Arbeitsplan: Quadratische Funktionen Jahrgangsstufe 9

Basisaufgaben

Aufgabe 1 Parabelgleichung aufstellenStelle für jede abgebildete Parabel eine Gleichung auf.

Aufgabe 2 Graph zeichnenZeichne den Graphen der Funktion mit der angegebenen Funktionsgleichung. (Zeichne dabei höchstens drei Graphen in ein Koordinatensystem.)a) f ( x )=x2−2 b) g ( x )=−3 x2 c) h ( x )=( x−1 )2 d) i (x )=−2x+0,5 e) k ( x )=2(x+3)2−1 f) l (x )=−1,5 ¿

g) p ( x )=0,5¿ h) q ( x )=−14

( x−1 )2+2 i)r ( x )=3(x+ 12 )

2

+1

Aufgabe 3 Eigenschaften ablesenGib an, in welche Richtung die zur jeweiligen Funktion gehörende Parabel geöffnet ist. Ermittle aus der Scheitelform der Parabel die Koordinaten des Scheitelpunktes, die Wertemenge und die Anzahl der Nullstellen der zugehörigen Funktion (ohne Zeichnung und ohne Berechnung).

a) f ( x )=5 x2−20 b) g ( x )=x2+5 c) h ( x )=¿ d) k ( x )=−4¿ e) i (x )=−5x2+35 f) l (x )=9¿

Aufgabe 4 VeränderungenBeschreibe, durch welche Veränderungen der Graph der angegebenen Funktion aus der Normalparabel entsteht.

a) f ( x )=4 x2−2 b) g ( x )=(x−2)2+5 c) h ( x )=−¿ d) k ( x )=−3¿ e) l (x )=0,5¿

Standardaufgaben

Aufgabe 5 Punkt und GraphBestimme jeweils die fehlende Koordinate des Punktes, der auf der zugehörigen Parabel liegt.

a) P: y=6¿ A(0∨ y A);B (−5∨ yB);C (xc∨−2)b) P: y=x2−142 A(x A∨2)

Aufgabe 6 Parabelgleichung aufstellen IStelle jeweils eine Gleichung einer Parabel auf, die folgende Eigenschaften besitzt.

a) Die Parabel hat den Scheitelpunkt S(2|5). Sie ist nach unten geöffnet und im Vergleich zur Normalparabel mit dem Faktor 2 gestreckt.

b) Zwei Achsenschnittpunkte der Parabel sind A(3|0) und B(9|0). Die Wertemenge der zugehörigen Funktion ist W = [-2;+∞ ¿

c) Die Symmetrieachse der Parabel hat die Gleichung x = -2. Die Nullstellen der zugehörigen Funktion sind x1 = -3 und x2 = -1. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist T(0|0,75).

Aufgabe 7 Parabelgleichungen in unterschiedlichen FormenParabelgleichungen können in Scheitelform oder in der Form y=a x2+bx+c ;a ,b , c∈ IR ;a≠0 (Normalform) angegeben werden.Überführe jeweils in die andere Form und gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel an.

a) y=x2−4 x+3,5 b) y=−32

¿ c) y=−3x2+6 x+5

d) y=12x

2

+5 x e) y=−38

¿

Aufgabe 8 Parabelgleichung aufstellen IIStelle für jede abgebildete Parabel eine Gleichung auf.

Expertenaufgaben

Aufgabe 9 Punkte mit den KoordinatenachsenEine Parabel ist durch die Gleichung: f ( x )=(x−3)(x+4 ) gegeben. Ermittle die Koordinaten aller Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten des Scheitels auf möglichst einfache Weise, ohne den gegebenen Term auszumultiplizieren. Erläutere jeweils deine Vorgehensweise.

Aufgabe 10 Entscheidungsregel für NullstellenEine Parabel ist durch die Scheitelform angegeben: f ( x )=a ( x−s )2+t (a≠0 ;s≠0 ; t ≠0 ).Edi behauptet, dass er eine Regel kennt, aus der er allein durch Kenntnis der Werte für a , s und t in der angegebenen Scheitelform ohne weitere Rechnung sofort entscheiden kann, wann die Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse aufweist. Erläutere und begründe Edis Entscheidungsregel.

Lösungen

Aufgabe 1f ( x )=x2

f ( x )=2 x2

f ( x )=2 ( x−1 )2

f ( x )=2 ( x−1 )2+1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Art der Öffnung der Parabel Scheitelpunkt S Wertemenge W Anzahl der

Nullstellena) nach oben S(0∨−20) W f=¿ 2b) nach oben S(0∨5) W g=¿ 0c) nach oben S(1∨0) W h=¿ 1d) nach unten S(2∨6) W k=¿−∞;6¿ 2e) nach unten S(0∨35) W i=¿−∞;35¿ 2f) nach oben S(−50∨−4) W l=¿ 2

Aufgabe 4

a) - Streckung in y-Richtung um den Faktor 4- Verschiebung um 2 nach unten

b) - Verschiebung um 2 nach rechts- Verschiebung um 5 nach oben

c)- Spiegelung an der x-Achse- Verschiebung um 1 nach links- Verschiebung um 3 nach oben

d)

- Spiegelung an der x-Achse- Streckung in y-Richtung um den Faktor 3- Verschiebung um 2 nach rechts- Verschiebung um 1 nach oben

e)- Streckung in y-Richtung um den Faktor 0,5- Verschiebung um 10 nach links- Verschiebung um 4 nach unten

Aufgabe 5

a)

y A=6 (0+3 )2−2=6 ⋅9−2=54−2=52

yB=6 (−5+3 )2−2=6 ⋅4−2=24−2=22

xC :−2=6 (xc+3 )2−2→0=6 (xC+3 )2→xC=−3

b) x A :2=x2−142→x2=144→x1; 2=±12

Aufgabe 6

a) y=−2 ( x−2 )2+5

b) Nullstellen bei x1=−3 und x2=9 ⇒ x-Koordinate des Scheitelpunkts xS=x1+x2

2=6

⇒ S(6∨−2)

Wegen der Nullstellen gilt: y=a ( x−3 ) ( x−9 )

Koordinaten von S einsetzen: −2=a (6−3 ) (6−9 )

a=29

Parabelgleichung: y=29

( x−3 ) ( x−9 )=29x2−8

3x+6

c) Nullstellen bei x1=−3 und x2=−1; T (0∨0,75) liegt auf der ParabelWegen der Nullstellen gilt: y=a ( x+3 ) ( x+1 )

Koordinaten von T einsetzen: 0,75=a (0+3 ) (0+1 )

a=14

Parabelgleichung: y= 14

( x+3 ) ( x+1 )=14x2+x+ 3

4

Aufgabe 7

a) y=x2−4 x+3,5y=x2−4 x+22−22+3,5y=(x−2)2−0,5 →S (2∨−0,5)

b) y=−32

¿

y=−32x2−12x−27

c) y=−3x2+6 x+5y=−3 ( x2−2 x )+5y=−3 ( x2−2 x+12−12 )+5y=−3(x−1)2+3+5

y=−3(x−1)2+8 →S (1∨8)

d) y=12x

2

+5 x

y=12(x¿¿2+10 x )¿

y=12(x¿¿2+10 x+52−52)¿

y=12

( x+5 )2−12,5 →S (−5∨−12,5)

e) y=−38

¿ →S (6∨−2)

y=−38x2+4,5x−15,5

Aufgabe 8

Parabel, die Punkt P enthält: S(1|1) ; Gleichung: y=3 ( x−1 )2+1

Parabel, die Punkt Q enthält: S(-3|-2) ; Gleichung: y=−2 ( x+3 )2−2

Parabel, die Punkt R enthält: S(-2|3,5) ; Gleichung: y=−1,5 ( x+2 )2+3,5

Parabel, die Punkt T enthält: S(2,5|-2,5) ; Gleichung: y=0,4 ( x−2,5 )2−2,5 (ablesen oder wie 1c)

Aufgabe 9

- f (0 )=−12, also schneidet die Parabel die y-Achse im Punkt Sy (0∨−12)

- Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor 0 ist, deshalb ergeben sich die Nullstellen N1(3∨0) sowie N2(−4∨0)

- Die x-Koordinate des Scheitels muss „in der Mitte zwischen den Nullstellen“ liegen, also gilt: x=0,5

- Die y-Koordinate des Scheitels ergibt sich als f (0,5 )=(0,5−3 ) (0,5+4 )=−2,5⋅ 4,5=−11,25 ⇒ S(0,5∨11,25)

Aufgabe 10

Zwei Schnittpunkte gibt es, wenn a und t unterschiedliche Vorzeichen haben. Ist nämlich a>0 und t <0, liegt der Scheitel unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, für a>0 und t <0 liegt der Scheitel oberhalb und die Parabel ist nach unten geöffnet.