Kapitel 1: Einführung · Optimale Steuerung 2/Prozessoptimierung 2. Dynamische Prozessoptimierung....
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Optimale Steuerung 2/Prozessoptimierung 2Dynamische Prozessoptimierung
Kapitel 1: Einführung
Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li
Fachgebiet Prozessoptimierung
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Luft- und Raumfahrtindustrie
Dynamische Vorgänge:• Start• Landung• Flugbahnregelung
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Chemieindustrie Dynamische Vorgänge:• Anfahren• Abfahren• Produktwechsel• Feedwechsel
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Industrieroboter
Dynamische Vorgänge:
• Positionieren
• Transportieren
5Beispiel: Optimale Ersatzstrategie
Ziel: Kostenminimierung in den nächsten 5 JahrenRandbedingungen:• Ein neues Auto kostet 100.000 €• Kosten der Instandhaltung:
1. Jahr: 6.000 €, 2. Jahr: 8.000 €, 3. Jahr: 12.000 €• Verkaufspreis:
1. Jahr: 80.000 €, 2. Jahr: 60.000 €, 3. Jahr: 50.000 €
6Problemdarstellung:
t : Jahr (1, 2, …, 5)
x : Alter des Autos (1, 2, 3)
Minimale Kosten vom Jahr t bis zum Jahr 5 beim Zustand x
:)(xft
Definition:
Welche ist die optimale Strategie, damit die Gesamtkosten für 5 Jahre minimiert werden können?
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Man fängt hinten mit Jahr 5 an: Jahr 5: das Auto wird auf jeden Fall verkauft.
Die Kosten: 50)3(,60)2(,80)1( 555 −=−=−= fff
Jahr 4: es gibt 3 Möglichkeiten:
Analyse des Problems:
{ } { } 5452,54min)2(8),1(610080min)1( 554 −=−−=++++−= fff d.h. verkaufen
{ } { } 3838,34min)3(12),1(610060min)2( 554 −=−−=++++−= fff d.h. behalten
24)1(610050)3( 54 −=+++−= ff d.h. verkaufen
8Optimalsteuerung eines Raketenwagens:
Ziel: Positionierung des Wagens an der Position „0“, wo er zum Stillstand gebracht wird.
Gewünschter Endzustand: Position , Geschwindigkeit .
Der Wagen hat einen Antrieb für beide Richtungen.
01 =Sx 02 =Sx
aftAntriebskr:)(gkeitGeschwindi:)(
Position:)(
2
1
tutxtx
0 21Anfangszustand:
m/s1)0( m,2)0( 21 == xx
kg) 1( Masse: =mm
Welche ist die optimale Strategie, damit der Wagen zum gewünschten Endzustand fährt und zugleich die benötigte Kraft minimiert wird?
9Zustandsraumdarstellung:
Dann
)(1)(
)()(
2
21
tum
tx
txtx
=
=
uxx
xx
+
=
10
0010
2
1
2
1
Ziel der Optimalsteuerung:)();( 2211 txxtxx SS −−• Minimierung der Abweichungen:
)(tu• Minimierung der Antriebskraft:
)()()()()(
2
21
txmtamtutxtx
===
Modellgleichungen:
BuAxx +=
d.h.
also
0 21
aftAntriebskr:)(gkeitGeschwindi:)(
Position:)(2
1
tutxtx
kg) 1( Masse: =mm
10Problemformulierung:
uxx
xx
+
=
10
0010
2
1
2
1
Anfangszustand:
0;01)0(;2)0(
21
21
==
==SS xxxx
Gewünschter Endzustand:
Gütefunktional: [ ] [ ] [ ]{ }∫∞
+−+−0
2222
211)(
)()(2)(21min dttutxxtxx SS
tu
Zustandsgleichungen:
0 2 4 6 8 10-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
u(t)x1(t)x2(t)
Lösung mit einemmathematischen Ansatz:
?)(?)(?)(
2
1
===
tutxtx
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Optimierung des Betriebs von Batchreaktoren
12Optimierung des Betriebs eines Batchreaktors:
Betrieb eines Batchreaktors• Einsatzstoff zuführen• Katalysator zudosieren• Temperatur erhöhen• Reaktion findet statt• Reaktor abfahren
Die chemische Reaktion: CBAOrdnungOrdnung .1.2→→
Ziel des Betriebs: nach der gegebenen Reaktionszeit (Chargenzeit) die Zusammensetzung der Komponente B im Reaktionsgemisch zu maximieren.
Welche ist die optimale Temperaturstrategie während der Chargenzeit?
Anfangszustand ist bekannt: 0)0(,0)0(mol/l,1)0( === CBA CCC
Erlaubter Temperaturbereich: KTK 398298 ≤≤
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Modellgleichungen:
BC
BAB
AA
CTkdt
dC
CTkCTkdt
dC
CTkdt
dC
)(
)()(
)(
2
22
1
21
=
−=
−=
−=
−=
RTEkTk
RTEkTk
2202
1101
exp)(
exp)(
Problemformulierung: Ziel der Optimierung: )(max
)( fBtTtC
Prozessbeschränkung: KTK 398298 ≤≤
Anfangsbedingung: 0)0(,0)0(mol/l,1)0( === CBA CCC
Zeitbereich: ftt ≤≤0
Das ist ein nichtlineares, dynamisches Optimierungsproblem!
14Lösung des Optimalsteuerungsproblems:
Implementierung des Ergebnisses durch das Prozessleitsystem.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1300
320
340
360
380
400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 10
0,2
0,4
0,6
0,8
1
C(t)A
C(t) B
Optimale Temperaturstrategie Trajektorie der Konzentrationen
Das Modell bzw. die Modellparameter müssen verifiziert werden!
15Zur Berechnung und Realisierung optimaler Steuerungen werden benötigt:
Prozesstechnik• Formulierung der Zielfunktion• Modellierung (Black-Box-, White-Box-, Gray-Box-Modell)• Prozessbeschränkungen
Optimierungstechnik• Mathematische Lösungsverfahren• Konvergenzverhalten• Rechenaufwand
Informatik• Softwareentwicklung• Sprache/Struktur der numerischen Rechnung• Echtzeitimplementierung durch das Prozessleitsystem
16Prozesstechnik: Problemformulierung
Ziel der Optimierung
Modell-gleichungen
Prozess-beschränkungen
Anfangs-bedingung
0uxxg =),,(
),(min uxfu
0uxxh ≤),,(
00 )( xx =t
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Lösungsverfahren
Direkte MethodenIndirekte Methoden
DynamischeProgrammierung
Maximum Prinzip
SimultaneMethoden
Sequentielle Methoden
Diskretisierung Diskretisierung
Gradienten
Gradienten
SQP
SQP
Simulation
( )[ ] [ ]
00
maxmin
maxmin
0)(
)(
0),,,(0),,,(mit
),,(),(,min0
xtxuuuxxx
tuxxhtuxxg
dttuxfttxttuJft
tffftu
=≤≤≤≤≤=
+Φ= ∫
Optimierungstechnik: Lösungsverfahren
18Optimierungstechnik: Lösungsverfahren
Indirekte Verfahren (konventionell)• Variationsverfahren (vor 1950)
• Dynamische Programmierung (Bellman, 1953)
• Das Maximum-Prinzip (Pontryagin, 1958)
Direkte Verfahren (ab 1980)• Diskretisierung dynamischer Systeme
• Lösung mit nichtlinearen Programmierungsverfahren
• Effiziente Berechnung der Gradienten
• Simultane Verfahren
• Sequentielle Verfahren
Lev PontryaginAnalytische Verfahren.
Numerische Verfahren.
19Informatik: Implementierung
20Inhalt dieser Lehrveranstaltung:Indirekte Verfahren
• Variationsverfahren, Optimalitätsbedingungen • Das Maximum-Prinzip• Dynamische Programmierung• Riccati-Optimal-Regler
Direkte Verfahren• Methoden zur Diskretisierung, Orthogonale Kollokation• Lösung mit nichtlinearen Programmierungsverfahren• Simultane und Sequentielle Verfahren
Anwendungen • Prozesse in der Luft- und Raumfahrtindustrie• Prozesse in der Chemieindustrie• Prozesse in der Wasserbewirtschaftung
Software (Übungen im PC-Pool)• GAMS• MATLAB
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Literatur:
J. Lunze: Regelungstechnik 2. Springer. 1997
R. Unbehauen: Regelungstechnik 2. Vieweg. 1993
O. Föllinger: Regelungstechnik. Hüthig. 1992 D.G. Luenberger: Introduction to Dynamic Systems. Wiley. 1979
A.C. Chiang: Elements of Dynamic Optimization. McGraw-Hill. 1992
P. Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter. 1991
D.P. Bertsekas: Dynamic Programming and Stochastic Control. Academic Press. 1976
M. Papageorgiou: Optimierung. Oldenbourg. 1996