Karl-Friedrich Fischer und

Wilfried G�nther

Technische Mechanik, 2. Auflage. Karl-Friedrich Fischer und Wilfried G�nther.� 2013 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. Published 2013 by Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.

Technische Mechanik

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Karl-Friedrich Fischer undWilfried Günther

Technische Mechanik

Zweite, erweiterte Auflage

Autoren

Karl-Friedrich FischerWests�chsische FH ZwickauFakult�t KraftfahrzeugtechnikDr.-Friedrichs-Ring 208056 Zwickau

Wilfried G�ntherWests�chsische FH ZwickauFakult�t KraftfahrzeugtechnikDr.-Friedrichs-Ring 208056 Zwickau

CoverbildKlappbr�cke in Kiel; Foto von Jens Elgner,Heppenheim. Mit freundlicher Genehmigung.

2. Auflage 2013

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Print ISBN: 978-3-527-33381-3

Satz K�hn & Weyh, Satz und Medien, FreiburgDruck und Bindung Betz-Druck, DarmstadtUmschlaggestaltung Formgeber, Mannheim

Gedruckt auf s�urefreiem Papier

V

Vorwort (zur 2. Auflage) XIII

Einf�hrung XV

1 Statik 11.1 Grundbegriffe 11.1.1 Starrer Kçrper 11.1.2 Gleichgewicht 11.1.3 Kraft – Kraftsysteme 21.1.4 Schnittprinzip – Freischneiden 31.2 Ebenes, zentrales Kraftsystem 31.2.1 Zerlegen und Zusammensetzen von Kr�ften 31.2.1.1 Analytisch 31.2.1.2 Grafisch (Krafteckverfahren) 61.2.2 Gleichgewicht 71.2.3 Demonstrationsbeispiel (Wandkran) 71.2.4 Hinweise und Tipps 81.3 Ebenes, allgemeines Kraftsystem 91.3.1 Kr�ftepaar und Moment 91.3.1.1 Kr�ftepaar 91.3.1.2 Moment einer Kraft in Bezug auf eine Achse 101.3.1.3 Versetzungs-/Verschiebungsmoment 121.3.2 Ermittlung der Resultierenden 131.3.2.1 Analytisch 131.3.2.2 Grafisch (zur Information) 151.3.3 Gleichgewicht 171.3.4 Demonstrationsbeispiel 171.3.5 Hinweise und Tipps 191.4 Schwerpunktsberechnung 201.4.1 Definition, Kçrper- und Volumenschwerpunkt 201.4.2 Fl�chenschwerpunkt 211.4.3 Linienschwerpunkt 21

Contents

Technische Mechanik, 2. Auflage. Karl-Friedrich Fischer und Wilfried G�nther.� 2013 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. Published 2013 by Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.

VI

1.4.4 Fl�chenschwerpunkt zusammengesetzter Fl�chen –Demonstrationsbeispiel 22

1.4.5 Hinweise und Tipps 241.5 Ebene Tragwerke 241.5.1 Modelle – Grundformen des starren Kçrpers 251.5.2 Modelle von Lager- und Verbindungsarten 261.5.3 Modelle der Belastung 281.5.4 Auflagerreaktionen einfacher Tragwerke 301.5.5 Zusammengesetzte Tragwerke 311.5.5.1 Tragwerksarten (Auswahl) 311.5.5.2 Statische Bestimmtheit 321.5.5.3 Auflager- und Verbindungsreaktionen zusammengesetzter

Tragwerke 331.5.6 Hinweise und Tipps 351.6 Schnittreaktionen 361.6.1 Grundbegriffe 361.6.2 Ermittlung von Schnittreaktionen in Tragwerken 381.6.3 Zusammenhang zwischen Querkraft und Schnittmoment 411.6.4 Schnittreaktionen im Kreisbogentr�ger – Demonstrationsbeispiel 421.6.5 Hinweise und Tipps 451.7 Haftung und Reibung (Reibungslehre) 471.7.1 Einf�hrung 471.7.1.1 Haftreibungsproblem 481.7.1.2 Gleitreibungsproblem 481.7.2 Lçsung von Reibungsaufgaben bei Haft- und Gleitreibung 501.7.3 Reibung in F�hrungen und Gewinden 541.7.3.1 Reibung in F�hrungen 541.7.3.2 Reibung in Gewinden 551.7.4 Seilreibung 571.7.5 Rollreibung 601.7.6 Hinweise und Tipps 611.8 Ebene Fachwerke 611.8.1 Begriff und statische Bestimmtheit 611.8.2 Ermittlung der Stabkr�fte 621.8.3 Seil unter Eigengewicht 641.8.4 Ausblick und Hinweise 681.9 R�umliches Kraftsystem – Raumstatik 691.9.1 Kraft, Moment, Gleichgewichtsbedingungen 691.9.2 Auflagerreaktionen einfacher Tragwerke 701.9.3 Ermittlung von Schnittreaktionen 741.9.4 Hinweise und Tipps 801.10 Zusammenfassung 80

Contents

VII

2 Festigkeitslehre 832.1 Mathematischer Vorspann – Fl�chenmomente n-ter Ordnung 832.1.1 Definition 832.1.2 Berechnung von Fl�chentr�gheitsmomenten einzelner Fl�chen 852.1.3 Transformation von FTM zwischen parallelen Koordinatensystemen 882.1.4 Ermittlung von FTM zusammengesetzter Fl�chen 892.1.5 FTM bei Drehung des Koordinatensystems 912.1.6 Haupttr�gheitsachsen und Haupttr�gheitsmomente 922.1.7 Hinweise und Tipps 942.2 Grundlagen der Festigkeitslehre 952.2.1 Einf�hrung 952.2.2 Beanspruchungsarten und Lastf�lle 962.2.3 Spannungsbegriff – Spannungszustand 982.2.3.1 Vorbetrachtung 982.2.3.2 Definition der Spannung 982.2.3.3 Einachsiger Spannungszustand 992.2.3.4 Spannungszustand reiner Schub 1032.2.3.5 �berlagerung der Spannungszust�nde 1042.2.4 Form�nderungen – Verzerrungszustand 1052.2.4.1 Vorbetrachtung 1052.2.4.2 Verschiebungen und Verzerrungen 1062.2.4.3 Ebener Verzerrungszustand 1072.2.5 Werkstoffverhalten – Stoffgesetz 1102.2.5.1 Zugversuch – Hooke’sches Gesetz 1102.2.5.2 Thermische Dehnung – Temperaturspannungen 1132.2.5.3 Ausblick 1152.2.6 Form�nderungsarbeit 1162.2.7 Grundaufgaben der Festigkeitslehre 1172.3 Zug-Druck-Beanspruchung 1192.3.1 Zug-Druck-Spannung 1192.3.2 Form�nderung 1212.3.2.1 Form�nderungsberechnung 1212.3.2.2 Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke 1232.3.3 Fl�chenpressung und Lochleibung 1252.3.4 Form�nderungsenergie 1252.3.5 Hinweise und Tipps 1262.4 Abscherbeanspruchung 1272.4.1 Beispiele 1272.4.2 Ermittlung der Abscherspannung 1272.5 Biegebeanspruchung – Biegung 1282.5.1 Voraussetzungen 1282.5.2 Spannungsberechnung bei gerader Biegung 1292.5.3 Spannungsberechnung bei schiefer Biegung 1342.5.4 Form�nderung bei Biegung 1362.5.4.1 Voraussetzungen 136

Contents

2.5.4.2 Differentialgleichung der elastischen Linie 1362.5.4.3 �berlagerungsverfahren 1442.5.5 Erg�nzungen 1462.5.5.1 Tr�ger aus inhomogenem Werkstoff – Schichtbalken 1462.5.5.2 Ausblick 1482.5.6 Form�nderungsenergie 1502.5.7 Hinweise und Tipps 1502.6 Torsionsbeanspruchung – Torsion 1522.6.1 Torsion von Kreis- oder Kreisringquerschnitten 1522.6.1.1 Voraussetzungen 1522.6.1.2 Spannungsberechnung 1542.6.1.3 Form�nderungsberechnung 1552.6.1.4 Statische Unbestimmtheit bei Torsion 1552.6.1.5 Form�nderungsenergie 1562.6.2 Torsion von nichtkreisfçrmigen Vollquerschnitten (Einblick) 1562.6.3 Torsion d�nnwandiger Profile 1592.6.3.1 D�nnwandig, geschlossene Profile 1592.6.3.2 D�nnwandig, offene Profile 1622.6.3.3 Vergleich zwischen d�nnwandig geschlossenen und offenen

Profilen 1642.6.4 Form�nderungsenergie 1652.6.5 Hinweise und Tipps 1652.7 Querkraftschub 1662.7.1 Voraussetzungen 1672.7.2 Einfach zusammenh�ngende Vollquerschnitte 1672.7.2.1 Spannungsberechnung 1682.7.2.2 Form�nderung und Form�nderungsenergie 1702.7.2.3 Demonstrationsbeispiel 1702.7.3 Querkraftschubbeanspruchung d�nnwandiger Profile 1722.7.3.1 Vorbemerkungen 1722.7.3.2 D�nnwandig, geschlossene Profile 1722.7.3.3 D�nnwandig, offene Profile 1732.7.3.4 Demonstrationsbeispiel 1742.7.3.5 Schubmittelpunkt 1752.7.4 Hinweise und Tipps 1772.8 Zusammengesetzte Beanspruchung 1792.8.1 Vorbemerkungen 1792.8.2 Zusammengesetzte Normalbeanspruchung 1802.8.3 Zusammengesetzte Normal- und Tangentialbeanspruchung 1822.8.3.1 Vorbemerkungen 1822.8.3.2 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 1832.8.3.3 Anwendung auf die Bewertung von Wellen 1852.8.4 Hinweise und Tipps 1882.9 Energiemethoden 1892.9.1 Vorbemerkungen 189

ContentsVIII

2.9.2 Prinzip der virtuellen Arbeit 1902.9.3 �ußere Arbeit und Einflusszahlen 1922.9.4 S�tze von Castigliano 1942.9.5 Form�nderungsberechnung statisch bestimmter Tragwerke 1962.9.6 Auflager- und Schnittreaktionsermittlung statisch unbestimmter

Tragwerke 1992.9.6.1 Vorbemerkungen 1992.9.6.2 Anwendung des Satzes von Castigliano 1992.9.6.3 Demonstrationsbeispiele 2002.9.7 Hinweise und Tipps 2062.10 Einf�hrung in die Stabilit�tstheorie 2072.10.1 Vorbemerkungen 2072.10.2 Knickung gerader St�be 2082.10.2.1 Elastisches Knicken 2082.10.2.2 Unelastisches Knicken 2132.10.3 Hinweise und Tipps 2142.11 Mehrachsige Spannungszust�nde 2162.11.1 Vorbemerkungen 2162.11.2 D�nnwandige Beh�lter (Membrantheorie) 2192.11.2.1 Voraussetzungen 2192.11.2.2 Spannungsermittlung 2202.11.2.3 Demonstrationsbeispiel 2222.11.2.4 Hinweise und Tipps 2232.11.3 Ebene, rotationssymmetrische Probleme 2242.11.4 Dickwandiges Rohr 2262.11.4.1 Form�nderungs- und Spannungsermittlung 2262.11.4.2 Beispiel 2282.11.5 Rotierende Scheibe 2292.11.5.1 Voraussetzungen 2292.11.5.2 Form�nderungs- und Spannungsermittlung 2292.11.5.3 Beispiele 2322.11.6 Kreisringplatte 2342.11.6.1 Voraussetzungen 2342.11.6.2 Ermittlung der Plattendurchsenkung 2352.11.6.3 Beispiele 2392.11.7 Hinweise und Tipps 2422.12 Erg�nzungen 2442.12.1 Werkstoffmechanik 2442.12.1.1 Vorbemerkungen 2442.12.1.2 Bruchverhalten 2452.12.1.3 Dauerfestigkeit 2472.12.2 Bruchmechanik 2492.12.2.1 Voraussetzungen 2492.12.2.2 Linear-elastische Bruchmechanik 2502.12.2.3 Dauer des stabilen Risswachstums – Lebensdauer 253

Contents IX

2.12.2.4 Ausblick 2542.12.3 Plastizit�tstheorie 2552.12.3.1 Voraussetzungen 2552.12.3.2 Traglastberechnung in Fachwerken 2562.12.3.3 Traglastmoment im Stab unter reiner Biegung 2592.13 Zusammenfassung 260

3 Kinematik 2633.1 Kinematik des Punktes 2633.1.1 Punktbahn 2633.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung 2643.1.3 Geradlinige Bewegung 2653.1.4 Beispiel zur geradlinigen Bewegung 2683.1.5 Ebene Bewegung 2693.1.6 Darstellung der Punktbewegung in anderen Koordinaten 2713.2 Kinematik des starren Kçrpers 2733.2.1 Bewegungsarten des starren Kçrpers 2733.2.2 Kinematik der Rotation um eine feste Achse 2743.2.3 Kinematik der allgemeinen Bewegung 2763.2.4 Ebene Bewegung 2763.2.4.1 �berlagerung von Translation und Rotation 2763.2.4.2 Rotation um den Momentanpol 2783.2.4.3 Demonstrationsbeispiel 2793.2.5 Relativbewegung 2813.3 Hinweise und Zusammenfassung 284

4 Kinetik 2874.1 Kinetik des Massenpunktes 2874.1.1 Kinetisches Grundgesetz 2874.1.2 Kinetostatische Methode 2884.1.3 Arbeits- und Energiesatz 2934.1.4 Impuls- und Drehimpulssatz 2984.1.5 Hinweise und Tipps 3004.2 Kinetik des Massenpunktsystems 3004.2.1 Schwerpunktsatz 3014.2.2 Arbeits- und Energiesatz 3034.2.3 Impuls- und Drehimpulssatz 3054.3 Rotation eines starren Kçrpers um eine feste Achse 3084.3.1 Kinetisches Grundgesetz 3084.3.2 Axiale Massentr�gheitsmomente 3094.3.3 Deviationsmomente, Hauptachsen, Haupttr�gheitsmomente 3124.3.4 Arbeits- und Energiesatz 3144.3.5 Drehimpulssatz 3154.3.6 Gegen�berstellung wichtiger Grçßen bei Translation und Rotation 3194.3.7 Demonstrationsbeispiel 320

ContentsX

4.3.8 Hinweise und Tipps 3234.4 Ebene Bewegung eines starren Kçrpers 3244.4.1 Kinetostatische Methode 3244.4.2 Arbeits- und Energiesatz 3274.4.3 Impuls- und Drehimpulssatz 3294.5 Ebene Bewegung eines Systems starrer Kçrper 3304.5.1 Zwangsbedingungen 3304.5.2 Kinetostatische Methode 3324.5.3 Arbeitssatz 3344.5.4 Hinweise und Tipps 3374.6 Stoßprobleme 3384.6.1 Grundbegriffe, Voraussetzungen 3384.6.2 Gerader zentrischer Stoß 3394.6.3 Gerader exzentrischer Stoß 3424.6.4 Drehstoß 3444.7 Mechanische Schwingungen 3454.7.1 Grundbegriffe 3464.7.2 Freie unged�mpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 3484.7.2.1 Schwingungsmodelle 3484.7.2.2 Bewegungsgleichung 3484.7.2.3 Lçsung der Bewegungsgleichung 3504.7.2.4 Schwingungssysteme mit mehreren Federn 3514.7.3 Freie ged�mpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 3534.7.3.1 D�mpfungsarten 3544.7.3.2 Bewegungsgleichung 3544.7.3.3 Lçsungen der Bewegungsgleichung 3554.7.4 Erzwungene ged�mpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 3584.7.4.1 Bewegungsgleichungen f�r verschiedene Erregerarten eines

L�ngsschwingers 3584.7.4.2 Lçsung der Bewegungsgleichung 3604.7.5 Beispiele 3634.7.6 Hinweise und Tipps 3674.8 Zusammenfassung 368

5 Numerische Methoden 3715.1 Einf�hrende Hinweise 3715.2 Von der Berechnungsformel zum Algorithmus – Beispiele 3715.2.1 Ermittlung des Schwerpunktes und der Fl�chentr�gheitsmomente

zusammengesetzter Fl�chen 3715.2.2 Schnittreaktionen im Stab 3745.2.3 Form�nderung bei Biegung 3765.3 �berblick zu Simulationsverfahren 3775.3.1 �bertragungsmatrizenverfahren 3785.3.2 Finite-Element-Methode 3805.3.2.1 Vorbemerkungen 380

Contents XI

5.3.2.2 Grundidee der FEM 3805.3.2.3 Demonstrationsbeispiel 3845.3.2.4 Anwendungsspektrum 3865.3.3 Randelementmethode 3875.3.4 Simulation von Mehrkçrpersystemen 3885.4 Zusammenfassung 389

Anhang 391Ausgew�hlte Werkstoffkennwerte 391Haft- und Gleitreibungskoeffizienten (Auswahl) 391Elastizit�tsmodul E, Schubmodul G und linearer thermischerAusdehnungskoeffizient ath ausgew�hlter Werkstoffe 392

Erg�nzende Literatur 393Lehrb�cher und Aufgabensammlungen zur Technischen Mechanik(Auswahl) 395Tabellen- und Taschenb�cher (Auswahl) 393

Sachwçrterverzeichnis 395

ContentsXII

XIII

Warum kann man im Gegensatz zum vierf�ßigen ein dreif�ßiges Maschinen-gestell stets ohne „kippeln“ auf eine ebene starre Unterlage stellen, wieso benutztman sehr h�ufig Querschnitte von querbelasteten Tr�gern in Form eines Doppel-T (I-Profil), warum versucht man schroffe Querschnitts�nderungen in hochbean-spruchten Wellen zu vermeiden, wie kann man die Form�nderung von Trag-werksteilen im Betriebszustand vorausberechnen, wie erreicht man mittelsWerkstoffauswahl und Geometrieoptimierung, dass Triebwerksteile eines PKWeine Lebensdauer von mindestens 3000 Betriebsstunden aufweisen, warum undin welchen Drehzahlbereichen treten beim Anfahren einer Maschine deutlich ver-st�rkte Schwingungen auf?

Dies sind nur wenige, aber typische Fragen aus dem breiten Spektrum, demder Ingenieur in seiner T�tigkeit als Konstrukteur, aber auch Werkstoffmechani-ker und vor allem Berechnungsingenieur begegnet.

Befriedigende Antworten auf derartige Fragen, die oftmals mitentscheidendf�r die Konkurrenzf�higkeit eines Produktes sein kçnnen, lassen sich vor allemmit Hilfe der Kenntnisse und Methoden der Wissenschaftsdisziplin TechnischeMechanik geben. Als „flankierende Partner“ bençtigen wir die Konstruktions-lehre, die Thermodynamik, die Strçmungsmechanik und vor allem die Werkstoff-wissenschaft/Werkstoffpr�fung.

Letztendlich geht es darum, anhand geeigneter Modelle der Bauteile und Kon-struktionen, d. h. Modelle der Geometrie, der Belastung, des Werkstoffes und derUmgebungsbedingungen, eine Bewertung derselben hinsichtlich ihrer Festigkeit,Lebensdauer, Zuverl�ssigkeit und ihres Verformungs- und Schwingungsverhal-tens vorzunehmen.

Damit ist die effektive Vermittlung derartiger anwendbarer Kenntnisse im Stu-dium des Ingenieurwesens an Hochschulen und Universit�ten ein unverzicht-bares „Muss“.

Dar�ber hinaus hat sich mit der Entwicklung, Verbreitung und Anwendungvon Software der computergest�tzten Konstruktion ein Zustand eingestellt, demseitens der Lehre durch die Verschiebung einiger Gewichte in der Stoffvermitt-lung entsprochen wird.

Der Inhalt des vorliegenden Lehrbuches ist vorwiegend auf den Anwender derTechnischen Mechanik und ihrer Methoden zugeschnitten. Dieser wird vor allem

Vorwort (zur 2. Auflage)

Technische Mechanik, 2. Auflage. Karl-Friedrich Fischer und Wilfried G�nther.� 2013 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. Published 2013 by Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.

XIV

bef�higt, anhand soliden Grundwissens die Maxime aller Bauteilbewertung „sogenau wie nçtig, so einfach wie mçglich“ zu befolgen.

Dies gelingt umso besser, je eher das Computerprogramm und dessen Ergeb-nisse als ein effektives Werkzeug zur Bauteilbewertung angesehen werden, ohnedass der wesentliche Schritt der Absch�tzung und Sinnf�lligkeit dieser Resultatedurch den Ingenieur mit dem eigenen „Know-how“ und herkçmmlichen Metho-den vergessen wird. Folgerichtig widmet sich dieses Lehrbuch auch dem Spagatzwischen den Lçsungswegen der traditionellen Technischen Mechanik und denMçglichkeiten der Anwendung numerischer Methoden der Festkçrpermechanik.

Der alleinige Besitz des Lehrbuches verb�rgt leider bis dato noch nicht dieBeherrschung des Inhalts, sondern auch hier gilt die Regel beim Studium „10 %Inspiration und 90 % Transpiration“.

Zum Schluss danken wir dem Wiley-VCH Verlag Weinheim, insbesondereHerrn Dr. Martin Preuß, Frau Dr. Waltraud W�st und Herrn Hans-jochenSchmitt, f�r die vertrauensvolle und partnerschaftliche Zusammenarbeit bei derHerstellung der zweiten Auflage dieses Lehrbuches.

Zwickau, im Fr�hjahr 2013 Die Autoren

Vorwort (zur 2. Auflage)

XV

Ungeachtet der angenehmen Seiten des studentischen Daseins m�sste der ange-hende Ingenieur im Hinblick auf die im sp�teren Berufsleben an ihn gestelltenAnforderungen bem�ht sein, sein Studium effektiv und effizient zu organisierenund zu absolvieren.

Hat man sich vorgenommen Ingenieur zu werden, also nach einem erfolgrei-chen universit�ren oder Fachhochschul-Studium den akademischen GradDiplom-Ingenieur, Bachelor of Engineering oder Master of Engineering desMaschinen- und/oder Kraftfahrzeugbaus zu erwerben, dann sollte der Weg zumVordiplom bzw. zum ersten Praktikumssemester zielstrebig und in der gegebe-nen K�rze erfolgreich durchlaufen werden.

Ein wichtiger Dreh- und Angelpunkt der Ausbildung (und sp�teren Praxis) istdas Fach Technische Mechanik (TM). In Abh�ngigkeit des gew�hlten Studien-ganges ist dieses im Allgemeinen �ber mehrere Semester in aufeinander auf-bauende Pflichtmodule gegliedert. Studentenzeitungen, Studieninformationenf�r erstsemestrige Studenten, wie sie von verschiedenen Fachschaften verbreitetwerden, entnimmt man oftmals den dezenten Hinweis „steht TM am Stunden-plan, f�ngt schon das Dilemma an“. Nachrichten �ber hohe Durchfallquoten inden obligaten Pr�fungen, �berf�llte Hçrs�le und �berbelegte �bungen, Semi-nare und Praktika tun ein �briges, dem Fach TM mit seiner eigentlich „zeitlosenSchçnheit und Praxisn�he“ den Mantel einer Angstdisziplin �berzust�lpen.

Nun w�re es vermessen, mit einem Lehrbuch allein zu versuchen, dieses etwasangekratzte Image vollst�ndig zu korrigieren. Aber vielleicht gelingt es mit dennachfolgenden Ausf�hrungen, den wesentlichen Inhalt der TechnischenMechanik so zu vermitteln, dass an Stelle des Attributes „schwierig“ schließlichdas Motto „anspruchsvoll, aber erlernbar und notwendig“ gesetzt werden kann.

Die G�ltigkeit des Letzteren beweisen vor allem die zahllosen Absolventen derHochschulen, die Kenntnisse und Methoden der Technischen Mechanik erfol-greich und zu unser aller Nutzen anwenden.

Einf�hrung

Technische Mechanik, 2. Auflage. Karl-Friedrich Fischer und Wilfried G�nther.� 2013 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. Published 2013 by Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.

XVI Einf�hrung

Zun�chst wollen wir uns mit dem Begriff Technische Mechanik etwas n�herbefassen. Die Aufgabe der Mechanik als �ltestes Teilgebiet der Physik l�sst sichwie folgt umreißen:

Die Aufgabe der Mechanik ist die Untersuchung der in der Natur und Technikvorkommenden Bewegungen von Kçrpern, Fl�ssigkeiten und Gasen und derenmathematische Beschreibung.

Die Mechanik l�sst sich folglich grob in zwei große Teilgebiete gliedern:

Die Technische Mechanik ist innerhalb der Mechanik fester Kçrper die Wis-senschaftsdisziplin von der �nderung des

. Bewegungszustandes,

. Formzustandes und

. Beanspruchungs-/Spannungszustandes

technischer Gebilde (tragender Konstruktionen, Bauteile).Den Grenzf�llen der Bewegung „Ruhe“ bzw. gleichfçrmige Bewegung kommt

dabei große Bedeutung zu.Letztendlich geht es zumeist darum, tragende Konstruktionen und Bauteile

hinsichtlich ihrer

. Bewegung (z. B. Schwingung) und Form�nderung,

. Festigkeit,

. Lebensdauer (Nutzungsdauer) und

. Zuverl�ssigkeit (im statistischen Sinne),

zu bewerten.Diese Bewertung erfolgt sowohl an bereits existierenden als auch an solchen

Bauteilen, die sich im Entwurfsstadium befinden.Es gelingt jedoch mittels analytischer und numerischer Methoden nicht, derartige

Aussagen �ber den Zustand am konkreten Bauteil zu machen. Vielmehr ist esnotwendig, ein zumindest gedankliches Modell des Bauteiles zu schaffen, an demdie notwendigen Untersuchungen durchgef�hrt werden. Die daraus resultierendeVorgehensweise l�sst sich �bersichtlich im nachfolgenden Schema veranschau-lichen.

XVIIEinf�hrung

F�r die Modellierung gilt der Grundsatz: So einfach wie mçglich, so genau wiençtig.

(Sie werden noch feststellen, dass sich diese Leitregel einfacher erlernen alskonsequent umsetzen l�sst.)

Obwohl die Methoden der experimentellen Mechanik nicht Gegenstand desBuches sind, wird auf folgenden Umstand hingewiesen. Die Anwendung derexperimentellen Mechanik am Bauteil oder entsprechenden physischen Modellenerweist sich vor allem dann als notwendig, wenn das noch weitgehend unbe-kannte Belastungsmodell geschaffen werden muss (sog. Lastannahmen) undwenn die Ergebnisse der analytischen und numerischen Untersuchungen zuZweifel Anlass geben. Grunds�tzlich sollte bei allen hochbeanspruchten Bautei-len, die z. T. auch in großer St�ckzahl gefertigt werden und die einem hohensicherheitstechnischen Standard gen�gen m�ssen, experimentelle Bauteilunter-suchungen durchgef�hrt werden, was auch vielfach in entsprechenden Regelwer-ken festgelegt ist.

Dar�ber hinaus dienen experimentelle Methoden in Verbindung mit der Werk-stoffpr�fung der Ermittlung der f�r viele Rechnungen notwendigen Werkstoff-kennwerte wie Elastizit�tsmodul, Querkontraktionszahl, thermischer Ausdeh-nungskoeffizient, Streckgrenze, Bruchfestigkeit, Dauerfestigkeit, Bruchz�higkeitusw.

Um den erforderlichen Ablauf insgesamt bew�ltigen zu kçnnen, sind an-spruchsvolle, aber �bersichtliche und erlernbare Kenntnisse und Methoden not-wendig. Betreffs Ihrer Vorkenntnisse wird neben der Physik vor allem auf dieMathematik zur�ckgegriffen. Sollten sie L�cken auf den Gebieten Vektoralgebra,lineare Algebra (Gleichungslehre) und Grundlagen der Differential- und Integral-rechnung haben, dann sollten Sie diese schnellstmçglich schließen.

Der entsprechende Lehrinhalt der Technischen Mechanik wird in vielen Dar-stellungen – und auch hier – nach den folgenden Schwerpunkten abschnittsweisegegliedert:

. Statik (einschließlich Haftung und Reibung)

. Festigkeitslehre (Elastostatik)

. Kinematik

. Kinetik

. Numerische Methoden

Bevor wir mit der Abhandlung der Statik beginnen, erweist es sich als sinnvoll,die nach Isaac Newton benannten Axiome voranzustellen. Axiome sind bekannt-lich durch die Erfahrung best�tigte Gesetze. Die Darstellung erfolgt zugeschnit-ten auf die Belange der Technischen Mechanik und aus heutiger Sicht:

1. Axiom (Tr�gheitsgesetz)

Jeder Kçrper verharrt im Zustand der Ruhe bzw. der gleichfçrmigenBewegung, solange keine �ußere resultierende Belastung einwirkt.

2. Axiom (kinetische Grundgesetze)

Wirkt eine �ußere resultierende Belastung auf einen Kçrper ein, dann �ndertsich seine Bewegungsgrçße.

3. Axiom (Wechselwirkungsgesetz)

Bei der mechanischen Wechselwirkung zwischen zwei Kçrpern sind Wirkungund Gegenwirkung vom Betrag gleich und in der Richtung entgegengesetzt(lat.: actio est reactio).

Zus�tzlich bençtigen wir das Superpositionsprinzip, den sog. Parallelogramm-Satz (nach Simon Stevin):

Mechanische Wirkungen addieren sich jeweils wie Vektoren.

Einf�hrungXVIII

1

1Statik

Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kr�fte am ruhenden starren Kçrperbzw. an Teilen davon.

1.1Grundbegriffe

Die in der Begriffserkl�rung der Statik enthaltenen Grundbegriffe werden nach-folgend erl�utert.

1.1.1Starrer Kçrper

Starrer Kçrper ist ein f�r die weiteren Betrachtungen notwendiger Abstraktions-begriff:

Starr bezeichnet man einen Kçrper, der unter Einwirkung von Kr�ften seine Formnicht �ndert.

Bei technischen Gebilden ist dies nur n�herungsweise erf�llt.

1.1.2Gleichgewicht

Als Gleichgewicht bezeichnet man die Unver�nderlichkeit (Invarianz) des Bewe-gungszustandes bzw. den Zustand eines Kçrpers, bei dem die Bedingung gleich-fçrmige Bewegung oder Ruhe erf�llt ist.Allgemeine Gleichgewichtsbedingungen:

Die mçglichen Verschiebungen und Verdrehungen des starren Kçrpers m�ssenso unterbunden werden, damit sich der Bewegungszustand nicht �ndert.

Die mçglichen Verschiebungen und Verdrehungen des starren Kçrpers nenntman Freiheitsgrade. Der starre Kçrper besitzt in der Ebene drei Freiheitsgrade(zwei Verschiebungen in senkrecht zueinander stehenden Richtungen, eine Ver-

Technische Mechanik, 2. Auflage. Karl-Friedrich Fischer und Wilfried G�nther.� 2013 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. Published 2013 by Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.

drehung um eine Achse senkrecht zur Ebene) und im Raum sechs Freiheitsgrade(drei Verschiebungen in Richtung dreier senkrecht aufeinander stehender Achsenund drei Verdrehungen jeweils um diese Achsen).

1.1.3Kraft – Kraftsysteme

Als Kraft bzw. Einzelkraft bezeichnet man eine Wechselwirkung zwischen Kçr-pern, durch die �nderungen des mechanischen Zustandes der Kçrper verursachtwerden (Bewegung, Form, Spannung). Die Wirkung erfolgt geradlinig. Die ent-sprechende Gerade nennt man Wirkungslinie (WL) der Kraft. Offensichtlich be-nçtigen wir zur eindeutigen Erfassung der Kraft sowohl ihren Betrag als auchdie Richtung. Damit ist die Kraft mathematisch als Vektor beschreibbar.Der Anfangspunkt des Kraftvektors heißt Kraftangriffspunkt. Entsprechend dem2. Newton’schen Axiom ist die Kraft mit der Beschleunigung des massebehafte-ten Kçrpers verkn�pft. F�r einen ruhenden Kçrper ergibt sich dessen Kraftwir-kung (das Gewicht bzw. Gewichtskraft) aus dem Produkt von Erdbeschleunigung(g » 9,81 m s–2) und seiner Masse (der sog. schweren Masse). Danach besitzt dieKraft die koh�rente Maßeinheit 1 Newton= 1 N := 1 kg m s–2.

Aus der Erfahrung weiß man, dass der Kraftangriffspunkt beliebig auf der Wir-kungslinie gew�hlt werden kann:

Axiom: Die Kraft ist ein linienfl�chtiger Vektor.

Zur Beschreibung der Bestimmungsgrçßeneiner Kraft betrachten wir die nebenstehendeSkizze. Durch den Ursprung eines r�umli-chen kartesischen Koordinatensystems ver-l�uft die WL einer Kraft. Als Kraftangriffs-punkt wird der Ursprung gew�hlt. Den Koor-dinaten ordnen wir die Einheitsvektoren (d. h.,Richtungsvektoren vom Betrag 1) zu. Nun-mehr kann man den Kraftvektor durch seineKomponenten in Richtung der Koordinatenach-sen darstellen:

Kraftvektor: ~F ¼ ~Fx þ~Fyþ~Fz

Komponenten: ~Fx ¼ Fx �~ex ; ~Fy ¼ Fy �~ey ; ~Fz ¼ Fz �~ez

~ex;~ey;~ez Einheitsvektoren, Fx ; Fy ; Fz sind die Betr�ge der Komponenten.

Betrag: j~Fj ¼ F ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F2x þF2

y þ F2z

q

.

1 Statik2

Die Winkel a; b; c zwischendem Kraftpfeil und den Achsendienen zur Beschreibung derRichtung.

Es gibt eine Reihe von Mçglich-keiten zur Einteilung der Kr�fte.Wir ordnen hier nach ihrem Wir-kungsort:

Kr�fte, die keine Reaktions-kr�fte im Sinne der Statik sind,bezeichnen wir als eingepr�gteKr�fte. Dies sind z. B. dieGewichtskraft und Belastungen.

Auf ein technisches Gebilde bzw. auf das entsprechende Modell, den starrenKçrper, wirken im Allgemeinen mehrere Kr�fte ein. Man fasst diese als Kraftsys-teme (oder auch Kr�ftegruppen) zusammen. Die Statik wird im Wesentlichennach der Struktur der auftretenden Kraftsysteme geordnet.

In Abh�ngigkeit davon, ob die zum Kraftsystem gehçrenden Kr�fte einegemeinsame Wirkungsebene besitzen oder nicht, unterscheidet man ebene undr�umliche Kraftsysteme.

Als zentral bezeichnen wir ein Kraftsystem dann, wenn die WL der Kr�fte einengemeinsamen Schnittpunkt besitzen.

1.1.4Schnittprinzip – Freischneiden

Als Freischneiden bezeichnet man das gedankliche Zerlegen der Systeme oder aucheinzelner starrer Kçrper in Einzelkçrper bzw. Teile davon. Dies erfolgt anschau-lich durch das gedankliche Umfahren der betreffenden Kçrper durch jeweilsgeschlossene Schnittfl�chen (im Raum) und Schnittlinien (in der Ebene).

An den Schnittstellen werden dann entsprechend dem 3. Newton’schen Axiomdie paarweisen Reaktionskr�fte frei. Diese besitzen an den je Schnittstelle neuentstandenen zwei Schnittufern jeweils die gleiche Wirkungslinie, den gleichenBetrag und entgegengesetzte Richtung.

1.1 Grundbegriffe 3

1 Statik

(Die Grundidee wurde �brigens bereits Mitte des 18. Jahrhunderts vom Schwei-zer Mathematiker Leonhard Euler entwickelt; ein Name, der uns noch an vielenStellen der Technischen Mechanik begegnen wird.) Ein Beispiel f�r das Frei-schneiden in der Ebene zeigt das nachstehende Bild.

Unter dem Leitspruch „vomEinfachen zum Schwierigen“,wollen wir nunmehr die me-chanischen Gesetzm�ßigkei-ten in Kraftsystemen kennen-lernen. Dementsprechendfolgt zun�chst das ebene,zentrale Kraftsystem.

1.2Ebenes, zentrales Kraftsystem

Ein ebenes, zentrales Kraftsystem liegt dann vor, wenn die Wirkungslinien derKr�fte eine gemeinsame Ebene aufspannen und einen gemeinsamen Schnitt-punkt besitzen. Wir legen in die Wirkungsebene ein kartesisches Koordinatensys-tem x, y.

1.2.1Zerlegen und Zusammensetzen von Kr�ften

Die zum Kraftsystem gehçrenden Kr�fte �ben eine Gesamtwirkung oder auch re-sultierende Wirkung auf den starren Kçrper aus. Um dies beschreiben zu kçn-nen, ist es zun�chst notwendig, zu untersuchen, wie eine Kraft in ihre Kompo-nenten zerlegt wird und umgekehrt, wie mehrere Kr�fte zu einer Kraft zusam-mengesetzt (addiert) werden. Im Weiteren bezeichnen wir den Kraftvektor mit ~Fund seinen Betrag mit F.

1.2.1.1 AnalytischWir zerlegen eine Kraft in ihre recht-winkligen Komponenten, d. h., wir er-mitteln analytisch die Betr�ge derKomponenten des Kraftvektors. DerKraftangriffspunkt liegt im Koordina-tenursprung.

geg.: F; a ist der Winkel zwischen derAbszisse und dem Kraftvektor.

ges.: Fx;Fy

Lçsung:

4

1.2 Ebenes, zentrales Kraftsystem

Die Projektion des Kraftvektors auf die beiden Koordinatenachsen liefert jeweilsdie Komponenten. Auf Grund des entstehenden rechtwinkligen Dreieckes aus F(Hypothenuse), Fx (Ankathete) und Fy (Gegenkathete) gelten nachfolgende trigo-nometrischen Beziehungen:

sin a ¼ Fy

F; cos a ¼ Fx

F:

Damit kann man die Betr�ge der Komponenten angeben:

Fx ¼ F cos a;Fy ¼ F sin a:

�

(1.1)

Benutzen wir zur Beschreibung der Komponenten (Katheten) dagegen denKomplement�rwinkel b, dann gelten die nachfolgenden Beziehungen:

Fx ¼ F � sin b ; Fy ¼ F � cos b ; b ¼ 90� � a:

Wir untersuchen das Zusammensetzen von Kr�ften. Dabei ist der Lçsungswegdurch die Nutzung des Superpositionsprinzips (oder auch Parallelogrammsatz)bereits vorgegeben. Auf unser Problem angewendet heißt dies: Kr�fte addierensich wie Vektoren. Die Vektorsumme von Kr�ften heißt resultierende Kraft oderauch nur Resultierende. Ihre Wirkung auf den starren Kçrper ist gleich derSumme der Einzelwirkungen der Kr�fte. Diese Gleichheit von resultierender Wir-kung und der Summe der Einzelwirkungen bezeichnet man als statische �quiva-lenz. Der �bersichtlichkeit wegen addieren wir zun�chst zwei Kr�fte, vgl. unten-stehendes Bild:

geg.: F1; a1; F2; a2

ges.: FR ; aR (resultierende Kraft nachBetrag, Richtung)Lçsung:

Die Resultierende ergibt sich alsVektorsumme der beiden Kr�fte:

~FR ¼ ~F1 þ~F2

Nunmehr zerlegt man die beidenKr�fte in ihre Komponenten, setzt inobige Gleichung ein und fasst in denbeiden Koordinatenrichtungen zusam-men:

~FR ¼ ðF1x þ F2xÞ �~ex þ ðF1y þ F2yÞ �~ey :

Dies entspricht aber genau der Komponentendarstellung der Resultierenden:

~FR ¼ FRx �~ex þFRy �~ey :

5

1 Statik

Damit lauten die beiden Komponenten der Resultierenden:

FRx ¼ F1x þ F2x; FRy ¼ F1y þ F2y :

FR, FRx, FRy bilden wiederum ein rechtwinkliges Dreieck. Folglich kann manden Betrag der Resultierenden und den Tangens ihres Neigungswinkels angeben:

j~FR j ¼ FR ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

FRx2þFRy

2q

; tan aR ¼FRy

FRx

:

Nunmehr kçnnen wir eine Verallgemeinerung f�r n Kr�fte durchf�hren:Komponenten:

FRx ¼P

n

i¼1Fix ¼

P

n

i¼1Fi � cos ai; FRy ¼

P

n

i¼1Fiy ¼

P

n

i¼1Fi � sin ai

Betrag und Richtung (Winkel aR zwischen WL und Abszisse):

FR ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

FRx2þ FRy

2p

; tan aR ¼FRy

FRx

:

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

ð1:2Þ

1.2.1.2 Grafisch (Krafteckverfahren)Dem Verfahren liegt wiederum das Superpositionsprinzip zugrunde. Dazu wer-den die Kr�fte unter Wahl eines geeigneten Kr�ftemaßstabes (Verh�ltnis derKrafteinheit zur L�ngeneinheit) in einem Lageplan (LP) in ihrer wahren Lage dar-gestellt. Nunmehr f�hrt man im Kr�fteplan (KP) grafisch die vektorielle Additionder einzelnen Kr�fte durch. Dabei w�hlt man zun�chst beliebig zwei Kr�fte ausund ermittelt ihre Resultierende als Diagonale im dazugehçrigen Kr�fteparallelo-gramm. Diese addiert man mit einer weiteren Kraft zu einer neuen Resultieren-den usw. Aus dem so entstehenden (und un�bersichtlichen) Kr�fteplan geht her-vor, dass man die Resultierende aller Kr�fte einfacher erh�lt, indem die Kr�fte inbeliebiger Reihenfolge unter Beachtung der Richtung aneinandergef�gt werden.In diesem Krafteck entspricht der Vektor vom Anfangspunkt der ersten zum End-punkt der letzten Kraft dem Vektor der Resultierenden. Betrag und Neigungswin-kel kçnnen im KP abgelesen werden. Wir zeigen das Verfahren exemplarisch f�rdrei Kr�fte.

geg.: Fi; ai

ges.: FR; aR

Lçsung:

6

1.2 Ebenes, zentrales Kraftsystem

1.2.2Gleichgewicht

Der Bewegungszustand �ndert sich dann nicht, wenn der gemeinsame Schnitt-punkt der Wirkungslinien aller angreifenden Kr�fte nicht verschoben wird. Diesist aber nur der Fall, wenn keine Resultierende auftritt. Somit kann man formu-lieren:

Ein ebenes, zentrales KS mit n Kr�ften befindet sich im Gleichgewicht, wenn

~FR ¼~0 bzw. in Komponenten:P

n

i¼1Fix ¼ 0 ;

P

n

i¼1Fiy ¼ 0 : (1.3)

Voraussetzung ist lediglich, dass gilt: x? y. Das heißt aber auch, man kanndiese Kr�ftebilanzen in zwei beliebigen Richtungen aufstellen, die einen rechtenWinkel miteinander bilden. Die Gln. (1.3) nennt man die analytischen Gleichge-wichtsbedingungen (GGB).

Grafisch erh�lt man im Gleichgewichtsfall im KP ein geschlossenes Krafteck, daFR = 0.

1.2.3Demonstrationsbeispiel (Wandkran)

Ein Wandkran besteht aus zwei geraden, gelenkig gelagerten St�ben, die in einemGelenk reibungsfrei miteinander verbunden sind. (Das geometrische Modell desStabes wird im Abschnitt 1.5.1 erl�utert). Ein durch eine Masse belastetes Seilwird �ber eine Umlenkrolle (feste Rolle) gef�hrt. Der Rollenradius R ist vernach-l�ssigbar klein.

geg.: Masse m, Erdbe-schleunigung g, a

ges.: Kr�fte, die die St�be 1und 2 �bertragen m�ssen,d. h. die Stabkr�fte (analy-tisch)Lçsung (typische Lç-sungsschritte einer Statik-aufgabe):Freischneiden (vgl. Abschnitt1.1.4):

Die Schnittlinie trennt(gedanklich) die St�be 1 und2 sowie an zwei Stellen dasSeil. Dabei wird jeweils diedurch das Seil zu �bertra-gende Gewichtskraft FG frei.Die Pfeilrichtungen der Stab-kr�fte (und auch anderer

7

1 Statik

noch unbekannter Kr�fte) sind prinzipiell frei w�hlbar. Vielfach ist es �blich, sie vomKnoten wegweisend anzuzeichnen. Das heißt, man nimmt an, dass sie im Stab alsZugkr�fte wirken. Ob dies tats�chlich so ist, erkennt man aus dem Vorzeichen derLçsung, s. u. Aus der oberen rechten Skizze ist sofort ersichtlich, dass durch das Frei-schneiden des Knotens ein ebenes, zentrales Kraftsystem entsteht.GGB (Anwendung der Gln. (1.3)):

(Warum? Das Tragwerk wird unter der Voraussetzung betrieben, dass sich seinBewegungszustand, d. h. die „Ruhe“, nicht �ndert.)

X

4

i¼1

Fix ¼ 0 ¼ �FS2 � FS1 � cos aþ FG (1)

X

4

i¼1

Fiy ¼ 0 ¼ �FG þ FS1 � sin a (2)

Lçsung des (linearen, inhomogenen) Gleichungssystems:

Aus Gl. (2) folgt: FS1 ¼FG

sin a; a „ 0 . (Damit gilt: FS1 ‡ FG!)

Nach Einsetzen in Gl. (1) erh�lt man FS2 ¼ FG � ð1� cot aÞmit dem Sonderfall:

a ¼ 45o : FS2 ¼ 0!

Diskussion:In beiden St�ben ergibt sich f�r 45� < a £ 90� eine positive Stabkraft, d. h., die

tats�chliche Kraft wirkt in die angenommene Richtung. Derartige St�be werdenals Zugst�be (ansonsten Druckst�be; Nullst�be, wenn sich die Stabkraft zu nullergibt) bezeichnet. Bei zu spitzem Winkel erhçhen sich die Beanspruchungen derSt�be stark, z. B. ergibt sich f�r a ¼ 10� eine Stabkraft FS1 = 5,76.FG!

1.2.4Hinweise und Tipps

Nachfolgend einige Hinweise, die Ihnen u. U. die Lçsung von Aufgaben erleicht-ern kçnnen.

Der im vorigen Beispiel dargestellte Lçsungsablauf

. Freischneiden

. Formulierung der GGB

. Lçsung des linearen Gleichungssystems

. Diskussion und Kontrolle der Lçsung

ist typisch f�r sehr viele Aufgaben der TM, speziell der Statik.Benutzen Sie zur Komponentenzerlegung von Kr�ften mçglichst spitze Winkel.Man kann die Richtungen, in denen die Kr�ftegleichgewichtsbedingungen for-

muliert werden, frei w�hlen. Jedoch sollte man solche bevorzugen, f�r die dieKomponentenzerlegung der Kr�fte insgesamt am wenigsten aufwendig wird.

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1.3 Ebenes, allgemeines Kraftsystem

Die Lçsung des linearen Gleichungssystems (der GGB) f�llt formal in dieSparte Mathematik. Aber ohne diesen fehlerlos ausgef�hrten Schritt der Aufga-benlçsung bleibt der Ingenieur stets unwirksam.

Tragende Konstruktionen bzw. Teile davon kçnnen in erster N�herung auchdann als zentrale Kraftsysteme modelliert werden, wenn es ein eng abgegrenztesGebiet der Schnittpunkte der Wirkungslinien gibt. Das ist z. B. bei Knotenblechenin Fachwerken �blich, vgl. Abschnitt 1.8.

1.3Ebenes, allgemeines Kraftsystem

Nunmehr wollen wir die Voraussetzung des zentralen Kraftsystems – die Wir-kungslinien aller zum System gehçrenden Kr�fte haben einen gemeinsamenSchnittpunkt – fallenlassen. Die daraus resultierenden Ph�nomene werdenzun�chst am Sonderfall des sog. Kr�ftepaares beschrieben.

1.3.1Kr�ftepaar und Moment

1.3.1.1 Kr�ftepaar

Ein Kr�ftepaar wird gebildet durchzwei gleichgroße, entgegengesetztgerichtete, auf parallelen Wir-kungslinien angreifende Kr�fte,vgl. nebenstehendes Bild. Damitliegt ein allgemeines Kraftsystemvor. Wir wollen nun untersuchen,inwieweit sich beim Einwirkeneines solchen Kr�ftepaares auf einen starren Kçrper der Bewegungszustand�ndert bzw. inwieweit Gleichgewicht herrscht.

Aus der Anschauung ist klar, dass, obwohl das Kr�ftegleichgewicht erf�llt ist,insgesamt kein Gleichgewicht. herrscht. Der Kçrper erf�hrt keine Verschiebung,aber wohl eine ebene Drehung (hier mathematisch positiv). Er befindet sich dem-zufolge nicht im Gleichgewicht.

Wie Ihnen bereits bekannt ist, nennt man die physikalische Ursache der Ver-drehung/Drehung (bzw. das Maß daf�r) Moment oder auch Drehmoment. Esbesitzt den Betrag:

M := l · F (1.4)

In koh�renten Einheiten hat das Moment demzufolge die Maßeinheit Newton-meter (Nm).

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1 Statik

Der Ausdruck Gl. (1.4) entspricht einer Gleichungsseite des Ihnen bekanntenHebelgesetzes. Werden die Kr�fte des Kr�ftepaares jeweils entgegengesetztgerichtet angetragen, kehrt sich offensichtlich die Drehrichtung um. Demnachbesitzt die physikalische Grçße Moment sowohl Betrag als auch Richtung und istfolglich ein Vektor.

Wir wollen diesen Momentenvektor ~M etwas eingehender untersuchen. Dazuf�hrt man den im Bild gezeigten Ortsvektor~r ein. Er beschreibt die Lage der Kraft-angriffspunkte zueinander. Da die beiden Kr�fte des Kr�ftepaares linienfl�chtigeVektoren sind, ist offensichtlich die Komponente des Ortsvektors in Richtung derWirkungslinien f�r die weitere Betrachtung ohne Bedeutung.

Unter Benutzung von Gl.(1.4) kann aus nebenstehen-der Skizze folgendes abgele-sen werden:

M ¼ j~Mj ¼ j~rj � sin b � j~Fj:

Dies entspricht aber demBetrag des Vektorproduktes:~M ¼~r ·~F:

Damit steht der Momentenvektor senkrecht auf der Ebene, die vom Kr�ftepaaraufgespannt wird. Ein Vertauschen der Faktoren im Vektorprodukt f�hrt bekannt-lich auf eine Richtungsumkehr von ~M.

Schließlich bleibt festzustellen, dass die absolute Lage der Wirkungslinien desKr�ftepaares in der Ebene auf das Moment keinen Einfluss nimmt. Im Vektorpro-dukt ist keine Koordinate zur Beschreibung der absoluten Lage der Wirkungs-linien, Abstand a zwischen der Bezugsachse und der zur gedachten Drehachsen�chsten Wirkungslinie, enthalten.

Kr�ftepaare bzw. Momente kçnnen beliebig in der Ebene verschoben werden, ohnedass sich die statische Wirkung �ndert. Das Moment ist damit ein sog. freier Vektor.

Das Moment ist neben der Kraft die zweite wichtige Kenngrçße der mechani-schen Wirkung. Sie ist mittels des Kr�ftepaares darstellbar und existiert auchdann, wenn die vektorielle Kr�ftesumme verschwindet (~FR ¼~0).

Nunmehr untersuchen wir die Momentenwirkung von Einzelkr�ften bez�glicheiner (Dreh-)Achse.

1.3.1.2 Moment einer Kraft in Bezug auf eine AchseDie �berschrift steht mit der Momentendefinition nur scheinbar im Wider-spruch. Wenn man gedanklich eine (raumfeste) Drehachse senkrecht zur Ebenedes starren Kçrpers errichtet, s. u., dann stehen die angreifende Einzelkraft unddie Reaktionskraft an der Achse im Kr�ftegleichgewicht. Diese Reaktionskraft ent-

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