Kapitel 4 Theorien und Modelle

Kapitel 4

Theorien und Modelle

Ausdrucksstarke und Ausdrucksschwache

der Pradikatenlogik erster Stufe

Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 4: Theorien und Modelle 1 / 133

Ubersicht

4.1 Theorien und deren Modelle

4.2 Elementare und ∆-elementare Strukturklassen

4.3 Beispiele elementarer Klassen

4.4 Isomorphie und elementare Aquivalenz

4.5 Grenzen der Pradikatenlogik erster Stufe: Nicht-∆-elementareKlassen.

4.6 Die Pradikatenlogik 2. Stufe


Ubersicht

In der Modelltheorie untersucht man den Zusammenhang zwischenmathematischen Strukturen und deren Sprachen (erster Stufe).

Ein spezieller Aspekt dieser Theorie, auf den wir in diesem Kapitel nahereingehen, ist die Frage der Beschreibbarkeit mathematischer Strukturen inder Pradikatenlogik erster Stufe (PL1) oder allgemeiner der Zusammenhangzwischen mathematischen Strukturen und Theorien.

Hierzu erinnern wir zunachst an den Begriff der (L-)Theorie T und derModellklasse Mod(T ) von solch einer Theorie T . Hierbei konnen wir nunwegen des Adaquatheitssatzes die ursprunglich syntaktisch definiertenzugehorigen Konzepte auch semantisch definieren. (Kapitel 4.1)


Ubersicht

Wir nennen dann eine Klasse S von Strukturen ∆-elementar, wenn diese dieModellklasse einer Theorie ist, und wir nennen S elementar, wenn S

Modellklasse einer endlichen Theorie ist (oder - aquivalent hierzu -Modelklasse eines einzelnen Satzes ist).

Die ∆-elementaren Klassen sind also die Strukturklassen, die sich in derPradikatenlogik erster Stufe (PL1) mit Hilfe von (moglicherweise unendlichvielen) Satzen eindeutig beschreiben lassen, wahrend sich die elementarenKlassen durch einen Satz (oder aquivalent hierzu: durch endlich viele Satze)von PL1 eindeutig beschreiben lassen. (Kapitel 4.2)

Wir geben dann eine Reihe von Beispielen von elementaren Klassen an, wiez.B. Lineare Ordnungen, Gruppen und Korper. (Kapitel 4.3)


Ubersicht

Als nachstes betrachten wir die Frage der Beschreibbarkeit einzelnerStrukturen.

Hierbei beobachten wir zunachst, dass sich Strukturen stets nur bis aufIsomorphie beschreiben lassen. Hierbei sind - anschaulich gesprochen - zweiStrukturen isomorph - wenn diese durch “Umbenennen” der Individuenauseinanander hervorgehen.

Wir stellen dann dem Begriff der Isomorphie den Begriff der elementarenAquivalenz gegenuber, wobei zwei (L-)Strukturen elementar aquivalent sind,wenn in ihnen dieselben (L-)Satze gelten.

Die Frage der eindeutigen Beschreibbarkeit einer einzelnen (L-)Struktur Alasst sich dann auf die Frage reduzieren, ob alle zu A elementar aquivalentenStrukturen isomorph zu A sind oder - anders ausgedruckt - ob die StrukturA durch ihre Theorie Th(A) = {σ : A � σ} bis auf Isomorphie eindeutigbestimmt ist. (Kapitel 4.4)


Ubersicht

Grenzen der Beschreibbarkeit von Strukturen und Strukturklassen in PL1ergeben sich aus dem Kompaktheitssatz.

Mit Hilfe des Kompaktheitssatzes werden wir Beispiele von Strukturklassenangeben, die

� zwar ∆-elementar aber nicht elementar sind bzw.� nicht einmal ∆-elementar - also in PL1 nicht beschreibbar sind.

Letzteres trifft z.B. auf die Klasse der endlichen (L-)Strukturen, die Klasseder Wohlordnungen und die Klasse der Korper endlicher Charakteristik zu.

Weiter zeigen wir, dass sich die Struktur der naturlichen Zahlen in PL1 nichtbis auf Isomorphie beschreiben lasst. (Kapitel 4.5)


Zum Abschluss werden wir dann eine Erweiterung der Pradikatenlogik ersterStufe - namlich die Pradikatenlogik 2. Stufe (PL2) - einfuhren, in der diebeobachteten Ausdrucksschwachen von PL1 nicht auftreten.

Wir werden daraus folgern, dass es keinen adaquaten Kalkul fur diesestarkere Logik geben kann, d.h. dass der Wahrheitsbegriff von PL2 nichtadaquat durch einen Beweisbarkeitsbegriff beschrieben werden kann.(Kapitel 4.6)


Konventionen

Ist im Folgenden eine Struktur A nicht naher gekennzeichnet, so gehen wirdavon aus, dass A die Struktur

A = (A; (RAi |i ∈ I ); (f Aj |j ∈ J); (cAk |k ∈ K ))

der Signaturσ = σ(A) = ((ni |i ∈ I ); (mj |j ∈ J);K )

ist.

Entsprechend ist die Sprache L - falls nicht anderweitig gesagt - die Spracheder Signatur

σ = σ(A) = ((ni |i ∈ I ); (mj |j ∈ J);K ).

Weiter gehen wir davon aus, dass Strukturen A und Sprachen L stetszueinander passen. Sprechen wir also im Zusammenhang mit der Sprache L

von der Struktur A, so gehen wir davon aus, dass A eine L-Struktur ist, underwahnen wir im Zusammenhang mit der Struktur A die Sprache L, sogehen wir davon aus, dass L die Sprache von A ist, also σ(L) = σ(A) gilt.


4.1 Theorien und deren Modelle


Theorien (Wiederholung)

Wir erinnern an den bereits in Kapitel 3.5 eingefuhrten Begriff der Theorie:

DEFINITION. Eine (L-)Theorie T ist ein Paar T = (L,Σ), wobei

L eine Sprache der Pradikatenlogik und

Σ eine Menge von L-Satzen ist.

L heisst die Sprache der Theorie T und Σ die Menge der Axiome von T .

Die Theorie T ist endlich, falls die Menge Σ ihrer Axiome endlich ist.

Die Sprache der Theorie T = (L,Σ) bezeichnen wir auch mit L(T ). Ist diese ausdem Kontext bekannt, so identifizieren wir die Theorie T auch mit derenAxiomenmenge Σ.


Modellklasse einer Theorie (Wiederholung)

DEFINITION. Die Modellklasse Mod(T ) einer L-Theorie T = (L,Σ) ist dieMenge aller L-Strukturen, die Modell der Axiomenmenge Σ von T sind (d.h. indenen alle Satze aus Σ gelten):

Mod(T ) = Mod(Σ) = {A : A � Σ}

Ist A Modell von Σ so nennen wir A auch Modell von T und schreiben anstellevon A � Σ entsprechend A � T . Ahnlich schreiben wir statt Σ � ϕ auch T � ϕund sagen, dass ϕ aus T folgt.

NB: Fur L-Theorien T = (L,Σ) und T � = (L,Σ�) mit Σ ⊆ Σ� giltMod(T �) ⊆ Mod(T ). (Die Umkehrung gilt dagegen i.A. nicht; s.u.)


Deduktiver Abschluss von Theorien: Definition

In Kapitel 3.5 hatten wir zwischen dem (syntaktischen) deduktiven AbschlussC�(T ) = {σ : T � σ} von T und dem semantischen AbschlussC�(T ) = {σ : T � σ} von T unter Folgerungen unterschieden. Wegen desAdaquatheitssatzes fallen diese Klassen zusammen und wir bezeichnen diese imFolgenden einfach mit C (T ):

DEFINITION. Der deduktive Abschluss C (T ) einer Theorie T = (L,Σ) ist dieMenge aller Folgerungen aus T :

C (T ) = {σ : T � σ}.

T = (L,Σ) heisst deduktiv abgeschlossen, falls Σ = C (T ) gilt.

KONVENTIONEN. Fur T = (L,Σ) schreiben wir statt C (T ) auch C (Σ). Weiter

fassen wir C (T ) manchmal auch als die L-Theorie C (T ) = (L,C (Σ)) auf.


Deduktiver Abschluss von Theorien: Eigenschaften

LEMMA 1 (Monotonie des ded. Abschlusses). Seien T = (L,Σ) undT � = (L,Σ�) L-Theorien. Dann gilt: Σ ⊆ Σ� ⇒ C (T ) ⊆ C (T �)

LEMMA 2. Sei T = (L,Σ) eine L-Theorie. Dann gilt:

(i) Σ ⊆ C (T )

(ii) C (C (T )) = C (T ) (d.h. der deduktive Abschluss von T ist deduktivabgeschlossen)

(iii) Mod(T ) = Mod(C (T ))

BEWEISE: Lemma 1 und Lemma 2 (ii) folgen aus der Monotonie bzw. Transi-

tivitat von �. Die ubrigen Teile von Lemma 2 sieht man wie folgt ein: (i) gilt, da

Σ � σ fur alle σ ∈ Σ gilt. Da wegen (i) die Inklusion Mod(C (T )) ⊆ Mod(T ) gilt,

genugt es zum Nachweis von (iii) die Inklusion Mod(T ) ⊆ Mod(C (T )) zu zeigen.

Diese folgt aber unmittelbar aus der Tatsache, dass (per definitionem) jedes

Modell von Σ auch Modell aller Satze σ mit Σ � σ ist.


Gleichheit von Theorien: Definition

DEFINITION. Zwei L-Theorien T und T � sind gleich oder aquivalent (kurz:T ∼ T �), falls T und T � denselben deduktiven Abschluss haben, d.h. fallsC (T ) = C (T �) gilt.

NB Haben die L-Theorien T und T � dieselbe Axiomenmenge, so sind dieseTheorien offensichtlich gleich. Aus der Gleichheit von L-Theorien T = (L,Σ) undT � = (L,Σ�) folgt aber i.A. nicht, dass Σ = Σ� gilt:

BEISPIEL 1: Die L-Theorien T = (L, ∅) und T � = (L, {σ : ag [σ]}) sind gleich, da

C (∅) = C ({σ : ag [σ]}) = {σ : ag [σ]}

gilt, wogegen offensichtlich ∅ �= {σ : ag [σ]} gilt. Dies Beispiel zeigt auch, dasseine endliche Theorie (namlich T = (L, ∅)) aquivalent zu einer unendlichenTheorie (namlich T � = (L, {σ : ag [σ]})) sein kann.


Gleichheit von Theorien: Eigenschaften

LEMMA 3. Fur L-Theorien T = (L,Σ) und T � = (L,Σ�) gilt:

(i) T ∼ T � ⇔ [Σ� ⊆ C (Σ) und Σ ⊆ C (Σ�)]

(ii) T ∼ T � ⇔ Mod(T ) = Mod(T �)


Gleichheit von Theorien: Beweis von Lemma 3 (i)

“⇒”: T ∼ T �

⇒ C (Σ) = C (Σ�) (nach Definition)

⇒ Σ ⊆ C (Σ�) & Σ� ⊆ C (Σ) (nach Lemma 2(i))

“⇐”: Σ ⊆ C (Σ�) & Σ� ⊆ C (Σ)

⇒ C (Σ) ⊆ C (Σ�) & C (Σ�) ⊆ C (Σ) (nach Lemmas 1 und 2(ii))

⇒ C (Σ) = C (Σ�)

⇒ T ∼ T � (nach Definition)


Gleichheit von Theorien: Beweis von Lemma 3 (ii)

“⇒”: T ∼ T �

⇒ C (T ) = C (T �) (nach Definition)⇒ Mod(C (T )) = Mod(C (T �))⇒ Mod(T ) = Mod(T �) (nach Lemma 2(iii))

“⇐”: (Beweis durch Kontraposition)

T �∼ T �

⇒ C (T ) �= C (T �) (nach Definition)⇒ C (T ) ⊂ C (T �) (o.B.d.A.; Symmetrie)⇒ ∃ σ : T � � σ & T �� σ (nach Def. des ded. Abschlusses)⇒ ∃ A : A � T & A �� σ (nach Def. von �; σ w.o.)⇒ A � T & A �� T � (nach Def. von �; A, σ w.o.)⇒ Mod(T ) �= Mod(T �)


Teiltheorien

DEFINITION. Sind T = (L,Σ) und T � = (L,Σ�) L-Theorien, so ist T eineTeiltheorie von T � (T ⊆ T �), falls Σ ⊆ Σ� gilt (also jedes Axiom von T auchAxiom von T � ist).

WARNUNG. Aus T ∼ T � folgt im allgemeinen nicht, dass T ⊆ T � gilt. AusT ∼ T � folgt namlich nur, dass C (Σ) = C (Σ�) gilt, wahrend aus T ⊆ T � folgt,dass Σ ⊆ Σ� gilt. So gilt z.B. fur die Theorien T und T � aus Beispiel 1, dassT ∼ T � (und T ⊆ T �) aber T � �⊆ T .

Es gilt jedoch (wie man sich leicht uberlegt) stets (wobei wir C (T ) und C (T �) alsTheorien auffassen; s. fruhere Konvention):

T ⊆ C (T )

T ⊆ T � & T � ⊆ T ⇒ T ∼ T �

T ∼ T � ⇔ C (T ) ∼ C (T �) ⇔ C (T ) ⊆ C (T �) & C (T �) ⊆ C (T )


Theorie einer Struktur (Wiederholung)

Mit der Modellklasse Mod(T ) ordnen wir einer L-Theorie T eine Klasse vonL-Strukturen zu, namlich deren Modelle. Umgekehrt kann man einer L-StrukturA eine L-Theorie Th(A) zuordnen, namlich die L-Theorie, deren Axiome geradediejenigen Satze sind, die in A gelten.

DEFINITION. Die (elementare) Theorie Th(A) einer L-Struktur A ist dieL-Theorie

Th(A) = (L,Σ) mit Σ = {σ : A � σ}.

Offensichtlich ist A Modell der Theorie Th(A). In der Tat ist Th(A) die “großte”Theorie, von der A Modell ist. D.h. es gilt:

A � T ⇔ T ⊆ Th(A)


Erfullbare und vollstandige Theorien: Definitionen(Wiederholung)

DEFINITION. Eine L-Theorie T = (L,Σ) ist

erfullbar, wenn deren Axiomenmenge Σ ein Modell besitzt (also dieModellklasse Mod(T ) von T nicht leer ist).

(semantisch) vollstandig, falls fur jeden L-Satz σ

Σ � σ oder Σ � ¬σ

gilt.

NB. Nach dem Adaquatheitssatz durfen wir in der Definition die semantischenKonzepte durch deren syntaktische Gegenstucke ersetzen. So ist T genau dannerfullbar, wenn T konsistent ist, und T genau dann (semantisch) vollstandig,wenn T (syntaktisch) vollstandig ist (wie in Kapitel 3 definiert).


Erfullbare und vollstandige Theorien: Eigenschaften

Wie bereits fruher gezeigt, ist eine L-Theorie T genau dann erfullbar, wenn ausihr kein Widerspruch folgt (d.h., wenn es keinen L-Satz σ mit T � σ und T � ¬σgibt). Eine Theorie T ist daher genau dann erfullbar und vollstandig, wenn furjeden L-Satz σ entweder T � σ oder T � ¬σ (also entweder σ ∈ C (Σ) oder¬σ ∈ C (Σ)) gilt.

Beispiele fur erfullbare und vollstandige Theorien sind (wie man leicht zeigt) dieTheorien von Strukturen:

LEMMA 4. Fur jede L-Struktur A ist Th(A) erfullbar und vollstandig.

(In Kapitel 3.8 haben wir gezeigt, dass auch die Umkehrung gilt (Satz ubererfullbare und vollstandige Theorien).)


4.2 Elementare und ∆-elementare Strukturklassen


Definierbarkeit in PL1

Wir haben bereits die Modellklasse

Mod(T ) = {A : A � T} = {A : A ist Modell aller Axiome von T}

einer Theorie T = (L,Σ) betrachtet, die gerade die Klasse der Modelle derSatzmenge Σ enthalt und die wir im Folgenden auch mit Mod(Σ) bezeichnen.

Entsprechend bezeichnen wir die Modellklasse eines einzelnen Satzes σ mit

Mod(σ) = {A : A � σ}

(d.h. Mod(σ) = Mod({σ})).

Diese Modellklassen Mod(σ) und Mod(Σ) sind die Klassen von (L-)Strukturen,die sich durch einzelne Satze bzw. durch Mengen von Satzen in PL1 definierenlassen. Wir nennen solche Klassen elementare bzw. ∆-elementare Klassen.


Elementare und ∆-elementare Klassen

DEFINITION. Eine Klasse K von L-Strukturen ist elementar (oder elementardefinierbar), falls es einen L-Satz σ gibt mit K = Mod(σ).

K ist ∆- elementar (oder ∆-elementar definierbar), falls es eine L-Theorie T gibtmit K = Mod(T ) (oder - anders ausgedruckt - eine Menge Σ von L-Satzen gibtmit K = Mod(Σ)).

(Der Griechische Buchstabe Delta steht hierbei fur “Durchschnitt”, da - wie wirgleich zeigen werden - sich die ∆-elementaren Klassen gerade als dieDurchschnitte von elementaren Klassen beschreiben Klassen.)

Im nachsten Abschnitt werden wir uns eine Reihe von Beispielen von elementarenund ∆-elementaren Klassen ansehen.


Abschlusseigenschaften (1)

LEMMA 1. Eine Klasse K von L-Strukturen ist genau dann ∆-elementar, wenn K

der Durchschnitt von elementaren Klassen von L-Strukturen ist.

BEWEIS. Dies folgt aus der Beobachtung, dass die Modellklasse einer Menge vonSatzen Σ gerade der Durchschnitt der Modellklassen der Satze in Σ ist:

Mod(Σ) =�

σ∈Σ

Mod(σ)



LEMMA 1’: Die Familie der ∆-elementaren Strukturklassen ist gegen beliebigeDurchschnitte abgeschlossen: Sind die Klassen Ki (i ∈ I ) ∆-elementar, so istauch die Klasse

K =�

i∈I

Ki

∆-elementar. Insbesondere ist also die Familie der∆-elementaren Strukturklassengegen Durchschnitt (d.h. endliche Durchschnitte) abgeschlossen.

BEWEIS. Dies folgt unmittelbar aus Lemma 1. Man kann den Beweis aber auchleicht direkt fuhren: Gilt Ki = Mod(Σi ) so ist

K = Mod(�

i∈I

Σi ).

(NB:�

i∈IMod(Σi ) = Mod(

�i∈I

Σi ))



LEMMA 2. Die Familie der elementare Klassen von L-Strukturen istabgeschlossen gegen:

(i) Vereinigung (d.h. K0,K1 elementar ⇒ K0 ∪K1 elementar)

(ii) Durchschnitt (d.h. K0,K1 elementar ⇒ K0 ∩K1 elementar)

(iii) Komplement (d.h. K elementar ⇒ K = {A L-Struktur : A �∈ K} elementar)


Abschlusseigenschaften (4): Beweis von Lemma 2

BEWEIS von Teil (i) von Lemma 2:

K0,K1 elementar

⇒ K0 = Mod(σ0) & K1 = Mod(σ1) (fur σ0,σ1 geeignet)

⇒ K0 ∪K1 = Mod(σ0) ∪Mod(σ1) = Mod(σ0 ∨ σ1)

(ii) und (iii) folgen analog mit

Mod(σ0) ∩Mod(σ1) = Mod(σ0 ∧ σ1) und Mod(σ) = Mod(¬σ).



Im Gegensatz zu der Familie der elementaren Klassen ist die Familie der∆-elementaren Klassen nicht gegen Komplement abgeschlossen:

SATZ 1. Die Familie der ∆-elementare Klassen von L-Strukturen ist nicht gegenKomplement abgeschlossen.

Weiter kann man zeigen, dass eine ∆-elementare Klasse, deren Komplement∆-elementar ist, bereits eine elementare Klasse ist.

Wir werden dies und Satz 1 in Kapitel 4.5 mit Hilfe des Kompaktheitssatzesbeweisen. Zu Satz 1 werden wir konkrete Gegenbeispiele angeben. So werden wirz.B. zeigen, dass (fur jede Sprache L) die Klasse der unendlichen L-Strukturen -nicht aber die komplementare Klasse der endlichen L-Strukturen - ∆-elementarist.


4.3 Beispiele elementarer Klassen


Uberblick

Wir betrachten

4.3.1 Strukturen gegebener Machtigkeit

4.3.2 Ordnungen

4.3.3 Gruppen und Korper


Anzahlformeln

Sei L eine beliebige Sprache der Pradikatenlogik erster Stufe. Mit Hilfe folgenderAnzahlformeln (n ≥ 1):

ϕ≥n :≡ ∃x1 . . . ∃xn(�

1≤i<j≤nxi �= xj)

ϕ≤n :≡ ∃x1 . . . ∃xn∀x(�

1≤i≤nx = xi )

ϕ=n :≡ ϕ≤n ∧ ϕ≥n

(1)

konnen wir folgende Aussagen uber die Große von L-Strukturen A = (A; . . . )machen:

A � ϕ≥n ⇔ |A| ≥ n

A � ϕ≤n ⇔ |A| ≤ n

A � ϕ=n ⇔ |A| = n

(2)

BEMERKUNG: Alternativ konnte man ϕ≤n :≡ ¬ϕ≥n+1 setzen.


Die Modelle der Anzahlformeln

Fur die Klassen

Mn := {A : |A| = n} (n ≥ 1)

M≥n := {A : |A| ≥ n} (n ≥ 1)

M≤n := {A : |A| ≤ n} (n ≥ 1)

Minf := {A : A unendlich}

gilt daher:Mn = Mod(ϕn)

M≤n = Mod(ϕ≤n)

M≥n = Mod(ϕ≥n)

Minf = Mod({ϕ≥n : n ≥ 1})


In PL1 definierbare Machtigkeiten

Aus den vorhergehenden Beobachten erhalten wir unmittelbar:

LEMMA. Fur jede Sprache L und fur alle n ≥ 1 sind die Klassen Mn, M≤n undM≥n elementar und die Klasse Minf ∆-elementar.

In Kapitel 4.5 werden wir diesen positiven Definierbarkeitsergebnissen diefolgenden negativen Ergebnisse gegenuberstellen:

Die Klasse Minf der unendlichen L-Strukturen ist nicht elementar. Minf

lasst sich also mit Hilfe unendlich vieler Satze beschreiben nicht aber mitHilfe eines einzelnen Satzes.

Die KlasseMfin := {A : A endlich}

der endlichen L-Strukturen ist nicht ∆-elementar, lasst sich also in PL1uberhaupt nicht definieren.


4.3.2 Ordnungen


Die Sprache L(<) der Ordnungen

Uber (partielle) Ordnungen konnen wir in der Sprache L = L(<) sprechen, in der< ein zweistelliges Relationszeichen ist, das wir als die (strikte) Ordnungsrelationinterpretieren.

BEMERKUNG 1. Alternativ konnten wir auch die Sprache L = L(≤) verwenden,wobei wir das Relationszeichen ≤ als die nichtstrikte Ordnungsrelationinterpretieren (wie wir dies in Beispielen in Kapitel 3.5 gemacht haben).

Die Aquivalenz der beiden sprachlichen Ansatze ergibt sich daraus, dass man ≤ inder Sprache L(<) und umgekehrt < in der Sprache L(≤) wie folgt definierenkann:

t ≤ t � :≡ t < t � ∨ t = t �

t < t � :≡ t ≤ t � ∧ t �= t �


Partielle und lineare Ordnungen

Eine partielle Ordnung P = (P , <P) erfullt das Irreflexivitats- und Transi-tivitatsgesetz. In einer linearen (oder totalen) Ordnung gilt zusatzlich dasKonnexitats- oder Totalitatsgesetz.

Diese Gesetze lassen sich durch L-Formeln wie folgt ausdrucken (wobei wir fur <die Infixschreibweise verwenden):

π1 ≡ ∀x¬(x < x) Irreflexivitatπ2 ≡ ∀x∀y∀z(x < y ∧ y < z → x < z) Transitivitatπ3 ≡ ∀x∀y(x < y → ¬(y < x)) Antisymmetrieπ4 ≡ ∀x∀y(x < y ∨ x = y ∨ y < x) Totalitat

Es gilt also:

TPO = (L, {σPO}) mit σPO :≡ π1 ∧ π2 ∧ π3 ist die Theorie der partiellenOrdnungen

TLO = (L, {σLO}) mit σLO :≡ π1 ∧ π2 ∧ π3 ∧ π4 ist die Theorie der linearenOrdnungen.


Elementaritat der partiellen und totalen Ordnungen

Definieren wir

PO := {A : A ist (L(<)-Struktur und) eine partielle Ordnung}

LO := {A : A ist (L(<)-Struktur und) eine lineare Ordnung}

so gilt also

PO = Mod(TPO) = Mod(σPO) und

LO = Mod(TLO) = Mod(σLO)

Die Klassen der partiellen bzw. linearen Ordnungen sind also elementar:

LEMMA. Die Klassen PO und LO der partiellen bzw. linearen Ordnungen sindelementar.


Exkurs: < vs. ≤

Partielle und lineare Ordnungen werden (s. Bermerkung 1 oben) manchmal auchin der Sprache L = L(≤) uber der nichtstrikten Ordnungsrelation ≤ definiert. Sohaben wir bereits in einem Beispiel in Kapitel 3 lineare Ordnungen als Modelle deralternativen Axiome

σ1 ≡ ∀ x (x ≤ x) Reflexivitatσ2 ≡ ∀ x ∀ y ∀ z (x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z) Transitivitatσ3 ≡ ∀ x ∀ y (x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y) Antisymmetrieσ4 ≡ ∀ x ∀ y (x ≤ y ∨ y ≤ x) Totalitat

definiert.

Dieser Ansatz fuhrt zu demselben Ordnungsbegriff, wenn wir t ≤ t � als Abkurzungvon t < t � ∨ t = t � auffassen. Dann kann man namlich leicht zeigen (Ubung!):

PO = Mod(TPO) = Mod(σ1 ∧ σ2 ∧ σ3) und

LO = Mod(TLO) = Mod(σ1 ∧ σ2 ∧ σ3 ∧ σ4)


Spezielle totale Ordnungen

Spezielle Typen von Ordnungen, die ebenfalls elementar sind, sind die dichtenbzw. diskreten linearen Ordnungen sowie die linearen Ordnungen mit (bzw. ohne)kleinstem/großtem Element (Ubung).

In Abschnitt 4.5 werden wir dagegen zeigen, dass die Klasse der Wohlordnungennicht ∆-elementar ist.


4.3.3 Gruppen und Korper


Gruppen und Korper

Abschließend betrachten wir noch einige der zentralen algebraischen Strukturenund deren Theorien, namlich (abelsche) Gruppen und Korper.

Wir werden zeigen, dass die Klassen der Gruppen, abelschen Gruppen, undKorper elementar sind: Die ublichen Gruppen-Axiome etc. lassen sich namlichdurch Satze der Pradikatenlogik erster Stufe beschreiben. Da man weiterhin injedem Fall mit endlich vielen Axiomen auskommt, kann man die Axiome zu einemSatz zusammenfassen.


Die Sprache L(+; 0) der Gruppen

Um uber Gruppen zu sprechen, verwenden wir im Folgenden die SpracheL = L(+; 0), wobei wir das 2-stellige Funktionszeichen + als dieVerknupfungsoperation und die Konstante 0 als deren neutrales Elementinterpretieren.

Fur + verwenden wir wie ublich die Infixschreibweise.


Gruppenaxiome und Gruppentheorie

Die Gruppenaxiome lassen sich in der Sprache L durch folgende Satzebeschreiben:

γ1 ≡ ∀x∀y∀z((x + y) + z = x + (y + z)) Assoziativitatγ2 ≡ ∀x(0 + x = x) 0 linksneutralγ3 ≡ ∀x∃y(y + x = 0) Existenz von Linksinversen

Es ist also TG = (L, {γ1, γ2, γ3}) die Gruppentheorie, das heißt die Modelle vonTG sind gerade die Gruppen:

Mod(TG ) = {A : A ist (L(+; 0)-Struktur und) eine Gruppe}

Da man die endlich vielen Axiome von TG zu einem Satz σG :≡ γ1 ∧ γ2 ∧ γ3zusammenfassen kann, gilt also:

LEMMA. Die Klassen G der Gruppen ist elementar.


Abelsche Gruppen

Eine Gruppe G = (G ; +G ; 0G) ist abelsch oder kommutativ, wenn sie dasKommutativgesetz

γ4 ≡ ∀x∀y(x + y = y + x) Kommutativitat

erfullt.

Die Klasse Ga der abelschen Gruppen ist also ebenfalls elementar, da

Ga = Mod(γ1 ∧ γ2 ∧ γ3 ∧ γ4)

gilt.


Die Sprache der Korper

Als Sprache der Korper wahlen wir L = L(+, ·; 0, 1), wobei die 2-stelligenFunktionszeichen + und · die Korperaddition bzw. -multiplikation beschreibenund die Konstanten 0 und 1 die zugehorigen neutralen Elemente bezeichnen.

Wir benutzen wiederum die Infixschreibweise fur + und ·.


Korperaxiome

In einem Korper K = (K ,+K, ·K, 0K, 1K) ist

(K ,+K, 0K) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0K,

(K \ {0K}, ·K, 1K) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1K

und es gilt das Distributivgesetz a ·K (b +K c) = (a ·K b) +K (a ·K c).

Die Korperaxiome lassen sich durch folgende L-Satze γ1, . . . , γ4, γ1� , . . . , γ4� , δbeschreiben, wobei γ1, . . . , γ4 gerade die bereits eingefuhrten Gruppenaxiome(inkl. Kommutativitat) sind, wahrend γ1� , . . . , γ4� und δ die wie folgt definiertenentsprechenden Axiome fur die Multiplikation bzw. das Distributivgesetz sind:

γ1� ≡ ∀x∀y∀z((x · y) · z = x · (y · z))γ2� ≡ ∀x(1 · x = x)γ3� ≡ ∀x∃y(x �= 0 → y · x = 1)γ4� ≡ ∀x∀y(x · y = y · x)δ ≡ ∀x∀y∀z(x · (y + z) = (x · y) + (x · z))


Die Klasse der Korper ist elementar

Die Korpertheorie TK besteht also gerade aus den Axiomen

γ1, γ2, γ3, γ4, γ1� , γ2� , γ3� , γ4� , δ.

In anderen Worten: eine L-Struktur A ist genau dann ein Korper, wenn A einModell der Konjunktion

σK :≡ γ1 ∧ γ2 ∧ γ3 ∧ γ4 ∧ γ1� ∧ γ2� ∧ γ3� ∧ γ4� ∧ δ

dieser Axiome ist.

LEMMA. Die Klasse der Korper ist elementar.


Charakteristik von Korpern

Ein Korper K hat Charakteristik p ≥ 1, wenn

1 + · · ·+ 1� �� p-mal

= 0

gilt und p minimal mit dieser Eigenschaft ist.

K hat endliche Charakteristik, wenn K Charakteristik p fur ein p ≥ 1 hat,und

K hat unendliche Charakteristik oder Charakteristik 0, wenn K nichtendliche Charakteristik hat.

BEMERKUNG. Hat ein Korper Charakteristik p ≥ 1, so ist p eine Primzahl.Umgekehrt gibt es zu jeder Primzahl p einen Korper der Charakterisktik p namlichden Restklassenkorper Z/pZ. Korper der Charakteristik 0 sind z.B. die KorperR = (R; +, ·; 0, 1) und Q = (Q; +, ·; 0, 1) der reellen bzw. rationalen Zahlen.


Charakteristik von Korpern: Definierbarkeit in PL1

LEMMA.

(i) Fur p ≥ 1 ist die Klasse Kp der Korper der Charakteristik p elementar.

(ii) Die Klasse K0 der Korper der Charakteristik 0 ist ∆-elementar.

BEWEIS. (i) Es gilt Kp = Mod(σK ∧ χp) fur

χp ≡ 1 + · · ·+ 1� �� p-mal

= 0

(wobei der Term auf der linken Seite beliebig aber fest geklammert sei).

(ii) Es gilt K0 = Mod(Σ) fur Σ = {σK} ∪ {¬χp : p ≥ 1}.

Wie wir in Kapitel 4.5 zeigen werden, gilt jedoch:

Die Klasse K0 der Korper der Charakteristik 0 ist nicht elementar.

Die Klasse Kfin der Korper endlicher Charakteristik ist nicht ∆-elementar.


4.4 Isomorphie und elementare Aquivalenz


In dem vorhergehenden Abschnitt haben wir Theorien zur Beschreibung vonKlassen von Strukturen betrachtet, die gewisse Gemeinsamkeiten aufweisen (wieOrdnungen oder Gruppen oder Korper). Im Folgenden wollen wir nun auch dieFrage diskutieren, inwieweit sich einzelne Strukturen - wie z.B. die Arithmetik,d.h. die Struktur der naturlichen Zahlen mit Addition und Multiplikation - durchTheorien beschreiben lassen.

Dabei muss man allerdings berucksichtigen, dass man eine Struktur nur bis aufIsomorphie beschreiben kann. D.h. ist eine Struktur A Modell einer Theorie T , soist auch jede zu A isomorphe Struktur Modell dieser Theorie.

Um dies zu prazisieren, fuhren wir zunachst den Isomorphiebegriff formal ein. Wirstellen dann dem Begriff der Isomorphie den schwacheren Begriff der elementarenAquivalenz gegenuber, wobei zwei Strukuren elementar aquivalent sind, wenn inihnen dieselben Satze gelten.

Hieraus ergibt sich dann ein Kriterium fur die Definierbarkeit einzelner StrukturenA: A ist bis auf Isomorphie in PL1 definierbar (formal: der Isomorphietyp von A

ist ∆-elementar) g.d.w. jede zu A elementar aquivalente Struktur bereits zu A

isomorph ist.


Isomorphismen und Isomorphie

DEFINITION. (a) Ein (L-)Isomorphismus f von A nach B (f : A ∼= B) ist einebijektive Abbildung f : A → B , die mit den ausgezeichneten Relationen,Funktionen und Konstanten von L wie folgt vertraglich ist:

(a1, . . . , ani ) ∈ RAi

⇔ (f (a1), . . . , f (ani )) ∈ RBi

(fur alle (a1, . . . , ani ) ∈ Ani und alle i ∈ I )

f (f Aj(a1, . . . , amj

)) = f Bj(f (a1), . . . , f (amj

))(fur alle (a1, . . . , amj

) ∈ Amj und alle j ∈ J)

f (cAk) = cB

k(fur alle k ∈ K ).

(b) A und B sind isomorph (A ∼= B), falls es einen Isomorphismus f von A nachB gibt.

Anschaulich ist also ein Isomorphismus f von A nach B eine “Umbenennungs-funktion” (wobei jeder “Name” a aus A in einen “Namen” f (a) aus B umbe-nannt wird, verschiedene Namen durch verschiedene Namen ersetzt werden, undB gerade die Menge der neuen Namen ist), die mit der Interpretation dernichtlogischen Zeichen (d.h. Funktions- und Relationszeichen sowie Konstanten)vertraglich ist.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 4: Theorien und Modelle 55 / 133

Isomorphietypen

LEMMA. Die Isomorphierelation ∼= ist eine Aquivalenzrelation.

BEWEIS. Es gilt:

id : A ∼= A (Reflexivitat);

falls f : A ∼= B, so f −1 : B ∼= A (Symmetrie);

falls f : A ∼= B und g : B ∼= C, so g(f ) : A ∼= C (Transitivitat).

Die Aquivalenzklasse {B : B ∼= A} nennen wir auch den Isomorphietyp derStruktur A.


Das Isomorphielemma

Die fur uns wichtige Beobachtung ist nun, dass in isomorphen Strukturendiesselben Satze gelten:

ISOMORPHIELEMMA. Es gelte A ∼= B. Dann gilt fur jeden Satz σ

A � σ ⇔ B � σ.

D.h. Th(A) = Th(B).


Isomorphielemma: Beweis

Zum Beweis des Isomorphielemmas beweisen wir den folgenden Hilfssatz:

HILFSSATZ. Seien A und B L-Strukturen, sei f : A → B ein Isomorphismus vonA nach B, und sei B : {x0, . . . , xn} → A eine Belegung der Variablen x0, . . . , xn inA. Dann gilt fur jeden L-Term t ≡ t(x0, . . . , xn) und jede Formel L-Formelϕ ≡ ϕ(x0, . . . , xn)

(∗) f (tAB ) = tBf (B)

und(∗∗) WA

B (ϕ) = WBf (B)(ϕ).

Das Isomorphielemma folgt dann sofort aus (∗∗), da (nach dem Koinzidenz-lemma) die Wahrheit eines Satzes σ in einer Struktur nicht von der gewahltenVariablenbelegung abhangt, also (wegen (∗∗))

WA(σ) = W

AB (σ) = W

Bf (B)(σ) = W

B(σ)

gilt.


Isomorphielemma: Beweis des Hilfssatzes

Teil (∗) des Hilfssatzes zeigt man durch Ind(t). (∗∗) folgt dann aus (∗) mitInd(ϕ). Wir beschranken uns hier auf den Beweis von (∗) und lassen denahnlichen Beweis von (∗∗) als Ubung.

BEWEIS von (∗) f (tAB) = tB

f (B) durch Ind(t):

(1) t ≡ xi :

f (tAB) = f ((xi )AB ) (da t ≡ xi )

= f (B(xi )) (nach Definition von (xi )AB )

= (xi )Bf (B) (nach Definition von (xi )Bf (B))

= tBf (B) (da t ≡ xi )


Isomorphielemma: Beweis des Hilfssatzes (Fortsetzung)

BEWEIS von (∗) f (tAB) = tB

f (B) durch Ind(t) (Fortsetzung):

(2) t ≡ ck :

f (tAB) = f ((ck)AB ) (da t ≡ ck)

= f (cAk) (nach Definition von (ck)AB )

= cBk

(da f : A ∼= B)

= (ck)Bf (B) (nach Definition von (ck)Bf (B))

= tBf (B) (da t ≡ ck)


Beweis des Hilfssatzes (Fortsetzung und Ende)BEWEIS von (∗) f (tA

B) = tB

f (B) durch Ind(t) (Fortsetzung und Ende):

(3) t ≡ fj(t1, . . . , tmj):

f (tAB)

= f (fj(t1, . . . , tmj)AB) (da t ≡ fj(t1, . . . , tmj

))

= f (f Aj((t1)AB , . . . , (tmj

)AB)) (nach Definition von fj(t1, . . . , tmj

)AB)

= f Bj(f ((t1)AB ), . . . , f ((tmj

)AB)) (da f : A ∼= B)

= f Bj((t1)Bf (B), . . . , (tmj

)Bf (B)) (nach I.V.)

= fj(t1, . . . , tmj)Bf (B) (nach Definition von fj(t1, . . . , tmj

)Bf (B))

= tBf (B) (da t ≡ fj(t1, . . . , tmj

))


Elementare Aquivalenz: Definition

Nach dem Isomorphielemma lassen sich isomorphe L-Strukturen nicht durchL-Satze unterscheiden. Strukturen mit dieser Eigenschaft nennt man elementaraquivalent.

DEFINITION. Die L-Strukturen A und B sind elementar aquivalent (A ≡ B),falls Th(A) = Th(B), d.h. falls fur jeden L-Satz σ

A � σ ⇔ B � σ

gilt.

NB: Offensichtlich ist die elementare Aquivalenz eine Aquivalenzrelation.


Elementare Aquivalenz: alternative Charakterisierungen

Die elementare Aquivalenz lasst sich alternativ wie folgt charakterisieren:

LEMMA 1. Fur L-Strukturen A und B sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) A ≡ B

(ii) B � Th(A)

BEWEIS: (i) ⇒ (ii): Gilt A ≡ B, so gilt (nach Definition von ≡) Th(A) = Th(B).Da (nach Definition von Th(B)) B � Th(B) gilt, folgt B � Th(A).

(ii) ⇒ (i): Es gelte B � Th(A). Nach Definition von Th(B) gilt dannTh(A) ⊆ Th(B). Da Th(A) vollstandig und Th(B) erfullbar ist, impliziert diesaber Th(A) = Th(B) also (nach Definition von ≡) A ≡ B.


Isomorphielemma: Neuformulierung und Folgerungen

Mit Hilfe des Begriffs der elementaren Aquivalenz lasst sich das Isomorphielemmaauch wie folgt formulieren:

ISOMORPHIELEMMA (Neuformulierung). A ∼= B ⇒ A ≡ B.

Weiter beachte man, dass nach Definition elementare und ∆-elementare Klassenunter elementarer Aquivalenz abgeschlossen sind:

LEMMA 2 (z.T. Korollar zum Isomorphielemma). Sei die Klasse K vonL-Strukturen (∆-)elementar. Dann ist K gegen elementare Aquivalenz und(daher) gegen Isomorphie abgeschlossen.

Es konnen also insbesondere nur unter Isomorphie abgeschlossene Klassenelementar oder ∆-elementar sein!


Definierbarkeit einzelner Strukturen in PL1

Die mathematischen Strukturen A, die sich in der Pradikatenlogik erster Stufe bisauf Isomorphie beschreiben lassen, sind also gerade die Strukturen, derenIsomorphietypen ∆-elementar sind. Alternativ lasst sich letztere Eigenschaft wiefolgt beschreiben:

LEMMA 3. Fur eine L-Struktur A sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) {B : A ∼= B} ist ∆-elementar.

(ii) Jede zu A elementar aquivalente Struktur B ist zu A isomorph.

D.h.: Fur alle L-Strukturen B gilt: A ≡ B ⇒ A ∼= B.

(iii) Fur alle L-Strukturen B gilt: A ∼= B ⇔ A ≡ B.

(iv) Fur alle L-Strukturen B gilt: A ∼= B ⇔ B � Th(A).

(Im nachsten Abschnitt werden wir zeigen, dass die Umkehrung (der Neufassung)des Isomorphielemmas i.a. nicht gilt und es daher Strukturen gibt, deren Iso-morphietypen nicht ∆-elementar sind. Ein Gegenbeispiel wird der Isomorphietypder Struktur N der naturlichen Zahlen sein.)


Beweis von Lemma 3

(i) ⇒ (ii): Sei {B : A ∼= B} ∆-elementar, d.h. {B : A ∼= B} = Mod(T ) furgeeignetes T . Ist dann B� eine zu A elementar aquivalente Struktur, sogelten in B� dieselben Satze wie in A weshalb B� - wie A - ein Modell von T

ist, d.h. B� ∈ Mod(T ). Mit {B : A ∼= B} = Mod(T ) folgt, dass B� isomorphzu A ist.

(ii) ⇒ (iii): Nach Annahme gilt A ≡ B ⇒ A ∼= B. Da die UmkehrungA ∼= B ⇒ A ≡ B nach der Neuformulierung des Isomorphielemmas gilt,folgt hieraus A ∼= B ⇔ A ≡ B.

(iii) ⇒ (iv): Diese Implikation folgt unmittelbar aus Lemma 1.

(iv) ⇒ (i): Nach Annahme (iv) ist {B : A ∼= B} die Modellklasse vonTh(A) und daher ∆-elementar.


4.5 Grenzen der Pradikatenlogik erster Stufe:Nicht-∆-elementare Klassen.


Ubersicht

4.5.1 Der Kompaktheitssatz


4.5.3 Ordnungen und Wohlordnungen

4.5.4 Korper und deren Charakteristik

4.5.5 Arithmetik


4.5.1 Der Kompaktheitssatz fur PL1


Der Kompaktheitssatz

Negative Definierbarkeitsergebnisse fur die Pradikatenlogik 1. Stufe zeigt manhaufig mit Hilfe des Kompaktheitssatzes. Hier werden wir fur alle negativenErgebnisse (explizit oder implizit) auf diesen Satz zuruckgreifen, weshalb wirdiesen zunachst in Erinnerung rufen:

KOMPAKTHEITSSATZ DER PL1.

(a) (Kompaktheitssatz fur den Folgerungsbegriff) Ist T eine L-Theorie und σein L-Satz, der aus T folgt (d.h. T � σ), dann gibt es eine endlicheTeiltheorie T0 ⊆ T von T aus der σ bereits folgt (d.h. T0 � σ).

(b) (Kompaktheitssatz fur den Erfullbarkeitsbegriff) Hat jede endlicheTeiltheorie T0 ⊆ T der Theorie T ein Modell, so besitzt auch T ein Modell.


Eine erste Anwendung des Kompaktheitssatzes

Als erstes Anwendungsbeispiel des Kompaktheitssatzes beweisen wir folgendeCharakterisierung der elementaren Klassen (die wir bereits in Kapitel 4.2 ohneBeweis erwahnt haben).

SATZ 1. Eine Klasse K von L-Strukturen ist genau dann elementar, wenn dieKlasse K und deren Komplement K ∆-elementar sind.

Die Richtung “⇒” ist trivial: Ist K elementar, so ist nach dem Lemma uber dieAbschlusseigenschaften der elementaren Klassen (in Kapitel 4.2) auch K

elementar. Also sind K und K insbesondere ∆-elementar.


Beweis der Richtung “⇐” von Satz 1

Zum Beweis der nichttrivialen Richtung “⇐” seien K und K ∆-elementar undseien T und T � L-Theorien mit

(∗) K = Mod(T ) und K = Mod(T �).

Wir mussen einen Satz σ mit

(∗∗) K = Mod(σ) = {A : A L-Struktur & A � σ}

angeben.

Ist K leer, d.h. K die Menge aller L-Strukturen, so konnen wir σ als irgendeinenallgemeingultigen Satz wahlen. Im Folgenden konnen wir daher o.B.d.A.annehmen, dass K nicht leer und daher T � erfullbar ist.


Beweis der Richtung “⇐” von Satz 1 (Forts. und Ende)

Annahme: (∗) K = Mod(T ) und K = Mod(T �) �= ∅.

Gesucht: Ein Satz σ mit (∗∗) K = Mod(σ) = {A : A L-Struktur & A � σ}.

Da K und K disjunkt sind, folgt aus (∗), dass T ∪ T � nicht erfullbar ist. Nachdem Kompaktheitssatz gibt es daher eine endliche unerfullbare TeiltheorieT0 ⊆ T ∪ T �. Wegen der Erfullbarkeit von T � ist T0 ∩ T nicht leer. Es gibt alsoSatze σ1, . . . ,σn (n ≥ 1) mit T0 ∩ T = {σ1, . . . ,σn}. Wir behaupten, dass furσ :≡ σ1 ∧ · · · ∧ σn (∗∗) gilt:

K ⊆ Mod(σ): Liegt A in K, so ist A (nach (∗)) ein Modell von T . Wegen{σ1, . . . ,σn} ⊆ T , ist A also insbesondere Modell von {σ1, . . . ,σn} und damitModell von σ ≡ σ1 ∧ · · · ∧ σn, d.h. A ∈ Mod(σ).

Mod(σ) ⊆ K: Gilt umgekehrt A ∈ Mod(σ), d.h. A � σ, so gilt auchA � {σ1, . . . ,σn}. Folglich ist A kein Modell von T � (da andernfalls - wegenT0 ⊆ {σ1, . . . ,σn} ∪ T � - A � T0 im Widerspruch zur Unerfullbarkeit von T0).Nach (∗) heisst das, dass A nicht in K liegt, also A ∈ K.


Strukturen gegebener Machtigkeit

Positive Ergebnisse (bereits in Kapitel 4.3 gezeigt): Die Klassen

Mn = {A : |A| = n} (n ≥ 1)M≤n = {A : |A| ≤ n} (n ≥ 1)M≥n = {A : |A| ≥ n} (n ≥ 1)

sind elementar, wahrend die Klasse

Minf := {A : A unendlich}

∆-elementar ist.

Negative Ergebnisse: Im Gegensatz hierzu zeigen wir nun, dass die Klasse derendlichen Strukturen

Mfin := {A : A endlich}

nicht ∆-elementar ist.


Satz uber die Existenz unendlicher Modelle

Um zu zeigen, dass Mfin nicht ∆-elementar ist, beobachten wir zunachst (mitHilfe des Kompaktheitsatzes), dass jede Theorie, die beliebig große endlicheModelle hat, auch ein unendliches Modell besitzt.

SATZ (Satz uber die Existenz unendlicher Modelle) Sei T = (Σ,L) eineL-Theorie, die fur jedes n ≥ 1 ein Modell mit mindestens n Elementen besitzt.Dann besitzt T ein unendliches Modell.


Satz uber die Existenz unendlicher Modelle: Beweis

Sei Tinf = {ϕ≥n : n ≥ 1}, wobei ϕ≥n die in Abschnitt 4.3 eingfuhrtenAnzahlformeln seien. Dann sind (wie bereits in Abschnitt 4.3 beobachtet)die Modelle von Tinf gerade die unendlichen L-Strukturen.

Es genugt daher zu zeigen, dass die Theorie

T� = T ∪ Tinf

ein Modell besitzt.

Nach dem Kompaktheitssatz genugt es hierzu wiederum, fur jede gegebeneendliche Teiltheorie T0 von T � ein Modell zu finden.

Wegen der Endlichkeit von T0 gibt es aber eine Zahl n0 mit

T0 ⊆ T ∪ {ϕ≥n : n ≤ n0}.

Jedes Modell A von T , das mindestens n0 Individuen besitzt, ist daher einModell von T0 und nach Satzannahme gibt es solch ein Modell A.


Satz uber die Existenz unendlicher Modelle: FolgerungenKOROLLAR. (a) Die Klasse Mfin ist nicht ∆-elementar.

(b) Die Klasse Minf ist nicht elementar.

BEWEIS. Der Beweis von (a) ist indirekt: Wir gehen von der Widerspruchs-annahme aus, dass Mfin ∆-elementar ist, und halten eine Theorie T fest mitMfin = Mod(T ). Da es beliebig große endliche Strukturen (jeden Typs) gibt,besitzt dann T beliebig große endliche Modelle, also nach dem Satz uber dieExistenz unendlicher Modelle auch ein unendliches Modell. Das widerspricht aberunserer Annahme, dass die Klasse Mfin der endlichen L-Strukturen dieModellklasse von T ist.

Der Beweis von (b) ist ebenfalls indirekt: Ware Minf elementar, so ware nachdem Lemma uber die Abschlusseigenschaften der Familie der elementaren Klassenauch die komplementare Klasse Minf = Mfin elementar und damit insbesondere∆-elementar. Das aber widerspricht Behauptung (a).

Man beachte, dass aus obigem Korollar insbesondere folgt, dass die Familie der∆-elementaren Klassen nicht gegen Komplement abgeschlossen ist (und damitSatz 1 in Abschnitt 5.2 aus dem Korollar folgt).


Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNG: Die Anzahlklassen Mn sind elementar, die AnzahlklasseMinf ist ∆-elementar aber nicht elementar und die Anzahlklasse Mfin ist nicht∆-elementar (also auch nicht elementar).


4.5.3 Ordnungen und Wohlordnungen


Ordnungen und Wohlordnungen

Positive Ergebnisse (bereits gezeigt): Die Klassen PO und LO der partiellen bzw.linearen Ordnungen sind elementar.

Negative Ergebnisse: Im Folgenden zeigen wir, dass die Klasse derWohlordnungen nicht ∆-elementar ist.


Wohlordnungen

DEFINITION Eine lineare Ordnung O = (A;<) ist ein Wohlordnung, wenn diesekeine unendliche absteigende Kette besitzt, d.h. wenn es keine Individuen an ∈ A

(n ≥ 0) gibt mit· · · < a3 < a2 < a1 < a0.

BEISPIELE. Die Ordnung der naturlichen Zahlen ist eine Wohlordnung, wogegendie Ordnungen der ganzen Zahlen, rationalen Zahlen sowie reellen Zahlen keineWohlordnungen sind.


Satz uber die Nicht-∆-Elementaritat der Wohlordnungen

SATZ. Die Klasse WO der Wohlordnungen ist nicht ∆-elementar.


Nicht-∆-Elementaritat von WO: Beweis

Wir fuhren den Beweis indirekt mit Hilfe des Kompaktheitssatzes:

Wir gehen von der Widerspruchsannahme aus, dass die Klasse WO

∆-elementar ist und halten eine Theorie T = (L,Σ) fest, deren Modell-klasse WO ist (wobei L = L(<) die Sprache der Ordnungen ist).

Wir erweitern dann die Sprache L = L(<) zu einer Sprache L� durchHinzunahme unendlich vieler Konstanten cn (n ≥ 0) und definieren dieL�-Theorie T � = (L�,Σ�) durch

Σ� = {σLO} ∪ {cn+1 < cn : n ≥ 0}

wobei σLO :≡ π1 ∧ π2 ∧ π3 ∧ π4 der L-Satz ist, dessen Modelle gerade dielinearen Ordnungen sind.

Die Modelle A = (A;<A; (cAn |n ≥ 0)) von T � sind dann gerade die totalenOrdnungen (A;<A) zusammen mit ausgezeichneten Individuen cAn , die (furwachsendes n) eine absteigende <A-Kette bilden (also bezeugen, dass(A;<A) keine Wohlordnung ist). Insbesondere ist also fur ein Modell A vonT � die Einschrankung A � L = (A;<A) eine lineare Ordnung aber keineWohlordnung.


Nicht-∆-Elementaritat von WO: Beweis (Fortsetzung)

Nach Wahl von T = (L,Σ) ist dagegen fur jedes L�-ModellA = (A;<A; (cAn |n ≥ 0)) der reinsprachlichen Erweiterung T �� = (L�,Σ)von T die Einschrankung A � L = (A;<A) eine Wohlordnung.

Die Theorie T �� = (L�,Σ��) mit

Σ�� = Σ��∪ Σ� = Σ ∪ {σLO} ∪ {cn+1 < cn : n ≥ 0}

ist daher nicht erfullbar.

Im Folgenden widerlegen wir dies, und erhalten so den gewunschtenWiderspruch!

Wegen des Kompaktheitssatzes genugt es zu jeder gegeben endlichenTeiltheorie T0 = (L�,Σ0) von T �� ein Modell anzugeben. Da Σ0 endlich ist,gibt es aber eine Zahl n0 mit

Σ0 ⊆ Σ ∪ {σLO} ∪ {cn+1 < cn : n < n0},

weshalb es genugt ein Modell A von Σ ∪ {σLO} ∪ {cn+1 < cn : n < n0} zufinden.


Nicht-∆-Elementaritat von WO: Beweis (Ende)

Solch ein Modell liefert aber jede Wohlordnung, die eine absteigende Ketteder Lange n0 besitzt. Da die Wohlordnung der naturlichen Zahlen solch eineabsteigende Kette (namlich n0 > n0 − 1 > n0 − 2 > · · · > 0) besitzt, konnenwir das gewunschte Modell A z.B. wie folgt festlegen:

A = (N;<; (mn|n ≥ 0)),

wobei < die ubliche Ordnung auf N ist und mn durch

mn =

�n0 − n falls n ≤ n0

n0 falls n > n0

definiert ist (wobei der Wert von mn im Falle von n > n0 belanglos ist).

(Dies beendet den Beweis.)


Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNG: Die Klassen PO und LO der partiellen bzw. linearenOrdnungen sind elementar, wahrend die Klasse WO der Wohlordnungen nicht∆-elementar (also auch nicht elementar) ist.


4.5.4 Korper und deren Charakteristik


Korper und deren Charakteristik

Positive Ergebnisse (bereits gezeigt):

Die Klassen G und K der Gruppen (und ebenso der abelschen Gruppen)bzw. Korper sind elementar.

Weiter gilt fur die Charakteristik von Korpern:

� Fur p ≥ 1 ist die Klasse Kp der Korper der Charakteristik p elementar.� Die Klasse K0 der Korper der Charakteristik 0 ist ∆-elementar.

Negative Ergebnisse: Im Folgenden zeigen wir:

Die Klasse K0 der Korper der Charakteristik 0 ist nicht elementar.

Die Klasse Kfin der Korper endlicher Charakteristik ist nicht ∆-elementar.


Charakteristik: Negative Definierbarkeitsergebnisse

SATZ.

(i) Die Klasse K0 der Korper der Charakteristik 0 ist nicht elementar.

(ii) Die Klasse Kfin der Korper endlicher Charakteristik ist nicht ∆-elementar.

Wie beim Beweis der fruheren Nicht-Definierbarkeitsergebnisse fuhren wir denBeweis durch Widerspruch und wenden den Kompaktheitssatz an.

Wir beweisen zunachst (ii) und leiten dann (i) aus (ii) ab.


Beweis von Teil (ii) des Satzes

Widerspruchsannahme: Kfin sei ∆-elementar und T sei eine Theorie, derenModellklasse Kfin ist.

Erweitere T zu der Theorie T � = T ∪T0, wobei T0 = {σK}∪ {¬χp : p ≥ 0}die (unendliche) Theorie der Korper der Charakteristik 0 ist.

Dann besitzt T � kein Modell (da die Modelle von T0 gerade die Korper derCharakteristik 0 sind, wahrend nach Annahme die Modelle von T die Korperendlicher Charakteristik sind).

Betrachten wir aber eine beliebige endliche Teiltheorie T �� von T �, dann gibtes ein n0 ≥ 1, sodass

T��⊆ T ∪ {σK} ∪ {¬χp : p ≤ n0}

gilt, weshalb jeder Korper einer Charakteristik p > n0 ein Modell von T �� ist.

Da es zu jeder Primzahl p einen Korper der Charakteristik p gibt, besitztalso T �� ein Modell.

Mit dem Kompaktheitssatz folgt hieraus aber, dass auch T � ein Modellbesitzt, was den gewunschten Widerspruch ergibt.


Beweis von Teil (i) des Satzes

Behauptung (i) folgt aus Behauptung (ii) durch einen Widerspruchsbeweis wiefolgt:

Widerspruchsannahme: K0 elementar.

Da das Komplement einer elementaren Klasse ebenfalls elementar ist, folgtdass K0 elementar ist.

NB: Die Klasse K0 enthalt die Korper, deren Charakteristik nicht 0 ist, d.h.die endliche Charakteristik haben, zusammen mit den L-Strukturen, diekeine Korper sind.

Folglich ist Kfin der Durchschnitt der elementaren Klasse K0 mit derelementaren Klasse der Korper.

Da der Durchschnitt zweier elementarer Klassen wiederum elementar ist giltalso: Kfin ist elementar.

Dies widerspricht aber dem bereits bewiesenen Teil (ii) des Satzes!

(Ende des Beweises)


Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNG: Die Klassen G und K der Gruppen und Korper sindelementar. Fur die Klassen der Korper der unterschiedlichen Charakteristiken gilt:Die Klassen Kp der Korper der Charakteristik p fur eine gegebene Primzahl p sindelementar, die Klasse K0 der Korper der Charakteristik 0 ist ∆-elementar abernicht elementar, und die Klasse Kfin der Korper endlicher Charakteristik ist nicht∆-elementar.


4.5.5 Arithmetik


Arithmetik: die Theorie der naturlichen ZahlenAls letztes Beispiel betrachten wir die Theorie der naturlichen Zahlen. AlsGrundrelation wahlen wir die Ordnung ≤ auf N, als Grundfunktionen die Addition(+) und die Multiplikation (·), als Konstanten die Null (0) und die Eins (1). (Furdie folgenden Untersuchungen spielt die Wahl der Grundrelationen,Grundfunktionen und Konstanten keine wesentliche Rolle, solange wir diearithmetischen Operationen definieren konnen.)

Wir betrachten also die Struktur

N = (N;≤; +, ·; 0, 1).

Konnen wir N durch Satze der gewahlten Sprache L = L(≤; +, ·; 0, 1) bis aufIsomorphie eindeutig beschreiben, d.h. ist der Isomorphietyp {A : A ∼= N} von N

∆-elementar?

Die Antwort ist negativ: Es gibt ein Modell N ∗ der Theorie Th(N ) derArithmetik, das nicht zu N isomorph ist. (D.h. N ∗ ist elementar aquivalent zu N

aber nicht isomorph zu N .)Solch ein Modell N ∗ bezeichnet man als Nichtstandardmodell derArithmetik,wahrend man N als das Standardmodell von Th(N ) bezeichnet.


Ein Nichtstandardmodell der Arithmetik

SATZ VON SKOLEM. Es gibt eine L(≤; +, ·; 0, 1)-Struktur N ∗, die zu derStruktur N = (N;≤; +, ·; 0, 1) der naturlichen Zahlen elementar aquivalent ist,also N ∗ � Th(N ) erfullt, aber nicht zu N isomorph ist.

Der Beweis ahnelt dem Beweis, dass die Klasse der Wohlordnungen nicht∆-elementar ist. (Dies ist nicht verwunderlich, da ja (N,≤) eine Wohlordnung ist,und man sich leicht uberlegen kann, dass ein Nichtstandardmodell N ∗ vonTh(N ) nicht wohlgeordnet sein kann.)


Beweis des Satzes von Skolem: Idee

Wir erweitern die Sprache L = L(≤; +, ·; 0, 1) zu der Sprache

L� = L(≤; +, ·; 0, 1, c)

durch Hinzunahme einer weiteren Konstante c und geben eine L�-Struktur

A = (A;≤A; +A, ·A; 0A, 1A, cA)

an, die Modell der Theorie von N ist und bei der die Konstante cA unendlichgroß ist, d.h. unendlich viele Vorganger bzgl. der linearen Ordnung ≤A besitzt.

Die Einschrankung von A auf die Sprache L (bei der das Element cA nun nichtmehr als Konstante hervorgehoben wird, deren mathematische Struktur abersonst unverandert ist) ist dann das gesuchte Nichtstandardmodell N ∗: Es erfulltalle Axiome aus Th(N ), besitzt aber eine unendlich große Nichtstandardzahl,namlich cA, weshalb N ∗ nicht isomorph zu N ist.


Beweis des Satzes von Skolem: Details (1)

Sei T � die L�-Theorie T � = {n ≤ c : n ≥ 0}, wobei die Terme n die induktivdurch

0 :≡ 0 und n + 1 :≡ n + 1

definierten Ziffern sind (also gerade die Standardzahlen beschreiben).

Definiere dann die L�-Theorie T �� durch T �� = Th(N ) ∪ T �.

Ein Modell A von T �� hat dann die gewunschten Eigenschaften:

� Wegen Th(N ) ⊆ T �� ist A ein Modell von Th(N ).� Aus dem gleichen Grund ist ≤A eine lineare Ordnung, in der gilt:

0A <A 1A <A 2A <A 3A <A . . .

� Da A aber auch Modell von T � ist, gilt nA ≤A cA fur alle n ≥ 0weshalb cA unendlich viele Vorganger bzgl. der linearen Ordnung ≤A

hat. cA ist daher unendlich groß, also eine Nichtstandardzahl von A.


Beweis des Satzes von Skolem: Details (2)

Es bleibt zu zeigen, dass die Theorie

T�� = Th(N ) ∪ T

� = Th(N ) ∪ {n ≤ c : n ≥ 0}

ein Modell besitzt.

Hier kommt der Kompaktheitssatz ins Spiel!

Nach dem Kompaktheitssatz genugt es namlich zu jeder endlichenTeiltheorie T0 von T �� ein Modell anzugeben.

Aus der Endlichkeit von T0 folgt aber, dass es eine Zahl n0 gibt mit

T0 ⊆ Th(N ) ∪ {n ≤ c : n ≤ n0}.

Ein Modell von T0 ist aber gerade das Standardmodell N , wenn wir diesesum die Interpretation n0 +1 der Konstanten c erweitern, d.h. die L�-Struktur

N� = (N;≤; +, ·; 0, 1, n0 + 1).

Damit ist der Satz von Skolem bewiesen.Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap. 4: Theorien und Modelle 99 / 133

Anmerkungen zum Satz von Skolem

Im Beweis des Satzes von Skolem haben wir gezeigt, dass die TheorieT �� = Th(N ) ∪ {n ≤ c : n ≥ 0} erfullbar ist und dass jedes Modell dieserTheorie ein Nichtstandardmodell der Arithmetik ist. Da die Sprache von T ��

abzahlbar ist, konnen wir mit dem Satz von Lowenheim (Kapitel 3.8)schließen, dass T �� ein abzahlbares Modell besitzt, es also abzahlbareNichtstandardmodelle von Th(N ) gibt.

Die Beobachtung, dass jede Theorie, die ein unendliches Modell besitzt,auch ein uberabzahlbares Modell besitzt (siehe die Anmerkungen zum Satzvon Lowenheim in Kapitel 3.8) liefert einen alternativen Beweis des Satzesvon Skolem: Jedes uberabzahlbare Modell von Th(N ) ist nicht isomorph zuder abzahlbaren Struktur N (NB: Isomorphismen sind bijektiv, bilden alsoabzahlbare Mengen auf abzahlbare Mengen ab) also einNichtstandardmodell von Th(N ).


Zur Struktur der Nichtstandardmodelle der Arithmetik (1)

Der Beweis des Satzes von Skolem zeigt uns die Existenz von Nichtstandard-modellen der Arithmetik, liefert uns aber kein konkretes Nichtstandardmodell. ImFolgenden uberlegen wir uns, welche Eigenschaften diese Nichtstandardmodellehaben. Wir beschranken uns dabei aber auf die Eigenschaften der den Modellenzugrundeliegenden Ordnungen. Insbesondere zeigen wir, dass diese Ordnungenkeine Wohlordnungen sind.

Sei im Folgenden A = (A;≤A; +A, ·A; 0A, 1A) ein Nichtstandardmodell derArithmetik, d.h. ein nicht zu N = (N;≤; +, ·; 0, 1) isomorphes Modell vonTh(N ).

Wir interessieren uns fur die Eigenschaften der Ordnung A� = (A;≤A), die A

zugrundeliegt. Hierzu betrachten wir zunachst lineare Ordnungen und derenOrdnungstypen ganz allgemein und fuhren einige im Folgenden benotigte Begriffeein.



Ist (L;≤) eine lineare Ordnung, so ist A ⊆ L

ein Anfangsstuck von L, falls ∀x , y(x ∈ A ∧ y < x → y ∈ A) gilt

ein Endstuck von L, falls ∀x , y(x ∈ A ∧ x < y → y ∈ A) gilt

ein Intervall von L, falls ∀x , y , z(xy ∈ A ∧ x < z < y → z ∈ A) gilt.



ORDNUNGSTYPEN Unter einem Ordnungstyp verstehen wir den Isomorphietypeiner linearen Ordnung (L;≤) (d.h. die Klasse der zu (L;≤) isomorphen linearenOrdnungen).

BEISPIELE.

ω : Der Ordnungstyp der Ordnung (N;≤) der naturlichen Zahlen. ω enthaltgerade die abzahlbaren diskreten Ordnungen mit kleinstem aber ohnegroßtem Element.

ω∗ : Der Ordnungstyp der Ordnung (Z−;≤) der negativen ganzen Zahlen.ω∗ enthalt gerade die abzahlbaren diskreten Ordnungen mit großtem aberohne kleinstem Element.

δ : Der Ordnungstyp der Ordnung (Q;≤) der rationalen Zahlen. δ enthaltgerade die abzahlbaren dichten Ordnungen ohne kleinstem und großtemElement.

n : Der Ordnungstyp der Ordnung ({1, . . . , n};≤). n enthalt gerade dielinearen Ordnungen mit n Elementen (Punkten).



OPERATIONEN AUF ORDNUNGEN und ORDNUNGSTYPEN Auf den linearenOrdnungen (und entsprechend auf den Ordnungstypen) definiert manOperationen + und · wie folgt:

+: Sind Oi = (Oi ;≤i ) lineare Ordnungen (i = 1, 2) mit O1 ∩ O2 = ∅, so istO1 +O2 die lineare Ordnung O = (O1 ∪ O2;≤) wobei

x ≤ y :⇔ ∃ i (x , y ∈ Oi & x ≤i y) oder (x ∈ O1 & y ∈ O2)

(D.h. O1 ist Anfangs- und O2 Endstuck von O1 + O2.)

Entsprechend ist der Ordnungstyp α+ β definiert.

“Verkette eine lineare Ordnung vom Typ α mit einer linearen Ordnung vomTyp β.”

Beispiele:

� ω∗ + ω ist der Ordnungstyp der ganzen Zahlen.� n + ω = ω aber ω + n �= ω fur n ≥ 1.� δ + δ = δ.



·: Sind Oi = (Oi ;≤i ) lineare Ordnungen (i = 1, 2), so entsteht die lineareOrdnung O1 · O2 = (O2 × O1;≤) durch Ersetzen jeden Punktes von O2

durch ein Intervall vom Ordnungstyp von O1:

(x , y) < (x �, y �) :⇔ x <2 x� oder x = x

� & y <1 y�

Entsprechend ist α · β definiert.

“Ersetze jeden Punkt in der Ordnung vom Typ β durch eine Ordnung vomTyp α” oder - anders ausgedruckt - “verkette α β-mal mit sich selbst”:

α · β = α+ · · ·+ α� �� β-mal

Beispiele:

� 1 · ω = ω = ω · 1 ist der Ordnungstyp der naturlichen Zahlen.� n · ω = ω �= ω · n fur n ≥ 2.� δ · δ = δ.



Wir untersuchen nun Eigenschaften der Ordnungstypen der Nichtstandardmodelleder Arithmetik. Hierbei sei α der Ordnungstyp des NichtstandardmodellsA = (A;≤A; +A, ·A; 0A, 1A).

Vorbereitend bemerken wir, dass ≤A eine lineare Ordnung ist, und die Funktionen+A und ·A kommutativ sind. Weiter ist +A streng monoton in beidenArgumenten (bzgl. der linearen Ordnung ≤A).

Diese Tatsachen ergeben sich daraus, dass diese Eigenschaften durch Satze vonTh(N ) beschrieben werden und A Modell von Th(N ) ist. (Im Folgendengemachte weitere Feststellungen uber die Struktur A, die nicht weiter begrundetwerden, lassen sich ebenso rechtfertigen! Ubung!)



1 Der Standardteil von A:

Im Folgenden nennen wir die Individuen von A (A-)Zahlen. Dabei sind dieInterpretationen nA der Ziffern die Standardzahlen (wobei wir im Folgendenkurz ns := nA schreiben) und die ubrigen Individuen von A die Nicht-standardzahlen von A.

Entsprechend istAs = (As ;≤s ; +s , ·s ; 0s , 1s)

der Standardteil von A, wobei As = {ns : n ≥ 0} die Menge der Standard-zahlen ist und ≤s ,+s , ·s die Einschrankungen von ≤A; +A, ·A auf As .

Mit Ans bezeichnen wir die Menge der Nichtstandardzahlen und mit(Ans ,≤ns) die Einschrankung von (A,≤A) auf Ans .



1 Der Standardteil von A (Fortsetzung)

SATZ 1. Der Standdardteil As von A ist isomorph zum Standardmodell N .Weiter ist (As ;≤s) ein Anfangsstuck der linearen Ordnung (A;≤A) von A.

BEWEISIDEE. Man zeigt, dass f : N ∼= As gilt, wobei f (n) := ns sei.

Zum Beweis der Isomorphieeigenschaft muss man zeigen:

n < m ⇔ ns <s ms

(n +m)s = ns +s ms & (n ·m)s = ns ·s ms

Dies zeigt man induktiv unter Verwendung der Tatsache, dass A Modell vonTh(N ) ist.

Dass (As ;≤s) ein Anfangsstuck von (A,≤A) ist, ergibt sich aus derGultigkeit der folgenden Satze aus Th(N ) in A:

τn :≡ ∀ x (x �= 0 ∧ · · · ∧ x �= n → n < x)



1 Der Standardteil von A (Fortsetzung)

Aus Satz 1 ergibt sich, dass

(A,≤A) = (As ,≤s) + (Ans ,≤ns)

und entsprechend fur den Ordnungstyp α

α = ω + β

gilt, wobei β der Ordnungstyp des Nichtstandardteils der Ordnung von A ist.

Zur weiteren Beschreibung von α genugt es also den Ordnungstyp β von(Ans ,≤ns) zu analysieren.

Da A nicht isomorph zu N ist, folgt aus Satz 1, dass es Nichtstandardzahlengibt, der Ordnungstyp β also nicht der triviale Typ ∅ der leeren Ordnung ist.



2 Was konnen wir weiter uber β sagen, ausser dass β �= ∅ gilt?

Kann β = 1 oder β = n sein?

Die Antwort ist NEIN! Zu jeder Nichtstandardzahl a gibt es wegen derGultigkeit des Satzes

∀ x (x < x + 1 ∧ ∀ y (x ≤ y ∧ y ≤ x + 1 → y = x ∨ y = x + 1))

in A einen Nachfolger, der nach Satz 1 wiederum eine Nichtstandardzahl ist.Mit Iteration dieser Beobachtung folgt, dass jede Nichtstandardzahl a ineinem Intervall vom Ordnungstyp ω liegt.

Durch entsprechende Beobachtung hat jede Nichtstandardzahl a Vorganger. . . a−2 <ns a−1 <ns a. Diese mussen wiederum Nichtstandardzahlen sein, daa−n +A ns = a gilt und die Summe zweier Standardzahlen wiederum eineStandarzahl ist. Der Ordnungstyp β besteht daher aus einer Folge vonIntervallen vom Ordnungstyp ω∗ + ω, kann also als

β = (ω∗ + ω) · γ fur γ �= ∅ geeignet

dargestellt werden.



3 Was lasst sich uber γ sagen (ausser dass γ �= ∅ gilt)?

Wir beobachten, dass γ eine dichte lineare Ordnung ohne kleinstes undgroßtes Element ist:

� γ hat kein großtes Element. Andernfalls gabe es ein letztes Intervallω∗ + ω im Nichtsatndarteil. Betrachtet man fur ein a aus diesemIntervall die Zahl a+A a, so muss diese aber großer als alle Zahlena+A ns (n ≥ 0) sein (wegen der Monotonie von +A). a+A a liegt alsorechts des Intervalls ω∗ + ω von a.

� γ hat kein kleinstes Element. Andernfalls gabe es ein erstes Intervallω∗ + ω im Nichtsatndarteil. Betrachtet man fur ein gerade Zahl a ausdiesem Intervall die Zahl a� mit a� +A a� = a, so kann a� keineStandardzahl sein (da die Summe zweier Standardzahlen wiederum eineStandardzahl ist); a� kann aber auch nicht in dem (ω∗ + ω)-Intervallvon a liegen, da andernfalls a� +A ns = a fur eine geeigneteStandardzahl ns gelten wurde, was der Injektivitat von +A

widersprache. Also muss die Nichtstandardzahl a� links des(ω∗ + ω)-Intervalls von a liegen.



3 Was lasst sich uber γ sagen? (Fortsetzung)

� γ ist dicht. Gegeben zwei (ω∗ + ω)-Intervalle I und I � desNichtstandardteils, so dass I links von I � liegt, wahlt man geradeZahlen a ∈ I und a� ∈ I und betrachtet die Zahl a��, die arithmetischesMIttel von a und a� ist, d.h. fur die a�� +A a�� = a+A a� gilt. Aus denMonotonieeigenschaften von +A folgt, dass a <ns a

�� <ns a� und

a�� ∈ I ∪ I � gilt.

4 Zusammenfassung der Beobachtungen

SATZ. Sei α der Ordnungstyp eines Nichtstadardmodells A der Arithmetik.Dann gilt

α = ω + (ω∗ + ω) · γ wobei γ dicht und ohne Endpunkte ist.



4 Zusammenfassung der Beobachtungen (Fortsetzung)

Da jede abzahlbare dichte lineare Ordnung ohne Endpunkte isomorph zu derpartiellen Ordnung der rationalen Zahlen ist, folgt:

KOROLLAR. Sei α der Ordnungstyp eines abzahlbaren Nichtstandard-modells A der Arithmetik. Dann gilt

α = ω + (ω∗ + ω) · δ

(Insbesondere stimmen also die Ordnungen der abzahlbaren Nicht-standardmodelle der Arithmetik bis auf Isomorphie uberein.)

Wahrend sich die Ordnung der abzahlbaren Nichtstandardmodelle also einfach

beschreiben lasst, lassen sich Addition und Multiplikation nur sehr viel schwerer

beschreiben, weshalb die Nichtstandardmodelle der Arithmetik insgesamt sehr

komplex sind und keine einfache Beschreibung besitzen.



Weiterfuhrende Literatur zur Nichtstandard-Arithmetik:

Kaye, Richard. Models of Peano arithmetic. Oxford Logic Guides, 15. OxfordScience Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, NewYork, 1991.


4.6 Die Pradikatenlogik 2. Stufe


Die oben an einer Reihe von Beispielen gezeigte Ausdrucksschwache derPradikatenlogik erster Stufe (PL1) lasst sich uberwinden, wenn wir die Sprache soerweitern, dass wir nicht nur uber die Individuen (= Objekte der Stufe 1) einerStruktur quantifizieren konnen sondern auch uber die Teilmengen desIndividuenbereichs (= Objekte der Stufe 2) - oder allgemeiner uber die Relationenbeliebiger (aber fester) Stelligkeit auf dem Individuenbereich.

Die entsprechende Erweiterung von PL1 nennt man die Pradikatenlogik zweiterStufe (PL2).

Im Folgenden stellen wir diese Erweiterung von PL1 kurz vor.


4.6.1 Syntax und Semantik von PL2


Die Sprachen von PL2

Eine Sprache L(2) von PL2 erhalt man aus einer Sprache L = L(1) von PL1,indem man den logischen Teil der Sprache um unendlich viele n-stelligeRelationsvariablen

Vn

0 ,Vn

1 ,Vn

2 , . . .

fur jedes n ≥ 1 erweitert.

(Im Folgenden bezeichnen wir Relationsvariablen mit X ,Y ,Z ,Xi etc., und wirschreiben X (n) um anzudeuten, dass X n-stellig ist.)

Der nichtlogische Teil - also insbesondere auch die Signatur - von L bleibenunverandert.


Syntax der Terme und Formeln von PL2

Die L(2)-Terme sind gerade die L-Terme.

Die L(2)-Formeln sind wie die L-Formeln induktiv definiert, wobei die beidenfolgenden Klauseln in der induktiven Definition der Formeln hinzugenommenwerden:

(F1)(c) Sind t1, . . . , tn Terme und X eine n-stellige Relationsvariable,so ist X (t1, . . . , tn) eine Formel.

(F5) Ist ϕ eine Formel und X eine Relationsvariable, so ist auch∃Xϕ eine Formel.

Entsprechend dem Allquantor vom Typ 1, definieren wir ∀Xϕ :≡ ¬∃X¬ϕ.

Freie und gebundene Vorkommen von Relationsvariablen in einer Formel sindentsprechend wie bei Individuenvariablen definiert. Eine Formel der zweiten Stufeist ein Satz, falls sie keine freien Variablen (also weder freie Individuenvariablennoch freie Relationsvariablen) enthalt.


Semantik der Terme und Formeln von PL2 (1)

BELEGUNGEN B DER VARIABLEN IN EINER L-STRUKTUR A:

Um eine L(2)-Formel ϕ ≡ ϕ(x1, . . . , xn,X(n1)1 , . . . ,X (nm)

m ), in der hochstens die

Individuenvariablen x1, . . . , xn und die Relationsvariablen X(n1)1 , . . . ,X (nm)

m freivorkommen, in einer L-Struktur A zu interpretieren, betrachten wir BelegungenB der Variablen x1, . . . , xn,X

(n1)1 , . . . ,X (nm)

m in A, wobei (wie in PL1)B(x1) = ai ∈ A und (neu) B(Xj) = Rj ⊆ Anj , also B(Xj) eine nj -stellige Relationauf dem Individuenbereich A von A ist (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m).


Semantik der Terme und Formeln von PL2 (2)

WAHRHEIT IN EINER STRUKTUR A BZGL. EINER BELEGUNG B :

Man definiert dannA �(2) ϕ[a1, . . . , an,R1, . . . ,Rm],

(was zu lesen ist, dass die Formel ϕ bzgl. der Variablenbelegung a1, . . . , an,R1, . . . ,Rm in A wahr ist) durch Ind(ϕ):

Dabei stimmt im Falle von Formeln der Gestalt (F1) (a) und (b) sowie (F2)- (F4) die Definition von �(2) mit der Definition von � in PL1 uberein. (DieBelegung [...] dort ist lediglich durch [...,R1, . . . ,Rm] zu ersetzen.)

Im Falle von Formeln der neuen Typen (F1)(c) und (F5) geht man wie folgtvor (wobei �a := a1, . . . , am und �R := R1, . . .Rm):

� A �(2) Xj(t1, . . . , tnj )[�a, �R], falls (tA1 [�a], . . . , tAnj [�a]) ∈ Rj gilt.

� A �(2) ∃Xjϕ[�a, �R], falls es eine nj -stellige Relation R �j⊆ Anj gibt mit

A �(2) ϕ[�a,R1, . . . ,Rj−1,R�j ,Rj+1, . . . ,Rm].


Semantik der Terme und Formeln von PL2 (3)WAHRHEIT IN EINER STRUKTUR A: Wie in PL1 zeigt man, dass die Wahrheiteiner Formel ϕ(2) von PL2 in einer Struktur A bzgl. einer Belegung nur von derBelegung der Variablen (1. und 2. Stufe) abhangt, die in ϕ(2) frei vorkommen(Koinzidenzlemma fur PL2).

Insbesondere hangt die Wahrheit eines Satzes σ(2) (d.h. einer Formel, die wederfrei vorkommende Individuenvariablen noch frei vorkommende Relationsvariablenbesitzt) in A nicht von der gewahlten Belegung ab.

MODELLE UND THEORIEN 2. STUFE: Ist σ(2) in A wahr so nennen wir Awiederum ein Modell von σ(2) und schreiben A �(2) σ(2). Theorien (2. Stufe) sindentsprechend zu den Theorien (1. Stufe) in PL1 definiert und ebenso dieModellklassen von Satzen und Theorien. Eine Strukturklasse K ist in PL2definierbar, wenn es einen PL2-Satz σ(2) gibt, dessen Modellklasse K ist, und eineStruktur A ist in PL2 (bis auf Isomorphie) definierbar, wenn ihr Isomorphietyp inPL2 definierbar ist.

Die Theorie 2. Stufe einer Struktur A is definiert durch

Th(2)(A) = {σ(2) : A �(2) σ(2)

}


4.6.2 Definierbarkeit in PL2


Endlichkeit in PL2

Wir wollen nun zeigen, dass man in PL2 (im Gegensatz zu PL1) den Endlich-keitsbegriff und die Struktur der naturlichen Zahlen (bis auf Isomorphie)beschreiben kann. Wir betrachten zunachst die Endlichkeit.

SATZ 1. Sei L eine beliebige Sprache der Pradikatenlogik erster Stufe. Es gibteinen L(2)-Satz σfin, so dass fur jede L-Struktur A gilt:

A �(2) σfin ⇔ A endlich. (3)


Beweis von Satz 1: Idee

Eine Menge M ist genau dann endlich, wenn jede echte Teilmenge von M kleinereKardinalitat als M hat. (D.h. das Prinzip, dass der Teil kleiner als das Ganze ist,gilt gerade fur endliche Mengen.)

Hierbeilassen sich die Kardinalitaten |M| von Mengen M durch

|M1| ≤ |M2| :⇔ Es gibt eine injektive Abbildung von M1 nach M2

ordnen. Die Menge M ist also genau dann endlich, wenn sich M in keine echteTeilmenge von M injektiv abbilden lasst.

Im Folgenden werden wir zeigen, dass sich diese Aussage durch einen Satz σfin inder Sprache von PL2 ausdrucken lasst.

Hierbei stellen wir Funktionen durch deren Graphen dar.


Beweis von Satz 1: Details

Zur Definition von σfin benotigen wir folgende Teilformeln:

ψ1 :≡ ∀x∃y(X (x , y)) ∧ ∀x∀y1∀y2(X (x , y1) ∧ X (x , y2) → y1 = y2)

X ist der Graph einer (uberall definierten 1-st.) Funktion f

ψ2 :≡ ∀x1∀x2∀y(X (x1, y) ∧ X (x2, y) → x1 = x2)

f ist injektiv

ψ3 :≡ ∀x∀y(X (x , y) → Y (y))

Der Wertebereich von f ist in Y enthalten.

ψ4 :≡ ∃y(¬Y (y))

Y ist echte Teilmenge des Individuenbereichs.

Hiermit definieren wir dann

σfin :≡ ∀Y (ψ4 → ¬∃X (ψ1 ∧ ψ2 ∧ ψ3)).


Die Arithmetik in PL2

Die Struktur N = (N; S ; 0) der naturlichen Zahl mit Nachfolgerfunktion und Nulllasst sich durch die folgenden Peano-Axiome 2. Stufe bis auf Isomorphiebeschreiben:

P1 :≡ ∀x(S(x) �= 0)P2 :≡ ∀x∀y(S(x) = S(y) → x = y)IND :≡ ∀X (X (0) ∧ ∀x(X (x) → X (S(x)) → ∀x(X (x)))

Dabei drucken die beiden Axiome P1 und P2 (der ersten Stufe) aus, dass die Nullkein Nachfolger und die Nachfolgerfunktion injektiv ist. Das Induktionsaxiom IND

(das von der zweiten Stufe ist) besagt, dass jede induktive Menge X (d.h. jedeMenge, die die Null enthalt und mit jeder Zahl auch deren Nachfolger) die Mengealler Zahlen (Individuen) ist.


Der Satz von Dedekind

SATZ VON DEDEKIND. Sei L = L(S ; 0). Dann gilt fur jede L-Struktur A:

A �(2)P1 ∧ P2 ∧ IND ⇔ A ∼= N (4)

BEWEISIDEE: Um die Richtung ⇐ zu zeigen, beobachtet man, dass inisomorphen L-Strukturen dieselben Satze 2. Stufe wahr sind. Man zeigt dies, wiefur Satze 1. Stufe (vgl. Ubungen).

Zum Beweis der Richtung ⇒ nehmen wir an, dass A = (A; SA; 0A) ein Modellder Peano-Axiome P1, P2 und IND ist. Wir definieren einen Isomorphismus f vonN nach A durch Ind(n):

f (0) := 0A

f (n + 1) := SA(f (n))

Den Nachweis der Isomorphismeneigenschaften lassen wir als Ubung.


Der Satz von Dedekind: Anmerkungen

Will man Strukturen der naturlichen Zahlen mit zusatzlichen Grundrelationen und-zeichen, wie z.B. die Struktur N � = (N;≤; +, ·, S ; 0, 1) bis auf Isomorphie in PL2beschreiben, so muss man zu den drei Peano-Axiomen lediglich Axiome hinzu-fugen, die die Bedeutung der zusatzlichen Grundrelationen, -funktionen und-konstanten auf Nachfolger und Null zuruckfuhren.

Im Falle von Addition und Multiplikation gibt man hierzu die Rekursions-gleichungen fur diese Funktionen an:

∀x(x + 0 = x) ∧ ∀x∀y(x + S(y) = S(x + y))

∀x(x · 0 = 0) ∧ ∀x∀y(x · S(y) = (x · y) + x)

Die Eins wird durch S(0) = 1 beschrieben und die Ordnung durch

∀x∀y(x ≤ y ↔ ∃z(x + z = y)).


Der Satz von Dedekind: Anmerkungen (Forts.)

Die L(≤; +, ·, S ; 0, 1)-Strukturen, die die Konjunktion aus diesen zusatzlichenAxiomen und den Peano-Axiomen erfullen, sind dann genau dieL(≤; +, ·, S ; 0, 1)-Strukturen, die isomorph zu N � sind.

Ahnlich wie N � kann man auch

N�� = (N;≤; +, ·; 0, 1)

durch Axiome in der 2. Stufen bis auf Isomorphie beschreiben. Hierzu geht manwie bei N � vor, ersetzt lediglich uberall S(t) durch t + 1.


4.6.3 PL2 und Kompaktheit


Wahrheit und Beweisbarkeit in PL2

Trotz der Ausdrucksschwache von PL1, die in PL2 behoben wird, spielt diePradikatenlogik der ersten Stufe eine wichtigere Rolle als die Pradikatenlogikzweiter Stufe.

Grund hierfur ist, dass es adaquate Kalkule fur PL1 gibt, man also den nachDefinition in hohem Grade nichtkonstruktiven Wahrheitsbegriff durch denkonstruktiven Beweis(barkeits)begriff erfassen kann.

Fur die Pradikatenlogik zweiter Stufe gibt es dagegen keine adaquaten Kalkule.Um dies zu zeigen, beobachtet man, dass der Kompaktheitssatz in PL2 nicht gilt.


Nichtkompaktheit des Folgerungsbegriffs in PL2SATZ. (i) Es gibt eine Theorie T von PL2, die nicht erfullbar ist, obwohl jedeendliche Teiltheorie von T erfullbar ist.

(ii) Es gibt eine Theorie T und einen Satz σ von PL2 mit

(∗) T �(2) σ, wogegen fur alle T�⊆ T endlich gilt: T �

��(2) σ

BEWEIS. (i) Betrachte T = {σ(2)fin

} ∪ {ϕ≥n : n ≥ 0}, wobei σ(2)fin

der Satz zweiterStufe ist, der gerade in den endlichen Strukturen gilt, wogegen ϕ≥n der Satzerster Stufe ist, der gerade in Strukturen mit mindestens n Elementen gilt.

(ii) Betrachte T = {ϕ≥n : n ≥ 0} und σ ≡ ¬σ(2)fin

.

KOROLLAR. Es gibt keinen Kalkul K von PL2 mit

∀ T ,σ : (∗∗) T �K σ ⇔ T �(2) σ

Beweis. Dies folgt aus (∗) oben, da fur den Beweisbarkeitsbegriff in jedem KalkulK gilt:

T �K σ ⇒ Es gibt T �⊆ T endlich mit T �

�K σ.


Kapitel 4 Theorien und Modelle

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