Konstruktion kubischer Wurzeln mittels Origamisteuding/lorang.pdf · 1 Geschichtliche Hintergründe...

Julius-Maximilians-Universität Würzburg

Fakultät für Mathematik und InformatikInstitut für Mathematik

Wissenschaftliche Arbeit zur Erlangung desakademischen Grades einesBACHELOR OF SCIENCE

Konstruktion kubischer Wurzeln mittelsOrigami

eingereicht von: Lena Lorang ‹[email protected]›

eingereicht am: 10. September 2014

Betreuer: Herr Prof. Dr. Jörn Steuding

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichtliche Hintergründe 5

2 Konstruktion von 3√2 mittels Papierfaltung 72.1 Margharita Belochs Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Die Beloch-Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Das Beloch-Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Konstruktion von 3√2 im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Ein weiterer Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung 153.1 Alperins Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Lills Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Lills Methode zum Lösen kubischer Gleichungen . . . . . . 183.2.2 Lills Methode mittels Origami . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.4 Fragestellung: Ist es möglich, am Koeffizientenpfad die An-

zahl der rellen Lösungen zu erkennen? . . . . . . . . . . . . 26

4 Ausblick: Falten von Wurzeln höheren Grades 294.1 Falten biquadratischer Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Fazit 31

Literaturverzeichnis 33

Erklärung 35

3

1 Geschichtliche Hintergründe

Die Ursprünge des Origami sind alles andere als klar. Oft wird vermutet, dass dieIdee, Papier zu grazilen Figuren zu falten, bereits mit der Erfindung des Papiers –und somit ebenfalls in China – geboren wurde (cf. [9]).Auch die Wurzeln des Einfalls, Papierfaltung als ein Werkzeug für geometrischeKonstruktionen zu nutzen, sind unbekannt. In Japan wurden alte Sangakus – Tafelnmit mathematischen Problemen, ca. 1600-1890 – gefunden, auf denen geometri-sche Papierfaltungs-Probleme dargestellt sind. Dies könnte als Anhaltspunkt dafürgelten, dass es eine japanische Origami-Tradition gibt.Die erste bekannte mathematische Abhandlung über Konstruktionen durch Faltungist aber T. Sundara Rows Buch Geometric Exercises in Paper Folding, das im Jahr1893 erstmals veröffentlicht wurde. Dieses Buch trug anscheinend ausschlaggebenddazu bei, dass Papierfaltungsgeometrie in dieser Zeit populärer wurde (cf. [6]).Allerdings definiert Row in seinem Werk nicht die grundlegenden Origami-Axiome,sondern nutzt nur sehr vage Faltungen, die beispielsweise verwendet werden, umPunkte und Linien auf bereits konstruierten Punkten und Linien zu platzieren.Eine Vorgehensweise in der Art der Beloch-Faltung fehlt noch gänzlich, und so be-hauptet Row irrtümlich, dass es unmöglich sei, 3√2 mittels Papierfaltung exakt zukonstruieren [10, S.55]. In der Folgezeit – dem frühen zwanzigsten Jahrhundert –scheint Rows Werk ein großes Interesse an Origami geweckt zu haben, denn es er-schienen einige Artikel, die sich darauf konzentrierten, die Lösungen quadratischerGleichungen möglichst elegant zu konstruieren. Die Autoren dieser Abhandlungenzitieren samt und sonders Row als Hauptquelle.Ein im Jahr 1930 erschienener Artikel von Giovanni Vacca mit dem Titel Dellapiegatura della carta applicata alla geometria (Über die Anwendung der Papierfal-tung in der Geometrie) [11], der Rows These, man könne kubische Wurzeln nichtfalten, weder bestätigte noch widerlegte, inspirierte nun offenbar Margharita Pia-zolla Beloch. Sie war geboren im Jahr 1879 und die Tochter des an der Universitätvon Rom tätigen, renommierten Historikers Karl Julius Beloch. Später arbeitete sieals algebraische Geometerin an der Universität von Ferrara.Im Jahr 1936 veröffentlichte sie Sul metodo del ripiegamento della carta per la ri-soluzione dei proglemi geometrici (Über die Methode der Papierfaltung zur Lösunggeometrischer Probleme) [2] in der Zeitschrift Periodico di Matematiche. Dieser Ar-tikel scheint – zusammen mit Vaccas Arbeit von 1930 – der Beweis dafür zu sein,dass Beloch als Erste herausfand, dass es möglich ist, mittels Origami gemeinsa-

5

1 Geschichtliche Hintergründe

me Tangenten an zwei Parabeln zu finden und demgemäß kubische Gleichungen zulösen.

6

2 Konstruktion von 3√2 mittelsPapierfaltung

Genau wie Konstruktionen mit Zirkel und Lineal lassen sich Konstruktionen durchPapierfaltung mithilfe weniger simpler Axiome beschreiben. Diese grundlegendenAxiome leiten zu verschiedenen Möglichkeiten an, bereits vorhandene Punkte aufeinem Blatt Papier durch gerade Falze miteinander in Zusammenhang zu bringen.Die bekanntesten Axiome sind in diesem Zusammenhang wohl die sechs als Huzita-Axiome bekannten Regeln 1, die im Jahr 1989 eingeführt wurden.Beispielsweise wird hier die Methode definiert, mithilfe einer einzigen geraden Fal-tung zwei vorgegebene Punkte P1 und P2 aufeinander zu platzieren. Ein anderesgrundlegendes Beispiel bildet die Möglichkeit, zwei vorgegebene Punkte P1 und P2

mittels einer gefalteten Linie zu verbinden.Das sechste Axiom ist die sogenannte Beloch-Faltung, auf die im Folgenden nähereingegangen wird. Dabei sollte bereits im Voraus erwähnt werden, dass diese Fal-tung nicht überall in die Fachliteratur Eingang fand. In einigen Artikeln, und auchSundara Rows Geometric Exercises in Paper Folding [10], gilt diese besondere Fal-tung als nicht zugelassen, und somit das Lösen kubischer Gleichungen wie auchx3 − 2 = 0 als nicht möglich.

Behauptung:3√2 ist durch Origami konstruierbar.

1Die sechs Huzita-Axiome (cf. [8]):

1. Zwei beliebige Punkte in der Ebene können durch eine einzige Falz verbunden werden.

2. Seien P1 und P2 zwei beliebige Punkte in der Ebene. Dann kann P1 auf P2 gefaltet werden.

3. Seien zwei Linien in der Ebene gegeben. Dann kann man die eine Linie auf die andere falten.

4. Seien ein Punkt P und eine Linie in der Ebene gegeben. Dann kann man eine Linie falten,die senkrecht auf der gegebenen Linie steht, und durch den Punkt P geht.

5. Seien P1 und P2 zwei Punkte in der Ebene, und l eine Linie, dann gibt es eine Faltung, dieP1 auf l platziert, sodass die Falz durch P2 geht.

6. Seien P1 und P2 zwei Punkte und l1 und l2 zwei Linien in der Ebene, dann gibt es eineFaltung, die P1 auf l1 und P2 auf l2 plaziert. Dieses Axiom ist auch bekannt als Beloch-Faltung.

7

2 Konstruktion von 3√2 mittels Papierfaltung

2.1 Margharita Belochs Beweis

2.1.1 Die Beloch-Faltung

Die erste Person, die erkannte, dass Origami nicht nur schön auszusehen sonderntatsächlich sogar wichtige mathematische Kostruktionsprobleme zu lösen vermagund in der Hinsicht sogar probater ist als die Konstruktion mit Zirkel und Lineal2,war im Jahr 1936 eine italienische Mathematikerin namens Margharita Piazolla Be-loch. Sie entwickelte die nach ihr benannte Beloch-Faltung [6], die eigentlich fürsich genommen schon die Lösungen kubischer Gleichungen erlaubt:Man kann, wenn man zwei Punkte P1 und P2 und zwei Linien l1 und l2 gegeben hat,mit einem einzigen Falz simultan P1 auf l1 und P2 auf l2 legen.

Abb. 2.1: Die Beloch-Faltung (aus [6])

Wie nun ist es möglich, mit dieser einen Faltung eine kubische Gleichung zu lösen?Wenn man einen Punkt P auf eine vorgegebene Linie l faltet, ist der resultierendeFalz die Tangente einer Parabel mit Brennpunkt P und Leitgerade l. Einen Punktauf eine Linie zu falten ist demnach dasselbe wie einen Punkt auf einer bestimm-ten Parabel festzulegen, was wiederum äquivalent zum Lösen einer quadratischenGleichung ist.

2 3√2 ist mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar:Jede mit Zirkel und Lineal aus der Streckenlänge 1 konstruierbare Strecke z liegt in einer nor-malen Körpererweiterung L/Q vom Grad 2n. Für a =

3√2 ist aber [Q(a) : Q] = 3, und darum ista in keinem Körper vom Grad 2n über Q enthalten (cf. [13])

8


Abb. 2.2: Konstruieren einer Tangente an eine Parabel (aus [6])

Die Beloch-Faltung kann demnach wie folgt interpretiert werden:P1 auf l1 zu falten ergibt eine Tangente an die Parabel mit Brennpunkt P1 und Leit-gerade l1, P2 auf l2 liefert dementsprechend eine Tangente an die Parabel mit Schei-tel P2 und Leitgerade l2. Diese Faltung findet also eine gemeinsame Tangente an diebeiden Parabeln.

Abb. 2.3: Zwei Parabeln haben höchstens drei gemeinsame Tangenten (aus [6])

Man stelle sich die beiden Parabeln

p1 : (y − n)2 = 2a(x − m)

undp2 : x2 = 2by

vor [4]. Nun seit : y = cx + d

eine gemeinsame Tangente an diese beiden Parabeln. Man nehme nun an, dassP1(x1, y1) der Punkt ist, in dem t p1 tangiert. Dann kann man t auch mithilfe derGleichung

(y − n)(y1 − n) = a(x − m) + a(x1 − m)

9


beschreiben, also

y =a

y1 − nx + n +

ax1 − 2amy1 − n

.

Dann ist c = ay1−n und d = n + ax1−2am

y1−nund deshalb y1 = a+nc

c , x1 = d−nc + 2m

und(y1 − n)2 = 2a(x1 − m)

⇒a2

c2 = 2a(d − n

c+ m

)⇒ a = 2c(d − n + cm).

Ebenso sei P2(x2, y2) der Punkt, in dem t p2 tangiert. Dann ist t auch durch dieGleichung

y =x2

bx − y2

repräsentiert, was wiederum zu

d = −bc2

2führt.Indem man nun für d substituiert, erhält man

a = 2c(−

bc2

2− n + cm

)⇔ bc3 − 2mc2 + 2nc + a = 0

⇔ c3 −2mb

c2 +2nb

c +ab

= 0.

Also ist die Steigung der gemeinsamen Tangente eine Lösung c der kubischen Glei-chung

c3 −2mb

c2 +2nb

c +ab

= 0.

Demnach ist die Beloch-Faltung äquivalent zur Lösung einer kubischen Gleichung.

2.1.2 Das Beloch-Quadrat

Einen weiteren wichtigen Schritt zur Konstruktion von 3√2 bietet das sogenannteBeloch-Quadrat:Dazu seien zwei Punkte A und B und zwei Linien r und s in der Ebene gegeben. Mankonstruiere nun ein Quadrat WXYZ, mit zwei gegenüber- und auf r und s liegendenEcken X und Y . Außerdem sollen die Seiten WX und YZ oder deren Verlängerungendurch die Punkte A und B verlaufen.

10


Abb. 2.4: Das Beloch-Quadrat (aus [6])

Zur Konstruktion dieses Quadrats benötigt man die zwei gegebenen Punkte A undB und die beiden Linien r und s. Nun verdoppele man den Abstand von A und rund konstruiere eine neue Linie r′, die parallel zu r sei, so dass r zwischen A undr′ liege. Ebenso verfahre man mit B und s und erzeuge die Linie s′. Diese beidenLinien können leicht unter Zuhilfenahme der oben erwähnten Axiome konstruiertwerden.

Anschließend folgt die Beloch-Faltung:Man falte simultan A auf r′ und B auf s′ und erhalte die Punkte A′ und B′. Der soerzeugte Falz halbiert außerdem als Lot die Strecken AA′ und BB′. Seien nun X undY genau die Mittelpunkte dieser Strecken, so liegt X auf r und Y auf s.

Abb. 2.5: Konstruktion des Beloch-Quadrats (aus [6])

Die Strecke XY kann demnach eine Seite des Beloch-Quadrats sein, und da AX undBY senkrecht auf XY stehen, liegen A und B auf gegenüberliegenden Seiten – oderderen Verlängerungen – dieses Beloch-Qadrats.

2.1.3 Konstruktion von 3√2 im R2

Mithilfe des Beloch-Quadrats lässt sich nun 3√2 plausibel konstruieren.

11


Hierfür nehme man s als x-Achse und r als y-Achse, A sei der Punkt (−1, 0) und Bsei der Punkt (0,−2). Nun konstruiere man die Linien r′ mit Gleichung x = 1 unds′ mit Gleichung y = 2.Wenn man anschließend mithilfe der Beloch-Faltung A auf r′ und B auf s′ faltet,erhält man einen Falz, der r im Punkt X und s im Punkt Y schneidet.

Abb. 2.6: Konstruktion von 3√2 mithilfe des Beloch-Qadrats (aus [6])

Sei nun O der Ursprung, so sind 4OAX, 4OXY und 4OBY ähnliche Dreiecke, daXY senkrecht auf AA′ und BB′ steht (cf. [2]).Deshalb gilt

|OX| : |OA| = |OY | : |OX| = |OB| : |OY |.

Es ist |OA| = 1, und damit |OB| = 2. Es ergibt sich

|OX| = |OY | : |OX| = 2 : |OY |.

Damit folgt nun endlich

|OX|3 = |OX| |OY ||OX|

2|OY | = 2

und schließlich

X = (0, 3√2).

�

12

2.2 Ein weiterer Beweis

2.2 Ein weiterer Beweis

Eine weitere - und auch simplere - Art, 3√2 zu falten, demonstriert folgender Beweis[8]:Man beginne mit einem quadratischen Blatt Papier. Dies habe Kantenlänge 1, undsei in drei gleich große Rechtecke unterteilt 3.

Abb. 2.7: Konstruktion von 3√2 durch Faltung (nach [8])

Auch hier wird die Beloch-Faltung genutzt, um einen Falz zu erzeugen, der denPunkt P1 auf die Linie L1, und den Punkt P2 auf die Linie L2 legt. Die Behauptungsei nun, dass das Bild von P1 die linke Papierkante in zwei Abschnitte unterteile,deren Längen im Verhältnis 3√2 zueinander stünden.Es muss also bewiesen werden, dass in der Abbildung x

1−x =3√2 gilt.

Die beiden mittelgrau unterlegten Dreiecke sind ähnlich, und daraus folgt:

3x − 1 =x − 1

313

=1 − z

z=

1z − 1

,

beziehungsweise 3xz = 1 oder 3x(2z) = 2.Für das größere dieser beiden Dreiecke gilt jedoch nach Pythagoras:

(1 − x)2 + (1 − z)2 = z2 oder2z = (1 − x)2 + 1.

Also ist

3x[(1 − x)2 + 1] = 2, beziehungsweise x3 = 2(1 − x)3

3Dies ist ebenfalls mithilfe von Origami möglich, siehe [8, S. 11 ff.]

13


und somit ergibt sich als reelle Lösung

x1 − x

=3√2,

wie behauptet.Also ist

3√2 =

11 − x

− 1,

und diese Länge lässt sich leicht auf einem Papier abtragen.

�

14

3 Lösen allgemeiner kubischerGleichungen mittels Papierfaltung

Dass 3√2 – und damit die reelle Lösung der kubischen Gleichung x3 = 2 – durchFaltung von Papier konstruierbar ist, ist damit gezeigt.Wie sieht es jedoch mit den Lösungen beliebiger kubischer Gleichungen mit ratio-nalen Koeffizienten aus?Es sei vorweg behauptet, dass es möglich ist, diese ebenfalls auf die beschriebeneArt und Weise zu konstruieren. Im Folgenden werden zwei unterschiedliche Ver-fahren skizziert, die diese Behauptung rechtfertigen.Die erste, technisch korrekte, jedoch weniger elegante Methode ist die von RogerC. Alperin [1].

3.1 Alperins Methode

Alperins Ansatz stützt sich in erste Linie darauf, dass sich rationale Zahlen der Formab (a ∈ Z, b ∈ N) mittels Origami konstruieren lassen. Die folgende Methode, dieBezug nimmt auf Masamichi Noma, funktioniert wie folgt (cf. [8]):

Lemma (Nomas Methode)Rationale Zahlen der Form a

b , a ∈ Z, b ∈ N sind faltbar.

BeweisMan definiere p als die größte Potenz von 2, die kleiner als b ist. Anschließendkonstruiere man die Brüche w = b/2p und x = b/2p entlang der linken und deroberen Kante. Nun falte man Punkt w auf x und erhält einen Falz entlang der linkenKante mit Höhe y = p/b. Schließlich konstruiere man relativ zu diesem Abschnittden Bruch a/p; als Ergebnis erhält man den gewünschte Bruch a/b.

�

15

3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung

Abb. 3.1: Nomas Methode (aus [8])

Nun sei eine beliebige kubische Gleichung der Form x3 + ax2 + bx + c = 0 mitrationalen Koeffizienten gegeben. Der quadratische Term lässt sich nun leicht eli-minieren, indem man mit z = x − 1

3a substituiert.Das ergibt dann

z3 +3b − a2

3z −

9ab − 27c − 2a3

27= 0.

Demnach kann man eine allgemeine kubische Gleichung der Form x3 + ax + b =

0 voraussetzen, wobei a und b rationale Koeffizienten und folglich konstruierbardurch Papierfaltung sind.Man stelle nun die beiden quadratischen Gleichungen(

y − 12a

)2= 2bx und y = 1

2 x2

in den Fokus. Da a und b durch Origami konstruierbar sind, können auch die Ko-effizienten dieser beiden Gleichungen gefaltet werden, und dementsprechend auchdie Brennpunkte und Leitgeraden der beiden Parabeln.Die erste Parabel hat folglich Brennpunkt (b/2, a/2) und Leitgerade x = −b

2 , diezweite Brennpunkt (0, 1/2) und Leitgerade y = −1

2 .Man falte mithilfe der Beloch-Faltung (b/2, a/2) auf x = −b

2 und (0, 1/2) aufy = −1

2 . Dadurch erhält man einen Falz, der Tangente an diese beiden Parabelnist.Sei m die Steigung jener Falzlinie.

Behauptung:m ist eine Wurzel von x3 + ax + b = 0

Beweis:Sei (x0, y0) der Berührungspunkt der Tangente mit der ersten Parabel und (x1, y1)derjenige mit der zweiten Parabel. Es lassen sich die beiden Parabelgleichungenableiten und die Berührungspunkte sowie m einsetzen, um erneut Gleichungen zu

16

3.1 Alperins Methode

erhalten.Die erste Gleichung hat zum Resultat

lim∆x→0

∆y∆x

=b

y − a/2,

alsom =

by0 − a/2

.

Mit der zweiten erhält man m = x1 und demgemäß y1 = (1/2)m2. Desweiterenergibt sich, wenn man (x0, y0) in die erste Parabelgleichung einsetzt,

x0 =(y0 − a/2)2

2b=

b2m2 .

Nun kann nach m aufgelöst werden:

m =y1 − y0

x1 − x0=

m2

2 −a2 −

bm

m − b2m2

.

Simplifiziert erhält man letztlich m3 + am + b = 0.

�

17


3.2 Lills Methode

Eine weitere – und anschaulichere – Methode zur Konstruktion der reellen Lösun-gen von Gleichungen dritten Grades, die auch mit Origami kombinierbar ist, ist diedes österreichischen Ingenieurs Eduard Lill von 1867 (cf. [5]).

3.2.1 Lills Methode zum Lösen kubischer Gleichungen

Es sei eine beliebige Gleichung der Form

ax3 + bx2 + cx + d = 0

mit reellen Koeffizienten gegeben. Zum Finden einer reellen Lösung dieser Glei-chung geht Lill geometrisch vor: Seine Methode kreiert einen Pfad in der Ebene,der auf den Koeffizienten der Gleichung basiert:

Abb. 3.2: Lills Methode (nach [5])

Man starte am Ursprung, dem Punkt O, und zeichne eine Strecke der Länge a ent-lang der positiven x-Achse. Anschließend drehe man sich um 90◦ im Uhrzeigersinnund zeichne eine Strecke der Länge b ab. Dieses Verfahren wiederhole man für dieKoeffizienten c und d und ende schließlich am Punkt T . Zu beachten ist, dass, wenneiner der Koeffizienten negativ ist, man sich zwar um 90◦ im Uhrzeigersinn drehe,jedoch die Strecke rückwärts gehe, also in die entgegengesetzte Richtung abtrage.Wenn ein Koeffizient gleich Null ist, drehe man sich zwar, zeichne aber keine Stre-cke.

18

3.2 Lills Methode

Nun stelle man sich vor, man stehe am Punkt O und versuche, den Punkt T mit einerKugel zu erschießen1, die von dem Koeffizientenpfad oder von den Verlängerungender Strecken in einem rechten Winkel abpralle (siehe Abbildung).

Satz (Lills Theorem):Wenn der Punkt T von diesem Kugelweg erfolgreich getroffen wird, und θ der Win-kel ist, den dieser Weg im Punkt O mit der x-Achse einschließt, dann ist

x = − tan θ

eine reelle Wurzel der kubischen Gleichung.

Beweis:Für den Beweis [5] ist es wichtig, zu erkennen, dass alle Dreiecke in der Figurähnlich sind, dass also

θ = ∠q1Op1 = ∠q2q1 p2 = ∠Tq2 p3

gilt.Jedes dieser Dreiecke kann demnach genutzt werden, um tan θ zu kalkulieren.Man starte mit 4Op1q1. dann erhält man

−x = tan θ =|p1q1|

a=

b − |q1 p2|

a

⇒ |q1 p2| = ax + b.

Nun betrachte man 4q1 p2q2.

−x = tan θ =|p2q2|

|q1 p2|=

c − |p3q2|

ax + b

⇒ |p3q2| = x(ax + b) + c.

Schließlich erhält man, 4q2 p3T betrachtend,

−x = tan θ =d|p3q2|

=d

x(ax + b) + c

⇒ 0 = x(x(ax + b) + c) + d = ax3 + bx2 + cx + d

Also ist x = − tan θ eine Wurzel der betrachteten kubischen Gleichung.

�

1An diesem Punkt sei angemerkt, dass Lill auch Offizier war, was vielleicht die etwas martialischeVorstellung des “Erschießens” von T erklärt.

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Bei diesem Beweis wurde jedoch von der Voraussetzung ausgegangen, dass alleKoeffizienten der kubischen Gleichung positiv sind.Der Pfad sähe allerdings ganz anders aus, wenn Koeffizienten negativ oder Nullwären.Beispielsweise könnte der Koeffizient des x-Terms negativ, alle anderen Koeffizien-ten aber positiv sein. Die kubische Gleichung habe also die Form

ax3 + bx2 − cx + d = 0

mit positiven a, b, c, d. Dann stellt sich der Koeffizienten- und der Kugelpfad quali-tativ wie in der folgenden Abbildung dar:

Abb. 3.3: Koeffizientenpfad mit einem negativen Koeffizienten (aus [6])

Der Beweis funktioniert analog:Für 4Op1q1 gilt

−x = tan θ =|p1q1|

a=

b + |q1 p2|

a

⇒ |q1 p2| = −ax − b.

Für 4q1 p2q2 gilt

−x = tan θ =|p2q2|

|q1 p2|=

c + |p3q2|

−ax − b

⇒ |p3q2| = −x(−ax − b) − c.

20

3.2 Lills Methode

Für 4q2 p3T gilt schließlich

−x = tan θ =d|p3q2|

=d

−x(−ax − b− c

⇒ −ax3 − bx2 + cx = d ⇒ ax3 + bx2 − cx + d = 0.

�

Die anderen Fälle können ähnlich bewiesen werden.

21


3.2.2 Lills Methode mittels Origami

Margharita Beloch erkannte, dass Lills Methode im kubischen Fall identisch miteiner Variante ihrer Quadrat-Konstruktion war. Der Pfad hat also - wie in den obigenAbbildungen - vier Seiten, und der Kugelpfad drei Seiten [6].Nun stelle man sich O als den Punkt A vor, T als den Punkt B und die verlängertenb- und c-Seiten als die Linien r und s.Dann liefert ein Beloch-Quadrat mit entgegengesetzten Ecken auf den Linien r unds, dessen Seiten bzw. deren Verlängerungen durch O und T gehen, den gesuchtenKugelpfad:

Abb. 3.4: Das Beloch-Quadrat in Lills Pfadmethode (aus [6])

Demnach kann Origami genutzt werden, um Lills Methode im kubischen Fall zuvollziehen und beliebige Gleichungen dritten Grades zu lösen, auch für die anderenVorzeichen-Kombinationen

22

3.2 Lills Methode

3.2.3 Ein Beispiel

Im Folgenden wird an einem Beispiel gezeigt [5], wie Lills Methode genutzt werdenkann, um die Wurzeln einer kubischen Gleichung per Origami zu finden.Gegeben sei

x3 − 7x − 6 = 0.

Nun benötigt man ein quadratisches Stück Papier und stelle sich vor, es erstreckesich über −4 ≤ x ≤ 12 und −8 ≤ y ≤ 8 in der xy-Ebene.Zuerst muss das Koordinatensystem und der Koeffizientenpfad vorbereitet werden:

Man halbiere das Papier der Länge nach, um die x-Achse zu konstruieren. Nunhalbiere man es der Breite nach bei x = 4 und falte anschließend die y-Achse undeine Linie bei x = 8.

23


Als nächstes falte man die Linien bei x = 2 und bei x = 1 und halbiere die negativey-Achse sowie die Parallele der positiven y-Achse bei x = 8.

Nun falte man die Linie bei y = −6 und den Punkt (8, 6) und nenne diesen Punkt T ,den Punkt (0, 0) nenne man O und die Linien bei y = −6 und x = 2 L1 und L2.

24

3.2 Lills Methode

An dieser Stelle kommt Lills Methode zum Einsatz:Man falte den Punkt O auf die Linie L1 und simultan den Punkt T auf die Linie L2.Dafür gibt es in diesem Beispiel drei Möglichkeiten. Es gibt also drei relle Lösungender kubischen Gleichung x3 − 7x − 6 = 0.

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3.2.4 Fragestellung: Ist es möglich, am Koeffizientenpfad dieAnzahl der rellen Lösungen zu erkennen?

Die kubische Gleichung im vorangegangenen Beispiel hatte drei reelle Lösungen.Jedoch existieren auch Gleichungen mit nur einer reellen Lösung. Woran liegt esaber, dass eine Gleichung drei, eine andere dagegen nur eine reelle Wurzel besitzt,und kann man eventuell sogar schon am Koeffizientenpfad erkennen, ob eine Glei-chung zu einer oder drei Lösungen führt?

Man gehe aus von einer reduzierten kubischen Gleichung der Form

x3 + px + q = 0

mit p, q ∈ Q. Der Koeffizientenpfad geht also in jedem Fall zuerst vom Ursprungaus um eins nach rechts, dreht sich anschließend um 180◦ gegen den Uhrzeigersinn,bewegt sich dann entweder vorwärts oder rückwärts um p auf der x-Achse, drehtsich um 90◦ gegen den Uhrzeigersinn, um schließlich parallel zur y-Achse q nachoben oder unten zu verlaufen.Der Pfad wird also immer ähnlich aussehen. Gleichwohl stellt sich die Frage, wovones abhängig ist, ob er drei Lösungen impliziert oder nur eine.

Das Lösungsverhalten der kubischen Gleichung hängt entscheidend von der ihrerDiskriminante ab [14]. Die Diskriminante der reduzierten kubischen Gleichung ist

D = 4p3 + 27q2.

Gilt nun D > 0, so gibt es genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe.Bei D = 0 gibt es entweder eine doppelte und eine einfach reelle Lösung oder einedreifache reelle Lösung.Ist D < 0, so gibt es drei verschiedene reelle Lösungen.

Wenn also

4p3 + 27q2 > 0,

beziehungsweise

q2 > −4

27p3

gilt, dann existiert nur eine reelle Lösung.

26

3.2 Lills Methode

Abb. 3.5: Pfad mit einer reellen Lösung

Hier gibt es offensichtlich nur eine reelle Lösung, nämlich diejenige, die den bereitsvorhandenen rechten Winkel nutzt.Wenn andererseits gilt

4p3 + 27q2 < 0

p3 < −274

q2,

dann existieren drei verschiedene reelle Lösungen. In diesem Fall ist p zwingendnegativ.

Abb. 3.6: Pfad mit drei reellen Lösungen

27


Hier kann man – wie im Beispiel – drei reelle Lösungen falten. Anhand dieserGleichungen kann man zwar nicht definitiv auf den ersten Blick auf den Koeffizi-entenpfad entscheiden, ob dieser eine oder drei reelle Wurzeln besitzt, jedoch kannman es anhand des Größenunterschieds grob einschätzen. Damit es drei reelle Lö-sungen geben kann, muss p negativ sein. Ist p positiv oder gleich 0, so kann es nureine reelle Wurzel geben (außer es gilt D = 0; dieser Fall wird hier außer Achtgelassen).Die Frage, ob man schon an der ursprünglichen nicht reduzierten kubischen Glei-chung die Anzahl der reellen Nullstellen ablesen kann, ist weitaus komplizierter zubeantworten. Man gehe von einer normierten kubischen Gleichung der Form

x3 + bx2 + cx + d = 0

aus, da jede kubische Gleichung leicht auf diese Form zu bringen ist.Nun substituiere man mit x = y − b

3 und erhält

y3 + py + q = 0

mitp = c −

13

b2

undq = d +

227

b3 −13

bc,

also wieder die reduzierte kubische Gleichung mit Diskriminante D = 4p3 + 27q2,nämlich

D = 4(c −

13

b2)3

+ 27(d +

227

b3 −13

bc)2

.

Um letztlich herauszufinden, für welche Koeffizienten die Diskriminante größeroder kleiner Null wird, müssen zahlreiche Fallunterscheidungen gemacht werden.Dies wird hier außer Acht gelassen, und lediglich die nachgewiesene Tatsache fest-gehalten, dass man der reduzierten kubischen Gleichung direkt die Anzahl ihrerreellen Lösungen abzulesen vermag.

28

4 Ausblick: Falten von Wurzelnhöheren Grades

Nachdem im vorangegangenen Kapitel das Problem der Faltung kubischer Wurzelngelöst werden konnte, liegt nichts näher als die Frage:Lassen sich auch die reellen Lösungen von Gleichungen höheren Grades mithilfevon Origami finden?

4.1 Falten biquadratischer Wurzeln

Die Antwort darauf ist im Falle biquadratischer Gleichungen verhältnismäßig sim-pel.Diese lassen sich nämlich auf quadratische und kubische Gleichungen reduzieren,und demzufolge ihre reellen Wurzeln falten, indem die gemeinsamen Tangentenvon Parabeln gefunden werden.Zu diesem Zweck ist es beispielsweise sinnvoll, sich an Descartes’ Anleitung von1637 zu orientieren (cf. [7]).Man gehe im Folgenden immer von einer biquadratischen Gleichung der Form

x4 + ax2 + bx + c = 0

aus. Diese faktorisiere man nun in ein Produkt zweier quadratischer Gleichun-gen. Da die Gleichung keinen kubischen Faktor besitzt, müssen die linearen Fakto-ren der beiden quadratischen Gleichungen gleich in ihrer Mächtigkeit sein, aberverschiedene Vorzeichen haben. Die gesuchte Faktorisierung soll also die Form(x2 + ux + v)(x2 − ux + w) haben. Mit der ursprünglichen biquadratischen Gleichungerhält man

v + w − u2 = a

wu − vu = b

vw = c.

Die beiden ersten Gleichungen lassen sich nun schreiben als

v + w = a + u2

v − w = −bu.

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4 Ausblick: Falten von Wurzeln höheren Grades

v und w können also durch u ausgedrückt werden. Eingesetzt führt das zu

u6 + 2au4 + (a2 − 4c)u2 − b2 = 0,

einer kubischen Gleichung in u2. Diese ist wiederum durch Origami lösbar.

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5 Fazit

Resümierend lässt sich sagen, dass Origami wohl eine Kunstform ist, die in ihrenAusdrucks- und Anwendungsmöglichkeiten weit über das hinaus geht, was wahr-scheinlich die meisten Menschen damit verbinden. Das Papierfalten erweist sich beinaher Betrachtung als ein mächtiges Werkzeug der Mathematik, das sehr lange Zeitunterschätzt und erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts überhaupt als ebendieses er-kannt wurde.Allerdings sollte man bei aller abstrakten Beschäftigung mit Gleichungen, die sichmithilfe der Papierfaltung als lösbar erweisen, nicht das Bestreben vergessen, auswelchem heraus Menschen vermutlich überhaupt erst anfingen, Papier zu falten:Origami ist unbestritten eine Kunst, die sowohl dem Geist als auch der Seele Flügelzu verleihen in der Lage ist. Deshalb folgt abschließend – als Anregung zur Zer-streuung und Kontemplation – die Anleitung für einen Kranich (nach [12]).

Zum Falten eines Kranichs benötigt man ein quadratisches Stück Papier.

Zuerst falte man die Diagonalen des Papiers. Anschließend drehe man es um undhalbiere es auf beide Arten. Danach falte man die drei oberen Ecken auf die untere– die Falze benutzend, die man bereits gemacht hat.

Nun halbiere man die beiden Winkel am offenen Ende und falte den oberen Ab-schnitt nach unten. Diese Schritte müssen als nächstes wieder entfaltet werden. Imnächsten Schritt benutze man die bereits vorhandenen Falze, um den unteren Teilnach oben zu heben, und die Seiten in die Mitte zu falten.

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5 Fazit

Anschließend drehe man das Papier um und wiederhole das Ganze.

Diese Form wird die Vogel-Basis genannt.Jetzt halbiere man wieder die beiden Winkel am offenen Ende, drehe das Papier umund wiederhole diesen Schritt.Nun falte man die beiden offenen Enden schräg nach oben, entfalte wieder und be-nutze die Falze, um die Enden nun nach innen und schräg oben zu falten.

Zum Schluss falte man nur noch eines der Enden nach innen und schräg unten – alsKopf – und die Flügel etwas nach unten.Fertig ist der Kranich.

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Literaturverzeichnis

[1] Alperin, Roger C.: “Theory of Origami,” New York Journal of Mathema-tics, Vol. 6, New York J. Math., 2000, S. 119 - 133.

[2] Beloch, Margharita P.: “Sul metodo del ripiegamento della carta per la ri-soluzione dei problemi geometrici,”, Periodico di matematiche, 16, 1936,S. 104 - 108.

[3] Fuchs, Clemens: “Angle trisection with Origami an related topics,” Ele-mente der Mathematik, 66, 2011, S. 121 - 131.

[4] Geretschläger, Robert: “Euclidean Constructions and the Geometry of Ori-gami,” Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 5, Dez. 1995, S. 357 - 371.

[5] Hull, Thomas C.: “Project Origami: activities for exploring mathematics,”zweite Ausgabe, CRC Press, 2013.

[6] Hull, Thomas C.: “Solving Cubics with Creases,” The Mathematical Asso-ciation of America, 118, April 2011, S. 307 - 315

[7] Kalman, Dan: “Uncommon Mathematical Excursions: Polynomia and Re-lated Realms,”, MAA, 2009.

[8] Lang, Robert J.: “Origami and Geometric Constructions,”http://www.langorigami.com, 2010.

[9] Smith, John S.: “Notes on the History of Origami,” Preface to the secondedtition, April 1996.

[10] Sundara Row, T.: “Geometric Exercises in Paper Folding,” dritte Ausgabe,Open Court Publishing Company, 1917.

[11] Vacca, Giovanni: “Della piegatura della carta applicata alla geometria,” Pe-riodico di matematiche, 10, 1930, S. 43 - 50.

[12] http://wallpirate.com/pretty-origami-crane-instruction-wallpapers-for-android/

[13] Wolfart, Jürgen: “Einführung in die Zahlentheorie und Algebra,” Vieweg,1996.

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Literaturverzeichnis

[14] Zeidler, Eberhard (Hrsg.): “Springer-Taschenbuch der Mathematik,” 3.Auflage, Springer Spektrum, 2013.

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Erklärung zur wissenschaftlichenRedlichkeit

Hiermit versichere ich, dass die vorliegende Arbeit von mir selbstständig verfasstwurde und dass keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutztwurden. Diese Erklärung erstreckt sich auch auf in der Arbeit enthaltene Grafikenund bildliche Darstellungen.Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit bisher oder gleichzeitig keiner an-deren Prüfungsbehörde mit der Folge der Verleihung eines akademischen Gradesvorgelegt habe.Ich versichere, dass ich diese Arbeit niemandem überlassen werde, der die Absichthat, diese anderen gegenüber ganz oder teilweise als seine eigene auszugeben.

Ich versichere, dass die eingereichte schriftliche Fassung der auf dem beigefügtenMedium gespeicherten Fassung entspricht.

Würzburg, den 10.09.2014

(Lena Lorang)

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