Hochschule Hannover Klausur SS10 30.06.10 Fakultät II, Abteilung Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik 1 SS10 (Prof. Schrewe) Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung

1. Beim Testlauf einer Maschine wird deren Drehzahl in 5 Minuten gleichmäßig von Null auf 4500 Umdrehungen pro Minute erhöht. Anschließend bleibt die Drehzahl 300 s lang konstant und wird dann wieder gebremst. Auch der Abbremsvorgang ist gleichmäßig beschleunigt: Pro Sekunde nimmt die Drehzahl um 12,5n s ab.

a. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung in der Anlaufphase? b. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung in der Abbremsphase? c. Welche Gesamtzeit erfordert der Testlauf. d. Wie viele Umdrehungen macht die Maschine insgesamt?

2. Wie groß müsste die Geschwindigkeit einer auf einer Bergspitze abgeschossenen Kanonenkugel sein, um bei passendem Abschusswinkel den Abschusspunkt selbst wieder treffen zu können? Man denke sich den Abschusspunkt auf dem Berg Chimborazo in Ecuador (Höhe 6310m über MSL), der sehr dicht am Äquator liegt. Die Luftreibung muss natürlich vernachlässigt werden. Der Äquatorradius wird mit 6 378 137 m angegeben. Die mittlere Beschleunigung am Äquator in 0 m MSL beträgt -29,78033ms .

a. Welche Abschussgeschwindigkeit müsste die Kanonenkugel haben, um die Erde auf einer Kreisbahn umkreisen zu können?

b. Welche Zeit vergeht zwischen Abschuss und Auftreffen der Kugel?

3. Die Masse 1 4m kg kann reibungsfrei auf einer horizontalen

Ebene gleiten. Die Masse 2 2m kg liegt auf 1m . Zwischen 1m

und 2m betrage die Haftreibungszahl 0, 25H und die Gleit-

reibungszahl 0, 20G .

a. Vorüberlegung: Wie groß darf die Kraft F höchstens sein, damit die Masse 2m auf der unter

ihr liegenden Masse 1m nicht rutscht?

b. Bestimmen Sie die Beschleunigungen von 1m und 2m für 10F N .

c. Bestimmen Sie die Beschleunigungen von 1m und 2m für 20F N .

d. Die Kraft 10F N (vergl. 3b.) wirke ab 0t auf die ruhenden Massen 1m und 2m . Welche

Leistung wird zum Zeitpunkt 10t s benötigt?

4. Ein Junge mit einer Masse von 50Jm kg läuft mit einer Geschwindigkeit 13Jv m s ent-

lang einer Linie, die tangential an einem reibungsfrei drehenden Karussell mit Masse 250Km kg und Radius 3KR m vorbei

führt. Die Umdrehungszeit des Karussells betrage 12,56KT s . Der

Junge springt im Berührpunkt der Tangente auf das Karussell. a. Wie groß ist die Umdrehungszeit des Karussells nach dem

Aufsprung? b. Bestimmen Sie den Anteil der anfänglich verfügbaren Energie, die

beim Aufspringen des Jungen in Reibungs- bzw. Rutscharbeit (zwischen Schuhen und Karussell) umgewandelt wird.

c. Der Junge bleibt zunächst einige Umdrehungen lang auf einem Punkt am Karussellrand bei 3KR m stehen und springt dann mit 1

1 1,5v m s relativ zum Karussell tangential wieder

ab. Welche Umdrehungszeit hat das Karussell anschließend? Verwenden Sie zur Vereinfachung bis auf Aufgabe 2 g = 10 m s-2.

Lösungen:

1a. Winkelgeschwindigkeit: 1 11 1

45002 2 4500min 2 471.24

60n s

s

Winkelbeschleunigung beim Hochlaufen:

1

211

0 471,241,571

300 300

ss

t s s

1b. Winkelbeschleunigung beim Abbremsen:

1

23

2 2,5215,71

1 1

sns

t s s

1c. Beschleunigungszeit: 1 300t s

Zeit für gleichförmige Drehung: 2 300t s

Zeit für Abbremsung: 1

13 2

471,2430

15,71

st s

s

Gesamtzeit: 630gest s

1d. Umdrehungszahl beim Hochlaufen:

2 2 2 21 1

1

1 11,571 300

2 2 112502 2

t s sN

Zahl gleichförmiger Umdrehungen: 1 22 22500

2

tN

Umdrehungszahl beim Bremsen:

2 2 2 23 3

1

1 115,71 30

2 2 11252 2

t s sN

Gesamtzahl der Umdrehungen: 34875gesN

2a. Die Kanonengugel soll die Erde auf einem Kreis mit Radius

6378137 6310 6384447K ÄqR R H m m m

Der Wert der Erdbeschleunigung in der Aufgabe wurde für 0 m MSL angegeben und muss geringfügig hinsichtlich der Höhenabnahme korrigiert werden.

2 22

2

63781379,78033

6384447Äq

K ÄqK

Rg g m s

R

2

29,78033 0,998024ÄqK Äq

K

Rg g m s

R

29,76100Kg m s

Die Zentripetalbeschleunigung der Kreisbahn ist gleich der Erdbeschleunigung auf der Um-laufbahn:

2B

ZP KK

va g

R

Es folgt: 29,761000 6384 447B K Kv g R m s m

17894, 21Bv m s

2b. Für die Bahngeschwindigkeit gilt: 2 K

B

RUv

T T

Umlaufzeit 1

2 2 6384 4475081,53 84,69 min

7894, 21K

B

R mT s

v m s

3a. Die Kraft F erzeugt zunächst eine Beschleunigung der Masse 1m . Im Haftreibungsfall ist die

Beschleunigung der Masse 2m gleich groß. Die Folge einer Beschleunigung ist eine Träg-

heitskraft 2TrF m a , die entgegengesetzt zur Beschleunigungskraft aF angreift. Wenn diese

Trägheitskraft größer ist, als die Haftreibungskraft, beginnt die Masse 2m auf der Masse 1m

zu rutschen. Um den Haftreibungsfall zu erhalten muss also gelten:

,maxH TrF F

,max 2 2H H TrF m g m a F

wobei a die durch die äußere Kraft F an den beiden Massen 1m und 2m erzeugte Beschleu-

nigung darstellt. Im Haftreibungsfall gilt, da beide Massen gleichzeitig beschleunigt werden:

1 2aF m m a

Einsetzen: 2 21 2

H

Fm g m

m m

Lösung: 21 2 0,25 10 6 15HF g m m m s kg N

3b. Die Kraft sei: 10 15F N N

Es handelt sich also um einen Haftreibung zwischen den beiden Massen 1m und 2m . Dies

bedeutet, dass beide Massen dieselbe Beschleunigung erfahren.

Es gilt: 1 2aF m m a

Es folgt: 11 2

1 2

101,66

6aF N

a a a m sm m kg

3c. Die Kraft sei: 20 15F N N

Es handelt sich also um einen Gleitbewegung der Masse 2m auf 2m . Die Kraft F wirkt jetzt

primär nur an der Masse 1m , die wiederum über die Gleitreibungskraft auf die Masse 2m

wirkt. Die Masse 1m wird durch die Kraft F nach rechts beschleunigt und durch die Gleitrei-

bungskraft gebremst (nach links beschleunigt).

D'Alembertsches Prinzip für 1m : 1 1 0ii

F m a

Es folgt: 1 1 0GF F m a

2 1 1 0GF m g m a

2

21

1 1

20 0,2 2 10GF m g N kg m sa

m m

21

20 44

4

N Na m s

kg

An der Masse 2m wirkt nur noch die von der Masse 1m erzeugte Gleitreibungskraft GF nach

rechts. Sie verursacht die Beschleunigung von 2m :

Es folgt: 2 2 0GF m a

2 2 2 0G m g m a

22 0, 2 10 2Ga g m s

Hinweis: Ein Beobachter im nicht-beschleunigten Initialsystem beobachte, dass die Masse 1m

mit 21 4a m s nach rechts, und auch die Masse 2m mit 2

2 2a m s nach rechts beschleunigt

wird. Ein Beobachter auf der Masse 1m beobachtet, dass 2m mit 22 2a m s nach links be-

schleunigt wird. 3d. Leistung im Haftreibungsfall 3b.

Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit 11,66a m s . Die Ge-schwindigkeit nach 10t s beträgt also:

2 1( 10 ) 1,66 10 16,6v t s a t m s s m s

Leistung: 110 16,6 166P F v N ms W

4a. Drehimpuls des Jungen bezogen auf den Drehpunkt des Karussells mit Radius KR :

J K J JL R m v

Drehimpuls des Karussells vor Aufsprung des Jungen:

K K KL J

mit: 2 2 21250 3 1125

2KJ kg m kg m

Drehimpuls des Karussells nach Aufsprung des Jungen:

2K K J K KL J m R

Drehimpulserhaltungssatz: J K KL L L

2K J J K K K J K KR m v J J m R

Winkelgeschwindigkeit: 2

K J J K KK

K J K

R m v J

J m R

mit 11

2 22 0,500

12,56K KK

n sT s

Drehzahl: 2

1

2K J J K K

KK J K

R m v Jn

J m R

1 2 1

2 2 2

1 3 50 3 1125 0,500

2 1125 50 3K

m kg m s kg m sn

kg m kg m

11 450 562,5 10,1023

2 1125 450Kn ss

Winkelgeschwindigkeit: 1 12 2 0,1023 0,643K Kn s s

Umdrehungszeit nachher: 1

1 19,77

0,1023KK

T sn s

4b. Vor dem Aufsprung beträgt die kinetische Energie des Jungen:

2 2 2 2,

1 150 3 225

2 2kin J J JE m v kg m s J

Die Rotationsenergie des Karussells beträgt:

2 2 2 2,

1 11125 0,5 140,625

2 2kin K K KE J kg m s J

Die Rotationsenergie von Karussell und Jungen nach dem Aufsprung:

22,

1

2kin K J K J K KE J m R

2 2 2 2 2,

11125 50 3 0,643

2kin K JE kg m kg m s

, 325,59kin K JE J

Anteil der verlorenen Energie: , , ,

, ,

kin J kin K kin K J

kin J kin K

E E E

E E

225 140,625 325,59 40,035

0,1095225 140,625 365,625

J J J

J J

10,95% der anfänglichen kinetischen Energie gehen als Wärmeenergie/Reibungsarbeit verlo-ren.

4c. Das Karussell zusammen mit dem Jungen bei 3KR m dreht sich mit einer Winkelgeschwin-

digkeit von 10,643K s (siehe Lösung 4a.).

Drehimpulsanteil der Karussells: 2 1 2 11125 0,643 723,375K K KL J kg m s kg m s

Drehimpulsanteil des Jungen: 2J J K KL m R

2 2 1 2 150 3 0,643 289,35JL kg m s kg m s

Gesamtdrehimpuls von Karussell zusammen mit dem Jungen vor dem Absprung:

2K J K J K K K JL J m R L L

2 1723,375 289,350K JL kg m s

2 11012,275K JL kg m s

Wenn der Junge vom Karussell abspringt, muss der Gesamtdrehimpuls erhalten bleiben. Der Drehimpulsanteil des Jungen wird also erhöht, während sich der Drehimpulsanteil des Karus-sells um den gleichen Anteil verringert.

Für den Gesamtdrehimpuls, also die Summe des Drehimpulses von Karussell ohne Junge plus dem Drehimpuls des mit 1v relativ zum Karussell abspringenden Jungen gilt:

2 1K J JK K K J K K

K

vL L L J m R

R

2 2 1K J K K J K K J K

K

vL J m R m R

R

Nach Drehimpulserhaltungssatz gilt: K J K JL L

2 2 2 1K J K K K K J K K J K

K

vJ m R J m R m R

R

2 1K K K K J K

K

vJ J m R

R

Winkelgeschwindigkeit 1J KK K

K

m R v

J

Drehzahl 11

2J K

K KK

m R vn

J

1 1

12

1 50 3 1,5 0, 4430,643

2 1125 2K

kg m m s sn s

kg m

Drehzahl des Karussells: 10,07050Kn s

Umdrehungszeit: 1

14, 2KK

T sn