Kapitel 8 - Värmeöverföring...Kapitel 8 Kap.8, Potentialströmning •Vorticitet (repetition)...

Kapitel 8Kap.8, Potentialströmning

•Vorticitet (repetition)

•Hastighetspotential

•Strömfunktionen

•Superposition

•Cirkulation

•2-dimensionella kroppar

•Kutta-Joukovskis lyftkraftsteorem

•Komplex potential

•Rotationssymmetrisk potentialströmning

Rotation av ett fluidelement

Kapitel 4

Vinkelhastighet: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

dtd

dtd

zβαω

21

Små vinklar ger:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

∂∂

=dt

xudx

dxdtxv

d1

α

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+

∂∂

=dt

yvdy

dydtyu

d1

β

dy

dx

tdyyvdy Δ∂∂

+

tdxxudx Δ∂∂

+

tdyyu

Δ∂∂

tdxxv

Δ∂∂

αd

βd

Rotation av ett fluidelement

Kapitel 4

Låt⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂

=

∂∂

=⇒→

yu

dtd

xv

dtd

dt β

α

0

dy

dx

tdyyvdy Δ∂∂

+

tdxxudx Δ∂∂

+

tdyyu

Δ∂∂

tdxxv

Δ∂∂

αd

βd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=yu

xv

z 21ωVinkelhastigheten

På samma sätt: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=zv

yw

x 21ω ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=xw

zu

y 21ω

Notera att i 2D-fallet är 0== yx ωω

( ) ( )VVrot ×∇==21

21ϖ Vorticitet: ωζ 2= Strömningen kallas

rotationsfri om 0=ζ

Kapitel 8Potentialströmning

Friktionsfri strömning:

VpgDtVD 2∇+∇−= μρρ pg

DtVD

∇−= ρρ0=μ

Eulers ekvation

Ger Bernoullis ekvation om den integreras längs strömlinje, se sid. 259

Rotationsfri strömning: 0,, =⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=×∇yu

xv

xw

zu

zv

ywV


Friktionsfri och rotationsfri strömning:

Om strömningen är rotationsfri

kan hastighetspotentialen definieras0=×∇ V

φ∇=V( )tzyx ,,,φ

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∇==zyx

wvuV φφφφ ,,,, zw

∂∂

=φ

yv

∂∂

=φ

xu

∂∂

=φ

022

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇zyxφφφφ

konstant2

2

=+++∂∂ gzVp

tρρφρ

Kontinuitet:

Impuls:


Strömfunktionen:

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

xyyxψψ Jämför med 0=

∂∂

+∂∂

yv

xu

yu

∂∂

=ψ

xv

∂∂

−=ψHastighetskomponeterna kan

nu skrivas som

Friktionsfri och rotationsfri strömning, Potentialströmning:

yxv

∂∂

=∂∂

−=φψ

xyu

∂∂

=∂∂

=φψFör 2D-strömning:

Strömlinjer och potentiallinjer alltid vinkelräta mot varandra


Friktionsfri och rotationsfri strömning:

yxv

∂∂

=∂∂

−=φψ

xyu

∂∂

=∂∂

=φψFör 2D-strömning:

Strömlinjer och potentiallinjer alltid vinkelräta mot varandra

Friktionsfri och rotationsfri strömning kallas potentialströmning


Potentialströmning: ”Verklighet”:


Potentialströmning:

Elementarfall vilka kan kombineras för att skapa andra strömningar:

1. Parallellströmning:ψφ

θφ cosUrUx ==

θψ sinUrUy ==

U

x

y

0=∂∂

=∂∂

−=

=∂∂

=∂∂

=

yxv

Uxy

u

φψ

φψ



2. Linjekälla/sänka:

rm ln=φθψ m=

bQmπ2

=Styrkan

==

bQ Volymflödet

Utsträckning normalt mot planet

01

1

=∂∂

−=∂∂

=

=∂∂

=∂∂

=

rrv

rm

rrvr

ψθφ

θψφ

θ



3. Linjevirvel:

θφ K=rK ln−=ψ

virvelstyrkan

rK

rrv

rrvr

=∂∂

−=∂∂

=

=∂∂

=∂∂

=

ψθφ

θψφ

θ1

01


Superpostion:

Grafisk metod

Exempel: linjesänka + linjevirvel i origo.

Förbind punkter där konstant=+ vs ψψ


Potentialströmning: Superposition av elementarfall, exempel:

Parallellströmning + källa = Rankinehalvkropp rmUr

mUrlncos

sin+=+=

θφθθψ


Källa i (x,y)=(-a,0)

Sänka i (x,y)=(a,0)

( )sksk m θθψψψ −=+=

rkrs

θk θsa amk ms x

y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

axymm kk arctanθψ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=−=

axymm ss arctanθψ

axy

k +=θtan

axy

s −=θtan


( ) 2222arctan

ayxaymm sksk −+

−=−=+= θθψψψ

( )

( )( )( ) ( )

( ) 2222222222

2

2arctanarctan

1arctan

tantan1tantanarctan

tantan1tantantan

ayxyaax

ayxax

axyaxyaxax

yax

yax

y

sk

sksk

−+−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+

−+−−

=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−++

−−

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−

⇒+

−=−

θθθθθθ

βαβαβα


Källa + sänka i origo: Dubblett

222220

22arctanlimyx

amyayx

aymad +

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=→

ψ

am2=λ

ryxx

ryxy

d

θλλφ

θλλψ

cos

sin

22

22

=+

=

−=+

−=


Parallellströmning + Källa i (x,y)=(-a,0) + Sänka i (x,y)=(a,0) = Rankine-oval

rkrs

θk θsmk ms x

y

( ) 2222arctansin

ayxaymUymUr skskp −+

−=−+=++= θθθψψψψ

Ovalen bildas av strömlinjen 0=ψ

2L


Rankine-oval:

422422224

222

2222

aayyaxyxxyaxamU

yu

+++−+−−

−=∂∂

=ψHastighet i x-led

Stagnationspunkter i (x,y)=(±L,0) 022

2 22422422

=−

−=+−

−−

aLamU

aaLLaLamU

UamaL 22 +±=

Uam

aL 21+±=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Uam

ah

ah

2cot

( )

221

12

max

ah

Uam

Uu

++=


Cylinder:

Låt nu⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

→⇒→

2

10

max

Uu

Lh

a dvs. cirkulär cylinder = Parallellströmning + dubblett

rUr

yxxUx

rUr

yxyUyd

θλθλφ

θλθλψ

coscos

sinsin

22

22

+=+

+=

−=+

−=


Kelvin-oval:

( )( )22

22

ln21

ayxayxKUy

−+++

−=ψ

Parallellströmning + virvelpar i y=±a


Cirkulär cylinder med cirkulation

Parallellströmning + dubblett+linjevirvel

Men låt oss först införa cirkulationen


Cirkulation

Vαds

Vds

C

( )∫ ∫ ∫ ++=⋅==ΓC C C

wdzvdyudxdsVdsV αcos

För rotationsfri strömning gäller:

φ∇=V

φφφφφ ddzz

dyy

dxx

dsdsV =∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇=⋅

011 =−==Γ ∫C

d φφφ om C är en sluten kurva

OBS! 0=Γ gäller ej om C innesluter en linjevirvels centrum


För linjevirvel gäller:

Vds

C

KrdrKdsV

C

πθπ

22

0

==⋅=Γ ∫∫rKv

vr

=

=

θ

0


Parallellströmning + dubblett+linjevirvel



Parallellströmning + dubblett+linjevirvel 1lnsinsin CrKr

Ur +−−= θλθψ

Låt cylindern bildas av strömlinjen 0=ψ

Detta uppnås genom att sätta⎩⎨⎧

== diencylinderraär där

ln1

2

aaKC

Uaλ

arK

rarU lnsin

2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= θψ



rK

raU

rv

raU

rvr

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

=

2

2

2

2

1sin

1cos1

θψ

θθψ

θ

Då cylindern roterar kommer hastigheten att vara olika på ovan- och undersida. Detta ger upphov till en tryckskillnad som i sin tur ger en lyftkraft, detta kallas Magnuseffekten


Kutta-Joukovskis lyftkraftsteorem

θ

θv r

Hastighet på cylinderytan:

aKUv

vr

+−=

=

θθ sin2

0

Bernoulli ger nu:22

sin222 ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ +−+=+∞ a

KUpUp s θρρ

Lös ut yttrycket⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−+= ∞

22

2

sin4sin412 Ua

KUaKUpps θθ

ρ

Motståndskraften kan skrivas som( ) θθ

π

badppD s cos2

0∫ ∞−−=



θ

θv r

( ) θθπ

badppD s cos2

0∫ ∞−−=

InförUaK

=β

( ) 0 cossin4sin412

2

0

222

=−+−−= ∫ θθβθβθρ π dbaUD 0 sin cos

2

0

=∫ θθθπ

dnty

D’Alemberts paradox: Motståndskraften på alla kroppar i en inviskös strömning är noll


Kutta-Joukovskis lyftkraftsteorem θ

θvr

( ) θθπ

badppL s sin2

0∫ ∞−−=

( ) θθβθβθθρπ

dbaUL sinsin4sin4sin2

2

0

2232

∫ −+−−=

0 sin2

0

=∫ θθπ

d

Lyftkraften

0 sin2

0

3 =∫ θθπ

d

( ) bUbKUUaKbaU

baUdbaUL

Γ−=−=−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=−= ∫

ρπρπρ

θθθβρθθβρππ

22

2sincos

212 sin2

2

2

0

22

0

22


Kommentar till exempel 8.3

OBS! Data i fig 8.15 gäller för Re=3800, i exemplet är Re=260000.

Re=3800; CL=1.44; CD=0.92 Re=260000; CL=0.91; CD=0.72


Flettner-rotor

Skeppet Buckau, byggd i Hamburg 1920, 2 cylindrar, L=18.5m, D=2.8 m. Hastighet 5-6 knop

Union Rotorplane, 1931.


Komplex potential

( ) ( ) ( )yxiyxzf ,, ψφ +=

Komplex hastighet: ivuy

iy

ix

ixdz

df+=

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

=ψφψφ

Några exempel:

Parallellströmning

Linjekälla

Linjevirvel

( ) αiUzezf −=( ) ( )0ln zzmzf −=

( ) ( )0ln zziKzf −−=


Komplex potential

Konform avbildning

Cylinder med cirkulation

( ) ( ) ( )00 lnln zziKzzmUzezf i −−−+= − α

Joukovski-vinge

zz 1+=ζ


Hörnströmning

( ) θθζζ θ sincos nninnn iArAreArAf +===n avgör hörnvinkeln

nπβ =


Hörnströmning

( ) θθζζ θ sincos nninnn iArAreArAf +===

( ) αiUzezf −=med

01

==

αU

Avbildning:nAz ζ=


Spegling

Används för att generera ”väggar”.


Rotationssymmetrisk potentialströmning

θφ cosUr=

θψ 22 sin21Ur−=1. Parallellströmning:

2. Punktkälla/sänka:

rm

−=φ

θψ cosm=

04 22

=

==

θ

πv

rm

rQvr

θθ

θ sincos

UvUvr−=

=

3. Punktdubblett:

r

rθλφ

θλψ

cos

sin2

=

=

Notera att det inte finns någon motsvarighet till linjevirvel.


Rotationssymmetrisk potentialströmning, se även sid. 563-567

Superposition gäller som tidigare.

Parallellströmning + källa i (x,y)=(-a,0) + sänka i (x,y)=(a,0) = Rankine-ovoid

Parallellströmning + dubblett = sfär

θλθψ 222 sinsin21

rUr +−= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 3

31cos

raUvr θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 3

32sin

21

raUv θθ

Kapitel 8Hydrodynamisk massa

(hydrodynamic mass, added mass, virtual mass)

När en kropp accelereras, måste även den omkringliggande fluiden accelereras. Kroppen kommer att upplevas som tyngre.

( )dtUdmmF h+=Σ

Under antagande om potentialströmning:

2212

21 UmdmVKE hrelfluid == ∫

Kapitel 8Hydrodynamisk massa

Exempel, Sfär:

3

3 cosr

Uavrθ

−= 33

2sinr

Uav θθ −=

( ) θθπρ rdrdrdm sin2=

2212

21 UmdmVKE hrelfluid == ∫

222θvvV rrel +=

Integrera:23

32 UaKE fluid ρπ=

332 amh ρπ=

Cylinder: Lamh2ρπ=

Kapitel 8Kapitel 4Kapitel 4Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8Kapitel 8

Kapitel 8 - Värmeöverföring...Kapitel 8 Kap.8, Potentialströmning •Vorticitet (repetition)...

Documents

Transcript of Kapitel 8 - Värmeöverföring...Kapitel 8 Kap.8, Potentialströmning •Vorticitet (repetition)...