Kapitel 4 Folgen und Reihen. Kapitel 3: Folgen und Reihen © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt...

Kapitel 4

Folgen und Reihen

Kapitel 4

Folgen und Reihen

Kapitel 3: Folgen und Reihen

© BeutelspacherJuni 2005

Seite 2

InhaltInhalt

4.1 Konvergenzkriterien für Folgen

4.2 Reihen

4.3 Achilles und die Schildkröte

4.1 Konvergenzkriterien für Folgen

4.2 Reihen

4.3 Achilles und die Schildkröte



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4.1 Konvergenzkriterien für Folgen4.1 Konvergenzkriterien für Folgen

Wiederholung (vgl. Abschnitt 3.3):

Die Folge (an) konvergiert gegen eine reelle Zahl a (ihren

Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung

an–a < gilt.

Wir schreiben lim (an) = a. („Limes“).

Anders gesagt: Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a,

wenn für jedes (noch so kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N

alle Folgenglieder höchsten den Abstand von a haben.

Beispiele: (1/n)nN, (n/(n+1)nN, (1/2n)nN, (50.000 /n)nN, (23)nN, ...

Wiederholung (vgl. Abschnitt 3.3):

Die Folge (an) konvergiert gegen eine reelle Zahl a (ihren

Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung

an–a < gilt.

Wir schreiben lim (an) = a. („Limes“).

Anders gesagt: Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a,

wenn für jedes (noch so kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N

alle Folgenglieder höchsten den Abstand von a haben.

Beispiele: (1/n)nN, (n/(n+1)nN, (1/2n)nN, (50.000 /n)nN, (23)nN, ...



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Ziele und BeobachtungenZiele und Beobachtungen

Ziele: 1. Erkennen, ob eine Folge konvergent ist.

2. Insbesondere: Wie kann man aus einer oder zwei konvergenten

Folgen weitere konvergente Folgen machen?

Wir beginnen mit zwei einfachen Beobachtungen:

1. Sei (an) eine Folge. Dann gilt:

(an) konvergiert gegen a (an – a) konvergiert gegen 0.

(Man nennt eine Folge, die gegen 0 konvergiert eine Nullfolge.)

2. Jede konvergente Folge ist beschränkt.

(Sei = 1. Dann sind ab einem N alle Folgenglieder durch a1

beschränkt. Aber auch die endlich vielen vorigen Folgenglieder sind

beschränkt.)

Ziele: 1. Erkennen, ob eine Folge konvergent ist.

2. Insbesondere: Wie kann man aus einer oder zwei konvergenten

Folgen weitere konvergente Folgen machen?

Wir beginnen mit zwei einfachen Beobachtungen:

1. Sei (an) eine Folge. Dann gilt:

(an) konvergiert gegen a (an – a) konvergiert gegen 0.

(Man nennt eine Folge, die gegen 0 konvergiert eine Nullfolge.)

2. Jede konvergente Folge ist beschränkt.

(Sei = 1. Dann sind ab einem N alle Folgenglieder durch a1

beschränkt. Aber auch die endlich vielen vorigen Folgenglieder sind

beschränkt.)



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Multiplikation einer Folge mit einer reellen ZahlMultiplikation einer Folge mit einer reellen Zahl

4.1.1 Satz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a

konvergiert. Dann ist für jede reelle Zahl k die Folge (kan) eine

Folge, die gegen ka konvergiert.

Beispiele. (a) Die Folge (5/n)nN (= (5 1/n)nN) konvergiert gegen

50 = 0. (b) Die Folge (21n/(n+1))nN konvergiert gegen 211 = 21.

(c) Insbesondere gilt: Wenn (an) eine Nullfolge ist, dann ist für jede

reelle Zahl k auch (kan) eine Nullfolge.


konvergiert. Dann ist für jede reelle Zahl k die Folge (kan) eine

Folge, die gegen ka konvergiert.

Beispiele. (a) Die Folge (5/n)nN (= (5 1/n)nN) konvergiert gegen

50 = 0. (b) Die Folge (21n/(n+1))nN konvergiert gegen 211 = 21.

(c) Insbesondere gilt: Wenn (an) eine Nullfolge ist, dann ist für jede

reelle Zahl k auch (kan) eine Nullfolge.



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BeweistrickBeweistrick

Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Folge (kan) gegen den

Grenzwert ka konvergiert. Nach Definition müssen wir also zeigen:

Für alle > 0 gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung kan–ka < gilt.

Sei also > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz der Folge (kan)

auf die Konvergenz der Folge (an) zurück.

Wir nehmen an, dass k positiv ist. (k negativ: ÜA.)

Kleiner Trick: Wir verwenden die Definition der Konvergenz von (an) nicht mit , sondern mit der Zahl * = /k. (Es wird sich gleich

zeigen dass dies ein guter Trick ist!)

Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Folge (kan) gegen den

Grenzwert ka konvergiert. Nach Definition müssen wir also zeigen:

Für alle > 0 gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung kan–ka < gilt.

Sei also > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz der Folge (kan)

auf die Konvergenz der Folge (an) zurück.

Wir nehmen an, dass k positiv ist. (k negativ: ÜA.)

Kleiner Trick: Wir verwenden die Definition der Konvergenz von (an) nicht mit , sondern mit der Zahl * = /k. (Es wird sich gleich

zeigen dass dies ein guter Trick ist!)



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BeweisdurchführungBeweisdurchführung

Da (an) konvergiert, gibt es eine Nummer N, so dass für alle

Folgenglieder an mit n N die Ungleichung an–a < * = /k gilt.

Nun schalten wir auf die Folge (kan) um. Von dieser wollen wir

zeigen, dass sie gegen die Zahl ka konvergiert. Dazu müssen wir

zeigen, dass die Folgenglieder ab einer gewissen Nummer näher als

an ka liegen. Als diese Nummer können wir das gerade

gefundene N wählen! Denn für alle Folgenglieder kan mit n N gilt

kan–ka = kan–a < k* = k/k = .

Das bedeutet, dass die Folge (kan) gegen ka konvergiert.

Da (an) konvergiert, gibt es eine Nummer N, so dass für alle

Folgenglieder an mit n N die Ungleichung an–a < * = /k gilt.

Nun schalten wir auf die Folge (kan) um. Von dieser wollen wir

zeigen, dass sie gegen die Zahl ka konvergiert. Dazu müssen wir

zeigen, dass die Folgenglieder ab einer gewissen Nummer näher als

an ka liegen. Als diese Nummer können wir das gerade

gefundene N wählen! Denn für alle Folgenglieder kan mit n N gilt

kan–ka = kan–a < k* = k/k = .

Das bedeutet, dass die Folge (kan) gegen ka konvergiert.



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VarianteVariante

Ganz ähnlich kann man folgenden Satz beweisen:

4.1.2 Satz. Sei (an) eine Nullfolge und (bn) eine beschränkte Folge.

Dann ist auch (anbn) eine Nullfolge.

Beweis. Da (bn) beschränkt ist, gibt es eine positive reelle Zahl k

mit -k < bn < k für alle n N.

Sei > 0 beliebig. Trick: * = /k. Da (an) eine Nullfolge ist, gibt es

ein N mit an = an–0 < für alle n N. Daraus folgt

an bn–0 = an bn < k an < k * = .

Also konvergiert an bn gegen 0.

Ganz ähnlich kann man folgenden Satz beweisen:

4.1.2 Satz. Sei (an) eine Nullfolge und (bn) eine beschränkte Folge.

Dann ist auch (anbn) eine Nullfolge.

Beweis. Da (bn) beschränkt ist, gibt es eine positive reelle Zahl k

mit -k < bn < k für alle n N.

Sei > 0 beliebig. Trick: * = /k. Da (an) eine Nullfolge ist, gibt es

ein N mit an = an–0 < für alle n N. Daraus folgt

an bn–0 = an bn < k an < k * = .

Also konvergiert an bn gegen 0.



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SummensatzSummensatz

4.1.3 Summensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert

a und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.

Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an + bn. Dann

konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a+b.

Beispiele: (a) Die Folge ((n2+n)/n3) konvergiert gegen 0.

Denn (1/n) und (1/n2) konvergieren gegen 0,

und es ist (n2+n)/n3 = 1/n + 1/n2.

(b) Die Folge ((n+k)/n) konvergiert für jedes feste k gegen 1.

Denn (n/n) konvergiert gegen 1, und nach 4.1.1 konvergiert die

Folge (k/n) gegen 0.

(c) Die Summe zweier Nullfolgen ist eine Nullfolge.

4.1.3 Summensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert

a und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.

Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an + bn. Dann

konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a+b.

Beispiele: (a) Die Folge ((n2+n)/n3) konvergiert gegen 0.

Denn (1/n) und (1/n2) konvergieren gegen 0,

und es ist (n2+n)/n3 = 1/n + 1/n2.

(b) Die Folge ((n+k)/n) konvergiert für jedes feste k gegen 1.

Denn (n/n) konvergiert gegen 1, und nach 4.1.1 konvergiert die

Folge (k/n) gegen 0.

(c) Die Summe zweier Nullfolgen ist eine Nullfolge.



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BeweisBeweis

Beweis. Sei > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz von (cn) auf

die Konvergenz von (an) und (bn) zurück.

Kleiner Trick: Wir verwenden die Konvergenz von (an) und (bn) mit

* = /2.

Dann gibt es Nummern N und M, so dass für alle Folgenglieder an

mit n N die Ungleichung an–a <

und

für alle Folgenglieder bn mit n M die Ungleichung bn–b <

gilt.

Beweis. Sei > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz von (cn) auf

die Konvergenz von (an) und (bn) zurück.

Kleiner Trick: Wir verwenden die Konvergenz von (an) und (bn) mit

* = /2.

Dann gibt es Nummern N und M, so dass für alle Folgenglieder an

mit n N die Ungleichung an–a <

und

für alle Folgenglieder bn mit n M die Ungleichung bn–b <

gilt.



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BeweisabschlussBeweisabschluss

Sei N die größte der beiden Zahlen M und N. Dann gilt für alle Folgenglieder cn = an + bn mit n > N folgende Ungleichung:

cn–c = an+bn – (a+b) an–a + bn–b < 2* = 2/2 = .

Also konvergiert nach Definition die Folge (cn) gegen c.

Folgerung aus dem Summensatz: Sei (an) eine Folge, die gegen

den Grenzwert a konvergiert. Dann konvergiert die Folge (an+b)

gegen den Grenzwert a+b.

Denn wir addieren zu (an) die konstante Folge (b, b, b, ...); da diese

gegen b konvergiert, folgt die Behauptung.

Sei N die größte der beiden Zahlen M und N. Dann gilt für alle Folgenglieder cn = an + bn mit n > N folgende Ungleichung:

cn–c = an+bn – (a+b) an–a + bn–b < 2* = 2/2 = .

Also konvergiert nach Definition die Folge (cn) gegen c.

Folgerung aus dem Summensatz: Sei (an) eine Folge, die gegen

den Grenzwert a konvergiert. Dann konvergiert die Folge (an+b)

gegen den Grenzwert a+b.

Denn wir addieren zu (an) die konstante Folge (b, b, b, ...); da diese

gegen b konvergiert, folgt die Behauptung.



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ProduktsatzProduktsatz

4.1.3 Produktsatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a

und (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.

Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an bn.

Dann konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c =

ab.

Beispiel. Die Folge cn = (5n+1)(n+1)/n2 konvergiert gegen 5, denn wir

können cn schreiben als cn = anbn mit an = (5n+1)/n (konvergiert

gegen 5) und bn = (n+1)/n (konvergiert gegen 1).

4.1.3 Produktsatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a

und (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.

Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an bn.

Dann konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c =

ab.

Beispiel. Die Folge cn = (5n+1)(n+1)/n2 konvergiert gegen 5, denn wir

können cn schreiben als cn = anbn mit an = (5n+1)/n (konvergiert

gegen 5) und bn = (n+1)/n (konvergiert gegen 1).



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BeweisBeweis

Beweis. Wir zeigen, dass die Folge (an bn–ab) eine Nullfolge ist.

Dazu schreiben wir

an bn–ab = (an –a)bn + (bn–b)a.

Da (an –a) eine Nullfolge ist und bn beschränkt ist, ist nach 4.1.2

auch (an –a)bn eine Nullfolge.

Da (bn –b) eine Nullfolge ist, ist auch (bn–b)a eine Nullfolge.

Also sind beide Summanden Nullfolgen. Daher folgt mit dem Summensatz, dass auch (an bn–ab) eine Nullfolge ist.

Beweis. Wir zeigen, dass die Folge (an bn–ab) eine Nullfolge ist.

Dazu schreiben wir

an bn–ab = (an –a)bn + (bn–b)a.

Da (an –a) eine Nullfolge ist und bn beschränkt ist, ist nach 4.1.2

auch (an –a)bn eine Nullfolge.

Da (bn –b) eine Nullfolge ist, ist auch (bn–b)a eine Nullfolge.

Also sind beide Summanden Nullfolgen. Daher folgt mit dem Summensatz, dass auch (an bn–ab) eine Nullfolge ist.



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QuotientensatzQuotientensatz

4.1.4 Quotientensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den

Grenzwert a und (bn) eine Folge aus von Null verschiedenen

Gliedern, die gegen den Grenzwert b 0 konvergiert. Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an / bn. Dann konvergiert

auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a/b.

Beispiel. Wir betrachten die Folge (4n2+15n)/(n2+1)).

Diese kann man schreiben als ((4 + 15/n)/(1 + 1/n2)).

Zähler: Da (15/n) gegen 0 konvergiert, konvergiert (4 + 15/n)

gegen 4. Nenner: Da (1/n2) gegen 0 konvergiert, konvergiert

(1+1/n2) gegen 1.

Also konvergiert die betrachtete Folge gegen 4.

4.1.4 Quotientensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den

Grenzwert a und (bn) eine Folge aus von Null verschiedenen

Gliedern, die gegen den Grenzwert b 0 konvergiert. Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an / bn. Dann konvergiert

auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a/b.

Beispiel. Wir betrachten die Folge (4n2+15n)/(n2+1)).

Diese kann man schreiben als ((4 + 15/n)/(1 + 1/n2)).

Zähler: Da (15/n) gegen 0 konvergiert, konvergiert (4 + 15/n)

gegen 4. Nenner: Da (1/n2) gegen 0 konvergiert, konvergiert

(1+1/n2) gegen 1.

Also konvergiert die betrachtete Folge gegen 4.



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VergleichssatzVergleichssatz


konvergiert, und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b

konvergiert. Wenn an bn ist (für alle n), dann gilt auch a b.

Bemerkung. Aus an < bn für alle n folgt nicht a < b.

Dazu betrachten wir die Folge (an) = (0)nN und (bn) = 1/n.

Dann ist an < bn für alle n, aber es gilt a = b (= 0).

Beweis. Angenommen, es wäre a > b. Setze = (a–b)/2.

Dann gibt es eine Zahl N, so dass für alle n N gilt:

bn–b < , an–a < .

Dann wäre aber an > bn für alle n N: Widerspruch!


konvergiert, und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b

konvergiert. Wenn an bn ist (für alle n), dann gilt auch a b.

Bemerkung. Aus an < bn für alle n folgt nicht a < b.

Dazu betrachten wir die Folge (an) = (0)nN und (bn) = 1/n.

Dann ist an < bn für alle n, aber es gilt a = b (= 0).

Beweis. Angenommen, es wäre a > b. Setze = (a–b)/2.

Dann gibt es eine Zahl N, so dass für alle n N gilt:

bn–b < , an–a < .

Dann wäre aber an > bn für alle n N: Widerspruch!



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Beschränkte FolgenBeschränkte Folgen

Definition. Eine Folge (an) heißt beschränkt, wenn es eine positive

reelle Zahl k gibt, so dass für alle Folgenglieder an gilt: an k.

Beispiele: Die Folgen (1/n) und (1, –1, 1, –1, 1, ...) sind beschränkt.

In beiden Fällen kann man k = 1 wählen.

4.1.6 Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Mit anderen Worten: Jede unbeschränkte Folge ist nicht konvergent.

Beweis. Wir wählen ein beliebiges > 0. Dann haben ab einem N

alle Folgenglieder höchstens den Abstand zum Grenzwert a.

Also ist die Folge durch a0 + a1 + ... + aN–1 + a + beschränkt.

Definition. Eine Folge (an) heißt beschränkt, wenn es eine positive

reelle Zahl k gibt, so dass für alle Folgenglieder an gilt: an k.

Beispiele: Die Folgen (1/n) und (1, –1, 1, –1, 1, ...) sind beschränkt.

In beiden Fällen kann man k = 1 wählen.

4.1.6 Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Mit anderen Worten: Jede unbeschränkte Folge ist nicht konvergent.

Beweis. Wir wählen ein beliebiges > 0. Dann haben ab einem N

alle Folgenglieder höchstens den Abstand zum Grenzwert a.

Also ist die Folge durch a0 + a1 + ... + aN–1 + a + beschränkt.



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Monotone FolgenMonotone Folgen

Definition. Eine Folge (an) heißt monoton steigend, falls a1 a2

a3 ... gilt; sie heißt monoton fallend, falls a1 a2 a3 ...

gilt. Sie heißt monoton, falls sie monoton steigend oder fallend ist.

Beispiele. (a) Die Folge (n) ist monoton steigend, die Folge (1/n)

monoton fallend.

(b) Die Folge ((–1)n/n) ist keine monotone Folge.

Definition. Eine Folge (an) heißt monoton steigend, falls a1 a2

a3 ... gilt; sie heißt monoton fallend, falls a1 a2 a3 ...

gilt. Sie heißt monoton, falls sie monoton steigend oder fallend ist.

Beispiele. (a) Die Folge (n) ist monoton steigend, die Folge (1/n)

monoton fallend.

(b) Die Folge ((–1)n/n) ist keine monotone Folge.



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Satz über monotone FolgenSatz über monotone Folgen

4.1.7 Satz. Jede monotone beschränkte Folge hat einen Grenzwert.

Bemerkung. Man kann die Konvergenz einer Folge feststellen, ohne

den Grenzwert kennen zu müssen. Im Gegenteil: Diesen Satz kann

man dazu verwenden, reelle Zahlen zu definieren!

Beweis. Wir zeigen, dass jede beschränkte, monoton steigende

Folge einen Grenzwert besitzt. Methode: Supremumsprinzip.

Wir betrachten dazu die Menge der Folgenglieder:

M = {an n = 1, 2, 3, ...}.

Da (an) nach oben beschränkt ist, ist auch M nach oben

beschränkt. Also gibt es ein Supremum a = sup(M).

4.1.7 Satz. Jede monotone beschränkte Folge hat einen Grenzwert.

Bemerkung. Man kann die Konvergenz einer Folge feststellen, ohne

den Grenzwert kennen zu müssen. Im Gegenteil: Diesen Satz kann

man dazu verwenden, reelle Zahlen zu definieren!

Beweis. Wir zeigen, dass jede beschränkte, monoton steigende

Folge einen Grenzwert besitzt. Methode: Supremumsprinzip.

Wir betrachten dazu die Menge der Folgenglieder:

M = {an n = 1, 2, 3, ...}.

Da (an) nach oben beschränkt ist, ist auch M nach oben

beschränkt. Also gibt es ein Supremum a = sup(M).



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BeweisBeweis

Behauptung: a ist der Grenzwert der Folge (an).

Sei dazu > 0 beliebig. Da a das Supremum von M ist, ist a– keine obere Schranke von M. Daher gibt es ein aN mit aN > a–.

Da (an) monoton steigend ist, gilt dann an > a– für alle n N.

Da a das Supremum von M ist, gilt natürlich an a. Also liegen

ab der Nummer N alle Folgenglieder zwischen a– und a.

Daher konvergiert (an) gegen a.

Behauptung: a ist der Grenzwert der Folge (an).

Sei dazu > 0 beliebig. Da a das Supremum von M ist, ist a– keine obere Schranke von M. Daher gibt es ein aN mit aN > a–.

Da (an) monoton steigend ist, gilt dann an > a– für alle n N.

Da a das Supremum von M ist, gilt natürlich an a. Also liegen

ab der Nummer N alle Folgenglieder zwischen a– und a.

Daher konvergiert (an) gegen a.



Seite 20

QuadratwurzelnQuadratwurzeln

4.1.8 Satz (Existenz der Quadratwurzel).

Sei a eine beliebige positive reelle Zahl.

Dann gibt es eine positive reelle Zahl b mit b2 = a.

Wir schreiben b = a.

Kurz: Jede positive reelle Zahl hat eine Quadratwurzel!

Beweis. Wir definieren eine Folge (an), die gegen b konvergiert:

a0 ist eine beliebige positive reelle Zahl. Die weiteren Folgenglieder

werden rekursiv definiert durch

an+1 = (an + a/an)/2.

4.1.8 Satz (Existenz der Quadratwurzel).

Sei a eine beliebige positive reelle Zahl.

Dann gibt es eine positive reelle Zahl b mit b2 = a.

Wir schreiben b = a.

Kurz: Jede positive reelle Zahl hat eine Quadratwurzel!

Beweis. Wir definieren eine Folge (an), die gegen b konvergiert:

a0 ist eine beliebige positive reelle Zahl. Die weiteren Folgenglieder

werden rekursiv definiert durch

an+1 = (an + a/an)/2.



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BeweisBeweis

Beispiel: Sei a = 0. Wenn wir a0 = 10 wählen, ergeben sich als

Folgenglieder 10; 5; 2,5; 1,25; ...

Die Folge (an) hat die folgenden Eigenschaften:

1. Alle Folgenglieder sind positiv.

2. a an2 für n 1.

Denn es gilt

an2 – a = (an–1 + a/an–1)2/4 – a = (an–1

2 + 2a + a2/an–12)/4 – a =

= (an–12 – 2a + a2/an–1

2)/4 = (an–1 – a/an–1)2/4 0.

Beispiel: Sei a = 0. Wenn wir a0 = 10 wählen, ergeben sich als

Folgenglieder 10; 5; 2,5; 1,25; ...

Die Folge (an) hat die folgenden Eigenschaften:

1. Alle Folgenglieder sind positiv.

2. a an2 für n 1.

Denn es gilt

an2 – a = (an–1 + a/an–1)2/4 – a = (an–1

2 + 2a + a2/an–12)/4 – a =

= (an–12 – 2a + a2/an–1

2)/4 = (an–1 – a/an–1)2/4 0.



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3. an+1 an für n 1.

Denn aus der definierenden Gleichung folgt mit der Eigenschaft 2:

an+1 = (an + a/an)/2 (an + an2/an)/2 = an.

Also ist (an) eine monoton fallende, nach unten (wg. 1.) durch 0

beschränkte Folge. Daher hat sie einen nichtnegativen Grenzwert b.

Behauptung: b2 = a. Das folgt so:

b = lim an+1 = lim (an + a/an)/2 = (lim an + a/(lim an))/2 = (b + a/b)/2.

Zusammen: b = (b + a/b)/2, und daraus ergibt sich a = b2.

3. an+1 an für n 1.

Denn aus der definierenden Gleichung folgt mit der Eigenschaft 2:

an+1 = (an + a/an)/2 (an + an2/an)/2 = an.

Also ist (an) eine monoton fallende, nach unten (wg. 1.) durch 0

beschränkte Folge. Daher hat sie einen nichtnegativen Grenzwert b.

Behauptung: b2 = a. Das folgt so:

b = lim an+1 = lim (an + a/an)/2 = (lim an + a/(lim an))/2 = (b + a/b)/2.

Zusammen: b = (b + a/b)/2, und daraus ergibt sich a = b2.



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3.2 Reihen3.2 Reihen

Frage: Sei (ak) eine Folge.

Was ist a1+a2+a3+... ?. Ist dies eine endliche Zahl oder ...?

Wir stellen uns vor, dass man bei a1+a2+a3+... alle (unendlich vielen!)

Glieder der Folge aufsummiert. Das kann natürlich kein Mensch

machen, denn fertig wird man damit nie.

Definition. Diese unendliche Summe nennt man eine Reihe und

schreibt dafür

a1+a2+a3+... = .

Achtung! Das ist zunächst nur ein Symbol, nur eine Schreibweise für a1+a2+a3+... ; dieses Symbol „bedeutet“ (zunächst!) nichts anderes.

Frage: Sei (ak) eine Folge.

Was ist a1+a2+a3+... ?. Ist dies eine endliche Zahl oder ...?

Wir stellen uns vor, dass man bei a1+a2+a3+... alle (unendlich vielen!)

Glieder der Folge aufsummiert. Das kann natürlich kein Mensch

machen, denn fertig wird man damit nie.

Definition. Diese unendliche Summe nennt man eine Reihe und

schreibt dafür

a1+a2+a3+... = .

Achtung! Das ist zunächst nur ein Symbol, nur eine Schreibweise für a1+a2+a3+... ; dieses Symbol „bedeutet“ (zunächst!) nichts anderes.

1kka



Seite 24

BeispieleBeispiele

Geometrische Reihe:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+... =

oder allgemeiner

1 + q + q2 + q3 + ... =

Harmonische Reihe:

1+1/2+1/3+1/4+... =

Geometrische Reihe:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+... =

oder allgemeiner

1 + q + q2 + q3 + ... =

Harmonische Reihe:

1+1/2+1/3+1/4+... =

0k

k1/2

0k

kq

0k

1/k



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PartialsummenPartialsummen

Sei (ak) eine Folge. Wir beobachten den Summationsprozess in

jedem Schritt. Dazu betrachten wir die Partialsummen (Teilsummen) sn betrachten:

s1 = a1,

s2 = a1 + a2,

s3 = a1 + a2 + a3,

...sn = a1 + a2 + a3 + ... + an,

...

Vorstellung: Die Partialsummen nähern sich dem „Wert“ von

immer mehr. Genauer:

Sei (ak) eine Folge. Wir beobachten den Summationsprozess in

jedem Schritt. Dazu betrachten wir die Partialsummen (Teilsummen) sn betrachten:

s1 = a1,

s2 = a1 + a2,

s3 = a1 + a2 + a3,

...sn = a1 + a2 + a3 + ... + an,

...

Vorstellung: Die Partialsummen nähern sich dem „Wert“ von

immer mehr. Genauer:

1kka



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Konvergenz einer ReiheKonvergenz einer Reihe

Definition. Die Reihe konvergiert, falls die Folge (sn) der Partialsummen konvergiert.

Wenn eine Reihe nicht konvergiert, sagt man, dass sie divergiert.

Wenn die Reihe konvergiert, schreibt man auch

für den Grenzwert der Folge der Partialsummen und nennt

den Wert der Reihe.

Achtung: In diesem Fall hat das Symbol zwei Bedeutungen!

Definition. Die Reihe konvergiert, falls die Folge (sn) der Partialsummen konvergiert.

Wenn eine Reihe nicht konvergiert, sagt man, dass sie divergiert.

Wenn die Reihe konvergiert, schreibt man auch

für den Grenzwert der Folge der Partialsummen und nennt

den Wert der Reihe.

Achtung: In diesem Fall hat das Symbol zwei Bedeutungen!

1kka

1kka

1kka

1kka

1kka



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Die geometrische ReiheDie geometrische Reihe

Eine der wichtigsten konvergenten Reihen ist die geometrische

Reihe.

4.2.1 Satz. Sei q eine reelle Zahl mit –1 < q < 1. Dann konvergiert

die Reihe (geometrische Reihe) gegen den Grenzwert

1/(1– q).

Zum Beispiel konvergiert die Reihe 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gegen

die Zahl 2 (q = 1/2).

Eine der wichtigsten konvergenten Reihen ist die geometrische

Reihe.

4.2.1 Satz. Sei q eine reelle Zahl mit –1 < q < 1. Dann konvergiert

die Reihe (geometrische Reihe) gegen den Grenzwert

1/(1– q).

Zum Beispiel konvergiert die Reihe 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gegen

die Zahl 2 (q = 1/2).

0k

kq



Seite 28

BeweisBeweis

Beweis. Wir betrachten die Partialsumme

sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn

und erinnern uns (Übungsaufgabe), dass gilt

sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn = (1–qn+1)/(1–q).

Wir müssen also die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) untersuchen.

Behauptung: Für jede reelle Zahl q mit –1 < q < 1 konvergiert

diese Folge gegen 1/(1–q) .

Dies folgt so: Wir betrachten nur den Fall q > 0. Sei > 0 beliebig.

Wegen q < 1 existiert eine Nummer N mit qN+1 < .

Beweis. Wir betrachten die Partialsumme

sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn

und erinnern uns (Übungsaufgabe), dass gilt

sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn = (1–qn+1)/(1–q).

Wir müssen also die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) untersuchen.

Behauptung: Für jede reelle Zahl q mit –1 < q < 1 konvergiert

diese Folge gegen 1/(1–q) .

Dies folgt so: Wir betrachten nur den Fall q > 0. Sei > 0 beliebig.

Wegen q < 1 existiert eine Nummer N mit qN+1 < .



Seite 29


Daraus folgt

1/(1–q) – (1– qn+1)/(1–q) = (1 – (1– qn+1)) / (1–q) = qn+1 / (1–q)

qN+1 / (1–q) < qN+1 <

für alle n N. Also ist tatsächlich 1/(1–q) der Grenzwert der Folge

der Partialsummen.

Nach Definition konvergiert also die geometrische Reihe

gegen den Grenzwert 1/(1–q).

Daraus folgt

1/(1–q) – (1– qn+1)/(1–q) = (1 – (1– qn+1)) / (1–q) = qn+1 / (1–q)

qN+1 / (1–q) < qN+1 <

für alle n N. Also ist tatsächlich 1/(1–q) der Grenzwert der Folge

der Partialsummen.

Nach Definition konvergiert also die geometrische Reihe

gegen den Grenzwert 1/(1–q).

0k

kq



Seite 30

Alternativer BeweisAlternativer Beweis

Die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) der Partialsummen konvergiert

gegen 1 / (1 – q).

Denn: Für – 1 < q < 1 ist (qn+1) eine Nullfolge.

Also konvergiert (1–qn+1) gegen 1,

und somit ((1–qn+1)/(1–q)) gegen 1 / (1 – q).

Die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) der Partialsummen konvergiert

gegen 1 / (1 – q).

Denn: Für – 1 < q < 1 ist (qn+1) eine Nullfolge.

Also konvergiert (1–qn+1) gegen 1,

und somit ((1–qn+1)/(1–q)) gegen 1 / (1 – q).



Seite 31

BeispielBeispiel

Behauptung: Die Reihe konvergiert.

Beweis. Wir berechnen die Partialsummen sn. Es gilt

sn = 1/12 + 1/23 + 1/34 + ... + 1/n(n+1) = n/(n+1)

(Induktion!).

Da die Folge der Partialsummen gegen 1 konvergiert, konvergiert

nach Definition auch die Reihe gegen 1.


Beweis. Wir berechnen die Partialsummen sn. Es gilt

sn = 1/12 + 1/23 + 1/34 + ... + 1/n(n+1) = n/(n+1)

(Induktion!).

Da die Folge der Partialsummen gegen 1 konvergiert, konvergiert

nach Definition auch die Reihe gegen 1.

1k

1)1/k(k



Seite 32

Die harmonische ReiheDie harmonische Reihe

4.2.2 Satz. Die Reihe divergiert.

Bemerkung: Die harmonische Reihe wurde von Gottfried Wilhelm

Leibniz (1646 - 1716) untersucht.

Beweis. Wir zeigen, dass die Folge der Partialsummen

unbeschränkt ist. Dann kann diese Folge nach 4.1.6 nicht

konvergieren. Also muss sie divergieren

Dazu fassen wir jeweils genügend viele Glieder zusammen, so dass

deren Summe mindestens ½ ist. Damit ergibt sich dann, dass die

Partialsummen nicht beschränkt sein können.

4.2.2 Satz. Die Reihe divergiert.

Bemerkung: Die harmonische Reihe wurde von Gottfried Wilhelm

Leibniz (1646 - 1716) untersucht.

Beweis. Wir zeigen, dass die Folge der Partialsummen

unbeschränkt ist. Dann kann diese Folge nach 4.1.6 nicht

konvergieren. Also muss sie divergieren

Dazu fassen wir jeweils genügend viele Glieder zusammen, so dass

deren Summe mindestens ½ ist. Damit ergibt sich dann, dass die

Partialsummen nicht beschränkt sein können.

1k

1/k



Seite 33

BeweisBeweis

Die erste Summe ist das erste Folgenglied, also 1/2.

Die zweite Summe besteht aus den zwei nächsten Folgengliedern,

also 1/3 +1/4. Wir schätzen diese Summe ab:

1/3 +1/4 > 1/4+1/4 = 1/2. Also ist dieser Teil größer als 1/2.

Die dritte Summe besteht aus den vier nächsten Folgengliedern,

also 1/5+1/6+1/7+1/8. Es gilt: 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 =

1/2. Also ist auch dieser Teil größer als 1/2.

Allgemein gehen wir bei der i-ten Summe bis 1/2i. Wir erhalten 2i–1

Summanden, die alle größer oder gleich 1/2i sind. Also können wir

diesen Teil durch 2i–1 1/2i = 1/2 abschätzen.

Die erste Summe ist das erste Folgenglied, also 1/2.

Die zweite Summe besteht aus den zwei nächsten Folgengliedern,

also 1/3 +1/4. Wir schätzen diese Summe ab:

1/3 +1/4 > 1/4+1/4 = 1/2. Also ist dieser Teil größer als 1/2.

Die dritte Summe besteht aus den vier nächsten Folgengliedern,

also 1/5+1/6+1/7+1/8. Es gilt: 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 =

1/2. Also ist auch dieser Teil größer als 1/2.

Allgemein gehen wir bei der i-ten Summe bis 1/2i. Wir erhalten 2i–1

Summanden, die alle größer oder gleich 1/2i sind. Also können wir

diesen Teil durch 2i–1 1/2i = 1/2 abschätzen.



Seite 34


Damit erhalten wir eine Abschätzung der harmonischen Reihe nach

unten durch > 1/2 + 1/2 + 1/2 + ....

Da die Summe rechts alle Schranken überschreitet, divergiert die

harmonische Reihe.

Damit erhalten wir eine Abschätzung der harmonischen Reihe nach

unten durch > 1/2 + 1/2 + 1/2 + ....

Da die Summe rechts alle Schranken überschreitet, divergiert die

harmonische Reihe.

1k

1/k



Seite 35

Welche Folgen führen zu konvergenten Reihen?Welche Folgen führen zu konvergenten Reihen?

4.2.3 Satz. Wenn die Reihe konvergiert, dann konvergiert die Folge (ai) gegen 0, sie ist also eine Nullfolge.

Bemerkung: Auch von diesem Satz ist die Umkehrung wichtig: Wenn die Folge (ai) nicht gegen 0 konvergiert (d.h. entweder überhaupt

nicht konvergiert oder, wenn sie konvergiert, dann nicht gegen 0

konvergiert), dann divergiert die Reihe.

Beweis. Wir wenden die Verdichtungseigenschaft (3.3.1) auf die

Folge der Partialsummen an.

Sei > 0 beliebig. Wir müssen zeigen, dass von einer gewissen Stelle N an alle an betragsmäßig keiner als sind.

4.2.3 Satz. Wenn die Reihe konvergiert, dann konvergiert die Folge (ai) gegen 0, sie ist also eine Nullfolge.

Bemerkung: Auch von diesem Satz ist die Umkehrung wichtig: Wenn die Folge (ai) nicht gegen 0 konvergiert (d.h. entweder überhaupt

nicht konvergiert oder, wenn sie konvergiert, dann nicht gegen 0

konvergiert), dann divergiert die Reihe.

Beweis. Wir wenden die Verdichtungseigenschaft (3.3.1) auf die

Folge der Partialsummen an.

Sei > 0 beliebig. Wir müssen zeigen, dass von einer gewissen Stelle N an alle an betragsmäßig keiner als sind.

1kka



Seite 36

BeweisBeweis

Nach 3.3.1 gibt es eine Nummer N, so dass für alle m, n N die

Ungleichung

sm–sn <

gilt. Insbesondere gilt für alle n N die Ungleichung

sn+1–sn < .

Da sn+1–sn = a1+a2+...+an+an+1 – (a1+a2+...+an) = an+1 ist, bedeutet

obige Ungleichung nichts anderes als an+1 < für alle n N.

Das bedeutet, dass die Folge (an) eine Nullfolge ist.

Nach 3.3.1 gibt es eine Nummer N, so dass für alle m, n N die

Ungleichung

sm–sn <

gilt. Insbesondere gilt für alle n N die Ungleichung

sn+1–sn < .

Da sn+1–sn = a1+a2+...+an+an+1 – (a1+a2+...+an) = an+1 ist, bedeutet

obige Ungleichung nichts anderes als an+1 < für alle n N.

Das bedeutet, dass die Folge (an) eine Nullfolge ist.



Seite 37

KonvergenzkriterienKonvergenzkriterien

Idee: Man möchte die Konvergenz der Reihe nicht nur an der Folge

der Partialsummen ablesen können, sondern an den Folgengliedern ak selbst.

Dafür gibt es zahlreiche Konvergenzkriterien, die Bedingungen

angeben, unter denen Folgen konvergieren.

Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium usw.

Achtung! Das sind „wenn-dann“-Aussagen, keine „genau-dann-

wenn-Aussagen“!

Idee: Man möchte die Konvergenz der Reihe nicht nur an der Folge

der Partialsummen ablesen können, sondern an den Folgengliedern ak selbst.

Dafür gibt es zahlreiche Konvergenzkriterien, die Bedingungen

angeben, unter denen Folgen konvergieren.

Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium usw.

Achtung! Das sind „wenn-dann“-Aussagen, keine „genau-dann-

wenn-Aussagen“!



Seite 38

MajorantenkriteriumMajorantenkriterium

4.2.4 Satz. Sei eine Reihe, und sei eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ci. Wenn ai ci für alle

i gilt, dann konvergiert auch die Reihe .

Bemerkung: Die Bedeutung dieser wichtigen Kriteriums liegt darin,

dass man die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz einer

anderen Reihe zurückführt.

Außerdem hat man eine große Freiheit, die Reihe zu wählen:

Man braucht nur irgendeine konvergente Reihe aus positiven

Gliedern zu finden, die majorisiert.

Beweis. Übungsaufgabe.

4.2.4 Satz. Sei eine Reihe, und sei eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ci. Wenn ai ci für alle

i gilt, dann konvergiert auch die Reihe .

Bemerkung: Die Bedeutung dieser wichtigen Kriteriums liegt darin,

dass man die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz einer

anderen Reihe zurückführt.

Außerdem hat man eine große Freiheit, die Reihe zu wählen:

Man braucht nur irgendeine konvergente Reihe aus positiven

Gliedern zu finden, die majorisiert.

Beweis. Übungsaufgabe.

0kka

0kkc

0kka

0kkc

0kka



Seite 39

BeispielBeispiel


Beweis. Wir wissen, dass die Reihe konvergiert.

Also konvergiert auch .

Da 1/k2 < 2/k(k+1) ist, ergibt sich mit dem Majorantenkriterium die

Behauptung.

Bemerkung: Das Majorantenkriterium sagt nicht, was der Grenzwert

ist!


Beweis. Wir wissen, dass die Reihe konvergiert.

Also konvergiert auch .

Da 1/k2 < 2/k(k+1) ist, ergibt sich mit dem Majorantenkriterium die

Behauptung.

Bemerkung: Das Majorantenkriterium sagt nicht, was der Grenzwert

ist!

1k

21/k

1k

1)1/k(k

1k

1)2/k(k



Seite 40

QuotientenkriteriumQuotientenkriterium

4.2.5 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle verschieden von

Null sind. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt, so dass

ai+1/ai q für alle i

gilt, dann konvergiert die Reihe.

Beweis. Zunächst zeigt man durch Induktion: Für alle k 1 gilt ak+1

a1qk.

Also ist die Reihe = a1 eine Majorante von .

Da q < 1 ist, konvergiert die Reihe a1 nach 4.2.1.

Nach dem Majorantenkriterium ergibt sich die Behauptung.

4.2.5 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle verschieden von


ai+1/ai q für alle i


Beweis. Zunächst zeigt man durch Induktion: Für alle k 1 gilt ak+1

a1qk.

Also ist die Reihe = a1 eine Majorante von .

Da q < 1 ist, konvergiert die Reihe a1 nach 4.2.1.

Nach dem Majorantenkriterium ergibt sich die Behauptung.

0kka

1k

kqa1

1k

kq

1kka

1k

kq



Seite 41

BeispielBeispiel


Beweis. Sei ak = k2/2k. Dann gilt für k 3:

ak+1 / ak = (k+1)22k/ 2k+1k2 = 1/2 ((k+1)/k)2 =

= 1/2 (1 + 1/k)2 1/2 (1 + 1/3)2 = 1/2 16/9 = 8/9 .

Wir setzen q = 8/9 (< 1) und wenden das Quotientenkriterium an.

Dieses sagt, dass die Reihe gegen einen Grenzwert s

konvergiert.

Dann konvergiert aber die Reihe gegen den Grenzwert s + a0 + a1+ a2.


Beweis. Sei ak = k2/2k. Dann gilt für k 3:

ak+1 / ak = (k+1)22k/ 2k+1k2 = 1/2 ((k+1)/k)2 =

= 1/2 (1 + 1/k)2 1/2 (1 + 1/3)2 = 1/2 16/9 = 8/9 .

Wir setzen q = 8/9 (< 1) und wenden das Quotientenkriterium an.

Dieses sagt, dass die Reihe gegen einen Grenzwert s

konvergiert.

Dann konvergiert aber die Reihe gegen den Grenzwert s + a0 + a1+ a2.

0k

k2/2k

3k

k2/2k

0k

k2/2k



Seite 42

Das WurzelkriteriumDas Wurzelkriterium

4.2.6 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle größer als


für alle k


4.2.6 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle größer als


für alle k


k 0

ka

kka q



Seite 43

4.3 Achilles und die Schildkröte4.3 Achilles und die Schildkröte

Die Geschichte stammt von Zenon von Elea (ca. 495 - 430 v. Chr.).

Zenon stellte alles in Frage. Gerade hatten die griechischen

Mathematiker entdeckt, wie man durch reines Nachdenken

Erkenntnisse erzielen kann, da machte Zenon unwiderleglich klar,

dass man durch Nachdenken Ergebnisse erhalten kann, die ganz

offenbar nicht stimmen. Zum Beispiel:

Bei einem der sportlichen Wettkämpfe der Griechen geht auch

Achilles, der schnellste aller Läufer, an den Start. Aber ausgerechnet

eine Schildkröte will den Kampf mit Achilles aufzunehmen. Zenon

schildert, wie Achilles und die Schildkröte schon vorab das Rennen

gedanklich durchspielen – mit einem überraschenden Ergebnis:

Die Geschichte stammt von Zenon von Elea (ca. 495 - 430 v. Chr.).

Zenon stellte alles in Frage. Gerade hatten die griechischen

Mathematiker entdeckt, wie man durch reines Nachdenken

Erkenntnisse erzielen kann, da machte Zenon unwiderleglich klar,

dass man durch Nachdenken Ergebnisse erhalten kann, die ganz

offenbar nicht stimmen. Zum Beispiel:

Bei einem der sportlichen Wettkämpfe der Griechen geht auch

Achilles, der schnellste aller Läufer, an den Start. Aber ausgerechnet

eine Schildkröte will den Kampf mit Achilles aufzunehmen. Zenon

schildert, wie Achilles und die Schildkröte schon vorab das Rennen

gedanklich durchspielen – mit einem überraschenden Ergebnis:



Seite 44

Achilles und die Schildkröte IIAchilles und die Schildkröte II

Zunächst bittet die Schildkröte darum, ihr einen kleinen Vorsprung

zu gewähren, vielleicht 100 Fuß. Achilles meint natürlich, dass er

diesen Vorsprung in Nullkommanichts aufgeholt hat. Darauf wendet

die Schildkröte ein, „dein Problem besteht darin, dass du diese

Strecke eben nicht in Nullkommanichts schaffst, sondern auch dafür

eine gewisse Zeit brauchst. Und in dieser Zeit bin ich ein Stück

vorangekommen. 10 Fuß.“

Achilles ist der Meinung, dass er auch diese Strecke sofort gelaufen

sei. „Nicht sofort“, entgegnete die Schildkröte, „sondern auch dafür

brauchst du Zeit; und in dieser Zeit bin ich wieder ein Stückchen

vorangekommen: 1 Fuß.“

Zunächst bittet die Schildkröte darum, ihr einen kleinen Vorsprung

zu gewähren, vielleicht 100 Fuß. Achilles meint natürlich, dass er

diesen Vorsprung in Nullkommanichts aufgeholt hat. Darauf wendet

die Schildkröte ein, „dein Problem besteht darin, dass du diese

Strecke eben nicht in Nullkommanichts schaffst, sondern auch dafür

eine gewisse Zeit brauchst. Und in dieser Zeit bin ich ein Stück

vorangekommen. 10 Fuß.“

Achilles ist der Meinung, dass er auch diese Strecke sofort gelaufen

sei. „Nicht sofort“, entgegnete die Schildkröte, „sondern auch dafür

brauchst du Zeit; und in dieser Zeit bin ich wieder ein Stückchen

vorangekommen: 1 Fuß.“



Seite 45

Achilles und die Schildkröte IIIAchilles und die Schildkröte III

Achilles findet, das sei aber nun eine lächerliche Strecke, nicht der

Rede wert. Die Schildkröte widerspricht abermals: „Auch dafür

brauchst du eine gewisse Zeit. Und in dieser Zeit bin ich wieder ein

kleines Stückchen weiter. Zwar nur ein zehntel Fuß, aber immerhin.“

So könnten die beiden weiterreden. Sie überlegen jeweils bis zum

vorigen Standort der Schildkröte; wenn Achill dort angelangt ist, ist

diese ein Zehntel der Strecke weiter. Also kann Achill die Schildkröte

nie einholen! Absurd!

Achilles findet, das sei aber nun eine lächerliche Strecke, nicht der

Rede wert. Die Schildkröte widerspricht abermals: „Auch dafür

brauchst du eine gewisse Zeit. Und in dieser Zeit bin ich wieder ein

kleines Stückchen weiter. Zwar nur ein zehntel Fuß, aber immerhin.“

So könnten die beiden weiterreden. Sie überlegen jeweils bis zum

vorigen Standort der Schildkröte; wenn Achill dort angelangt ist, ist

diese ein Zehntel der Strecke weiter. Also kann Achill die Schildkröte

nie einholen! Absurd!



Seite 46

Achilles und die Schildkröte: Was ist los?Achilles und die Schildkröte: Was ist los?

Die Paradoxie löst sich auf, wenn man beachtet, dass die einzelnen

Strecken immer kleiner werden, also Achilles dafür auch immer

weniger Zeit braucht. In Wirklichkeit konstruiert die Schildkröte

genau den Punkt, an dem sie überholt wird: 111,111... Fuß. Wenn

Achilles diese Marke überschritten hat, hat er sie überholt.

Ein wunderschönes Beispiel dafür, wie scharfes Denken uns

verunsichert und uns damit zwingt, den Dingen noch mehr auf den

Grund zu gehen.

Die Paradoxie löst sich auf, wenn man beachtet, dass die einzelnen

Strecken immer kleiner werden, also Achilles dafür auch immer

weniger Zeit braucht. In Wirklichkeit konstruiert die Schildkröte

genau den Punkt, an dem sie überholt wird: 111,111... Fuß. Wenn

Achilles diese Marke überschritten hat, hat er sie überholt.

Ein wunderschönes Beispiel dafür, wie scharfes Denken uns

verunsichert und uns damit zwingt, den Dingen noch mehr auf den

Grund zu gehen.

Kapitel 4 Folgen und Reihen. Kapitel 3: Folgen und Reihen © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt...

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