KOPIE - leuchtturm.lernwerft.de · - KOPIE - Einleitung 5 1. EINLEITUNG 1.1 Vorstellung und...
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- KOPIE - Studie zum Thema ANWENDUNGEN UND MODELLBILDUNG IM GEOMETRIEUNTERRICHT DER SEKUNDARSTUFE I Seminar: Blockpraktikum vom 12. bis 30. März 2007 von Marco Dittrich (Matrikelnummer: 531615)
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Studie zum Thema
ANWENDUNGEN UND MODELLBILDUNG
IM GEOMETRIEUNTERRICHT
DER SEKUNDARSTUFE I
Seminar: Blockpraktikum
vom 12. bis 30. März 2007
von
Marco Dittrich
(Matrikelnummer: 531615)
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INHALTSVERZEICHNIS
1. EINLEITUNG...............................................................................................................................................................5
1.1 VORSTELLUNG UND ERLÄUTERUNG DES THEMAS.....................................................................................................5
1.2 ERLÄUTERUNG DER KONZEPTION UND DES AUFBAUS DER EIGENEN STUDIE ............................................................5
2. THEORETISCHE ERARBEITUNG..........................................................................................................................7
2.1 ENTWICKLUNG DES MATHEMATIKUNTERRICHTS IN DEN LETZTEN JAHREN...............................................................7
2.2 UMSETZUNG DER KOMPETENZEN IM MATHEMATIKUNTERRICHT MIT DER VERÖFFENTLICHUNG DER
BILDUNGSSTANDARDS....................................................................................................................................................8
2.3 ANWENDUNGEN UND MODELLIEREN IM MATHEMATIKUNTERRICHT ........................................................................9
2.4 DIE AKTUELLEN DISKUSSIONEN IM BEZUG AUF ANWENDUNGEN IM UNTERRICHT .................................................10
3. ANALYSE DER PRAKTISCHEN UNTERSUCHUNG .........................................................................................12
3.1 BEDINGUNGSFAKTOREN..........................................................................................................................................12
3.2 PLANUNG, DURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG DER AUFGABEN IM EINZELNEN...................................................12
3.2.1 „Peters Brief“ ................................................................................................................................................13
3.2.2 „Kirschbaumplantage“ ..................................................................................................................................14
3.2.3 „Urlaub im Stau“ ...........................................................................................................................................14
3.2.4 „Flächeinhalt eines Kontinents“....................................................................................................................15
3.2.5 „Das Zirkustrapez“ ........................................................................................................................................15
4. ZUSAMMENFASSUNG UND FOLGERUNGEN...................................................................................................17
4.1 PLANUNG UND VORBEREITUNG...............................................................................................................................17
4.2 AUSWERTUNG DER SCHÜLERREAKTIONEN UND DER ERGEBNISSE..........................................................................18
4.3 FAZIT ......................................................................................................................................................................19
5. QUELLENANGABEN ...............................................................................................................................................21
6. ANHANG.....................................................................................................................................................................23
AUFGABENBLÄTTER ZU DEN EINZELNEN AUFGABEN AUS 3.2 .......................................................................................23
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1. EINLEITUNG
1.1 Vorstellung und Erläuterung des Themas
In den letzten 10 Jahren wurde die Didaktik des Mathematikunterrichts an deutschen Schulen
heftig diskutiert. Der Auslöser dafür waren mehrere prominente Ereignisse, die zu einem starken
öffentlichen Interesse geführt haben. Mit Beginn dieser Diskussionen vollzog sich ein Wandel in
der Unterrichtsform und der Didaktik des naturwissenschaftlichen Unterrichts, wobei man sich
stark an anderen Ländern und verschiedenen reformpädagogischen Ansätzen orientiert hat.
In den letzten Jahren hat sich dadurch eine Mathematikdidaktik entwickelt, welche
verschiedene Ansätze, Modelle und Impulse in sich vereint. Besonders die Forderung nach einem
problem- und anwendungsorientierten Unterricht hat sich in dieser Entwicklung manifestiert.
Damit sollte ein Grundstein für die Verbesserung des Bildungsniveaus deutscher Schüler gelegt
werden. Diese Veränderungen der Unterrichtsformen und der Aufgabenkultur finden sich in
Leitlinien und den Lehrplänen wieder und sollen von den Lehrern im Unterricht umgesetzt werden.
Aber gerade bei der Umsetzung in die Praxis kam es immer wieder zu Problemen, die zu heftigen
Diskussionen führten.
1.2 Erläuterung der Konzeption und des Aufbaus der eigenen Studie
Mit dieser Studie möchte ich die Möglichkeiten, Probleme und Ergebnisse von
Anwendungsaufgaben im Geometrieunterricht untersuchen. Dabei sollen Zusammenhänge zu den
Meinungen aus verschiedenen Veröffentlichungen hergestellt und eventuelle Schlussfolgerungen
gezogen werden. Besonders möchte ich dabei auf die persönlichen Beobachtungen aus der
praktischen Durchführung eingehen und diese mit den aktuellen Diskussionen vergleichen.
Zu diesem Zweck habe ich den Kern der Studie in drei Teile aufgeschlüsselt: Im Kapitel
„Theoretische Erarbeitung“ wird das Thema auf der Grundlage von verschiedenen Quellen
erschlossen und die für diese Studie entscheidenden Punkte kurz zusammengefasst. Das Kapitel 3
befasst sich hingegen ausschließlich mit der praktischen Durchführung der Studie. Hier werden die
grundlegenden Voraussetzungen dargestellt, bevor die Aufgaben im Einzelnen erläutert und
analysiert werden. Bei der Erläuterung der Voraussetzungen, Vorbereitungen und Ergebnisse, der
im Rahmen der Studie gehaltenen Unterrichte, wird auf konkrete Beobachtungen hingewiesen. Zum
besseren Verständnis wurden hier bereits erste Folgerungen für die Umsetzung im Unterricht dem
Kapitel 4 vorweggenommen.
- KOPIE -Einleitung
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Im Kapitel 4 werden die Erkenntnisse des Theorieteils und die Schlussfolgerungen aus dem
Praxisteils in Verbindung gebracht. Am Ende wird dann das abschließende Fazit der Studie
formuliert.
Der in dieser Studie verwendete Begriff der Anwendung bezeichnet einen Aufgabentyp, der
mathematische Aufgaben- und Problemstellungen in einen praktisch anwendbaren Kontext bringt.
Dazu gehören sowohl Textaufgaben als auch praktische Übungen, die ganz alltägliche Probleme
aus dem Umfeld der Schüler aufgreifen.
Um diesen komplexen Begriff nicht zu sehr zu strapazieren, hat sich bei Anwendungen auch
der Modellbegriff durchgesetzt. Der Prozess des Modellierens bezieht sich vor allem auf sehr
offene, komplexe und wenig vorstrukturierte Anwendungsaufgaben, wobei die Schülerinnen und
Schüler selbst den Modellbildungsprozess durchführen sollen.
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2. THEORETISCHE ERARBEITUNG
2.1 Entwicklung des Mathematikunterrichts in den letzten Jahren
„Die kulturelle und gesellschaftlich-praktische Bedeutung der Mathematik steht in einem krassen
Missverhältnis zu den Erfahrungen, die die meisten Heranwachsenden während ihrer Schulzeit mit
diesem und durch dieses Fach machen. Nur bei einer Minderheit scheint der Mathematikunterricht
Fähigkeiten wie systematisches und kritisches Denken, Problemlösen und rationales Argumentieren
zu fördern.“ (Heymann 2007)
Dieses Zitat von Heymann zeigt die Vorwürfe, denen sich der Mathematikunterricht seit
Mitte der 90-iger Jahre stellen muss. Er wird als realitätsfremder Unterricht kritisiert, der die
Schüler nicht in ausreichender Form auf das Berufsleben vorbereitet. Durch die Publikation von
Heymann „Sind sieben Jahre Mathematik genug? Eine Pressemeldung und die Folgen.“ (1996) wird
eine Mediendiskussion angeregt, die den Mathematikunterricht in eine produktive
Legitimationskrise bringt. (vgl. Leuders 2003: S.48)
Im Jahre 1997/98 erfolgte nach der Veröffentlichung der Ergebnisse von TIMSS1 eine
schnelle Reaktion durch die Bund-Länder-Kommission. Es wurde ein Modellversuch unter dem
Namen: „Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts“ (Sinus)
gestartet (vgl. Hans 2006: S.1). Seit diesem Zeitpunkt ist eine ständige Umgestaltung der
Unterrichtsformen in Deutschland zu beobachten (vgl. Hans 2006: S.1). Bereits drei Jahre später
beginnt der erste Durchlauf der PISA – Studie2, der zeigt: „In Deutschland ist der Anteil der
Schülerinnen und Schüler, die selbstständig mathematisch argumentieren und reflektieren können
…, mit 1,3 % äußerst klein. … Auch Aufgaben, die zum Standardrepertoire der deutschen
Lehrpläne zu rechnen sind …, werden von weniger als der Hälfte der Schülerinnen und Schüler mit
hinreichender Sicherheit gelöst.“ (Stanat 2002: S.10). Spätestens mit diesem überraschend
schlechten Ergebnis erlangte das Thema ein starkes öffentliches Interesse, wodurch der
Umgestaltungsprozess in den Schulen zusätzlich vorangetrieben wurde.
Aus diesen öffentlichen Diskussionen sind verschiedene Impulse entstanden und
durchgesetzt worden. „Bisher wurde Wissen an deutschen Schulen zu oft serviert, geschluckt und
1 Die „THIRD INTERNATIONAL MATHEMATICS AND SCIENCE STUDY“ (TIMSS) war eine Untersuchung der
Schulleistungen, die 1994/95 von der International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) durchgeführt wurde.
2 Das „PROGRAM FOR INTERNATIONAL STUDENT ASSESSMENT“ (PISA) ist ein internationaler Vergleich des
vorhandenen Allgemeinwissens von 15-jährigen Schülern. Dieser Vergleich wurde von der OECD in den meisten ihrer Mitgliedsstaaten durchgeführt und seit 2000 alle 3 Jahre wiederholt.
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vergessen … Der Lehrer ist kein Entertainer, der Schüler kein reiner Konsument.“ erklärt Baptist3
(zitiert nach Hans 2006: S.1). Das Ziel ist ein anwendungsorientierter und schülerzentrierter
Unterricht, der an deutschen Schulen nach dem Vorbild von Staaten, die bei PISA obere „Ränge“
einnahmen, umgesetzt werden soll.
Am 04.12.2003 beschließt die Ständige Konferenz der Kultusminister der Länder in der
Bundesrepublik Deutschland (KMK) die Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss
(Jahrgangstufe 10). Diese Vereinbarung wird 2004 herausgegeben und bildet nach eigenen Angaben
der KMK eine besondere Bedeutung in der Qualitätssicherung schulischer Bildung: „Die Standards
basieren auf fachspezifisch definierten Kompetenzmodellen, die aus der Erfahrung der Schulpraxis
heraus entwickelt wurden. Sie beziehen international anerkannte Standardmodelle – u.a.
theoretische Grundlagen der PISA – Studie … ein.“ (KMK 2004: S.3f).
2.2 Umsetzung der Kompetenzen im Mathematikunterricht mit der Veröffentlichung der
Bildungsstandards
Nach den Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss (Jahrgangstufe 10) ist einer der
Beiträge des Faches Mathematik zur Bildung das Erwerben der allgemeinen Problemlösefähigkeit
in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln. Dabei sollen die
Schülerinnen und Schüler4 bei der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten die folgenden
Kompetenzen erwerben (vgl. KMK, 2004: S.8f):
− Mathematisch argumentieren (K1)
− Probleme mathematisch lösen (K2)
− Mathematisch modellieren (K3)
− Mathematische Darstellungen verwenden (K4)
− Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)
− Kommunizieren (K6)
Bei der didaktischen Umsetzung dieser Kompetenzen im Mathematikunterricht haben sich
verschiedene Ansätze und Hilfsmittel entwickelt. Hier wäre unter anderem kreativitätsfördernder
Unterricht, ganzheitliches und fächerübergreifendes Lernen, Computereinsatz im Unterricht,
prozessorientierter und anwendungsorientierter Unterricht zu nennen.
3 Peter Baptist ist Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität Bayreuth und einer der Gründerväter
des Modellversuches „Sinus“. 4 Der Einfachheit halber werden Schülerinnen und Schüler im Folgenden unter "Schüler" zusammengefasst.
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Die Mathematikdidaktik legt ihren Schwerpunkt auf einen schülerzentrierten und
problemorientierten Unterricht. Dabei geht es um das mathematische Arbeiten, Erfinden und
Entdecken, wobei vielfältige heuristische und kreative Prozesse eine Rolle spielen. Diese Aspekte
wurden nach Leuders (vgl. 2003: S.30) bisher fachwissenschaftlich nur weniger gründlich
untersucht. In der Fachdidaktik hingegen führen die Wege meist zurück zu der klassischen Schrift
von Polya (1945). Als eine wesentliche Anregung auf diesem Gebiet ist das von Aebli formulierte
„operative Prinzip“ anzusehen. Darin heißt es, dass sich das Denken durch ein Handeln entwickelt,
das sich vom Leichten zum Schweren gestuft verinnerlicht. (vgl. Aebli 2003: S.89ff) Es geht ihm
dabei um die bereits in der Reformpädagogik geforderte Form des selbstständigen Lernens.
2.3 Anwendungen und Modellieren im Mathematikunterricht
„Wir verstehen unter der Angewandten Mathematik nicht einen Zweig der Mathematik, sondern …
eine Haltung, eine Einstellung, eine Sichtweise bzw. eine Betreibungsart von Mathematik, die
dadurch gekennzeichnet ist, dass Theorien nicht nur Selbstzweck sind, sondern auch zur Lösung
von außermathematisch gestellten Problemen beitragen sollen.“ (Humenberger 1995: S.16 zitiert
nach Westermann 2003: S.155)
Die Forderung nach Anwendungen im Mathematikunterricht hatte in der deutschen
Geschichte ein wechselndes Gewicht. Gerade durch die technische Ausrichtung der Wissenschaften
Anfang des 19. Jahrhunderts und in der Zeit des Dritten Reichs wurde der Anwendungsaspekt
besonders betont. Danach folgte die anwendungsarme Phase „New Math“ die erst Ende der 70er
Jahre in Verbindung mit dem Sputnikschock5 und der daraus resultierenden weltweiten
fachdidaktischen Diskussion schrittweise beendet wurde. In Deutschland, so Westermann (vgl.
2003: S.148), hat diese Diskussion allerdings die Fachdidaktik weitaus mehr beeinflusst als den
konkreten Unterricht.
Es haben sich sehr hohe Anforderungen an die im Unterricht eingesetzten Anwendungen
entwickelt. Diese sollen dazu beitragen den Schüler von Sinn, Bedeutung und Nutzen
mathematischer Inhalte zu überzeugen. Aus dieser Anforderung heraus hat sich der Modellbegriff
entwickelt. „Mit der Modellbildung wird versucht ein offeneres Bild von Mathematik zu vermitteln
– ein Bild, das der Mathematik in ihrer realen Anwendung in der Welt gerecht wird.“ (Ludwig
2003: S.167) Die Schüler sollen dabei nicht nur vorgefertigte Modelle in Textaufgaben kennen
lernen, sondern selbst Modellierungsprozesse durchführen, wodurch Schüler besser auf
verschiedene Anwendungsgebiete vorbereitet werden. Die Kontextbereiche, aus denen die
5 Als Sputnikschock wird die politisch-gesellschaftliche Reaktion in USA und Westeuropa auf den Start des ersten
Erdsatelliten Sputnik am 4. Oktober 1957 durch die Sowjetunion bezeichnet.
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Anwendungen stammen, haben sich im Laufe der letzten Jahre deutlich erweitert. Gerade die
Bereiche Wirtschaft, Umwelt, Verkehr, Sport und Demographie spielen eine wachsende Rolle, aber
auch Musik und Kunst bieten vielfältige Möglichkeiten für Anwendungen im
Mathematikunterricht.
Bei der Entwicklung von Anwendungsaufgaben werden möglichst authentische Kontexte
und Problemstellungen herangezogen. Man findet aber auch zunehmend ‚Idealisierungsaufgaben’
(Westermann 2003: S.150). Diese Aufgaben sind sehr stark idealisiert, da sie meist aus sehr
komplexen Kontextbereichen stammen, wodurch sie kein authentisches Bild von Mathematik
vermitteln. Allerdings ist es dadurch möglich zunehmend nichtnaturwissenschaftliche Bereiche mit
einzubeziehen.
Ein Beispiel für die erfolgreiche Umsetzung des anwendungsorientierten Unterrichts zeigt
sich in den Niederlanden. Hier hat sich in den letzten 40 Jahren ein Konzept entwickelt, mit dem
sich fächerübergreifende Anwendungen entwickeln lassen. Diese so genannte „Realistic
Mathematics Education“ (RME) wurde hauptsächlich vom Freudenthal-Institut an der Universität
Utrecht entwickelt. Den Schülern sollen dabei Anwendungen geboten werden, die aus ihrem
Kontext heraus motivierend wirken und zum mathematischen Arbeiten herausfordern. Die Schüler
entwickeln eigene Ideen und finden Lösungen, die dann diskutiert, geübt und verinnerlicht werden.
Aus diesen Kontexten heraus soll der Zugang zu mathematischen Inhalten verbessert werden.
„Diese Entwicklung hat weltweit Beachtung gefunden, und auf die Konzeption von PISA Einfluss
genommen.“ (Westermann 2003: S.149)
2.4 Die aktuellen Diskussionen im Bezug auf Anwendungen im Unterricht
In den Lehrplänen für Mathematik in Realschulen finden sich die möglichen Anwendungsaspekte
vorwiegend in den Präambeln und allgemeinen Lernzielkatalogen wieder. Daraus entsteht ein nur
geringer Einfluss auf den Unterricht, da sich der Lehrer weitgehend an den aufgeführten
mathematischen Inhalten orientiert (vgl. Westermann 2003: S.150).
Bei der Einbindung von Anwendungen in den Mathematikunterricht entstehen Diskussionen
um die Durchführbarkeit. Nach Lehrerbefragungen (Humenberger, 1997: S.3 und Förster, 2002:
S.48, vgl. Westermann 2003: S.151) stehen den Lehrern häufig keine geeigneten Materialen zur
Verfügung. Die vorhandenen Materialien in Zeitschriften und im Internet sind im normalen
Schulalltag schnell verbraucht und wiederholen sich häufig. Dadurch entsteht für den Lehrer ein
relativ hoher Vorbereitungsbedarf. Der Einsatz des Computers oder die Vorbereitung eines
fächerübergreifenden Unterrichtes erfordert in Einzelfällen auch eine zusätzliche Ausbildung.
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Ein weiterer Diskussionspunkt ist die fehlende Unterrichtszeit. Aufgrund der geforderten
Stofffülle und des Zeitdrucks werden im Unterricht in erster Linie die innermathematischen Inhalte
nach dem Lehrplan vermittelt. Die Anwendungen, die sehr viel Unterrichtszeit kosten, werden
dabei vernachlässigt. Das Einbinden von außermathematischen Kontexten wird meist eingeplant,
dann aber aufgrund von Unsicherheiten, die den planbaren Unterrichtsablauf gefährden, und aus
Zeitmangel weggelassen.
Diese Schwierigkeiten müssten in jedem Fall durch geeignete Maßnahmen verringert
werden, um dem Anwendungsaspekt im Schulunterricht mehr Bedeutung zukommen zu lassen. Als
Möglichkeiten nennt Westermann (2003: S.151) Lehrerfortbildungen, Vorlesungen für
Lehramtsstudenten in angewandter Mathematik, Verbesserung des Informationsflusses über
Materialien und einen höheren Grad an Verbindlichkeiten im Lehrplan.
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3. ANALYSE DER PRAKTISCHEN UNTERSUCHUNG
3.1 Bedingungsfaktoren
Die Anwendungen, welche die Grundlage für diese Studie bilden, wurden im Rahmen eines
sechswöchigen Praktikums geplant, durchgeführt und ausgewertet. In diesem Zeitraum konnten die
Schüler während des gesamten Mathematikunterrichtes beobachtet werden. Die durchgeführte
Unterrichtseinheit „Flächeninhalt von Vierecken“ ist im Lehrplan für die Sekundarstufe I unter
Thema 3 „Geometrie an Vierecken“ mit der Vermittlung folgender Kompetenzen geplant:
− wesentliche Eigenschaften von Vierecken kennen
− Flächeninhalt von Drei- und Vierecken berechnen können
− einfache Beweisführung nachvollziehen können
In der Durchführung habe ich mich auf eine Klasse beschränkt, um in der Kürze der
Studienzeit eine objektive Aussage treffen zu können. Es handelte sich um eine 8. Klasse einer
Realschule in Schleswig-Holstein. Die 28 Schüler dieser Klasse befanden sich nach Piaget in der
entwicklungspsychologischen Phase des formalen (verbalen) Denkens. Sie sollten demnach in der
Lage sein, Schlussfolgerungen ohne konkrete Operation zu entwickeln (vgl. Herzka 1986: S.49-50).
Die Schüler dieser Klasse zeigten sich im Zeitraum der Studie als sehr lebhaft, direkt und
aufgeschlossen, wobei das mathematische Leistungsspektrum weit auseinander ging.
3.2 Planung, Durchführung und Auswertung der Aufgaben im Einzelnen
Im Folgenden werden die einzelnen Aufgaben in ihrer chronologischen Abfolge analysiert. Es
handelt sich dabei ausschließlich um Anwendungs- und Modellierungsaufgaben, die zum Thema
dieser Unterrichtseinheit entwickelt oder aus den angegebenen Quellen entnommen wurden. Die
genauen Aufgabenstellungen finden sich in ihrer Originalform im Anhang wieder.
Es wurde bei den Planungen darauf geachtet, dass die Aufgaben ohne Taschenrechner für
die Schüler lösbar sind. Die Schüler hatten im Umgang mit dem Rechner im Mathematikunterricht
erst wenige Erfahrungen sammeln können und gingen daher mit dem abgelesenen Ergebnis noch
sehr kritiklos um. Indem sie die Aufgabe im Kopf rechneten, konnte ein freies, selbstkritisches
Rechnen erreicht und bereits vorhandenes Wissen wiederholt werden.
Der Umgang mit Einheiten ist in dieser Unterrichtseinheit als untergeordnet zu betrachten,
da dieses Thema bereits in früheren Klassenstufen ausgiebig behandelt wurde. Es war sogar zu
- KOPIE -Praxisteil
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beobachten, dass bei einigen Aufgaben das Umrechnen der Einheiten im mathematischen
Denkprozess der Schüler als störend empfunden wurde. Trotzdem ist es erforderlich, dieses Gebiet
ständig aus dem Kontext heraus zu wiederholen.
Die Schüler zeigten in den Anwendungen hauptsächlich folgende fachliche Kompetenzen
(siehe 2.2):
− Mathematisch argumentieren (K1)
− Probleme mathematisch lösen (K2)
− Mathematisch modellieren (K3)
− Kommunizieren (K6)
Die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen werden nach den Bildungsstandards
(KMK, 2004: S.10) zu den Leitideen L2 „Messen“ und L3 „Raum und Form“ zugeordnet.
3.2.1 „Peters Brief“
In dieser Aufgabe wurde in einem Brief eine Wohnung beschrieben. Die Schüler sollten mit Hilfe
der Angaben den Flächeninhalt der Wohnung bestimmen. Die Maßangaben wurden im Verhältnis
untereinander so dargestellt, dass der Schüler die genauen Längen der einzelnen Zimmer errechnen
musste. Diese Aufgabe ist als Einstieg in eine Unterrichtsstunde geplant worden, die das Thema
„Zerlegung von rechtwinkligen Flächen“ weiter ausgebaut hat. Für die Lösung wurde ein
Zeitrahmen von nur 10 Minuten eingeplant, da die Schüler in diesem Bereich bereits umfangreiche
Kompetenzen erlangt hatten. Bei der Erstellung der Aufgabe musste darauf geachtet werden, dass
der Text sehr eindeutig formuliert wird, die Zahlenwerte realistisch waren und sinnvolle
Zusammenhänge ergaben. Der Kontext der Aufgabe stammte aus dem allgemeinen Umfeld der
Schüler.
Die Schüler zeigten sich anfangs nur wenig motiviert mit der Lösung dieser Aufgabe zu
beginnen, was sich nach den ersten Minuten aber änderte. Diese Reaktionen sollten sich im Verlauf
der Studie jedoch als normal herausstellen und können somit als alterstypisch gelten. Während des
Lösens wurden von den Schülern verschiedene Lösungswege entwickelt, die zum richtigen
Ergebnis führten. Die meisten Schüler erstellten eine Skizze der gesamten Wohnung und
berechneten den Flächeninhalt durch Ergänzung. Es gab jedoch auch Lösungen, wonach die
unterschiedlichen Räume einzeln aufgezeichnet, berechnet und danach addiert wurden. Einige der
leistungsstärkeren Schüler berechneten die Fläche ausschließlich arithmetisch. Im Anschluss
stellten die Schüler ihre Lösungswege kurz vor, was jedoch nicht zur erwünschten Diskussion
führte.
- KOPIE -Praxisteil
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3.2.2 „Kirschbaumplantage“
Das Thema der Stunde war „Rechnen mit Einheiten“ und sollte das Wissen aus der letzten Stunde
„Zerlegen von rechtwinkligen Flächen“ weiter vertiefen.
Für die Lösung der Aufgabe „Kirschbaumplantage“ wurden, wie bei „Peters Brief“, 10
Minuten eingeplant. Die Anwendung kommt aus dem landwirtschaftlichen Bereich. Die Schüler
sollten hier die Richtlinien und Wünsche des Landwirtes so umsetzen, dass sie die mögliche Anzahl
der Kirschbäume bestimmen, die auf der zu bewirtschaftenden Fläche gepflanzt werden konnten.
Der Text wurde so formuliert, dass eine Reihe von Forderungen entstand, die erfüllt werden sollten.
Die Schüler taten sich vor allem mit dem Lösungsansatz sehr schwer, da die Angaben im
Text nicht der Reihe nach aufgeführt waren, sondern erst sortiert und fehlende Angaben berechnet
werden mussten. Alle Schüler haben eine Planskizze angefertigt, die in den meisten Fällen identisch
war. Ein weiteres Problem bestand in der rechnerischen Umsetzung des Seitenstreifens, der in der
Aufgabenstellung gefordert wurde. Dieses Problem der Flächenzerlegung wurde in der folgenden
Stunde noch einmal aufgegriffen.
Die didaktischen Möglichkeiten dieser Aufgabe sind durch die ausschließliche Verwendung
von rechtwinkligen Flächen sehr eingeengt worden, da dies dem derzeitigen Wissenstand der
Schüler entsprach. Wenn man diese Aufgabe zu einem späteren Zeitpunkt wieder aufgenommen
und das Problem offener formuliert hätte, ließen sich auch kreative Gesichtspunkte mit in die
Aufgabe einbauen.
Auch diese Aufgabe wurde durch einige Schüler an der Tafel erläutert. Diesmal kam es
danach zu Fragen, die kurz diskutiert wurden. Der geplante Zeitraum zur Lösung dieser Aufgabe
hat sich als nicht realistisch herausgestellt. Die Schüler benötigten insgesamt 24 Minuten.
3.2.3 „Urlaub im Stau“
Diese Anwendungsaufgabe kommt aus dem Bereich „Verkehr“ und schildert ein alltägliches
Problem. Es wurde ein Zeitungsartikel entworfen, der von einem Stau berichtete. Die Schüler
sollten mit Hilfe der Angaben in diesem Artikel die Anzahl der Autos bestimmt, die sich in diesem
Stau befanden. Zur Berechnung wurden vereinheitlichende Angaben gemacht, wodurch die Schüler
den Vorgang des Modellierens erkennen und die Vorteile begreifen sollten.
Wiederum ging es in dieser Aufgabe um die Zerlegung von Flächen und das Umrechnen
von Einheiten. Die Schüler begannen recht zügig mit der Lösung dieser Aufgabe, wofür sie 10
- KOPIE -Praxisteil
15
Minuten Zeit bekamen. Der größte Teil der Schüler bekam sehr schnell die richtige Lösung und
begann über das Ergebnis und die angegebenen Hilfen untereinander zu diskutieren. Hier hätte das
Potential dieser Aufgabe mehr ausgeschöpft werden können, indem die Schüler bereits direkt in den
Prozess des Modellierens mit einbezogen worden wären.
3.2.4 „Flächeinhalt eines Kontinents“
Den Flächeninhalt eines Kontinents zu bestimmen ist das Thema einer PISA-Aufgabe (OECD
2001: S.5-7), von der die hier verwendet Aufgabe abgeleitet wurde. Das Problem bestand darin, den
Flächeninhalt eines Kontinent durch zerlegen in berechenbaren Flächen zu bestimmen. Indem der
Schüler die Umrisse vereinfachen und angleichen musste, befand er sich direkt im Prozess des
Modellierens.
Die Aufgabenstellung wurde offen gehalten und mit einem Lösungszeitraum von 50
Minuten, somit über zwei Schulstunden, sehr großzügig geplant. Den Schülern wurden Kopien aller
Kontinente (DIN A3) zur Verfügung gestellt, von denen sie sich einen aussuchten und in Gruppen
von je 2-3 Schülern zusammenarbeiteten.
Die Schüler begannen mit sehr unterschiedlichen Ansätzen und machten damit verschiedene
Erfahrungen. Im Laufe der Aufgabe entwickelte sich bei einigen Gruppen der Ehrgeiz, ein
möglichst genaues Ergebnis zu erzielen, wodurch es zu immer kreativeren Lösungsmöglichkeiten
kam. Die Schüler teilten beispielsweise die Vierecke in Dreiecke, wobei der Flächeninhalt von
Dreiecken bis dahin noch nicht thematisiert worden ist, und konnten die Fläche so immer genauer
zerlegen. Die Ergebnisse der meisten Gruppen waren erstaunlich genau.
Die verschiedenen Lösungsansätze wurden im Anschluss besprochen und die Ergebnisse mit
den Zahlen aus der Literatur verglichen.
3.2.5 „Das Zirkustrapez“
Dieses Aufgabenblatt wurde zum Ende der Unterrichtseinheit erstellt. Die Schüler sollten damit an
eine komplexe Problemstellung herangeführt werden, in der sie eine Reihe von Problemen zu lösen
hatten. Es wurden Forderungen zu einem Sicherheitsnetz in einem Zirkus aufgestellt, die der
Schüler umsetzen und berechnen musste. Für die Lösung eines Teils der Aufgaben war der Schüler
gezwungen mit Hilfe von Konstruktionen zu forschen.
- KOPIE -Praxisteil
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Die Aufgaben wurden sehr offen gehalten und galten als sehr anspruchvoll. Die Schüler
hatten auf dem Gebiet der Flächenberechnung bereits weitgehende Kompetenzen erlangt, die nun
weiter angewendet und vertieft werden sollten.
Ich möchte hier besonders auf die Frage 3 eingehen, in der es darum ging, ein Sechseck mit
dem größtmöglichen Flächeninhalt zu finden. Die Schüler hatten bei dieser Problemstellung noch
keine Möglichkeit der rechnerischen Lösung. Es wurde eine Erkenntnis durch interpolierende
Konstruktionen erwartet.
Nur wenige Schüler fanden im Verlauf dieser Stunde die Lösung des Problems. Die meisten
Schüler beschäftigten sich allerdings ohne Aufforderung nach der Stunde weiter mit diesem
Problem. Es wurde mit den Eltern, älteren Geschwistern und Nachhilfelehrern diskutiert. Als in der
folgenden Stunde diese Aufgabe erneut aufgegriffen wurde, kam es zu vielen Diskussionen über
Vermutungen und Lösungen. Die Schüler wurden diesem mathematischen Problem eindeutig näher
gebracht, sodass man in den nächsten Stunden den Einstieg in die Notwendigkeit einer
mathematischen Beweisführung einbringen konnte.
- KOPIE -Zusammenfassung und Folgerungen
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4. ZUSAMMENFASSUNG UND FOLGERUNGEN
4.1 Planung und Vorbereitung
Die Erstellung einer Anwendungsaufgabe ist, wenn man sich an das Konzept von RME6 halten
möchte, relativ anspruchvoll. Bei der Wahl des Kontextes für die Aufgaben, sind folgende Faktoren
von Bedeutung: Vorkenntnisse der Schüler und des Lehrers, die Interessen der Schüler, die
Situation in der Klasse, die Aktualität des Problems, verfügbare Materialien und räumliche
Bedingungen. Da der Kontext und die Komplexität des Problems durch den Lehrer selbst bestimmt
werden, kann dies durch eigene Erfahrungen und Kenntnisse noch anschaulicher gestaltet werden.
Die Fragestellung muss zum einen offen gehalten werden, um dem Schüler die Möglichkeit
des freien mathematischen Denkens zu geben und zum anderen muss in etwa abgeschätzt werden,
welche Arten der Lösungen zu erwarten sind, um als Lehrer entsprechende Impulse geben zu
können. Um die Eingriffe durch den Lehrer so gering wie möglich zu halten, habe ich mich
grundsätzlich für eine Partner- bzw. Gruppenarbeit entschieden. Mein Ziel war es, dass die Schüler
untereinander über das Problem diskutieren und sich gegenseitig im Modellierungsprozess
unterstützen. Das mathematische Kommunizieren und Argumentieren ist für den erfolgreichen
Mathematikunterricht genauso wichtig, wie das Arbeiten mit Texten aus einem mathematischen
Hintergrund heraus. Aus diesem Grund haben die Schüler Arbeitsblätter erhalten oder ich habe die
Aufgabenstellung mit einer Folie auf einem Overheadprojektor dargestellt. Den Projektor habe ich
später auch benutzt, um den Schülern die Möglichkeit zu geben, ihre Lösungswege und Ergebnisse
vorzustellen. So konnte eine entscheidende Hemmschwelle überwunden werden, die die Schüler
bisher scheinbar beim Arbeiten an der Tafel hatten.
Den Vorbereitungsaufwand habe ich entgegen Kapitel 2.4 als nicht viel höher empfunden
als bei der Vorbereitung anderer Aufgaben. Durch die Erfahrungen mit den Reaktionen der Schüler
und der Steigerung der Fähigkeiten lassen sich die Aufgaben immer freier und komplexer gestalten,
was den Aufwand nur unwesentlich vergrößert. Durch die aktuelle Entwicklung lassen sich
inzwischen viele Beispiele sowohl im Internet als auch in der Fachliteratur finden, die einem bei der
Planung helfen und wertvolle Impulse geben.
Aus der Zusammenarbeit mit Lehrern anderer Unterrichtsfächer ergeben sich zusätzlich eine
Vielzahl von Möglichkeiten. So kann man verschiedene Materialien gemeinsam verwenden, oder
Probleme aus sehr verschiedenen Gesichtspunkten heraus bearbeiten lassen. Dadurch wird der
Unterricht vielseitiger und interessanter. Die Schüler erkennen somit eher die fächerübergreifende
Bedeutung der Mathematik.
6 RME: „Realistic Mathematics Education“ (Siehe 2.3)
- KOPIE -Zusammenfassung und Folgerungen
18
4.2 Auswertung der Schülerreaktionen und der Ergebnisse
Die Schülerreaktion auf die Anwendungsaufgaben war innerhalb der Klasse sehr unterschiedlich.
Einige Schüler benötigten gerade bei offenen Fragestellungen sehr viel Zeit, um sich in komplexere
Aufgaben hineinzufinden und das eigentliche Problem zu begreifen. Gerade dann, wenn sich die
Schüler nicht mit dem Anwendungsgebiet der Aufgabe identifizieren konnten, verloren sie bereits
zu Beginn der Arbeitsphase die nötige Motivation, um sich mit der Aufgabe zu beschäftigen. Hinzu
kam, dass den Schülern die Art der Aufgabenstellung durchaus bekannt war und sie sich allein
durch die Möglichkeit des selbstständigen Arbeitens nicht dafür begeistern konnten. Durch die
Partner- und Gruppenarbeit entstand hier allerdings ein Arbeitsklima, in dem sich die Schüler
untereinander unterstützten und sich das Begreifen des Problems wie ein Puzzle in der Gruppe
zusammensetzte. Als Nachteil dieser Arbeitsform erwies sich allerdings, dass die Lösungen in
einigen Gruppen nur durch einen Schüler entwickelt wurden und die anderen Schüler diesen
Lösungsweg kritiklos übernommen haben. Gerade in Klassen mit einem großen Leistungsspektrum
sehe ich das Problem, dass nicht alle Schüler gleichermaßen in den Denkprozess mit einbezogen
werden. Es ist daher erforderlich Anwendungen in allen Sozialformen durchzuführen und den
Schülern ausreichend Zeit für die Lösung zu geben. Ein Beispiel ist die Aufgabe „Zirkustrapez“
(Kapitel 3.2.5), welche die Schüler, die sich mit dem Problem beschäftigen wollten, zu Hause
weiter gelöst haben und bei der jeder für sich zu einem Ergebnis gekommen ist. Wenn ich einer
Klasse derartige Anwendungen bieten kann, ist die Lösung dieser Aufgabe losgelöst vom
Unterrichtszeitraum und die Schüler entwickeln ein eigenes mathematisches Verständnis, auf das
ich im Unterricht weiter aufbauen kann.
Im Allgemeinen waren die Lösungen, die im Anschluss an die Arbeitsphase entstanden sind
und auch zum Teil vorgestellt wurden, relativ vielseitig und entsprachen dem Leistungsstand der
Klassenstufe einer 8. Realschulklasse. In einigen Fällen wurde meinerseits versäumt, mehr
Genauigkeit bei der Dokumentation zu fordern, so dass die Schüler einen sehr oberflächlichen
Aufbau des Lösungsweges angaben. Es sollte neben dem Erkennen der Notwendigkeit einer
mathematischen Beweisführung auch die Einsicht zu einer normierten Protokollierung des
Lösungsweges gefördert werden. Mein Hauptaugenmerk lag jedoch in erster Linie auf einem
grundlegenden mathematischen Verständnis für geometrische Figuren und Flächeninhalte.
- KOPIE -Zusammenfassung und Folgerungen
19
4.3 Fazit
Dass die Art des Lehrens ausschlaggebend für das Gelingen des Mathematikunterrichtes ist, ist
nicht erst seit PISA bekannt. Die Reformpädagogen des letzten Jahrhunderts haben bereits viele
Ansätze vertreten, die heute auch in der Form des anwendungsorientierten Unterrichts wieder zu
finden sind. Jedoch gerade die Qualität der Umsetzung im Unterricht hat sich erst unter dem Druck
des öffentlichen Interesses und dem daraus resultierenden politischen Engagement verbessert. Die
Leistungsdifferenzen unter den Ländern, die durch einen internationalen Vergleich eröffnet worden
sind, lassen uns immer öfter nach Beispielen im Ausland suchen, die einen erfolgreicheren
Unterricht zu garantieren scheinen.
Die Umsetzung eines anwendungsorientierten Mathematikunterrichtes wird bereits seit
langem seitens der beruflichen Ausbildung gefordert und gewinnt gerade in der Sekundarstufe I
ständig an Bedeutung. Aber reichen Anwendungen und Modellierungen mit unterschiedlichsten
Kontexten im Mathematikunterricht aus, um dem Schüler zu vermitteln, welche Fähigkeiten und
Möglichkeiten in der Mathematik liegen? Entwickelt der Schüler durch das Lösen von
Anwendungen ein allgemeines mathematisches Verständnis und das Interesse, sich weiter mit
mathematischen Problemen zu beschäftigen?
An dieser Stelle möchte ich mich Westermann anschließen: „Manch einer hofft durch
Anwendungen, die fachliche Motivation der Schüler zu verbessern. Das erweist sich aber leider
häufig als Irrtum. Schülermotivation wird wohl mehr durch gutes Unterrichtsklima und durch das
Erleben eigener fachlicher Kompetenz gefördert.“ (Westermann 2003: S.148f)
Natürlich darf die mathematische Bildung nicht auf die angewandte Mathematik reduziert
werden. Das Bild der Mathematik ist wesentlich aspektreicher und vielgestaltiger, als ich auf
diesem Weg vermitteln kann. Um einen wirklich weit reichenden Eindruck von der Mathematik
darzustellen, fordert Winter (1995 zitiert nach: Leuders 2003: S.55) die folgenden drei
Grunderfahrungen im Mathematikunterricht zu ermöglichen:
1. Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur,
Gesellschaft und Kultur in einer spezifischen Art wahrzunehmen.
2. Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen,
Bildern und Formeln, als geistige Schöpfung, als eine deduktiv geordnete Welt eigener
Art kennen lernen und begreifen.
3. In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die
Mathematik hinausgehen, erwerben.
- KOPIE -Zusammenfassung und Folgerungen
20
In dieser Aufzählung wird offensichtlich, dass die mathematische Allgemeinbildung, die das Ziel
des Schulunterrichtes im Allgemeinen darstellt, das Anwenden und Umsetzen der Mathematik aus
unserer Umwelt heraus beinhalten muss. Sie muss aber auch einen Einblick in wissenschaftliche
Mathematik nach sich ziehen, auf dessen Gerüst sich naturwissenschaftliche Forschungen aufbauen.
Dadurch wird ein realistisches Bild der Mathematik vermittelt und die „kulturelle und
gesellschaftlich-praktische Bedeutung“ (Heymann 2007) durch den Schüler erfahren.
Durch Anwendungen wird die Mathematik nicht leichter und die Schüler nicht zwangsläufig
motivierter, aber es hilft den Schülern, die Tragweite der Mathematik zu erkennen und eine
Akzeptanz der Schulmathematik zu entwickeln. Mit dieser Akzeptanz und einem mathematischen
Grundverständnis lassen sich Probleme aus einem innermathematischen Kontext heraus besser
bewältigen.
- KOPIE -Quellenangaben
21
5. QUELLENANGABEN
AEBLI, H.: Zwölf Grundformen des Lehrens. Eine allgemeine Didaktik auf psychologischer
Grundlage. Medien und Inhalte didaktischer Kommunikation, der Lernzyklus. 12. Auflage.
Stuttgart: Klett-Cotta 2003.
FÖRSTER, F.: Vorstellung von Lehrerinnen und Lehrern zu Anwendungen im Mathematikunterricht.
Der Mathematikunterricht, Seelze, (2002), 4-5/2002, S.45-72. zitiert nach Westermann 2003:
S.151.
HANS, J.: Chancen: Die Mathe-Revolution. Die Zeit online, (Hamburg). 41/2006 vom 05.10.2006.
HERZKA, H. S.: Die Untersuchung von Kindern. Eine ganzheitliche Erfassung und psychischer
Befund. Göttingen: Verlag für medizinische Psychologie im Verlag Vandenhoeck & Ruprecht
1986.
HUMENBERGER, H.; REICHEL, H.- CH. (1995): Fundamentale Ideen der angewandten Mathematik.
Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. zitiert nach Westermann 2003, S.155.
HUMENBERGER, H. (1997): Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht - erste Resultate
eines Forschungsprojekts. Journal für Mathematik-Didaktik, Berlin, Heft 1, S.3-50. zitiert
nach Westermann 2003: S.151.
HEYMANN , H. W. (1996): Sind sieben Jahre Mathematik genug? Eine Pressemeldung und die
Folgen. Mathematik in der Schule, Berlin, 34, S.321-331.
LEUDERS, T.: Perspektiven von Mathematikunterricht. In: Mathematik Didaktik. Praxishandbuch
für Sekundarstufe I und II Hrsg.: T. Leuders. Berlin: Cornelsen 2003. S.15-58.
LUDWIG, M.: Mathematikunterricht öffnen. In: Mathematik Didaktik. Praxishandbuch für
Sekundarstufe I und II Hrsg.: T. Leuders. Berlin: Cornelsen 2003. S.163-198.
MINISTERIUM FÜR BILDUNG, WISSENSCHAFT, FORSCHUNG UND KULTUR DES LANDES SCHLESWIG-
HOLSTEIN: Lehrplan für die Sekundarstufe I der weiterführenden allgemeinbildenden Schulen.
ORGANISATION FOR ECONOMIC CO-OPERATION AND DEVELOPMENT (OECD): PISA 2000.
Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Berlin: OECD 2001.
STANAT, P. U. A.: PISA 2000: Die Studie im Überblick. Grundlagen, Methoden und Ergebnisse.
Berlin: Max-Planck-Institut für Bildungsforschung 2002.
STÄNDIGE KONFERENZ DER KULTUSMINISTER DER LÄNDER IN DER BUNDESREPUBLIK DEUTSCHLAND
(KMK): Vereinbarung über Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss
(Jahrgangsstufe 10). München: Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der
Länder in der Bundesrepublik Deutschland 2004.
- KOPIE -Quellenangaben
22
WESTERMANN, B.: Anwendungen und Modellbildung. In: Mathematik Didaktik. Praxishandbuch
für Sekundarstufe I und II Hrsg.: T. Leuders. Berlin: Cornelsen 2003. S.148-162.
WINTER, H..: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilung der GDM. Berlin (1995) 61.
Internetquellen:
HEYMANN , H. W. (2007): Universität Siegen, Fachbereich 2: Erziehungswissenschaft - Psychologie
(Hrsg.). Heymann Publikationen. (WWW-Seite). Internet: http://www2.uni-
siegen.de/~fb02/people/heymann/publikationen.htm#oben (Zugriff: 19.04.2007, 12.21 MEZ).
- KOPIE -Anhang
23
6. ANHANG
Aufgabenblätter zu den einzelnen Aufgaben aus 3.2
Peters Brief Aufgabe!
• Lies dir Peters Brief genau durch!
• Überprüfe die Aussage des Vermieters!
Hallo ihr Lieben!
Meine neue Wohnung ist echt super. Sie ist riesig. Der Vermieter sagt, dass
sie mindestens 60 m² groß ist.
Die Wohnung hat eigentlich keinen Flur. Man kommt durch die Wohnungstür
direkt in das quadratische Wohnzimmer. Von hieraus kommt man dann in alle
anderen Zimmer.
Gleich gegenüber der Eingangstür ist die Tür zur Küche. Sie ist genau 4 m
entfernt. Die Küche ist genauso lang wie das Wohnzimmer, aber nur 4
3 so
breit. Damit ist sie genauso breit wie das Schlafzimmer.
Rechts neben der Wohnungstür ist dann noch das Badezimmer. Es ist
genauso lang wie das quadratische Schlafzimmer und die 2m lange
Badewanne passt genau an die breite Seite.
Ich sag ja, die Wohnung ist einfach irre. Ihr müsst mich unbedingt mal
besuchen kommen.
Viele Grüße
Euer Peter
- KOPIE -Anhang
24
Kirschbaumplantage
Aufgabe!
• Lies dir den folgenden Text genau
durch!
• Berechne, wie viele Kirschbäume der Bauer pflanzen
muss!
Gunnar ist Landwirt und hat sich entschlossen mit der
Kuhhaltung aufzuhören. Er will auf seine alten Tage nicht
mehr so viel Stress haben. Er entschließt sich seine
Kuhweide mit einer Fläche von 0,84 km² zu einer Kirsch-
Plantage mit einer Breite von 800 m umzubauen.
Damit die Kirschbäume sich richtig entwickeln können,
benötigt jeder Baum 25 m² Platz.
Für die Erntefahrzeuge ist ein freier Streifen von 25 m um
die ganze Plantage freizuhalten.
- KOPIE -Anhang
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Flächeninhalt von Vierecken
Rechnen mit Einheiten II
Urlaub im Stau
Jedes Jahr werden die Autofahrer gerade zur Ferienzeit auf den Strassen besonders gefordert. Der längste Stau in Deutschland war im letzten Jahr 70 Kilometer lang und ereignete sich auf der A3 Frankfurt - Nürnberg zwischen Wertheim/Lengfurt und Steigerwald. Die Menschen saßen bis zu 12 Stunden in ihren Autos fest. Der Grund war eine Baustelle…
Foto Google Aufgabe:
1. Ließ dir den Zeitungsartikel genau durch.
2. Berechne wie viele Autos in diesem Stau festsaßen. Nimm für die Berechnung an,
dass die Fahrbahn über die gesamte Länge gerade und vierspurig ist. Außerdem
sind alle Fahrzeuge im Durchschnitt 5 m lang und halten zum vorderen Fahrzeug
einen Abstand von 80 cm.
Übrigens: Der längste Stau aller Zeiten erstreckte sich im Februar 1980 zwischen Lyon und Paris über eine Strecke von 176 Kilometer. Das ist ungefähr die Strecke von Flensburg nach Hamburg.
- KOPIE -Anhang
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Flächeninhalt von Vierecken
Flächeninhalt eines Kontinents ________________________________________________________ Ihr habt die Umrisskarte eines Kontinents der Erde vor euch. Wie groß ist die Fläche dieses Kontinents? (Benutzt dazu den Maßstab der Karte.) Schreibt eure Rechnung ordentlich auf dieses Blatt und notiert kurz, wie ihr zu diesem Ergebnis gekommen seid.
- KOPIE -Anhang
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Das Zirkustrapez Zirkusdirektor Beppo bietet eine spektakuläre Artistennummer an. Da diese Attraktion sehr gefährlich ist, hat er die Auflage bekommen, ein Sicherheitsnetz anzubringen. Es soll so geschnitten werden, dass die 6 Ecken genau über dem Rand der Manege befestigt werden können. Seine Manege hat einen inneren Radius von 8 Metern. Von seinem Zeltbaumeister bekommt er eine Planskizze für ein solches Netz in die Hand gedrückt. Aufgabe 1 Der Direktor will es nun genau wissen. Er bittet dich eine maßstabsgetreue Zeichnung von dem Sicherheitsnetz anzufertigen. Konstruiere das Netz mit Zirkel und Geodreieck. Aufgabe 2 Um zu wissen, wie teuer das Netz wird, braucht Beppo noch die genaue Größe. Berechne den Flächeninhalt des Netzes! Schreibe dir dazu als erstes alle Werte auf, die dir bereits bekannt sind! Aufgabe 3 So ein Mist! Der Zeltbaumeister hat noch eine Sicherheitsvorschrift gefunden. Das Netz muss den größtmöglichen Flächeninhalt haben. Finde heraus, welche Maße das Netz haben muss um alle Auflagen zu erfüllen. (alle Ecken bis zum Rand der Manege und den größtmöglichen Flächeninhalt) Aufgabe 4 (schwere Zusatzaufgabe) Der Zirkus nimmt mit der Hochseilnummer soviel Geld ein, dass Beppo ein Netz mit dem doppelten Flächeninhalt kaufen könnte. Dann kann er auch seine Manege größer bauen. Wie groß kann die Manege gebaut werden, wenn der Flächeninhalt des Netzes sich verdoppelt.
