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4 Kapitel 1 Lineare Gleichungssysteme 1. Lineare Gleichungssysteme, Gauß - Algorithmus Die Aufgabenstellungen in der Linearen Algebra werden durch lineare Gleichungssysteme modelliert. Das klassische Werkzeug zur Lösung solcher Gleichungssysteme ist der Gauß – Algorithmus. Dieser Algorithmus ist eine spezielle Form des Additionsverfahrens: Gleichungssystem Nebenrechnungen 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1) x 2x 4x 6 (2) 2x x 3x 5 (3) 3x 3x 2x 2 + =− + + = + =− Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit 2 und addie- ren Sie diese Gleichung zu Gleichung (2): ............................................................ ............................................................ + (4) ....................................................... Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit 3 und addie- ren Sie diese Gleichung zu Gleichung (3): ............................................................ ............................................................ + (5) ....................................................... (1) ………………………….. (4) ………………………….. (5) ………………………….. Multiplizieren Sie die Gleichung (4) mit 1 und addieren Sie diese Gleichung zu Gleichung (5): ............................................................ ............................................................ + (6) ....................................................... (1) ………………………….. (4) ………………………….. (6) …………………………..

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Kapitel 1 Lineare Gleichungssysteme 1. Lineare Gleichungssysteme, Gauß - Algorithmus Die Aufgabenstellungen in der Linearen Algebra werden durch lineare Gleichungssysteme modelliert. Das klassische Werkzeug zur Lösung solcher Gleichungssysteme ist der Gauß – Algorithmus. Dieser Algorithmus ist eine spezielle Form des Additionsverfahrens:

Gleichungssystem Nebenrechnungen

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(1) x 2x 4x 6

(2) 2x x 3x 5

(3) 3x 3x 2x 2

+ − = −+ + =+ − = −

Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit 2− und addie-ren Sie diese Gleichung zu Gleichung (2):

............................................................

............................................................

+

(4) .......................................................

Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit 3− und addie-ren Sie diese Gleichung zu Gleichung (3):

............................................................

............................................................

+

(5) .......................................................

(1) …………………………..

(4) …………………………..

(5) …………………………..

Multiplizieren Sie die Gleichung (4) mit 1− und addieren Sie diese Gleichung zu Gleichung (5):

............................................................

............................................................

+

(6) .......................................................

(1) …………………………..

(4) …………………………..

(6) …………………………..

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Das aus den Gleichungen (1), (4) und (6) bestehende Gleichungssystem hat Diagonalstruktur; seine Lösungsmenge { }1 2 3x , x , x lässt sich durch Rückeinsetzen sofort ermitteln:

3 2 1x .......... ; x .......... ; x ...........= = =

Alle auftretenden Gleichungssysteme sollten mit diesem Algorithmus gelöst werden, damit ein geeignet organisierter Lösungsprozess gewährleistet ist. Dabei wird es nur in wenigen Fällen erforderlich sein, die Nebenrechnungen explizit aufzuschreiben. Die Aufgaben sind so ausgewählt, dass fast alle Gleichungen mit ganzen Zahlen aufgeschrieben werden können.

Um das Rechnen mit ganzen Zahlen zu gewährleisten, kann es gelegentlich zweckmäßig sein, die Reihenfolge der Gleichungen im Verlauf der Rechnung zu ändern:

Arbeitsauftrag: Lösen Sie das Gleichungssystem

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(1) 2x 3x x 5

(2) 2x 6x x 9

(3) 4x 5x 4x 2

+ − = −+ + = −+ + = −

mit Gauß – Algorithmus.

Erster Rechenschritt: 1. Schreiben Sie die Gleichung (1) ab. 2. Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit 1− und addieren Sie diese Glei-

chung zur Gleichung (2). 3. Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit 2− und addieren Sie diese Glei-

chung zur Gleichung (3): (1a) ………………………………………...

(2a) ………………………………………...

(3a) ………………………………………...

Zweiter Rechenschritt: 1. Schreiben Sie die Gleichung (1a) ab. 2. Vertauschen Sie die Gleichungen (2a) und (3a):

(1b) ………………………………………...

(2b) ………………………………………...

(3b) ………………………………………...

Dritter Rechenschritt: 1. Schreiben Sie die Gleichungen (1b) und (2b) ab. 2. Multiplizieren Sie die Gleichung (2b) mit 3 und addieren Sie diese Glei-

chung zur Gleichung (3b): (1c) ………………………………………...

(2c) ………………………………………...

(3c) ………………………………………...

Vierter Rechenschritt: Geben Sie die Lösungsmenge { }1 2 3x , x , x des Gleichungssystems an:

(4) 3 2 1x .......... ; x .......... ; x ..........= = =

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Aufgabe 1: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus:

1. 1 2 3

1 2 3

1 2

x x 2x 2

3x 2x x 4

2x x 2

− − =− + =− =

2. 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x 3x 12

x 3x x 10

3x x x 8

+ + =+ + =+ + =

3. 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 1

2x x x 6

3x x 3x 11

− − =− + =− + =

4. 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 6

0,2 x 0,3x 0,3x 1,7

0,4 x 0,2 x 0,2 x 1,4

+ + =+ + =+ + =

Hinweise: a) Für die ersten beiden Gleichungssysteme lassen sich eindeutig bestimmte

Lösungen 3 2 1x , x und x angeben. b) Das dritte Gleichungssystem erfordert beim Gauß – Algorithmus nur einen

Rechenschritt, es hat unendlich viele Lösungen. Sie können diese Lösungen aufschreiben, indem Sie 3x „setzen“ und 1x und 2x durch 3x ausdrücken.

c) Beim vierten Gleichungssystem ist es sinnvoll, die zweite und die dritte Gleichung zunächst mit 10 zu multiplizieren. Dieses Gleichungssystem hat ebenfalls unendlich viele Lösungen. Sie können diese Lösungen aufschrei-ben, indem Sie 3x „setzen“ und 2x durch 3x ausdrücken; für 1x ergibt sich ein konkreter Wert.

Aufgabe 2: Kai und Jens kaufen Proviant für eine Klassenfahrt ein: Kai kauft zwei Tafeln

Schokolade, drei Müsli – Riegel und drei Flaschen Mineralwasser; Jens kauft vier Tafeln Schokolade, vier Müsli – Riegel und vier Flaschen Mineralwasser. Sven möchte ebenfalls noch für die Klassenfahrt einkaufen und fragt Kai und Jens nach den Preisen. Beide erinnern sich nicht mehr an die Einzelpreise. Kai erinnert sich jedoch, dass er insgesamt 7 € ausgegeben hat, und Jens erinnert sich, dass er insgesamt 10 € ausgegeben hat.

1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für den Preis 1x einer Tafel Schokolade, den Preis 2x eines Müsli – Riegels und den Preis 3x einer Flasche Mine-ralwasser auf.

2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus. (Es ist nur ein Rechenschritt erforderlich.)

3. Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, wenn der Preis eines Müsli – Riegels bekannt ist.

Aufgabe 3: (Magische Quadrate) Überprüfen Sie, ob es reelle Zahlen 1 4x , ... , x gibt, so

dass

1x 2x

3x 4x

a) die Zeilen- und Spaltensummen den Wert 0 haben b) die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen den Wert 0 haben c) die Zeilen- und Spaltensummen einen Wert k 0≠ haben.

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2. Die Vektor – Schreibweise für lineare Gleichungssysteme Wir haben in Abschnitt 1 die einzelnen Gleichungen der linearen Gleichungssysteme in der Form 1 1 2 2 n na x a x ... a x b+ + + =

geschrieben. Alle Gleichungen sind von diesem Typ, d.h. die Terme auf der linken Seite sind sog. Linearkombinationen von 1 nx , ... , x . Die Terme unterscheiden sich nur in den Koeffi-zienten 1 na , ... , a . Diese gleichartige Struktur der Terme wird in der folgenden Schreibweise deutlicher zum Ausdruck gebracht:

11 1n 1 1

m1 mn n m

a a x b

a a x b

⋅ =

L

M M M M

L

11 1 1n n 1

m1 1 mn n m

a x ... a x b

a x ... a x b

+ + =

+ + =

M

Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten lässt sich also in der Form A x b⋅ =

schreiben.

Dabei ist A eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, kurz (m; n) – Matrix, und x und b sind Spaltenvektoren mit n bzw. m Komponenten; Schreibweise: n mx , b .∈ ∈

Bei zahlreichen Anwendungsaufgaben in den folgenden Kapiteln wird A eine quadratische Matrix sein, so dass m n.=

In den beiden folgenden Aufgaben soll zunächst nur der formale Umgang mit Matrizen und Spaltenvektoren geübt werden. Das eigentliche Lösungsverfahren, nämlich der Gauß – Algo-rithmus, ist aus Abschnitt 1 bekannt und vertraut:

Aufgabe 1: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:

1

2

x1 2 53 1 x 8

⋅ = − − ; 1

2

x3 1 06 4 x 6

⋅ = −

Arbeitsanleitungen:

1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme. 2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus. 3. Schreiben Sie die Lösungen als Spaltenvektoren, also in der Form

1

2

xxx =

Aufgabe 2: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:

1

2

3

x1 2 4 62 1 3 x 53 3 2 2x

− − ⋅ =

− − ;

1

2

3

x1 1 2 23 2 1 x 42 1 0 2x

− − − ⋅ =

1

2

3

x1 1 1 00,2 0,1 0,2 x 0,70,2 0,1 0,1 0,2x

− − ⋅ =

− − ;

1

2

3

x1 1 2 10,2 0,1 0,1 x 0,10,3 0 0,4 0,1x

− ⋅ = −

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3. Rechnen mit Vektoren

Wir haben in Abschnitt 2 gesehen, dass die Gleichung

1

2

x1 2 53 1 x 8

⋅ = − −

den Lösungsvektor

3x1 =

besitzt. Die Komponenten 1x 3= und 2x 1= dieses Vektors 2x ∈ beschreiben in einem Koordinatensystem den Punkt P(3/1) .

Unter dem Vektor x wollen wir geometrisch denjenigen Pfeil im 2 verstehen, der vom Null-punkt zum Punkt P(3/1) zeigt:

Wir haben also eine eindeutige Zuordnung zwischen einem Punkt und einem Spaltenvektor:

11 2

2

xP(x / x ) xx ↔ =

Auf der Grundlage dieser Zuordnung werden wir in der Lage sein, geometrische Probleme algebraisch zu lösen, indem wir

a) das geometrische Problem in ein algebraisches Problem übersetzen b) das algebraische Problem lösen c) die algebraische Lösung geometrisch interpretieren.

Das folgende Diagramm veranschaulicht diese Arbeitsweise:

Wenn wir geometrische Probleme algebraisch lösen wollen, müssen wir in der Lage sein, mit Vektoren zu rechnen:

P(3/1) 3x1 =

geometrisches Problem

algebraisches Problem

Lösung des algebraischen

Problems

Lösung des geometrischen

Problems

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Definition: Vektoren

1 1

2 2

x yx , y

x y = =

werden addiert, indem die Komponenten addiert werden:

1 1 1 1

2 2 2 2

x y x yx y

x y x y+ + = + = +

Die folgende Aufgabe erklärt geometrisch, wie zwei Vektoren addiert werden:

Aufgabe 1: Sei

6 3

x ; y2 2

− = =

Berechnen Sie die Summe x y+ der Vektoren x und y und bestätigen Sie, dass die folgende Skizze die Addition der Vektoren geometrisch beschreibt.

Auf der Grundlage dieses Resultats kann jetzt die folgende Aufgabe zur Addition von Vekto-ren bearbeitet werden: Aufgabe 2: Sei

a) 3 1x ; y1 4 = =

b) 8 5x ; y3 2

− = =

c) 3 1x ; y8 5 = = −

Berechnen Sie die Summe x y+ der Vektoren x und y und veranschaulichen Sie die Addition geometrisch.

Für die Addition von Vektoren gelten Rechengesetze, die wir in dem folgenden Satz zusam-menfassen:

Satz 1.1: Für Vektoren x, y und z gilt:

x y y x+ = + (Kommutativgesetz)

(x y) z x (y z)+ + = + + (Assoziativgesetz)

Beweis: Schreiben Sie die Vektoren als Spaltenvektoren und wenden Sie die Definition der Addition an.

x

y

x y+

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Die Definition der Addition von Vektoren können wir ohne weiteres auf die Subtraktion von Vektoren übertragen:

Definition: Vektoren

1 1

2 2

x yx , y

x y = =

werden subtrahiert, indem die Komponenten subtrahiert werden:

1 1 1 1

2 2 2 2

x y x yx y

x y x y− − = − = −

Aus dieser Definition wird allerdings nicht sofort ersichtlich, wie die Subtraktion geometrisch zu erklären ist. Zu diesem Zweck müssen wir die Subtraktion auf die Addition zurückführen. Dabei hilft uns die folgende

Definition: Der Vektor

1

2

xx

x− − = −

heißt der Gegenvektor des Vektors

1

2

xx

x =

Die folgende Skizze zeigt den Gegenvektor x− eines Vektors x im Koordinatensystem:

Mithilfe eines solchen Gegenvektors können wir jetzt die Subtraktion zweier Vektoren geo-metrisch erklären:

Aufgabe 3: Erklären Sie geometrisch

a) anhand eines geeigneten Beispiels b) allgemein

den Differenzvektor x y− zweier Vektoren x und y, indem Sie den Gegenvektor von y zu x addieren.

Aufgabe 4: Berechnen Sie die Differenz x y− der Vektoren x und y und veranschaulichen Sie die Ergebnisse in einem Koordinatensystem:

a) 2 3x ; y1 6 = =

b) 6 1x ; y2 5 = =

c) 2 5x ; y1 3

− = =

x

x−

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Die folgende Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition des Gegenvektors:

Definition: Ein Vektor

1

2

xx

x =

wird mit einer reellen Zahl t multipliziert, indem die Komponenten von x mit t multipliziert werden:

1 1

2 2

x t xt x t

x t x⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Die folgenden Skizzen veranschaulichen die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl:

t 1> 0 t 1< <

Aufgabe 5: Berechnen Sie die folgenden Summen und Differenzen von Vektoren und veran-schaulichen Sie die Ergebnisse in einem Koordinatensystem:

4 22 3 +

; 5 31 2

− +

; 2 12 31 2 ⋅ + ⋅

5 23 1 −

; 4 12 3

− − − − ; 1 12 3

1 2− ⋅ − ⋅ −

Für die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen gelten ebenfalls Rechengesetze, die wir in dem folgenden Satz zusammenfassen:

Satz 1.2: Für Vektoren x, y und reelle Zahlen s, t gilt:

s(tx) (st) x= (Assoziativgesetz)

s(x y) sx sy+ = + (Distributivgesetz)

(s t) x sx tx+ = + (Distributivgesetz)

Beweis: Schreiben Sie wie beim Beweis von Satz 1.1 die Vektoren wieder als Spaltenvekto-ren und wenden Sie die Definitionen der Addition von Vektoren und der Skalarmul-tiplikation an.

Die in diesem Abschnitt formulierten Definitionen und Rechengesetze für Vektoren sind all-gemeingültig; sie gelten für Vektoren im n . Die Beschränkung auf zwei Komponenten hatte lediglich den Vorteil der einfachen geometrischen Veranschaulichung (die für n 3> ohnehin nicht mehr möglich ist).

x x

t x⋅

t x⋅

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4. Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme Wir sind jetzt in der Lage, die Lösungsvektoren solcher Gleichungen aufzuschreiben, die un-endlich viele Lösungen besitzen: Aufgabe 1: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:

1

2

x3 1 06 2 x 0

− ⋅ = − ; 1

2

x2 1 34 2 x 6

− ⋅ = − −

Arbeitsanleitungen:

1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme. 2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus. 3. „Setzen“ Sie 1x , drücken Sie jeweils 2x durch 1x aus und zeigen Sie, dass

sich die Lösungsvektoren in der Form

1 11 1

2 2

x x1 1 0x x bzw. x xx 3 x 2 3 = = = = −

schreiben lassen.

Da 1x dabei frei wählbar ist 1(x ,∈ ¡ falls keine zusätzlichen Einschränkungen vorgegeben sind), kann 1x durch eine neutrale Notation ersetzt werden, z.B. durch t. Mit dieser Notation sind dann

1 1 0x t bzw. x t3 2 3 = = −

; t ∈ ¡

die Lösungsvektoren der beiden Gleichungen.

In dieser Form lassen sich auch Lösungsvektoren schreiben, die mehr als zwei Komponenten besitzen: Aufgabe 2: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:

1

2

3

x1 1 1 02 1 0 x 0 ;0 2 4 0x

− − ⋅ =

1

2

3

x1 0 1 00 1 2 x 22 2 6 4x

− − ⋅ =

Arbeitsanleitungen:

1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme. 2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus. 3. „Setzen“ Sie 3x , drücken Sie jeweils 2 1 3x und x durch x aus und zeigen

Sie, dass sich die Lösungsvektoren in der Form

3 3

1 0 1x x 2 bzw. x 2 x 2

1 0 1

= = +

schreiben lassen. 4. Ersetzen Sie 3x durch eine neutrale Notation, z.B. durch t.

In diesen Aufgaben wurde also jeweils eine Variable „gesetzt“, und die beiden übrigen Vari-ablen wurden durch diese Variable ausgedrückt.

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Aufgabe 3: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:

1

2

3

x1 2 1 01 2 1 x 0

2 4 2 0x

− − − ⋅ =

− ;

1

2

3

x1 3 1 13 9 3 x 32 6 2 2x

− − − ⋅ = −

− −

Arbeitsanleitungen:

1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme. 2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus. 3. „Setzen“ Sie 2x und 3x , drücken Sie jeweils 1x durch 2 3x und x aus und

zeigen Sie, dass sich die Lösungsvektoren in der Form

2 3 2 3

2 1 1 3 1x x 1 x 0 bzw. x 0 x 1 x 0

0 1 0 0 1

− − − = + = + +

schreiben lassen. 4. Ersetzen Sie 2x und 3x durch neutrale Notationen, z.B. durch r und s.

In dieser Aufgabe wurden also jeweils zwei Variable „gesetzt“, und die dritte Variable wurde durch diese beiden Variablen ausgedrückt.

Aufgabe 4: Ein Metall verarbeitender Betrieb möchte 100 kg einer Aluminium – Legierung herstellen, die 2,5 % Chrom und 4 % Titan enthält. Da reines Chrom und Titan sehr teuer sind, will der Betrieb versuchen, aus bereits erhältlichen Legierungen die gewünschte Mischung herzustellen. Auf dem Markt werden vier Legierungen angeboten, deren Chrom- und Titan-gehalt der folgenden Tabelle zu entnehmen sind:

L1 L2 L3 L4

Chrom

Titan

1 % 2 % 4 %

5 % 1 % 4 % 3 %

1. Stellen Sie ein (aus drei Gleichungen bestehendes) Gleichungssystem für

die benötigten Mengen 1 4x , , x der einzelnen Legierungen auf (in kg) und schreiben Sie dieses Gleichungssystem in der Form A x b⋅ = .

2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und zeigen Sie, dass sich der Lösungsvektor x in der Form

150 250 1x t100 20 1

− −= + −

schreiben lässt. 3. Zeigen Sie, dass der Lösungsvektor x nur für t 50= definiert ist, und geben

Sie die Zusammensetzung der gesuchten Legierung an.

Anleitung: Beachten Sie, dass t nicht alle reellen Zahlen annehmen kann. Vielmehr müs-sen die Voraussetzungen i0 x 100≤ ≤ für alle ix erfüllt sein.

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Aufgabe 5: Edelstahl ist eine Legierung, die sich aus Eisen, Nickel und Chrom zusammen-setzt. Ein Unternehmen der Stahlindustrie möchte 400 Tonnen Edelstahl herstel-len, der 8,5% Nickel und 19% Chrom enthält. Dazu kann es auf drei auf dem Markt angebotene Legierungen zurückgreifen, deren Nickel- und Chromgehalt der folgenden Tabelle zu entnehmen ist:

L1 L2 L3

Eisen

Nickel

Chrom

70 % 72 % 74 %

6 % 8 % 10 %

24 % 20 % 16 %

1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen 1x , 2x und 3x der einzelnen Legierungen auf (in t) und schreiben Sie das Gleichungssys-tem in der Form A x b⋅ = .

2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und geben Sie den Lösungsvektor x an.

3. Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Vorausset-zungen i0 x 400≤ ≤ .

4. Überprüfen Sie, ob sich der Edelstahl mit den gewünschten Nickel- und Chromanteilen mit lediglich zwei Legierungen herstellen lässt.

Aufgabe 6: Ein Gartenbaubetrieb hat in den vergangenen Jahren mit einem Rasendünger

gearbeitet, der 10% Kalium und 18% Stickstoff enthielt. Mit diesem Dünger hat der Betrieb gute Erfahrungen gemacht. Der Lieferant hat die Herstellung dieses Düngers eingestellt. Der Betrieb erwägt daher, aus anderen Sorten 1,5 Tonnen Dünger mit 10% Kalium und 18% Stick-stoff zu mischen. Die Angaben der Hersteller dieser Sorten sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

1D 2D 3D 4D

Kalium

Stickstoff

Phosphat

Magnesium

6% 8% 14% 14%

25% 20% 15% 10%

4% 5% 6% 12%

3% 2% 2% 1%

1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen 1 4x , ... , x der einzelnen Düngersorten auf (in kg) und schreiben Sie das Gleichungssystem in der Form A x b⋅ = .

2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und geben Sie den Lösungsvektor x an.

3. Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Vorausset-zungen i0 x 1500≤ ≤ .

4. Überprüfen Sie, welche Lösungen den Einsatz von möglichst wenigen Dün-gersorten erfordern.

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Aufgabe 7: Bei chemischen Prozessen wird häufig Wasserstoff als Reduktionsmittel einge-setzt, weil er sich leicht mit Sauerstoff verbindet. Mithilfe von Wasserstoff lassen sich Metalloxide zu Metallen reduzieren. So beschreibt z.B. die Reaktionsgleichung

2 2Zn O H Zn H O+ → +

wie Zinkoxid zu Zink reduziert wird: Wenn 1 mol Zinkoxid reduziert wird, ent-steht 1 mol Zink; bei dieser Reduktion fällt Wasser als Rest an.

Die Gleichung 1 2 2 3 4 2x Zn O x H x Zn x H O+ → + hat also den Lösungsvektor

1

2

3

4

x 1x 1xx 1

1x

= =

1. Lösen Sie die Reaktionsgleichung

1 2 3 2 2 3 4 2x Fe O x H x Fe x H O+ → +

bei der Reduktion von Eisenoxid zu Eisen.

Anleitung: Beachten Sie, dass die Anzahlen der Fe − , H − und O – Atome vor und nach der Reduktion gleich sind.

a) Formulieren Sie also drei Gleichungen (für Fe, H und O) mit den vier Unbekannten 1 4x , ... , x .

b) Schreiben Sie das Gleichungssystem in der Form A x b⋅ = . c) Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus

und zeigen Sie, dass sich der Lösungsvektor x in der Form

13

x t23

=

; t ∈ ¥

schreiben lässt. d) Begründen Sie die Bedingung t ∈ ¥ . e) Geben Sie die Lösung der Reaktionsgleichung mit möglichst

kleinen natürlichen Zahlen an.

2. Lösen Sie die Reaktionsgleichung

1 2 2 3 4 2x Cu O x H x Cu x H O+ → +

bei der Reduktion von Kupferoxid zu Kupfer.

Der Ausgangsstoff zur technischen Gewinnung des für diese Reduktionen benö-tigten Wasserstoffs ist entweder Wasser oder Erdgas:

3. Wird Wasserdampf über glühende Kohle geleitet oder mit Erdgas (Methan) umgesetzt, dann wird Wasser zu Wasserstoff reduziert.

Lösen Sie die Reaktionsgleichungen

1 2 2 3 2 4

1 4 2 2 3 2 4

x C x H O x H x CO

x CH x H O x H x CO

+ → ++ → +

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5. Homogene lineare Gleichungssysteme Inzwischen wissen wir, dass sich lineare Gleichungssysteme entweder in der Form A x 0⋅ = oder in der Form A x b⋅ = mit b 0≠ schreiben lassen. In diesem Abschnitt wollen wir die linearen Gleichungssysteme vom Typ A x 0⋅ = theoretisch etwas näher betrachten.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem vom Typ A x 0⋅ = heißt homogenes lineares Gleichungssystem.

Die Struktur der Lösungsvektoren homogener Gleichungssysteme ergibt sich entscheidend aus den sog. Linearitätseigenschaften der Matrix – Vektor – Multiplikation:

Satz 1.3: Sei A eine (m; n) – Matrix. Seien nx, y ;∈ sei t .∈ Dann gilt:

(1) A (x y) A x A y⋅ + = ⋅ + ⋅

(2) A (tx) t (A x)⋅ = ⋅ ⋅

Beweis von (1): Sei also A eine (m; n) – Matrix, seien nx, y .∈ Dann gilt:

11 1n 1 1

m1 mn n n

11 1n 1 1

m1 mn n n

11 1 1 1n n n

m1 1 1 mn n n

11 1 1n n

a a x y

A (x y)

a a x y

a a x y

a a x y

a (x y ) a (x y )

a (x y ) a (x y )

(a x a x

⋅ + = ⋅ +

+

= ⋅ +

+ + + +

= + + + +

+ +

=

11 1 1n n

m1 1 mn n m1 1 mn n

11 1 1n n 11 1 1n n

m1 1 mn n m1 1 mn n

11 1n 1 11 1n

m1 mn n m1 mn

) (a y a y )

(a x a x ) (a y a y )

a x a x a y a y

a x a x a y a y

a a x a a

a a x a a

+ + + + + + + +

+ + + +

= + + + + +

= ⋅ +

1

n

y

y

A x A y

= ⋅ + ⋅

Beweis von (2): Übungsaufgabe.

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17

Aus diesen Linearitätseigenschaften ergibt sich unmittelbar der folgende Satz über die Lö-sungsvektoren homogener linearer Gleichungssysteme:

Satz 1.4: Sind u und v Lösungsvektoren des homogenen linearen Gleichungssystems A x 0,⋅ = dann sind auch

(1) u v+ (2) t u⋅ (t )∈

Lösungsvektoren.

Beweis von (1): Seien also u und v Lösungsvektoren des Gleichungssystems A x 0.⋅ = Das bedeutet, dass die Gleichungen A u 0 und A v 0⋅ = ⋅ = erfüllt sind. Satz 1.3 liefert dann

A (u v) A u A v 0 0 0⋅ + = ⋅ + ⋅ = + =

so dass auch u v+ ein Lösungsvektor des Gleichungssystems ist. Beweis von (2): Übungsaufgabe.

Wenn wir die beiden einzelnen Aussagen von Satz 1.4 zusammenfassen, erhalten wir den

Satz 1.5: Sind u und v Lösungsvektoren des homogenen linearen Gleichungssystems A x 0,⋅ = dann ist auch r u s v⋅ + ⋅ (r, s )∈ ein Lösungsvektor.

Sind also spezielle („partikuläre“) Lösungsvektoren eines homogenen linearen Gleichungs-systems bekannt, dann ergeben sich zahlreiche weitere Lösungsvektoren. Wir veranschauli-chen diese Situation in der folgenden

Aufgabe: Magische Quadrate

Sei

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

eine Matrix, deren Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalensummen den Wert 0 haben sollen.

1. Ermitteln Sie durch Probieren zwei Matrizen, die die geforderten Bedingungen erfüllen. Hinweis: Die gestellte Aufgabe lässt sich sehr leicht lösen, wenn man 22a 0= setzt.

2. Stellen Sie einen Zusammenhang mit Satz 1.5 her: a) Stellen Sie zur Berechnung der i ja ein (aus acht Gleichungen mit neun Un-

bekannten bestehendes) Gleichungssystem auf. b) Schreiben Sie dieses Gleichungssystem in der Form M x 0.⋅ = c) Geben Sie aufgrund der Kenntnisse aus (1) zwei Lösungsvektoren u und v

dieses homogenen linearen Gleichungssystems an. d) Geben Sie mithilfe von Satz 1.5 einen beliebigen Lösungsvektor des Glei-

chungssystems M x 0⋅ = an. 3. Geben Sie eine allgemeine Form einer (3; 3) – Matrix an, deren Zeilensummen,

Spaltensummen und Diagonalensummen den Wert 0 haben.

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6. Inhomogene lineare Gleichungssysteme Aufgabe 1: Eine Gärtnerei verkauft seit vielen Jahren Blumendünger, der in Kartons mit je-

weils 3 kg Inhalt verpackt wird. Der Blumendünger wird von der Gärtnerei aus drei bewährten Düngersorten mit hohen Kalium- und Stickstoffanteilen ge-mischt:

D1 D2 D3

Kalium Stickstoff

50% 40% 35% 20% 30% 35%

Und zwar werden 1650 g von D1 mit 1050 g von D2 und 300 g von D3 vermischt. Die Gärtnerei versichert, dass der Blumendünger bei diesem Mischungsverhält-nis 45% Kalium und 25% Stickstoff enthält.

Teil A

Überprüfen Sie die Angaben der Gärtnerei.

Teil B

Die Gärtnerei erfährt, dass der Preis für die Düngersorte D2 steigen wird. Des-halb überlegt sie, ob die prozentualen Vorgaben für Kalium und Stickstoff auch mit anderen Mischungsverhältnissen zu erzielen sind.

1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen 1 2 3x , x und x der einzelnen Düngersorten auf (in g) und schreiben Sie das Gleichungssys-tem in der Form A x b⋅ = .

2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und zeigen Sie, dass sich der Lösungsvektor x in der Form

1500 1

x 1500 t 30 2

= + −

schreiben lässt. 3. Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Vorausset-

zungen i0 x 3000≤ ≤ . 4. Vervollständigen Sie für den in (3.) berechneten Lösungsvektor x die folgen-

de Wertetabelle:

t 0 250 500

1500 1x 1500 t 3

0 2

= + −

5. Überprüfen Sie, ob sich mit einem anderen Mischungsverhältnis die prozen-

tualen Vorgaben für Kalium und Stickstoff erzielen lassen.

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Teil C

1. Zeigen Sie, dass sich der Lösungsvektor des homogenen Gleichungssystems A x 0⋅ = in der Form

1x t 3

2

= −

schreiben lässt. 2. Vervollständigen Sie für den Vektor

1650 1x 1050 t 3

300 2

= + −

(also für den Vektor, der sich aus dem allgemeinen Lösungsvektor des Glei-chungssystems A x 0⋅ = und dem aus Teil A bekannten speziellen Lösungs-vektor des Gleichungssystems A x b⋅ = zusammensetzt) die folgende Werte-tabelle:

t 150− 100 350

1650 1x 1050 t 3

300 2

= + −

Teil D

Zeigen Sie allgemein, dass die in (B4) und (C2) auftretenden Vektoren identisch sind. Anleitung: Wählen Sie s 150 t= + und zeigen Sie, dass

1500 1 1650 11500 s 3 1050 t 3

0 2 300 2

+ − = + −

Die Lösung unserer Gärtnerei – Aufgabe bestand also in der Berechnung eines Lösungsvek-tors eines linearen Gleichungssystems vom Typ A x b.⋅ =

Definition: Ein lineares Gleichungssystem vom Typ A x b, b 0,⋅ = ≠ heißt inhomogenes lineares Gleichungssystem.

In unserer Gärtnerei – Aufgabe war ein partikulärer Lösungsvektor px des inhomogenen Gleichungssystems A x b⋅ = von vornherein bekannt, nämlich der Vektor

p

1650x 1050

300

=

der für die Gärtnerei bisher die Grundlage für die Mischung der einzelnen Düngersorten war.

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Das in Teil D erzielte Ergebnis zeigt jetzt, dass sich mithilfe dieses Vektors px das Glei-chungssystem A x b⋅ = lösen lässt, indem man stattdessen „nur“ das homogene Gleichungs-system A x 0⋅ = löst. Diese Aussage formulieren wir in dem

Satz 1.6: Das inhomogene Gleichungssystem A x b⋅ = hat den allgemeinen Lö-

sungsvektor h px x x= +

Dabei ist xh der allgemeine Lösungsvektor des homogenen Gleichungs-systems, und xp ist ein partikulärer Lösungsvektor des inhomogenen Gleichungssystems.

Beweis: (1) Zunächst ist zu zeigen, dass h px x x= + ein Lösungsvektor des Gleichungssys-tems A x b⋅ = ist.

Anleitung: Wegen Satz 1.3 (Seite 16) ist

h p

h p

A x A (x x )

A x A x

⋅ = ⋅ +

= ⋅ + ⋅

Folgern Sie hieraus die Behauptung.

(2) Es ist ferner zu zeigen, dass es darüber hinaus keine weiteren Lösungsvektoren gibt.

Anleitung: Sei also

h px x x= +

ein Lösungsvektor von A x b⋅ = . Sei x* irgendein weiterer Lösungs-vektor von A x b⋅ = , also ein Vektor, für den A ⋅ x* b= ist. Sei

y = x* x−

a) Zeigen Sie, dass A y 0⋅ = .

b) Folgern Sie hieraus, dass es Lösungsvektoren hz und pz des ho-mogenen bzw. inhomogenen Gleichungssystems gibt, so dass

h px z z∗ = +

Ist also ein Gleichungssystem A x b⋅ = lösbar und ist nur ein einziger Lösungsvektor des Gleichungssystems A x b⋅ = bekannt, dann ergeben sich alle übrigen Lösungsvektoren mithil-fe der Lösungsvektoren von A x 0⋅ = .

Der Gauß – Algorithmus lässt sich bei der Lösung des Gleichungssystems A x 0⋅ = natürlich nicht vermeiden. So halten sich die Vorteile bei der Anwendung des Satzes in Grenzen.

Die Vorteile werden aber bei Matrizen deutlich, deren Elemente einfache Zahlen (also ganze Zahlen oder Dezimalzahlen mit vielleicht einer Stelle hinter dem Komma) sind. Unabhängig von Vektor b lässt sich das Gleichungssystem A x 0⋅ = nämlich sehr leicht lösen, weil auf-wändige numerische Rechnungen in der Regel vollständig entfallen.

Die beiden folgenden Aufgaben behandeln Beispiele für solche Gleichungssysteme, deren Koeffizientenmatrix A ausschließlich aus natürlichen Zahlen bzw. sehr einfachen Dezimal-zahlen besteht:

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21

Aufgabe 2: Das inhomogene Gleichungssystem

1 1 1 1 6,5892 1 1 2 7,007

x2 3 4 1 21,2213 1 2 2 9,297

⋅ =

hat den partikulären Lösungsvektor

p

0,1324,013

x2,1580,286

=

Berechnen Sie mithilfe von Satz 1.6 (Seite 20) den allgemeinen Lösungsvektor des inhomogenen Gleichungssystems.

Aufgabe 3: Im Fahrzeugbau werden in zunehmendem Maße möglichst leichte Werkstoffe verwendet, um das Fahrzeuggewicht und damit den Benzinverbrauch zu senken. Diese Werkstoffe sind vor allem Aluminiumlegierungen. Ein Automobilhersteller fertigt Karosserieteile aus einer Aluminiumlegierung, die 2,1% Magnesium und 2,1% Zink enthält. Und zwar erhält er diese Legierung durch Mischung der folgenden Legierungen:

1L 2L 3L 4L

Aluminium

Magnesium

Kupfer

Zink

92% 93% 94% 94%

2% 3% 2,5% 1%

6% 3% 1% 2%

1% 2,5% 3%

1. Der Automobilhersteller verwendet seit mehreren Jahren 100 kg von Legie-rung 1L , 200 kg von Legierung 2L , 400 kg von Legierung 3L und 300 kg von Legierung 4L , um 1000 kg der gewünschten Legierung herzustellen. Bestätigen Sie, dass dieses Mischungsverhältnis eine Legierung ergibt, die 2,1% Magnesium und 2,1% Zink enthält.

2. Der Hersteller der Legierung 3L kann die gewünschten Mengen nicht mehr produzieren. Deshalb soll der Anteil von 3L reduziert werden:

a) Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen der einzel-nen Legierungen auf (in kg) und schreiben Sie dieses Gleichungssystem in der Form A x b⋅ = .

b) Lösen Sie das homogene Gleichungssystem A x 0⋅ = mit Gauß – Algo-rithmus und geben Sie mithilfe von Satz 1.6 (Seite 20) den allgemeinen Lösungsvektor des inhomogenen Gleichungssystems A x b⋅ = an.

c) Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Voraus-setzungen i0 x 1000≤ ≤ .

d) Bestimmen Sie dasjenige Mischungsverhältnis, das mit einer möglichst geringen Menge der Legierung 3L auskommt.

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7. Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe von Computeralgebrasystemen Ist eine Gleichung vom Typ A x b⋅ = mit quadratischer Matrix A, also

11 1n 1 1

n1 nn n n

a a x b

a a x b

⋅ =

L

M M M M

L

zu lösen, dann besteht der erste Rechenschritt in der Umformung dieser Gleichung in eine Gleichung vom Typ

11 12 1n 1 1

22 2n 2 2

n2 nn n n

a a a x ba * a * x b *0

a * a * x b *0

⋅ =

LL

M M M M ML

Die Berechnung der zweiten Zeile dieser Gleichung erfordert die folgenden Rechenoperatio-nen:

a) Berechnung des Quozienten

21

11

aq

a=

b) Berechnung der Produkte

12 1n 1q a , ..., q a ; q b− ⋅ − ⋅ − ⋅

c) Berechnung der Summen

22 12 22

2n 1n 2n

2 1 2

a * q a a

a * q a a

b * q b b

= − ⋅ +

= − ⋅ += − ⋅ +

M

Dies sind insgesamt 1 n n 2n 1+ + = + Rechenoperationen. Da n 1− Zeilen berechnet werden müssen, sind beim ersten Rechenschritt insgesamt (2n 1)(n 1)+ − Rechenoperationen erforder-lich.

Der zweite Rechenschritt zur Berechnung der Gleichung

13 1 111 12 1n

23 2 222 2n

3 333 3n

n3 n nnn

a x ba a aa * x b *a * a *0

x b **a ** a **0 0

a ** x b **a **0 0

⋅ =

LLL

M MM M M ML

erfordert dann noch ( )( )2(n 1) 1 (n 1) 1− + − − Rechenoperationen, der dritte Rechenschritt er-fordert ( )( )2(n 2) 1 (n 2) 1− + − − Rechenoperationen usw.

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Wegen

( )( )( )( )

2

2

2

(2n 1)(n 1) 2n n 1

2(n 1) 1 (n 1) 1 2(n 1) (n 1) 1

2(n 2) 1 (n 2) 1 2(n 2) (n 2) 1

+ − = − −

− + − − = − − − −

− + − − = − − − −M

beträgt folglich die Anzahl S(n) der insgesamt erforderlichen Rechenoperationen

n n2

k 1 k 1 n mal

3 2 72 13 2 6

S(n) 2 k k (1 ... 1)

n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 n

6 2

n n n

= = −

= − − + +

+ + += ⋅ − −

= + −

14442 4443

Diese Anzahl S(n) der erforderlichen Rechenoperationen ist, wie man durch vollständige In-duktion überprüfen kann, (erwartungsgemäß) eine natürliche Zahl. Die Übersicht zeigt die mit

n 1 2 3 4 5 6 7 …

S(n) 0 5 19 46 90 155 245 …

der dritten Potenz von n stark anwachsenden Werte von S(n) für { }n 1; 2; ...; 7 .∈

Aufgabe 1: Bearbeiten Sie mithilfe der Gleichung

3 2 72 13 2 6S(n) n n n= + −

folgende Fragestellungen für einen Computer, der in einer Sekunde eine Million Rechenoperationen durchführen kann:

1. Berechnen Sie die Rechenzeit für ein Gleichungssystem mit 10.000 Glei-chungen und 10.000 Unbekannten.

2. Untersuchen Sie, wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte ein Glei-chungssystem höchstens haben darf, wenn höchstens 10 Stunden Rechenzeit zur Verfügung stehen.

Anleitung: Bestätigen Sie, dass die Gleichung

3 2 1072 13 2 6n n n 3,6 10+ − = ⋅

zu lösen ist. Das bedeutet, dass ein Näherungswert für die Null-stelle der Funktion

3 2 1072 13 2 6f (n) n n n 3,6 10= + − − ⋅

berechnet werden muss. Benutzen Sie dazu das Newton - Verfah-ren mit einem geeigneten Startwert.

Damit ist klar, dass Gleichungssysteme ab einer bestimmten Größe nur noch mithilfe von Computer – Algebra – Systemen (Derive, Maple oder MuPad) zu lösen sind.

Wir erklären das Arbeiten mit Derive 6 an einem übersichtlichen Beispiel eines Gleichungs-systems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:

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Arbeitsauftrag: Lösen Sie mit Derive 6 das Gleichungssystem A x b⋅ = mit

1 1 1

A 2 3 23 4 1

− =

, 1

b 23

=

Arbeitsanweisungen:

a) Wählen Sie das Matrix – Symbol. Geben Sie die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix A ein und bestätigen Sie mit OK. Geben Sie die Ele-mente der Matrix A ein. (Benutzen Sie die Tabulator – Taste, um in das nächste Matrix – Feld zu gelangen.) Bestätigen Sie mit OK.

b) Wählen Sie das Vektor – Symbol. Geben Sie die Anzahl der Elemente des Vektors x ein und bestätigen Sie mit OK. Geben Sie (mithilfe der Tabulator – Taste) die Elemente des Vektors x ein, also x1, x2 und x3, und bestätigen Sie mit OK.

Hinweis: In Derive dürfen die Variablen in der Regel nur ein Zeichen lang sein. Dementsprechend versteht Derive eine Eingabe wie x1 als Produkt x 1⋅ .

Zur Eingabe von Variablen wie x1 müssen Sie deshalb unter „Extras“ den Befehl „Einstellungen“ wählen und die Vorein-stellung „Ausgabe“ durch „Eingabe“ ersetzen. Wählen Sie im Eingabe – Modus „Wort“ und bestätigen Sie mit OK.

c) Wählen Sie das Vektor – Symbol. Geben Sie die Anzahl der Elemente des Vektors b ein und bestätigen Sie mit OK. Geben Sie (wieder mithilfe der Tabulator – Taste) die Elemente des Vektors b ein und bestätigen Sie mit OK.

Der Bildschirm zeigt jetzt

#1: 1 1 12 3 23 4 1

#2: Input Mode := Word

#3: [ ]x1, x2, x3

#4: [ ]1, 2, 3

Die Matrix und die beiden Vektoren können jetzt miteinander verknüpft wer-den:

d) Dazu müssen Sie in der Eingabe – Zeile unterhalb des Bildschirms die Gleichung #1.#3 = #4 schreiben. Wenn Sie jetzt den grünen Bestäti-gungshaken links neben der Eingabe − Zeile anklicken, erscheint die Gleichung unter #5 auf dem Bildschirm.

e) Wählen Sie unter „Lösen“ den Befehl „Ausdruck“. Markieren Sie die Lösungsvariablen und klicken Sie auf „Lösen“.

Unter #6 und #7 zeigt der Bildschirm jetzt die zu lösende Aufgabe und das Endergebnis.

f) Schreiben Sie das angezeigte Endergebnis als Spaltenvektor.

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Aufgabe 2: (CAS) Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:

2, 4 3,1 0,5 4,761,2 0,4 2,6 x 7,40,8 2,8 1,4 2,6

− − − ⋅ = − −

2,65 1,45 1,3 2,25 1,5252,75 2,55 2,35 1 3,31x4,5 1,05 2,05 3,35 4,035

1,05 2,1 2,15 2,1 1,59

− − ⋅ = − −

Aufgabe 3: (CAS) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem und geben Sie den Lösungs-

vektor x an:

2, 2 2,5 1,2 0,53,4 0,4 1,2 1,8 x 0

1,6 4,2 2,8 0,62,6 1,2 0,8 1,4

− − ⋅ = − −

In Abschnitt 5 haben wir bereits magische Quadrate kennengelernt. In der folgenden Aufgabe können wir die Erkenntnisse aus Abschnitt 5 theoretisch etwas vertiefen:

Aufgabe 4: (CAS) Magische Quadrate

Sei

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

eine Matrix, deren Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalensummen den Wert 0 haben sollen.

1. Stellen Sie ein (aus acht Gleichungen mit neun Unbekannten bestehendes) Gleichungssystem auf.

2. Schreiben Sie dieses Gleichungssystem in der Form

M x 0⋅ =

3. Ermitteln Sie den allgemeinen Lösungsvektor x dieses Gleichungssystems und zeigen Sie, dass sich x in der Form

0 11 0

1 11 2

x r s0 01 21 1

1 00 1

− − = +

− − − −

; r, s∈ ¡

schreiben lässt. 4. Ermitteln Sie hieraus die allgemeine Form der Matrix A. 5. Geben Sie mithilfe von Satz 1.6 (Seite 20) die allgemeine Form derjenigen

Matrix A an, deren Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalensummen den Wert 15 haben sollen.

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8. Rundungsfehler Der Einsatz von Computeralgebrasystemen zur Lösung linearer Gleichungssysteme erfordert bei praktischen Anwendungen einen feinfühligen Umgang mit den auftretenden Dezimalzah-len. Diese Dezimalzahlen müssen nämlich in der Regel bereits bei der Dateneingabe auf eine bestimmte, von der geforderten Genauigkeit der Ergebnisse abhängige Anzahl von Dezimal-stellen gerundet werden; und diese gerundeten, also „falschen“ Werte sind die Grundlage für alle weiteren Berechnungen.

Es treten also zwei numerische Fehlerquellen auf:

− die Fehler bei der Dateneingabe − die Fehlerfortpflanzung

Die folgende Aufgabe zeigt zunächst, wie sich Rundungsfehler bei der Dateneingabe auf die Ergebnisse auswirken können: Aufgabe 1: Gegeben ist das Gleichungssystem

1 1 200x1 1,015 201 ⋅ =

1. Berechnen Sie mit Gauß – Algorithmus den Lösungsvektor des Gleichungs-systems in der vorliegenden Form mit drei Stellen hinter dem Komma.

2. Berechnen Sie mit Gauß – Algorithmus den Lösungsvektor des Gleichungs-systems, indem Sie mit lediglich zwei Stellen hinter dem Komma rechnen:

a) Runden Sie 1,015 ab. b) Runden Sie 1,015 auf.

Sie sehen, dass sich die Ergebnisse in Aufgabe 1 wirklich extrem unterscheiden. Eine einfa-che Erklärung ergibt sich geometrisch, wenn die einzelnen Gleichungen der Gleichungssys-teme als Geraden in der Ebene dargestellt werden: Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert den Lösungsvektor des zugehörigen Gleichungs-systems. Diese Überlegung führt zu der

1x

2x

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Aufgabe 2: Gegeben ist wieder das Gleichungssystem

1 1 200x1 1,015 201 ⋅ =

1. Zeichnen Sie in einem gemeinsamen Koordinatensystem die Geraden, die zu den folgenden Gleichungen gehören:

1 2

1 2

x x 200

x 1,015x 201

+ =+ =

2. Untersuchen Sie, wie sich der Verlauf der zweiten Geraden ändert, wenn der Koeffizient 1,015 auf zwei Stellen hinter dem Komma abgerundet bzw. auf-gerundet wird.

3. Erklären Sie die extremen Unterschiede der Lösungen in Aufgabe 1.

Die folgende Aufgaben zeigen, welche Auswirkungen die Fehlerfortpflanzung haben kann:

Aufgabe 3: Gegeben ist das Gleichungssystem

0,0001 1 1x0,0001 0,0001 0,0002 ⋅ =

1. Führen Sie den Gauß – Algorithmus durch.

Hinweis: Wenn Sie die Gleichungen zunächst mit 10 000 multiplizieren, er-halten Sie das Gleichungssystem

(1) 1 2x 10000 x 10000+ =

(2) 29999 x = 9998

2. Berechnen Sie 2x aus Gleichung (2), indem Sie mit vier Dezimalstellen ar-beiten (also das Ergebnis für 2x auf vier Stellen hinter dem Komma aufrun-den), und berechnen Sie anschließend 1x aus Gleichung (1).

3. Berechnen Sie 2x aus Gleichung (2), indem Sie mit drei Dezimalstellen ar-beiten (also das Ergebnis für 2x auf drei Stellen hinter dem Komma aufrun-den), und berechnen Sie anschließend 1x aus Gleichung (1).

4. Erklären Sie die unterschiedlichen Ergebnisse der Aufgabenteile 2.) und 3.)

Aufgabe 4: Berechnen Sie den Lösungsvektor des Gleichungssystem

1,2 2,045 1527x

1,8 3,075 2295 ⋅ =

indem Sie

a) mit den exakten Werten rechnen b) die Eingabe – Daten auf zwei Stellen hinter dem Komma runden und den

Gauß – Algorithmus konsequent mit zwei Stellen hinter dem Komma durch-führen.

Die in diesem Abschnitt angesprochenen Rundungsfehler veranlassen uns, alle Aufgaben in diesem Arbeitsbuch so zu konstruieren, dass die Ergebnisse (auch die Zwischenergebnisse) endliche Dezimalzahlen mit nur wenigen Stellen hinter dem Komma oder übersichtliche Bruchzahlen, oft sogar ganze Zahlen sind, so dass Rundungen nicht erforderlich werden.