cos α)2 = 1

Winkelfunktionen am Einheitskreis

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für jeden Winkel α:

Didaktik der Geometrie 7.26Jürgen Roth

7.3 Sinussatz, Kosinussatzund Additionstheoreme

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.27Jürgen Roth

Vermessung –Dreiecksberechnung

Vermessung des Königreichs Hannover

Didaktik der Geometrie 7.28Jürgen Roth

Berechnung im allgemeinen Dreieck

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 142

1 sin 𝛼𝛼 =ℎ𝑐𝑐𝑏𝑏

⇒ ℎ𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 ⋅ sin(𝛼𝛼)

2 sin 𝛽𝛽 =ℎ𝑐𝑐𝑎𝑎

⇒ ℎ𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ⋅ sin(𝛽𝛽)

1 ,(2)𝑎𝑎 ⋅ sin 𝛽𝛽 = 𝑏𝑏 ⋅ sin 𝛼𝛼

⇒𝑎𝑎𝑏𝑏 =

sin 𝛼𝛼sin 𝛽𝛽

Analog ergibt sich (ℎ𝑏𝑏 bzw. ℎ𝑎𝑎):

𝑎𝑎𝑐𝑐 =

sin 𝛼𝛼sin 𝛾𝛾

𝑎𝑎𝑐𝑐 =

sin 𝛼𝛼sin 𝛾𝛾

2. Fall: 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎 < 𝜶𝜶 < 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎1. Fall: 𝟎𝟎𝟎 < 𝜶𝜶 ≤ 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎

1 sin 𝛼𝛼 =ℎ𝑐𝑐𝑏𝑏

= sin 180𝟎 − 𝛼𝛼 = sin 𝛼𝛼1

ℎ𝑐𝑐 ℎ𝑐𝑐

𝑐𝑐 𝑐𝑐

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑏𝑏

𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛽𝛽 𝛽𝛽

Didaktik der Geometrie 7.29Jürgen Roth

Sinussatz

Sinussatz: In Dreiecken verhalten sich die Seitenlängen wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

𝑎𝑎 ∶ 𝑏𝑏 ∶ 𝑐𝑐 = sin 𝛼𝛼 ∶ sin 𝛽𝛽 ∶ sin 𝛾𝛾

Sinussatz: In Dreiecken ist der Quotient aus Seitenläge und Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels konstant.

𝑎𝑎sin 𝛼𝛼

=𝑏𝑏

sin 𝛽𝛽=

𝑐𝑐sin 𝛾𝛾

bzw.

Didaktik der Geometrie 7.30Jürgen Roth

Sinussatz

Bedeutung von 𝑎𝑎sin 𝛼𝛼

:

Da der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel ist, gilt:

Die Konstante Seitenlänge

sin(Gegenwinkel)ist der Durchmesser des Dreiecksumkreises.

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143

sin 𝛼𝛼 =𝑎𝑎2𝑟𝑟

⇒𝑎𝑎

sin 𝛼𝛼= 2𝑟𝑟

⇒ sin 𝛼𝛼 =𝑎𝑎2𝑟𝑟

Didaktik der Geometrie 7.31Jürgen Roth

Sinussatz – Folgerungen

Satz: Ist 𝒔𝒔 eine Sehne im Kreis mit Durchmesser 𝒅𝒅 und 𝝋𝝋ein zugehöriger Umfangswinkel, dann gilt:

𝒔𝒔 = 𝒅𝒅 ⋅ 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝝋𝝋)

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143

Didaktik der Geometrie 7.32Jürgen Roth

Sinussatz – Folgerungen

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 gilt:𝐴𝐴Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1

2𝑎𝑎 ⋅ ℎ𝑎𝑎 = 12𝑏𝑏 ⋅ ℎ𝑏𝑏 = 1

2𝑐𝑐 ⋅ ℎ𝑐𝑐Wegen ℎ𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 ⋅ sin α bzw. ℎ𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 ⋅ sin 180𝟎 − α = 𝑏𝑏 ⋅ sin αund entsprechenden für ℎ𝑏𝑏 bzw. ℎ𝑎𝑎 folgt:

𝐴𝐴Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12𝑎𝑎𝑏𝑏 ⋅ sin 𝛾𝛾 = 1

2𝑎𝑎𝑐𝑐 ⋅ sin 𝛽𝛽 = 12𝑏𝑏𝑐𝑐 ⋅ sin 𝛼𝛼

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus zwei Seitenlängen und dem Sinus des Zwischenwinkels.

Didaktik der Geometrie 7.33Jürgen Roth

Vermessung –Dreiecksberechnung

Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S 134

Didaktik der Geometrie 7.34Jürgen Roth

Kosinussatz

BemerkungDer Kosinussatz ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras.Für 𝜸𝜸 = 90𝟎 geht die Gleichung 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 − 2𝒂𝒂𝒃𝒃 ⋅ cos 𝜸𝜸 des Kosinussatzes in die Gleichung 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 des Satzes des Pythagoras über.

Kosinussatz: In einem Dreieck ist das Quadrat einer Seite sogroß wie die Summe der Quadrate der beidenanderen Seiten, vermindert um das doppelteProdukt dieser Seiten und des Kosinus ihresZwischenwinkels.

𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 − 2𝒂𝒂𝒃𝒃 ⋅ cos 𝜸𝜸𝒃𝒃𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 2𝒂𝒂𝒄𝒄 ⋅ cos 𝜷𝜷𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 2𝒃𝒃𝒄𝒄 ⋅ cos 𝜶𝜶

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145

Didaktik der Geometrie 7.35Jürgen Roth

Kosinussatz – Beweis

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für das schraffierte Dreieck:

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145

Didaktik der Geometrie 7.36Jürgen Roth

Additionstheoremehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/additionstheoreme.html

sin 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = sin 𝛼𝛼 ⋅ cos 𝛽𝛽 + cos 𝛼𝛼 ⋅ sin 𝛽𝛽cos 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = cos 𝛼𝛼 ⋅ cos 𝛽𝛽 − sin 𝛼𝛼 ⋅ sin 𝛽𝛽

Didaktik der Geometrie 7.37Jürgen Roth

7.4 Trigonometrische Funktionen

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.38Jürgen Roth

Bogenlänge und Bogenmaßhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/bogenmass.html

Didaktik der Geometrie 7.39Jürgen Roth

Abwicklung der Sinusfunktion

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinus.html

Didaktik der Geometrie 7.40Jürgen Roth

Abwicklung der Kosinusfunktion

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/kosinus.html

Didaktik der Geometrie 7.41Jürgen Roth

Abwicklung derTangensfunktion

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/tangens.html

Didaktik der Geometrie 7.42Jürgen Roth

Abwicklung derWinkelfunktionen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/trigonom.html

Didaktik der Geometrie 7.43Jürgen Roth

Funktionen des Typs a⋅sin(b⋅(x+c))+d

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinusfunktion_mit_parametern.html

Didaktik der Geometrie 7.44Jürgen Roth

x → sin x, x∈RBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 184

Didaktik der Geometrie 7.45Jürgen Roth

x → sin x, x∈RBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 185

Didaktik der Geometrie 7.46Jürgen Roth

Sinusfunktion: Parameter und Graph

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193

Didaktik der Geometrie 7.47Jürgen Roth

Sinusfunktion: Parameter und Graph

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193

Didaktik der Geometrie 7.48Jürgen Roth

Sinusfunktion: Parameter und Graph

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 194f

Didaktik der Geometrie 7.49Jürgen Roth

x → cos x, x∈RBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 186f

Didaktik der Geometrie 7.50Jürgen Roth

𝒙𝒙 ↦ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝒙𝒙 ,𝒙𝒙 ∈ ℝBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 187

Didaktik der Geometrie 7.51Jürgen Roth

Funktionen des Typs 𝒂𝒂 ⋅ 𝒕𝒕𝒂𝒂𝒕𝒕 𝒃𝒃 ⋅ 𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 + 𝒅𝒅

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinusfunktion_mit_parametern.html

Didaktik der Geometrie 7.52Jürgen Roth

𝒙𝒙 ↦ 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 𝒙𝒙 ,𝒙𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 ⋅ 𝝅𝝅/𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∈ ℤ

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 189

Didaktik der Geometrie 7.53Jürgen Roth

𝒙𝒙 ↦ 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 𝒙𝒙 ,𝒙𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 ⋅ 𝝅𝝅/𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∈ ℤ

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190

Didaktik der Geometrie 7.54Jürgen Roth

𝒙𝒙 ↦ 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 𝒙𝒙 ,𝒙𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 ⋅ 𝝅𝝅/𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∈ ℤ

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190

Didaktik der Geometrie 7.55Jürgen Roth

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝒙𝒙 , 𝒙𝒙 und 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 𝒙𝒙 für kleine 𝒙𝒙Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 192

Didaktik der Geometrie 7.56Jürgen Roth

Umkehrungen der trigono-metrischen Funktionen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/umkehrungen.html

Didaktik der Geometrie 7.57Jürgen Roth

7.5 Angewandte TrigonometrieKapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.58Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.59Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.60Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.61Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.62Jürgen Roth

Vermessung

Didaktik der Geometrie 7.63Jürgen Roth

Jakobsstab

• Längsstab am Jochbein unter dem Auge ansetzen.• Querstück so lange verschieben, bis dessen Enden den

Horizont und den angepeilten Stern gerade überdecken.• Die halbe Länge des Querstabes, dividiert durch die am

Hauptstab abgelesene Länge, (Abstand vom Auge zum Querstab) ergibt den Tangens des halben gesuchten Winkels zwischen Horizont und Stern.

• Der Längsstab wird oft so skaliert, dass für eine bestimmte Querstablänge der Winkel direkt abgelesen werden kann.

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/jakobsstab.html

Didaktik der Geometrie 7.64Jürgen Roth

JakobsstabVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 109

Didaktik der Geometrie 7.65Jürgen Roth

JakobsstabVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116

Didaktik der Geometrie 7.66Jürgen Roth

JakobsstabVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116

Didaktik der Geometrie 7.67Jürgen Roth

JakobsstabVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

Didaktik der Geometrie 7.68Jürgen Roth

JakobsstabVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

Didaktik der Geometrie 7.69Jürgen Roth

JakobsstabVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

Didaktik der Geometrie 7.70Jürgen Roth

Theodolit

Didaktik der Geometrie 7.71Jürgen Roth

Marine-Sextant

Didaktik der Geometrie 7.72Jürgen Roth

Marine-Sextant

Didaktik der Geometrie 7.73Jürgen Roth

Mathe-MeisterschaftLeppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139

Didaktik der Geometrie 7.74Jürgen Roth

Mathe-MeisterschaftLeppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139