Kraftübertragung in stufenlosen Umschlingungsgetrieben · Dieser Aufsatz ist Dr. Otto Dittrich...

Kraftübertragung in stufenlosen Umschlingungsgetrieben 1 / 27

Kraftübertragung in stufenlosen Umschlingungsgetrieben Ein neues mathematisches Modell zu sehr schnellen Berechnung von Ketten- und Spreizkräften, Stützung, Schlupf und Wirkungsrad

Prof. Dr. P. Tenberge 0 Kurzfassung

Der Wirkungsgrad von Ketten-CVTs hängt von den Reibungskräften und dem Schlupf

zwischen der Kette und den Scheiben ab. Der Schlupf selbst resultiert aus elastischen Defor-

mationen der Scheiben, der Wellen und der Kette sowie den zusätzlichen Gleitbewegungen

bei Übersetzungsänderungen. Die örtlichen Reibungskräfte ergeben sich aus den örtlichen

Spreizkräften und den örtlichen Reibungskoeffizienten. Für die Berechnung dieser

Zusammenhänge wurde ein neuer mathematischer Algorithmus entwickelt, der auch in

Betriebspunkten mit veränderlicher Übersetzung gute Ergebnisse berechnet und sehr schnell

arbeitet. Weitere Ergebnisses dieser Berechnungen sind die Scheibenspreizkräfte, die nötig

sind, um ein bestimmtes Drehmoment bei einer bestimmten Übersetzung und Übersetzungs-

änderung zu übertragen, und der Wirkungsgrad sowie die Sicherheit gegen Durchrutschen.

Mit diesem Werkzeug wird es nun einfacher, die Konstruktionen, die hydraulischen Steuer-

systeme und die Regelstrategien solcher CVTs zu verbessern, um höhere Drehmoment-

kapazitäten zu erlangen oder um die Verlustleistungen zu reduzieren.

The efficiency of chain-CVTs depends on friction forces and slip between the chain and the

pulleys. The slip itself results from the elastic deformations of the pulleys, shafts, and the

chain and from additional motions between chain and pulleys when changing the trans-

mission ratio. The local friction forces depend on the local axial clamping forces and the local

friction coefficients. A new mathematical model has been developed to calculate these

relationships even in conditions with variable transmission ratio and furthermore with a very

high calculation speed. Additional results are the relations between the clamping forces,

which are necessary to transmit a certain torque at a certain ratio and a particular adjusting-

speed, and the efficiency as well as the safety from gross slip. With this new tool it is much

easier to improve the design of the CVT as well as the hydraulic system and the control

strategies resulting in higher torque capacities and reduced power losses.

Dieser Aufsatz ist Dr. Otto Dittrich gewidmet für mehr als 50 Jahre sehr erfolgreiche Entwicklungsarbeit an Ketten-CVTs


1 Einleitung

Ein stufenloses Umschlingungsgetriebe besteht nach den Bildern 1 und 2 aus einem ersten

Scheibensatz A und einem zweiten Scheibensatz B mit je einer Festscheibe und einer axial

beweglichen Losscheibe sowie einem Umschlingungsmittel. Die folgenden Betrachtungen

gelten insbesondere für Getriebe mit gliedrigen Umschlingungsmitteln wie z.B.

Wiegedruckstückketten oder Schubgliederbändern, also mit einer endlichen Zahl von

Kontaktstellen zu den Scheiben.

Scheibensatz B(Abtrieb)

Umschlingungsmittel(Laschenkette)

Scheibensatz A(Antrieb)

Bild 1: Variator (Scheibensätze, Kette, Hydraulik) aus dem Audi-CVT „multitronic“

In so einem stufenlosen Umschlingungsgetriebe erfolgt die Kraftübertragung durch Reib-

kräfte in den geschmierten Kontakten zwischen der Kette und den Keilscheiben. Die

Reibungszahlen liegen hier je nach Schmierstoff und Oberflächenrauheiten in einem Bereich

zwischen 0,07<µ<0,11. Das heißt, es sind sehr hohe Kontaktnormalkräfte für eine hohe

Drehmomentkapazität erforderlich. Diese hohen Kontaktnormalkräfte deformieren die

Kettenbolzen und die Scheiben, die in Hinblick auf das Getriebegewicht leicht bleiben sollen.


Die Deformationen führen dazu, dass die Kette die Scheiben nicht mehr auf einem

Kreisbogen umschlingt, sondern bei der Umschlingung radial in die Keilrille einwandert oder

aus ihr herauswandert.

Scheibensatz B(Abtrieb)

Umschlingungsmittel(Kette oder

Schubgliederband)

Festscheibe B

Losscheibe B


Festscheibe A

Losscheibe A

Bild 2: Schematischer Aufbau eines stufenlosen Umschlingungsgetriebes

Zu diesen Gleitbewegungen kommt noch ein Längsschlupf hinzu, der sich aus der

Kettenlängselastizität und der Laufradienänderungen aufgrund der radialen Bewegungen

ergibt. Außerdem gibt es zusätzliche Gleitbewegungen aufgrund der Verstellbewegungen,

wenn man die Übersetzung ändert.

Alle Gleitbewegungen summieren sich zu einem Gesamtschlupf zwischen Kette und

Scheiben. Die örtlichen Reibungskräfte wirken den örtlichen Gleitbewegungen entgegen und

bewirken die Kraftänderung in der Kette und damit die Drehmomentübertragung im Getriebe.


0 10 20 30 400

2

4

6

8

bolt-Nr. on the wrap curve

Fmin

kN

Fmax

kN

XSA 48.7kN= SB 25.6kN= TA 250Nm= Pan 52.4kW=

Fu 3558N= ηKS 95.86%=

FF 260N= µmax 0.09= F [kN] Fmax 6224N= PVA 1330W=

Fmin 2666N= PVB 839.5W=

∆ S [kN] ε 2.335= SA 48.7kN=

ζ 1.901= SB 25.6kN=

100 0 100 200 300

100

0

100

vKS from the chain towards the disks

00

aV

mm

100 0 100 200 300

100

0

100

friction forces acting on the chain

00

aV

mm

100 mm⋅ 335mmps scale_v⋅= 100 mm⋅ 398N scale_F⋅=

0 10 20 30 40450

360

270

180

90

0

90

180

270

360

450


180−

180

Xstiffness "normal"=

iV 0.5= vK 14.72ms

=

γ [°] rA 70.3mm= nA 20001

min=

rB 35.1mm= nB 39841

min=

drAdt 20mms

=diVdt 0.52−

1s

=

drBdt 27−mms

=

input A output B

r-rm [µm]

Bild 3: Instationärer Betriebszustand:

iV=0.5, diV/dt=-0.52 Hz, TA=250 Nm, nA=2000/min, ε=2.335, SB=25.6 kN


Bild 3 zeigt in maßstäblicher Darstellung für einen beispielhaften Betriebszustand mit

Verstellbewegungen die örtlichen Gleitgeschwindigkeiten vKS der Kette gegenüber den

Scheiben, die örtlichen Reibungskräfte R, die örtlichen Laufradien r der Kettenbolzen im

Vergleich zum mittleren Laufradius rm, die sich aus der Überlagerung aller

Geschwindigkeitskomponenten ergebenden Gleitwinkel γ, den Verlauf der Kettenkraft F und

die örtlichen Spreizkräfte ∆S.

Solche Zusammenhänge sind aus Messungen und theoretischen Untersuchungen für

stationäre Betriebszustände sehr wohl seit langem bekannt [1-9]. Die heute verfügbaren

Berechnungsalgorithmen [7, 8] benötigen aber lange Rechenzeiten, um einen Betriebspunkt

zu analysieren und sind oft nur von Spezialisten zu bedienen. Es fehlt bisher ein Werkzeug

zur Unterstützung der Entwicklungsprozesse, mit dem diese Zusammenhänge für stationäre

Betriebszustände und auch für Verstellvorgänge ausreichend genau, schnell und einfach

berechnet werden können. In diesem Aufsatz wird dazu ein neuer Berechnungsansatz

vorgestellt.

2 Getriebedaten

Die Kraftübertragung in stufenlosen Umschlingungsgetrieben soll beispielhaft an einem

Getriebe mit folgenden Daten erläutert werden.

Daten zum Scheibensatz:

Achsabstand des Variators: aV = 155 mm

maximaler Laufradius: rmax = 74 mm

Steifigkeit der Scheiben: normal

Führungslänge der Losscheibe: FLLS = 68 mm

Führungsspiel der Losscheibe: SpielLS = 20 µm

Krümmungsradius der Scheiben: rWölbung = 1653 mm

Abstand Wölbungsmittelpunkt zur Scheibenachse: rW = 234 mm

Daten zur Kette:

Kettenlänge: LK=649 mm

Kettenbreite: bK = 24 mm

Kettenmasse: mK = 0,778 kg


Anzahl der Kettenglieder: zKE = 78

Kettenteilung: TK = 8,321 mm

Kettenlängselastizität: clK = 324,5 µm/N

Kettenquerelastizität (an jedem Bolzen): cqK = 5,714 µm/N

Reibwert:

Maximaler Reibwert zwischen Kette und Scheiben: µmax = 0,09

Der Reibwert kann entweder als konstant angenommen werden oder als variabel nach frei

definierbaren Reibgesetzen. Diese Reibgesetze ergeben sich aus dem Abgleich der

Rechenergebnisse mit experimentellen Untersuchungen. Nach bisherigen Untersuchungen

erhält man mit konstanten und auf beiden Scheibensätzen gleichen Reibwerten gute

Übereinstimmungen mit Versuchsergebnissen.

3 Gleitbewegungen und Kräfte zwischen Kette und Scheiben

Aus der Kettenlänge und dem Achsabstand der Scheibensätze ergeben sich für jede

Übersetzung die Nennlaufradien und die Nenn-Umschlingungswinkel. Bei Übersetzungs-

änderung mit der Verstellgeschwindigkeit diV/dt sind die Laufradienänderungen drA/dt und

drB/dt auf den Scheibensätzen unterschiedlich. Die Bilder 4 und 5 verdeutlichen diese

Zusammenhänge.

Die Zugkraft im Kettentrum, der auf den treibenden Scheibensatz A aufläuft, wird mit Fmax

bezeichnet, die Zugkraft im anderen Kettentrum mit Fmin. Auf den Umschlingungsbögen

wirken auf die Kette Fliehkräfte, die zu einer zusätzlichen Zugkraft FF in der Kette führen.

Diese Kraft hängt von der Kettengeschwindigkeit und der Kettenmasse pro Länge ab.

FF

m KL K

v K2

⋅

Die Kettenkraft FF beeinflusst nur in sehr geringem Maß über die damit verbundene

zusätzliche Kettendehnung die Kraftübertragung im Getriebe. Im Folgenden ist mit der Kraft

F die Kettenkraft ohne Fliehkraftanteil FF gemeint.


Scheibensatz B(Abtrieb)Umschlingungsmittel

ωFmin+FF

Fmax+FF


αα

ω

Bild 4: Nennradien rA und rB und Nennumschlingungswinkel αA und αB

0 0.5 1 1.5 2 2.50

20

40

60

80

rArB

Variatorübersetzung iV

Nen

nlau

frad

ien

[mm

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5150

100

50

0

diV/dt = 1 HzdiV/dt = 2 HzdiV/dt = 3 Hz


drA

/dt [

mm

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.51.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6


drA

/drB

Bild 5: Nennradien rA und rB und deren zeitliche Änderung über der Variatorübersetzung iV.


Die Kegelscheiben des Variators haben eventuell eine Krümmung (rWölbung). In Verbindung

mit balligen Kettenbolzen führt dies zu unterschiedlichen Kontaktstellen Bolzen-Scheibe bei

verschiedenen Übersetzungen und damit über der Getriebelebensdauer zu vermindertem

Verschleiß. Diese Scheibenkrümmung führt außerdem zu einem mit dem Laufradius der

Kette veränderlichen Keilwinkel des Scheibensatzes.

Bild 6 zeigt neben einer unverformten Losscheibe eines Variators die Verformung einer

Variatorscheibe bei Belastung mit einer Einzelkraft. Aus solchen FEM-Berechnungen erhält

man für jede Scheibe eine Matrix zur Berechnung der Deformation an der Stelle k bei einer

Belastung an der Stelle j. Die gesamte Scheibendeformation kann man dann aus der

linearen Überlagerung aller Einzeldeformationen aufgrund aller Kontaktkräfte zwischen Kette

und Scheiben berechnen.

Bild 6: Scheibendeformation bei Belastung mit einer Einzelkraft


Zu diesen Deformationen kommt noch das Aufklaffen der Losscheibe hinzu. Dies hängt von

der Führungslänge und dem Führungsspiel der Losscheibe ab und von der Wirkrichtung der

Gesamtspreizkraft. Aus dem Klaffen ergibt sich ein mit dem Umschlingungswinkel α

veränderlicher Keilwinkel β(α).

Berücksichtigt man noch die Stauchung eines Kettenbolzens, so kann man die radiale

örtliche Verlagerung der Kette in die Keilrille berechnen.

DeformationLosscheibe

aufgrund aller dS

+Verkippung

Bolzen-stauchung

aufgrund des örtlichen dS

∆r

Bild 7: Radiale Bolzenverlagerung aufgrund verschiedener Deformationsanteile

DeformationFestscheibe

aufgrund aller dS

Bild 8 verdeutlicht die Geschwindigkeitsverhältnisse in einem Kontaktpunkt zwischen Kette

und Scheiben. Auf dem momentanen Laufradius hat die Scheibe eine Geschwindigkeit vS.

Die Kette hat eine Geschwindigkeit vK, die sich mit der Gesamtkettenkraft (F+FF) verändert.

Die Richtung κ der Kettengeschwindigkeit hängt von der kleinen radialen Ein- oder

Auswanderung aufgrund der elastischen Deformationen ab. Eine schnelle Übersetzungs-

verstellung mit dem Gradienten diV/dt führt zu einer zusätzlichen, durchaus großen radialen

Verstellgeschwindigkeit vv. Dieser überlagert sich noch eine Komponente vu in Umfangs-

richtung. Aufgrund des Kontinuitätsgesetzes kann die Kette nur an einer Stelle radial

gegenüber der Scheiben gleiten. Alle anderen Kettenbolzen haben dann zusätzlich eine


Gleitgeschwindigkeit in Umfangsrichtung, die linear mit dem absoluten Winkel zwischen der

rein radial gleitenden Stelle und diesem Kettenbolzen wächst. Aus der Überlagerung all

dieser Geschwindigkeiten erhält man die Gleitgeschwindigkeit vKS der Kette gegenüber der

Scheibe und den Gleitwinkel γ.

γ

κ

α

ω

Bild 8: Geschwindigkeitsverhältnisse in einem Kontaktpunkt Kette-Scheiben

Bild 9 verdeutlicht die Kontaktkräfte an einem Kettenbolzen. Senkrecht zur Scheibe wirkt die

örtliche Normalkraft ∆N. Sie erzeugt eine Reibkraft R mit einer Komponente R° in der

Stirnschnittebene. Die Axialkomponenten dieser beiden Kräfte ergeben zusammen die

örtliche Scheibenspreizkraft ∆S. Die Reibkraft R° bewirkt die Änderung der Kettenzugkraft.

In Bild 10 sieht man die Kettenbolzen i-1, i und i+1 auf dem Umschlingungsbogen. Am

Bolzen i greifen die Zugkräfte Fi und Fi+1 an. Die Umschlingungssituation ist durch die

örtlichen Umschlingungsradien r gekennzeichnet. Mit der Kettenteilung erhält man daraus

auch die Winkel ∆αi und ∆αi+1. Damit lassen sich nun die Kräftegleichgewichte formulieren

und die Kraftänderung sowie die Kontaktbelastungen berechnen. Für die Analyse der

Kraftänderungen unterscheidet man die folgenden 4 Winkelbereiche des Gleitwinkels γ.


Abnahme der Kettenkraft

Zunahme der Kettenkraft

Radiales Auswandern der Kette aus der Keilrille -0° > γ > -90° 0° < γ < 90°

Radiales Einwandern der Kette in die Keilrille -90° > γ > -180° 90° < γ < 180°

β γβs

β

∆

∆

∆

∆

∆

β

ββ

Bild 9: Kontaktkräfte an einem Kettenbolzen


Die Gleichungen zur Berechnung der Kettenkräfte und Kontaktkräfte lauten:

Fi 1+ Fi

cos ∆α i( ) sin ∆α i( ) µ cos βs( )⋅ sin γ( )⋅

sin β( ) µ cos βs( )⋅ cos γ( )⋅−⋅+

cos ∆α i 1+( ) sin ∆α i 1+( ) µ cos βs( )⋅ sin γ( )⋅

sin β( ) µ cos βs( )⋅ cos γ( )⋅−⋅−

⋅

∆N12

Fi sin ∆α i( )⋅ Fi 1+ sin ∆α i 1+( )⋅+

sin β( ) µ cos βs( )⋅ cos γ( )⋅−⋅

∆S ∆N cos β( ) µ sin βs( )⋅+( )⋅

tan βs( ) tan β( ) cos γ( )⋅

∆α

γ

∆α

α

αα

Reibkraft imStirnschnitt

Kettenkraft ohne Fliehkraftanteil

Gleit-winkel

Umschlingungs-winkel

Kettenkraft ohne Fliehkraftanteil

Lauf-radius

Bild 10: Änderung der Kettenkraft F durch die Komponente R° der Reibkraft R


4 Algorithmus zur Berechnung eines Betriebszustandes

Die Kraftänderung ∆F hängt vom Reibwinkel γ ab. γ hängt von der Gleitgeschwindigkeit vKS

ab, die von den elastischen Deformationen an Kette und Scheiben beeinflusst wird. Diese

hängen wieder von den Kettenkräften und den Kontaktkräften ab.

Wie kann man nun die gesamte Kraftübertragung und den daraus resultierenden Kettenkraft-

verlauf F(α) an beiden Scheibensätzen bei Vorgabe der Übersetzung iV und seiner zeitlichen

Änderung diV/dt, der Vorgabe einer Drehzahl n und des zu übertragenden Drehmomentes T,

z.B. am Antriebsscheibensatz A, und der von der Regelung vorgegebenen Spreizkraft S, z.B.

der am Scheibensatz B, berechnen ?

Der neue Berechnungsalgorithmus löst diese Aufgabe in mehreren ineinander verschach-

telten Berechnungsschritten. Er vermeidet dabei bewusst die numerisch aufwendige und

rechenzeit-intensive Lösung gekoppelter Differenzialgleichungssysteme.

Mit der Übersetzung iV und der Verstellgeschwindigkeit diV/dt kennt man die mittleren

Laufradien rA und rB der Kette auf den Scheibensätzen und der Änderungen drA/dt und

drB/dt. Bei Vorgabe des Drehmomentes TA oder TB kennt man damit auch die zu

übertragende Umfangskraft Fu.

Für die weiteren Berechnungen schätzt man nun erst einmal die Kettenkraft und die

Kettengeschwindigkeit in dem auf einen Scheibensatz auflaufenden Trum. Bei der

Schätzung der Kettenkraft helfen die aus der Erfahrung bekannten Trumkraftverhältnisse ε.

εFmaxFmin

FmaxFmax Fu−

Als erste Kettengeschwindigkeit kann man z.B. die Scheibengeschwindigkeit auf dem

mittleren Radius wählen.

Eine erste Scheibendeformationen erhält man nun aus einem geschätzten Kraftverlauf von

der Kraft im auflaufenden Trum bis zur Kraft im ablaufenden Trum. Hier reicht schon ein

einfacher exponentieller Ansatz für den Kraftverlauf aus. Zusätzlich braucht man hierfür


einen sinnvollen Reibwinkelverlauf, den man aus Erfahrungen für den Antriebsscheibensatz

und den Abtriebsscheibensatz schätzen kann.

Tatsächlich würde dieser Rechenalgorithmus sogar mit einem ersten linearen Kraftverlauf

und einem konstanten Reibwinkel funktionieren. Man bräuchte dann aber vielleicht ein oder

zwei Iterationsschritte mehr, bis die exakte Lösung gefunden ist.

Aus den so geschätzten Scheibendeformationen erhält man die örtlichen Kontaktradien der

Kettenbolzen und damit auch die Gleitgeschwindigkeiten für das radiale Ein- und Aus-

wandern infolge der elastischen Deformationen. Zusammen mit den Gleitgeschwindigkeiten

aus der Übersetzungsverstellung erhält man einen neuen Reibwinkelverlauf. Damit kann

man nun die Kraftänderung von der Kraft im auflaufenden Trum bis zum Ende des

Umschlingungsbogens berechnen. Diese Berechnung geht extrem schnell, da die

Kraftänderung von Bolzen zu Bolzen, also ein ∆F/∆α, und nicht in infinitesimal kleinen

Schritten dF/dα ermittelt wird. Die Rechenzeit steigt demnach aber auch mit kleiner

werdender Kettenteilung bzw. einer größeren Anzahl von Kettengliedern.

Die Kraft im ablaufenden Trum stimmt nun nicht mehr mit der aus der Drehmoment-

übertragung geforderten Kraft überein. Deshalb variiert man nun in einer ersten

Iterationsschleife die Kettengeschwindigkeit solange, bis die Trumkraftdifferenz Fmax-Fmin

der zu übertragenden Umfangskraft Fu entspricht. Wenn die Kettengeschwindigkeit viel

größer als die Scheibengeschwindigkeit auf dem mittleren Radius ist, dann beträgt der

Gleitwinkel γ nahezu 90° und die Kettenkraft nimmt in Umschlingungsrichtung stark zu. Wenn

die Kettengeschwindigkeit viel kleiner als die Scheibengeschwindigkeit auf dem mittleren

Radius ist, dann beträgt der Gleitwinkel γ nahezu -90° und die Kettenkraft nimmt in

Umschlingungsrichtung stark ab. Zwischen diesen Extrempositionen gibt es genau eine

Kettengeschwindigkeit im auflaufenden Trum für die geforderte Drehmomentübertragung.

Der Zusammenhang zwischen der Kettengeschwindigkeit und der Umfangskraft ist stark

nicht linear. Trotzdem erreicht man mit einer geschickten Interpolationsroutine in wenigen

Schritten die richtige Lösung.

Der so ermittelte neue Kettenkraftverlauf basiert aber noch auf geschätzten Scheibendefor-

mationen. In einer zweiten Iterationsschleife berechnet man nun mit dem neuen

Kettenkraftverlauf neue Scheibendeformationen und damit wieder einen genaueren


Kettenkraftverlauf. Dies macht man so lange bis sich der Kettenkraftverlauf nicht mehr

verändert.

Die Aufsummierung der örtlichen Scheibenspreizkräfte ∆S ergibt die Gesamtspreizkraft S.

Diese steigt mit der Kettenkraft im auflaufenden Trum. Diese bisher geschätzte Kettenkraft

kann nun in einer dritten Iterationsschleife so variiert werden, bis die Gesamtspreizkraft S der

Vorgabe entspricht. Der nahezu lineare Zusammenhang zwischen S und der Funktion 1/(ε-1)

unterstützt hier eine schnelle Konvergenz.

Insgesamt verlaufen die so ineinander verschachtelten drei Iterationen sehr schnell. Die

Rechenzeit steigt mit kleinerer Kettenteilung und örtlich sehr weichen Scheiben, bei denen

eine veränderte Verteilung der Kontaktkräfte zu deutlich anderen Verformungen führt.

Prinzipiell ist dieser Berechnungsalgorithmus für beide Scheibensätze gleich. Man beginnt

die Berechnung für den Scheibensatz, für den die Spreizkraft S von der Regelung vorgeben

ist. Dies ist oft der Abtriebsscheibensatz B. Als Ergebnis erhält man für den anderen

Scheibensatz schon beide Trumkräfte Fmax und Fmin, so dass man hier auf die dritte

Iterationsschleife verzichten kann. Aus den Kontaktbelastungen an diesem zweiten

Scheibensatz erhält man auch die dort für die Kraftübertragung nötige Spreizkraft. Ein

wichtiges Ergebnis dieser Berechnung ist also die sogenannte Stützung ζ als Verhältnis der

Spreizkräfte SA/SB.

Aus den Gleitgeschwindigkeiten zwischen den Kettenbolzen und den Scheiben und den dort

wirkenden Reibkräften erhält man außerdem die örtlichen Verlustleistungen ∆PVA und

∆PVB, die sich zu den Gesamtverlusten PVA und PVB in den Kontakten zwischen Kette und

Scheiben summieren lassen. Daraus resultiert dann schließlich der Wirkungsgrad ηKS der

Kraftübertragung.

5 Berechnungsbeispiele

Einige beispielhafte Berechnungen sollen nun die Leistungsfähigkeit dieses neuen

Entwicklungswerkzeuges zeigen.


0 10 20 30 40450

360

270

180

90

0

90

180

270

360

450


180−

180

X

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5


Fmin

kN

Fmax

kN

X SB 6kN= TA 0.5 Nm= Pan 0.1kW=

Fu 14 N= ηKS 78.77%=

FF 65 N= µmax 0.09=

Fmax 723N= PVA 10.6W=

F [kN] Fmin 2670N= PVB 11.6W=

ε 1.02= SA 5.4kN= ∆ S [kN]

ζ 0.897= SB 6kN=

100 0 100 200 300

100

0

100


00

aV

mm

100 0 100 200 300

100

0

100


00

aV

mm


stiffness "normal"=

iV 2= vK 7.35ms

=

rA 35.1mm= nA 20001

min=

rB 70.2mm= nB 10011

min=

drAdt 0mms

= γ [°] diVdt 0

1s

=

drBdt 0mms

=

input A output B

SA 5.4kN=

r-rm [µm]

Bild 11: Stationärer Betriebszustand:

iV=2.0, diV/dt=0 Hz, TA=0.5 Nm, nA=2000/min, ε=1.02, SB=6 kN


Bild 11 verdeutlicht die Kontaktverhältnisse bei der konstanten Übersetzung iV=2.0 und

einem sehr kleinen Antriebsdrehmoment TA=0.5 Nm bei einer Mindestscheibenanpressung

am Abtriebsscheibensatz von SB=6 kN. Obwohl das Drehmoment nahezu 0 ist, verändert

sich die Kettenkraft über beiden Umschlingungsbögen. Die Scheibenanpressungen führen

zu Scheibendeformationen, so dass die Kette auf beiden Umschlingungsbögen zuerst in die

Keilrille einwandert und dann wieder hinaus. Dies führt zu einer auflaufseitigen Kettenkraft-

abnahme und einer anschließenden Kettenkraftzunahme. Die Gleitwinkelverläufe über den

verschieden großen Umschlingungsbögen sind an beiden Scheibensätzen ähnlich. Die

Gleitbewegungen und Reibkraftwirkungen bewirken eine Verlustleistung, die bei der kleinen

Antriebsleistung zu einem niedrigen Wirkungsgrad ηKS führt.

Bild 12 zeigt die Kontaktverhältnisse bei einer konstanten Übersetzung iV=0.5 und relativ hoher

Last TA=250 Nm. Auf dem Antriebsscheibensatz erkennt man etwa in der Mitte des

Umschlingungsbogens den typischen Knick im Kraftverlauf. Dieser ist darauf zurückzuführen,

dass an dieser Stelle der Gleitwinkel von Werten um –180° auf Werte um 0° springt. Dadurch

erhöhen sich in diesem Bereich die örtlichen Kontaktbelastungen und damit auch die

Reibkraft sehr stark. Dies führt zu der Änderung im Kraftgradienten ∆F/∆α.

Auf dem Abtriebsscheibensatz beginnt die Umschlingung mit Gleitwinkeln um 180°. Das

heißt, dass hier die Kraftänderungen ∆F/∆α nahezu 0 sind. Dieser auflaufseitige

Umschlingungsbereich wurde früher als „Ruhebogen“ bezeichnet. Mit dem Umschlingungs-

winkel sinkt der Gleitwinkel von γ=180° hin zu γ=90°. Bei diesen Gleitwinkeln wandert die

Ketten in die Keilrille hinein. Die Kraftänderung ist bei γ=90° maximal. Sinkt der Gleitwinkel

unter 90°, so wandert die Kette wieder aus der Keilrille heraus und die Kettenkraftänderung

wird wieder kleiner.

Der Betriebszustand nach Bild 3 unterscheidet sich von dem nach Bild 12 nur durch die

zusätzliche Verstellbewegung diV/dt<0 hin zu einer noch kleineren Übersetzung. Bei

gleichem Trumkraftverhältnis wird dies durch eine größere Spreizkraft SA am Scheibensatz

A und eine kleinere Spreizkraft SB am Scheibensatz B erreicht. Die zusätzlichen

Gleitbewegungen aus der Übersetzungsverstellung überlagern sich den Gleitbewegungen

aus den elastischen Deformationen. Am Scheibensatz A sinken die absoluten

Gleitbewegungen auf dem ersten Teil der Umschlingung, wo die Kette in die Keilrille

einwandert, und sie steigen in dem Bereich, wo die Kette aus der Keilrille auswandert.


0 10 20 30 40450

360

270

180

90

0

90

180

270

360

450


180−

180

X

0 10 20 30 400

2

4

6

8


Fmin

kN

Fmax

kN

XSB 27kN= TA 250Nm= Pan 52.4kW=

Fu 3558N= ηKS 96.3%=

FF 260N= µmax 0.09= F [kN]

Fmax 6228N= PVA 1209.9W=

Fmin 2670N= PVB 729.4W=

ε 2.333= SA 46.6kN= ∆ S [kN]

ζ 1.726= SB 27kN=

100 0 100 200 300

100

0

100


00

aV

mm

100 0 100 200 300

100

0

100


00

aV

mm


stiffness "normal"=

iV 0.5= vK 14.72ms

=

γ [°] rA 70.3mm= nA 20001

min=

rB 35.1mm= nB 39811

min=

drAdt 0mms

=diVdt 0

1s

= drBdt 0

mms

=

input A output B

SA 46.6kN=

r-rm [µm]


iV=0.5, diV/dt=0 Hz, TA=250 Nm, nA=2000/min, ε=2.331, SB=27 kN


0 10 20 30 40450

360

270

180

90

0

90

180

270

360

450


180−

180

X

0 10 20 30 400

1

2

3

4

5


Fmin

kN

Fmax

kN

XSB 19.9kN= TA 250Nm= Pan 52.4kW=

Fu 3558N= ηKS 96.17%=

FF 260N= µmax 0.09=

Fmax 4744N= PVA 548.8W= F [kN] Fmin 1186N= PVB 1458.8W=

∆ S [kN] ε 4= SA 28.4kN=

ζ 1.424= SB 19.9kN=

100 0 100 200 300

100

0

100


00

aV

mm

100 0 100 200 300

100

0

100


00

aV

mm


stiffness "normal"=

iV 0.5= vK 14.72ms

=

γ [°] rA 70.3mm= nA 20001

min=

rB 35.1mm= nB 39011

min=

drAdt 0mms

=diVdt 0

1s

= drBdt 27−

mms

=

input A output B

SA 28.4kN=

r-rm [µm]


iV=0.5, diV/dt=0 Hz, TA=250 Nm, nA=2000/min, ε=4.000, SB=19.9 kN


Dadurch verschieben sich diese Ein- und Auswanderungsbereiche ein wenig. Dies erkennt

man an der geänderten Lage der Stelle, an der der Gleitwinkel von γ=-180° auf γ=0° springt.

Die Kontaktbelastungen nehmen insgesamt etwas zu. Dadurch steigen die Verluste an

diesem Scheibensatz im Vergleich zum stationären Betriebszustand etwas an. Am

Scheibensatz B wird durch die negative Verstellgeschwindigkeit drB/dt<0 die bei dieser

Übersetzung dominierende Einwanderungsbewegung verstärkt. Trotz der etwas kleineren

Kontaktbelastungen erhöhen sich deshalb auch hier die Kontaktverluste etwas.

0 50 100 150 20094

95

96

97

ηKS

%

TA

Nm

0 50 100 150 2001

2

3

4

ε

εK

TA

Nm

0 50 100 150 2001

1.1

1.2

1.3

1.4

ζ

TA

Nm

0 50 100 150 20025

30

35

40

SA

kN

SB

kN

TA

Nm Bild 14: ζmax-Versuch

Betriebspunkt: iV=1.5=konstant, nA=2000/min, µ=0.09, SB=28 kN

Der Wirkungsgrad der Kraftübertragung zwischen Kette und Scheiben sinkt um ca. 0,5%.

Übersetzungsverstellungen hin zu größeren Übersetzungen führen bei kleinen Verstell-


geschwindigkeiten zuerst sogar zu einer Wirkungsgraderhöhung. Erst sehr schnelle Verstell-

bewegungen reduzieren dann auch hierbei den Wirkungsgrad merklich.

Im Betriebspunkt nach Bild 13 wird im Vergleich zum Betriebspunkt nach Bild 12 die

Anpressung SB reduziert. Dadurch sinken die Trumkräfte und das Trumkraftverhältnis ε

steigt. Um bei reduzierter Anpressung die gleiche Umfangskraft übertragen zu können, sind

größere Kraftänderungen ∆F/∆α nötig. Am Antriebsscheibensatz nähert sich der Gleitwinkel-

verlauf dem Grenzgleitwinkel γ=-90° und am Abtriebsscheibensatz dem Grenzgleitwinkel

γ=90°. Der „Ruhebogen“ am Abtriebsscheibensatz ist verschwunden. Eine weitere

Steigerung des Drehmomentes würde sehr bald zum Durchrutschen der Kette gegenüber

den Abtriebsscheiben führen.

0 1 2 394

95

96

97

98

ηKS

%

iV0 1 2 3

1

1.5

2

2.5

ε

εK

iV

0 1 2 31

1.2

1.4

1.6

1.8

ζ

iV0 1 2 3

0

20

40

60

SA

kN

SB

kN

iV Bild 15: Verlauf von Stützung, Spreizkräften und Wirkungsgrad über der Übersetzung iV

Betriebspunkt: TA=150 Nm, nA=2000/min, µ=0.09, diV/dt=0/s


Obwohl die Spreizkräfte und damit die Kontaktbelastungen deutlich unter denen im

Betriebszustand nach Bild 12 liegen, ist der Wirkungsgrad ηKS etwas kleiner. Dies liegt an

den insgesamt höheren Gleitgeschwindigkeiten kurz vor dem Durchrutschen.

0.07 0.08 0.09 0.1 0.1197

97.2

97.4

97.6

97.8

98

ηKS

%

µmax0.07 0.08 0.09 0.1 0.111

1.5

2

2.5

3

ε

εK

µmax

0.07 0.08 0.09 0.1 0.111

1.5

2

ζ

µmax0.07 0.08 0.09 0.1 0.11

15

20

25

30

35

SA

kN

SB

kN

µmax

Bild 16: Einfluss des Reibwertes auf Stützung ζ und Kettenwirkungsgrad ηKS

Betriebspunkt: iV=1.5=konstant, TA=150 Nm, nA= 1000/min, ε=2.205, µ=0.09

Für jeden Betriebszustand muss es also eine optimale Anpressung geben, bei der sowohl

die Sicherheit gegen Durchrutschen, als auch der Wirkungsgrad gut sind. Bild 14 zeigt für

dieses beispielhafte Getriebe den Verlauf der Stützung ζ=SA/SB bei der konstanten

Übersetzung iV=1.5 und einer konstanten Anpressung SB am Abtriebsscheiben-satz

über dem variierten Antriebsdrehmoment TA. Solche Versuche sind als ζmax-Versuche


bekannt. Mit steigendem Antriebsdrehmoment steigt die Stützung ζ bis zu einem

Maximalwert, um danach bei weiter gesteigertem Antriebsdrehmoment wieder zu fallen.

Das Drehmoment bei ζmax ist das Nenndrehmoment TAnenn=135 Nm für diese

Anpressung SB=28 kN. Der Kettenwirkungsgrad ist dann nahezu maximal und es

besteht eine ausreichende Sicherheit gegen Durchrutschen.

40 20 0 20 404

2

0

2

4

0diVdt

Hz

0

drAdt

mmps

40 20 0 20 4090919293949596979899

100

ηKS

%

0

drAdt

mmps

40 20 0 20 400

0.5

1

1.5

2

2.5

1ζ

0

drAdt

mmps

40 20 0 20 400

12

24

36

48

60

SA

kN

SB

kN

0

drAdt

mmps

Bild 17: Einfluss der Verstellgeschwindigkeit drA/dt auf die Spreizkräfte SA und SB, die

Stützung ζ und den Kettenwirkungsgrad ηKS bei konstantem Trumkraftverhältnis ε.

Betriebspunkt: iV=1.5, TA=150 Nm, nA= 1000/min, ε=2.205, µ=0.09

Aus experimentellen ζmax-Versuchen erhält man oft die Vorgaben für die Regelung solcher

CVT. Über solche ζmax-Berechnungen lässt sich mit diesem Programm auch ein Kennfeld


für optimale Trumkraftverhältnisse εK als weitere Regelvorgabe für Simulationsrechnungen

ermitteln. Dies ist vorteilhaft, weil sich bei Kenntnis des Trumkraftverhältnisses ε die

Kraftübertragung noch schneller berechnen lässt.

40 20 0 20 404

2

0

2

4

0diVdt

Hz

0

drAdt

mmps

40 20 0 20 4090919293949596979899

100

ηKS

%

0

drAdt

mmps

40 20 0 20 400

1

2

3

4

1

ζ

ε

0

drAdt

mmps

40 20 0 20 400

16

32

48

64

80

SA

kN

SB

kN

0

drAdt

mmps

Bild 18: Einfluss der Verstellgeschwindigkeit drA/dt auf die Spreizkraft SA, die Stützung ζ

und den Kettenwirkungsgrad ηKS bei konstanter Spreizkraft SB.

Betriebspunkt: iV=1.5, TA=150 Nm, nA= 1000/min, SB=32 kN, µ=0.09

Bild 15 zeigt den Stützungsverlauf für dieses Getriebe über der jeweils konstanten Übersetzung

bei jeweils einem aus ζmax-Berechnungen ermittelten optimalen Trumkraftverhältnis ε = εK. Man

erkennt, dass bei konstanter Übersetzung die Spreizkraft am Antriebsscheibensatz SA immer


über der am Antriebsscheibensatz SB liegt. Dies ist selbst bei großen Übersetzungen iV mit

einem kleinen Umschlingungsbogen am Antriebsscheibensatz der Fall.

Am Antriebsscheibensatz gibt es deutlich größere Umschlingungsbereiche mit Gleitwinkeln um

γ=0°. Dadurch steigen die örtlichen Spreizkräfte stark an. Die Stützung ζ liegt in Anfahrüber-

setzung knapp über 1 und nimmt zu kleinen Variatorübersetzung hin deutlich zu. Die hohen

Scheibenanpressungen bei Anfahrübersetzung bewirken relativ große Gleitbewegungen und

damit relativ hohe Verluste. Zu kleinen Variatorübersetzungen hin steigt deshalb der

Kettenwirkungsgrad. Diese Ergebnisse sind durch viele Versuche belegt.

Während der Betriebsdauer eines Ketten-CVT glätten sich die Scheiben und die

Kontaktflächen der Kettenbolzen. Dies führt tendenziell zu einer Reduzierung des

Reibwertes. Die Berechnungen nach Bild 16 zeigen, dass sich dann die Stützung ζ verringert

und der Wirkungsgrad ηKS sowie das Trumkraftverhältnis ε leicht erhöhen. Auch diese

Ergebnisse wurden bereits durch Versuche bestätigt.

Die Bilder 17 und 18 zeigen abschließend den Einfluss der Verstellgeschwindigkeit auf

Spreizkräfte, Stützung und Kontaktverluste. Bei den Berechnungen nach Bild 17 soll das

Trumkraftverhältnis ε konstant bleiben, um immer ausreichende Sicherheit gegen

Durchrutschen der Kette zu haben. Bei einer Verstellung hin zu großen Übersetzungen

iV=nA/nB=rB/rA muss man dann die Spreizkraft SB am Abtriebsscheibensatz erhöhen und

die am Antriebsscheibensatz SA reduzieren. Bei einer Verstellung hin zu kleinen

Übersetzungen iV=nA/nB=rB/rA muss man die Spreizkraft SA am Antriebsscheibensatz

erhöhen und die am Antriebsscheibensatz SB reduzieren. Wie bereits oben erwähnt steigt

der Wirkungsgrad bei relativ langsamen Verstellungen hin zu kleinen Übersetzungen sogar

etwas an. Erst bei schnellen Verstellungen fällt in beiden Verstellrichtungen der

Wirkungsgrad der Kraftübertragung.

Bei der Übersetzungsverstellung nach Bild 18 wird die Spreizkraft am Abtriebsscheibensatz

SB konstant gehalten. Um die Übersetzung dann schnell zu verringern, muss SA deutlich

angehoben werden. Der Wirkungsgrad fällt steiler ab als bei der Verstellung nach Bild 17, wo

auch SB reduziert wird. Um die Übersetzung schnell zu vergrößern, muss SA sehr stark

reduziert werden. Dadurch steigt das Trumkraftverhältnis ε und die Sicherheit gegen

Durchrutschen sinkt. Die erhöhten Gleitbewegungen führen dann auch zu größeren

Verlusten.


6 Zusammenfassung

Die Kraftübertragung in stufenlosen Umschlingungsgetrieben ist insbesondere bei Verstell-

vorgängen ein komplexer Vorgang, der sich bis heute nur schwer theoretisch vollständig

beschreiben lässt. Die meisten der bis heute entwickelten Rechenprogramme beschränken

sich auf stationäre Betriebszustände, berücksichtigen dabei aber durchaus räumliche

Kettenschwingungen [9]. Alle diese Programme lösen sehr komplexe Gleichungssysteme mit

aufwendigen Algorithmen. Dadurch werden diese Programme aber langsam und zum Teil

auch schwierig zu bedienen.

Das Ziel der hier dargestellten Forschung war die Erstellung eines Berechnungswerkzeuges,

mit dem die Kraftübertragung in U-CVT auch bei Verstellvorgängen sowie relativ schnell und

einfach berechnet werden kann.

Das hierzu erarbeitete Rechenprogramm rechnet mit einem neuen Lösungsalgorithmus, der

anstelle der numerischen Integration eines gekoppelten DGL-Systems über mehrere

ineinander verschachtelte Iterationen die Kräfte auf Kette und Scheiben, die elastischen

Deformationen und die Geschwindigkeitsverhältnisse in Einklang bringt. Das Programm

berechnet die Kraftänderung in der Kette von Bolzen zu Bolzen bei Vorgabe der

Scheibenelastizität und der Kettengeschwindigkeit. Die tatsächlichen Scheibenverformungen

bei vorgegebener Spreizkraft werden durch sehr schnell konvergierende Iterations-

algorithmen berechnet. Dieses neue Rechenprogramm kann darüber hinaus die Belastungen

in der Kette und den Wirkungsgrad des Getriebes bei Verstellvorgängen berechnen. Da auch

der Anpressbedarf bei Verstellvorgängen mit dem Programm berechenbar ist, kann es

Berechnungen zum dynamischen Verhalten von U-CVT und die Entwicklung verbesserter

hydraulischer Steuerungen/Regelungen unterstützen.

Für alle stationären Betriebspunkte liefert das Rechenprogramm Ergebnisse, die sehr gut mit

den sehr jungen theoretischen und experimentellen Ergebnissen von Sattler [7] und Sue [8]

übereinstimmen. Auch die übrigen hier vorgestellten Zusammenhänge zwischen den

Verstellbewegungen und den dazu nötigen Spreizkräften sowie den dabei auftretenden

zusätzlichen Verlusten sind experimentell nachvollziehbar.

Dieses neue Rechenprogramm benötigt für die Berechnung eines Betriebspunktes auf einem

PC mit 512 MB RAM und 3 GHz Taktfrequenz zwischen 30 s und 60 s. Alle in diesem

Aufsatz vorgestellten Berechnungen haben zusammen weniger als 1 h Rechenzeit benötigt.


Insbesondere wegen dieser hohen Rechengeschwindigkeit ist das Programm gut geeignet,

die Einflüsse einzelner Getriebeparameter wie z.B. der Getriebegeometrie, der Steifigkeiten

der Bauteile, der Reibwerte usw. auf den Wirkungsgrad und den Anpressbedarf zu

beurteilen.

7 Literatur

[1] Dittrich, O.: Theorie des Umschlingungsgetriebes mit keilförmigen Reibflanken.

Diss. TH Karlsruhe, 1953

[2] Schlums, K. D.: Untersuchungen an Umschlingungsgetrieben.

Diss. TH Braunschweig, 1959

[3] Lutz, O.: Zur Theorie des Keilscheiben-Umschlingungsgetriebes.

Konstruktion Bd. 12, 1960

[4] Gerbert, B. G.: Force and Slip Behaviour in V-Belt Drives. Acta Polytechnica

Scandinavica, Mech. Eng. Series No. 67, Helsinki 1972

[5] Tenberge, P.: Wirkungsgrade von Schub- und Zuggliederketten in einstellbaren

Umschlingungsgetrieben. Diss. Ruhr-Universität Bochum, 1986

[6] Sauer, G.: Grundlagen und Betriebsverhalten eines Zugketten-Umschlingungs-

getriebes. Diss. TU München, 1996

[7] Sattler, H.: Stationäres Betriebsverhalten verstellbarer Metallumschlingungsgetriebe.

Diss. Uni Hannover, 1999

[8] Sue, A.: Betriebsverhalten stufenloser Umschlingungsgetriebe unter Einfluss von

Kippspiel und Verformungen. Diss. Uni Hannover, 2003

[9] Srnik, J.: Dynamik von CVT-Keilkettengetrieben. VDI-Fortschrittsbericht Nr. 372

Reihe 12. Düsseldorf, VDI-Verlag 1999 / Diss. TU München, 1998

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