Klausurtermin(laut Prüfungsamt)

ProbeklausurProbeklausur

Freitag, 13. Juni 2003statt Vorlesung

TESTS

TESTS

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TESTSTESTS

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Worum es geht

Man möchte „testen“, ob eine bestimmteAnnahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.

Beobachtung(Stichprobe)

EntscheidungEntscheidungVorgabe:

„Irrtumswahr-scheinlichkeit“

Formulierung einer

Hypothese

Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die „Irrtumswahr-scheinlichkeit“ sollteklein sein.

Mathematischer Rahmen ITESTS

Statistische Struktur

Testproblem(Hypothese)

Niveau

Gegeben sind:

Stetiger Fall Diskreter Fall

Theta

Mathematischer Rahmen IITESTS

TestTest gegeben durch:

Ablehnungsbereich

Teilmenge der Grund-gesamtheit :

Menge aller Beobachtungen ,die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen IIITESTS

Beobachtung (Stichprobe)(Stichprobe)

Entweder Oder

Beobachtung liegtim Annahmebereich

Beobachtung liegtim Ablehnungsbereich

Hypotheseannehmen!

Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

Hypotheseakzeptiert

Hypotheseabgelehnt

Hypothesewahr

Hypothesefalsch

Entschei-Entschei-dungdung

RealitätRealität

Fehler 1. Art

Fehler 2. Art

Niveau und Macht

Obere Grenze für die Wahr-scheinlichkeit, einen FehlerFehler1. Art1. Art zu begehen

NiveauNiveau

1- Wahrscheinlichkeit, einenFehler 2. ArtFehler 2. Art zu begehen,wenn der wahre Parameter-wert in dem Punkt liegt

MachtMacht in einem

Punkt der Alter-native

2 Würfel

Fairer Würfel

Gezinkter Würfel

1/6

1/5

?

?

Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung

Neyman-Pearson-Test

Für einen Test mit

gilt immer:

Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau :

Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman-Pearson-Tests ist, besitzt

höchstens die Machthöchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.

Approximative Konfidenzintervalleim Bernoulli-Fall II

Vereinfachung für großes n(n 100)

BeispielKaufhaus-Konzern

Kauf würde in Erwägung

gezogen

Kauf würde nicht in Erwägung

gezogen

572 1428

Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung

ZusammenhangKonfidenzintervalle - Tests

Gegeben sei ein KonfidenzintervallKonfidenzintervallC() vom Niveau

ist dann mit dem AblehnungsbereichAblehnungsbereich

Für eine einfache Hypothese

ein Test Test vom Niveau gegeben, denn:

Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung wirdein Intervall C()

der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit.eine Beobachtung zu machen,für die der wahre Parameter

im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung

Rechenbeispiel

Stichprobe vom Umfang n = 5

3.5 7.2 5.0 4.3 7.9

Stichprobenfunktionen

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

1.Fall

2.Fall

3.Fall

4.Fall

5.Fall

6.Fall

18.28

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

2.Fall

5.Fall

Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung

Student-Verteilung

Testfür den Erwartungswert

Varianz bekannt

Fall Normalverteilung

Testfür den Erwartungswert

Varianz unbekannt

Fall Normalverteilung

Vergleich zweier unabhängigerStichproben I

Prüfgröße

n: Umfang der Stichprobe 1(Stichprobenvariable X)

m: Umfang der Stichprobe 2(Stichprobenvariable Y)

Ablehnungsbereich

bestimmt durch

Vergleich zweier unabhängigerStichproben II

Ausgangspunkt

Approximation

Prüfgröße

Ablehnungsbereich

bestimmt durch