Kapitel 1: Einführung · Optimale Steuerung 2/Prozessoptimierung 2. Dynamische Prozessoptimierung....

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Optimale Steuerung 2/Prozessoptimierung 2 Dynamische Prozessoptimierung Kapitel 1: Einführung Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li Fachgebiet Prozessoptimierung

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Optimale Steuerung 2/Prozessoptimierung 2Dynamische Prozessoptimierung

Kapitel 1: Einführung

Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li

Fachgebiet Prozessoptimierung

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Luft- und Raumfahrtindustrie

Dynamische Vorgänge:• Start• Landung• Flugbahnregelung

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Chemieindustrie Dynamische Vorgänge:• Anfahren• Abfahren• Produktwechsel• Feedwechsel

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Industrieroboter

Dynamische Vorgänge:

• Positionieren

• Transportieren

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5Beispiel: Optimale Ersatzstrategie

Ziel: Kostenminimierung in den nächsten 5 JahrenRandbedingungen:• Ein neues Auto kostet 100.000 €• Kosten der Instandhaltung:

1. Jahr: 6.000 €, 2. Jahr: 8.000 €, 3. Jahr: 12.000 €• Verkaufspreis:

1. Jahr: 80.000 €, 2. Jahr: 60.000 €, 3. Jahr: 50.000 €

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6Problemdarstellung:

t : Jahr (1, 2, …, 5)

x : Alter des Autos (1, 2, 3)

Minimale Kosten vom Jahr t bis zum Jahr 5 beim Zustand x

:)(xft

Definition:

Welche ist die optimale Strategie, damit die Gesamtkosten für 5 Jahre minimiert werden können?

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Man fängt hinten mit Jahr 5 an: Jahr 5: das Auto wird auf jeden Fall verkauft.

Die Kosten: 50)3(,60)2(,80)1( 555 −=−=−= fff

Jahr 4: es gibt 3 Möglichkeiten:

Analyse des Problems:

{ } { } 5452,54min)2(8),1(610080min)1( 554 −=−−=++++−= fff d.h. verkaufen

{ } { } 3838,34min)3(12),1(610060min)2( 554 −=−−=++++−= fff d.h. behalten

24)1(610050)3( 54 −=+++−= ff d.h. verkaufen

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8Optimalsteuerung eines Raketenwagens:

Ziel: Positionierung des Wagens an der Position „0“, wo er zum Stillstand gebracht wird.

Gewünschter Endzustand: Position , Geschwindigkeit .

Der Wagen hat einen Antrieb für beide Richtungen.

01 =Sx 02 =Sx

aftAntriebskr:)(gkeitGeschwindi:)(

Position:)(

2

1

tutxtx

0 21Anfangszustand:

m/s1)0( m,2)0( 21 == xx

kg) 1( Masse: =mm

Welche ist die optimale Strategie, damit der Wagen zum gewünschten Endzustand fährt und zugleich die benötigte Kraft minimiert wird?

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9Zustandsraumdarstellung:

Dann

)(1)(

)()(

2

21

tum

tx

txtx

=

=

uxx

xx

+

=

10

0010

2

1

2

1

Ziel der Optimalsteuerung:)();( 2211 txxtxx SS −−• Minimierung der Abweichungen:

)(tu• Minimierung der Antriebskraft:

)()()()()(

2

21

txmtamtutxtx

===

Modellgleichungen:

BuAxx +=

d.h.

also

0 21

aftAntriebskr:)(gkeitGeschwindi:)(

Position:)(2

1

tutxtx

kg) 1( Masse: =mm

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10Problemformulierung:

uxx

xx

+

=

10

0010

2

1

2

1

Anfangszustand:

0;01)0(;2)0(

21

21

==

==SS xxxx

Gewünschter Endzustand:

Gütefunktional: [ ] [ ] [ ]{ }∫∞

+−+−0

2222

211)(

)()(2)(21min dttutxxtxx SS

tu

Zustandsgleichungen:

0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

u(t)x1(t)x2(t)

Lösung mit einemmathematischen Ansatz:

?)(?)(?)(

2

1

===

tutxtx

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Optimierung des Betriebs von Batchreaktoren

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12Optimierung des Betriebs eines Batchreaktors:

Betrieb eines Batchreaktors• Einsatzstoff zuführen• Katalysator zudosieren• Temperatur erhöhen• Reaktion findet statt• Reaktor abfahren

Die chemische Reaktion: CBAOrdnungOrdnung .1.2→→

Ziel des Betriebs: nach der gegebenen Reaktionszeit (Chargenzeit) die Zusammensetzung der Komponente B im Reaktionsgemisch zu maximieren.

Welche ist die optimale Temperaturstrategie während der Chargenzeit?

Anfangszustand ist bekannt: 0)0(,0)0(mol/l,1)0( === CBA CCC

Erlaubter Temperaturbereich: KTK 398298 ≤≤

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Modellgleichungen:

BC

BAB

AA

CTkdt

dC

CTkCTkdt

dC

CTkdt

dC

)(

)()(

)(

2

22

1

21

=

−=

−=

−=

−=

RTEkTk

RTEkTk

2202

1101

exp)(

exp)(

Problemformulierung: Ziel der Optimierung: )(max

)( fBtTtC

Prozessbeschränkung: KTK 398298 ≤≤

Anfangsbedingung: 0)0(,0)0(mol/l,1)0( === CBA CCC

Zeitbereich: ftt ≤≤0

Das ist ein nichtlineares, dynamisches Optimierungsproblem!

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14Lösung des Optimalsteuerungsproblems:

Implementierung des Ergebnisses durch das Prozessleitsystem.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1300

320

340

360

380

400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 10

0,2

0,4

0,6

0,8

1

C(t)A

C(t) B

Optimale Temperaturstrategie Trajektorie der Konzentrationen

Das Modell bzw. die Modellparameter müssen verifiziert werden!

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15Zur Berechnung und Realisierung optimaler Steuerungen werden benötigt:

Prozesstechnik• Formulierung der Zielfunktion• Modellierung (Black-Box-, White-Box-, Gray-Box-Modell)• Prozessbeschränkungen

Optimierungstechnik• Mathematische Lösungsverfahren• Konvergenzverhalten• Rechenaufwand

Informatik• Softwareentwicklung• Sprache/Struktur der numerischen Rechnung• Echtzeitimplementierung durch das Prozessleitsystem

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16Prozesstechnik: Problemformulierung

Ziel der Optimierung

Modell-gleichungen

Prozess-beschränkungen

Anfangs-bedingung

0uxxg =),,(

),(min uxfu

0uxxh ≤),,(

00 )( xx =t

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Lösungsverfahren

Direkte MethodenIndirekte Methoden

DynamischeProgrammierung

Maximum Prinzip

SimultaneMethoden

Sequentielle Methoden

Diskretisierung Diskretisierung

Gradienten

Gradienten

SQP

SQP

Simulation

( )[ ] [ ]

00

maxmin

maxmin

0)(

)(

0),,,(0),,,(mit

),,(),(,min0

xtxuuuxxx

tuxxhtuxxg

dttuxfttxttuJft

tffftu

=≤≤≤≤≤=

+Φ= ∫

Optimierungstechnik: Lösungsverfahren

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18Optimierungstechnik: Lösungsverfahren

Indirekte Verfahren (konventionell)• Variationsverfahren (vor 1950)

• Dynamische Programmierung (Bellman, 1953)

• Das Maximum-Prinzip (Pontryagin, 1958)

Direkte Verfahren (ab 1980)• Diskretisierung dynamischer Systeme

• Lösung mit nichtlinearen Programmierungsverfahren

• Effiziente Berechnung der Gradienten

• Simultane Verfahren

• Sequentielle Verfahren

Lev PontryaginAnalytische Verfahren.

Numerische Verfahren.

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19Informatik: Implementierung

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20Inhalt dieser Lehrveranstaltung:Indirekte Verfahren

• Variationsverfahren, Optimalitätsbedingungen • Das Maximum-Prinzip• Dynamische Programmierung• Riccati-Optimal-Regler

Direkte Verfahren• Methoden zur Diskretisierung, Orthogonale Kollokation• Lösung mit nichtlinearen Programmierungsverfahren• Simultane und Sequentielle Verfahren

Anwendungen • Prozesse in der Luft- und Raumfahrtindustrie• Prozesse in der Chemieindustrie• Prozesse in der Wasserbewirtschaftung

Software (Übungen im PC-Pool)• GAMS• MATLAB

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Literatur:

J. Lunze: Regelungstechnik 2. Springer. 1997

R. Unbehauen: Regelungstechnik 2. Vieweg. 1993

O. Föllinger: Regelungstechnik. Hüthig. 1992 D.G. Luenberger: Introduction to Dynamic Systems. Wiley. 1979

A.C. Chiang: Elements of Dynamic Optimization. McGraw-Hill. 1992

P. Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter. 1991

D.P. Bertsekas: Dynamic Programming and Stochastic Control. Academic Press. 1976

M. Papageorgiou: Optimierung. Oldenbourg. 1996