l' K' I.geometrie.zum.de/images/1/1e/Spickzettel17.pdf · 2017. 7. 26. · Mittelsenkrechten~...

, 1. wtnketbarbreeeude- (1,2) (7) I<rASCd = om) (2) ~_= 17.5 0 (RechnCIIEineGerade g gehörteueiner Dreiecks Alle Nebenwie- tri~chseist, heat Drache Kriterium~: j<tASC:lJ zur Annahme in R) (3) 35'0+ C /(<lASB» Ebene E, wenn jeder Punkt kel der Innenwinkel eines Satze V: GI e 02 B: P1J e 7'A 11. Mittelpunkt. Exis- (4) SC+ mit I<tASC!= I!!.l= von g zu E Scllort. Dreief'.ksABVhetssen Aus- (1) 01 ~ (\'2 (V) (2) tenz: _ 17.5 0 (W:inkelkoD8tr.axl~m) Pßrwlclitli.t von Ehe- senwiukel des Dreiecks. Baslswlnkelsats In ei- "S1' e :sJ$(triv) (3) Pt ~ ih Zz: 3M E AB : IAMI = (5) sc+ mit I<tBSq = nen Zwei Ehene EI und E2 Inneres eines Dreiecks nem gleichschenkligen Drei- (Lot ••. on P auf SA bzw SB) 11I1BI(l)AB hat genau eine l.!rl == 17.5' (Winkelkon- Kindparallel, wenn flie keinen Ea lleiA11l::' ein Dreieck. Die eckxind die Besiswinkel kon- (4) /l ~ /':1(180 - Cl- (3::; "T) Länge : IABI E IR+ (Ab... Kir,a.xiom) (0) a =~= l!!1 Punkt gemelreem hilben. Schnittmengeder Inneren der gruent zueinander.We.nn~in (IWS) (5)Y'P1J e m'A ~tandnax:iom)(2) nehme~ (7)" = !<tASq + I<tBSel Winkel Ein Winkelist ein WißkelLCAB,L~BC,LBOA Drei~ g1e~h!;Chenl~hg. Ult, (1,2,4, WSW) (6) P1J ~ J"A (3) euf AB+ exlsttert geneu (56) (8) I<tBSel :::; I<tBSq Paar nic-.htidentitiCher Halb- nennt man daa Innere des dann elnd seine Baalswinkel (5) ein AI mit IAA.JI =~ (Axi- (7) geraden, die den Anfangs. Dreiecks'. kongruent aueinander. 2, Winkelhalbierende- om Lineal] (4) ZW(A M B) Definittonen punkt gemeinsam haben. Höhe elncs Drelecks Hö- Umkehrung Baslawin- Kriterlum +-: gilt (Beweil>spilter '''') '(5) k 11 \Vi .M Die Halbgereden heiS!ll!nhe einet!Dreiecksist eine Ce- kelsatz Wennin einem Drei- V: PB e PA B: IAMI + IMBj = JAB] (4) ;n~:7:~n:;e~~n~nd~:~~ Schenkel. Der ge01~!!Ilme rede, die dure? einen ~k- eck zwei Innenwinke! Drei- P € WH --t ('1 ~ ("2 (6) ..m + IMBI _ IABI lb Cd Il d Anfangspunkt des Wmkels punkt dea Dreiecks verltlUrt ecks kongruent zueinander (1) n~PA (V) (2) ,,2 ~ He. en . eru en legt,. ann heiHHt Scheitelpunkt dCH win- und zu der Gerede, der die sind, dann iHtdieses Dreieck s» ss 3'P(triv) (3) ßt ~ ß2 ~8;) (7) IM81 = a A1 8 ) h~I.'lh1.. d'~ ~tmge kollinear. kels. lEin Winkel heisst die gegenüberliegende Dreiecks- ein gleichschenkliges Dreieck. (Lot von P auf SB bzw SA) ~ ~ IMBI = IMAI =~ SchrelbwetHe.koll(A, B, C, Vereinigungsmenge zweier seite angehört, senkrecht JHt. Wennein Dreieckzweizuein- (4)Jß1S E!!'HS1' (1,2,3, Ssw) Beweis .: B: Zw(A, M, B) "')k l E' M Strahlen p und q, die einen gleichschenkliges Drei- ander kongruente Innenwie- (2 Seiten + Winkel geg-über Annahme: -. Zw(A, M, B), 'o{:'pkren h. me ko enlge gemeinxamen AnfarlgKpllnkteclt Ein Dreieck mit einem kel hat, dann ist dtuiDreieck gräMter Seite} (5) 0(1 e 0'2 Il~ e.B. Zw(A, B, M} (a) von un ten eu~t ;~ a- S haben. Paar zueinander kongmenter gleichschenklig. (4) IABj + IBMI = IA~ (b) ;~' ~Iln al~ ~lnekt' t~GrÖB8e eines Winkels Selten il>tein gleichseheukh- Kriterium Ein DreieckIst 3. Seiten-WInkel- IABI + IBMI = A, (c) M t, re h-I: S~n 'be . 1,'I' WinkelmaHHaXloOlH geaDreieck. gerrau dann gleichschenklig, Beziehung -t: IBMI :: -~J da. < 0, da. k engeAen~a C 'Drei weise: Inneres eines Winkels Lot, Lotgerede, Lot- wenn zwci Innenwinkel kon- V: lai > Ibl B: 101 > 1,81Ablitiindeimmerpcsltiv omp( , , , ,...) Unter dem Inneren eines fusspunkt EH sei Pein gruent sind. Komrtruktion: (1) }PC' E!! 12, Lot Existenz: A:bstand Der Abstand WinkeÜ! versteht man die Punkt, der nichtzur Gereden Innenwinkelsumme im CE (2) AV ~ "C11' (3) V: P 'i 9 B: 3l : P E zwme.rPunkte A lind Bund Schnittmenge der belden 9 gehören möge. Die Geradll Dreieck In jedem Dreieck ., e ,. (4) lF1J7V e ABC I fit .L 9 (1) 31(1![Winkel- b,t die Za.b~, die nach dem Halbebenen I, die Henkrecht 11m 9 Hteht betriigt ditlSummeder GrBK- (1,2,3,SWS) (5) 0' iHt AW mlL'lSIlXiom) (2) 10'1~ Ia-'j Ah!ltancll>!lXlOm den Punkten Nebenwinkel Zwei Win- Imddurch den Punkt P geht llender Innenwinkel180·. von ß' ~ 0' > .6' (6) er ist (Winkelkoru;tr.axiom) (3) A lind B Z~gOO~~~~t. _werdt!llkel bilden ein Paar von N& heiH!ltLotgerade von P ImI Stufenwlnkeisatz & tlei- AW\'on ß~ ci > ß' (7) dn IPAj (AbHtandHludom)(4) kann. Scllrelh~lse. - c. ben~inkel, v.1!nnIde einen g. Der Schnittpunkt L von eo a lind b zwei zueinander rx E!!,,/ fI ß~ ß' ~ () > ß IABI = IPA! (AxiomLineal) Abßtand e1nell Pfjnk~ell identischen Schcnkel haben, I mit g, heiSHtLotfufiSpunktparallelenGemclen,ditldllrcb 4. Selten-Wlnkel- (5) 3L = J5Bn9(B E gP-) %,Ueiner Geraden Etil!elP die jeweilI!anderen Schenkel deHLoteHvon P Iluf9. Unter einedritte Gerudecgem:hnit- Beziehung r: B: "/1 ~ 'Y2 (1) ::rz; !:! AL (2) ein Punkt Il.m;serha~b von ~.' ergänzen !liehzu einer Gefll- demLot.von P aufg, ven;tebt ten w~rdtm.Die bei di~em V; lul > Ißl B: 141> Ibl IABI = JAPI (3) lai = lerl ~erUin~bHtand d Lo von zUß lHt c den. mlUldie Strecke n. Schnitt enUitehendenStufen- Annahme: lot S Ibll. Fttll:(4) 11 Ei!!'Y2 = 90~ (kon~ Je ge efi tefivon au ScheiteIwhlkel ZwL'i ViereckEHHelenA,B,C,D winkelsindkongTiient. ttli~~l~s::ztl :,I~ ~~= ~in~~~~I::;lt~ittelPUnkt 9 ·Zwl1chenrelat.Ion Ei~ ~:i::e:hr~n:m::~~;~:; ~~:e~o~P~I~e~r:::::~~~n:: te;tu~::i~fe~n ~~n~~l~~~~ Jal < Ibl-t laI < 1.81 (Seiten.. Zz: MI == M2 An- ~!In~t B ~egtdzwlllCbenZ~I sich tiChntl.idenderGeraden ar Hind.Unter dem Viereck grtlfIII. Winkel-Bez) J zu V nabme: M ~ M2 (1) ~~ ten ~~ ~'Av;;enngl t bilden. ABCDvenlteht rulUldie Ver- Umkehrung Sturen~ 5. Mittelsenkrechten- IAMII:::; IBMII = IAM,1 = I 1+1 I-I I StufenwlnkelEHooienab einigungHmengederStrecken winkelsatz Wenn die hel- Kriterium -+: jBM2j{MI A M2 HindMP von Mlttelp~nk~ einor Stro.- lind e 9 kompltUlare, paluw~j- AB,BC,CD,AD. den Stufenwinkel Q und ß V: PIL e MS B: AB (2) IAMl! = IBMd = ~e. W~n~lr e~n~1~~kt~1 sevenlChiooeneGeraden,wo- Winkelhalbierende EH kongruent 7.ueiOlmderI!ind, PA = PB (1) AM' = 1f!J IABI(MI E AB) (3) IAM,I = tt. M~ mJt: 1:- bei c die Geraden Il \U~dh seienp,w,q , drei Halbg~ dann Hlnddie Geradena lind (folgt 1l.\I1! V-ExiHtenzMP) IBM21 = \ABI(M2 E AlT) (4) B !, dann he1!lllt M MIt- in den zwei Punkten A und raden ein lind dernelben bparallelzueinander. (2) 61~~ (folgtaURV- weil 2, IAMII.= JAB] .= 2. jAM21 telpunkt von. B Hclmeidenmöge.Die Win- Ebentl mit dem gemeil1R8- Satz Peripheriewinkel- <tPMA e!! <tPMB, da P1Vf (1,2,3) (S) IAMI! = !AM21-t E.kon~xe 3;unktn;:n~e kel n undß , \Ion denen el- Ineo AnfanWipunktS . Die satz Wenn zwei Periph6- MSvonA11)(3)PM~-p]J MI := M2i %1\ Annuhme Ine. enge von un.- nerA llndeiner Bal.'ISchei- H.albgerudel1JiHtdieWinkel- riewinkel ein und del!.'IIllben (t.riv) (4):AB'P :!:! 1INf1' (Axiom Lintml) ~ ~enheuilt konvex,wenn mit telpunkt haben möge, heis- halbiertlnde dtm Winkel1lLpqKreilltlflfiber dellM!lbenSeh- (1,2,3,SWS) (5) PA:i! PB 14, Lot Eindeutigkeit: V: Je zwei Punkttln. A und B l!tID. Stufenwinkl!l,Wti'.nnein ,wennw imInneren VOll Lpq nedieHe8KreiSI!H liL'gen, dann 6. Mittelsenkrechten~ LI E9 mit PLI .L '9 ~ie:;er~nge die ~U!amtl;!Schenkel vono in delllClbenliegt und cUeheiden Winkel !lind sie zueiOlmderkongru- Kriterium r: B: 31., L:1 E9 mit treck zu M gehort. Halbebene bzg!. e liegt, wie Lpwnnd LwgdlUielbeG1'ÖtIHe ent. V: PA ~ 'PB B: PlrJ .L 9 A ~ :f:. LI An- ,konvexes VI~reck Ein eil!Schenkelvon 3 und wenn haben. DieWlnkelhalbieren- Satz des Thales Jooer P E MS, a1.'10 GI :::; ~ (1) nahm",: ~L, : L, E 9 mit Viereck ABCD Ult ~onvex, ein Schenkel eines der bcl- de einet! Winke\a Il' il!t die PeriphtlriewinkelI)ber einem 3M E AB : AM S!!! BM PL2 1. AL, '" LI (1) Da wenn zu zwei behebigen den Winkel Teilmengeeinet! Mengealler Punkte alll1dem Durchml$llerIst dn Rechter (Ex. MP) (2) 1'A E!! PB nkoll(P, Lit lr.l) -+ 1"'I;Ci Punkte A I1n~ B allHdem SchenktlL'i det! anderen Win- Inneren von a , die zu den VOrOll.'il;etzlIng (1)::A:S Illt (V) (3) "'Pli1 ~ J17i1 jgt 6. (2) I<rPLd,~j = SO = I~neren dU!VIerecksABOD kill!!hit. Schenkeln von u: ein \lnd DurchmeH.'ier von k Voml11+- (trlv) (4)AA11' ~ 1JNrP I<tP~LII -t 2 rechte Wln- die gemtmte ~treckeA1J Im Wechselwinkel: UI /leiendenHelbfmAhHtandhaben. IStltzung (2): C Element k Be- (1,2,3,&5S) (5) 61 =~ (4) kaI J zu flChw,AWS (lallt I~neren doo Vlerl:!CkH.ABCl? U lind ßStuienwlnkel.Wmm-y Konguren~ = Gleich bl:luptlmg: l' = 90· (6)P E MS S.AWS gilt: 1.8'1> 10:1-t liegt. oder wenn Hlch llel~der Schl!itel ••••• inkel vonn illt, InkreIs Ein Kreis, der al- Umkehrung ThaiCH: 7, Sturenwlnkelsat:t --t: Winkelnicht kong.) ne Diagonalen AC und BD dllßn iHt er der WeclJselwln-le drei Seiten eineRDrcil:!CksWenn (l ein recllter Winkel V: a, 11b B: 0~ ß An- 15. Basis-Winkel-Satz -t: IIChnlliden. lrelvon .8 . injtlweilHgenaul>JnemPunkt noor dl!m DllrchmeNlrA7:1 nahme: 10'1" 1.81 (1) Wegen (nur Im gleichlICh. ß) .konkave Pu~ktmenge Peripheriewinkel Ein berührt, he.il!HtInkreiK deti eint'llKreises k bt, dllno il!t a-a! cl ~ a 1111(2) 2 Pll.fal- V: a~b B: Q' ~ ß (1) Eme M~ngeM hel!ll'>t konkav Winkel heil!i!t' Peripherie- Drek'CkR. der Sdwitelpunkt S von u leien (bAt!) zu a durch P i 1'l ~,,(HilfHkonKtr. WH von wenngllt AlM: ABiM winkel, wenn der Schl!itel DlIrcbillt!Slie.r Kreis: Eine ein Punkt dU![(reiBe!! k. zu Axiom Parallel 'Y- Def WH) (2) V'D ~ 7:JD Strecke EAIHeienA lind dt!:!!Winkelll Element einea Stmdw, die durch den ?vlit- VoraulIlietzung(1): 0 = ~: !t~rßWi;:~!ZA:;~ah_ ~ ~3~=(1,~,3~~W~~ gi:~I~~=:~~t:~~~ ~!~eliH~e~m~(r~~ ~:: :1~~I~ke~:!n~~;l:t: g:~l~ ~:r~~:=t~~a~~~\::iH; me: 4.ftb, also 3C: C = al1b (S)a i!! ß B IiOwiealle Punkte, diezwi- in gtmall einem (weiteren!) dil1ieJßKreis k liegen,heifiSt Elementk KonKtruktion:E.'IentHtehtein 10,Basiswinkelsatz +--: IICbenA lind B litlgen,ent- Punkt tiChneldtln. DurcbmeHSel' vonk. Umkehrung: Wenn (l< ein ~~i~~ (A~~~s~~·3i~~ ~~n:b~! .J: ;c;b:zm hät~:'i~I~t~~~e FMeinZen~~~,;~ne~~~~~1A~! B ~I~e~:h~~~\~n:eh'ö~nn~ ~~~~:~~~::~~I:k V 3mAB (MittelHenkrechte)HeienA und B zweiverllchie- KrelKt!!l k mit Mittelpunkt M. wird die Strecke AB Krell!- ist, dann blt A"n' ein Dllrch~ ~11I~~I~~::cr bl~~88e~~~ ~ln~det ftACt 8 ~ (~~ fe~~ PI~k~~;j:~~~t~e~ ~~ \~:::!l~~!n~:~~~~ ~~:eh~:n~::kk ::a~::._ m~:\7:~~~:Cl ~:'0 = 000 P E /(jJ') 1(.3) = om von PanICh) (1,2) (4) StreckeA11. dazugehörigeZentriwinkel. eck, de'ilen Eckpunkte auf VOrllllR!lt!tzung (2): U iKtPe- AB,C n BO,A+ IilKOo.B.d.A. mA8 11AC' = 0, Halbgerade EineHll.lbge- Tangente: HCbneidetk in demlllllbenKreil!kliegtlll.Ein riphllJ'iewinkel vonk Behaup- zz: P E AB, C- A BC,A+ (S) !Al:'2! 2!' BC:!2 (6) zw. rtide AB+ ist die Menge der gerumeinem Punkt Viereck, '111 .demein UmkroiHtung: 0 Ist Peripheriewinkel (1) p. € AB,C-: trivial (AO,OI) (7) C2 E J(ß) (8) P1Ißkte der StreckeAB' \'cr- Schwerpunkt eines exllitiert, beiHlltSehnenvier- über Durchmellllervonk (2) P E BC,A+ : An- BC2EJ(ß)(!l)l1'I+!61-IßI einigt mit der Menge aller DrelecksUnterdemSchwcr- eek. Zcntrlwlnkcl- no'hme P rt BC, A+, a!l!O(10) /11= 101(11) Ißt> la! Punkte P fürdiegilt: B liegt punkt eine!!Dreieckiivel'llteht 'l'angentenvlereck Wenn Perlpheriewlnke1satz Jj!,. Pe BC,A- KoO!,.truktionJ 17. Schwacher Ausscn- ZwlHChen A lind P man den Schnittpunkt Heinerdie Seiten dnCHViereckt!allf der Umfangawinkel(Periph& neuet!P -t neu€!;AI& zu MP Winkel-Satz: AB- = Seitenhslbierenden Tangenten an tlinlindderu;el- riewinkel) iHt halb so gr();lj vonA11 Zz: 1,8'! > 101(1) 3M E {PIZ1ll(P,A,B)}u{A~ DreleckEinn-Eckrnitge- ben Kreisliegen,dann istdat; wie Heinzugehöriger Mittel- 10. Winkelha1blerend~ A.'B': l1A S!!!ArB (Ex. MP) Ofl'l,'1ll! H••lb.. 0.11.11drei Eckpllnkten hit ein Viereckein Tangentenviereck punklswiokel (Zentriwinkel) Eindeutigkeit; (2) CM+ (3) 3p € MC- : ebene gQ+ := Dreieck gleichschenkliges Tra~ AchsensymmetrischclI Zz: W BI .= W H1 Annah- -pu ~ r:J1 (Axiom Linwt) Pu I PQ (j 9 = gQ- := Rcgelmässiges Dreieck pez Ein Trapez mit uinern Dreieck Wenn ein Dreieck me: WH) ~ WH2 (1) WHI: (4) 10'1 ~ 101B{lweill:(a) .P~EI PQ n9 = \9 Ein Dreieck, in dem alle UmkreiNist ein gleiclu!chenk-glclcluichenkllgiHt,dann il!t I<tASCII = I<tBSCII (2) ID ~ MB (h) PM ~ r:lJ Geradenparallelität Es Innenwinkel cUeGrÖI;se60" ligegTrape eIi!iuchaclu;eOllymmetriach W 1I~: !<rASC,l = I<tBSC2! {cl 61 ~ 6, (Scbeitelwlnkol) Hlndzwei Geruden parallel, haben, ist (!in regelrnilillilgC!l Parallelogra.mm Ein Dreieck Innenwlnkcl- (3) WH) : !<tAS011 + (d) 'jfMV 2!' 1J7J'P (1,2,3, wenn kein Punkt oder alle Dreieck. Viereck mit zwei Paaren summe 1800 In jedem Drei- !<tBSC11 = I<tASBI (1) SWS) (e) 10'1 ~ jO')(5) Punkte identitiChsind. Innenwinkel eines Drel- paralltllerSelten. I:!Ckbeträgt die Summe der (4) WH! : I<rASell + Iß'I > !al Inzidenz Punkt Ebene ecks EHseiein DreiectüfBt'. Raute Eine Raute iHtein CrÖttien der Innenwinkel !<rBS021 = !<tASBI (2) 18. WInkelhalbierende- Ein Punkt P inzidiert mit ci- Die WinkeILABG, LBOA, Viereck,de>!llen Seiten gleich- 180~. (5) !<tABe1l+ I<tBSCd = Existenz: ner Ebene E, wennP ein EIe- LCAB Hinddill bmenwlnkel lang t;ind. Existenz und Elndeu- I<tASC2! +1<tBSG.lI(3,4) (6) Zz: I<tASCJ "" I<tBSGj (1) mt!lltder Ebene E iRt. Drache: Ein Viereck, bei tlgkeit des Mittelpunkts 2· I<tASetl = 2 !<tASC21 101 "" 3S· (Winkelmll.b."iaXi-Inzldenz Gerade Ebene Aussenwlnkel eines dem eine DiagollaleSymme- einer Strecke Jede Str~ke hat genau einen Mittelpunkt kelsatz Die GIÜIse einet! Kriterium: Eti HeiP ein der Inkreismittelpunkt. Die - ExiI;tenz von Parallelen,- Satz des Thales + Umkeh- 1. ExMenzbeweis: Jede jeden AUR.'>Cnwlnkels eines Punkt aus dem Inneren des Seitend~ Dreiecksalnd Thn- Jedes Dreieckhat zwei spitze rungen -=> Zentri- Perlperle- St.recke hat einen Mittd- Dreiecks ist jeweils grösser Winkels0 . P i'lt gellaudann genten anden Inkreis. Seiten- Winkel winkelHatz punkt als die Orösse eines jeden ein Punkt der Wmkelhalbte- halbierenden eine; Dreiecke: euklldlache Geometrie: 2. Eindeutiglrolt!lbe"'~ilcInnenwinkelsdiesesDreiecks, rendenvon ex .wenn erzuden Schnittpunkt der Seitenbel- EH Hel g eine Gerade und P Mcrgen-Gesetee: Jede Strecke hat nicht mehr der kelnNebenwinkelzudem Schenkeln von () jeweils ein bierenden eines Drelcoka Ult nicht Element von g. EIl gibt l.-.(Ai\B) ~ (-.A)V(-.B) aL'IeinenMittelpunkt gewählten Au.'f;enwinkeldCKlinddenselbenAbstand hat. der Schwerpunkt des Drei- höchstens eine Gerede h mit 2.)-.(AV B) {:::} (-.A) A(-.B) Existenz und Blndeu- Dreiecksist. In einem Drei- gegenüberliegenden ecka.HA'lhen eines Dreiecks: PElementh lind h parallelzu 11. A (BnC) = tlgkelt der Mittelsenk- eckliinddieAlIlilWnwinkeldetlWinkel eines Sehnen- Die HA'hen des Dreiecks g. (A B)U(A C) lind 2. rechten Jede Strecke hat in Dreiecksjeweils gfÖHl;eraw vlerecka Wenn ein Viereck (Lote der Eckpunkte) schnei- -Stufenwinkelaatz (Stu- A (BUC) = (A B)n(A C)n jeder Ebene, zu der die Sne- die beiden nichtanliegenden ein Sehnenviereck ist., dann den eichin einem Punkt. fenwinkel an geschnittenen Weitere wichtige Oeetee ckevolMändiggehört, geneu Iuaenwlnkeldet!Dreiecks. sind Iitlinegegenüberbegende Absolute Geometrie- Parallelen sind kongruent.), sind: 1.(A <=> 8) ~ (A ~ ei~:~:!~:e~:nec;:allclen lI: r der s;:::w~:t~~ InÜ:t~~~~!I~::ptv:~ti~'ei_ =~~~el~~~k!ne1~~i~; i~~::,~~~~~::tzt li~~:~~ :~A!:B~ ~B2~:~ # A WennP ein Punkt ausserhelb gegenüber/Dem gros- nem Viereck die gegenliber- cke AB,- Exiloltenzund Ein- de Winkel ,-starker Anssen- 1 ) An.0 = .0 b) der Gentden 9 I"t, d~nn gibt eereu WInkel liegt. die liegendenWinkelHuppl7rnen-deutigkeit. der Mittelsenk- winkelso.tz [Jeder AI~n- AU .0 1:1= A 2. e AnA = A es eine Geradeh , die durch grössere Seite gegenübe t!ir sind, dann Ist dall Viereck re<'~teneiner S~ecke AB , winket ~Jnet!Dr~il'Cks. IHt 110 b) AUA = A 3~ a) AnB = Pgehtundpa.rallelzu9ist. Existenz und Elndeu- ein Sehnenviereck. -Ex16tenzund Emdeutlgkelt gross.wte die betdennichten- BnA b)AUB _ BUA Satz über die gegen- t1gkelt des Lotes Zu je- Kriterium: Ein Viereck der Senkrechten durch P zu liegendenInnenwinkeldieses K t t' t-) 4 überliegenden Winkel Im dem Punkt P all~erhalb et- iHt genau dann Sehnenvier- g,- Exilitenz lind Eiodeutig- Dreiecks),-SlItZüber die In- ()(~mnm;)~~g~ ~en(Bncj Sehnenviereck In .jooern "" Gerl:ldenggibt eil genau eck, wennKeine.gegenübl!rlltl-ke~tdes Lotdl von~ auf s.~ nenw.inkeJ...mmme im Dreieck ~) (AUB)UC:' AU(BUC) Sehnenviereck atnd die ge- em Lot von P auf g. gl!nd~ I.•men~loo~ supp~&-MI.tte1senk~tenkntt:rlu?l'- (In jedem Dn:.ieck IHt die (A~iativ eetae} 5. 0) genüberliegenden Innenwtn- Winkelhalbierende meater IIl11d. Em Vltlreck1st Wlnk~lhll.lbltlrenclen}mterlllm,-Sl1mmtl der Orössen der In- AnB c lb)A C AUB 6 kelsupplementär Satz: Wenn ein Pnnkt P genau dann ein Sehnenvier- Seiten wlnkelbealehungenIm nenwinkelkleiner oder gleich ) An B_ A ;. A C B Umkehrung Wenn Hieb aus dem Inneren des Winkelll eck, wenn sieh sene gegen- DrelL'Ck,-,-Umkehrung Stu- 180·) ,-HöhenpunktHab; ,~ ~) AUB - ABC A die gegenüberliegendenWin- I(ASB) zu den Schenkeln überliegende Innenwinkelzu renwinkelsets Umkehrung Satz(Sdmittpunkt der Mit- 7 ) A:::: C #BAA - C kel.~neinem Vier~ zu .180' SA+ und SB+ ein lind den- 180 0 ergänzen. Weclu;elwinkelso.tz ,- WSW- tel1lunkrechte~ eines Dr~i- C tl~ A -~ BnG b ergeneen, dann I!It diesea selben AhHtand ha~, dann Drcl~6tran.9vcrsa~en: KongroenZHlltz ,- SSS- I<on- eck:i) ~ EXistenz und EIO- AC CAB CC AUB ~ ViereckeinSehnenviereck: gehört P zur WinkeÜlalhie- Umkrels einefl DrelockH:gruenZS/ltz ,. BaRil!winkel-deutigkelt der Seltenhalbi6- C -8 ) Än(;UO) ;:: Kriterium EinViereokIst. renden w'deHWinkelsASB. Schnittpl~nktder.Mitt~1I;enk-SiltZlind HeineUmkehrung,- re?den im Drai~ (wird (An B) ~(AnC) genan dann ein Sehnenvier- Umkehrung : Jeder redttell amts DreIecksIlltder scllW/:l.cher AllR.'ienwinkelAAtz m1t dem EP begrundet,!) => blAU BnC) = tlCk, wenn Hieh seiml g~ Punkt der Wjnkelhllibieren~Umkrei'imittl!lpunkt. , - gr. Winkel - gr. Seite Satz(Schnittpkt Seilenhal- (AU~)n(AUC) (0" 'b genüberliegenden Innenwin- den eines Winkels 13 hat zu InkreiR ein&! DreillCks:Beziehung + Umkehmng bierendtl eine!>Dreil:!Ckii) -=> . Istll u- kel zu 180· ergiinzen den Schenkelnvon 0 jllWeib!Schnittpunkt der WinkelhRl- ,-UmkehrungSatz über ent... Satz fll>ergegenüberliegende tlVgCt*ltz) schwacher AU88enwln~ ein und denIleIhenAbHtand bierenden einet!DreieckHi'!t gegengesetztliegendeWinkel Winkel im Sehnenviereck~ IA: IS; rV:n=k IB ~~ :"<l N t" VI! -fi '" ~ lK '1-" '" '~~ ~~ .2 "'" g « 1'"- ~ .; i, ~ J ij '!!, M : . .~ ~ I . "" ' , /, H 11 ~ liI _>, J: \t):' > ~~j I J \~ ~ ~: ,', ,!~ t ~~]j 1~H •• es ö 0 ~~~~ 0. "'I<'< 11 -I . ~A ~r"--"""'_ .' 0/ ,', ~.. . .-"1}) '--'Ei'?" ---- /1~ • .- ~ r /'" ..~_ .._,-. ,..,-" •• •• •• od oC 11-//- .3:..t.~~ ••••• ~- ..: 'l5 ~ < ., '~~' .". t-:{1:'-~1 ~~~~1! .<:.~'.>_.'_ .:_ '" _ ,; :-. ~ ·~,·,4t~ M' ...: ....::!4 ::J

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