Kapi tel 9 Die E lektro dyna mi k und das Pho to...

Kapitel 9

Die Elektrodynamik und dasPhoton

Wir sind an der Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Elektronen, Po-sitronen und dem Photon interessiert. Wir beginnen mit der “klassischen”Theorie des Elektromagnetismus.

9.1 Klassische Maxwellsche Theorie

9.1.1 Das elektromagnetische 4-Potential

Die Maxwellsche Theorie kann als eine klassische Feldtheorie dargestelltwerden, die mit der Relativitatstheorie ubereinstimmt. Wir verwenden dieHeavyside-Lorentz Einheiten, fur die gilt

c = !0 = µ0 = 1 (9.1)

Die Maxwellschen Gleichungen lauten damit:

!""#

""$

"! · "E = # "!" "B # $ "E

$t= "J inhomogene

"! · "B = 0 "!" "E +$ "B

$t= 0 homogene

(9.2)

wobei "E, "B die elektrischen und magnetischen Felder sind, und #, "J die elek-trische Ladungsdichte und die Stromdichte.

Wir definieren das (kontravariante) elektromagnetische 4-Potential

Aµ $ (%, "A) (9.3)

147

148 Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)

wobei die Felder % und A folgendermassen mit "E, "B zusammenhangen:

"B $ "!" "A und "E $ #"!%# $ "A

$t(9.4)

Die Potentiale sind Losungen der homogenen Maxwellschen Gleichungen:

"B $ "!" "A =% "! · "B = "! · ("!" "A) = 0 ok! (9.5)

und

"!" "E+$ "B

$t= 0 =% "!"

%"E +

$ "A

$t

&= 0 =% "E+

$ "A

$t= #"!% (9.6)

Wir fuhren den antisymmetrischen elektromagnetischen Feldtensor ein:

F µ! $ $µA!#$!Aµ (9.7)

Mit dieser Definition konnen die inhomogenen Maxwellschen Gleichungen aus-gedruckt werden als

$µFµ! = J! wobei J! $ (#, "J) (9.8)

Der 4-Vektor J ! ist der elektrische Ladungs-Strom-4-Vektor. In dieserForm ist die Kovarianz der Maxwellschen Theorie explizit! Man kann leichtbeweisen, dass der elektromagnetische Feldtensor gleich

F µ! =

'

(()

0 #Ex #Ey #Ez

Ex 0 #Bz By

Ey Bz 0 #Bx

Ez #By Bx 0

*

++, (9.9)

ist. Der Tensor transformiert sich unter der Lorentz-Transformation wie:

(F µ!)! = !µ"!!

#F"# (9.10)

Der Tensor enthalt beide, elektrische und magnetische, Felder. Eine Lorentz-Transformation wird deshalb, wie erwartet, die elektrischen und magnetischenFelder mischen.

Die physikalische Grosse: wir betrachten den 4-Potentialvektor Aµ als die

fundamentale physikalische Grosse. Die elektromagnetischen Felder "E und "Bkonnen aus Aµ hergeleitet werden. Wenn wir den 4-Potentialvektor Aµ verwen-den, sind die homogenen Maxwellschen Gleichungen automatisch erfullt, unddie ganze Theorie wird in einer Vektorgleichung zusammengefasst:

$µ($µA! # $!Aµ) = J! wobei J! $ (#, "J) (9.11)

Der ganze Elektromagnetismus kann daher als die Feldtheorie des VektorfeldsAµ zusammengefasst werden.

Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich) 149

9.1.2 Das Problem der Eichtransformation

Es gibt aber ein Problem: der 4-Potentialvektor Aµ ist nicht eindeutig definiert.Unter der Eichtransformation

Aµ ' Aµ + $µ(

' (% +$(

$t, "A# "!() (9.12)

wird der elektromagnetische Feldtensor nicht geandert, wobei ( = ((xµ) einebeliebige skalare Funktion des Raumzeitvektors ist.

F µ! = $µ(A! + $!()# $!(Aµ + $µ() = $µA! # $!Aµ (9.13)

Wir konnen diesen Freiheitsgrad, der keinen E#ekt auf die "E- und "B-Felderhat, dazu benutzen, um eine zusatzliche Bedingung zu stellen:

$µAµ = 0 Lorentz-Bedingung (9.14)

Man spricht vom Festlegen der Eichung (“gauge fixing”). Die MaxwellschenGleichungen vereinfachen sich zu:

$µFµ! = J! = $µ$

µA! # $µ$!Aµ

5 67 8=0

= $µ$µA! (9.15)

oder

$µ$µA! = J! Maxwellsche Gleichung in Lorentz-Bedingung (9.16)

Strahlungs- (oder Coulomb-) Eichung: Aus der Lorentz-Bedingung$µAµ = 0 folgt

$µ$µ( = 0 (9.17)

d.h., die moglichen Eichfunktionen werden eingeschrankt. Dies legt das Poten-tial immer noch nicht eindeutig fest. Tatsachlich gibt es keinen sauberen Wegdiese Ambiguitat aufzulosen.

Im Fall des Vakuums (J !=0 ) stellt man oft eine zusatzliche Bedingung:Im Vakuum:

$µ$µA! = 0 und wir setzen A0 $ 0 (9.18)

Es folgt,

A0 $ 0, "! · "A = 0 Coulomb-Eichung (9.19)

Diese Bedingung ist nicht kovariant und kann deshalb nicht unabhangig vomBeobachter definiert werden. Die physikalische Bedeutung ist aber klar, wiewir im folgenden Abschnitt sehen werden.


9.2 Vektorfelder

Ein Vektorfeld tragt einen Lorentz-Index und wird durch seine Transfor-mationseigenschaft unter einer Lorentz-Transformation charakterisiert (SieheKap. 7.2.2):

A!µ(x!) = !µ!A

!(x) = !µ!A

!(!"1x!) (9.20)

Fur eine infinitesimale Lorentz-Transformation (Siehe Kap. 4.6.5 und 7.2.3)gilt:

x!µ = !µ!x

! = (&µ! + 'µ

!)x! und xµ = (!"1)µ

!x!! = (&µ

! # 'µ!)x

!! (9.21)

In erster Ordnung erhalten wir fur das Feld:

A!µ(x) = !µ!A

!((!"1)"#x#)

& (&µ! + 'µ

!)A!((&"

# # '"#)x#)

& (&µ! + 'µ

!)-A!(x)# '"

#x#$"A!(x).

= (&µ! + 'µ

!)-A!(x)# '"#x#$"A!(x)

.(9.22)

Es gilt fur den zweiten Term in der eckigen Klammer (Siehe Kap. 7.2.3):

('µ!x!$µ) =1

2('µ!x!$µ + 'µ!x!$µ)

=1

2('µ!x!$µ # 'µ!xµ$!)

= #1

2'µ!(xµ$! # x!$µ) $ i

2'µ!Lµ! (9.23)

wobei der Drehimpuls-Tensor gleich

Lµ! $ i (xµ$! # x!$µ) (9.24)

ist. In ahnlicher Weise

(&µ! + 'µ

!) = &µ! + '"#&µ

"g#!

= &µ! +

1

2

/'"#&µ

"g#! # '"#&µ#g"!

0

= &µ! #

i

2'"#i(&µ

"g#! # &µ#g"!) $ &µ

! #i

2'"# (""#)µ

! (9.25)

wobei wir den antisymmetrischen Operator " eingefuhrt haben. Es gilt:

A!µ(x) & (&µ! + 'µ

!)-A!(x)# '"#x#$"A!(x)

.

& (&µ! + 'µ

!)

1A!(x)# i

2'"#L"#A!(x)

2

&3

&µ! #

i

2'"# (""#)µ

!

4 1A!(x)# i

2'"#L"#A!(x)

2

& Aµ(x)# i

2'"#L"#Aµ(x)# i

2'"# (""#)µ

! A!(x) (9.26)


d.h. die Transformation des Felds enthalt zwei Teile: der erste entspricht, wieim Fall des skalaren Felds (Siehe Kap. 7.2.3) dem Drehimpuls des Felds. Derzweite entspricht einem internen Freiheitsgrad, namlich dem Spin. Der gesamteDrehimpuls-Tensor wird definiert als

J"#Aµ(x) $ L"#Aµ(x) + (""#)µ! A!(x)

= (L"# + ""#) Aµ(x) (Notation) (9.27)

Damit gilt:

A!µ(x) = Aµ(x)# i

2'"#J"#Aµ(x) (9.28)

Diese letzte Gleichung beschreibt die gesamte Anderung des Vektorfelds unterder Lorentz-Transformation. Beim Vergleich mit den allgemeinen Resultatendes Kap. 4.6.5 interpretieren wir den J-Tensor-Operator als die Darstellung derGeneratoren der Gruppe. Der gesamte Drehimpuls ist durch die rein raumlichenKomponenten dieses Tensors gegeben. Man kann zeigen, dass dieser intrinsischeDrehimpuls einem Spin S=1 entspricht. Es folgt:

Vektorfelder beschreiben Teilchen mit Spin 1.

9.3 Das Photon

Das Photon ist ein elementares Boson. Es ist schwierig zu sagen, wer das Photonentdeckt hat.

Planck (1900) Elektromagnetische Strahlung von schwarzen Korpern

Die elektromagnetische Strahlung, die Korper emittieren, ist quantisiert unddie Beziehung zwischen Frequenz und Energie ist:

E = h) h $ Plancksche Konstante (9.29)

Einstein (1905) Quantisierung ist eine Eigenschaft der elektromagnetischenStrahlung. Erklart den photoelektrischen E#ekt.

Compton (1923) Lichtquant wird als Teilchen mit verschwindender Massebehandelt. Energie-Impuls-Erhaltung wird verwendet.

Photon * $ elementares Teilchen (9.30)

9.3.1 Quantenelektromagnetismus

Das Potential Aµ wird zur Wellenfunktion des Photons .

Freies Photon: (J !=0 )

$µ$µA! = 0 Maxwellsches freies Photon (9.31)


Wir erkennen die Klein-Gordon Gleichung (Siehe Kap. 7.2) fur ein masselosesTeilchen!

($µ$µ + m2)%(xµ) = 0m=07856#' $µ$µ%(xµ) = 0 (9.32)

Die Maxwellsche Gleichung besitzt aber vier Komponenten. Jede Komponentedes Potentials Aµ erfullt die Klein-Gordon-Gleichung. Fur ein freies Photonnehmen wir an:

Ansatz : ebene Welle mit vierkomponentigem Polarisationsvektor

Aµ(x) = ae"ip·x!µ(p) (9.33)

wobei !µ der Polarisations-4-Vektor ist (der nur vom 4-Impuls abhangt).

Der Polarisationsvektor hat eine Beziehung zum Spin des Photons . Es gilt furdie ebene Welle:

$µ$µA! = 0 =% (#i)2pµp

µA! = 0 =% pµpµ = p2 = 0 (9.34)

Es folgt (wie erwartet), m = 0 und E = |"p|.

9.3.2 Polarisation des Photons

Wir betonen, dass !µ a priori 4 voneinander unabhangige Komponenten besitzt.Wir wenden die Eich-Bedingungen an.

Lorentz-Bedingung:

$µAµ = (#ipµ)ae"ip·x!µ(p) = 0 (9.35)

=% pµ!µ = 0 (9.36)

Die Anzahl von unabhangigen Komponenten des Polarisationsvektors reduziertsich auf drei.

Coulomb-Eichung: A0 = 0, "! · "A = 0.

Es folgt,

!0 = 0 und "! · "p = 0 (9.37)

Der Polarisationsvektor "! ist zur Ausbreitungsrichtung senkrecht. Das freiePhoton ist transversalpolarisiert in der Coulombschen Eichung .

Beispiel: "p// z-Achse

Wir wahlen als Basis die zwei unabhangigen Zustande

9!µ(1) = (0, 1, 0, 0) $ (0,"!1)

!µ(2) = (0, 0, 1, 0) $ (0,"!2)

(9.38)

Von den ursprunglichen 4 unabhangigen Komponenten bleiben schliesslich nurzwei ubrig:


Die Vektoren !µ(1 ) und !µ

(2 ) entsprechen den transversalen linearen Polarisa-tionen des Felds. Durch Uberlagerung zweier um 90# phasenverschobenen linearpolarisierten Wellen, konnen links- oder rechts-zirkular polarisierte Wellen er-zeugt werden, die mit den Spins m=±1 assoziiert sind, wobei die Achse derQuantisierung des Spins in die Richtung des Impulses gerichtet wurde.

Daher besitzt das (masselose) Photon nur zwei Helizitaten: der Spin zeigt indie Richtung oder in die entgegengesetzte Richtung des Impulses.

9.3.3 Die zweite Quantisierung des elektromagnetischenFelds

In der Coulombschen Eichung gilt: A0 = 0, "! · "A = 0

Wir haben damit die Kovarianz verloren, aber das Feld ist daher eindeutig de-finiert. Eine allgemeine Losung kann deshalb als eine gewohnliche Entwicklungin ebenen Wellen ausgedruckt werden:

"A(x) $:

d3"p

(2+)3/2

5 67 8Summe ueber alle Moden

1;2Ep

2<

$=1

="!$("p)a$("p)e"ip·x + "! $

$ ("p)a†$("p)e+ip·x

>

(9.39)wobei a$ die Vernichtungs- und a†

$ die Erzeugungs-Operatoren sind. Wir be-tonen, dass diese Form von der Eichung abhangt. Das Feld kann im Prinzipmit anderen Eichungen ausgedruckt werden. Schliesslich mussen die messbarenphysikalischen Grossen immer unabhangig von der Wahl der Eichung sein!

Folgende allgemeinen Resultate gelten fur das quantisierte elektromagnetischeFeld:

H =

:d3"p Ep

2<

$=1

=a†

$("p)a$("p)>

(9.40)

"P =

:d3"p "p

2<

$=1

=a†

$("p)a$("p)>

(9.41)

d.h., die Energie und der Impuls des Zustands mit einem Photon sind gleich:

Ha†$("p)| 0( = Epa

†$("p)| 0( und "Pa†

$("p)| 0( = "pa†$("p)| 0( (9.42)

Daher erzeugt der Operator a†$ ein Photon mit Energie E p, Impuls "p und

Polarisation (. Der a$-Operator vernichtet ein Photon mit Energie Ep, Impuls"p und Polarisation (.


9.4 Massive Vektorfelder

Wir wissen, dass das Photon ein masseloses Teilchen ist. Der Elektromagne-tismus entspricht daher einer Theorie eines masselosen Vektorfelds. Im Allge-meinen kann man naturlich auch massive Vektorfelder betrachten. Wenn wirfreie Felder betrachten, dann ist es sinnvoll anzunehmen, dass das massive Felddurch ein 4-Vektor-Feld beschrieben werden kann, wobei jede Komponente desFelds die Klein-Gordon-Gleichung mit Masse m erfullt:

($µ$µ + m2)A!(x) = 0 () = 0, 1, 2, 3) (9.43)

mit der Lorentz-Bedingung:$!A

!(x) = 0 (9.44)

Die (explizit kovariante) Lorentz-Bedingung reduziert die Anzahl von un-abhangigen Komponenten auf drei. Die Zahl entspricht genau der Anzahl vonphysikalisch unabhangigen Spinfreiheitsgraden eines Teilchens mit Spin 1.

Fur ein freies Feld konnen wir eine ebene Welle als Ansatz annehmen: Aµ(x) =ae"ip·x!µ(p). Durch Einsetzen in die Klein-Gordon-Gleichung erhalten wir diefolgende Bedingung fur den Energie-Impuls-4-Vektor:

($µ$µ+m2)A! = 0 =% (#i)2pµp

µA!+m2A! = 0 =% p2 = m2 (9.45)

Die Lorentz-Bedingung beschrankt die moglichen Polarisationen:

$µAµ = (#ipµ)ae"ip·x!µ(p) = 0 =% pµ!

µ = 0 (9.46)

Man erhalt daher drei unabhangige Polarisationen. Wenn der Impuls z.B. par-allel zur z-Achse ist, dann ist eine mogliche Wahl die folgende:

!""#

""$

!µ(1) = (0, 1, 0, 0)

!µ(2) = (0, 0, 1, 0)

!µ(3) =

1

m(p, 0, 0, Ep)

wobei Ep =;

p2 + m2 (9.47)

Die Basisvektoren sind reell, raum-artig und haben eine Normierung gleich –1.Im Schwerpunktssystem des Teilchens sind die Vektoren gleich:

!#

$

!µ(1) = (0, 1, 0, 0)

!µ(2) = (0, 0, 1, 0)

!µ(3) = (0, 0, 0, 1)

(im SP) (9.48)

d.h., sie beschreiben drei Polarisationen in die x -, y- und z -Richtungen. Wieim Fall des elektromagnetischen Felds entsprechen !µ

(1 ) und !µ(2 ) den trans-

versalen Polarisationen des Felds. Der dritte Vektor !µ(3 ) entspricht einer lon-

gitudinalen Polarisation, die nicht erlaubt ware, wenn das Teilchen, wie dasPhoton, masselos ware.


Naturlich ist auch eine andere Wahl der Basisvektoren moglich. Die Polarisati-onsvektoren konnen in bestimmten Fallen komplizierter aber praktischer sein.Schliesslich mussen die messbaren physikalischen Grossen immer unabhangigvon der Wahl der Polarisationsbasis (oder der Eichung!) sein.

Wir vergleichen dieses Ergebnis mit dem Fall des elektromagnetischen Felds(Siehe Kap. 9.3.2).

Die Wahlfreiheit bei der Eichung erlaubt die Lorentz-Eichung zu fordern. ImAllgemeinen liefert die Bedingung eine zusatzliche Gleichung, die die Anzahlvon unabhangigen Komponenten des Felds von vier auf drei reduziert. Dasmassive Feld besitzt daher drei unabhangige Polarisationsrichtungen.

Im Fall des elektromagnetischen Felds verlangte das Festlegen der Eichungzwei Bedingungen: die Lorentz- und die Coulomb-Bedingung. Daher besitztdas Photon nur zwei unabhangige Polarisationsrichtungen.

9.5 Lagrange-Formalismus der Elektrodyna-mik

9.5.1 Der Elektromagnetismus

Wir suchen nun die Lagrange-Dichte, die die Maxwellschen Gleichungen liefert.

Die L-Dichte muss Lorentz- und eichinvariant sein, so dass die Theorie auchLorentz- und eichinvariant sein wird.

a) Masseloses freies Feld:

Lfrei = #14Fµ!F µ! Proca-Lagrange-Funktion (9.49)

Die Lagrange-Dichte ist Lorentz- und eichinvariant.

Wir nehmen das Potential Aµ als fundamentales Feld. Es gilt,

$Lfrei

$($µA!)=

$

$($µA!)

1#1

4($"A# # $#A")($"A# # $#A")

2

= #1

4

$

$($µA!)

-(2$"A#$"A# # 2$"A#$#A")

.

= #1

42

1$

$($µA!)($"A#$"A#)# $

$($µA!)($"A#$#A")

2

= #1

42 [2($µA! # $!Aµ)] = #($µA! # $µA!) (9.50)

Es folgt,$Lfrei

$($µA!)= #Fµ! und

$Lfrei

$A!= 0 (9.51)


Mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung (Siehe Kap. 6.2) erhalten wir:

$Lfrei

$A!# $µ

3$Lfrei

$($µA!)

4= 0 =% $µFµ! = 0 ok! (9.52)

b) Masseloses Feld mit Quelle:

Wir addieren einen Term, der das Feld mit der Quelle J µ koppelt:

L = Lfrei + LQuelle = #1

4Fµ!F

µ! # JµAµ (9.53)

Wir erhalten,$LQuelle

$($µA!)= 0 und

$LQuelle

$A!= #J! (9.54)

und es folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:

$µFµ! = J! ok! (9.55)

D.h, die ganze Maxwellsche elektromagnetische Theorie kann in der folgendenLagrange-Funktion zusammengefasst werden:

LMaxwell = #14Fµ!F µ! # JµAµ (9.56)

Wir bemerken, dass die Kontinuitatsgleichung auch folgt, weil:

$F µ! = J! =% $!J! = $!$µ5678

symmetrisch

Fµ!5678antisymmetrisch

= 0 ! (9.57)

9.5.2 Teilchen im elektromagnetischen Feld

In der klassischen Elektrodynamik kann die Bewegung eines geladenen Teil-chens der Ladung e in einem elektromagnetischen Potential durch die kanoni-sche minimale Substitution des Impulses und der Energie

"p' "p# e "A und E ' E # e% (9.58)

in der Lagrange-Funktion gewonnen werden. Wir konnen diese Methode erwei-tern zu

pµ ' pµ # eAµ (9.59)

oder als Ersatz des Operators

i$µ ' i$µ # eAµ (9.60)

Die minimale Substitution legt nahe, dass die Dirac-Gleichung in Anwesenheiteines elektromagnetischen Feldes so

[*µ(i$µ # eAµ)#m] $ = 0 Dirac-Gleichung mit ausserem Feld

(9.61)


erweitert werden muss.

Wir konnen deshalb die gesamte Lagrange-Dichte der Quantenelektro-dynamik (QED) bauen (Siehe Kap. 6.3 und 9.5) als

LQED = LDirac + LMaxwell + LWechselwirkung

= $ [*µ(i$µ # eAµ)#m] $# 14Fµ!F µ! # JµAµ

= $ [*µi$µ #m] $5 67 8freies Dirac"Feld

#1

4Fµ!F

µ!

5 67 8freies e.m. Feld

#/Jµ + e$*µ$

0Aµ5 67 8

Quellen und WW zwischen Dirac und e.m."Feld

(9.62)Wenn wir das Potential Aµ variieren, erhalten wir die Maxwellschen Gleichun-gen mit der folgenden Ladungs-Strom-Dichte

$µFµ! = J! + e$*!$= J! + ej! wobei jµ $ ,*µ$

(9.63)

wobei wir den Dichtestrom-4-Vektor der Dirac-Gleichung j µ (Siehe Kap. 8.4)erkennen. Der Strom J ! beschreibt eventuell vorhandene makroskopischeStrome. Diese Gleichung definiert den Ausdruck der elektromagnetischenWechselwirkung eines Dirac-Teilchens als das Produkt der Ladung e und derbilinearen Kovarianten (Siehe Kap. 9.4.4) der Vektor-Form mit dem Vektorpo-tential Aµ:

e5678Staerke zur Ladung proportional

" ($*µ$)5 67 8Form des Stroms:V ektor

"Aµ (9.64)


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