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„Kommt drauf an, wie das Glück entscheidet!“entscheidet!“

Kinder schätzen Gewinnwahrscheinlichkeiten ein

Annabell Ocken, TU Dortmund 22. Symposium mathe 2000 1

Aufbau des Workshops• Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Grundschule

– Gründe für die Thematisierung

– Kompetenzanforderungen

• Der Begriff der Wahrscheinlichkeit

• Das Spiel „Ziffernkarten ziehen“

− Gelegenheit zur eigenständigen Erforschung

− Einschätzung eines Kinderteams

• Fehlvorstellungen

• Analyse ausgewählter Kinderäußerungen (Arbeitsphase) und Diskussion über

Fördermöglichkeiten

• Eine Unterrichtsreihe zum Spiel „Ziffernkarten ziehen“

• take-home-message


Gründe für die Thematisierung von Wahrscheinlichkeiten in der GS

• Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs benötigt Zeit (vgl. Eichler 2010, S.8)

• Kinder sammeln viele Erfahrungen im Alltag und bauen teilweise Fehlvorstellungen

auf (vgl. ebd.)

• Unreflektierte Fehlvorstellungen können Aufbau stochastischer Vorstellungen • Unreflektierte Fehlvorstellungen können Aufbau stochastischer Vorstellungen

erschweren (Prediger 2005)

� Jedoch können Elemente der kombinatorischen Anzahlbestimmung und

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Grundschulkindern nur an realen Situationen aus

ihrer Lebenswirklichkeit erarbeitet werden (vgl. Bobrowski 2010, S. 4)

� Besonders spielerische Anlässe bieten guten Anlass für Gespräche über

Wahrscheinlichkeiten


Kompetenzerwartungen zum Thema Wahrscheinlichkeiten

Kompetenzerwartungen im Lehrplan NRW:


Der Begriff der Wahrscheinlichkeit

• Wahrscheinlichkeiten geben an, mit welchem Grad an Sicherheit ein zufälliges Ereignis

eintreffen wird

• Berechnung :

Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E

=Anzahl aller für E günstigen Versuchsausgänge

Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge

• Man erhält Werte zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher)

• Die Angabe einer Wahrscheinlichkeit ist keine Vorhersage!

• Sie gibt nur Auskunft darüber, wie groß die Chance ist, dass das gewünschte Ergebnis

eintrifft!

• Gesetz der großen Zahlen: Bei einer sehr großen Anzahl

von Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit der

günstigen Ereignisse der theoretisch berechneten

Wahrscheinlichkeit an.


Relative Häufigkeit = Verhältnis der Anzahl des Eintretens des Ereignisses zur Gesamtzahl der Versuche

Das Spiel „Ziffernkarten ziehen“

• Was vermuten Sie, sind die Spielregen fair?

• Überprüfen Sie nun: Haben beide Spieler die gleiche Gewinn-

wahrscheinlichkeit?


Einschätzung von Christine und Rebecca



• Erkennen Zusammenhang zwischen den möglichen Aufgaben und den Spielausgängen

• Begriff Wahrscheinlichkeit oder wahrscheinlicher wird nicht benutzt

• intuitives Verständnis der Wahrscheinlichkeit

• Scheinen zu übersehen, dass dieser Spieler ebenfalls eine Möglichkeit hat zu gewinnen („Dann würde immer nur einer gewinnen.“)

• Nachfragen ergibt, dass die beiden wissen, dass auch der Spieler mit den ungeraden • Nachfragen ergibt, dass die beiden wissen, dass auch der Spieler mit den ungeraden Zahlen gewinnen kann, dass dies aber selten vorkommen würde

� Für Kinder ist schwer ist, das, was sie meinen, unmissverständlich auszudrücken

� Für Kinder ist es gar nicht so leicht ist, zu sagen, was beim Spielen tatsächlich passiert (immer?)

� Es ist nicht immer eindeutig, ob die Kinder eine tragfähige Vorstellung haben oder ob Fehlvorstellungen vorherrschen.


Fehlvorstellungen• Interpretation von Aufgabenverteilung bzgl. der Auswirkungen auf das Spiel sowie

Interpretation von tatsächlichen Spielausgängen (vor allem solcher, die von den

Erwartungen abweichen) für viele Kinder schwierig

• Häufig auf Fehlvorstellungen zurückführbar:

– Es werden verborgene Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Versuchen

angenommen (also dass ein vorheriges Ereignis beeinflusst, welches Ereignis im Versuch angenommen (also dass ein vorheriges Ereignis beeinflusst, welches Ereignis im Versuch

danach wahrscheinlich ist)

– Vorstellung, der Zufall würde „unregelmäßige" Ereignisse produzieren (beispielsweise

beim Lotto: 1-2-3-4-5-6 ist unwahrscheinlicher als 2-6-12-15-26-39)

– Verwechselung von geringer Wahrscheinlichkeit mit Unmöglichkeit, sowie hoher

Wahrscheinlichkeit mit Sicherheit

– Vorstellungen, dass bestimmte Glück bringende Handlungen, wie Augenschließen o.ä.,

den Versuchsausgang beeinflussen können

vgl. Eichler 2010, S. 8.


Analyse ausgewählter Kinderäußerungen

• Betrachten Sie die Ihnen vorliegenden Transkripte. Wie erklären

sich die Kinder die unerwarteten Spielausgänge bzw. halten sie

solche für möglich? Welche Fehlvorstellungen könnten die Kinder

ggf. entwickelt haben?

• Bitte beachten Sie, dass teilweise nicht mehr die originale

Gewinnregel, sondern eine von den Kindern modifizierte,

Grundlage der Überlegungen war.

• Wie könnte man solche Situationen nutzen, wenn sie im Unterricht

auftreten?


Kinderäußerungen


Handlungsmöglichkeiten

• Diskussionen im Plenum anregen

• Mit allen Kindern gemeinsam über die Bedeutung der Begriffe sprechen

• Plakat anlegen, auf dem die Bedeutung der Begriffe festgehalten werdenwerden

• Wortspeicher erstellen

• Kleine Versuchsreihen mit wenigen Runden durchführen (in Teams)→ kleine SKchproben müssen nicht den Erwartungen entsprechen

• Alle kleinen Stichproben der Teams zusammentragen→ bei sehr vielen Versuchen entspricht die Verteilung immer mehr der Erwartung


Eine Unterrichtsreihe zum Spiel „Ziffernkarten ziehen“

Ablauf:

• Initiierung der Reihe (Was macht ein Spielforscher? Was heißt fair?)

• Einführung des Spiels „Ziffernkarten ziehen“(Demo-Material)

• Arbeitsphase 1 (Ist das Spiel fair?)

• Klasse 3 bis 4

• ca. 3 Schulstunden (Ausweitung möglich)

(Ist das Spiel fair?)

• Zwischenreflexion (Besprechung der Ergebnisse und Thematisierung der Begriffe wahrscheinlich, sicher, unmöglich)

• Arbeitsphase 2 (Neue Begriffe festigen und vertiefen)

• Zwischenreflexion (Nochmalige Anwendung der Begriffe auf das Spiel, wann ist ein Spiel fair?)

• Arbeitsphase 3 (Das Spiel fair machen)

• Abschlussreflexion (Faire Versionen vorstellen)


Arbeitsphase 1Das Spiel erkunden


Arbeitsphase 1 Differenzierungsmöglichkeiten


Arbeitsphase 1Eindrücke


Arbeitsphase 2Mit den neuen Begriffen umgehen


Arbeitsphase 3Das Spiel fair machen


Arbeitsphase 3Differenzierungsmöglichkeiten

1, 3, 4 und 5.“


Erweiterungsmöglichkeiten

• Vergleich von Wahrscheinlichkeiten (besonders beim Verändern von

Gewinnregeln oder vom Kartensatz)

• Wahrscheinlichkeitsbarometer nutzen

(eignet sich gut zum Vergleichen von

Wahrscheinlichkeiten)Wahrscheinlichkeiten)

• Andere Spiele begutachten

(Glücksräder, Würfelspiele, usw.)

• Inhaltsbereich Daten erheben

stärker einbeziehen


Wahrscheinlichkeitsbarometer

take-home-message• Kinder sind gut dazu in der Lage, sich mit dem Thema Wahrscheinlichkeiten zu beschäftigen

• Sie äußern dazu viele kluge Gedanken

ABER:

• Häufig herrschen Fehlvorstellungen vor, die zu späteren Zeitpunkten Schwierigkeiten bereiten können

• Kinder denken sehr unterschiedlich über Wahrscheinlichkeit (manchmal denken sie zu verschieden Zeitpunkten sogar selbst anders als kurz zuvor)

� Es ist sehr wichtig aufmerksam zu beobachten und zu analysieren, welche Denkweisen sich hinter Äußerungen von Kindern verbergen, da viele Aussagen nur latent mitschwingen und schnell unerkannt bleiben. Nur so ist es möglich Fehlvorstellungen zu erkennen und adäquat auf sie zu reagieren.

� Gerade der Anlass eines Glücksspiels eignet sich gut, um Kinder dazu zu bringen, über Wahrscheinlichkeiten nachzudenken → Sie sind intrinsisch, also aus der Sache heraus, moKviert, haben Spaß und können viel Lernen


Materialien

• Alle Materialien (Vorlagen zum Basteln des Spiels „Ziffernkarten spielen“) und

eine konkrete Unterrichtsplanung inkl. aller Forscheraufträge und weiteren

Dokumenten aus der Durchführung sowie eine Zusammenfassung wesentlicher

inhaltlicher Aspekte finden Sie auf der PIK-AS-Seite im Bereich

„Unterrichtsmaterialien“:

http://www.pikas.tu-dortmund.de/material-pik/herausfordernde-http://www.pikas.tu-dortmund.de/material-pik/herausfordernde-

lernangebote/haus-7-unterrichts-material/ziffernkarten-ziehen/ziffernkarten-

ziehen.html

• Weitere Informationen sowie eine Analyse der betrachteten Äußerung von

Kindern zum Spiel „Ziffernkarten ziehen“ finden Sie auf der KIRA-Seite zum Thema

„Gewinnwahrscheinlichkeiten einschätzen“ :

http://www.kira.tu-dortmund.de/front_content.php?idcat=627&lang=8


Literatur• Bobrowski, S. (2010): Neue Lerninhalte im Mathematikunterricht? – Daten, Häufigkeiten und

Wahrscheinlichkeiten sind nicht neu, aber vielfältig. Und sie fordern Schülerinnen und Schüler

heraus. In: Praxis Grundschule. 33. Jg. H.3, S. 4.

• Eichler, K.-P. (2010): Wahrscheinlich kein Zufall – Betrachtungen rund um Wahrscheinlichkeit und

Häufigkeit. In: Praxis Grundschule. 33. Jg., H. 3, S. 7-13.

• Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (2008): Lehrplan Mathematik für die Grundschulen • Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (2008): Lehrplan Mathematik für die Grundschulen

des Landes NRW. Frechen: Ritterbach. Verfügbar unter:

http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplaene-gs/mathematik/

(Abruf am: 18.09.2012)

• Prediger, S (2005): Wenn man Schwein gehabt hat, kann man zwei Dreien kriegen. Fallbeispiele zu

Überschneidungseffekten bei stochastischen Vorstellungen. In: Beiträge zum Mathematikunterricht

2005 online.

http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/cms/media/BzMU/BzMU2005/Beitraege/prediger-

gdm05.pdf (Abruf am 11.01.2012)


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