Kapitel 11 Berechnung nach Theorie 2. Ordnung · Kapitel 11. Berechnung nach Theorie 2. Ordnung....

Institute of Structural Engineering 12:52

Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi

Kapitel 11Berechnung nach Theorie

2. Ordnung



Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits geometrische Imperfektionen auf.

Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung

Berechnung nach Theorie 2. Ordnung

A

B

EIS

FStab mit Lastexzentrizität

Geometrische Imperfektionen stellenAbweichungen von der Sollgeometrie desTragwerks dar.

Beispiele dazu sind:

• Ungewollte Schiefstellungen.

• Lotabweichungen bei Stützen.

• Lastausmittigkeit

• Vorverkrümmungen und Vorverdrehungen



Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits geometrische Imperfektionen auf.


A

B

EIS

PStab mit LastexzentrizitätTheorie 1. Ordnung

Biegemoment : Kragstütze mit konzertiertem Moment am Ende B.

Hier wird das Gleichgewicht in der unverformten Konfiguration formuliert.

*Gemäß der Theorien höheren Ordnungen, spielt de Verformung eine Rolle bei der resultierenden Gleichungen. Das Gleichgewicht sollte in der verformten Konfiguration erstellt werden.

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑃𝑃

Welche sind die Momentkomponenten wegen P gemäss der Theorien verschiedener Ordnungen?

H



Theorie 1. Ordnung

Formulierung des Gelichgewichts am: unverformten System

Verformung im Verhältnis zu den Systemabmessungen

vernachlässigbar (<<1)

Vernachlässigung von Δl infolge Stabverkrümmung

ja

Stabverkrümmung

Gegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen

Source: Prof. Ch. Zhang / Elias Perras, Uni. Siegen

starr𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � Η

bieg

ewei

ch

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼

Η

𝜅𝜅𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑃𝑃

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑃𝑃

https://www.bau.uni-siegen.de/subdomains/baustatik/lehre/master/bstm/arbeitsblaetter/bsm_stabilitaet-einfuehrung-ws1011.pdf



Theorie 1. Ordnung 2. Ordnung

Formulierung des Gelichgewichts am: unverformten System verformten System


vernachlässigbar (<<1) endlich, aber klein (<<1)


ja ja

Stabverkrümmung




bieg

ewei

ch


Η

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � (∆ + 𝑃𝑃)

bieg

ewei

ch

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼

Η

𝑤𝑤

∆

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 ≈ 1

𝜅𝜅𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜅𝜅𝐼𝐼𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑃𝑃𝑃𝑃

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑀𝑀𝐴𝐴

𝐼𝐼 + 𝑃𝑃 � ∆




Theorie 1. Ordnung 2. Ordnung 3. Ordnung

Formulierung des Gelichgewichts am: unverformten System verformten System verformten System


vernachlässigbar (<<1) endlich, aber klein (<<1) unbeschränkt


ja ja nein

Stabverkrümmung




bieg

ewei

ch


Η

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � (∆ + 𝑃𝑃)

bieg

ewei

ch

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼

Η

𝑤𝑤

∆

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 ≈ 1𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 �

(∆ + 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑)

bieg

ewei

ch

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

Hcosφ

𝑤𝑤

∆

𝜑𝜑

𝜅𝜅𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜅𝜅𝐼𝐼𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜅𝜅𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′′

1 + 𝑤𝑤′232

=𝑀𝑀′′′

𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃




Bemerkungen

• Die Theorie 2. Ordnung ist nur eine Annäherungstheorie der Theorie von großen Verformungen.

• Die Theorie von großen Verformungen wird manchmal auch als Theorie 3. Ordnung bezeichnet.

• Unter Druckkraft führt die Theorie 2. Ordnung zu einer Vergrößerung des Biegemomentes, d.h., MI< MII.

• Unter Zugkraft wird das Biegemoment nach Theorie 2. Ordnung reduziert, d.h., MII< MI.



Die häufigste Annahme ist der Fall, in dem der Balken im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 aufweist.



A

B

EIS

F

w0,max

wtot,max

wmax

Stab mit Vorkrümmung w0

Geometrische Imperfektionen stellenAbweichungen von der Sollgeometrie desTragwerks dar.

Beispiele dazu sind:

• Ungewollte Schiefstellungen.

• Lotabweichungen bei Stützen.

• Lastausmittigkeit

• Vorverkrümmungen und Vorverdrehungen




Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 auf.

( )0'''' 0 yEI w N w w ′′+ + =

Source: Baustatik II , Simon Zweidler

w0: unbelasteter Zustand (kein Biegemoment wegen w0)



Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. OrdnungBerechnung nach Theorie 2. Ordnung

Was der Hauptunterschied zum idealisierten Knickproblem? Wie wirkt sich der Einfluss derVorverformung auf die Analyse aus?

Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Last Fjetzt auch in der unverformten Konfiguration einMoment Nw0 erzeugt.

Unter Berücksichtigung der Theorie 2. Ordnung, undder entsprechenden Differentialgleichung, ändert sichdie Analyse grundlegend, da das Problem nun einepartikuläre Lösung aufweist:

( )0 0'''' 0 ''''y yEI w N w w EI w Nw Nw′′ ′′′′+ + = ⇒ + = −

Rechte Seite ≠ 0 ⇒ partikuläre Lösung





0''''yEI w Nw Nw′′ ′′+ = −


w0: unbelasteter Zustand (kein Biegemoment wegen w0)

Welche ist der analytische Ausdruck dieser Vorverformung?

Die effektiv vorhandene Vorverformungsfigur ist zum Zeitpunkt der Bemessung gar nicht bestimmbar.

Es ist deshalb von einer zur Knickfigur affinen Vorverformung auszugehen (ungünstige Annahme)





0'''' ( )yEI w Nw Nw I′′ ′′+ = −

Die Verformung wird als affin zur Knickfigur angenommen:


( ) max sink k xw x wlπ =

2

2 2cr crl

y yN l N

EI EIπλ

λ π=

= → =

Die Biegesteifigkeit ist mit der Euler’schen Knicklast Ncr verbunden

Pendelstab Knickfigur →

( )0 0,max sin xw x wlπ =





( )0'''' 0 ( )yEI w N w w I′′+ + =

wobei


( )2

0 0,max 2sin , cry

l Nxw x w EIlπ

π = =

Die partikuläre Lösung nimmt die gleiche Form wie die rechte Seite der Differentialgleichung an:

( ) max sin xw x wlπ =

gleich zur Knickfigur



2

2lπ 2

2crN Nlπ

−2

max 2w Nlπ

=

0,max0,max max max 0,max

1cr

Na N

cr

Nw aw w w wN N a

=⇒ = → =

− −



( )0'''' 0 ( )yEI w N w w I′′+ + =wobei


( ) ( )2

0 0,max max 2sin , sin , cry

l Nx xw x w w x w EIl lπ π

π = = =

24

max4 2( ) sincrl N xI wll

π ππ

⇒

( )2

max 0,max2 sin xN w wll

π π − +

0= ⇒

durch Substitution in der Gl. (I):





,max 0,max 0,max1

1totw w wa

µ= = ⋅−

Vergrösserungsfak1

tor: 1

cr

NN

µ =−

Vergrösserungsfaktor

,max 0,max max 0,max1 , wobei

1totcr

Nw w w w a Na= + = =

−




Welche ist daher die Beziehung zwischen Last und Verformung?


,max 0,max1 , wobei

1totcr

Nw w a Na= =

−

( ),max 0,max ,max 0,max1

1tot cr tot cr

cr

w w N N w N wN

N= ⇒ − =

−

,max ,max 0,maxtot cr tot crNw N w N w⇒ = − ⇒

( ),max 0,max,max 0

,max

, mit cr tottot

tot

N w wN w w

w−

= ≥



Lastverformungsdiagramm für den Fall einer bereits vorhandenen Verformung, gemäß der Theorien 1. & 2. Ordnung



crN

N

totw0w totw

crF N<

A

B

EIS

F

w0,max

wtot,max

wmax

Stabilitätsproblem

Theorie 2. Ordnung

1. Ordnung

( ),max 0,max

,max

cr tot

tot

N w wN

w−

=

Euler



Tragverhalten beim Knicken


Für ideal plastisches Werkstoffveralten lässt sich die Traglast gemäß der Plastizitätstheorie, aber für eine nach Theorie 2. Ordnung berechnete Auslenkung w, angeben.

Der entwickelte Mechanismus ist mit dem statisch zulässigen Spannungszustand (c) verträglich, womit:

( ),

,max ,max

pl N plu

tot tot

M N MF

w w= ≈

Traglastproblem: (a) Mechanismus; (b) SKD im ausgelenkten Zustand; (c) statisch zulässiger Spannungszustand.



Tragverhalten beim Knicken


(c) Mechanismus für die Traglast Berechnung nach Theorie 2. Ordnung; (d) N-w Diagramm

,max

plu

tot

MF

w≈



Näherungsverfahren

Jenseits des einfachen Beispiels des Pendelstabes ist es nicht immer möglich einerseits die Eulerknickkraft Ncr und anderseits die maximale Auslenkung nach Theorie 2. Ordnung exakt zu bestimmen.

Näherungsverfahren

1. Energiemethode – Rayleigh QuotientErlaubt die Ermittlung der Euler‘schen Knicklast unter Annahme eines Verformungszustands w

2. Methode nach VianelloErlaubt die Berechnung sowohl der Euler‘schen Knicklast als auch der Durchbiegung w nach Theorie 2. Ordnung



𝑁𝑁

𝑙𝑙𝑘𝑘

Näherungsverfahren

𝑢𝑢min

wobei:potentielle Energieelastisches Potential(Formänderungsarbeit/Verzerrungsenergie)Potential der äusseren Kräfte

U V

U

V W

Φ = + →

Φ ==

= = −

( )2

2

0 0

1 12 2

l lM EIwMU dx U EI w dx

EI′′=− ′′= → =∫ ∫

U ist positiv, weil das Arbeitsvermögen der zugeordneten inneren Schnittgrössen in Form von gespeicherter Formänderungsenergie zunimmt (mit zunehmender Belastung).

( )V Fu w= − V ist negativ, weil die äussere Kraft F auf ihrem Verschiebungsweg potentielle Energie verliert.

Source: BSI §6.3.2, B. Sudret/B II , Simon Zweidler

1. Energiemethode – Rayleigh Quotient



Näherungsverfahren

𝑁𝑁

𝑙𝑙𝑘𝑘

𝛥𝛥𝑙𝑙

( )V Fu w= −

( )

( )( )

22 2

2

0 0 0

1 '

1 1 ' 1l l l

ds dx dw dx w

dl ds dx

dsl dl dx w dxdx

= + = ⋅ +

= −

∆ = = − ⋅ = + − ⋅ ∫ ∫ ∫

u(w): Verkürzung der Stabachse:Sollte gemäss Theorie 2. Ordnung in der verformten Konfiguration berechnet werden.

( ) ( )

( )

( )

22

2

0

2

0

'Taylorentwicklung: 1 ' 1

2'

2

'2

l

l

ww

wl dx

FV F l w dx

+ ≈ +

→ ∆ = ⋅

→ = − ⋅∆ = − ⋅ ⋅

∫

∫




Näherungsverfahren

Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)

Energiemethode – Rayleigh Quotient



Näherungsverfahren

1. Energiemethode – Rayleigh Quotient𝑁𝑁

𝑙𝑙𝑘𝑘

𝑢𝑢

Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)

( ) ( )2 2

0 0

1 '' ' min2 2

l lFU V EI w dx w dxΦ = + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ →∫ ∫

( ) ( )( )

( )

2

0

2

0

''min

'

l

l

EI w dxR w F w

w dx

⋅ ⋅= = →

⋅

∫

∫Rayleigh-Quotient:


Für ein kinematisch zulässigen Verformungszustand wmuss wie das Gesamtpotenzial Φ auch der sich darausergebende Rayleigh-Quotient R(w) minimal ausfallen:



𝑁𝑁

𝑙𝑙𝑘𝑘

Näherungsverfahren

𝑢𝑢Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)

( ) ( )2 2

0 0

1 '' ' min2 2

l lFU V EI w dx w dxΦ = + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ →∫ ∫

( )( )

( )

2

0

2

0

''min

'

l

l

EI w dxR w

w dx

⋅ ⋅= →

⋅

∫

∫bzw. Rayleigh-Quotient:

Der Rayleigh-Quotient liefert im Allgemeinen einen oberen Grenzwert für die Traglast.Der minimale Wert von R entspricht der Knicklast.

min crR N→ =





Näherungsverfahren

Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr

Nehmen wir ein beliebig wählbare kinematisch zulässige Verformung w an:

𝐹𝐹

𝑙𝑙

wmax

( )2

maxxw x wl

=

z.B. Parabelform



Warum ist dieses Kandidate-Verformungsfeld kinematisch zulässig?

Die kinematischen RB sind:

( )

( )

2

max

0

max2

0

0 0 : 0

20 0 : 0

x

x

xw Check wl

ww Check x

l

=

=

√

√

= → =

′ = → =

• Die RB die mit Momenten (w’’) und Querkräften (w’’’) zu tun haben werden als natürlichen RB bezeichnet.

• Ein kinematisch zulässiges Verformungsfeld sollte nur die kinematisch RB erfüllen.

• Die vollständige Lösung sollte alle RB (kinematische & natürliche) erfüllen.



( ) ( ) ( )

22

max max2 3

02 2 23

maxmax42

0

2 43

423

l

l

w wEI dx EIl EIlR w R w R ww llw x dx ll

⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

∫

∫

Näherungsverfahren

Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr

Nehmen wir ein beliebig wählbare kinematisch zulässige Verformung w an:

𝐹𝐹

𝑙𝑙

wmax

( )2

maxxw x wl

=

z.B. Parabelform

mit dem entsprechenden Rayleigh-Quotient:

( )( )

( )

( ) ( )

2

0

2

0

max max2 2

''

'

2 2,

l

l

EI w dxR w

w dx

w ww x w x x

l l

⋅

= ′′ ′= =

∫

∫

( )

2

2 22.4672

ycr y

EIN EI

llπ

= =

genauer Wert

Annährung





Näherungsverfahren

Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr für verschiedene (beliebig wahlbare) kinematisch zulässige Ansätze:

mit dem dritten Ansatz:

𝐹𝐹

𝑙𝑙

wmax

( ) max 1 cos2

xw x wl

π = −

ergibt sich die bereits hergeleitete exakte Eulerknicklast( )

2

2 22.4672

ycr y

EIN EI

llπ

= =

Ansatzfunktion Rayleigh-Quotient

( ) 2 3 46 4 , xwl

ξ ξ ξ ξ ξ= − + = 22.8 EIRl

=

( ) 2 3 520 10 , xwl

ξ ξ ξ ξ ξ= − + = 22.69 EIRl

=

( ) 1 cos , 2

xwl

πξ ξ ξ = − = 22.46 EIR

l=




2. Methode nach Vianello

Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze

𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝑃𝑃 = 120kN

Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Biegelasten

0,max0

1Arbeitsgleichung: 42.673

l M Hlw M dx l l mmEI EI

= = =∫

Mit der Arbeitsgleichung ergibt sich nach Theorie 1. Ordnung die in Bild dargestellte maximale Verformung:


0,maxw

260yEI

MNm

=

1kN

−

Hl−

[ ]M

l−

M




𝐹𝐹 = 700kN

260yEI

MNm

=

𝑃𝑃 = 120kN

Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Axialbelastung nach Theorie 2. Ordnung

Unter der Annahme einer parabolischen Biegelinie ( )2

0 0,maxxw x wl

=

entsteht infolge der konservativen

*Vorzeichen gemäß der klassischen Vorzeichenkonvention

Kraft F=700kN eine nach Theorie 2. Ordnung neue Momentenverteilung [M].


( )2

0 0,maxxw x wl

=

𝐹𝐹

( ) ( )2

0,max 0,max 0,max( ) xM x F w w x F w wl

= − − = − −

−

0,maxFw−

[ ]M

𝐹𝐹

𝑀𝑀(𝑥𝑥)

0,max ( )w w x−




𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝑃𝑃 = 120kN


Unter der Annahme einer parabolischen Biegelinie

−

0,maxFw−

2

1,max 0,max0

5 3.3212

l M lw M dx Fw mmEI EI

= = =∫

( )2

0 0,maxxw x wl

=

entsteht infolge der konservativen


Kraft F=700kN eine nach Theorie 2. Ordnung neue Momentenverteilung [M].

w1 = Verformung infolge (F,w0)

und die daraus resultierende w2 = Verformung infolge (F,w1)

2

2,max 1,max0

5 0.2612

l M lw M dx Fw mmEI EI

= = =∫

1,max 2,max0 1 2

0,max 1,max

3.32 0.26, , , affin 0.07842.67 3.32

w ww w w a

w w⇒ = = = = =




01 für 1

1totw w a= ⋅ <− α


( )

0 1 2 32 3

0 0 0 0 0

2 30

.......... ..........

.......... ..........

1 .......... ..........

tot nn

n

w w w w w w

w w w w w

w

= + + + + + +

= + α ⋅ + α ⋅ + α ⋅ + + α ⋅ +

= ⋅ + α + α + α + + α +

Totale Auslenkung:

geometrische Reihe




𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝑃𝑃 = 120kN

1 0 21 0 2 1 2 0 0, w w n

nw w w w w w w w=α= α = α → =α ⇒ = α



0 01

1totw w w= = µ ⋅− α


𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝑃𝑃 = 120kN

Totale Auslenkung:





Die Beziehung ist exakt falls die Vorverformungs- und die Verformungsfigur nach Theorie 1. Ordnung affin zur Knickfigur sind.

Vergrösserungsfaktor

Erinnerung aus Folie 15:

,max 0,max1 , wobei

1totcr

Nw w a Na= =

−

1

0 1

n

cr n

wwFF w w −

⇒ = α = = =



𝐹𝐹 = 700kN

𝑙𝑙=4𝑚𝑚

260yEI

MNm

=

𝑃𝑃 = 120kN

260yEI

MNm

=

0,maxFw−


0,max1 1 42.67 46.27

1 1 0.078totw w mm mm= ⋅ = =− α −

Totale Auslenkung für die gegebene F:

Einspannmoment:

( )max 120* 4 700*0.04627 512.4totI IIM M

M Hl Fw kNm kNm= + = + =




1 1 1.085 : Vergrösserungsfaktor1 1 0.078

µ = = =−α −

Hier α≈0.078




Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs.


crN

N

totw0w 02w

F

1. Ordnung

Stabilität

0w 1w

2w2. Ordnung2. Ordnung


0 01 1

1 1tot

cr

w w wNN

= =−α −

,max 0,max1

1totw wa

=−



Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete KragstützeMit der Methode nach Vianello lässt sich ebenfalls eine Approximation für die Eulerknicklast Ncr angeben.


Im Fall von N = Ncr α = 1 sind alle Zusatzverformungen identisch

1

0 1

n

cr n

wwFF w w −

= α = = =

crN

N

totw0w 02w

F

1. Ordnung

Stabilität

2. Ordnung


0 1

1 lim1tot tota

w w w→

= ⇒ →∞−α



Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete KragstützeMit der Methode nach Vianello lässt sich ebenfalls eine Approximation für die Eulerknicklast Ncr angeben.


Im Fall von N = Ncr α = 1 sind alle Zusatzverformungen identisch

Gemäss Folie 312

1,max

0,max 0,max 0

12 2

1 51 112

12 2.45cr

l

acrF N

w M lM dx Fw w EI EI

EI EINl l

==

α = ⇒ = = =

→ = =

∫

( )

2

2 22.4672

ycr y

EIN EI

llπ

= =

genauer Wert der Euler’schen Knicklast

Annährung gemäss Vianello

crN

N

totw0w 02w

F

1. Ordnung

Stabilität

2. Ordnung




Bemerkungen

• (elastische) Theorie 2. Ordnung: Betrachtung des Gleichgewichts am endlich ausgelenkten Stab. Bei der klassischen Th. 2. Ordnung wird ebenfalls keine Plastizität berücksichtigt.

• Die realen Traglasten von Stäben erfordern die Berücksichtigung weiterer Effekte wie Steifigkeitsverlust durch Plastizität, Eigenspannungen→ „Traglasttheorie“.

• Mit der Methode von Vianello wird die exakte Knickkraft Ncrentweder über- oder unterschätzt.

• Ncr wird mit der Energiemethode überschätzt.

• Bei nicht genau affiner Anfangsverformung kann die Knickkraft approximativ bestimmt werden wie weiter verdeutlicht in MB-11

https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/baug/ibk/structural-mechanics-dam/education/Baustatik%20II/Kolloquium/BSII_MB_11.pdf

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